Continuous nowhere monotonic function, defined in terms of non-ternary and chain A2-fractions
We study properties of continuous nowhere monotonicity function on [0; 1], which is defined in terms of nega-3-adic and $A_2$ -representation of real numbers. We proved a correctness of its definition, continuity and monotony, and described some properties of its graph and sets of levels.
Saved in:
| Date: | 2020 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2020
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/438 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552942005911552 |
|---|---|
| author | Pratsevytyi, M.V. Chuykov, A.S. Працевитый, Н.В. Чуйков, А.С. Працьовитий, М.В. Чуйков, А.С. |
| author_facet | Pratsevytyi, M.V. Chuykov, A.S. Працевитый, Н.В. Чуйков, А.С. Працьовитий, М.В. Чуйков, А.С. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "M.V. Pratsevytyi",
"institution": "National Pedagogical Dragomanov University"
},
{
"author": "A.S. Chuykov",
"institution": "Institute of mathematics of National Academy of Sciences"
}
] |
| author_sort | Pratsevytyi, M.V. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-10T19:26:13Z |
| description | We study properties of continuous nowhere monotonicity function on [0; 1], which is defined in terms of nega-3-adic and $A_2$ -representation of real numbers. We proved a correctness of its definition, continuity and monotony, and described some properties of its graph and sets of levels. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:07:26Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2018, т. 15, № 1, 147–161
УДК 511.72+517.5
Неперервна нiде не монотонна
функцiя, означена в термiнах
нега-трiйкових i ланцюгових
𝐴2-дробiв
М.В. Працьовитий 1, А. С. Чуйков 2
1 IМ НАН України, НПУ iменi М.П. Драгоманова, Київ;
prats4444@gmail.com,
2 IМ НАН України, Київ; chyikov.artem@gmail.com
We study properties of continuous nowhere monotonicity function on [0; 1],
which is defined in terms of nega-3-adic and 𝐴2-representation of real num-
bers. We proved a correctness of its definition, continuity and monotony,
and described some properties of its graph and sets of levels.
Вивчаються властивостi неперервної на [0; 1] нiде не монотонної функ-
цiї, означеної в термiнах нега-трiйкового i ланцюгового 𝐴2-зображення
дiйсних чисел. Доведено коректнiсть її означення, неперервнiсть i нi-
де не монотоннiсть, описано деякi властивостi її графiка i множини
рiвнiв.
Вступ
Неперервнi функцiї з фрактальними властивостями – популярний
об’єкт у дослiдженнях минулих десятирiч. Це функцiї, якi мають
властивостi самоподiбностi, самоафiнностi, автомодельностi (графi-
кiв або рiвнiв); функцiї, множини особливостей яких мають неодно-
рiдну локальну тополого-метричну структуру тощо. Значний клас та-
ких функцiй утворюють нiде не монотоннi, скрiзь або майже скрiзь
недиференцiйовнi функцiї. Сьогоднi вiдомо чимало класiв указаних
функцiй, якi належать сiм’ї нiде не монотонних функцiй [4,5,9]. Окре-
мим прикладом такої функцiї сьогоднi мало кого здивуєш. Актуаль-
нiшими є методи вивчення їхнiх властивостей, схеми дослiдження,
новi прийоми обґрунтування фактiв.
c○ Працьовитий М.В., Чуйков А.С., 2018
148 Працьовитий М. В., Чуйков А. С.
Використовуючи нега-трiйкове зображення дiйсних чисел i введе-
не в роботi [1] ланцюгове 𝐴2-зображення, ми означуємо аналог непе-
рервної нiде не монотонної й недиференцiйовної функцiї, яка вивча-
лась у роботах [2, 3, 7, 8], i дослiджуємо її властивостi.
Вiдомо, що для довiльного 𝑥 ∈ [0; 1] iснує така послiдовнiсть (𝛼𝑛),
𝛼𝑛 ∈ 𝐴3 ≡ {0, 1, 2}, де
𝑥 =
3
4
+
∞∑︁
𝑛=1
𝛼𝑛
(−3)𝑛
=
3
4
− 𝛼1
3
+
𝛼2
32
− 𝛼3
33
+ . . . ≡ Δ−3
𝛼1𝛼2...𝛼𝑛....
Таке подання числа у формi ряду називається нега-трiйковим
представленням, а символiчний запис 𝑥 = Δ−3
𝛼1𝛼2...𝛼𝑛... – його нега-
трiйковим зображенням. Зауважимо, що нега-трiйкове зображення,
як показано в [?], є перекодуванням класичного трiйкового зображе-
ння чисел. Кожне iррацiональне число має нескiнченне неперiодичне
зображення, а кожне рацiональне можна подати як нескiнченне пе-
рiодичне нега-трiйкове зображення не бiльш нiж двома способами.
Причому, для чисел, якi можна подати як два нега-трiйковi зображе-
ння, вони мають вигляд:
𝑥 ≡ Δ−3
𝛼1𝛼2...𝛼𝑛−1𝛼𝑛(20)
= Δ−3
𝛼1𝛼2...𝛼𝑛−1[𝛼𝑛−1](02) ≡ 𝑥′, (1)
де круглi дужки означають перiод.
Цилiндром рангу m з основою 𝑐1𝑐2 . . . 𝑐𝑚 називається множина
Δ−3
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚 = {𝑥|𝑥 = Δ−3
𝛼1𝛼2...𝛼𝑚𝛼𝑚+1..., 𝛼𝑖(𝑥) = 𝑐𝑖, 𝑖 = 1, 2, . . . ,𝑚}.
Цилiндр є вiдрiзком, а саме:
Δ−3
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚 =
⎧⎨⎩
[︁
Δ−3
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚(20),Δ
−3
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚(02)
]︁
, якщо 𝑚 – парне;[︁
Δ−3
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚(02),Δ
−3
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚(20)
]︁
, якщо 𝑚 – непарне.
(2)
Цилiндри одного рангу збiгаються або не мають спiльних внутрiшнiх
точок.
Вiдомо також [1], що довiльне дiйсне число 𝑥 ∈ [1/2; 1] можна
представити нескiнченним ланцюговим дробом
𝑥 =
1
𝑎1 +
1
𝑎2 + . . .+
1
𝑎𝑛 + . . .
≡ [𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑛, . . .], (3)
Неперервна нiде не монотонна функцiя, означена в термiнах . . . 149
де 𝑎𝑛 ∈ 𝐴′
2 ≡ { 1
2 ; 1}, 𝑛 ∈ 𝑁. Розклад (3) дiйсного числа 𝑥 ∈ [1/2; 1]
називається його ланцюговим 𝐴2-представленням. Рiвнiсть (3) ско-
рочено записуватимемо 𝑥 = Δ𝐴2
𝛼1𝛼2...𝛼𝑛..., де
𝛼𝑛 =
{︂
0, якщо 𝑎𝑛 = 1/2;
1, якщо 𝑎𝑛 = 1,
i називатимемо ланцюговим 𝐴2-зображенням числа 𝑥.
Iснують числа, що мають два ланцюговi 𝐴2-зображення. Вони ви-
черпуються такими: 𝑥 = Δ𝐴2
𝛼1𝛼2...𝛼𝑛1(10)
= Δ𝐴2
𝛼1𝛼2...𝛼𝑛0(01)
.
