Geometry of numerical series: a series as a model of a real number in a new two-character number coding system
In the paper, we consider sets of incomplete sums of subharmonic normalized series. Their topological, metric, and fractal properties are studied. We give model examples and prove theorems of existence as well as mas- siveness of classes of series. A new polybase two-symbol system of encoding of rea...
Gespeichert in:
| Datum: | 2020 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2020
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/437 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552937211822080 |
|---|---|
| author | Pratsevytyi, M.V. Lysentko, I.M. Maslova, Yu.P. Працевитый, Н.В. Лысенко, И.М. Маслова, Ю.П. Працьовитий, М.В. Лисенко, І.М. Маслова, Ю.П. |
| author_facet | Pratsevytyi, M.V. Lysentko, I.M. Maslova, Yu.P. Працевитый, Н.В. Лысенко, И.М. Маслова, Ю.П. Працьовитий, М.В. Лисенко, І.М. Маслова, Ю.П. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "M.V. Pratsevytyi",
"institution": "National Pedagogical Dragomanov University"
},
{
"author": "I.M. Lysentko",
"institution": "National Pedagogical Dragomanov University"
},
{
"author": "Yu.P. Maslova",
"institution": "National Pedagogical Dragomanov University"
}
] |
| author_sort | Pratsevytyi, M.V. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-10T19:26:13Z |
| description | In the paper, we consider sets of incomplete sums of subharmonic normalized series. Their topological, metric, and fractal properties are studied. We give model examples and prove theorems of existence as well as mas- siveness of classes of series. A new polybase two-symbol system of encoding of real numbers with zero redundancy is also introduced. It is topologically equivalent to representation of numbers by ????2 -continued fractions and by nega-binary representation. For this system, we describe geometry (properties of cylindrical sets) and foundations of metric theory. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:07:22Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2018, т. 15, № 1, 132–146
УДК 511.72+517.5
Геометрiя числових рядiв: ряд як
модель дiйсного числа в новiй
двосимвольнiй системi кодування
чисел
М.В. Працьовитий 1, I.М. Лисенко 2,Ю.П. Маслова 3
1 Iнститут математики НАН України, НПУ iменi
М.П. Драгоманова Київ; prats4444@gmail.com,
2 НПУ iменi М.П. Драгоманова Київ; iryna.pratsiovyta@gmail.com,
3 НПУ iменi М.П. Драгоманова Київ; julia0609mas@gmail.com
In the paper, we consider sets of incomplete sums of subharmonic normal-
ized series. Their topological, metric, and fractal properties are studied.
We give model examples and prove theorems of existence as well as mas-
siveness of classes of series. A new polybase two-symbol system of encoding
of real numbers with zero redundancy is also introduced. It is topologi-
cally equivalent to representation of numbers by 𝐴2-continued fractions
and by nega-binary representation. For this system, we describe geometry
(properties of cylindrical sets) and foundations of metric theory.
Стаття присвячена множинам неповних сум субгармонiчних нормова-
них рядiв, їхнiм тополого–метричним i фрактальним властивостям, а
також однiй новiй полiосновнiй двосимвольнiй системi кодування дiй-
сних числе з нульовою надлишковiстю, топологiчно еквiвалентнiй до
зображення чисел ланцюговими 𝐴2–дробами й нега–двiйковим зобра-
женням. Для першої тематики наводяться модельнi приклади i дово-
дяться теореми iснування, а також масивностi класiв рядiв, для другої
— проводиться опис геометрiї (властивостей цилiндричних множин) i
основ метричної теорiї.
c○ Працьовитий М.В., Лисенко I.М., Маслова Ю.П., 2018
Геометрiя числових рядiв: ряд як модель дiйсного числа в но . . . 133
Вступ
Моделлю дiйсного числа у змiстовнiй теорiї дiйсних чисел Веєрштрас-
са є 𝑠–ковий ряд (сума всiх членiв спецiальної числової послiдов-
ностi), зокрема двiйковий (1 < 𝑠 ∈ 𝑁). У цiй теорiї дiйсне число
ототожнюється з нескiнченним упорядкованим набором (послiдов-
нiстю) елементiв алфавiту 𝐴𝑠 = {0, 1, 2, . . . , 𝑠 − 1}, яка називається
𝑠–ковим зображенням числа. Iснують iншi базиснi ряди, що дозво-
ляють за допомогою скiнченного алфавiту отримувати зображення
чисел на основi їхнiх розкладiв у ряд iз коефiцiєнтами з алфавi-
ту [13, 16]. Але не кожний ряд придатний для цього. Якщо ряд i
дозволяє отримувати зображення чисел заданого промiжку, то не
завжди система кодування чисел засобами заданого алфавiту має
нульову надлишковiсть, тобто кожне число має не бiльш як два зо-
браження. Окремої уваги заслуговують тi ряди, якi дозволяють отри-
мати систему кодування дiйсних чисел (передусiм, дробової частини
дiйсного числа) засобами двiйкового алфавiту 𝐴2 = {0; 1}. Окрiм
класичної двiйкової системи числення [1] у математицi широко ви-
користовуються iншi двосимвольнi системи кодування чисел (𝑄2–
зображення [8,10], 𝑄*
2–зображення [9], маркiвське зображення [7], ме-
дiантне зображення, ланцюгове 𝐴2–зображення [5,6] тощо). Побудова
тополого–метричної, ймовiрнiсної i фрактальної теорiй дiйсних чисел
на основi їх зображень у тiй чи iншiй системi кодування визначається
геометрiєю зображень (геометричним змiстом цифр, властивостями
цилiндричних, надцилiндричних, хвостових та iн. множин). Геоме-
трiя ряду значною мiрою визначається спiввiдношеннями мiж чле-
нам ряду i його залишками з тими самими порядковими номерами.
Свiдченням цього є вже першi результати в галузi геометрiї рядiв,
яка бере свiй початок вiд роботи Какея [14].
Дана робота присвячена субгармонiчним нормованим рядам (збi-
жним пiдрядам гармонiчного ряду з сумою 1) i новiй двосимвольнiй
полiосновнiй системi кодування чисел вiдрiзка [0;1] зi двома основа-
ми, одна з яких є додатною, а друга — вiд’ємною, а саме: їхнiй гео-
метрiї (метричним спiввiдношенням, топологiчним i метричним зада-
чам).
134 Працьовитий М. В., Лисенко I. М., Маслова Ю. П.
1 Субгармонiчнi нормованi ряди
Додатний ряд, збiжний до одиницi, називається нормованим. Якщо
ряд є збiжним i має суму 𝑆, то, помноживши його на число
1
𝑠
, отри-
маємо нормований ряд.
