Natural sloshing in toroidal tanks
A variational Ritz-Trefts method for constructing an approximate solution of a spectral problem describing free oscillations of an ideal fluid in toroidal tanks is developed. A complete family of particular solutions of polynomial type are adopted as a functional basis. The natural frequencies an...
Saved in:
| Date: | 2020 |
|---|---|
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2020
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/436 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552936254472192 |
|---|---|
| author | Solodun, O.V. Солодун, А.В. Солодун, O.B. |
| author_facet | Solodun, O.V. Солодун, А.В. Солодун, O.B. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "А.В. Солодун",
"institution": "Институт математики НАН Украины"
}
] |
| author_sort | Solodun, O.V. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-09T20:39:45Z |
| description |
A variational Ritz-Trefts method for constructing an approximate solution of a spectral problem describing free oscillations of an ideal fluid in toroidal tanks is developed. A complete family of particular solutions of polynomial type are adopted as a functional basis. The natural frequencies and modes in the considered cavity over a wide range of geometric parameters are calculated.
|
| first_indexed | 2026-08-04T01:07:21Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2019, т. 16, № 2, 140–155
УДК 534.141:532.595
Собственные колебания жидкости в
тороидальных баках ⇤
А.В. Солодун
Институт математики НАН Украины, Киев;
solodun@imath.kiev.ua
A variational Ritz-Tre↵ts method for constructing an approximate solution
of a spectral problem describing free oscillations of an ideal fluid in toroidal
tanks is developed. A complete family of particular solutions of polynomial
type are adopted as a functional basis. The natural frequencies and modes
in the considered cavity over a wide range of geometric parameters are
calculated.
Розвинуто варiацiйний метод Рiтца-Трефтца побудови наближеного
розв’язку спектральної задачi, що описує вiльнi коливання iдеальної
рiдини в резервуарах у формi тороїдальних бакiв. В якостi координа-
тного базису виступає повне сiмейство частинних розвязкiв полiномi-
ального типу. Пораховано власнi частоти i форми коливань у розгля-
дуванiй порожнинi в широкому дiапазонi геометричних параметрiв.
Введение
При проектировании конструкций, имеющих в своём составе значи-
тельные массы жидких грузов, возникает целый комплекс проблем,
связанных с их прочностью и устойчивостью. Основными здесь ста-
новятся проблемы определения частот и форм свободных колебаний
жидкости. Эти силы играют важную роль при составлении уравне-
ний движения механической системы в целом и прогнозировании на
их основе динамического поведения конструкций при воздействии
на неё различных внешних возмущающих факторов (вибрационно-
го, сейсмического и прочего характера).
Традиционно эти проблемы возникают в авиационной и ракетно-
космической технике. С ними приходится сталкиваться при создании
танкеров для транспортировки нефтепродуктов и сжиженных газов,
⇤Работа выполнена при частичной поддержке НИР № 0117U004077
c� Солодун А. В., 2019
Собственные колебания жидкости в тороидальных баках 141
а также при исследовании прочности и устойчивости железнодорож-
ных цистерн. В последние годы исследования по динамике твёрдых
тел с жидкостью пополнились новыми постановками задач в связи с
проектированием новых морских жидкостно-наполненных механиче-
ских объектов в виде рыбных ферм. Эти исследования направлены
на обеспечение их надёжного функционирования в экстремальных
условиях.
В общем случае не существует точных методов решения задачи о
колебаниях жидкости в тороидальных баках. Главным образом, для
нахождения приближённых собственных частот и форм колебаний
опираются на методы конечных и граничных элементов. Существует
ряд экспериментальных работ, исследующих колебания в тороидаль-
ных полостях [14, 15].
Следует отметить, что в даном случае удаётся использовать ме-
тод разделения переменных для решения задач о колебаниях жид-
кости в тороидальных баках, оставаясь в рамках гипотез линейной
теории. Методом разделения переменных решения задачи удаётся
представить через степенные функции и присоединённые функции
Лежандра первого и второго рода. Об особенностях применения этих
результатов в теории движения тел с жидкостью речь идёт в рабо-
тах [1, 5, 8, 9, 13] и др. К этой задаче может быть применима также
методология нахождения решений в случае полостей с невертикаль-
ными стенками работ [2, 3, 6, 7, 12,17,18].
В настоящей работе обсуждается численно-аналитический метод
определения частот и форм собственных колебаний жидкости в торо-
идальных резервуарах, основанных на вариационных формулировках
соответствующих краевых задач. В качестве координатных функций
в вариационном методе Ритца-Трефтца используются классические
гармонические функции (полиномы).