1 Основний об’єкт дослiдження
Розглядається функцiя 𝑦 = 𝑓(𝑥), аргумент якої має нега-трiйкове
зображення
𝑥 = Δ−3
𝛼1𝛼2...𝛼𝑛... ≡
3
4
+
∞∑︁
𝑛=1
𝛼𝑛
(−3)𝑛
, 𝛼𝑛 ∈ 𝐴3,
а значення функцiї має ланцюгове 𝐴2-зображення 𝑓(𝑥) = Δ𝐴2
𝛽1𝛽2...𝛽𝑛...
,
причому
𝛽1 =
{︂
1, якщо 𝛼1 = 2;
0, якщо 𝛼1 ̸= 2; 𝛽𝑘+1 =
{︂
1− 𝛽𝑘, якщо 𝛼𝑘+1 + 𝛼𝑘 = 2;
𝛽𝑘, якщо 𝛼𝑘+1 + 𝛼𝑘 ̸= 2.
(4)
Для вивчення властивостей функцiї корисною є описана в [1] гео-
метрiя ланцюгового 𝐴2-зображення.
Цилiндром рангу 𝑚 iз основою 𝑐1𝑐2 . . . 𝑐𝑚 називають множину та-
ких 𝑥, якi мають ланцюгове𝐴2-зображення з першими𝑚 елементами,
що дорiвнюють вiдповiдно 𝑐1, 𝑐2, . . . , 𝑐𝑚, тобто
Δ𝐴2
𝑐1...𝑐𝑚 = {𝑥|𝑥 = Δ𝐴2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚𝛼𝑚+1𝛼𝑚+2...}.
Довжина цилiндра Δ𝐴2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚 обчислюється за формулою
⃒⃒
Δ𝐴2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚
⃒⃒
=
1
(𝑞𝑚−1 + 𝑞𝑚)(𝑞𝑚−1 + 2𝑞𝑚)
,
де 𝑞𝑚 – знаменник пiдхiдного дробу числа [0; 𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑚] :
𝑞0 = 1, 𝑞1 = 𝑎1, 𝑞𝑛+1 = 𝑎𝑛+1𝑞𝑛 + 𝑞𝑛−1, 𝑎𝑛 =
{︂
1
2 , якщо 𝑐𝑛 = 0;
1, якщо 𝑐𝑛 = 1.
150 Працьовитий М. В., Чуйков А. С.
Основне метричне вiдношення для 𝐴2-зображення чисел:⃒⃒⃒
Δ𝐴2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑛0
⃒⃒⃒
⃒⃒⃒
Δ𝐴2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑛
⃒⃒⃒ =
2 +
𝑞𝑛−1
𝑞𝑛
3 + 2
𝑞𝑛−1
𝑞𝑛
,
⃒⃒⃒
Δ𝐴2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑛1
⃒⃒⃒
⃒⃒⃒
Δ𝐴2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑛
⃒⃒⃒ =
1 +
𝑞𝑛−1
𝑞𝑛
3 + 2
𝑞𝑛−1
𝑞𝑛
.
2 Коректнiсть означення функцiї
Коректнiсть означення функцiї у нега-трiйково-iррацiональних то-
чках не викликає сумнiвiв. Обґрунтуємо його коректнiсть у нега-
трiйково-рацiональних точках, тобто що для рiзних нега-трiйкових
зображень того самого рацiонального значення аргумента
𝑥 ≡ Δ−3
𝛼1𝛼2...𝛼𝑘−1𝛼𝑘(20)
= Δ−3
𝛼1𝛼2...𝛼𝑘−1[𝛼𝑘−1](02) ≡ 𝑥′
виконується рiвнiсть: 𝑓(Δ−3
𝛼1𝛼2...𝛼𝑘−1𝛼𝑘(20)
) = 𝑓(Δ−3
𝛼1𝛼2...𝛼𝑘−1[𝛼𝑘−1](02)).
Нехай Δ𝐴2
𝛽1𝛽2...𝛽𝑘...
— зображення значення функцiї для зображен-
ня аргумента Δ−3
𝛼1𝛼2...𝛼𝑘−1𝛼𝑘(20)
, а Δ𝐴2
𝛽′
1𝛽
′
2...𝛽
′
𝑘...
— зображення значення
функцiї для зображення аргумента Δ−3
𝛼1𝛼2...𝛼𝑘−1[𝛼𝑘−1](02).
Оскiльки 𝛼𝑘 ̸= 0, то [𝛼𝑘 − 1] ∈ {0, 1}. З означення функцiї маємо⎧⎨⎩
𝛽𝑖 = 𝛽′
𝑖, 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑘 − 1;
𝛽𝑘+𝑗 = 1− 𝛽𝑘+𝑗−1, 𝑗 = 2, 3, . . .;
𝛽′
𝑘+𝑗 = 1− 𝛽′
𝑘+𝑗−1, 𝑗 = 2, 3, . . ..
Усього iснує 3 випадки. Випадок 1.
{︂
𝛼𝑘−1 + 𝛼𝑘 = 2,
𝛼𝑘−1 + 𝛼𝑘 − 1 ̸= 2.
Тодi⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
𝛽𝑘 = 1− 𝛽𝑘−1,
𝛽𝑘+1 = 𝛽𝑘 = 1− 𝛽𝑘−1,
𝛽𝑘+2 = 1− 𝛽𝑘+1 = 𝛽𝑘−1,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;
⇒
⎧⎨⎩ 𝛽𝑘 = 1− 𝛽𝑘−1,
𝛽𝑘+2𝑗−1 = 1− 𝛽𝑘−1,
𝛽𝑘+2𝑗 = 𝛽𝑘−1, 𝑗 ∈ 𝑁.
Отже, 𝑦 = 𝑓
(︁
Δ−3
𝛼1𝛼2...𝛼𝑘−1𝛼𝑘(20)
)︁
= Δ𝐴2
𝛽1𝛽2...𝛽𝑘−1[1−𝛽𝑘−1](1−𝛽𝑘−1,𝛽𝑘−1)
.
Аналогiчно,⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
𝛽′
𝑘 = 𝛽′
𝑘−1 = 𝛽𝑘−1,
𝛽′
𝑘+1 = 𝛽′
𝑘 = 𝛽′
𝑘−1 = 𝛽𝑘−1,
𝛽′
𝑘+2 = 1− 𝛽′
𝑘+1 = 1− 𝛽𝑘−1,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;
⇒
⎧⎨⎩
𝛽′
𝑘 = 𝛽𝑘−1,
𝛽′
𝑘+2𝑗−1 = 𝛽𝑘−1,
𝛽′
𝑘+2𝑗 = 1− 𝛽𝑘−1, 𝑗 ∈ 𝑁.
Неперервна нiде не монотонна функцiя, означена в термiнах . . . 151
Тодi 𝑦′ = 𝑓
(︁
Δ−3
𝛼1𝛼2...𝛼𝑘−1[𝛼𝑘−1](02)
)︁
= Δ𝐴2
𝛽1𝛽2...𝛽𝑘−1𝛽𝑘−1(𝛽𝑘−1,1−𝛽𝑘−1)
.
Випадок 2.
{︂
𝛼𝑘−1 + 𝛼𝑘 ̸= 2,
𝛼𝑘−1 + 𝛼𝑘 − 1 = 2.
Маємо
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
𝛽𝑘 = 𝛽𝑘−1,
𝛽𝑘+1 = 𝛽𝑘 = 𝛽𝑘−1,
𝛽𝑘+2 = 1− 𝛽𝑘+1 = 1− 𝛽𝑘−1,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;
⇒
⎧⎨⎩ 𝛽𝑘 = 𝛽𝑘−1,
𝛽𝑘+2𝑗−1 = 𝛽𝑘−1,
𝛽𝑘+2𝑗 = 1− 𝛽𝑘−1, 𝑗 ∈ 𝑁.