У цьому роздiлi мова йтиме про нормованi додатнi ряди, членами
яких є числа, оберненi до натуральних. Найпростiшими прикладами
таких рядiв є:
1 =
1
2
+
1
22
+ . . .+
1
2𝑘
+ . . . =
1/2
1− 1/2
. (1)
1 =
1
2
+
1
3
+
1
32
+ . . .+
1
3𝑛
+ . . . (2)
1 =
1
3
+
1
22
+
1
32
+
1
23
+
1
33
+ . . .+
1
2𝑛
+
1
3𝑛
+ . . . (3)
1 =
1
1 · 2
+
1
2 · 3
+ . . .+
1
𝑘(𝑘 + 1)
+ . . . =
=
(︂
1
1
− 1
2
)︂
+
(︂
1
2
− 1
3
)︂
+ . . .+
(︂
1
𝑘
− 1
𝑘 + 1
)︂
+ . . . .
(4)
1 =
1
2
+
1
5
+
1
2 · 3
+
1
22 · 3
+
1
22 · 32
+ . . . (5)
1 =
1
2
+
1
3
+
1
7
+
1
43
+ . . .
1
𝑎𝑛
+ . . . , (6)
де 𝑎1 = 2, 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛(𝑎𝑛 − 1) + 1. Цей ряд називається рядом Сiльве-
стера [12].
Лема 1.1. Iснує нескiнченна кiлькiсть нормованих додатних рядiв
зi членами, оберненими до натуральних чисел, таких, що вони є
сумами членiв геометричних прогресiй, починаючи з деякого члена.
Доведення. Вiзьмiмо довiльне натуральне число 𝑚 ≥ 2. Розгляньмо
геометричну прогресiю з першим членом 𝑏1 = 1
𝑚 i знаменником 𝑞 =
1
𝑚 . Її сума дорiвнює
𝑏1
1− 𝑞
=
1
𝑚− 1
.
Геометрiя числових рядiв: ряд як модель дiйсного числа в но . . . 135
Тодi сума ряду
1
𝑚− 1
+ . . .+
1
𝑚− 1⏟ ⏞
𝑚− 2 доданки
+
1
𝑚
+
1
𝑚2
+ . . .
дорiвнює 1.
Отже, з довiльностi вибору числа 𝑚 випливає, що iснує нескiнчен-
на множина рядiв, що задовольняють умови леми.
Означення 1.1. Два ряди
∑︀
𝑛
𝑎𝑛 i
∑︀
𝑛
𝑏𝑛 називатимемо формально
рiзними, якщо iснує таке 𝑛, що 𝑎𝑛 ̸= 𝑏𝑛.
Теорема 1.1. Iснує континуальна кiлькiсть розкладiв одиницi на
формально рiзнi додатнi ряди, членами яких є числа, оберненi до
натуральних.
Доведення. Розгляньмо нормований ряд:
1 =
(︂
1
4
+
1
4
)︂
+
(︂
1
8
+
1
8
)︂
+
(︂
1
16
+
1
16
)︂
+ . . . =
=
1
4
+
(︂
1
4
+
1
8
)︂
+
(︂
1
8
+
1
16
)︂
+ . . . .
У рядi можна помiняти мiсцями другий i третiй члени, четвертий
i п’ятий, шостий i сьомий, i т. д., а можна залишити попереднiй поря-
док цих пар членiв ряду. Поставимо кожнiй замiнi у вiдповiднiсть 1, а
кожнiй сумi двох доданкiв, що не змiнилася, 0. Таким чином, на злi-
ченнiй множинi мiсць є двi альтернативи, тобто iснує континуальна
множина формально рiзних рядiв, отриманих такими перестановка-
ми.
Два абсолютно збiжнi ряди
∑︀
𝑛
𝑎𝑛 i
∑︀
𝑛
𝑏𝑛 iз монотонною послiдов-
нiстю членiв називатимемо змiстовно рiвними, якщо 𝑎𝑛 = 𝑏𝑛 для
будь–якого 𝑛.
Природним є запитання: Скiльки iснує змiстовно рiзних нормо-
ваних рядiв, члени яких є числами, оберненими до натуральних, i
утворюють монотонну послiдовнiсть?
136 Працьовитий М. В., Лисенко I. М., Маслова Ю. П.
Лема 1.2. Для довiльного натурального числа 𝑎 мають мiсце змi-
стовно рiзнi розклади:
1
𝑎
=
1
𝑎+ 1
+
1
(𝑎+ 1)2
+ . . .+
1
(𝑎+ 1)𝑛
+ . . . , (7)
1
𝑎
=
1
1 · (𝑎+ 1)
+
1
(𝑎+ 1)(2𝑎+ 1)
+ . . .+
+
1
((𝑛− 1)𝑎+ 1)(𝑛𝑎+ 1)
+ . . . . (8)
Доведення. Справдi, згiдно з формулою суми нескiнченно спадної
геометричної прогресiї:
∞∑︁
𝑛=1
1
(𝑎+ 1)𝑛
=
1
𝑎+ 1
1− 1
𝑎+ 1
=
1
𝑎
.
А для другого ряду маємо:
∞∑︁
𝑛=1
1
((𝑛− 1)𝑎+ 1)(𝑛𝑎+ 1)
=
∞∑︁
𝑛=1
1
𝑎
(︂
1
(𝑛− 1)𝑎+ 1
− 1
𝑛𝑎+ 1
)︂
=
=
1
𝑎
lim
𝑚→∞
(︂
1− 1
𝑚𝑎+ 1
)︂
=
1
𝑎
.
Ряди (7) i (8) є змiстовно рiзними, оскiльки другий ряд мiстить
член
1
(𝑎+ 1)(2𝑎+ 1)
, якого немає в першому рядi. Справдi, рiвнiсть
1
(𝑎+ 1)(2𝑎+ 1)
=
1
(𝑎+ 1)𝑘
виконується тодi i тiльки тодi, коли
2𝑎+ 1 = (𝑎+ 1)𝑘−1.
При 𝑘 = 1 i 𝑘 = 2 рiвнiсть, очевидно, не виконується. Для 𝑘 = 3
маємо
2𝑎+ 1 < (𝑎+ 1)2 = 𝑎2 + 2𝑎+ 1.
При 𝑘 > 3 нерiвнiсть
2𝑎+ 1 < (𝑎+ 1)𝑘−1
є очевидною. Лему доведено.
Геометрiя числових рядiв: ряд як модель дiйсного числа в но . . . 137
Лема 2 дає розклади
1 =
1
2
+
1
3
+
1
6
=
1
2
+
1
3
+
1
7
+
1
72
+ · · ·+ 1
7𝑛
+ · · · ;
1 =
1
2
+
1
3
+
1
6
=
1
2
+
1
3
+
1
7
+
1
7 · 15
+ · · ·+ 1
(6(𝑛− 1) + 1)(6𝑛+ 1)
+ · · · .