Метод численно реализован в широком диапазоне геометрических
параметров тороидальных полостей. Результаты вычислительных экс-
периментов поданы в виде таблиц и графических зависимостей. Они
доставляют полное представление о практической сходимости пред-
ложенного метода и границах его применимости. Приближённые ре-
шения найдены в аналитическом виде, пригодном для их использова-
ния при построении малоразмерных нелинейных модальных систем
методами работ [10, 11,16,18].
142 Солодун А. В.
1 Постановка задачи
Рис 1. Гидростатическое положение жидкости в тороидальных баках.
Рассмотрим безвихревые волновые движения идеальной несжима-
емой жидкости, частично заполняющей покоящийся абсолютно жёст-
кий бак тороидального типа, размещённый в горизонтальной плоско-
сти, как показано на рис. 1. Ось вращения тора совпадает с осью Ox.
Здесь через R обозначен радиус от центра тора до центра образую-
щей, а через r – радиус образующей окружности. Вектор ускорения
сил гравитации ~g направлен вниз вдоль оси тора.
Гидростатическое положение жидкости под действием сил тяже-
сти совпадает с областью Q0, изображённой на рисунке. Смачивае-
мые стенки сосуда S, при этом невозмущённая свободная поверхность
жидкости, обозначенная через ⌃0, совпадает с плоскостью изобра-
женной на рисунке голубым цветом. Начало декартовой системы ко-
ординат Oxyz размещено в центре тора O, причём ось Ox направлена
вертикально вверх.
В качестве характерного линейного размера выбран радиус обра-
зующей окружности тора r. Соотношение радиусов �R = r/R (R � r)
становится геометрической характеристикой бака, а соотношение �H
к удвоенному радиусу r тогда будет характеристикой заполнения ба-
ка (�H = h/2r). В частности, предел H ! 0 влечёт к нулевому объёму
бака, а при H ! 1 бак стремится к тороидальной полости.
Как известно [5, 13], линеаризованная задача о малых свободных
колебаниях жидкости в покоящемся сосуде имеет следующий вид:
�� = 0 в Q0,
@�
@⌫
= 0 на S,
@�
@x
=
@f
@t
,
@�
@t
+ gf = 0 на ⌃0 (1)
при дополнительном условии
Z
⌃0
@�
@x
dS = 0, где �(x, y, z, t) – потен-
Собственные колебания жидкости в тороидальных баках 143
циал скоростей, x = f(y, z, t) – уравнение возмущённой свободной
поверхности, ~⌫ – орт внешней нормали к границе S, g – ускорение
сил тяжести. Кроме этого, общая постановка эволюционной краевой
задачи (1) предполагает подчинения её решений начальным условиям
f(y, z, t0) = F0(y, z),
@f
@t
(y, z, t0) = F1(y, z), (2)
где некоторые известные функции F0 и F1 задают начальное откло-
нение свободной поверхности жидкости и распределение скоростей
на ней в начальный момент времени t = t0.
Путём дифференцирования последнего условия по t два условия
на ⌃0 задачи (1) обычно заменяют одним и сводят задачу (1) к рас-
смотрению следующей краевой задачи:
�� = 0 в Q0,
@2�
@t2
+ g
@�
@x
= 0 на ⌃0,
@�
@⌫
= 0 на S. (3)
2 Задача о собственных колебаниях и соответству-
ющая ей спектральная задача
Практический интерес представляет задача о собственных гармони-
ческих колебаниях жидкости.
Собственные колебания жидкости (стоячие волны) описываются
в этом случае решениями задачи (1) вида
�(x, y, z, t) = (x, y, z) exp(i�t), i
2 = �1, (4)
причём частота собственных колебаний � и соответствующая ей фор-
ма (мода) (x, y, z) определяется как решения следующей базовой
спектральной задачи:
� = 0 в Q0,
@
@x
= { на ⌃0,
@
@⌫
= 0 на S,
Z
⌃0
@
@x
dS = 0, (5)
где параметр {, именуемый в этом классе задач частотным пара-
метром, определяется соотношением { = �2/g. Для задачи на соб-
ственные значения (5) существует бесконечная последовательность
собственных значений {n (0 < {1 {2 . . . {n . . . ,), сходя-
щаяся на бесконечности ({n ! 1, n ! 1), и каждому собствен-
ному значению {n соответствует конечное число собственных функ-
ций n(x, y, z) [5, 13]. Тот факт, что система собственных функций
144 Солодун А. В.
n задачи (5) образует на невозмущённой свободной поверхности ⌃0
вместе с константой полную систему функций, играет в теории коле-
баний жидкости фундаментальную роль.
Задача на собственные значения с параметром в граничном усло-
вии (5) допускает соответствующую эквивалентную ей вариационную
формулировку, связанную с функционалом
K(') =
Z
Q0
(r )2dQ
,Z
⌃0
2dS, (6)
определённом на классе функций 2 W 1
2 (Q0) при дополнительном
условии
R
⌃0
dS = 0.