Тодi 𝑦 = 𝑓
(︁
Δ−3
𝛼1𝛼2...𝛼𝑘−1𝛼𝑘(20)
)︁
= Δ𝐴2
𝛽1𝛽2...𝛽𝑘−1𝛽𝑘−1(𝛽𝑘−1,1−𝛽𝑘−1)
.
Аналогiчно,⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
𝛽′
𝑘 = 1− 𝛽′
𝑘−1 = 1− 𝛽𝑘−1,
𝛽′
𝑘+1 = 𝛽′
𝑘 = 1− 𝛽′
𝑘−1 = 1− 𝛽𝑘−1,
𝛽′
𝑘+2 = 1− 𝛽′
𝑘+1 = 𝛽𝑘−1,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;
⇒
⎧⎨⎩
𝛽′
𝑘 = 1− 𝛽𝑘−1,
𝛽′
𝑘+2𝑗−1 = 1− 𝛽𝑘−1,
𝛽′
𝑘+2𝑗 = 𝛽𝑘−1, 𝑗 ∈ 𝑁.
Тодi 𝑦′ = 𝑓
(︁
Δ−3
𝛼1𝛼2...𝛼𝑘−1[𝛼𝑘−1](02)
)︁
= Δ𝐴2
𝛽1𝛽2...𝛽𝑘−1[1−𝛽𝑘−1](1−𝛽𝑘−1,𝛽𝑘−1)
.
Випадок 3.
{︂
𝛼𝑘−1 + 𝛼𝑘 ̸= 2,
𝛼𝑘−1 + 𝛼𝑘 − 1 ̸= 2.
Маємо
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
𝛽𝑘 = 𝛽𝑘−1,
𝛽𝑘+1 = 𝛽𝑘 = 𝛽𝑘−1,
𝛽𝑘+2 = 1− 𝛽𝑘+1 = 1− 𝛽𝑘−1,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;
⇒
⎧⎨⎩ 𝛽𝑘 = 𝛽𝑘−1,
𝛽𝑘+2𝑗−1 = 𝛽𝑘−1,
𝛽𝑘+2𝑗 = 1− 𝛽𝑘−1, 𝑗 ∈ 𝑁.
Отже, 𝑦 = 𝑓
(︁
Δ−3
𝛼1𝛼2...𝛼𝑘−1𝛼𝑘(20)
)︁
= Δ𝐴2
𝛽1𝛽2...𝛽𝑘−1𝛽𝑘−1(𝛽𝑘−1,1−𝛽𝑘−1)
.
Аналогiчно,⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
𝛽′
𝑘 = 𝛽′
𝑘−1 = 𝛽𝑘−1,
𝛽𝑘+1 = 𝛽′
𝑘 = 𝛽′
𝑘−1 = 𝛽𝑘−1,
𝛽′
𝑘+2 = 1− 𝛽′
𝑘+1 = 1− 𝛽𝑘−1,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;
⇒
⎧⎨⎩
𝛽′
𝑘 = 1− 𝛽𝑘−1,
𝛽′
𝑘+2𝑗−1 = 𝛽𝑘−1,
𝛽′
𝑘+2𝑗 = 1− 𝛽𝑘−1, 𝑗 ∈ 𝑁.
Тодi 𝑦′ = 𝑓
(︁
Δ−3
𝛼1𝛼2...𝛼𝑘−1[𝛼𝑘−1](02)
)︁
= Δ𝐴2
𝛽1𝛽2...𝛽𝑘−1𝛽𝑘−1(𝛽𝑘−1,1−𝛽𝑘−1)
.
Отже, 𝑦 i 𝑦′ є 𝐴2-зображенням того самого 𝐴2-рацiонального чи-
сла.
152 Працьовитий М. В., Чуйков А. С.
3 Неперервнiсть функцiї
𝐴2-рацiональними називають точки з вiдрiзка [0, 5; 1], якi є кiнцями
деякого цилiндра. До таких точок належать тi, що мають два ланцю-
говi 𝐴2-зображення, а також точки 0, 5 i 1. Якщо ж точка 𝑥 не є кiн-
цем жодного цилiндра, то таку точку називають 𝐴2-iррацiональною.
Теорема 3.1. Функцiя 𝑦 = 𝑓(𝑥) є неперервною на пiвiнтервалi (0; 1].
Доведення. Нехай 𝑥0 = Δ−3
𝛼1𝛼2𝛼3... ∈ (0, 1] – 𝐴2-iррацiональна точка,
𝑥′ = Δ−3
𝛼′
1𝛼
′
2𝛼
′
3...
. Нехай 𝑥0 i 𝑥′ належать одному цилiндру 𝑚-го рангу,
i рiзним цилiндрам 𝑚 + 1-го рангу. Це означає, що iснує 𝑚 : 𝛼𝑖 = 𝛼′
𝑖
при 𝑖 ≤ 𝑚, i 𝛼𝑚+1 ̸= 𝛼′
𝑚+1. Тодi той факт, що 𝑥′ → 𝑥0, рiвносильний
умовi 𝑚→ ∞. Тодi
|𝑓(𝑥′)− 𝑓(𝑥0)| ≤ |Δ𝐴2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚 | → 0, при 𝑚→ ∞.
Нехай тепер аргумент 𝑥 є 𝐴2-рацiональним числом, тобто його
можна подати у виглядi двох перiодичних нега-трiйкових зображень
(1). Очевидно, що{︂
𝛽𝑖(𝑥) = 𝛽𝑖(𝑥
′), 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑘 − 1;
𝛽𝑘+𝑗(𝑥) = 𝛽𝑘+𝑗(𝑥
′), 𝑗 = 2, 3, . . ..
Оскiльки 2 + 𝛼𝑘 ̸= 2, то 𝛽𝑘+1(𝑥) = 𝛽𝑘(𝑥). Аналогiчно, оскiльки 0 +
𝛼𝑘 − 1 ̸= 2, то 𝛽𝑘+1(𝑥
′) = 𝛽𝑘(𝑥
′).
Залишилось визначити 𝛽𝑘(𝑥) i 𝛽𝑘(𝑥′). Розглянувши три випадки,
як i при доведеннi коректностi, впевнюємося, що значення функцiї
вiд двох рiзних зображень є тим самим 𝐴2-рацiональним числом.
4 Нiде не монотоннiсть функцiї
Неперервна функцiя називається нiде не монотонною, якщо вона не
має жодного як завгодно малого промiжку монотонностi.
Теорема 4.1. Функцiя 𝑦 = 𝑓(𝑥) є нiде не монотонною.
Доведення. Для доведення нiде не монотонностi покажемо, що у ко-
жному цилiндрi можна обрати такий пiдцилiндр, у якому можна вка-
зати точки, пов’язанi нерiвнiстю
𝑥1 < 𝑥2 < 𝑥3, (5)
Неперервна нiде не монотонна функцiя, означена в термiнах . . . 153
для яких виконується одна з двох нерiвностей:
𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2) > 𝑓(𝑥3) або 𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2) < 𝑓(𝑥3).