2 Гармонiчний ряд i його пiдсуми
Широковживаний розбiжний ряд
∞∑︁
𝑛=1
1
𝑛
= 1 +
1
2
+
1
3
+ . . .+
1
𝑛
+ . . . (9)
називається гармонiчним. Кожен член цього ряду, починаючи зi дру-
гого, є середнiм гармонiчним двох сусiднiх членiв.
Збiжний до одиницi ряд, членами якого є числа, оберненi до на-
туральних, називатимемо субгармонiчним нормованим рядом. Най-
простiшими прикладами таких рядiв є ряди (1)-(6).
Теорема 2.1. Iснує континуальна множина нормованих нескiнчен-
них пiдрядiв гармонiчного ряду, тобто субгармонiчних нормованих
рядiв.
Доведення. Нехай
𝐴 = [0, 1] =
{︃
𝑥 : 𝑥 =
∞∑︁
𝑖=1
𝛼𝑖
2𝑖
, 𝛼𝑖 ∈ {0, 1}
}︃
,
𝐵 =
{︃
𝑦 : 𝑦 =
∞∑︁
𝑖=1
𝛽𝑖
3𝑖
, 𝛽𝑖 ∈ {0, 1}
}︃
.
Якщо 𝑢 ∈ 𝐵, то число 1 належить множинi
𝑢⊕𝐴 = [𝑢, 1 + 𝑢],
тобто
1 = 𝑥+ 𝑦 =
∞∑︁
𝑘=1
𝛼𝑘
2𝑘
+
∞∑︁
𝑘=1
𝛽𝑘
3𝑘
. (10)
138 Працьовитий М. В., Лисенко I. М., Маслова Ю. П.
Оскiльки це стосується довiльного числа 𝑢 ∈ 𝐵, а остання множина
є континуальною, то iснує континуальна множина 𝐶 розкладiв (10)
числа 1.
Усi члени ряду (10) є оберненими до натуральних, причому вiд-
сутнi однаковi доданки, оскiльки знаменники є рiзними степенями
чисел 2 i 3.
3 Множина неповних сум ряду
Означення 3.1. Нехай 𝑀 — пiдмножина множини 𝑁 всiх натураль-
них чисел. Число 𝑥 = 𝑥(𝑀) називається неповню сумою нормованого
додатного ряду
∑︀
𝑛
𝑎𝑛, якщо
𝑥 = 𝑥(𝑀) =
∑︁
𝑛∈𝑀
𝑎𝑛 =
∞∑︁
𝑛=1
𝜀𝑛𝑎𝑛,
де
𝜀𝑛 =
{︃
1, якщо 𝑛 ∈𝑀,
0, якщо 𝑛 /∈𝑀.
Означення 3.2. Множина усiх неповних сум даного ряду, тобто
𝐸(𝑎𝑛) = 𝐸 = {𝑥 : 𝑥 =
∑︁
𝑛∈𝑀⊂𝑁
𝑎𝑛, 𝑀 ∈ 2𝑁},
називається його множиною неповних сум.
Зрозумiло, що множина неповних сум додатного нормованого ря-
ду є геометричною фiгурою числової прямої, точнiше, вiдрiзка [0; 1],
яка має свої геометричнi (топологiчнi й метричнi) властивостi. Саме
вони розкривають суть геометрiї ряду.
Сьогоднi вiдомо [15], що множина неповних сум збiжного дода-
тного ряду належить одному з топологiчних типiв, а саме:
1) є скiнченним об’єдананням вiдрiзкiв;
2) є множиною, гомеоморфною класичнiй множинi Кантора (мно-
жинi неповних сум ряду
∞∑︀
𝑘=1
2
3𝑘
);
3) є канторвалом — множиною, гомеоморфною множинi неповних
сум ряду 3
4 + 2
4 + 3
42 + 2
42 + 3
43 + 2
43 + ....
Геометрiя числових рядiв: ряд як модель дiйсного числа в но . . . 139
Загальнi критерiї належностi двом останнiм типам досi не вста-
новленнi, як i не розв’язана задача про необхiднi та достатнi умови
нуль-мiрностi Лебега множини неповних сум [3].
Множиною неповних сум ряду (1) є вiдрiзок [0; 1], а ряду (2) є нiде
нещiльна множина нульової мiри Лебега, що є об’єднанням двох само-
подiбних множин зi фрактальною розмiрнiстю Гаусдорфа–Безиковича
log6 2. Множина неповних сум ряду (4) є аномально фрактальною [12],
тобто є континуальною множиною з нульовою розмiрнiстю Гаусдорфа–
Безиковича [2].
Хотiлось би дати вичерпну вiдповiдь на запитання: якi тополого–
метричнi i фрактальнi властивостi можуть мати субгармонiчнi нор-
мованi ряди? Тобто отримати повну класифiкацiю топологiчних i
тополого-метричних типiв, зокрема вiдповiсти на запитання: чи iсну-
ють субгармонiчнi нормованi ряди, множини неповних сум яких є
канторвалами?
4 Нова двосимвольна система кодування дiйсних
чисел
Нехай 𝐴2 = {0; 1} – алфавiт; 𝐿2 = 𝐴2 × 𝐴2 × ... × 𝐴2 × ... – простiр
послiдовностей елементiв алфавiту; 𝑔 = (𝑔0; 𝑔1) — фiксований набiр
чисел, причому 0 < 𝑔0 < 1, 𝑔1 ≡ 𝑔0 − 1, 𝑔0 > −𝑔1; 𝛿0 ≡ 0, 𝛿1 ≡ 𝑔0.
Зауважимо, що 𝛿𝑖 = 𝑖𝑔1−𝑖, 𝑖 = 0, 1.
Лема 4.1. Для будь-якої послiдовностi (𝛼𝑛) ∈ 𝐿2 ряд
𝛿𝛼1
+
∞∑︁
𝑘=2
(𝛿𝛼𝑘
𝑘−1∏︁
𝑗=1
𝑔𝛼𝑗
) =
∞∑︁
𝑘=1
𝑢𝑘 (11)
є збiжним знакопочережним i його сума належить вiдрiзку [0; 𝑔0].
Доведення. Зауважимо, що очевидно iстинним є твердження: значе-
ння виразу
𝛿𝛼𝑛+1
𝑛∏︁
𝑗=1
𝑔𝛼𝑗
= 𝑢𝑛+1
є нулем тодi i тiльки тодi, коли 𝛼𝑛+1 = 0;
додатним числом, якщо 𝛼𝑛+1 = 1 i кiлькiсть одиниць серед чисел
𝛼1, 𝛼2, ..., 𝛼𝑛 є парним числом;
140 Працьовитий М. В., Лисенко I. М., Маслова Ю. П.