В соответствии с общей схемой, изложенной в работах [5,13], вари-
ационная задача на минимум для функционала (6) позволяет после-
довательно определить все собственные числа и собственные функ-
ции задачи (5), обладающие свойствами обобщённых решений в смыс-
ле интегрального соотношения
Z
Q0
(r n,r⌘)dQ� {n
Z
⌃0
n⌘d⌃0 = 0
при любой функции ⌘ 2 W 1
2 (Q).
В соответствии с общей схемой Ритца-Трефтца для первого соб-
ственного значения {1 и собственной функции 1 имеем {1 = minF ( ),
( 2 W 1
2 (Q)) при условии
R
⌃0
2d⌃0 = 1, а для последующих соб-
ственных значений имеем {n = minF ( ), ( 2 W 1
2 (Q)) при том же
условии и дополнительных условиях ортогональности
Z
⌃0
kd⌃0 =
0 (k = 1, . . . , n� 1).
К решению вариационной задачи применим метод Ритца. Систему
координатных функций выбираем в пространстве W 1
2 (Q) при усло-
вии полноты и линейной независимости её элементов. Приближённые
решения ищем в виде линейной комбинации
n =
qX
k=1
akwk, wk 2 W 1
2 (Q). (7)
Для определения коэффициентов ak из условия минимума функцио-
Собственные колебания жидкости в тороидальных баках 145
нала K( ) (6) получаем систему Ритца
qX
k=1
ak(↵ik � {�ik) = 0, i, k = 1, . . . , q, (8)
где
↵ik =
Z
Q0
(rwi,rwk)dQ, �ik =
Z
⌃0
wiwkd⌃0.
Приближённые значения собственных чисел {n определяем из урав-
нения
det|↵ik � {�ik| = 0, (9)
которое представляет собой необходимое условие разрешимости си-
стемы линейных алгебраических уравнений (8).
2.1 Частные решения полиномиального типа
x
R r
-h
-H
!
O
C
r
0
L
0
L
1
L
2
L
3
L
4 G
Рис 2. Меридиональное сечение.
Перейдём к цилиндрической системе координат (X, ⇠, ⌘)
x = X +X0, y = ⇠ cos ⌘, z = ⇠ sin ⌘ (10)
(сдвиг вдоль вертикальной оси X0 подобран таким образом, чтобы
начало цилиндрической системы совпадало c центром невозмущён-
ной свободной поверхности) и представим решение задачи (5) в виде:
(x, y, z) = 'm(X, ⇠)
sinm⌘
cosm⌘
, m = 0, 1, 2 . . . (11)
146 Солодун А. В.
Неизвестные функции 'm(X, ⇠) определяются как решения двумер-
ных краевых спектральных задач
@
@X
✓
⇠
@'m
@X
◆
+
@
@⇠
✓
⇠
@'m
@⇠
◆
�
m2
⇠
'm = 0 в G,
@'m
@⌫
= 0 на L,
@'m
@X
= {m 'm на L0, |'m(X, 0)| < 1,
Z
L0
⇠
@'0
@x
d⇠ = 0, (12)
сформулированных в меридиональном сечении области Q0 (обозна-
чения даны на рис. 2), здесь L = L1 + L2 + L3 + L4. Совокупность
собственных значений исходной трёхмерной задачи становится при
этом двухпараметрическим множеством {mi, где индекс i обозначает
номер собственного значения задачи (12) при фиксированном зна-
чении m. Соответствующие собственные функции исходной задачи
представляются в виде (11), где вместо 'm следует теперь понимать
собственную функцию 'mi, соответствующую собственному значе-
нию {mi (i = 1, 2, . . .).
Существует ряд приёмов построения частных решений двухмер-
ного в области G уравнения задачи (12). Наиболее интересными и
важными для практических целей представляются решения полино-
миального типа, полученные благодаря представлению [4, 5, 13]
w(m)
k (X, ⇠) =
2(k �m)!
(k +m)!
RkP (m)
k (µ),
w⇤(m)
k (X, ⇠) =
2(k �m)!
(k +m)!
RkQ(m)
k (µ), (13)
R =
p
X2 + ⇠2, µ = cos ⌘, k � m,
где P (m)
k (µ), Q(m)
k (µ) – присоединённые функции Лежандра первого
и второго рода соответственно. В общем случае для задачи (12) су-
ществует четыре типа частных решений w(m)
k , w⇤(m)
k , w̄(m)
k , w̄⇤(m)
k [5].