На довiльному цилiндрi парного рангу Δ−3
𝛼1𝛼2...𝛼2𝑘
розглянемо точки:
𝑥1 = Δ−3
𝛼1𝛼2...𝛼2𝑘(2)
, 𝑥2 = Δ−3
𝛼1𝛼2...𝛼2𝑘(1)
, 𝑥3 = Δ−3
𝛼1𝛼2...𝛼2𝑘(0)
.
Оскiльки
𝑥1 − 𝑥2 =
(︃
3
4
−
𝛼1
3
+
𝛼1
32
− . . .+
𝛼2𝑘
32𝑘
−
2
32𝑘+1
+ . . .
)︃
−
−
(︃
3
4
−
𝛼1
3
+
𝛼1
32
− . . .+
𝛼2𝑘
32𝑘
−
1
32𝑘+1
+ . . .
)︃
=
= −
1
32𝑘+1
(︃
1−
1
3
+
1
32
− . . .
)︃
=
− 1
4 · 32𝑘
< 0,
то 𝑥1 < 𝑥2. Аналогiчно показуємо, що 𝑥2 < 𝑥3. Отже, чинне (5).
Розглянемо випадок, коли 𝛼2𝑘 = 0. Тодi: 𝑓(𝑥1) = Δ𝐴2
𝛽1𝛽2...𝛽2𝑘(1−𝛽2𝑘)
,
𝑓(𝑥2) = Δ𝐴2
𝛽1𝛽2...𝛽2𝑘(𝛽2𝑘,1−𝛽2𝑘)
, 𝑓(𝑥3) = Δ𝐴2
𝛽1𝛽2...𝛽2𝑘(𝛽2𝑘)
.
Нехай 𝛽2𝑘 = 0. Тодi 𝑓(𝑥1) = Δ𝐴2
𝛽1𝛽2...𝛽2𝑘−10(1)
,
𝑓(𝑥2) = Δ𝐴2
𝛽1𝛽2...𝛽2𝑘−10(01)
, 𝑓(𝑥3) = Δ𝐴2
𝛽1𝛽2...𝛽2𝑘−10(0)
.
З властивостей ланцюгових дробiв маємо:
𝛽2𝑘+1(𝑥1) > 𝛽2𝑘+1(𝑥2) ⇒ 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2),
𝛽2𝑘+2(𝑥2) > 𝛽2𝑘+2(𝑥3) ⇒ 𝑓(𝑥2) > 𝑓(𝑥3).
Отже, 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2) > 𝑓(𝑥3).
Нехай 𝛽2𝑘 = 1. Тодi 𝑓(𝑥1) = Δ𝐴2
𝛽1𝛽2...𝛽2𝑘−11(0)
,
𝑓(𝑥2) = Δ𝐴2
𝛽1𝛽2...𝛽2𝑘−11(10)
, 𝑓(𝑥3) = Δ𝐴2
𝛽1𝛽2...𝛽2𝑘−11(1)
.
З властивостей ланцюгових дробiв маємо:
𝛽2𝑘+1(𝑥1) < 𝛽2𝑘+1(𝑥2) ⇒ 𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2),
154 Працьовитий М. В., Чуйков А. С.
𝛽2𝑘+2(𝑥2) < 𝛽2𝑘+2(𝑥3) ⇒ 𝑓(𝑥2) < 𝑓(𝑥3).
Отже, 𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2) < 𝑓(𝑥3). При 𝛼2𝑘 ∈ {1, 2} висновки аналогiчнi.
Вказавши для кожного цилiндра три значення аргумента, для
яких дiють вище зазначенi системи нерiвностей, ми довели нiде не
монотоннiсть функцiї.
Лема 4.1. На цилiндрi Δ−3
𝛼1𝛼2...𝛼𝑛−11
максимум або мiнiмум функцiї
досягаєтья у його внутрiшнiй точцi 𝑥0 = Δ−3
𝛼1𝛼2...𝛼𝑛−11(1)
.
Доведення. Розглянемо цилiндр Δ−3
𝛼1𝛼2...𝛼𝑛−11
. Його кiнцями є точки:
𝑥1 = Δ−3
𝛼1𝛼2...𝛼𝑛−11(02)
𝑥2 = Δ−3
𝛼1𝛼2...𝛼𝑛−11(20)
.
Функцiя набуває у цих точках однакових значень:
𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) = Δ−3
𝛽1𝛽2...𝛽𝑛−1𝛽𝑛(𝛽𝑛,1−𝛽𝑛)
.
Оскiльки функцiя є неперервною i вiдмiнною вiд константи, то макси-
мального або мiнiмального значення вона набуде у деякiй внутрiшнiй
точцi. Нехай 𝑥0 = Δ−3
𝛼1𝛼2...𝛼𝑛−11(1)
, тодi
𝑓(𝑥0) = Δ𝐴2
𝛽1𝛽2...𝛽𝑛−1𝛽𝑛
(1− 𝛽𝑛, 𝛽𝑛).
Доведемо, що для всiх iнших значень функцiї з цього цилiндра вико-
нується нерiвнiсть 𝑓(𝑥) > 𝑓(𝑥0) (або 𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑥0)). Нехай спочатку 𝑛
– парне число; розглянемо можливi випадки.
Випадок 1. Виберемо у цилiндрi Δ−3
𝛼1𝛼2...𝛼𝑛−11
довiльну точку 𝑥 =
Δ−3
𝛼1𝛼2...𝛼𝑛−11𝛼𝑛+1...
, таку, що 𝛼𝑛+1 ∈ {0; 2}. Тодi
𝑓(𝑥) = Δ𝐴2
𝛽1𝛽2...𝛽𝑛−100...
> 𝑓(𝑥0) = Δ𝐴2
𝛽1𝛽2...𝛽𝑛−10(10)
, якщо 𝛽𝑛 = 0,
𝑓(𝑥) = Δ𝐴2
𝛽1𝛽2...𝛽𝑛−111...
< 𝑓(𝑥0) = Δ𝐴2
𝛽1𝛽2...𝛽𝑛−11(01)
, якщо 𝛽𝑛 = 1.
Випадок 2. Виберемо тепер у цилiндрi Δ−3
𝛼1𝛼2...𝛼𝑛−11
довiльну точку
𝑥 = Δ−3
𝛼1𝛼2...𝛼𝑛−11𝛼𝑛+1...
, таку, що 𝛼𝑛+𝑘−1 = 1, 𝑘 ∈ 𝑁 , але 𝛼𝑛+𝑘 ̸= 1. То-
дi, якщо 𝑛+ 𝑘 – парне i 𝛽𝑛+𝑘 = 0, то 𝑓(𝑥) > 𝑓(𝑥0); якщо ж 𝛽𝑛+𝑘 = 1,
то 𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑥0). Для непарного значення 𝑛+𝑘 знаки цих нерiвностей
змiнюватимуться на протилежнi.
Для непарного значення 𝑛 можна дiйти аналогiчних висновкiв, при-
чому знаки нерiвностей будуть змiненi на протилежнi.
Неперервна нiде не монотонна функцiя, означена в термiнах . . . 155
Отже, на цилiндрах парного рангу 𝑥0 – точка мiнiмуму, якщо 𝛽𝑛 =
0, i точка максимуму, якщо 𝛽𝑛 = 1. На цилiндрах непарного рангу 𝑥0
– точка максимуму, якщо 𝛽𝑛 = 0, i точка мiнiмуму, якщо 𝛽𝑛 = 1.
Лема 4.2. На цилiндрi Δ−3
𝛼1𝛼2...𝛼𝑚−1𝛼𝑚
, де 𝛼𝑚 ∈ {0; 2}, функцiя на-
буває свого найбiльшого i найменшого значення на кiнцях цилiндра.
