Development of mathematics problems of mechanics in IM NAS of Ukraine
Історичні нариси
Saved in:
| Date: | 2020 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2020
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/434 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552934012616704 |
|---|---|
| author | Lukovsky, І.О. Timokha, A.N. Mazko, A.G. Луковский, И.А. Тимоха, А.Н. Мазко, А.Г. Луковський, І.О. Тимоха, О.М. Мазко, О.Г. |
| author_facet | Lukovsky, І.О. Timokha, A.N. Mazko, A.G. Луковский, И.А. Тимоха, А.Н. Мазко, А.Г. Луковський, І.О. Тимоха, О.М. Мазко, О.Г. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "І.О. Луковський",
"institution": "Інститут математики НАН України"
},
{
"author": "О.М. Тимоха",
"institution": "Інститут математики НАН України"
},
{
"author": "О.Г. Мазко",
"institution": "Інстиут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Lukovsky, І.О. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-10T19:26:13Z |
| description | Історичні нариси |
| first_indexed | 2026-08-04T01:07:19Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2018, т. 15, № 1, 247–283
УДК 51
Дослiдження з математичних
проблем механiки в Iнститутi
математики НАН України
“Механика � математика,
приложенная к законам равновесия и движения тел;
наука о силе и сопротивлении ей ...” (рос.)
Володимир Даль
Предметом наукового напрямку “Математичнi проблеми механi-
ки” (МПМ) є створення, узагальнення i дослiдження математичних
моделей i об’єктiв, якi є результатом формалiзацiї (математизацiї)
законiв рiвноваги, стiйкостi, руху i/чи взаємодiї макро й/чи мiкро
об’єктiв рiзної природи, враховуючи твердi i пружнi тiла, неперервнi
середовища, плазму й ряд бiомеханiчних систем (серед того й на рiв-
нi молекулярної взаємодiї), пiд дiєю фiзичних полiв рiзної природи.
Найближчим за значенням до термiну МПМ є термiн “Рацiональна
механiка”. Iнший близький за змiстом термiн, що з’явився зовсiм не-
давно, ймовiрно, пiд впливом книжки Марка Левi,1 є “Математична
механiка”.
За формою, методами й логiкою МПМ є роздiлом прикладної ма-
тематики в тому сенсi, як це сформульовано у вiдомiй книжцi Бле-
хмана, Мишкiса й Пановко.2 Отже, до дослiджень iз МПМ ставиться
вимога, щоб вiдповiднi задачi, що вивчаються, були розв’язаними не
тiльки математично коректно i правильно, а й своєчасно (повиннi
бути актуальними зi практичного погляду), економно (з погляду ви-
трачених зусиль), розв’язок повинен бути зрозумiлим iнженерам (чи
науковцям iз вiдповiдної галузi природничої науки) й нести прозору
i зрозумiлу фiзичну iнтерпретацiю, бути легко алгоритмiзованим за
допомогою методiв обчислювальної математики, i зрештою, побудо-
ванi аналiтичнi чи чисельнi розв’язки повиннi мати точнiсть, вiдпо-
вiдну до точностi вихiдної математичної моделi. Блехман, Мишкiс i
c� Луковський I. О., Мазко О. Г., Тимоха О. М., 2018
1Mark Levi, “The Mathematical Mechanics: Using Physical Reasoning to Solve
Problems”, Princeton University Press, 2009.
2Блехман И.И., Мышкис А.Д., Пановко Я.Г. Механика и прикладная матема-
тика: Логика и особенности приложений математики. М.: Наука, 1990.
248 Луковський I.О., Мазко О. Г., Тимоха О. М.
Пановко називають такi методи й розв’язки “оптимальними” (практи-
чно прийнятними). Особливiстю дослiджень iз МПМ є також комбi-
нування дедуктивної й так званої рацiональної логiк.
Науковi дослiдження з МПМ мають мiждисциплiнарний характер.
Характерними прикладами мiждисциплiнарних трiад є “теорiя зви-
чайних диференцiальних рiвнянь – механiка твердого тiла – обчи-
слювальна механiка” i “теорiя крайових задач для рiвнянь у частин-
них похiдних – гiдромеханiка – обчислювальна гiдродинамiка”. Iсто-
ричний досвiд вказує також на синергетичний характер дослiджень
iз МПМ. Як приклад можна вказати на космологiчнi (на той час
найактуальнiшi) задачi, якi вивчали видатнi науковцi ХVII–ХIХ ст.
(Ґ. Ґалiлей, Х. Гюйґенс, Р. Гук, А. Декарт, I. Ньютон, Г. Ляйбнiц,
Л. Ейлер), чиї роботи про рух i рiвновагу твердих тiл привели до
створення аналiтичної геометрiї, а згодом до диференцiального, iн-
тегрального, варiацiйного числення й аналiтичної механiки (Ж. Ла-
ґранж, I. Бернуллi, Л. Ейлер, Ж.-Л. Даламбер, Л. Карно, Ж. Фур’є).
Пiзнiше у ХIХ ст. математичнi роботи К. Гаусса, М. Остроградського,
В. Гамiльтона, К. Якобi, Г. Герца, О. Кошi, А. Пуассона, Д. Бернуллi,
Ж. Даламбера, Ж. Лаґранжа, Л. Нав’є, Д. Стокса заклали основу
теоретичної гiдромеханiки, а механiчна модель примежового шару,
яку побудував Л. Прандтль, стала вихiдною точкою для аналiтичних
i чисельних дослiджень так званих сингулярно збурених математи-
чних задач. Нарештi, у ХIХ–ХХ ст. проблема математизацiї регулю-
вання машин привела до створення теорiї оптимального керування
(М. Красовський, Р. Белман, Л. Понтрягiн, В. Зубов та iн.), а роботи
О. Ляпунова зi стiйкостi форм рiвноваги рiдини й руху твердих тiл
привели до створення математичної теорiї стiйкостi розв’язкiв ди-
ференцiальних рiвнянь. Зрештою, чисельнi дослiдження у небеснiй
механiцi i прогнозуваннi погоди привели до математичної теорiї ди-
намiчних систем i концепцiї детермiнованого хаосу.
МПМ є найдавнiшим, найбiльшим за здобутками i впливом на
природничi науки роздiлом сучасної прикладної математики. У ХХ–
ХХI сторiччях МПМ продовжує рости як екстенсивно (математизацiя
природничих наук), так й iнтенсивно (математичнi дослiдження не-
розв’язаних задач МПМ). У першому випадку основними викликами
є наразi проблеми бiомеханiки, механiчне й чисельне моделювання
бiологiчних процесiв, метеорологiчнi задачi, динамiка й керування
складних ґiбридних механiчних систем тощо. Розв’язнiсть крайових
Дослiдження з математичних проблем механiки в Iнститутi . . . 249
задач для рiвнянь Ейлера i Нав’ьє-Стокса3 й доведення теорем iсну-
вання i єдиностi розв’язку нелiнiйної задачi поверхневих хвиль4 є
прикладами класичних нерозв’язаних проблем МПМ.
Дослiдження з МПМ були й залишаються найпрiоритетнiшими
для найрейтинговiших математичних установ свiту, до яких нале-
жить Курантiвський iнститут математичних наук (США), де прово-
дяться дослiдження з математичних проблем гiдродинамiки, зокрема
пов’язанi з бiологiю й медициною, Iнститут Iсаака Ньютона мате-
матичних наук (Велика Британiя), де зараз активними є програми
математизацiї феноменiв льоду, проблем самоорганiзацiї й нелiнiй-
них поверхневих хвиль, Iнститут Макса Планка для математики у
природничих науках (ФРН), де вивчають чисельнi проблеми МПМ,
Iнститут Математики в Тулузi (Францiя), до традицiйної тематики
дослiджень якого зараз входять задачi оптимiзацiї, керування, дина-
мiки рiдини i плазми, а також проблеми математизацiї бiомеханiчних
процесiв, дослiдницький Iнститут iз математичних наук при унiвер-
ситетi Кiото (Японiя), де проводяться дослiдження з математичних
проблем в’язкої рiдини.
Традицiйно до складу Математичного Iнституту Стеклова РАН
(РФ) та Iнституту математики НАНУ (Україна) входили i вхо-
дять окремi вiддiли, якi вивчають МПМ 5.
Цей невеликий iсторичний нарис присвячено як видатним поста-
тям, якi, працюючи в Iнститутi математики НАНУ, створили науковi
школи з МПМ, так i ключовим науковцям iнституту, якi зараз про-
водять дослiдження з МПМ.
З часу створення у листопадi 1918 р. Української академiї наук
вона природно притерпiла цiлий ряд структурних змiн. Уже на по-
чатку 30-х рокiв дослiдження у системi Всеукраїнської академiї на-
ук (ВУАН) з математичних наук та їх застосувань були зосередженi
в Комiсiї чистої математики, Комiсiї прикладної математики, Комi-
сiї математичної статистики i на Кафедрi математичної фiзики. В
3Проблема тисячорiччя за версiєю Математичного Iнституту Клея, J. Carlson;
A. Jaffe; A. Wiles “The Millenium Prize Problems”, Providence, 2006.
4Фундаментальнi рiвняння, якi двiстi рокiв тому вивели О.-Л. Кошi (отримав
за це Премiю Французької академiї наук у 1816) та С.-Д. Пуассон, все ще не
мають строгої математичної теорiї iснування та єдиностi розв’язкiв.
5В довiднику за авторством А.М. Самойленко, В.В. Строк, В.I. Сукретний
(“Хронiка – 2005: Сторiнки з iсторiї Iнституту математики НАН України”, Київ:
Iн-т математики НАН України, 2005.– 236 с.) можна знайти понад десять вiддiлiв,
якi iснували в iнститутi у 1934–2005 роках, де велися дослiдження з МПМ.
250 Луковський I.О., Мазко О. Г., Тимоха О. М.
1934 р. була запроваджена нова органiзацiйна структура Академiї, у
вiдповiдностi з якою основною структурною одиницею стає iнститут,
який безпосередньо пiдпорядковується Президiї Академiї. Базою для
створення (13 лютого 1934 р.) Iнституту математики ВУАН були ка-
федри математичного циклу Природничо-технiчного вiддiлу ВУАН
� Кафедри прикладної математики (керiвник академiк Д.О. Граве),
Кафедра чистої математики (керiвник академiк Д.В. Пфейфер) i Ка-
федри математичної статистики (керiвник академiк М.П. Кравчук).
Кафедра математичної фiзики Iндустрiально-технiчного циклу того
ж вiддiлу Академiї увiйшла до складу Iнституту будiвельної механi-
ки. Вiддiл прикладної математики в Iнститутi математики створено
на основi вiдповiдно з реформованих кафедр та комiсiй уже на по-
чатку 1937 р. Тематика дослiджень цього вiддiлу включала матема-
тичну теорiю пружнiсть, гiдро- та аеромеханiку, математичну теорiю
електричних машин, небесну механiку тощо. Рiшенням Президiї ВУ-
АН вiд 22 серпня 1936 р. ВУАН перейменовано на Академiю наук
УРСР.
В подальшому (1936–2019) дослiдження з математичних проблем
механiки в Iнститутi математики проводилися в наступних вiддiлах:
прикладної математики (акад. Д.О. Граве, 1934–1939, член-кор.