вiд’ємним числом, якщо 𝛼𝑛+1 = 1 i кiлькiсть одиниць серед чисел
𝛼1, 𝛼2, ..., 𝛼𝑛 є непарним числом.
Тому, коли в послiдовностi (𝛼𝑛) мiститься нескiнченна кiлькiсть
1, то ряд (11) мiстить нескiнченну кiлькiсть як додатних, так i вiд’-
ємних членiв. Пiсля вилучення нульових членiв ряду (11) вiн стане
знакозмiнним (почережним), причому члени з непарними номерами
додатнi, а з парними – вiд’ємнi.
Теорема 4.1. Для будь-якого числа 𝑥 ∈ [0; 1] iснує послiдовнiсть
(𝛼𝑛) ∈ 𝐿2, така, що
𝑥 = 𝛿𝛼1
+
∞∑︁
𝑘=2
(𝛿𝛼𝑘
𝑘−1∏︁
𝑗=1
𝑔𝛼𝑗
) ≡ Δ𝛼1𝛼2...𝛼𝑘.... (12)
Доведення. Для 𝑥 = 0 маємо 𝑥 = Δ(0). Круглi дужки символiзують
перiод. Для 𝑥 = 𝑔0 маємо 𝑔0 = Δ1(0).
Нехай 𝑥 ∈ (0; 𝑔0), але (0; 𝑔0) = (𝛿0; 𝛿1𝑔0] ∪ [𝛿1𝑔0; 𝛿1), 𝛿1𝑔0 = 𝑔20 .
Якщо 𝑥 = 𝑔20 , то 𝑥 = Δ01(0) = Δ11(0). Якщо 𝑥 ̸= 𝑔20 , то очевидно, що
iснує 𝛼1 ∈ {0; 1}, таке, що 𝑥 ∈ (𝛿1𝑔0; 𝛿1) = (𝑔20 ; 𝑔0), тобто 𝑥 = 𝛿𝛼1 + 𝑥1,
причому 𝑥1 є вiд’ємним або додатним, а саме:
1) 𝑔0𝑔1 < 𝑥1 < 0, якщо 𝛼1 = 1;
2) 0 < 𝑥1 ≡ 𝑥 < 𝑔20 , якщо 𝛼1 = 0.
Розглянемо перший випадок, тобто
𝑔0𝑔1 ̸= 𝑥1 ∈ [𝑔0𝑔1; 0) =
∞⋃︁
𝑛=1
[𝑔1𝑔
𝑛
0 ; 𝑔1𝑔
𝑛+1
0 ).
Тодi iснує 𝑘1 ∈ 𝑁 , таке, що 𝑔1𝑔𝑘10 < 𝑥1 < 𝑔1𝑔
𝑘1+1
0 , звiдки
0 < 𝑥1 − 𝑔1𝑔
𝑘
0 ≡ 𝑥2 < 𝑔21𝑔
𝑘1
0 ,
𝑥1 = 𝑔1𝑔
𝑘1
0 + 𝑥2
i
𝑥 = 𝛿1 + 𝛿1𝑔1𝑔
𝑘1
0 + 𝑥2 = 𝛿1𝑔
1−1
0 + 𝛿1𝑔1𝑔
1+𝑘1−1
0 + 𝑥2.
Розглянемо тепер випадок, коли 𝛼1 = 0, тобто 𝑥1 ∈ (0; 𝑔20).
Геометрiя числових рядiв: ряд як модель дiйсного числа в но . . . 141
Оскiльки 𝑔20 ̸= 𝑥1 ∈ (0; 𝑔20 ] =
∞⋃︀
𝑛=2
(𝑔𝑛+1
0 ; 𝑔𝑛0 ], то очевидно, що iснує
натуральне 𝑚1 ≥ 2, таке, що
𝑔𝑚1+1
0 < 𝑥1 ≤ 𝑔𝑚1
0 .
Якщо 𝑥1 = 𝑔𝑚1
0 = 𝛿1𝑔
𝑚1−1
0 = 𝛿0 + 𝛿0𝑔0 + ... + 𝛿0𝑔
𝑚1−2
0 + 𝛿1𝑔
𝑚1−1
0 , то
𝛼2 = 𝛼3 = ... = 𝛼𝑚1−1 = 0 = 𝛼1 i 𝛼𝑚1
= 1, а отже,
𝑥 = 𝑥1 = Δ0..0⏟ ⏞
𝑚1−1
1(0) = Δ0..0⏟ ⏞
𝑚1−1
11(0).
Якщо ж 𝑔𝑚1+1
0 < 𝑥1 < 𝑔𝑚1
0 , то 𝑔𝑚1
0 𝑔1 < 𝑥1 − 𝑔𝑚1
0 ≡ 𝑥2 < 0
𝑥 = 𝑥1 = 𝑔𝑚1
0 +𝑥2 = 𝛿1𝑔
𝑚1−1
0 = 𝛿0+ 𝛿0𝑔0+ ...+ 𝛿0𝑔
𝑚1−2
0 + 𝛿1𝑔
𝑚1−1
0 +𝑥2.
Оскiльки
𝑔𝑚1
0 𝑔1 ̸= 𝑥2 ∈ [𝑔𝑚1
0 𝑔1; 0) =
∞⋃︁
𝑛=1
[𝑔1𝑔
𝑚1+𝑛−1
0 ; 𝑔1𝑔
𝑚1+𝑛
0 ),
то iснує натуральне 𝑚2 таке, що 𝑔1𝑔𝑚1+𝑚2−1
0 ≤ 𝑥2 ≤ 𝑔1𝑔
𝑚1+𝑚2
0 i 𝑥2 =
𝑔1𝑔
𝑚1+𝑚2−1
0 + 𝑥3, де 0 ≤ 𝑥2 − 𝑔1𝑔
𝑚1+𝑚2−1
0 ≡ 𝑥3 < 𝑔21𝑔
𝑚1+𝑚2−1
0 .
Тодi
𝑥 = 𝑥1 = 𝛿1𝑔
𝑚1−1
0 + 𝑔1𝑔
𝑚1+𝑚2−1
0 + 𝑥3 = 𝛿1𝑔
𝑚1−1
0 + 𝛿1𝑔
𝑚1+𝑚2
0 .