Доведення. Розглянемо цилiндр Δ−3
𝛼1𝛼2...𝛼𝑛−10
, i нехай 𝑛 – парне чи-
сло. Оскiльки образ цилiндра Δ−3
𝛼1𝛼2...𝛼𝑛−10
є пiдмножиною цилiндра
Δ𝐴2
𝛽1𝛽2...𝛽𝑛−1𝛽𝑛
, то – за властивостями ланцюгових дробiв – максималь-
не значення функцiї не перевищуватиме значення 𝑓1 = Δ𝐴2
𝛽1𝛽2...𝛽𝑛−1𝛽𝑛(01)
.
Доведемо, що цього значення функцiя набуває на кiнцi цилiндра й,
можливо, ще в однiй внутрiшнiй точцi цилiндра. Нехай
𝑥𝑚𝑎𝑥 = Δ−3
𝛼1𝛼2...𝛼𝑛−10𝛼𝑛+1𝛼𝑛+2...
,
а 𝛽𝑛 = 0, тодi 𝑓(𝑥𝑚𝑎𝑥) = Δ𝐴2
𝛽1𝛽2...𝛽𝑛−10(01)
.
Оскiльки 𝛽𝑛+1(𝑓(𝑥𝑚𝑎𝑥)) = 𝛽𝑛(𝑓(𝑥𝑚𝑎𝑥)), то 𝛼𝑛+1 + 𝛼𝑛 ̸= 2, тобто
𝛼
(1)
𝑛+1(𝑥𝑚𝑎𝑥) = 0 або 𝛼(2)
𝑛+1(𝑥𝑚𝑎𝑥) = 1. Далi, оскiльки 𝛽𝑛+2(𝑓(𝑥𝑚𝑎𝑥)) ̸=
𝛽𝑛+1(𝑓(𝑥𝑚𝑎𝑥)), то 𝛼𝑛+2 + 𝛼𝑛+1 = 2, тобто
𝛼
(1)
𝑛+2(𝑥𝑚𝑎𝑥) = 2 або 𝛼
(2)
𝑛+2(𝑥𝑚𝑎𝑥) = 1,
i далi. Отже,
𝑥(1)𝑚𝑎𝑥 = Δ−3
𝛼1𝛼2...𝛼𝑛−10(02)
− правий кiнець цилiндра,
𝑥(2)𝑚𝑎𝑥 = Δ−3
𝛼1𝛼2...𝛼𝑛−10(1)
− внутрiшня точка цилiндра.
Нехай тепер 𝛽𝑛 = 1. Оскiльки 𝛽𝑛+1(𝑓(𝑥𝑚𝑎𝑥)) ̸= 𝛽𝑛(𝑓(𝑥𝑚𝑎𝑥)), то
𝛼𝑛+1(𝑥𝑚𝑎𝑥) + 𝛼𝑛(𝑥𝑚𝑎𝑥) = 2,
отже, 𝛼𝑛+1(𝑥𝑚𝑎𝑥) = 2. Оскiльки 𝛽𝑛+2(𝑓(𝑥𝑚𝑎𝑥)) ̸= 𝛽𝑛+1(𝑓(𝑥𝑚𝑎𝑥)), то
𝛼𝑛+2(𝑥𝑚𝑎𝑥) + 𝛼𝑛+1(𝑥𝑚𝑎𝑥) = 2, тобто 𝛼𝑛+2(𝑥𝑚𝑎𝑥) = 0 i далi. Таким
чином, 𝑥𝑚𝑎𝑥 = Δ−3
𝛼1𝛼2...𝛼𝑛−10(20)
− лiвий кiнець цилiндра. Мiнiмаль-
не значення функцiї на цилiндрi Δ−3
𝛼1𝛼2...𝛼𝑛−10
буде не меншим за
𝑓2 = Δ𝐴2
𝛽1𝛽2...𝛽𝑛−1𝛽𝑛(10)
. Доведемо, що це значення досягатиметься на
одному з кiнцiв цилiндра й, можливо, ще в однiй внутрiшнiй його
точцi.
156 Працьовитий М. В., Чуйков А. С.
Нехай 𝑥𝑚𝑖𝑛 = Δ−3
𝛼1𝛼2...𝛼𝑛−10𝛼𝑛+1𝛼𝑛+2...
, i нехай 𝛽𝑛 = 0. Тодi, повто-
рюючи наведенi вище мiркування, отримуємо, що
𝑥𝑚𝑖𝑛 = Δ−3
𝛼1𝛼2...𝛼𝑛−10(20)
− лiвий кiнець цилiндра.
При 𝛽𝑛 = 1 аналогiчним чином доходимо висновку, що мiнiмальне
значення функцiї досягається у двох точках:
𝑥
(1)
𝑚𝑖𝑛 = Δ−3
𝛼1𝛼2...𝛼𝑛−10(02)
− правий кiнець цилiндра.
𝑥
(1)
𝑚𝑖𝑛 = Δ−3
𝛼1𝛼2...𝛼𝑛−10(1)
− внутрiшня точка цилiндра.
Для непарного значення 𝑛 i для 𝛼𝑛 = 2 доведення аналогiчне.
5 Множини рiвнiв функцiї
Множиною рiвня 𝑦0 функцiї 𝑓 називається множина
𝑓−1(𝑦0) = {𝑥 : 𝑓(𝑥) = 𝑦0}.
Лема 5.1. 1) Якщо 𝐴2-зображення точки 𝑦0 має вигляд Δ𝐴2
(01), то
множина 𝑓−1(𝑦0) складається зi двох точок.
2) Якщо 𝐴2-зображення точки 𝑦0 має вигляд Δ𝐴2
(10), то множина
𝑓−1(𝑦0) складається з однiєї точки.
3) Якщо в 𝐴2-зображення точки 𝑦0 всi цифри дорiвнюють 0, то
множина 𝑓−1(𝑦0) є злiченною множиною.
Доведення. 1) Нехай 𝑦0 = Δ𝐴2
(01). Оскiльки 𝛽1 = 0, то, виходячи з
означення функцiї, 𝛼1 ∈ {0; 1}. Оскiльки 𝛽2 = 1 = 1−𝛽1, то 𝛼2+𝛼1 =
2, тобто 𝛼2 = 2, якщо 𝛼1 = 0 i 𝛼2 = 1, якщо 𝛼1 = 1. Аналогiчно,
оскiльки 𝛽3 = 0, то 𝛼3 = 0, якщо 𝛼2 = 2 i 𝛼3 = 1, якщо 𝛼2 = 1 i
далi. Отже, прообразами точки 𝑦0 є два значення аргумента: Δ−3
(02)
або Δ−3
(1).
2) Нехай 𝑦0 = Δ𝐴2
(10). Оскiльки 𝛽1 = 1, то 𝛼1 = 2. Далi, оскiльки
𝛽2 = 0 = 1 − 𝛽1, то 𝛼1 + 𝛼2 = 2, тобто 𝛼2 = 0. Продовжуючи цi
мiркування доходимо висновку, що прообразом точки 𝑦0 є лише точка
Δ−3
(20).