I.Я. Штаєрман, 1939–1943), наближених обчислень (проф. I.Я. Шта-
єрман, 1936–1938), механiки (доктор фiз.-мат. наук Ю.Д. Соколов,
1937–1952), математичної теорiї пружностi (акад. Г.М. Савiн, 1946–
1951), загальної механiки (акад. О.Ю. Iшлiнський, 1955–1965), Лабо-
раторiя №1 (проф. С.Ф. Фещенко, 1959–1965), прикладної матема-
тики (член-кор. АН УРСР П.Ф. Фiльчаков, 1963–1968), механiки i
процесiв керування (акад. В.М. Кошляков, 1965–2004), сучасних про-
блем динамiки (проф. С.Ф. Фещенко, 1965–1976), динамiки та стiй-
костi багатовимiрних систем (акад. I.О. Луковський, 1976–2016),
прикладних дослiджень (член-кор. В.I Фущич, 1978–1997), аналiти-
чної механiки (проф. В.В. Новицький, 2004–2016), математичних
проблем механiки та теорiї керування (акад. I.О. Луковський, 2016–
2017, член.-кор. О.М. Тимоха, з 2017). Крiм того, дослiдження з МПМ
проводилися у таких лабораторiях: крайових задач електродинамi-
ки та пружностi (проф. А.А. Березовський), топологiчних мето-
дiв аналiзу (проф. А.В. Бондар, 1996–1999), математичних проблем
тепломасопереносу (проф. А.С. Галiцин), статистичних методiв
теорiї надiйностi (проф. I.I. Єжов, 1980–1996), стiйкостi керованих
систем (проф. Д.Г. Коренiвський, 1981–1995), механiки робототе-
Дослiдження з математичних проблем механiки в Iнститутi . . . 251
хнiчних систем (проф. В.Б. Ларiн), обернених задач спектрально-
го аналiзу (проф. Л.П. Нижник), електромоделювання (проф. В.Г.
Панчишин), математичних проблем механiки (проф. В.А. Троцен-
ко, 1981–1995).
Дмитро Олександрович Граве (1863–1939).
Дмитро Олександрович Граве (академiк АН УРСР iз 1919 р.,
почесний член АН СРСР iз 1929 р.) став одним iз перших членiв
(науковцiв) Нацiональної академiї наук України (тодi ВУАН). Вiн
був другом одного з засновникiв ВУАН академiка В.I. Вернадського.
Дуже часто наукову спадщину академiка Граве неправомiрно пов’я-
зують винятково з його алгебраїчними роботами. Насправдi це не
так. Значна частина його наукового доробку (за деякими оцiнками
понад 30 наукових праць) пов’язується з МПМ. Зокрема, академiк
Граве довiв низку теорем теорiї стiйкостi, вивiвши умови стiйкостi
малих коливань механiчних систем iз урахуванням сил опору; вiн
також виконав цикл дослiджень iз динамiки неголономних систем.
Чимало його результатiв iз МПМ описує небесну механiку. Д.О. Гра-
ве запропонував метод урахування електромагнiтних сил, що дiють
у мiжпланетному просторi, на рух планет. А спiльно зi своїм учнем
Ю.Д. Соколовим застосував цей метод для дослiдження вiдхилення
планет при їхньому орбiтальному русi за умов урахування таких еле-
ктромагнiтних сил. Академiк Граве є першим директором Iнституту
математики, який вiн очолював у 1934–1939 роках.
У Комiсiї зi прикладної математики ВУАН упродовж 1920–1934
рр. (а потiм упродовж 1934–1943 рр. в Iнститутi математики АН
252 Луковський I.О., Мазко О. Г., Тимоха О. М.
Iлля Якович Штаєрман (1891–
1962).
Юрiй Дмитрович Соколов (1896–
1971).
УРСР) працював видатний математик, механiк, член-кор. АН УРСР
(1939) Iлля Якович Штаєрман. Наукова тематика дослiджень Iллi
Яковича сформована пiд впливом його вчителя, професора механi-
ки Київського унiверситету iм. Святого Володимира П.В. Воронця.
Науковi iнтереси Iллi Яковича охоплювали зокрема розробку методiв
розрахунку напружено-деформованого стану, мiцностi i стiйкостi тон-
костiнних оболонок обертання й куполiв, методiв дослiдження стiй-
костi будiвельних конструкцiй (арки, склепiння); вiн вивчав також
контактнi задачi теорiї пружностi. Розвиваючи теорiю iнтегральних
рiвнянь, I.Я. Штаєрман розв’язав цiлу низку актуальних на той час
практичних задач теорiї пружностi. Його книжка “Контактная зада-
ча теории упругости” систематизує особистi досягнення Iллi Яковича
з теорiї контактних задач, доповнюючи тогочасну теорiю оригiналь-
ними i дуже важливими для практики розв’язками задачi про стисне-
ння пружних цилiндрiв iз малим зазором, про взаємодiю фундаменту
й основи, про стиснення тiл, обмежених фiзично (негладкими поверх-
нями). Ця книжка стала першою у свiтовiй лiтературi з контактних
задач теорiї пружностi. I.Я. Штаєрман також увiйшов в iсторiю як
науковий батько таких видатних науковцiв, як О.В. Кiльчевський,
I.М. Рапопорт i Й.З. Штокало.
1929 р. на публiчному засiданнi Комiсiї зi присудження вчених
ступенiв ВУАН Юрiй Дмитрович Соколов захистив докторську
дисертацiю “Умови спiльного спiвудару трьох тiл, що обопiльно при-
тягуються за законом Ньютона”. Ця дисертацiя отримала широке ви-
Дослiдження з математичних проблем механiки в Iнститутi . . . 253
знання i поставила її автора поруч iз видатними вченими того часу.
Бувши учнем академiка Граве, вiн присвятив три десятирiччя на-
тхненної працi дослiдженням задачi трьох тiл. Результати вiн пiдсу-
мував у монографiї 1951 р. “Особые траектории системы свободных
материальных точек”. Ю.Д. Соколов уперше знайшов умови спiвуда-
ру трьох тiл у скiнченний момент часу, дослiдив особливi траєкторiї
системи вiльних матерiальних точок, що взаємно притягаються або
вiдштовхуються з силою, прямо пропорцiйною добутку мас i абсолю-
тнiй величинi довiльної функцiї взаємних вiддалей. Фундаменталь-
нi результати, якi отримав Юрiй Дмитрович у небеснiй механiцi, а
згодом i в теорiї фiльтрацiї рiдини, багато в чому були зумовленi
його чисельно-аналiтичними методами розв’язування диференцiаль-
них рiвнянь. Пiсля заснування Iнституту математики 1937 року було
створено вiддiл механiки, який i очолив Ю.Д. Соколов. Сам факт
створення такого вiддiлу яскраво пiдкреслює увагу й високу прiори-
тетнiсть (на думку академiї) дослiджень iз МПМ.
Якщо Ю.Д. Соколов, Д.О. Граве й I.Я. Штайєрман працювали
над класичними, добре вiдомими на той час задачами аналiтичної
й теоретичної механiки i механiки пружних тiл, то iншим видатним
вченим тiєї епохи, М.М. Крилову, М.М. Боголюбову i М.О. Лаврен-
тьєву пощастило стати засновниками нових, проривних напрямкiв
прикладної математики, якi пов’язуються з МПМ.
Микола Митрофанович Крилов
(1879–1955).
Микола Миколайович Боголюбов
(1909–1992).
У 1932 р. Микола Митрофанович Крилов (академiк ВУАН iз
1922 р., iз 1929 р. � академiк АН СРСР) i його 23-рiчний учень Ми-
254 Луковський I.О., Мазко О. Г., Тимоха О. М.
кола Миколайович Боголюбов (який згодом, через 20 рокiв, поєд-
нає в однiй особi видатного математика, механiка i фiзика-теоретика)
створили новий роздiл прикладної математики, який зараз має на-
зву “нелiнiйна механiка”. Iдеї й методи нелiнiйної механiки цi вченi
виклали в оглядових статтях 1932 – 1933 рокiв, а також у двох моно-
графiях6. Нелiнiйна механiка описує перiодичнi чи майже перiодичнi
процеси, перiод яких залежить вiд амплiтуди коливань. З практично-
го погляду такi процеси можуть бути умовно корисними (коливання
електричного струму i радiосигналiв тощо) чи шкiдливими (колива-
ння крила лiтака в польотi, вiбрацiя пружної труби з рiдиною, яка
протiкає в нiй пiд змiнним пульсуючим тиском, вiбрацiя валу турбiни
тощо). Цi процеси часто описуються нелiнiйними диференцiальними
рiвняннями. Крилов i Боголюбов розробили методи асимптотичного
iнтегрування такого типу нелiнiйних диференцiальних рiвнянь, коли
рiвняння мають малий або великий параметр. Вони проiлюстрували
ефективнiсть методу для ряду практичних задач iз електротехнiки й
авiацiї.
На початку 1939 р. (за рекомендацiєю президента Академiї наук
УРСР О.О. Богомольця, який надавав особливе значення математицi
як фундаменту для природничих наук) Iнститут очолив Михайло
Олексiйович Лаврентьєв, до того завiдувач вiддiлу Математично-
го iнституту iм. В.А. Стєклова, вихованець московської математичної
школи М.М. Лузiна, добре вiдомий як один iз визначних математи-
кiв країни, спецiалiст у галузi теорiї функцiй комплексних змiнних
i її застосувань до аеро- i гiдродинамiки. М.О. Лаврентьєва того са-
мого року обрали академiком АН УРСР (iз 1946 р. � академiк АН
СРСР). Наукова й органiзацiйна дiяльнiсть М.О. Лаврентьєва при-
вела до розвитку в Українi нового напрямку теорiї функцiй � теорiї
квазiконформних вiдображень iз її застосуванням до газової динамi-
ки й ряду iнших роздiлiв механiки суцiльних середовищ (поверхневi
хвилi важкої рiдинi, рух грунтових вод тощо). Вiн також розвинув
наближенi методи конформних перетворень на основi варiацiйного
принципу Лiндельофа. Дослiдження за цими напрямками вiн пiдсу-
мував у монографiї 1946 року, ”Конформные отображения с прило-
жениями к некоторым вопросам механики”; того самого року цi до-
6Н.М. Крылов, Н.Н. Боголюбов. Приложение методов нелинейной механики
к теории стационарных колебаний.� Киев: ВУАН, 1934; Введение в нелинейную
механику: Приближенные и асимптотические методы нелинейной механики. �
Киев: Изд-во АН УССР, 1937.
Дослiдження з математичних проблем механiки в Iнститутi . . . 255
слiдження вiдзначили присудженням Державної премiї СРСР.
Михайло Олексiйович Лаврентьєв (1900 – 1980).
Академiки М.О. Лаврентьєв i М.М. Боголюбов є знаковими фiгу-
рами Iнституту математики. Понад 40 рокiв вони i їхнi учнi засну-
вали низку революцiйних математичних напрямкiв, серед них i для
МПМ. Пiд впливом цих двох яскравих математикiв еволюцiонували
науковi групи й мiнялася структура iнституту, де домiнували, як то є
типовим для дослiдницьких математичних установ розвинутих кра-
їн, прикладнi математичнi дослiдження. Тематика таких дослiджень
вiдображала практичнi виклики того часу.
1940 р. Iнститут складався зi п’яти вiддiлiв, теорiї функцiй ком-
плексної змiнної з застосуванням до задач суцiльного середовища
(М.О. Лаврентьєв), математичного аналiзу (Г.В. Пфейфер), механiки
(Ю.Д. Соколов), прикладної математики (I.Я. Штаєрман), алгебри
та функцiонального аналiзу (М.Г. Крейн). Як ми бачимо, три з цих
п’яти вiддiлiв спецiалiзувалися на дослiдженнях iз МПМ. Той факт,
що математичнi дослiдження акцентувалися не на абстрактних, а на
актуальних науково-практичних викликах сучасностi, зокрема iнду-
стрiї, дуже приваблювало талановиту наукову молодь. Багато вида-
тних учених, iнженерiв i конструкторiв того часу закiнчували аспi-
рантуру, захищали дисертацiї й починали свою кар’єру в Iнститутi
математики. Серед тих, хто працював у вiддiлi прикладної матема-
тики Iнституту, був i видатний конструктор Володимир Микола-
йович Челомей7.