Однако за счёт геометрии рассматриваемой полости и выбора на-
чала системы координат для получения решения базисной задачи
с достаточной точностью можно ограничиться лишь двумя из них
w(m)
k , w⇤(m)
k . Частные решения w(m)
k , w⇤(m)
k , будучи подставленными
в формулу (11), приводят к системам гармонических по совокупно-
сти переменных x, y, z полиномам различных порядков однородно-
сти [5]. Легко проверить, что (13) действительно имеют полиноми-
альную структуру относительно переменных X и ⇠, причём каждый
Собственные колебания жидкости в тороидальных баках 147
такой полином содержит лишь члены порядка k. Первые функции из
семейства (13) (m = 0) имеют вид
w(0)
0 = 1, w(0)
1 = X, w(0)
2 = X2
�
⇠2
2
;
w⇤(0)
0 =
1
2
ln
p
⇠2 +X2 +Xp
⇠2 +X2 �X
!
,
w⇤(0)
1 =
1
2
X ln
p
⇠2 +X2 +Xp
⇠2 +X2 �X
!
�
p
⇠2 +X2,
w⇤(0)
2 =
✓
X2
2
�
⇠2
4
◆
ln
p
⇠2 +X2 +Xp
⇠2 +X2 �X
!
�
3
2
X
p
⇠2 +X2.
Частные решения w(m)
k высших по m и k порядков могут быть
вычислены при помощи известных рекуррентных соотношений
@ w(m)
k
@X
= (k �m)w(m)
k�1,
⇠
@ w(m)
k
@ ⇠
= k w(m)
k � (k �m)Xw(m)
k�1,
(k �m+ 1)w(m)
k+1 = (2 k + 1)Xw(m)
k � (k �m) (X2 + ⇠2)w(m)
k�1,
(k �m+ 1) ⇠w(m+1)
k = 2 (m+ 1)
⇣
(X2 + ⇠2)w(m)
k�1 �X w(m)
k
⌘
.
Для частных решений w⇤(m)
k справедливы те же рекуррентные соот-
ношения, необходимо лишь подставить вместо w(m)
k функции w⇤(m)
k в
вышеприведённых формулах.
2.2 Вариационный метод решения задачи (12).
Приближённый метод решение спектральной задачи (12) методом
Ритца-Трефтца связан с ее вариационной формулировкой с исполь-
зованием функционала [4, 5, 13]
Jm('m)=
Z
G
⇠
✓
@2'm
@X2
+
@2'm
@⇠2
◆
+
m2
⇠
'2
m
�
dXd⇠ � {m
Z
L0
⇠'2
md⇠, (14)
148 Солодун А. В.
при дополнительном условии
R
L0
⇠'md⇠ = 0.
В общем случае представим приближённое решение задачи (12) в
виде
'm(X, ⇠) =
q1X
k=1
a(m)
k w(m)
k+m�1(X, ⇠) +
q2X
k=1
a⇤(m)
k w⇤(m)
k+m�1(X, ⇠), (15)
где a(m)
k , a⇤(m)
k – неизвестные подлежащие определению постоянные.
В классе допустимых функций (15) находятся те, которые доставля-
ют функционалу (14) минимальное значение по совокупности пара-
метров a(m)
k , a⇤(m)
k . В результате на основе локального условия экс-
тремума
@ Jm
@ a(m)
k1
= 0,
@ Jm
@ a⇤(m)
k2
= 0, k1 = 1, 2, . . . , q1, k2 = 1, 2, . . . , q2, (16)
приходим к матричной спектральной проблеме
det
⇣
{↵(m)
ij }� {m {�(m)
ij }
⌘
= 0, (17)
позволяющей определить приближённые собственные значения {mn
и соответствующие им собственные векторы. Вследствие того, что
приближённое решение 'm(X, ⇠) имеет вид (15), матрицы {↵(m)
ij } и
{�(m)
ij } приобретают следующую структуру:
↵(m)
ij =
↵(m)
ij1 ↵(m)
ij2
↵(m)
ij3 ↵(m)
ij4
!
, �(m)
ij =
�(m)
ij1 �(m)
ij2
�(m)
ij3 �(m)
ij4
!
,
где элементы матриц {↵(m)
ijk } и {�(m)
ijk } (l = 1, 4) вычисляются по фор-
мулам
↵(m)
ijl =
R+r0Z
R�r0
⇠
@W(m)
i+m�1,l
@X
V
(m)
j+m�1,l
!
X=0
d⇠ +
+
0Z
�H
⇠
@W(m)
i+m�1,l
@ ⇠
+ &(x)
@W(m)
i+m�1,l
@X
!
V
(m)
j+m�1,l
!
⇠=⇣+(x)
dX
Собственные колебания жидкости в тороидальных баках 149
+
0Z
�H
⇠
�
@W(m)
i+m�1,l
@ ⇠
+ &(x)
@W(m)
i+m�1,l
@X
!
V
(m)
j+m�1,l
!