3) Нехай 𝑦0 = Δ𝐴2
(0). Оскiльки 𝛽1 = 0, то 𝛼1 ∈ {0; 1}. Те, що 𝛽𝑘+1
дорiвнює 0, рiвносильно до того, що 𝛼𝑘 + 𝛼𝑘+1 ̸= 2. Отже, кожна
наступна цифра аргумента може приймати два значення, i перелiк
усiх значень аргументiв, для яких 𝛼𝑘+𝛼𝑘+1 ̸= 2, легко занумерувати
за зростанням вiдповiдних цифр.
Неперервна нiде не монотонна функцiя, означена в термiнах . . . 157
6 Автомодельнiсть графiка функцiї
Теорема 6.1. 1) Частина
Γ1 = {𝑀(𝑥, 𝑦) : 𝑥 = Δ−3
1𝛼2𝛼3...𝛼𝑛...
, 𝑦 = 𝑓(𝑥)} графiка Γ функцiї 𝑓
симетрична вiдносно прямої 𝑥 = Δ−3
(1).
2) Вiдображення, яке переводить частину графiка
Γ0 = {𝑀(𝑥, 𝑦) : 𝑥 = Δ−3
0𝛼2𝛼3...𝛼𝑛...
, 𝑦 = 𝑓(𝑥)}
в частину Γ2 = {𝑀(𝑥, 𝑦) : 𝑥 = Δ−3
2𝛼2𝛼3...𝛼𝑛...
, 𝑦 = 𝑓(𝑥)}
задається формулою:{︃
𝑥′ = Δ−3
[2−𝛼1][2−𝛼2]...[2−𝛼𝑛]...
,
𝑦′ = Δ𝐴2
[1−𝛽1][1−𝛽2]...[1−𝛽𝑛]...
.
Доведення. 1. Вiдомо, що графiк функцiї 𝑦 = 𝑓(𝑥) має вiсь симетрiї
𝑥 = 𝑎 тодi i лише тодi, коли 2𝑎−𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) ∀𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) i 𝑓(2𝑎−𝑥) = 𝑓(𝑥).
Вiзьмiмо довiльний 𝑥0 з цилiндра Δ−3
1 : 𝑥0 = Δ−3
1𝛼2𝛼3...𝛼𝑛...
i нехай
𝑓(𝑥0) = Δ𝐴2
1𝛽2𝛽3...𝛽𝑛...
.
Тодi
𝑥1 = 2 ·Δ−3
(1) − 𝑥0 = 2 ·Δ−3
(1) −Δ−3
1𝛼2𝛼3...𝛼𝑛...
=
= 2 ·
(︃
3
4
−
1
3
+
1
32
−
1
33
+ . . .
)︃
−
(︂
3
4
− 1
3
+
𝛼2
32
− 𝛼3
33
+ . . .
)︂
=
=
(︃
3
4
−
1
3
+
2− 𝛼2
32
−
2− 𝛼3
33
+ . . .
)︃
= Δ−3
1[2−𝛼2][2−𝛼3]...[2−𝛼𝑛]...
.
Якщо 𝛼2 + 1 = 2, то [2− 𝛼2] + 1 = 4− (𝛼2 + 1) = 2.
Якщо 𝛼𝑘+1 +𝛼𝑘 = 2, то [2−𝛼𝑘+1] + [2−𝛼𝑘] = 4− (𝛼𝑘+1 +𝛼𝑘) =
2, 𝑘 = 2, 3, . . .; це означає, що 𝑓(𝑥1) = Δ𝐴2
1𝛽2𝛽3...𝛽𝑛...
Ми отримали, що 𝑓
(︁
2 ·Δ−3
(1) − 𝑥0
)︁
= 𝑓(𝑥0), ∀𝑥0 ∈ Γ1, тобто ча-
стина графiка Γ1 симетрична вiдносно прямої 𝑥 = Δ−3
(1).
2. Нехай𝑀(𝑥, 𝑦) ∈ Γ0, тобто 𝑥 = Δ−3
0𝛼2𝛼3...𝛼𝑛...
, 𝑦 = 𝑓(𝑥) = Δ𝐴2
0𝛽2𝛽3...𝛽𝑛...
,
тодi 𝑥′ = Δ−3
[2−𝛼1][2−𝛼2]...[2−𝛼𝑛]...
= Δ−3
2[2−𝛼2]...[2−𝛼𝑛]...
. Звiдси
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
𝛽1 = 0, 𝛽2 =
{︂
1− 𝛽1, якщо 𝛼2 = 2;
𝛽1, якщо 𝛼2 ̸= 2;
𝛽𝑘+2 =
{︂
1− 𝛽𝑘+1, якщо 𝛼𝑘+2 + 𝛼𝑘+1 = 2;
𝛽𝑘+1, якщо 𝛼𝑘+2 + 𝛼𝑘+1 ̸= 2, 𝑘 ∈ 𝑁 .
⇒
158 Працьовитий М. В., Чуйков А. С.⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
𝛽′
1 = 1 = 1− 𝛽1,
𝛽′
2 =
{︂
1− 𝛽′
1, якщо [2− 𝛼2] + 2 = 2;
𝛽′
1, якщо [2− 𝛼2] + 2 ̸= 2;
𝛽′
𝑘+2 =
{︂
1− 𝛽′
𝑘+1, якщо [2− 𝛼𝑘+2] + [2− 𝛼𝑘+1] = 2;
𝛽′
𝑘+1, якщо [2− 𝛼𝑘+2] + [2− 𝛼𝑘+1] ̸= 2, 𝑘 ∈ 𝑁 .
Звiдси бачимо, що 𝛽′
𝑖 = 1 − 𝛽𝑖, 𝑖 ∈ 𝑁 , тобто 𝑦′ = 𝑓(𝑥′) =
Δ𝐴2
[1−𝛽1][1−𝛽2]...[1−𝛽𝑛]...
.
7 Варiацiйнi властивостi функцiї
Лема 7.1. Для амплiтуди 𝛿 коливання функцiї дiє рiвнiсть
𝛿
(︀
Δ̄3
𝛼1...𝛼𝑚
)︀
≡ max
𝑥∈Δ̄3
𝛼1...𝛼𝑚
𝑓(𝑥)− min
𝑥∈Δ̄3
𝛼1...𝛼𝑚
𝑓(𝑥) = |Δ𝐴2
𝛽1𝛽2...𝛽𝑚
|.
Доведення. Нехай 𝑛 – парне число. Тодi цилiндр Δ𝐴2
𝛽1𝛽2...𝛽𝑚
є вiд-
рiзком iз кiнцями: [Δ𝐴2
𝛽1𝛽2...𝛽𝑚(10),Δ
𝐴2
𝛽1𝛽2...𝛽𝑚(01)]. Розглянемо цилiндр
Δ̄3
𝛼1𝛼2...𝛼𝑚
. Нехай 𝛼𝑚 = 0. Тодi числа
𝑦1 ≡ 𝑓(Δ̄3
𝛼1...𝛼𝑚(02)) = Δ𝐴2
𝛽1𝛽2...𝛽𝑚(𝛽𝑚,1−𝛽𝑚),
𝑦2 ≡ 𝑓(Δ̄3
𝛼1...𝛼𝑚(20)) = Δ𝐴2
𝛽1𝛽2...𝛽𝑚(1−𝛽𝑚,𝛽𝑚)
є кiнцями цилiндра Δ𝐴2
𝛽1𝛽2...𝛽𝑚
. Нехай 𝛼𝑚 = 1. Тодi числа
𝑦1 ≡ 𝑓(Δ̄3
𝛼1...𝛼𝑚(1)) = Δ𝐴2
𝛽1𝛽2...𝛽𝑚(1−𝛽𝑚,𝛽𝑚),
𝑦2 ≡ 𝑓(Δ̄3
𝛼1...𝛼𝑚(02)) = Δ𝐴2
𝛽1𝛽2...𝛽𝑚(𝛽𝑚,1−𝛽𝑚)
є кiнцями цилiндра Δ𝐴2
𝛽1𝛽2...𝛽𝑚
. Нехай 𝛼𝑚 = 2. Тодi числа
𝑦1 ≡ 𝑓(Δ̄3
𝛼1...𝛼𝑚(02)) = Δ𝐴2
𝛽1𝛽2...𝛽𝑚(1−𝛽𝑚,𝛽𝑚),
𝑦2 ≡ 𝑓(Δ̄3
𝛼1...𝛼𝑚(20)) = Δ𝐴2
𝛽1𝛽2...𝛽𝑚(𝛽𝑚,1−𝛽𝑚)
є кiнцями цилiндра Δ𝐴2
𝛽1𝛽2...𝛽𝑚
.