7Кандидатська дисертацiя “Динамiчна стiйкiсть елементiв авiацiйних констру-
кцiй”, 1939 рiк, науковий керiвник член-кореспондент I.Я. Штаєрман.
256 Луковський I.О., Мазко О. Г., Тимоха О. М.
Володимир Миколайович Челомей (1914 – 1984).
Друга свiтова вiйна порушила творчi й науково-органiзацiйнi пла-
ни академiка М.О. Лаврентьєва i наукового колективу iнституту. Пiд
час евакуацiї в Уфу (Башкирiя) вiн зосереджується на актуальних за-
дачах вiйськової промисловостi. Серед таких були дослiдження стiй-
костi руху снарядiв iз рiдинним наповненням. М.О. Лаврентьєв за-
лучив до цього своїх учнiв, наукового спiвробiтника Iнституту мате-
матики АН УРСР Селiма Григоровича Крейна (розробка теорiї)
i спiвробiтника Iнституту будiвельної механiки АН УРСР С.В. Ма-
лашенка (експериментальнi дослiдження). Ця наукова дiяльнiсть за-
вершилася пiдготовкою С.Г. Крейном 1949 р. докторської дисертацiї
“Устойчивость движения вращающегося снаряда с жидким наполне-
нием”, яка була захищена 1950 р. в Академiї артилерiйських наук. У
дисертацiйних дослiдженнях застосовувалася теорiя ермiтових опе-
раторiв у гiльбертовому просторi.
Найважливiша робота М.О. Лаврентьєва того часу присвячена те-
оретичним дослiдженням феномену кумуляцiї (ефект Манро). Вiд-
крите експериментальним шляхом явище кумуляцiї полягає в тому,
що заряд вибухiвки у снарядi з конiчною або напiвсферичною ви-
їмкою, що облицьована тонким сталевим шаром, починає пробивати
набагато товстiшу броню, нiж у снарядi без такої виїмки. М.О. Лав-
рентьєв запропонував математичну модель, яка описує кумулятивний
ефект як iз якiсного, так i з кiлькiсного боку. Виявилося, що при вза-
ємодiї стальної оболонки з вибухiвкою i бронi, яка вiдбувається за
значних температур, при тиску до 100 000 атм i швидкостi руху при-
близно 10 км/сек, пружнi сили складають сотi долi сил iнерцiї. При
Дослiдження з математичних проблем механiки в Iнститутi . . . 257
Селiм Григорович Крейн (1917 –
1999).
Петро Феодосiйович Фiльчаков
(1916 � 1978).
таких параметрах фiзичного процесу броня поводиться як iдеальна
рiдина, а вiдповiднi математичнi постановки теорiї можна сформулю-
вати в термiнах крайових задач для рiвняння Лапласа. За цi роботи
М.О. Лаврентьєву 1949 р. була присуджена Державна премiя СРСР.
Журнальна вiдкрита публiкацiя з кумулятивного вибуху з’явилася
лише 1957 р. Вiдзначимо також революцiйнi результати М.О. Лав-
рентьєва в теорiї хвиль на поверхнi важкої рiдини скiнченної глиби-
ни. 1946 р. вiн довiв теорему iснування вiдокремленої хвилi (перший
спогад цього фiзичного явища належить до першої половини ХIХ
сторiччя i належить Дж. Расселу). Така хвиля пiзнiше � наприкiнцi
60-х рокiв � дiстала англомовну назву солiтон (soliton).
У повоєннi роки М.О. Лаврентьєв створив на основi варiацiйних
принципiв для конформних вiдображень новi пiдходи до розв’язува-
ння задач теорiї руху грунтових вод пiд гiдротехнiчними спорудами
(греблями), якi були доведенi в роботах його учнiв до оцiнок i об-
грунтування наближених методiв теорiї фiльтрацiї. Цi дослiдження
почалися з 1945 р. (М.О. Лаврентьєв, Ю.Д. Соколов). У подальшому
– впродовж 30-ти рокiв – теорiя фiльтрацiї велася пiд керiвництвом
чл.-кор. Павла Феодосiйовича Фiльчакова (1916–1978). Зокрема,
розроблявся метод розв’язування задач фiльтрацiї за допомогою мо-
делювання на електропровiдному паперi (В.М. Остапенко, В.Г. Пан-
чишин, О.М. Тарапон, Б.Б. Нестеренко), а також було запропоновано
наближенi аналiтичнi методи розв’язування вiдповiдних крайових за-
дач (П.Ф. Фiльчаков, О.Я. Олiйник, В.I. Лаврик та їхнi учнi). Роботи
258 Луковський I.О., Мазко О. Г., Тимоха О. М.
П.Ф. Фiльчакова i В.Г. Панчишина з теорiї фiльтрацiї 1970 року вiд-
значенi Державною премiєю УРСР у галузi науки i технiки.
Математичним проблемам теорiї пружностi присвяченi роботи по-
воєнного перiоду I.Я. Штаєрмана i його учня (академiка) Миколи
Олександровича Кiльчевського (1936 – 1941 рр. � докторант,
1944 – 1947 рр. � старший науковий спiвробiтник iнституту). У пра-
цях I.Я. Штаєрмана дослiдженi плоскi задачi про тиск на пружну
напiвплощину одного чи кiлькох штампiв, задачi про стиснення пру-
жних тiл, обмежених цилiндричними поверхнями близьких радiусiв.
Багато робiт I.Я. Штаєрмана i М.О. Кiльчевського присвячено роз-
витку математичної теорiї динамiки тонкостiнних оболонок i методiв
iнтегрування рiвнянь цiєї теорiї. М.О. Кiльчевський також увiйшов в
iсторiю як автор неперевершеного пiдручника з теоретичної механi-
ки, за яким навчалися декiлька поколiнь випускникiв математичних
факультетiв України.
Микола Олександрович
Кiльчевський (1909 � 1979).
Йосип Захарович Штокало
(1897 � 1987).
У циклi публiкацiй 1945–1948 рокiв iншого учня I.Я. Штаєрмана,
(академiка) Йосипа Захаровича Штокала (працював в iнститутi
упродовж 1942 – 1949 i 1956 – 1963 рокiв) дослiджувалася асимпто-
тична стiйкiсть за Ляпуновим розв’язкiв системи лiнiйних диферен-
цiальних рiвнянь зi квазiперiодичними коефiцiєнтами (лiнiйнi меха-
нiчнi моделi) за припущення, що стала матриця коефiцiєнтiв збурює-
ться малими (пропорцiйними до малого параметра) квазiперiодични-
ми додатками, якi мають вигляд скiнченних тригонометричних сум.
Дослiдження з математичних проблем механiки в Iнститутi . . . 259
Iдея полягала в тому, щоб одержати, так би мовити, “формальну те-
орему Флоке” i вiдповiдно “формальне” перетворення, що зводить
таку систему до системи диференцiальних рiвнянь зi сталими коефi-
цiєнтами. Автор одержав ряд достатнiх умов асимптотичної стiйкостi
розв’язкiв системи.
Упродовж 1945–1949 рр. М.М. Боголюбов (в Iнститутi математики
працював за сумiсництвом) продовжив дослiдження з теорiї нелiнiй-
них коливань. Вiн створив метод усереднення, одночастотний асим-
птотичний метод i метод iнтегральних многовидiв. 1947 року науковi
результати М.М. Боголюбова цього перiоду вiдзначено Державною
премiєю СРСР.
У складi Iнституту математики 1948 р. працювало 7 вiддiлiв: те-
орiї функцiй комплексної змiнної та її застосувань (М.О. Лаврен-
тьєв), механiки (Ю.Д. Соколов), алгебри та функцiонального аналi-
зу (М.Г. Крейн), асимптотичних методiв та теорiї ймовiрностей
(М.М. Боголюбов), прикладної математики (О.Ю. Iшлiнський), вiд-
дiл теорiї пружностi у Львовi (Г.М. Савiн), львiвський вiддiл те-
орiї ймовiрностей (Б.В. Гнєденко), серед яких п’ять (тобто понад
половина) дослiджували МПМ. Фактично в цi роки, зокрема зав-
дяки останньому факту, було закладено базис для подальшого на-
укового злету Iнституту математики, екстенсивного й iнтенсивного
зростання його академiчного складу. Зосередженiсть на актуальних
прикладних математичних дослiдженнях стала лейтмотивом цього
злету. Знаковими фiгурами, якi визначили напрямки наукових до-
слiджень iз МПМ у 1950-70 роки, були Г.М. Савiн, I.М. Рапопорт i
О.Ю. Iшлiнський.
Академiк Гурiй Михайлович Савiн (вiце-президент АН УРСР)
небезпiдставно вважається одним зi хрещених батькiв наукової шко-
ли математичної теорiї пружностi другої половини XX сторiччя. З
1952 по 1957 р. вiн провiв дослiдження з теорiї концентрацiї напру-
жень бiля отворiв рiзної геометричної форми в iзотропних i анiзотро-
пних середовищах. Працi Г.М. Савiна та його учнiв присвяченi також
задачам динамiки канатiв змiнної довжини. Вони склали основу йо-
го теорiї розрахунку шахтних пiдiймальних канатiв, у яких врахову-
ється динамiчний режим їхньої роботи (маятник змiнної довжини).
Дослiдження з математичної теорiї пружностi й динамiки канатiв
зводилися до доволi складних математичних моделей, для яких по-
трiбно було будувати не тiльки наближенi методи розв’язування вiд-
повiдних крайових задач, а й їхню якiсну теорiю. До учнiв Г.М. Са-
260 Луковський I.О., Мазко О. Г., Тимоха О. М.
Гурiй Михайлович Савiн
(1907 – 1975).
Олександр Юлiйович Iшлiнський
(1913 – 2003).
вiна належать такi видатнi вченi, як академiки Остап Степанович
Парасюк i Ярослав Степанович Пiдстригач.
У кiнцi 1948 р. за рекомендацiєю М.О. Лаврентьєва директором
Iнституту математики було призначено Олександра Юлiйовича
Iшлiнського, 35-рiчного доктора фiзико-математичних наук, про-
фесора Московського державного унiверситету iм. М.В. Ломоносо-
ва, обраного цього самого року академiком АН УРСР (iз 1960 р. �
академiк АН СРСР), на той час вiдомого спецiалiста з теорiї тер-
тя, пружностi i пластичностi, теорiї гiроскопiчних приладiв. Iз його
приходом ще сильнiше розширилась i збагатилась наукова тематика
Iнституту, змiцнився зв’язок математичних дослiджень з практикою,
що вiдповiдала викликами того часу. Поряд iз задачами теорiї пру-
жностi й фiльтрацiї рiдини, дослiдження яких продовжувалися, були
започаткованi три новi науковi напрямки з МПМ, а саме, (1) теорiя
гiроскопiчних приладiв i теорiя iнерцiальної навiгацiї та iнерцiально-
го керування рухомими об’єктами (кораблi, пiдводнi човни, лiтаки,
ракети), (2) математичнi проблеми динамiки твердих i деформiвних
тiл (стосовно мiжконтинентальних балiстичних ракет i орбiтальних
ракет-носiїв iз рiдинними двигунами), (3) динамiка твердого тiла, пiд-
вiшеного на струнi, яке швидко обертається навколо вертикальної осi.