⇠=⇣�(x)
dX,
�(m)
ijl =
R+r0Z
R�r0
⇣
⇠W(m)
i+m�1,l V
(m)
j+m�1,l
⌘
X=0
d⇠,
при
&(x) =
(x+ h)p
r2 � (x+ h)2
, ⇣±(x) = R±
p
r2 � (x+ h)2,
где для каждого индекса l в матрицах {↵(m)
ijl } и {�(m)
ijl } в качестве
набора пары функций (W,V) фигурируют указанные ниже пары
(Wi+m�1,l,Vj+m�1,l) =
8
>>>><
>>>>:
(w(m)
i+m�1, w
(m)
j+m�1), при l = 1,
(w(m)
i+m�1,
¯
w⇤(m)
j+m�1), при l = 2,
(
¯
w⇤(m)
i+m�1, w
(m)
j+m�1), при l = 3,
(
¯
w⇤(m)
i+m�1,
¯
w⇤(m)
j+m�1), при l = 4.
Матричная спектральная задача (17) имеет q = q1 + q2 собствен-
ных значений, что соответствует количеству членов в разложении
(15). Как обычно, для каждого фиксированного m собственные зна-
чения упорядочены в порядке возрастания.
Для каждого фиксированного значения m уравнения (17) есть ал-
гебраическое уравнение q-го порядка. Оно имеет q положительных
корней {(q)
mn (n = 1, 2, . . . , q), которые являются приближениями к q
первым собственным значениям {mn (n = 1, 2, . . . , q). С ростом q при-
ближённые значения {(q)
mn сходятся сверху к соответствующим значе-
ниям {mn, т.е. {(q)
mn � {mn и {(q)
mn ! {mn при q ! 1. При этом
вектор a(q)kn в (15) обеспечивает для собственной функции 'm сходи-
мость, вообще говоря, лишь в слабом смысле.
2.3 Сходимость
Большинство численных экспериментов фокусировалось на расчё-
те наиболее важных с практической точки зрения наименьших соб-
ственных значений {m1, m � 0.
В табл. 1-4 проиллюстрирована типичная сходимость метода для
одной конфигурации тороидальной полости r = 1, R = 2 при 0<H<1.
150 Солодун А. В.
Таблица 1. Сходимость {01 для тора с геометрией r = 1, R = 2 относи-
тельно глубины заполнения H.
q H = 1/2 H = 5/6 H = 7/6 H = 3/2 H = 11/6
6 1.187794 1.340804 1.554684 1.973546 7.562344
8 1.187053 1.339853 1.552945 1.968312 5.835573
10 1.186957 1.339563 1.552923 1.963316 4.698763
12 1.186934 1.339357 1.552885 1.957812 3.855682
14 1.186877 1.339049 1.552832 1.956738 3.645841
16 1.186875 1.338954 1.552583 1.955663 3.583445
18 1.186867 1.338697 1.552434 1.954828 3.528765
20 1.186862 1.338492 1.552372 1.954248 3.497856
22 1.186858 1.338345 1.552237 1.953862 3.495826
24 1.186835 1.338174 1.552194 1.953337 3.489876
26 1.186776 1.338049 1.552136 1.953174 3.488534
28 1.186768 1.338094 1.551902 1.953124 3.486368
30 1.186760 1.338049 1.551902 1.953001 3.485915
Таблица 2. Сходимость {11 для тора с геометрией r = 1, R = 2 относи-
тельно глубины заполнения H.
q H = 1/2 H = 5/6 H = 7/6 H = 3/2 H = 11/6
6 0.092274 0.163118 0.242618 0.343423 0.559949
8 0.090493 0.158862 0.237007 0.337881 0.550184
10 0.090288 0.157704 0.234606 0.334781 0.549353
12 0.090268 0.157568 0.234398 0.334718 0.548129
14 0.090238 0.157565 0.234068 0.334414 0.547972
16 0.090213 0.157559 0.234050 0.333609 0.547063
18 0.090207 0.157531 0.234013 0.333208 0.547055
20 0.090200 0.157507 0.233984 0.333162 0.546865
22 0.090193 0.157482 0.233912 0.333103 0.546750
24 0.090188 0.157479 0.233704 0.333024 0.546747
26 0.090186 0.157469 0.233683 0.332988 0.546584
28 0.090177 0.157291 0.233653 0.332986 0.546271
30 0.090173 0.157142 0.233652 0.332743 0.546056
Хорошо видно, что пять-шесть значащих цифр {m1 стабилизируют-
ся уже при q = 28. Относительно медленная сходимость наблюда-
ется лишь к частотному параметру {01, т.е. для осесимметричных
форм, а также для {31. В то же время, для {11, определяющего ми-
нимальную собственную частоту в системе, метод гарантирует высо-
кую точность приближения при относительно небольшом количестве
Собственные колебания жидкости в тороидальных баках 151
Таблица 3. Сходимость {21 для тора с геометрией r = 1, R = 2 относи-
тельно глубины заполнения H.