Якщо 𝑥3 = 0, то 𝑥2 = 𝑔1𝑔
𝑚1+𝑚2
0 i
𝑥 = 𝑥1 = 𝛿1𝑔
𝑚1−1
0 +𝑔1𝑔
𝑚1+𝑚2−1
0 =Δ0...0⏟ ⏞
𝑚1−1
1 0...0⏟ ⏞
𝑚2−1
1(0) = Δ0...0⏟ ⏞
𝑚1−1
1 0...0⏟ ⏞
𝑚2−1
11(0)
За скiнченну кiлькiсть крокiв отримаємо 𝑥𝑘 = 0 або ж процес
продовжуватиметься до нескiнченностi, його збiжнiсть очевидна.
Означення 4.1. Зображення Δ𝛼1𝛼2...𝛼𝑛... числа 𝑥 ∈ [0; 𝑔0], встанов-
лене рiвнiстю (12), називається Δ-зображенням (або цилiндричним
Δ-зображенням).
Зауваження 4.1. Як видно з доведення попередньої теореми, iсну-
ють числа, що мають два Δ-зображення.
Iнтерес до даного зображення обумовлений однiєю зi проблем,
пов’я- заною зi встановленням лебегiвської структури розподiлу зна-
чень неперервної функцiї канторiвського типу, яка не має промiжкiв
монотонностi крiм промiжкiв сталостi (їй присвячена робота [4]).
142 Працьовитий М. В., Лисенко I. М., Маслова Ю. П.
5 Геометрiя цилiндричного Δ-зображення
Означення 5.1. Цилiндром рангу 𝑚 з основою 𝑐1𝑐2...𝑐𝑚 називає-
ться множина Δ𝑐1𝑐2...𝑐𝑚 всiх чисел 𝑥 ∈ [0; 𝑔0], якi мають таке Δ-
зображення 𝑥 = Δ𝑐1𝑐2...𝑐𝑚𝛼𝑚+1𝛼𝑚+2...𝛼𝑚+𝑘..., 𝛼𝑚+𝑗 ∈ 𝐴.
Цилiндри 1-го рангу: Δ0 = [0; 𝑔20 ]; Δ1 = [𝑔20 ; 𝑔0];
Цилiндри 2-го рангу: Δ00 = [0; 𝑔30 ], Δ01 = [𝑔30 ; 𝑔
2
0 ];
Δ11 = [𝑔20 ; 𝑔0(1 + 𝑔0𝑔1)],Δ10 = [𝑔0(1 + 𝑔0𝑔1); 𝑔0];
Цилiндри 3-го рангу: Δ000 = [0; 𝑔40 ],Δ001 = [𝑔40 ; 𝑔
3
0 ];
Δ011 = [𝑔30 ; 𝑔
2
0(1 + 𝑞21)], Δ010 = [𝑔20(1 + 𝑔21); 𝑔
2
0 ];
Δ110 = [𝑔20 ; 𝑔
2
0(1 + 𝑔21)], Δ111 = [𝑔20(1 + 𝑔21); 𝑔0(𝑔0 + 𝑔21)];
Δ101 = [𝑔0(1 + 𝑔1𝑔0); 𝑔0(1 + 𝑔20𝑔1)], Δ100 = [𝑔0(1 + 𝑔20𝑔1); 𝑔0].
Нехай (𝑐1, 𝑐2, ..., 𝑐𝑚) — довiльний набiр нулiв i одиниць, 𝑁1 = 𝑐1 +
𝑐2 + ...+ 𝑐𝑚, 𝑁0 ≡ 𝑚−𝑁1, 𝑎 = 𝛿𝑐1 +
𝑚∑︀
𝑘=2
(𝛿𝑐𝑘
𝑘−1∏︀
𝑗=1
𝑔𝑐𝑗 ), 𝑏 = 𝑎+ 𝑔0
𝑚∏︀
𝑗=1
𝑔𝑐𝑗 .
Легко довести наступне твердження.
Лема 5.1. Цилiндр Δ𝑐1𝑐2...𝑐𝑚 є вiдрiзком, причому
[𝑎; 𝑏], якщо 𝑁1 — парне,
[𝑏; 𝑎], якщо 𝑁1 — непарне.
Наслiдок 5.1. Довжина цилiндра Δ𝑐1𝑐2...𝑐𝑚 обчислюється за фор-
мулою
|Δ𝑐1𝑐2...𝑐𝑚 | = 𝑔0
𝑚∏︁
𝑗=1
|𝑔𝑐𝑗 | = (−𝑔1)𝑁1𝑔𝑚−𝑁1+1
0 ,
де 𝑁1 = 𝑐1 + 𝑐2 + . . .+ 𝑐𝑚.
Наслiдок 5.2. Основне метричне вiдношення для Δ–зображення
дiйсних чисел iз вiдрiзка [0; 𝑔0] має вигляд
|Δ𝑐1𝑐2...𝑐𝑚𝑖|
|Δ𝑐1𝑐2...𝑐𝑚 |
= |𝑔𝑖|.
Геометрiя числових рядiв: ряд як модель дiйсного числа в но . . . 143
Цилiндри мають властивостi:
1. Δ𝑐1𝑐2...𝑐𝑚 = Δ𝑐1𝑐2...𝑐𝑚0 ∪Δ𝑐1𝑐2...𝑐𝑚1, причому
maxΔ𝑐1𝑐2...𝑐𝑚0 = minΔ𝑐1𝑐2...𝑐𝑚1, якщо 𝑁1 — парне;
maxΔ𝑐1𝑐2...𝑐𝑚1 = minΔ𝑐1𝑐2...𝑐𝑚0, якщо 𝑁1 — непарне.
2.
∞⋂︀
𝑚=1
Δ𝑐1𝑐2...𝑐𝑚 = 𝑥 ∈ [0; 𝑔0] ∀(𝑐𝑚 ∈ 𝐿2).
Властивостi цилiндрiв розкривають геометричну суть цифр
Δ-зображення чисел i виправдовують вибiр термiну цилiндричне Δ-
зображення.
6 Оператор лiвостороннього зсуву цифр
Δ–зображення чисел
Теорема 6.1. Оператор 𝜔 лiвостороннього зсуву цифр Δ–зображен-
ня чисел вiдрiзка [0; 𝑔0], який у просторi Δ-зображень визначється
рiвнiстю
𝜔(Δ𝛼1𝛼2...𝛼𝑛...) = Δ𝛼2𝛼3...𝛼𝑛..., (13)
аналiтично задається
𝜔(𝑥) =
1
𝑔𝛼1(𝑥)
𝑥−
𝛿𝛼1(𝑥)
𝑔𝛼1(𝑥)
, (14)
є неперервною коректно означеною на [0; 𝑔0] функцiєю, що є лiнiйною
на кожному з цилiндрiв першого рангу, причому зростаючою на Δ0
i спадною на Δ1.