Для розв’язку комплексних проблем, пов’язаних iз ракетобудуван-
ням, було залучено Iнститути Академiї наук УРСР. Завдяки М.О. Лав-
рентьєву i О.Ю. Iшлiнському в Iнститутi математики з 1949 р. розпо-
чалися роботи з математичного забезпечення проектування ракетної
Дослiдження з математичних проблем механiки в Iнститутi . . . 261
технiки на замовлення НДI-88 (головний науково-дослiдний, проектно-
конструкторський i виробничо-технологiчний iнститут iз ракетного
озброєння Мiнiстерства озброєння СРСР, iз 1967 р. � Центральний
НДI машинобудування, ЦНДIмаш). Договiрнi творчi стосунки Iн-
ституту математики з ЦНДIмаш тривали майже 40 рокiв, вони пе-
рервалися лише пiсля розпаду СРСР. Уже за першi десять рокiв
(1949 – 1958) були одержанi результати для математичного моде-
лювання руху мiжконтинентальних балiстичних ракет i орбiтальних
ракет-носiїв космiчних апаратiв, iнерцiального (автономне) наведен-
ня їхнього центра мас, теорiї гiроскопiчних приладiв i теорiя iнерцi-
альної навiгацiї.
Механiка гiроскопiчних систем. Гiроскоп � це швидко обертове
симетричне тiло зi своєрiдними, накладеними на нього в’язями: кар-
дановим (двостепеневим, тристепеневим) або безкардановим (сфе-
ричним) пiдвiсами. 1952 р. дослiдження з теорiї гiроскопiв стосов-
но їхнього використання в морськiй артилерiї i корабельних iнерцi-
альних системах А.Ю. Iшлiнський пiдсумував у закритiй монографiї
“Механика специальных гироскопических систем” (розсекречена 1960
р.), яка пiзнiше перевидана розширеним i доповненим виданням 1963
р. з дещо змiненою назвою.
Теорiя автономної (iнерцiальної) навiгацiї морських i океанських
суден i пiдводних човнiв та наведення балiстичних ракет. О.Ю. Iш-
лiнський розвинув теорiю гiроскопiчних приладiв рiзного функцiо-
нального призначення i теорiю основної задачi гiроскопiчної iнерцi-
альної навiгацiї � визначення географiчних координат, швидкостi i
курсу рухомого об’єкта (корабля, пiдводного човна, лiтака, ракети,
космiчного лiтального апарата) без залучення зовнiшньої iнформа-
цiї, тобто з використанням винятково показникiв чутливих елементiв
(гiроскопiв i ньютонометрiв), що вимiрюють поточнi значення про-
екцiй лiнiйної й кутової швидкостей i розмiщенi на стабiлiзованiй
платформi, центр якої рухається разом iз об’єктом. Його результа-
ти пiдсумовано в монографiї “Некоторые вопросы теории автоном-
ного управления баллистическими ракетами” (розсекречена 1995 р.).
Теорiя iнерцiальної навiгацiї � великий роздiл прикладної механi-
ки. Вiддiл загальної механiки iнституту, який вiн створив 1956 р. й
очолював (на громадських засадах), став ядром київської наукової
школи з теорiї гiроскопiв i (гiроскопiчної) iнерцiальної навiгацiї.
Зацiкавленiсть у математичних проблемах динамiки системи
“тверде тiло з порожнинами, наповненими рiдиною” (iз застосуван-
262 Луковський I.О., Мазко О. Г., Тимоха О. М.
Iлля Маркович Рапопорт.
ням до руху ракет з двигунами на рiдинному паливi) привела до все-
свiтньо вiдомої наукової школи, у витоках якої були М.О. Лаврентьєв,
О.Ю. Iшлiнський та Iлля Маркович Рапопорт. Наприкiнцi 1950-х
рокiв була побудована лiнiйна математична модель ракети з урахува-
нням рухомостi палива в баках i пружностi конструкцiй. Результати
цих дослiджень представленi в монографiї Бориса Iсааковича Рабi-
новича й Iллi Марковича Рапопорта “О движении твердого тела с
полостями, частично заполненными жидкостью” (1960), що вийшла
пiд грифом “для службового користування”. Обидва автори моногра-
фiї в цей перiод працювали в Iнститутi математики: I.М. Рапопорт
(учень I.Я. Штаєрмана) з довоєнних рокiв i до 1959 р., а Б.I. Рабi-
нович, котрий перебував упродовж п’яти рокiв (iз 1955 р.) на поса-
дi викладача Київського вищого iнженерного авiацiйного училища
(КВIАУ), одночасно перебував на посадi старшого наукового спiв-
робiтника “на громадських засадах” (тобто без оплати) в Iнститутi
математики. I.М. Рапопорт є одним iз найвидатнiших математикiв-
“практикiв”, якi будь-коли працювали в Iнститутi математики. Доля
склалася так, що бiльшiсть робiт I.М. Рапопорта були i є маловiдо-
мими для сучасникiв, що пов’язується з режимом секретностi. Мо-
жливо, тому, працюючи над цим iсторичним нарисом, автори ледь
знайшли фотокартку Iллi Марковича в архiвах iнституту. Бiльшiсть
статей та iнша публiчна iнформацiя про I.М. Рапопорта вiдсутня в
iнтернетi. Вклад I.М. Рапопорта у створення ракетно-космiчної те-
хнiки важко переоцiнити. 1959 року вiн припинив роботу в iнститутi,
ставши головним науковим консультантом Сергiя Павловича Коро-
Дослiдження з математичних проблем механiки в Iнститутi . . . 263
льова8.
Окрiм динамiки систем твердого тiла з порожнинами, наповне-
ними рiдиною, у 1940–50-х роках I.М. Рапопорт працював, зокрема,
над математичною теорiєю стiйкостi i стабiлiзацiї руху керованих
балiстичних ракет дальньої дiї. Цей факт цiкавий тим, що над цiєю
прикладною задачею працювали тодi ще молодi математики (акаде-
мiк) Юрiй Макарович Березанський i Марк Олександрович Красно-
сельський.
Юрiй Макарович Березанський.
Марк Олександрович
Красносельський (1920 � 1997).
Юрiй Макарович Березанський отримав результати з теорiї
стабiлiзацiї лiнiйних стацiонарних динамiчних систем у загальнiй ма-
тричнiй формi стосовно задачi стабiлiзацiї й керованостi руху ракет.9
8Ось як пише про Iллю Марковича у своїх спогадах “Капустiн Яр” один iз
ветеранiв ракетобудування професор Яков Гельфандбейн: “... Илью Марковича
Раппопорта, доктора физмат наук, профессора МАИ, Главного научного консуль-
танта С.П. Королёва. Мы дружили семьями, он часто приезжал в Ригу на защиты
диссертаций, оппонирование которых он принимал по моему совету. Интересный
это был человек. Его С.П. Королёв забрал к себе из Киева. Занимался он самыми
сложными проблемами конструирования, а в то время важнейшей была проблема
упругих колебаний корпуса (многоступенчатость) и эту проблему, назвав “Теори-
ей колебаний упругой линии тела, частично заполненного жидкостью”, он решал
в течение ряда лет, ежегодно выпуская книги по 350–400 страниц, в которых
практически не было текста – одни формулы. В одной из них он допустил две
ошибки, в документах гл. Конструктора исправил их, а потом объявил конкурс
среди аспирантов и студентов МАИ на их поиск, пообещав тому, кто их выявит,
учёную степень кандидата наук без защиты диссертации. Ошибки были найдены,
и обещание было им выполнено.”
9Закритий технiчний звiт Iнституту за спецiальною темою “Исследование
264 Луковський I.О., Мазко О. Г., Тимоха О. М.
Задача керування полягала у вiдповiдi на такi питання: яка iнфор-
мацiя i скiльки її необхiдно для одержання керування бажаного ти-
пу, якi внутрiшнi властивостi характеризують дану незмiнну части-
ну (об’єкт) iз погляду керування ним, тобто питання фiзичної реа-
лiзовностi при побудовi математичних моделей керованих систем. Iз
1960 р. аналогiчний результат у науковiй i навчальнiй лiтературi з те-
орiї стабiлiзацiї й оптимального керування має назву “критерiй керо-
ваностi Калмана”. Результат Ю.М. Березанського через 5 рокiв iсто-
тно розвинув його учень, спiвробiтник ОКБ-692 (м. Харкiв) В.М. Ро-
маненко10. Використовуючи методи теорiї функцiй вiд матриць, вiн
отримав необхiдну i достатню умову стабiлiзовностi лiнiйної динамi-
чної системи у випадку, коли матриця динамiчної системи має кратнi
власнi значення.
Марк Олександрович Красносельський (працював в iнсти-
тутi з 1947 по 1952 pр.) в науково-технiчних темах пiд загальною
назвою “Влияние параметров различных систем управления ракета-
ми дальнего действия на устойчивость их движения по траектории
и точность стрельбы”11 дослiдив i сформулював конкретнi рекомен-
дацiї для вибору органiв керування на забезпечення стiйкостi руху
центра мас ракети за розрахунковою траєкторiєю.
Борис Iсакович Рабiнович12, як уже було зазначено вище, хоч
i тiсно спiвпрацював iз I.М. Рапопортом, нiколи не був штатним спiв-
робiтником Iнституту математики. Але пiсля того, як Iлля Марко-
вич залишив iнститут, саме Борис Iсакович виявився тiєю необхiдною
ланкою, яка сприяла розвитку в iнститутi всесвiтньо вiдомої науко-
вої школи з динамiки тiл iз порожнинами, що мiстять рiдину. Цим
треба завдячувати зокрема Степановi Федоровичу Фещенку й
(академiку) Iвану Олександровичу Луковському.
устойчивости движения ракет типа Р-12 на активном участке полета”/ Руково-
дитель д.т.н. И.М. Рапопорт. Исполнитель д.ф.-м.н. Ю.М. Березанский, 1957 p.,
розсекречено 1998 р.
10Романенко В.Н. Некоторые вопросы аналитического конструирования специ-
альных систем управления: Дис. ... кандидата физ.-мат. наук.– Харьков: ОКБ-
692, 1962.� 157 с. Науч. руководитель доктор физ.-мат. наук Ю.М. Березанский.
Розсекречена 1995 р.
11Науковий керiвник академiк О.Ю. Iшлiнський, виконавець доктор фiз.-мат.
наук М.О. Красносельський (розсекречено 1998 р.), виконанi згiдно з технiчним
завданням НДI-88
12Борис Iсакович походить iз вiдомої наукової сiм’ї. Його батько, Iсаак Моi-
сєєвич Рабiнович (член-кореспондент АН СРСР) є розробником кiнематичного
методу в будiвельнiй механицi, засновником теорiї вантових ферм.
Дослiдження з математичних проблем механiки в Iнститутi . . . 265
Борис Iсаакович Рабiнович (1924 � 2010).
Степан Федорович Фещенко
(1903 – 1981).
Iван Олександрович Луковський.
1955 р. в Iнститутi працювали сiм вiддiлiв: теорiї ймовiрностей i
математичної статистики (Б.В. Гнєденко), математичної фiзики
(Ю.О. Митропольський), iз 1965 по 2000 pр. � вiддiл математичної
фiзики i нелiнiйних коливань, диференцiальних рiвнянь (Ю.Д. Соко-
лов), функцiонального аналiзу (О.С. Парасюк), загальної механiки
(О.Ю. Iшлiнський), математичної теорiї пружностi (Г.М. Савiн),
iсторiї математики (Й.З. Штокало). Як видно, в чотирьох iз цих
семи вiддiлiв велися цiлеспрямованi дослiдження в галузi МПМ.
Пiсля трирiчного (1955–1958) перебування на посадi директора Iн-
ституту математики академiка Б.В. Гнєденка 1958 р. Iнститут очо-
лив Юрiй Олексiйович Митропольський, на той час уже широко
визнаний спецiалiст у галузi нелiнiйної механiки i теорiї диференцi-
266 Луковський I.О., Мазко О. Г., Тимоха О. М.
Юрiй Олексiйович Митропольський (1917–2008).
