Application of the commutator calculus to the problem of stabilization of pseudo-linear periodic affine systems
New conditions for the stabilization of affine periodic systems are established. Applying the commutation calculus and the direct Lyapunov method, we obtain control conditions that ensure the stability of affine periodic system, and we also synthesize the control for stabilizing the lower position o...
Збережено в:
| Дата: | 2020 |
|---|---|
| Автори: | , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2020
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/439 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552941672464384 |
|---|---|
| author | Slynko, V.I. Kravchuk, S.V. Слинько, В.И. Кравчук, С.В. Слинько, В.І. Кравчук, С.В. |
| author_facet | Slynko, V.I. Kravchuk, S.V. Слинько, В.И. Кравчук, С.В. Слинько, В.І. Кравчук, С.В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "V.I. Slynko",
"institution": "Institute of Mechanics named after S. P. Timoshenka, NAS of Ukraine"
},
{
"author": "S.V. Kravchuk",
"institution": "Cherkasy National University named after B. Khmelnitsky"
}
] |
| author_sort | Slynko, V.I. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-10T19:26:13Z |
| description | New conditions for the stabilization of affine periodic systems are established. Applying the commutation calculus and the direct Lyapunov method, we obtain control conditions that ensure the stability of affine periodic system, and we also synthesize the control for stabilizing the lower position of equilibrium of a pendulum of variable length. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:07:26Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2018, т. 15, № 1, 162–179
УДК 517.983.27
Применение коммутаторного
исчисления к проблеме
стабилизации псевдолинейных
периодических аффинных систем
В.И. Слынько 1, С.В. Кравчук 2
1 Институт механики им. С.П.Тимошенка НАН Украины, Киев;
vitstab@ukr.net
2 Черкасский национальный университет им. Б.Хмельницкого,
Черкассы; qkp@ukr.net
New conditions for the stabilization of affine periodic systems are es-
tablished. Applying the commutation calculus and the direct Lyapunov
method, we obtain control conditions that ensure the stability of affine pe-
riodic system, and we also synthesize the control for stabilizing the lower
position of equilibrium of a pendulum of variable length.
Установлены новые условия стабилизации аффинных периодических
систем. При применении коммутационных исчислений и прямого мето-
да Ляпунова получены условия на управление, обеспечивающее устой-
чивость афинной периодической системы, также синтезировано управ-
ление для стабилизации нижнего положения равновесия математиче-
ского маятника переменной длины.
Введение
Аффинные системы имеют многочисленные приложения в теории
управления движением. При этом важное значение имеет задача о по-
строении управлений, стабилизирующих стационарный режим дви-
жения аффинной системы. Поскольку при моделировании механиче-
ских систем очень часто приходится учитывать различные внешние
возмущения или действие реономных связей, математической моде-
лью таких систем являются неавтономные аффинные системы. В слу-
чае, когда аффинную систему можно представить в псевдолинейном
c○ Слынько В.И., Кравчук С.В., 2018
Применение коммутаторного исчисления к проблеме стабили . . . 163
виде, синтез стабилизирующих управлений можно провести на основе
идей прямого метода Ляпунова. Отметим, однако, что при исследова-
нии неавтономных систем возникают значительные трудности, свя-
занные с построением вспомогательной функции Ляпунова. Попытки
использования теорем об устойчивости по линейному приближению
или более грубых методов, связанных с теорией интегральных нера-
венств, также фактически не являются конструктивными, поскольку
задача о нахождении фундаментальной матрицы системы линейно-
го приближения, в общем случае, не является разрешимой в явном
виде. Указанные трудности при исследовании общих неавтономных
систем также характерны для систем частного вида — периодических
аффинных систем.
В данной работе рассматривается проблема синтеза стационар-
ных управлений по принципу обратной связи, которые глобально
стабилизируют стационарный режим движения механической систе-
мы с периодическими возмущениями. Для доказательства глобаль-
ной асимптотической устойчивости замкнутой управляемой системы
предложен новый метод, который основан на выделении в правой ча-
сти системы нестационарного линейного приближения с дальнейшим
использованием метода возмущений. При этом для оценки эволюци-
онного оператора линейной периодической части используется новый
метод, основанный на идеях и методах коммутаторного исчисления.