Доведення. Оскiльки
𝑥 = Δ𝛼1𝛼2...𝛼𝑛... = 𝛿𝛼1
+ 𝑔𝛼1
⎛⎝𝛿𝛼2
+
∞∑︁
𝑘=3
𝛿𝛼𝑘
𝑘−1∏︁
𝑗=2
𝑔𝛼𝑗
⎞⎠ = 𝛿𝛼1
+ 𝑔𝛼1
𝜔(𝑥),
то виконується рiвнiсть (14). Враховуючи, що
𝑔𝛼1 =
{︃
𝑔0 > 0 при 𝛼1 = 0 ⇔ 𝑥 ∈ Δ0;
𝑔1 < 0 при 𝛼1 = 1 ⇔ 𝑥 ∈ Δ1;
лiнiйнiсть i монотоннiсть функцiї 𝜔 на цилiндрах першого рангу стає
очевидною. Коректнiсть означення i неперервнiсть 𝜔 є наслiдком рiв-
ностей 𝜔(𝑔20) = 𝜔(Δ01(0)) = 𝜔(Δ11(0)) = Δ1(0) = 𝑔0.
144 Працьовитий М. В., Лисенко I. М., Маслова Ю. П.
Iнварiантними точками оператора лiвостороннього зсуву цифр 𝜔
є 0 = Δ(0) i Δ(1) = 𝑔0 + 𝑔0𝑔1 + 𝑔0𝑔
2
1 + ... = 𝑔0
2+𝑔0
.
Зауваження 6.1. Теорема 6.1 засвiдчує суттєву вiдмiннiсть Δ–зобра-
ження вiд iнших вiдомих двосимвольних зображень, зокрема 𝑄2–
зображення, 𝑄̃–зображення [11] та ланцюгового 𝐴2–зображення.
Теорема 6.2. Iнварiантною мiрою оператора 𝜔 лiвостороннього зсу-
ву цифр Δ–зображення чисел є мiра 𝜇𝜏 , що вiдповiдає розподiлу непе-
рервної випадкової величини 𝜏 = Δ𝜏1𝜏2,...,𝜏𝑛,..., цифр (𝜏𝑛) Δ–зображен-
ня якої є незалежними й однаково розподiленими, якi набувають
значень 𝑃{𝜏𝑛 = 0} = 𝑝0, 𝑃{𝜏𝑛 = 1} = 𝑝1, 0 < 𝑝0 < 1.
Доведення. Будь-яка борелiвська пiдмножина вiдрiзка [0; 𝑔0] як зав-
годно точно може бути наближена об’єднанням цилiндрiв. Оскiльки
мiра 𝜇𝜏 неперервна, то вона однозначно визначається значеннями на
цилiндричних множинах, а саме:
𝜇𝜏 (Δ𝑐1𝑐2...𝑐𝑛) = 𝑝𝑁0
0 𝑝𝑁1
1 , 𝑁1 = 𝑐1 + 𝑐2 + ...+ 𝑐𝑛, 𝑁0 ≡ 𝑛−𝑁1.
Тому достатньо довести, що 𝜇𝜏 (𝜔−1) = 𝜇𝜏 . Для цього виразимо
𝜔−1(Δ𝑐1𝑐2...𝑐𝑛) = Δ0𝑐1𝑐2...𝑐𝑛 ∪Δ1𝑐1𝑐2...𝑐𝑛 .
𝜇𝜏 (𝜔
−1(Δ𝑐1𝑐2...𝑐𝑛)) =𝜇𝜏 (Δ0𝑐1𝑐2...𝑐𝑛 ∪Δ1𝑐1𝑐2...𝑐𝑛) =
=𝑝0𝑝
𝑁0
0 𝑝𝑁1
1 + 𝑝𝑁0
0 𝑝1𝑝
𝑁1
1 =
=𝑝𝑁0
0 𝑝𝑁1
1 (𝑝0 + 𝑝1) = 𝑝𝑁0
0 𝑝𝑁1
1 = 𝜇𝜏 (Δ𝑐1𝑐2...𝑐𝑛).
Отже, 𝜇𝜏 є iнварiантною мiрою оператора 𝜔.
Теорема 6.3. Якщо (𝜏𝑛) — послiдовнiсть незалежних однаково роз-
подiлених випадкових величин, якi набувають значень 0 i 1 з ймо-
вiрностями 𝑝0 i 𝑝1, тобто 𝑃{𝜏𝑛 = 𝑖} = 𝑝𝑖, 0 < 𝑝𝑖 < 1, 𝑖 = 0, 1,
то розподiл випадкової величини 𝜏 = Δ𝜏1𝜏2...𝜏𝑛... є рiвномiрним при
𝑝0 = 𝑔0 i сингулярно неперервним при 𝑝0 ̸= 𝑔0.
Доведення. Згiдно з теоремою Лебега кожна неперервна монотонна
функцiя майже скрiзь у розумiннi мiри Лебега має скiнченну похiдну.
Геометрiя числових рядiв: ряд як модель дiйсного числа в но . . . 145
Якщо в точцi 𝑥0 похiдна iснує, то вона обчислюється за формулою
𝐹 ′
𝜏 (𝑥0) = lim
𝑛→∞
𝑃{𝜏 ∈ Δ𝛼1(𝑥0)𝛼2(𝑥0)...𝛼𝑛(𝑥0)}
|Δ𝛼1(𝑥0)𝛼2(𝑥0)...𝛼𝑛(𝑥0)|
= lim
𝑛→∞
𝑝𝑁0
0 𝑝𝑁1
1
𝑔0
𝑛∏︀
𝑗=1
|𝑔𝑐𝑗 |
=
=
1
𝑔0
lim
𝑛→∞
⎛⎝ 𝑝
𝑁0
𝑛
0 𝑝
𝑁1
𝑛
1
𝑔
𝑁0
𝑛
0 |𝑔1|
𝑁1
𝑛
⎞⎠𝑛
=
1
𝑔0
lim
𝑛→∞
⎡⎣(︂𝑝0
𝑔0
)︂𝑁0
𝑛
(︂
𝑝1
|𝑔1|
)︂𝑁1
𝑛
⎤⎦𝑛 =
=
1
𝑔0
lim
𝑛→∞
[︂(︂
𝑝0
𝑔0
)︂𝜈0 (︂ 𝑝1
|𝑔1|
)︂𝜈1]︂𝑛
,
де 𝑁1 = 𝛼1(𝑥0) + ... + 𝛼𝑛(𝑥0), 𝑁0 = 𝑛 − 𝑁1, 𝜈1(𝑥) = lim
𝑛→∞
𝑁1(𝑥,𝑛)
𝑛 ,
𝜈0(𝑥) = 1− 𝜈1(𝑥), 𝑁1(𝑥, 𝑛) = 𝛼1(𝑥) + ...+ 𝛼𝑛(𝑥).