альних рiвнянь13. Той факт, що iнститут очолив спецiалiст у галузi
нелiнiйної механiки, сприяло розширенню й розвитку дослiджень iз
МПМ, зокрема динамiки твердого тiла, яке пiдвiшене на струнi й
обертається навколо вертикальної осi з великою кутовою швидкiстю,
задачам керування i стабiлiзацiї робототехнiчних систем, математи-
чної теорiї стiйкостi руху динамiчних систем при параметричних збу-
реннях (збуреннях коефiцiєнтiв) детермiнованої i стохастичної при-
роди. Розширенню тематики дослiджень також сприяло цiльове фi-
нансування вiдомчими НДI, КБ i Державним Комiтетом з науки i
технiки (ДКНТ). Дослiдження з МПМ були зосередженi у вiддiлi за-
гальної механiки (створений 1956 р., керiвник О.Ю. Iшлiнський; iз
1978 р. � вiддiл механiки i процесiв керування, з 1996 р. � вiддiл
аналiтичної механiки, керiвник В.М. Кошляков), вiддiлi математи-
чної фiзики i теорiї нелiнiйних коливань (керiвник Ю.О. Митрополь-
ський), вiддiлi сучасних проблем динамiки (створений 1965 р. на базi
спецiальної лабораторiї � у штатному розкладi Iнституту значилася
пiд назвою “Лабораторiя № 1” i дiяла з 1959 р., керiвник С.Ф. Фещен-
13Юрiй Олексiйович Митропольський (iз 1950 року в Iнститутi математики) –
учень академiка М.М. Боголюбова. Пiсля захисту 1948 р. кандидатської дисерта-
цiї “Исследование резонансных явлений в нелинейных системах с переменными
частотами” вiн 1951 р. захистив докторську дисертацiю “Медленные процессы в
нелинейных колебательных системах со многими степенями свободы”, а 1953 р.
очолив створений в Iнститутi новий вiддiл � вiддiл математичної фiзики. Наукова
робота Ю.О. Митропольського з проблем нелiнiйної механiки тих часiв пiдсумо-
вана у двох монографiях: “Нестационарные процессы в нелинейных колебатель-
ных системах” (1955 р., 284 с.); “Асимптотические методы в теории нелинейных
колебаний” (1955 р., 448 с., спiвавтор М.М. Боголюбов).
Дослiдження з математичних проблем механiки в Iнститутi . . . 267
ко; з 1976 р. � вiддiл динамiки та стiйкостi багатовимiрних систем,
керiвник I.О. Луковський). Дослiдження з математичних проблем
нелiнiйної механiки в цей перiод iнтенсивно розвивались у працях
Ю.О. Митропольського, О.Б. Ликової, А.М. Самойленка, В.I. Фод-
чука, Д.Г. Коренiвського, В.Г. Коломiйця, В.Б. Ларiна та їхнiх учнiв.
Побудована аксiоматична теорiя асимптотичних методiв пов’язала
рiзнi варiанти багаточастотного асимптотичного методу, методу нор-
мальних форм Пуанкаре i методу усереднення. Асимптотичнi методи
поширено на новi класи динамiчних систем: системи з розподiленими
параметрами, математичними моделями яких є рiвняння в частин-
них похiдних параболiчного i гiперболiчного типiв iз запiзненням,
стохастичнi динамiчнi системи. 1965 р. за цикл робiт, присвячений
iстотному розвитку i строгому математичному обгрунтуванню теорiї
нелiнiйних коливань, Ю.О. Митропольський удостоєний Ленiнської
премiї.
Задля потреб вiйськово-оборонного комплексу (насамперед ство-
реного 1954 р. ОКБ-586 на чолi з М.К. Янгелем) на початку 1959 р. за
Постановою Президiї АН УРСР вiд 16.12.1958 р. в Iнститутi матема-
тики було створено новий науково-дослiдний пiдроздiл “Лабораторiя
№ 1”, яку очолив С.Ф, Фещенко (з 1965 р. � вiддiл сучасних проблем
динамiки). Уже в першi пiвтора роки iснування була розроблена i
дослiджена математична модель збуреного руху мiжконтиненталь-
ної балiстичної ракети дальньої дiї 8К64 iз двигунами на рiдинному
пальному. З 1976 р. вiддiл набуває назви динамiки та стiйкостi бага-
товимiрних систем; його очолив I.О. Луковський.
На початку 60-х рокiв особливо гостро стала проблема про вра-
хування коливання палива в нецилiндричних баках при їхньому час-
тковому заповненнi. Були розробленi наближенi методи визначення
гiдродинамiчних коефiцiєнтiв рiвнянь збуреного руху твердого тiла
з порожнинами складної геометричної форми, частково заповнених
iдеальною нестисливою рiдиною, якi грунтуються на варiацiйних ме-
тодах розв’язування основних крайових задач. Академiк I.О. Луков-
ський та його учнi розробили методи визначення приєднаних мас рi-
дини за заданим спектром частот вiльних коливань обмеженого об’-
єму рiдини, метод розбиття областi з рiдиною на пiдобластi й метод
розвинення в ряди розв’язкiв неоднорiдних крайових задач за власни-
ми функцiями задач iз параметром у граничних умовах. Важливе мi-
сце в цiй проблематицi займають дослiдження з нелiнiйної динамiки
тiл з порожнинами, якi частково заповненi рiдиною. В цьому на-
268 Луковський I.О., Мазко О. Г., Тимоха О. М.
прямку I.О. Луковський узагальнив метод Г.С. Нарiманова, в якому
використано iдеї методу теорiї збурень на випадок порожнини довiль-
ної осесиметричної форми. В цей перiод для випадку просторового
руху резервуара з рiдиною вiн запропонував варiацiйне формулюва-
ння задачi теорiї поверхневих хвиль, яке приводить до повної суку-
пностi рiвнянь руху, включаючи нелiнiйнi граничнi умови на вiльнiй
поверхнi рiдини. Цим було закладено основу для створення модаль-
ного методу в нелiнiйнiй теорiї руху твердого тiла з порожнинами,
частково заповненого рiдиною, який пiзнiше дiстав назву модально-
го методу Майлза-Луковського. Науковi роботи I.О. Луковського в
галузi прикладної механiки i ракетної технiки 1981 року вiдзначено
премiєю iм. академiка М.К. Янгеля Академiї наук УРСР (разом iз
В.Г. Сергєєвим). 1983 року за прикладнi дослiдження задач динамi-
ки i стiйкостi рухомих твердих i деформiвних тiл з рiдиною I.О. Лу-
ковський, Д.Г. Коренiвський, М.О. Пустовойтов i В.А. Троценко у
складi групи науковцiв i конструкторiв КБ Електроприладобудува-
ння (м. Харкiв) удостоєнi Державної премiї УРСР у галузi науки i
технiки.
Володимир Семенович Королюк.
Академiк Володимир Семенович Королюк � один iз перших
науковцiв України, хто оцiнив прикладне значення i роль в МПМ
теорiї ймовiрностi в цiлому i напiвмаркiвських процесiв зокрема. У
80-тi роки В.С. Королюк започаткував новий напрямок – асимпто-
тичний аналiз випадкових еволюцiй. Результати дослiджень iз цього
напрямку розвинено й пiдсумовано в монографiях “Стохастичнi мо-
делi систем” (1989 р.) i “Полумарковские случайные эволюции” (1992
р.).
Дослiдження з математичних проблем механiки в Iнститутi . . . 269
Володимир Миколайович
Кошляков (1922–2009).
Марiя Євдокимiвна
Темченко (1925–2000).
Дослiдження в Iнститутi за прикладною теорiєю гiроскопiв i тео-
рiї iнерцiальної навiгацiї проводив О.Ю. Iшлiнський, його учнi
(О.П. Бойчук, В.П. Василенко, В.М. Калинович, В.О. Стороженко,
М.Є. Темченко) i академiк Володимир Миколайович Кошляков.
Розглянуто геометрiю i кiнематику гiроскопiчних систем у кардано-
вих пiдвiсах, питання орiєнтацiї рухомих об’єктiв, що регулюються
гiроскопiчними приладами. Велика увага придiлена дослiдженню но-
вих явищ, пов’язаних з пружнiстю елементiв гiроскопiчних констру-
кцiй. Побудована теорiя рiзних гiровертикалей, гiроскопiчних стабiлi-
заторiв, гiрокомпасiв, гiроiнтегратора лiнiйних прискорень. Проведе-
нi дослiдження точностi i стiйкостi гiроскопiчних iнерцiальних систем
навiгацiї залежно вiд похибок їхнiх чутливих елементiв i умов експлу-
атацiї, дано обгрунтування нових принципових схем платформної й
безплатформної iнерцiальних навiгацiйних систем, створенi узагаль-
ненi алгоритми функцiонування iнерцiальних систем iз використа-
нням апарата кватернiонiв (комплексних чисел iз однiєю дiйсною i
трьома уявними одиницями), параметрiв Родрига-Гамiльтона i па-
раметрiв Кейлi-Клейна. За прикладнi дослiдження з динамiки гiро-
скопiчних систем удостоєнi Державної премiї СРСР: В.М. Кошляков
1976 року, М.Є. Темченко 1981 року (у складi групи московських до-
слiдникiв).
Марiя Євдокимiвна Темченко14 розв’язала задачу С.Л. Собо-
14Учениця О.Ю. Iшлiнського, захистила 1954 дисертацiю “Об устойчивости вра-
щения тел твердых и тел с жидким наполнением эллипсоидальной формы” (Дис.
... канд. физ.-мат. наук. � Киев: Институт математики АН УССР, 1954).
270 Луковський I.О., Мазко О. Г., Тимоха О. М.
лєва про рух дзиги з порожниною, яка цiлком заповнена iдеальною
нестисливою рiдиною, для порожнин двох конфiгурацiй (елiпсоїда
обертання i кругового цилiндра) простим i природним методом, ви-
користавши традицiйний апарат математичної фiзики. Вона досягла
кардинального спрощення задачi завдяки вдалому вибору системи
координат, зв’язавши її зi твердим обертаним тiлом. Поряд iз iнши-
ми питаннями стiйкостi руху твердого тiла, пiдвiшеного на струнi
й обертаного навколо вертикальної вiсi з великою кутовою швидкi-
стю, вона дослiдила питання про вплив довжини струни на стiйкiсть
обертального руху твердого тiла. При цьому зроблено аналiз двох
граничних переходiв: при необмеженому зменшеннi довжини струни
умови стiйкостi вироджуються у вiдомий критерiй Маєвського для
твердого тiла, обертаного навколо нерухомої точки, а при необмеже-
ному збiльшеннi довжини струни � у вiдомий критерiй Маєвського
для випадку руху снарядiв.
Математичне дослiдження поведiнки абсолютно твердого тiла з
накладеними на нього тими чи iншими в’язями i, зокрема, дослiдже-
ння стiйкостi стацiонарного обертання з великими кутовими швидко-
стями тiла, пiдвiшеного на iдеально гнучкiй нерозтяжнiй нитцi (стру-
нi), в Iнститутi математики розпочатi, як уже йшлося, в серединi
50-х рокiв, коли О.Ю. Iшлiнський iз учнями дослiджували стiйкiсть
вертикального обертання на струнi осесиметричного твердого тiла з
елiптичною i цилiндричною порожнинами, цiлком заповненими iде-
альною нестисливою рiдиною. В серединi 70-х рокiв iнтерес до задачi
про рух твердого тiла на струнному пiдвiсi зрiс у зв’язку iз запропоно-
ваною спiвробiтником Iнституту механiки АН УРСР С.В. Малашен-
ком iдеї використання такого пiдвiсу для динамiчного балансування
твердих тiл i, зокрема, унiкальних за габаритами i вагою виробiв, ба-
лансування яких звичайними способами важко здiйснювати (ротори
турбiн для електростанцiй, корпуси космiчних апаратiв тощо). Воло-
димир Олександрович Стороженко теоретично показав, що при
обертаннi пiдвiшеного на струнi тiла довiльної конфiгурацiї з доста-
тньо великою кутовою швидкiстю можлива така форма стацiонарно-
го руху, при якiй одна з його головних центральних осей iнерцiї дуже
близька до нерухомої вертикалi. Це створило можливiсть надзвичай-
но точно визначити розташування головної центральної вiсi iнерцiї
тiла.