Таким чином, у всiх випадках |𝑦1 − 𝑦2| = |Δ𝐴2
𝛽1𝛽2...𝛽𝑚
|, отже, амплi-
туда 𝛿 коливання функцiї на цилiндрi Δ̄3
𝛼1...𝛼𝑚
дорiвнює довжинi
Δ𝐴2
𝛽1𝛽2...𝛽𝑚
.
При непарному значеннi 𝑛 мiркування аналогiчнi.
Неперервна нiде не монотонна функцiя, означена в термiнах . . . 159
Лема 7.2. Має мiсце подвiйна нерiвнiсть
1
3
|Δ𝐴2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑛 | < |Δ𝐴2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑛𝑖
| <
2
3
|Δ𝐴2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑛 |. (6)
Доведення. Перепишемо нерiвнiсть у формi
1
3
<
|Δ𝐴2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑛𝑖
|
|Δ𝐴2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑛 |
<
2
3
.
Доведемо спочатку першу нерiвнiсть. З рiвностей
|Δ𝐴2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑛2−1 |
|Δ𝐴2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑛 |
=
2 +
𝑞𝑛−1
𝑞𝑛
3 + 2
𝑞𝑛−1
𝑞𝑛
,
|Δ𝐴2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑛1
|
|Δ𝐴2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑛 |
=
1 +
𝑞𝑛−1
𝑞𝑛
3 + 2
𝑞𝑛−1
𝑞𝑛
,
де 0 <
𝑞𝑛−1
𝑞𝑛
< 1, бачимо, що
|Δ𝐴2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑛𝑖
|
|Δ𝐴2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑛 |
набуде меншого значення
при 𝑖 = 1.
Оскiльки функцiя 𝑓1(𝑥) =
1 + 𝑥
3 + 2𝑥
є зростаючою, то
|Δ𝐴2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑛1
|
|Δ𝐴2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑛 |
> inf
𝑥∈(0;1)
𝑓1(𝑥) = 𝑓1(0) =
1
3
.
Доведемо тепер другу нерiвнiсть.
Максимального значення дрiб
|Δ𝐴2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑛𝑖
|
|Δ𝐴2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑛 |
набуде при 𝑖 = 2−1.
Оскiльки функцiя 𝑓2(𝑥) =
2 + 𝑥
3 + 2𝑥
є спадною, то
|Δ𝐴2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑛2−1 |
|Δ𝐴2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑛 |
< sup
𝑥∈(0;1)
𝑓2(𝑥) = 𝑓2(0) =
2
3
.
Наслiдок 7.1. 2|Δ𝐴2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑛𝑖
| > |Δ𝐴2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑛(1−𝑖)|.
160 Працьовитий М. В., Чуйков А. С.
Доведення. З нерiвностi (6) отримуємо
|Δ𝐴2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑛 | < 3|Δ𝐴2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑛𝑖
| ⇔
|Δ𝐴2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑛𝑖
|+ |Δ𝐴2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑛(1−𝑖)| < 3|Δ𝐴2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑛 | ⇔
⇔ |Δ𝐴2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑛(1−𝑖)| < 2|Δ𝐴2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑛𝑖
|.
Теорема 7.1. Функцiя 𝑓 є функцiєю необмеженої варiацiї.
Доведення. Оскiльки образом цилiндра 𝑛-го рангу нега-трiйкового
зображення числа при вiдображеннi 𝑓 є цилiндр 𝐴2-зображення того
самого рангу, причому точно два образи цилiндрiв
Δ̄3
𝛼1...𝛼𝑛0, Δ̄
3
𝛼1...𝛼𝑛1, Δ̄
3
𝛼1...𝛼𝑛2
збiгаються, то варiацiя 𝑉 функцiї 𝑓 є не меншою вiд сумарної дов-
жини образiв 𝑉𝑛 усiх цилiндрiв рангу 𝑛, тобто
𝑉 ≥ 𝑉𝑛 ≡
2∑︁
𝛼1=0
. . .
2∑︁
𝛼𝑛=0
|𝑓(Δ̄3
𝛼1...𝛼𝑚
)|.
Якщо Δ𝐴2
𝛽1𝛽2...𝛽𝑛
= 𝑓(Δ̄3
𝛼1...𝛼𝑛
), то
2∑︁
𝑖=0
|𝑓(Δ̄3
𝛼1...𝛼𝑛𝑖)| = |Δ𝐴2
𝛽1𝛽2...𝛽𝑛0
|+ |Δ𝐴2
𝛽1𝛽2...𝛽𝑛1
|+ |Δ𝐴2
𝛽1𝛽2...𝛽𝑛𝑐
| =
= |Δ𝐴2
𝛽1𝛽2...𝛽𝑛
|+ |Δ𝐴2
𝛽1𝛽2...𝛽𝑛𝑐
|, де 𝑐 ∈ {0; 1}.
Оскiльки 1
3 |Δ
𝐴2
𝛽1𝛽2...𝛽𝑛
| < |Δ𝐴2
𝛽1𝛽2...𝛽𝑛𝑖
| < 2
3 |Δ
𝐴2
𝛽1𝛽2...𝛽𝑛
|, то
2∑︁
𝑖=0
|𝑓(Δ̄3
𝛼1...𝛼𝑛𝑖)| > |Δ𝐴2
𝛽1𝛽2...𝛽𝑛
|+
1
3
|Δ𝐴2
𝛽1𝛽2...𝛽𝑛
| =
4
3
|Δ𝐴2
𝛽1𝛽2...𝛽𝑛
|.
Отже,
𝑉𝑛+1 ≡
2∑︁
𝛼1=0
. . .
2∑︁
𝛼𝑛=0
2∑︁
𝑖=0
|𝑓(Δ̄3
𝛼1...𝛼𝑛𝑖)| >
>
4
3
2∑︁
𝛼1=0
. . .
2∑︁
𝛼𝑛=0
|𝑓(Δ̄3
𝛼1...𝛼𝑛
)| ≡ 4
3
𝑉𝑛.
Неперервна нiде не монотонна функцiя, означена в термiнах . . . 161
Таким чином,
𝑉𝑛+1 >
4
3
𝑉𝑛 >
(︂
4
3
)︂2
𝑉𝑛−1 > . . . >
(︂
4
3
)︂𝑛+1
· |Δ| → ∞ при 𝑛→ ∞,
а отже, варiацiя 𝑉 ≡ lim
𝑛→∞
𝑉𝑛 = ∞.