q H = 1/2 H = 5/6 H = 7/6 H = 3/2 H = 11/6
6 1.260232 1.474138 1.780775 2.498772 7.349013
8 1.250330 1.442626 1.685458 2.176470 5.119857
10 1.250176 1.442594 1.677703 2.111544 4.665100
12 1.250058 1.442199 1.677449 2.088084 3.770870
14 1.250001 1.441885 1.677270 2.079435 3.697960
16 1.249943 1.441871 1.677250 2.075833 3.546508
18 1.249926 1.441784 1.677226 2.075076 3.535378
20 1.249918 1.441767 1.677216 2.074753 3.526663
22 1.249908 1.441751 1.677206 2.074712 3.518960
24 1.249905 1.441686 1.677039 2.074445 3.453480
26 1.249899 1.441672 1.677032 2.074371 3.435167
28 1.249889 1.441445 1.676637 2.071474 3.428535
30 1.249877 1.441161 1.676634 2.071037 3.419254
Таблица 4. Сходимость {31 для тора с геометрией r = 1, R = 2 относи-
тельно глубины заполнения H.
q H = 1/2 H = 5/6 H = 7/6 H = 3/2 H = 11/6
8 2.992210 3.186396 3.949836 7.329782 61.299876
10 2.979368 3.128737 3.575766 5.075837 23.528960
12 2.974901 3.093914 3.403676 4.665894 22.231330
14 2.970124 3.078493 3.364456 4.645642 19.638805
16 2.968666 3.067717 3.361220 4.529287 13.245565
18 2.968482 3.066706 3.325201 4.215477 11.894338
20 2.967255 3.060119 3.321418 4.178164 8.684766
22 2.967067 3.043408 3.319341 4.118428 8.314833
24 2.965296 3.037322 3.317860 4.042001 6.670474
26 2.964449 3.031681 3.275260 3.978168 5.678100
28 2.963802 3.018087 3.274334 3.959143 5.615097
30 2.962755 3.005803 3.259811 3.510003 5.518858
базисных функций.
Замедленная сходимость метода наблюдается также в случае H ⇡
1. По-видимому, это связано с наличием сингулярности в первых
производных собственных функций m в угловой точке между L0
и L1(L4) (см. результаты Луковского и др. [5] для областей с тупыми
угловыми точками).
Пополнение частных решений полиномиального типа функциями,
152 Солодун А. В.
! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !
! ! ! ! !
!
!
!
!
!
!
! ! ! ! ! !
!
!
!
!
!
0.2 0.4 0.6 0.8
0
2
4
6
8
∆
Κ0 i
Κ01
Κ02
Κ03
! ! ! ! ! ! ! ! !
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
! ! ! !
!
!
!
!
!
!
!
0.2 0.4 0.6 0.8
0
1
2
3
4
5
∆
Κ1 i
Κ11
Κ12
Κ13
! !
! ! ! ! ! ! !
!
!
!
!
!
!
!
!
! !
!
!
!
! ! ! ! ! !
!
!
!
!
!
0.2 0.4 0.6 0.8
0
2
4
6
8
10
∆
Κ2 i
Κ21
Κ22
Κ23
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
! !
!
!
!
! !
!
! !
!
!
!
!
!
!
0.2 0.4 0.6 0.8
0
2
4
6
8
10
∆
Κ3 i
Κ31
Κ32
Κ33
Рис 3. Значения {m1 для одной конфигурации тора �R = 1/2 относительно
безразмерной глубины заполнения �H .
которые отражают сингулярный характер решения около угловых то-
чек области, обычно значительно улучшает сходимость вариационно-
го метода. Примеры таких пополнений для двухмерных спектраль-
ных задач даны в книге Луковского и др. [5].
3 Анализ
Величины собственных значений {mn зависят от геометрических па-
раметров бака – радиуса свободной поверхности r0, большого R и
малого r радиуса тороидальной полости (либо от их соотношений �R,
�H).
Результаты расчётов по определению собственных значений {mn
для тороидальных полостей, проиллюстрированные на рис. 3, пока-
зывают, что при стремлении �H к нулю собственные значения стре-
мятся к нулю (подобно результатам работы [6]), т.е. объём жидкости
почти нулевой, что являет собой типичную физическую картину. При
стремлении же �H к единице, как видно из рисунка, кривые собствен-
Собственные колебания жидкости в тороидальных баках 153
ных значений {mn возростают нелинейно, причём чем выше поряд-
ковый номер, тем ближе зависимость к экспоненциальной. Величины
собственных значений {mn соотносятся как {3n > {2n > {0n > {1n.