Поява на початку 70-х рокiв малогабаритної електронної борто-
вої обчислювальної технiки зняла гостроту проблеми мiнiмiзацiї ваги
Дослiдження з математичних проблем механiки в Iнститутi . . . 271
Володимир Олександрович
Стороженко.
Данило Григорович Коренiв-
ський (1937–2014).
бортової апаратури й обчислювальних пристроїв у автоматi керуван-
ня дальнiстю польоту ракетних систем. Розвиваючи iдеї О.Ю. Iшлiн-
ського, на початку 80-х рокiв Данило Григорович Коренiвський15
розробив методи автономного iнерцiального наведення мiжконтинен-
тальних балiстичних ракет i ракет-носiїв космiчних апаратiв. Вiн та-
кож запропонував новi електромеханiчнi способи автономного iнерцi-
ального наведення. Зокрема встановлено, що у вертикальнiй площинi
польоту iснує косокутна система координат зi змiнним на промiж-
ку часу роботи реактивного двигуна розхилом координатних осей,
орiєнтацiя за якими осей чутливостi вимiрювачiв проекцiй “уявної”
швидкостi центра мас ракети дає можливiсть побудувати на борту
основне балiстичне рiвняння (функцiонал iнерцiального наведення)
в найпростiшому виглядi � у виглядi суми вимiрюваних на борту
ракети проекцiй “уявної” швидкостi центра мас на цi координатнi осi.
В 1960–70 роки велика увага придiлялася дослiдженням з мате-
матичної теорiї стiйкостi руху й нелiнiйної механiки, якiсної теорiї
диференцiальних, рiзницевих, диференцiально-рiзницевих та iнших
функцiональних рiвнянь, теорiї оптимального керування. В 70-тi ро-
ки минулого сторiччя в Iнститутi математики сформувався новий
конструктивний напрямок у теорiї стiйкостi � застосування мето-
дiв збурення (методу малого параметра тощо) при побудовi функцiй
15Cпiльно з Ю.А. Карпачовим: до 1981 р. спiвробiтник СКБ київського заводу
автоматики iм. Г.I. Петровського, у 1981–1986 рp. � спiвробiтник КБ Електропри-
ладобудування м. Харкова, вiдряджений КБЕ на цей перiод для наукової роботи
до Iнституту математики.
272 Луковський I.О., Мазко О. Г., Тимоха О. М.
Ляпунова для динамiчних систем, математичними моделями яких є
системи лiнiйних диференцiальних рiвнянь iз перiодичними i квазiпе-
рiодичними коефiцiєнтами i, зокрема, при побудовi розв’язкiв матри-
чного рiвняння Ляпунова, що супроводжує метод функцiй Ляпунова
для лiнiйних систем. Введено поняття канонiчної функцiї Ляпунова,
для побудови якої розроблено варiацiйнi методи (М.О. Пустовойтов,
О.Б. Ликова, О.А. Бойчук). У роботах А.М. Самойленка, Ю.О. Ми-
тропольського i В.Л. Кулика сформульовано i доведено абстрактний
принцип зведення в теорiї стiйкостi, що грунтується на дослiдженнi
траєкторiй динамiчних систем за допомогою знакосталих i знакозмiн-
них функцiй Ляпунова. За прикладнi розробки в галузi нелiнiйних
коливань 1980 р. Ю.О. Митропольському, В.М. Калиновичу i В.Б.
Ларiну присуджена Державна премiя УРСР.
Володимир Борисович Ларiн.
Остап Пилипович Бойчук
(1933–2002).
Остап Пилипович Бойчук розвинув новий метод дослiдження
стiйкостi й автоколивань нелiнiйних систем автоматичного керува-
ння i розв’язав деякi загальнi задачi теорiї оптимальних систем iз
особливостями в постановцi Р. Калмана. Фундаментальнi результати
вiн одержав у теорiї iнерцiальних систем навiгацiї. Вперше вказав на
загальний характер рiвнянь збуреного руху автономних iнерцiальних
систем, побудованих за рiзними принципами. Довiв у загальнiй по-
становцi теорему М. Шулера, що дало змогу закласти основи теорiї
класу нових iнерцiальних систем навiгацiї. 1990–91 рр. О.П. Бойчук
у спiвавторствi видав пiдручник iз теоретичної механiки у 2-х то-
мах. Науковi здобутки О.П. Бойчука вiдзначено Державною премiєю
України в галузi науки i технiки 1992 року й першою премiєю КПI
Дослiдження з математичних проблем механiки в Iнститутi . . . 273
за 1991 рiк.
Значний внесок науковцiв iнституту полягає в розв’язку проблем
керування роботосистемами (керiвник лабораторiї робототехнiчних
систем, професор Володимир Борисович Ларiн). Ними розробле-
но один iз можливих пiдходiв до розв’язку задачi синтезу систем ке-
рування рухом крокуючого апарата, який розглядається як система
зi змiнними в’язями. Описано ударнi процеси при накладаннi нових
в’язей (змiна опорних кiнцiвок, перехiд вiд одноопорної до двохо-
порної фази руху). Дослiдженi алгоритми керування нестацiонарни-
ми режимами руху (зрушення й зупинка, змiна програми руху, рух
за заданою дорiжкою, ходьба схiдцями тощо), розглянутi питання
оптимiзацiї цих алгоритмiв (В.Б. Ларiн, Б.А. Бордюг, К.I. Науменко,
А.Г. Тимошенко).
Широкий спектр наукових дослiджень i результатiв iз МПМ до
1990 року був обумовлений iстотним збiльшенням наукового потенцi-
алу Iнституту математики i його наукових вiддiлiв. Так, наприклад, у
вiддiлi динамiки та стiйкостi багатовимiрних систем, одному з трьох
вiддiлiв, у яких велися дослiдження за прикладними напрямками, на-
прикiнцi 1988 року працювало 4 докторiв i 5 кандидатiв наук. Збiль-
шення числа наукових працiвникiв вiддiлу вiдбувалося, здебiльшого,
завдяки виконанню вiддiлом додаткових науково-дослiдних робiт за
державним замовленням. На виконання тем Комiтет науки i технiки
СРСР видiляв на поповнення штатного складу вiддiлу цiльове бю-
джетне фiнансування в розмiрi 8-ми посад старшого наукового спiв-
робiтника. Треба вiдзначити особливi умови фiнансування теми: ви-
дiлене фiнансування цiєї теми залишалось у бюджетi Iнституту
математики “довiчно”.
Важливим фактором, що сприяв розвитку дослiджень з МПМ в
Iнститутi, було обрання у 1988 роцi його директором учня Ю.О. Ми-
ропольського академiка Анатолiя Михайловича Самойленка, ви-
датного математика, одного iз провiдних спецiалiстiв у галузi дифе-
ренцiальних рiвнянь, якому також належить низка фундаменталь-
них результатiв в нелiнiйнiй механiцi й теорiї стiйкостi. У рамках
дослiджень у галузi нелiнiйної механiки було, зокрема, обгрунтова-
но метод усереднення для систем iз повiльно змiнними частотами й
доведено новi теореми про iснування iнтегральних многовидiв резо-
нансних коливних систем, дослiджено поведiнку динамiчної системи
в околi перiодичної траєкторiї, знайдено умови звiдностi системи в
такому околi до системи зi квазiперiодичними коефiцiєнтами. Розро-
274 Луковський I.О., Мазко О. Г., Тимоха О. М.
Анатолiй Михайлович Самойленко.
блено класифiкацiю динамiчних систем, у яких можливi резонанснi
спiввiдношення мiж основними частотами, в основу якої покладена
iдея про зависання розв’язку в околi резонансних точок; розвинуто
конструктивну теорiю збурень, яка використовує принцип усереднен-
ня (згладжування) асимптотичного представлення в розумiннi Пуан-
каре й iтерацiйнi варiанти класичного методу Ляпунова–Пуанкаре16.
Вiктор Володимирович
Новицький.
Олександр Миколайович
Тимоха.
Дослiдження з МПМ в 1980–90 роки були зосередженi у трьох
вiддiлах Iнституту математики � вiддiлi звичайних диференцiальних
16Pезультати викладенi у трьох монографiях: "Багаточастотнi коливання нелi-
нiйних систем"(1998 р., автори: А.М. Самойленко, Р.I. Петришин); "Введение в
резонансную аналитическую динамику"(1999 р., автори: Ю.О. Митропольський,
Є.О. Гребєнiков, Ю.О. Рябов); "Математичнi аспекти теорiї нелiнiйних коли-
вань"(2004 р., автори: А.М. Самойленко, Р.I. Петришин).
Дослiдження з математичних проблем механiки в Iнститутi . . . 275
рiвнянь i теорiї коливань (завiдувач вiддiлу академiк А.М. Самойлен-
ко; створений 1987 р., вказана назва з 2000 р.), вiддiлi динамiки та
стiйкостi багатовимiрних систем (завiдувач вiддiлу I.О. Луковський),
вiддiлi аналiтичної механiки (завiдувач вiддiлу В.М. Кошляков, з
2004 р. � Вiктор Володимирович Новицький). 2016 року цi два
вiддiли об’єднано в один iз новою назвою “Математичнi проблеми
механiки та теорiї керування“. З 2017 року завiдувачем цього об’-
єднаного вiддiлу є учень академiка I.О. Луковського, чл.-кор. НАН
України Олександр Миколайович Тимоха.
Володимир Леонiдович Макаров.
Важливою подiєю стало також створення 1998 року вiддiлу об-
числювальної математики, який очолив академiк Володимир Ле-
онiдович Макаров. Це не тiльки дало можливiсть започаткувати
новi напрямки дослiджень iз обчислювальної механiки17 й виграти
низку сумiсних мiжнародних наукових грантiв, а й iнiцiювало ряд
цiкавих аналiтичних дослiджень, серед яких треба вiдзначити сумi-
снi роботи академiкiв В.М. Кошлякова й В.Л. Макарова, присвяченi
якiсним дослiдженням систем звичайних диференцiальних рiвнянь,
що виникають у гiроскопiчних задачах. Зокрема, вони розглянули за-
гальну задачу виключення неконсервативних позицiйних структур iз
диференцiальних рiвнянь другого порядку з постiйними матричними
коефiцiєнтами за припущень, що матрицi дисипативних i неконсерва-
тивних позицiйних структур можуть бути виродженими. За доволi
17Репрезентативною є книжка Gavrilyuk, I.P., Lukovsky, I.A., Makarov, V.L., Ti-
mokha, A.N. 2006 Evolutional problems of the contained fluid. Kiev: Publishing House
of the Institute of Mathematics of NASU. – 2006. – 233 p.
276 Луковський I.О., Мазко О. Г., Тимоха О. М.
загальних припущень доведено теореми, якi дають необхiднi й до-
статнi умови iснування перетворення Ляпунова, яке зводить вихiдне
рiвняння до еквiвалентного (в сенсi Ляпунова) автономного виду з
симетричною матрицею позицiйних сил.