Можна довести (це робиться аналогiчно до мiркувань i висновкiв,
наведених у роботi для 𝑄2-зображення) таке твердження: для майже
всiх 𝑥 = Δ𝛼1(𝑥)𝛼2(𝑥)...𝛼𝑛(𝑥)... ∈ [0; 𝑔0] у розумiннi мiри Лебега викону-
ються рiвностi: 𝜈0(𝑥) = 𝑔0, 𝜈1(𝑥) = 𝑔1. Тому для 𝑥0, що належить
множинi повної мiри Лебега, для кожної точки якої iснує скiнченна
похiдна i 𝜈0(𝑥0) = 𝑔0, 𝜈1(𝑥0) = 𝑔1 маємо 𝐹 ′(𝑥0) = 0, оскiльки при
𝑝0 ̸= 𝑔0 виконується 𝑝
𝑔0
0 𝑝
|𝑔1|
1
𝑔
𝑔0
0 |𝑔1|𝑔1
< 1. Отже, при 𝑝0 ̸= 𝑔0 функцiя розпо-
дiлу 𝐹𝜏 є сингулярною (її похiдна майже скрiзь дорiвнює нулю).
Якщо 𝑝0 = 𝑔0, то
𝑃{𝜏 ∈ Δ𝑐1𝑐2...𝑐𝑚} = 𝑝𝑁0
0 𝑝𝑁1
1 = 𝑔𝑁0
0 |𝑔1|𝑁1 =
1
𝑔0
|Δ𝑐1𝑐2...𝑐𝑚 |,
тобто розподiл 𝜏 на [0; 𝑔0] є рiвномiрним.
[1] Працьовитий М.В. Геометрiя класичного двiйкового зображення дiй-
сних чисел. — Київ: Вид-во НПУ iм. М.П. Драгоманова. — 2012. — 68с.
[2] Працьовитий М.В. Фрактальний пiдхiд у дослiдженнях сингулярних
розподiлiв. — Київ: Вид-во НПУ iм. М.П. Драгоманова. — 1998. — 296с.
[3] Маркiтан В. П., Працьовитий М. В., Савченко I. О. Суперфракталь-
нiсть множини неповних сум одного додатного ряду // Український
математичний журнал. — 2018. — Т. 70, №10. — С. 1403–1416.
[4] Працьовитий М.В., Свинчук О.В. Розсiювання значень однiєї фра-
ктальної неперервної немонотонної функцiї канторiвського типу //
Нелiнiйнi коливання. — 2018. — Т.21, №1. — С. 116–130.
146 Працьовитий М. В., Лисенко I. М., Маслова Ю. П.
[5] Дмитренко С.О., Кюрчев Д.В., Працьовитий М.В. Ланцюгове 𝐴2-
зображення дiйсних чисел та його геометрiя // Український матема-
тичний журнал. — 2009. — Т. 61, №9. — С. 452-463.
[6] Василенко Н.М. Фiбоначчiєвi подання дiйсних чисел // Наук. часопис
НПУ iм. М.П. Драгоманова. Серiя 1. Фiзико-математичнi науки. — Ки-
їв: Вид-во НПУ iм. М.П. Драгоманова. — 2005. — № 6. — С. 261-271.
[7] Працьовитий О.М. Про один специфiчний спосiб кодування дiйсних
чисел та його застосування // Студентськi фiзико-математичнi етю-
ди. — Київ: Вид-во НПУ iменi М.П. Драгоманова. — 2008. — № 7. — С.
57–67.
[8] Працевитый Н.В. Случайные величины с независимыми 𝑄2-
символами // Асимптотические методы в исследовании стохастиче-
ских моделей. — Киев: Ин-т математики АН УССР. — 1987. — С. 92–
102.
[9] Працевитый Н.В., Торбин Г.М. Случайные величины с независимы-
ми 𝑄*-знаками // Случайные эволюции: теоретические и прикладные
задачи. — Киев: Ин-т математики АН Украины. — 1992. — С. 95–104.
[10] Працевитий М.В. Фрактальнi властивостi розподiлiв випадкових вели-
чин, 𝑄2-знаки яких утворюють однорiдний ланцюг Маркова // Асим-
птотичний аналiз випадкових еволюцiй. — Київ: Iн-т математики АН
України. — 1994. — С. 249–254.
[11] Працевитый Н.В. Полiосновне 𝑄̃-представлення i фрактальнi матема-
тичнi об’єкти з ним пов’язанi // Фрактальний аналiз та сумiжнi пи-
тання. — Київ: IМ НАН України – НПУ iменi М.П. Драгоманова. —
1998. — № 2. — С. 14–35.
[12] Працьовита I.М., Заднiпряний М.В. Розклади чисел в ряди Сiльвестра
та їх застосування // Наук. часопис НПУ iм. М. П. Драгоманова. Серiя
1. Фiзико-математичнi науки. — Київ: Вид-во НПУ iм. М. П. Драго-
манова. — 2009. — № 10. — С. 174–189.
[13] Galambos J. Representations of real numbers by infinite series // Lecture
Notes in Mathematics. –– vol. 502 (E. D. Itor, ed.),–– Springer, Berlin, ––
1976.
[14] Kakeya S. On the partial sums of an infinite series // Tôhoku Sci Rep. ––
1914. –– 3, no. 4. –– P. 159–164.
[15] Nymann J. E., Sáenz R. A. On the paper of Guthrie and Nymann on
subsums of infinite series // Colloq. Math.–– 2000. –– 83. –– P. 323–327.