Значения низших собственных частотных параметров {mn для то-
роидальных полостей являются актуальными для расчёта реальных
конструкций. Реальную размерную величину собственной частоты
�mn можно получить, воспользовавшись формулой
�2
mn =
g {mn(�R, �H)
2r0
(18)
и данными из приведённых таблиц, где g, r0, R и r размерные.
Также производилось сравнение величин собственных значений в
некоторых определённых случаях. Для этого использовались резуль-
таты работы [12] по усечённым соосным цилиндрическим полостям.
Для сравнения вычислялись частоты для одинакового объёма поло-
стей. Сопоставление выбиралось из условия, что радиус невозмущён-
ной свободной поверхности конической полости принимался равным
единице, тогда радиусы тороидальной полости половинного запол-
нения (H = r) принимали значения R = 2/3 и r = 1/3 (Vt ⇡ 0.73).
После, варьируя радиус внутреннего конуса и высоту отсечения ко-
нической полости, подбиралась конфигурация равного объема (Vc ⇡
0.73), что дало необходимые параметры ✓0 = 30�, ✓1 = 10�, r00 = 1,
r10 ⇡ 0.8. Для этого случая первая собственная частота при m = 1
для тора половинного заполнения равна {t
11 = 0.5818, а для усечён-
ного соосного конуса имеем {c
11 = 0.6035. Расхождения по объёму не
более процента, а по собственной частоте не более пяти процентов,
что представляет достаточно хорошее совпадение и подтверждение
достоверности настоящей методики.
4 Выводы
Рассмотрен численно-аналитический метод расчёта собственных ча-
стот и форм для тороидальных баков, основанный на вариационном
алгоритме Ритца-Трефтца. Метод позволяет построить эффектив-
ную координатную систему функций, восходящую к функциям Ле-
жандра первого и второго рода.
Численные данные этой работы сравниваются с результатами ра-
боты [12], полученными для конических полостей с малым углом
154 Солодун А. В.
раствора. Удовлетворительное согласование результатов наблюдает-
ся для широкого диапазона полостей.
Результаты работы предполагается использовать для развития не-
линейной модальной теории для тороидальных баков.
[1] Докучаев Л. В., Луковский И. А. Методы определения гидродинами-
ческих характеристик подвижного сосуда с перегородками. Изв. АН
СССР: МЖГ. � 1968. � № 6. � С. 205–213.
[2] Луковський I. О. До розв’язування спектральних задач лiнiйної теорiї
коливань рiдини в конiчних баках // Доповiдi НАН України. Механi-
ка. � 2002. � № 5. � С. 53–58.
[3] Луковский И. А. Об одной математической модели волновых движе-
ний жидкости в резервуарах с наклонными стенками // Збiрник праць
Iнституту математики НАН України. � 2005. � 2, 1. � С. 227–253.
[4] Луковский И.А. Математические модели нелинейной динамики твер-
дых тел с жидкостью. Киев: Наук. думка, 2010. � 408 с.
[5] Луковский И. А., Барняк М. Я., Комаренко А. Н. Приближенные ме-
тоды решения задач динамики ограниченного объема жидкости. Киев:
Наукова думка, � 1984. � 212 с.
[6] Луковский И. А., Солодун А. В., Тимоха А. Н. Собственные частоты
колебаний жидкости в усечённых конических баках// Акустический
вестник. Ин-т гидромеханики НАН Украины. � 2006. � 9, 3. � С. 18–
34.
[7] Луковский И. А., Солодун А. В. Вариационный метод исследования
спектральной задачи о собственных колебаниях жидкости в соосных
конических резервуарах// Зб. праць Iн-ту математики НАН Украї-
ни. � 2013. � 10, 3. � С. 88-112.
[8] Луковский И. А., Троценко В. А., Фещенко С. Ф. Расчет динамиче-
ских характеристик жидкости в подвижных полостях. Киев: Акаде-
мия наук Украинской ССР. � 1968. � 265 с.
[9] Микишев Г. Н., Рабинович Б. И. Динамика твердого тела с полостя-
ми, частично заполненного жидкостью. Москва: Машиностроение, �
1968. � 532 с.
[10] Солодун А. В. Нелинейные модальные модели третьего порядка ма-
лости, описывающие колебание жидкости в усечённых конических ре-
зервуарах// Зб. праць Iн-ту математики НАН України. � 2014. � 11,
4. � С. 280–307.
[11] Солодун А. В. Общая нелинейная математическая модальная модель
третьего порядка малости колебаний жидкости в соосных конических
Собственные колебания жидкости в тороидальных баках 155
резервуарах// Зб. праць Iн-ту математики НАН України. � 2017. �
14, № 2. � С. 33–149.