Пiсля розпаду 1991 року СРСР i проголошення незалежностi Укра-
їни i сама країна, i її державний устрiй змiнилися. Природно, що
вiдбулася й iстотна корекцiя наукової тематики Iнституту математи-
ки. Незважаючи на зацiкавленiсть таких вiдомих iнституцiй, як КБ
”Пiвденне” i ”Хартрон”, обiрвалося фiнансовання прикладних мате-
матичних програм, якi були пов’язанi з вiйськово-промисловим ком-
плексом i з космiчними дослiдженнями й технологiями. Це було ха-
рактерним не лише для традицiйної тематики iнституту, а й для но-
вих проривних напрямкiв дослiджень, до яких належить створена у
1980-тi роки теорiя вiбрацiйної гiдродинамiки з вiльною поверхнею,
яка належить академiку I.О. Луковському i чл.-кор. О.М. Тимосi.
Ця теорiя могла привести до принципово нових космiчних техноло-
гiй, серед яких отримання надчистих матерiалiв, але брак коштiв
унеможливив її практичну перевiрку й реалiзацiю наприкiнцi 1980-
х рокiв. Iдучи паралельним шляхом, вiдповiднi систематичнi експе-
рименти на пiдтвердження положень такої теорiї провiв науковець-
астронавт Тейлор Ванг на борту космiчної лабораторiї (США) 1996 р.
Це призвело до часткової втрати наукового прiоритету, який вдало-
ся частково вiдвоювати лише впродовж минулих п’яти рокiв завдяки
вiдповiдним європейським експериментальним програмам i активнiй
спiвпрацi авторiв iз європейськими науковцями.
1980-тi роки, а також роки незалежностi, незважаючи на брак
фiнансування, виявилися досить плiдними для дослiджень у галу-
зi МПМ. Подальшого розвитку набув модальний метод дослiджен-
ня нелiнiйних коливань рiдини в баках рiзної геометричної форми,
який запропонували I.О. Луковський, О.М. Тимоха, О.В. Солодун.
На основi варiацiйних принципiв механiки й гiпотези Релея про при-
роду сил тертя в рiдинi побудовано нелiнiйну математичну модель у
задачах про вiльнi й вимушенi коливання в’язкої нестисливої рiдини
пiд дiєю гравiтацiйних i iнерцiйних сил (I.О. Луковський). Разом iз
науковцями з Норвегiї18 й ФРН проведено цiлеспрямованi дослiдже-
18Стаття Faltinsen O.M., Rognebakke O.F., Lukovsky I.A., Timokha A.N. “Multi-
dimensional modal analysis of nonlinear sloshing in a rectangular tank with finite
water depth” (Journal of Fluid Mechanics, 407, p. 201–234) стала найцитованiшою
статтею за участю науковцiв Iнституту математики за всю його iсторiю (згiдно
Дослiдження з математичних проблем механiки в Iнститутi . . . 277
ння щодо типу резонансних нелiнiйних усталених рухiв рiдини в кон-
тейнерах рiзної геометрiї. Дослiдження за цим науковим напрямком
також висвiтленi в монографiях: “Введение в нелинейную динамику
твёрдого тела с полостями, содержащими жидкость” (1990, I.О. Лу-
ковський), “Вариационные методы в нелинейных задачах динамики
ограниченного объёма жидкости” (1995, I.О. Луковський, О.М. Тимо-
ха), “Колебания жидкости в подвижных емкостях с перегородками”
(2006, В.А. Троценко), “Sloshing” (2009, О.М. Тимоха, O. Faltinsen;
Cambridge University Press), “Математические модели нелинейной ди-
намики твердых тел с жидкостью” (2010, I.О. Луковський), “Nonlinear
dynamics. Mathematical models for rigid bodies with a liquid” (2015,
I.О. Луковський; De Gruyter). За цикл дослiджень iз математичних
проблем аналiтичної механiки суцiльних середовищ I.О. Луковсько-
му й О.М. Тимосi присуджена премiя iм. академiка М.М. Крилова
НАН України за 2001 рiк. 2012 р. разом зi групою iнших науковцiв
О.М. Тимоха отримав Державну премiю України в галузi науки i те-
хнiки, а I.О. Луковський � премiю НАН України iменi академiкiв
М.М. Боголюбова i М.О. Лаврентьєва.
Олексiй Григорович Мазко.
В роботах Олексiя Григоровича Мазка 1980�2000 рокiв побу-
довано аналоги матричного рiвняння Ляпунова для широкого кла-
су лiнiйних динамiчних систем. Застосовуючи оператори Крейна–
Далецького, максимально узагальнено теореми Ляпунова й Остров-
ського-Шнайдера про локалiзацiю спектра матрицi. Узагальнене рiв-
няння Ляпунова застосовано в задачах стабiлiзацiї й оптимiзацiї си-
Scopus).
278 Луковський I.О., Мазко О. Г., Тимоха О. М.
стем керування за умов розмiщення спектра в заданiй областi. Роз-
виваючи матричнi iнтерпретацiї другого методу Ляпунова, створено
узагальнену теорiю iнерцiї лiнiйних матричних рiвнянь. Узагаль-
нено результати Хiлла i Шнайдера про розподiл спектра матричних
сiмей, а також деякi класичнi результати з матричного аналiзу, зокре-
ма закон iнерцiї Сiльвестра i формули для рангу й iнерцiї блокових
матриць. Сформульовано блочнi спектральнi задачi для матричних
функцiй, описано їхнiй зв’язок iз узагальненим рiвнянням Ляпунова
i структурою розв’язкiв динамiчних систем i, як наслiдок, побудова-
но алгебраїчнi критерiї стiйкостi й локалiзацiї спектра вироджених
диференцiальних i рiзницевих систем довiльного порядку й лiнiй-
них систем iз запiзненням. Узагальнено теореми типу Томсона–Тета–
Четаєва про стiйкiсть механiчних систем у формi Лагранжа. У спiв-
працi з фахiвцями Бiлоруського теплоенергетичного iнституту i Ки-
ївського технiчного унiверситету розроблено комплекс програм ана-
лiзу стiйкостi електроенергетичних систем, реалiзований у Мiнiстер-
ствi енергетики Бiлорусi впродовж 1997�2002 рр. Роботи О.Г. Маз-
ка 2000�2010 рр. присвячено теорiї динамiчних систем у напiвупо-
рядкованому просторi. Узагальненi класи позитивних i монотонних
систем у банаховому просторi описано в термiнах лiнiйних функцiо-
налiв i похiдних за конусом вiд нелiнiйних операторiв. У термiнах
позитивно оборотних операторiв встановлено умови експоненцiальної
стiйкостi станiв рiвноваги лiнiйних i нелiнiйних позитивних систем.
Розроблено метод побудови iнварiантних множин динамiчних систем
у виглядi конусних нерiвностей. Метод векторних функцiй Ляпуно-
ва узагальнено як принцип порiвняння за конусом сiмей динамiчних
систем. Останнi роботи О.Г. Мазка присвячено сучасним проблемам
теорiї керування. Розроблено новi методи робастної стабiлiзацiї за
виходом неперервних i дискретних систем керування. Встановлено
критерiї робастної стiйкостi й оцiнки квадратичних критерiїв яко-
стi нелiнiйних систем керування з матрично-функцiональними не-
визначеностями. Узагальнено задачу H∞-оптимiзацiї керованих си-
стем з критерiями якостi, що характеризують зважений рiвень гасi-
ння зовнiшнiх i початкових збурень. Запропоновано алгоритми по-
будови H∞-оптимальних динамiчних регуляторiв, що зводяться до
розв’язання лiнiйних матричних нерiвностей. Цi результати дозво-
ляють будувати стабiлiзуючi регулятори в системах керування, якi
гарантують високу надiйнiсть їх функцiонування в реальних умовах.
Основнi науковi здобутки О.Г. Мазка вiдзначено Державною премiєю
Дослiдження з математичних проблем механiки в Iнститутi . . . 279
України в галузi науки i технiки (2008) i премiєю НАН України iм.
М.В. Остроградського (2018). Вiн є автором трьох монографiй19.
У дослiдженнях О.Н. Комаренка для загальної задачi трансмiсiї
(крайової задачi з розривними коефiцiєнтами) побудовано аналог спе-
ктральної теорiї. Доведено теореми про iзоморфiзм (взаємно однозна-
чне вiдображення) для таких задач iз операторами рiзних порядкiв за
умов спряження. Ця теорiя застосовується, зокрема, при розв’язаннi
задач фiльтрацiї рiдини в середовищах неоднорiдної густини.
Володимир Антонович Троценко. Юрiй Володимирович Троценко.
У працях Володимира Антоновича Троценка i Юрiя Воло-
димировича Троценка розвинуто варiацiйний метод розв’язання
задачi про вiльнi коливання оболонок обертання, який має однако-
ву збiжнiсть як при середнiх, так i при малих значеннях вiдносної
товщини оболонок. Координатнi функцiї в методi Рiтца будуються з
урахуванням структури формальних асимптотичних розкладiв фун-
даментальної системи розв’язкiв в околi особливих точок вихiдної
системи диференцiальних рiвнянь. Отриманий алгоритм розрахунку
власних коливань оболонки забезпечує збiжнiсть у рiвномiрнiй ма-
трицi як самих розв’язкiв, так i їхнiх перших чотирьох похiдних у всiй
областi iнтегрування рiвнянь. У дослiдженнях Ю.В. Троценка побу-
дована загальна математична модель динамiчної взаємодiї оболонок
обертання зi приєднаним до одного з її торцiв абсолютно твердим
тiлом скiнченних розмiрiв. Запропоновано метод побудови наближе-
19“Локализация спектра и устойчивость динамических систем” (1999), “Matrix
eguations, spectral problems and stability of dynamic systems” (2008, Cambridge Sci-
entific Publishers Ltd), “Робастная устойчивость и стабилизация динамических
систем. Методы матричных и конусных неравенств” (2016).
280 Луковський I.О., Мазко О. Г., Тимоха О. М.
них розв’язкiв задачi на власнi значення, яка виникає при цьому.
Дослiджено границi застосувань спрощених постановок розглядува-
ної задачi, якi базуються на балковiй апроксимацiї згинних коливань
оболонок. Творчi здобутки В.А. Троценка 1970–80 рокiв пiдсумова-
но в монографiї “Взаимодействие тонкостенных упругих элементов с
жидкостью в подвижных полостях” (И.А. Луковский, В.А. Троцен-
ко, В.И. Усюкин; АН УССР, Ин-т математики. � Киев: Наук. думка,
1989. � 239 c.).
Михайло Якимович Барняк.
У роботах Михайла Якимовича Барняка отримано серiю ре-
зультатiв iз математичних проблем гiдромеханiки невагомостi, роз-
винуто унiкальнi наближено-аналiтичнi методи побудови розв’язкiв
задачi про власнi коливання iдеальної рiдини в посудинах складної
форми за допомогою кусково-гармонiйних функцiй, якi неперервнi в
областi, а їхнi першi частиннi похiднi можуть витримувати розрив на
поверхнях роздiлу пiдобластей, а також системи гармонiйних фун-
кцiй, якi задовольняють умову непротiкання на сферичнiй поверхнi
крiм верхнього полюса. М.Я. Барняк запропонував варiацiйний ме-
тод побудови розв’язкiв задачi про власнi коливання фiзичного ма-
ятника з порожниною, частково заповненою рiдиною, а також бага-
тошаровою рiдиною. Вiн запропонував методи дослiдження власти-
востей розв’язкiв крайових спектральних задач, якi описують власнi
коливання в’язкої рiдини в осесиметричних порожнинах, i алгори-
тми побудови наближених розв’язкiв цих задач задовiльних значень
коефiцiєнтiв об’ємної в’язкостi, а також за врахування поверхневої
в’язкостi.