[1] Дмитренко С.О., Кюрчев Д.В., Працьовитий М.В. Ланцюгове 𝐴2-
зображення дiйсних чисел та його геометрiя // Український матема-
тичний журнал. — 2009. — 61,9. — С. 452-463.
[2] Коваль В.В. Самоафiннi графiки функцiй // Науковий часопис НПУ
iменi М. П. Драгоманова. Серiя 1. Фiзико-математичнi науки. — Київ:
Вид-во НПУ iменi М. П. Драгоманова. — 2004. — № 5. — С. С. 292-299.
[3] Панасенко О.Б. Розмiрнiсть Хаусдорфа-Безиковича однiєї неперерв-
ної нiде не диференцiйовної функцiї // Український математичний
журнал. — 2009. — 61, 9. — С. 1225-1239.
[4] Працьовитий М.В., Василенко Н.А. Одна сiм’я неперервних нiде не
монотонних функцiй з фрактальними властивостями // Наук. часопис
НПУ iм. М. П. Драгоманова. Серiя 1. Фiзико-математичнi науки. —
Київ: Вид-во НПУ iм. М. П. Драгоманова. — 2013. — № 14. — С. 176-
188.
[5] Працьовитий М.В., Свинчук О.В. Розсiювання значень однiєї фра-
ктальної неперервної немонотонної функцiї канторiвського типу //
Нелiнiйнi коливання. — 2018. — 21, 1. — С. 116–130.
[6] Працьовитий М.В. Фрактальний пiдхiд у дослiдженнях сингулярних
розподiлiв. — Київ: Вид-во НПУ iм. М. П. Драгоманова. — 1998. —
296с.
[7] Працевитый Н.В. Непрерывные канторовские проекторы // Мето-
ды исследования алгебраических и топологических структур. — Киeв:
ВКГПИ. — 1989. — С. 95-105.
[8] Працьовитий М.В. Фрактальнi властивостi однiєї неперервної нiде не-
диференцiйовної функцiї // Науковi записки НПУ iменi М. П. Дра-
гованова. — Київ: Вид-во НПУ iменi М. П. Драгоманова. — 2002. —
Вип. 3. — С. 351-362.
[9] Турбин А.Ф., Працевитый Н.В. Фрактальные множества, функции,
распределения.— Киев; Наук. думка, 1992.— 208 с.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-438 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-08-04T01:07:26Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/cb/da896c59b232af6f0f28c06f866d2bcb.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-4382020-08-10T19:26:13Z Continuous nowhere monotonic function, defined in terms of non-ternary and chain A2-fractions Непрерывная нигде не монотонная функция, опеределенная в терминах нега-троичных и цепных A2-дробей Неперервна нiде не монотонна функцiя, означена в термiнах нега-трiйкових i ланцюгових A2-дробiв Pratsevytyi, M.V. Chuykov, A.S. Працевитый, Н.В. Чуйков, А.С. Працьовитий, М.В. Чуйков, А.С. We study properties of continuous nowhere monotonicity function on [0; 1], which is defined in terms of nega-3-adic and $A_2$ -representation of real numbers. We proved a correctness of its definition, continuity and monotony, and described some properties of its graph and sets of levels. Вивчаються властивостi неперервної на [0; 1] нiде не монотонної функцiї, означеної в термiнах нега-трiйкового i ланцюгового $A_2$ -зображення дiйсних чисел. Доведено коректнiсть її означення, неперервнiсть i нiде не монотоннiсть, описано деякi властивостi її графiка i множини рiвнiв. Інститут математики НАН України 2020-08-10 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/438 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 15 No. 1 (2018): Mathematical problems of mechanics and computational mathematics ; 147-161 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 15 № 1 (2018): Математические проблемы механики и вычислительной математики ; 147-161 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 15 № 1 (2018): Математичнi проблеми механiки та обчислювальної математики; 147-161 3083-7529 1815-2910 uk en https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/438/435 Авторське право (c) 2018 M.V. Pratsevytyi, A.S. Chuykov http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Pratsevytyi, M.V. Chuykov, A.S. Працевитый, Н.В. Чуйков, А.С. Працьовитий, М.В. Чуйков, А.С. Continuous nowhere monotonic function, defined in terms of non-ternary and chain A2-fractions |
| title | Continuous nowhere monotonic function, defined in terms of non-ternary and chain A2-fractions |
| title_alt | Непрерывная нигде не монотонная функция, опеределенная в терминах нега-троичных и цепных A2-дробей Неперервна нiде не монотонна функцiя, означена в термiнах нега-трiйкових i ланцюгових A2-дробiв |
| title_full | Continuous nowhere monotonic function, defined in terms of non-ternary and chain A2-fractions |
| title_fullStr | Continuous nowhere monotonic function, defined in terms of non-ternary and chain A2-fractions |
| title_full_unstemmed | Continuous nowhere monotonic function, defined in terms of non-ternary and chain A2-fractions |
| title_short | Continuous nowhere monotonic function, defined in terms of non-ternary and chain A2-fractions |
| title_sort | continuous nowhere monotonic function, defined in terms of non-ternary and chain a2-fractions |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/438 |
| work_keys_str_mv | AT pratsevytyimv continuousnowheremonotonicfunctiondefinedintermsofnonternaryandchaina2fractions AT chuykovas continuousnowheremonotonicfunctiondefinedintermsofnonternaryandchaina2fractions AT pracevityjnv continuousnowheremonotonicfunctiondefinedintermsofnonternaryandchaina2fractions AT čujkovas continuousnowheremonotonicfunctiondefinedintermsofnonternaryandchaina2fractions AT pracʹovitijmv continuousnowheremonotonicfunctiondefinedintermsofnonternaryandchaina2fractions AT čujkovas continuousnowheremonotonicfunctiondefinedintermsofnonternaryandchaina2fractions AT pratsevytyimv nepreryvnaânigdenemonotonnaâfunkciâoperedelennaâvterminahnegatroičnyhicepnyha2drobej AT chuykovas nepreryvnaânigdenemonotonnaâfunkciâoperedelennaâvterminahnegatroičnyhicepnyha2drobej AT pracevityjnv nepreryvnaânigdenemonotonnaâfunkciâoperedelennaâvterminahnegatroičnyhicepnyha2drobej AT čujkovas nepreryvnaânigdenemonotonnaâfunkciâoperedelennaâvterminahnegatroičnyhicepnyha2drobej AT pracʹovitijmv nepreryvnaânigdenemonotonnaâfunkciâoperedelennaâvterminahnegatroičnyhicepnyha2drobej AT čujkovas nepreryvnaânigdenemonotonnaâfunkciâoperedelennaâvterminahnegatroičnyhicepnyha2drobej AT pratsevytyimv neperervnanidenemonotonnafunkciâoznačenavterminahnegatrijkovihilancûgoviha2drobiv AT chuykovas neperervnanidenemonotonnafunkciâoznačenavterminahnegatrijkovihilancûgoviha2drobiv AT pracevityjnv neperervnanidenemonotonnafunkciâoznačenavterminahnegatrijkovihilancûgoviha2drobiv AT čujkovas neperervnanidenemonotonnafunkciâoznačenavterminahnegatrijkovihilancûgoviha2drobiv AT pracʹovitijmv neperervnanidenemonotonnafunkciâoznačenavterminahnegatrijkovihilancûgoviha2drobiv AT čujkovas neperervnanidenemonotonnafunkciâoznačenavterminahnegatrijkovihilancûgoviha2drobiv |