[12] Солодун А. В. Собственные колебания жидкости в усеченных соос-
ных конических баках// Зб. праць Iн-ту математики НАН України. �
2018. � 15, № 1. � С. 180–205.
[13] Фещенко С. Ф., Луковский И. А., Рабинович Б. И., Докучаев Л. В.
Методы определения присоединенных масс жидкости в подвижных
полостях. Киев: Наукова думка, 1969. � 250 с.
[14] Aslam M., Godden W. G., and Scalise D. T. Sloshing of water in torus
pressure-suppression pool of boiling water reactors under earthquake
ground motions. Lawrence Berkeley Laboratory: University of California,
Berkeley, Ca. LBL-7984, 1978.— 116 p.
[15] Mc Carty J. L., Leonard H. W., and Walton W. C. Experjmental inves-
tigation of the natural frequencies of liquids in toroidal tanks. Langley
Research Center: Langley Field, Va.— NASA TN D-531.— 1960.— 26 p.
[16] Gavrilyuk I. P., Lukovsky I. A., Timokha A. N. Linear and nonlinear
sloshing in a circular conical tank// Fluid Dynamics Research.— 2005.—
37.— P. 399–429.
[17] Gavrilyuk I., Hermann M., Lukovsky I., Solodun O., Timokha A. Natural
Sloshing Frequencies in Truncated Conical Tanks// Engineering Compu-
tations EC 1224.— 2008.— 25, 6. — P. 518-540.
[18] Lukovsky I. A. Variational methods of solving dynamic problems for fluid-
containing bodies // International Applied Mechanics,— 2004.— 40,
10.— P. 1092–1128.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-436 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:07:21Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/f3/6e8c22601cc7aef140e006f1af010ef3.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-4362020-08-09T20:39:45Z Natural sloshing in toroidal tanks Собственные колебания жидкости в тороидальных баках Власні коливання рідини в тороїдальних баках Solodun, O.V. Солодун, А.В. Солодун, O.B. A variational Ritz-Trefts method for constructing an approximate solution of a spectral problem describing free oscillations of an ideal fluid in toroidal tanks is developed. A complete family of particular solutions of polynomial type are adopted as a functional basis. The natural frequencies and modes in the considered cavity over a wide range of geometric parameters are calculated. Розвинуто варiацiйний метод Рiтца-Трефтца побудови наближеного розв’язку спектральної задачi, що описує вiльнi коливання iдеальної рiдини в резервуарах у формi тороїдальних бакiв. В якостi координатного базису виступає повне сiмейство частинних розвязкiв полiномiального типу. Пораховано власнi частоти i форми коливань у розгля- дуванiй порожнинi в широкому дiапазонi геометричних параметрiв. Розвинуто варiацiйний метод Рiтца-Трефтца побудови наближеного розв’язку спектральної задачi, що описує вiльнi коливання iдеальної рiдини в резервуарах у формi тороїдальних бакiв. В якостi координатного базису виступає повне сiмейство частинних розвязкiв полiномiального типу. Пораховано власнi частоти i форми коливань у розгля- дуванiй порожнинi в широкому дiапазонi геометричних параметрiв. Інститут математики НАН України 2020-08-09 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/436 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 16 No. 2 (2019): Mathematical problems of mechanics and computational mathematics; 140-155 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 16 № 2 (2019): Математические проблеми механики и вычислительной математики; 140-155 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 16 № 2 (2019): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 140-155 3083-7529 1815-2910 ru https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/436/432 Авторське право (c) 2020 O.B. Солодун http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Solodun, O.V. Солодун, А.В. Солодун, O.B. Natural sloshing in toroidal tanks |
| title | Natural sloshing in toroidal tanks |
| title_alt | Собственные колебания жидкости в тороидальных баках Власні коливання рідини в тороїдальних баках |
| title_full | Natural sloshing in toroidal tanks |
| title_fullStr | Natural sloshing in toroidal tanks |
| title_full_unstemmed | Natural sloshing in toroidal tanks |
| title_short | Natural sloshing in toroidal tanks |
| title_sort | natural sloshing in toroidal tanks |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/436 |
| work_keys_str_mv | AT solodunov naturalsloshingintoroidaltanks AT solodunav naturalsloshingintoroidaltanks AT solodunob naturalsloshingintoroidaltanks AT solodunov sobstvennyekolebaniâžidkostivtoroidalʹnyhbakah AT solodunav sobstvennyekolebaniâžidkostivtoroidalʹnyhbakah AT solodunob sobstvennyekolebaniâžidkostivtoroidalʹnyhbakah AT solodunov vlasníkolivannârídinivtoroídalʹnihbakah AT solodunav vlasníkolivannârídinivtoroídalʹnihbakah AT solodunob vlasníkolivannârídinivtoroídalʹnihbakah |