[16] Schweiger F. Ergodic theory of fibred system and metric number theory //
Oxford Sci.Publ., (E. D. Itor, ed.).–– Oxford Univ. Press, –– New York, ––
1995. –– 295 p.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-437 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-08-04T01:07:22Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/ed/42f8902116a34cc1f59dc8652d6b39ed.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-4372020-08-10T19:26:13Z Geometry of numerical series: a series as a model of a real number in a new two-character number coding system Геометрия числовых рядов: ряд как модель действительного числа в новой двосимвольнiй системе кодирования чисел Геометрiя числових рядiв: ряд як модель дiйсного числа в новiй двосимвольнiй системi кодування чисел Pratsevytyi, M.V. Lysentko, I.M. Maslova, Yu.P. Працевитый, Н.В. Лысенко, И.М. Маслова, Ю.П. Працьовитий, М.В. Лисенко, І.М. Маслова, Ю.П. In the paper, we consider sets of incomplete sums of subharmonic normalized series. Their topological, metric, and fractal properties are studied. We give model examples and prove theorems of existence as well as mas- siveness of classes of series. A new polybase two-symbol system of encoding of real numbers with zero redundancy is also introduced. It is topologically equivalent to representation of numbers by ????2 -continued fractions and by nega-binary representation. For this system, we describe geometry (properties of cylindrical sets) and foundations of metric theory. Стаття присвячена множинам неповних сум субгармонiчних нормованих рядiв, їхнiм тополого–метричним i фрактальним властивостям, а також однiй новiй полiосновнiй двосимвольнiй системi кодування дiйсних числе з нульовою надлишковiстю, топологiчно еквiвалентнiй до зображення чисел ланцюговими ????2 –дробами й нега–двiйковим зображенням. Для першої тематики наводяться модельнi приклади i дово- дяться теореми iснування, а також масивностi класiв рядiв, для другої — проводиться опис геометрiї (властивостей цилiндричних множин) i основ метричної теорiї. Інститут математики НАН України 2020-08-10 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/437 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 15 No. 1 (2018): Mathematical problems of mechanics and computational mathematics ; 132-146 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 15 № 1 (2018): Математические проблемы механики и вычислительной математики ; 132-146 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 15 № 1 (2018): Математичнi проблеми механiки та обчислювальної математики; 132-146 3083-7529 1815-2910 uk en https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/437/434 Авторське право (c) 2020 M.V. Pratsevytyi, I.M. Lysentko, Yu.P. Maslova http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Pratsevytyi, M.V. Lysentko, I.M. Maslova, Yu.P. Працевитый, Н.В. Лысенко, И.М. Маслова, Ю.П. Працьовитий, М.В. Лисенко, І.М. Маслова, Ю.П. Geometry of numerical series: a series as a model of a real number in a new two-character number coding system |
| title | Geometry of numerical series: a series as a model of a real number in a new two-character number coding system |
| title_alt | Геометрия числовых рядов: ряд как модель действительного числа в новой двосимвольнiй системе кодирования чисел Геометрiя числових рядiв: ряд як модель дiйсного числа в новiй двосимвольнiй системi кодування чисел |
| title_full | Geometry of numerical series: a series as a model of a real number in a new two-character number coding system |
| title_fullStr | Geometry of numerical series: a series as a model of a real number in a new two-character number coding system |
| title_full_unstemmed | Geometry of numerical series: a series as a model of a real number in a new two-character number coding system |
| title_short | Geometry of numerical series: a series as a model of a real number in a new two-character number coding system |
| title_sort | geometry of numerical series: a series as a model of a real number in a new two-character number coding system |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/437 |
| work_keys_str_mv | AT pratsevytyimv geometryofnumericalseriesaseriesasamodelofarealnumberinanewtwocharacternumbercodingsystem AT lysentkoim geometryofnumericalseriesaseriesasamodelofarealnumberinanewtwocharacternumbercodingsystem AT maslovayup geometryofnumericalseriesaseriesasamodelofarealnumberinanewtwocharacternumbercodingsystem AT pracevityjnv geometryofnumericalseriesaseriesasamodelofarealnumberinanewtwocharacternumbercodingsystem AT lysenkoim geometryofnumericalseriesaseriesasamodelofarealnumberinanewtwocharacternumbercodingsystem AT maslovaûp geometryofnumericalseriesaseriesasamodelofarealnumberinanewtwocharacternumbercodingsystem AT pracʹovitijmv geometryofnumericalseriesaseriesasamodelofarealnumberinanewtwocharacternumbercodingsystem AT lisenkoím geometryofnumericalseriesaseriesasamodelofarealnumberinanewtwocharacternumbercodingsystem AT maslovaûp geometryofnumericalseriesaseriesasamodelofarealnumberinanewtwocharacternumbercodingsystem AT pratsevytyimv geometriâčislovyhrâdovrâdkakmodelʹdejstvitelʹnogočislavnovojdvosimvolʹnijsistemekodirovaniâčisel AT lysentkoim geometriâčislovyhrâdovrâdkakmodelʹdejstvitelʹnogočislavnovojdvosimvolʹnijsistemekodirovaniâčisel AT maslovayup geometriâčislovyhrâdovrâdkakmodelʹdejstvitelʹnogočislavnovojdvosimvolʹnijsistemekodirovaniâčisel AT pracevityjnv geometriâčislovyhrâdovrâdkakmodelʹdejstvitelʹnogočislavnovojdvosimvolʹnijsistemekodirovaniâčisel AT lysenkoim geometriâčislovyhrâdovrâdkakmodelʹdejstvitelʹnogočislavnovojdvosimvolʹnijsistemekodirovaniâčisel AT maslovaûp geometriâčislovyhrâdovrâdkakmodelʹdejstvitelʹnogočislavnovojdvosimvolʹnijsistemekodirovaniâčisel AT pracʹovitijmv geometriâčislovyhrâdovrâdkakmodelʹdejstvitelʹnogočislavnovojdvosimvolʹnijsistemekodirovaniâčisel AT lisenkoím geometriâčislovyhrâdovrâdkakmodelʹdejstvitelʹnogočislavnovojdvosimvolʹnijsistemekodirovaniâčisel AT maslovaûp geometriâčislovyhrâdovrâdkakmodelʹdejstvitelʹnogočislavnovojdvosimvolʹnijsistemekodirovaniâčisel AT pratsevytyimv geometriâčislovihrâdivrâdâkmodelʹdijsnogočislavnovijdvosimvolʹnijsistemikoduvannâčisel AT lysentkoim geometriâčislovihrâdivrâdâkmodelʹdijsnogočislavnovijdvosimvolʹnijsistemikoduvannâčisel AT maslovayup geometriâčislovihrâdivrâdâkmodelʹdijsnogočislavnovijdvosimvolʹnijsistemikoduvannâčisel AT pracevityjnv geometriâčislovihrâdivrâdâkmodelʹdijsnogočislavnovijdvosimvolʹnijsistemikoduvannâčisel AT lysenkoim geometriâčislovihrâdivrâdâkmodelʹdijsnogočislavnovijdvosimvolʹnijsistemikoduvannâčisel AT maslovaûp geometriâčislovihrâdivrâdâkmodelʹdijsnogočislavnovijdvosimvolʹnijsistemikoduvannâčisel AT pracʹovitijmv geometriâčislovihrâdivrâdâkmodelʹdijsnogočislavnovijdvosimvolʹnijsistemikoduvannâčisel AT lisenkoím geometriâčislovihrâdivrâdâkmodelʹdijsnogočislavnovijdvosimvolʹnijsistemikoduvannâčisel AT maslovaûp geometriâčislovihrâdivrâdâkmodelʹdijsnogočislavnovijdvosimvolʹnijsistemikoduvannâčisel |