У прикладнiй теорiї гiроскопiв i теорiї iнерцiальної навiгацiї роз-
Дослiдження з математичних проблем механiки в Iнститутi . . . 281
роблено методи дослiдження стiйкостi важкого твердого тiла, яке
обертається навколо своєї осi, зокрема метод пружинно-масової ана-
логiї й енергетичний метод; на основi непозицiйної системи залишко-
вих класiв дослiджено рiзноманiтнi задачi (серед них i задачi стiйко-
стi) систем iнерцiальної навiгацiї напiваналiтичного типу з використа-
нням елементiв скiнченних поворотiв, параметрiв Кейлi-Клейна i сте-
реографiчного проектування; розроблено методи структурної деком-
позицiї й керування гiроскопiчними системами; обгрунтовано допу-
стимiсть застосування рiвнянь прецесiйної теорiї до нестацiонарних
гiроскопiчних систем (О.Ю. Iшлiнський, В.О. Стороженко, М.Є. Тем-
ченко, В.М. Кошляков, С.П. Сосницький, С.М. Онищенко, В.В. Но-
вицький, К.I. Науменко)20.
В роки незалежностi продовжено дослiдження з динамiки пiдвi-
шеного на струнi твердого тiла, що обертається з великою куто-
вою швидкiстю21, i розпочато дослiдження особливостей бiфуркацiй-
них процесiв у системi пiдвiшених, динамiчно симетричних i несиме-
тричних твердих тiл, якi послiдовно зв’язанi мiж собою за допомо-
гою шарнiрiв Кардана–Гука (“струнний” пiдвiс) i швидко обертаю-
ться. Побудовано знаковизначений iнтеграл для системи звичайних
диференцiальних рiвнянь другого порядку з гiроскопiчними члена-
ми, аналогiчно до гiроскопiчного iнтегралу М.Г. Четаєва, побудова-
ному ранiше для простiшої системи диференцiальних рiвнянь. 1996 р.
О.Ю. Iшлiнський, В.О. Стороженко i М.Є. Темченко удостоєнi Дер-
жавної премiї Росiйської федерацiї в галузi науки i технiки.
Результати з математичної теорiї стiйкостi руху динамiчних
систем при стохастичних збуреннях параметрiв та iнших систем
у 1988�2011 роки поповнились такими досягненнями (Д.Г. Коренiв-
ський22). За допомогою методу стохастичних функцiоналiв Ляпунова–
20Результати дослiджень частково опублiкованi в монографiї О.Ю. Iшлiнсько-
го, В.О. Стороженка i М.Є. Темченко “Исследование устойчивости сложных ме-
ханических систем” (2002 р., роздiли 4, 5) i в книжцi “Керування гiроскопiчними
системами та iншi задачi аналiтичної механiки” (2008 р., автор В.В. Новицький).
21 Результати дослiджень вiдображенi в монографiях: “Исследование устой-
чивости сложных механических систем” (2002 р., автори: О.Ю. Iшлiнський,
В.О. Стороженко, М.Є. Темченко), “Стационарные движения в задаче определе-
ния главных осей инерции неоднородных твердых тел” (2007 р., автор В.О. Сто-
роженко).
22Монографiї “Дестабiлiзуючий ефект параметричного бiлого шуму в неперерв-
них та дискретних динамiчних системах” (2006), “Дестабилизирующий эффект
параметрического белого шума в непрерывных и дискретных динамических си-
стемах” (2008), “Стiйкiсть розв’язкiв систем рiзницевих рiвнянь при стохастичних
282 Луковський I.О., Мазко О. Г., Тимоха О. М.
Красовського й апарата матричних алгебраїчних рiвнянь Сiльвестра
розроблено коефiцiєнтнi критерiї абсолютної (за сталим запiзненням
аргумента) асимптотичної стiйкостi в середньому квадратичному ди-
намiчних систем iз запiзненням, математичними моделями яких є
системи лiнiйних i спецiальних квазiлiнiйних (Лур’є–Постнiкова) ди-
ференцiально-рiзницевих рiвнянь запiзнювального i нейтрального ти-
пiв зi збуреними стохастичним процесом типу “бiлого” шуму коефi-
цiєнтами. За допомогою матричних рiвнянь Сiльвестра виявлено i
дослiджено дестабiлiзуючий ефект параметричних збурень типу “бi-
лого” шуму в лiнiйних, спецiальних квазiлiнiйних й iстотно нелiнiй-
них неперервних i дискретних динамiчних системах.
Степан Петрович Сосницький. Сергiй Михайлович Онищенко.
Наукова дiяльнiсть Степана Петровича Сосницького присвя-
чена теорiї стiйкостi динамiчних систем: гiроскопiчних, консерватив-
них i систем небесної механiки. Зокрема, дослiджено вплив параме-
тричного резонансу на функцiонування гiроскопiчних компасiв. Зго-
дом цi дослiдження узагальнено на бiльш широкi класи параметри-
чно збурюваних динамiчних систем, зокрема, на граничнi випадки
параметричних збурень, коли вони зi плином часу змiнюються або
дуже повiльно, або дуже швидко. Дослiджено стiйкiсть рiвноваги
квазiлiнiйних систем у стандартнiй формi Боголюбова, виокремлено
класи систем, для яких удається визначити порогове значення мало-
го параметра, що забезпечує на нескiнченному iнтервалi часу якiсну
збуреннях їх коефiцiєнтiв. Алгебраїчнi критерiї” (2010), “Устойчивость решений
систем дифференциальных уравнений при возмущениях их коэффициентов бе-
лым и цветным шумами. Алгебраические критерии” (2012).
Дослiдження з математичних проблем механiки в Iнститутi . . . 283
вiдповiднiсть мiж розв’язками вихiдної системи рiвнянь i розв’язка-
ми усередненої системи. Для дослiдження стiйкостi консервативних
систем застосовано як певний аналог функцiї Ляпунова функцiю дiї
за Гамiльтоном. За її допомогою встановлено умови обернення вiдо-
мих теорем Лагранжа–Дiрiхле й Рауса i, як наслiдок, запропоновано
просте доведення вiдомої теореми Iрншоу про нестiйкiсть статичної
конфiгурацiї електричних зарядiв. Виокремлено клас неголономних
систем, для яких iснує iнтегральний iнварiант. Доведено орбiтальну
нестiйкiсть лагранжевих розв’язкiв у задачi трьох тiл. Введено поня-
ття дистальностi руху в задачi трьох тiл i показано важливiсть цiєї
властивостi, коли мова iде про обмеженiсть руху. Отримано достатнi
умови стiйкостi руху за Лагранжем та Хiллом у загальному випадку
задачi трьох тiл. У випадку обмеженої кругової задачi трьох тiл, ко-
ли виконується умова Хiлла, доведено обмеженiсть руху тiла з малою
масою у просторовому й у плоскому випадках. У випадку обмеженої
плоскої елiптичної задачi трьох тiл отримано достатнi умови стiйко-
стi руху за Лагранжем тiла з малою масою. Вiн є автором монографiї
23.
У математичнiй теорiї керування динамiчними системами запро-
поновано i розроблено новий конструктивний метод “жорсткого” син-
тезу нелiнiйних систем стабiлiзацiї, дослiджено його можливостi й
ефективнiсть реалiзацiї для задач спостереження нелiнiйних систем
за умов невизначеностi, оптимальної стабiлiзацiї математичного мая-
тника у верхньому (нестiйкому) станi рiвноваги, стабiлiзатора напру-
ження, кутової оптимальної стабiлiзацiї штучного супутника Землi
“Сiч-2” (Сергiй Михайлович Онищенко).
Зараз дослiдження з МПМ зосередженi переважно у вiддiлi мате-
матичних проблем механiки та теорiї керування (зав. вiддiлу � член-
кор. О. М. Тимоха), що тiсно спiвпрацює щодо актуальних проблем
обчислювальних методiв механiки з вiддiлом обчислювальної матема-
тики (зав. вiддiлу � академiк В. Л. Макаров). Працює сумiсний на-
уковий семiнар “Математичнi проблеми механiки та обчислювальна
математика”, який очолюють академiки I.О. Луковський i В. Л. Ма-
каров.
I.О. Луковський, О.Г. Мазко, О.М. Тимоха
Iнститут математики НАН України, Київ
23 “Функцiя дiї за Гамiльтоном та стiйкiсть руху консервативних систем” (2002).
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-434 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:07:19Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/2a/670fe333799ab14db0fb63659820fa2a.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-4342020-08-10T19:26:13Z Development of mathematics problems of mechanics in IM NAS of Ukraine Дослiдження з математичних проблем механiки в Iнститутi математики НАН України Дослiдження з математичних проблем механiки в Iнститутi математики НАН України Lukovsky, І.О. Timokha, A.N. Mazko, A.G. Луковский, И.А. Тимоха, А.Н. Мазко, А.Г. Луковський, І.О. Тимоха, О.М. Мазко, О.Г. Історичні нариси Історичні нариси Історичні нариси Інститут математики НАН України 2020-08-10 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/434 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 15 No. 1 (2018): Mathematical problems of mechanics and computational mathematics ; 247-283 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 15 № 1 (2018): Математические проблемы механики и вычислительной математики ; 247-283 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 15 № 1 (2018): Математичнi проблеми механiки та обчислювальної математики; 247-283 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/434/429 Авторське право (c) 2020 І.О. Луковський, О.М. Тимоха, О.Г. Мазко http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Lukovsky, І.О. Timokha, A.N. Mazko, A.G. Луковский, И.А. Тимоха, А.Н. Мазко, А.Г. Луковський, І.О. Тимоха, О.М. Мазко, О.Г. Development of mathematics problems of mechanics in IM NAS of Ukraine |
| title | Development of mathematics problems of mechanics in IM NAS of Ukraine |
| title_alt | Дослiдження з математичних проблем механiки в Iнститутi математики НАН України Дослiдження з математичних проблем механiки в Iнститутi математики НАН України |
| title_full | Development of mathematics problems of mechanics in IM NAS of Ukraine |
| title_fullStr | Development of mathematics problems of mechanics in IM NAS of Ukraine |
| title_full_unstemmed | Development of mathematics problems of mechanics in IM NAS of Ukraine |
| title_short | Development of mathematics problems of mechanics in IM NAS of Ukraine |
| title_sort | development of mathematics problems of mechanics in im nas of ukraine |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/434 |
| work_keys_str_mv | AT lukovskyío developmentofmathematicsproblemsofmechanicsinimnasofukraine AT timokhaan developmentofmathematicsproblemsofmechanicsinimnasofukraine AT mazkoag developmentofmathematicsproblemsofmechanicsinimnasofukraine AT lukovskijia developmentofmathematicsproblemsofmechanicsinimnasofukraine AT timohaan developmentofmathematicsproblemsofmechanicsinimnasofukraine AT mazkoag developmentofmathematicsproblemsofmechanicsinimnasofukraine AT lukovsʹkijío developmentofmathematicsproblemsofmechanicsinimnasofukraine AT timohaom developmentofmathematicsproblemsofmechanicsinimnasofukraine AT mazkoog developmentofmathematicsproblemsofmechanicsinimnasofukraine AT lukovskyío doslidžennâzmatematičnihproblemmehanikivinstitutimatematikinanukraíni AT timokhaan doslidžennâzmatematičnihproblemmehanikivinstitutimatematikinanukraíni AT mazkoag doslidžennâzmatematičnihproblemmehanikivinstitutimatematikinanukraíni AT lukovskijia doslidžennâzmatematičnihproblemmehanikivinstitutimatematikinanukraíni AT timohaan doslidžennâzmatematičnihproblemmehanikivinstitutimatematikinanukraíni AT mazkoag doslidžennâzmatematičnihproblemmehanikivinstitutimatematikinanukraíni AT lukovsʹkijío doslidžennâzmatematičnihproblemmehanikivinstitutimatematikinanukraíni AT timohaom doslidžennâzmatematičnihproblemmehanikivinstitutimatematikinanukraíni AT mazkoog doslidžennâzmatematičnihproblemmehanikivinstitutimatematikinanukraíni |