Коммутаторное исчисление возникло в классических работах по
теории групп Ли и тесно связано с обоснованием известной формулы
Хаусдорфа–Бейкера–Кемпбелла. Основные методы коммутаторного
исчисления и его приложения изложены в монографии [2]. Прило-
жение коммутаторного исчисления к проблеме представления фун-
даментальной матрицы линейной неавтономной системы обыкновен-
ных дифференциальных уравнений рассмотрено в работе В. Магну-
са [7]. В настоящей работе коммутаторное исчисление применяется
для получения оценок эволюционного оператора линейного диффе-
ренциального уравнения в гильбертовом пространстве. Предложен-
ный подход основан на следующем наблюдении. Хорошо известно,
что в случае, когда оператор-функция в правой части линейного диф-
ференциального уравнения в гильбертовом пространстве удовлетво-
ряет условию И.А. Лаппо–Данилевского, оператор эволюции этого
уравнения можно найти в явном виде. Для периодических линей-
ных дифференциальных уравнений в этом случае получаются про-
стые условия устойчивости. А именно, динамические свойства (устой-
164 Слынько В.И., Кравчук С.В.
чивость, асимптотическая устойчивость, неустойчивость) этого диф-
ференциального уравнения полностью определяются соответствую-
щими свойствами усреднённого дифференциального уравнения. В
общем случае, когда условие Лаппо–Данилевского не выполняется,
конечно, динамические свойства исходного линейного периодическо-
го дифференциального уравнения и усредненного линейного диффе-
ренциального уравнения существенно отличаются. Далее, в работе
построено линейное импульсное дифференциальное уравнение с по-
стоянными операторными коэффициентами, динамические свойства
которого эквивалентны динамическим свойствам исходного диффе-
ренциального уравнения. При этом непрерывная компонента этого
уравнения совпадает с усреднённым уравнением, а дискретная ком-
понента в некотором смысле компенсирует нарушение условий И.А.
Лаппо–Данилевского.
Работа состоит из 5 разделов и организована следующим обра-
зом. В первом разделе приведены необходимые сведения из теории
свободных ассоциативных алгебр и свободных алгебр Ли. Кратко из-
ложены результаты В. Магнуса, а также получено новое представ-
ление оператора монодромии линейного дифференциального уравне-
ния с периодическими операторными коэффициентами и построено
линейное импульсное дифференциальное уравнение с постоянными
операторными коэффициентами, динамические свойства которого эк-
вивалентны свойствам исходного дифференциального уравнения. Во
втором разделе приводятся основные определения и приведена поста-
новка задачи о глобальной стабилизации аффинных периодических
систем. В третьем разделе синтезировано управление, глобально ста-
билизирующее нулевое решение аффинной периодической системы,
и доказаны условия глобальной стабилизации. В четвертом разде-
ле синтезировано управление, стабилизирующее нижнее положение
равновесия математического маятника переменной длины. В пятом
разделе приведены выводы работы.
Отметим также, что методы, развитые в настоящей работе, обла-
дают значительной общностью, поэтому изложение результатов про-
ведено для линейных уравнений в гильбертовом пространстве. При
этом переход к случаю конечно-мерного гильбертова пространства не
представляет трудностей. Такой подход соответствует современному
состоянию теории устойчивости движения, в которой основные зада-
чи для дифференциальных уравнений в конечно-мерных простран-
ствах решены.
Применение коммутаторного исчисления к проблеме стабили . . . 165
1 Вспомогательные результаты
Приведём некоторые основные алгебраические понятия, которые бу-
дут использованы далее, следуя работам [2,7].
Опишем конструкцию свободной ассоциативной алгебры R над
полем действительных чисел ℝ с двумя генераторами 𝑥, 𝑦. Словом
над алфавитом (𝑥, 𝑦) называется конечная последовательность сим-
волов из алфавита, при этом для последовательности 𝑧 . . . 𝑧⏟ ⏞
𝑛
, где 𝑧 —
генератор, принимается сокращённая запись 𝑧𝑛, 𝑛 ∈ ℕ, 𝑧0 = 1. Базис
алгебры R0 состоит из всех слов над алфавитом (𝑥, 𝑦). Пустое слово
отождествляется с элементом 1 ∈ ℝ, поэтому ℝ ⊂ R0 и поле ℝ явля-
ется центром алгебры R0. Следовательно, R0 состоит из всевозмож-
ных линейных комбинаций слов с коэффициентами из ℝ. Свободная
ассоциативная алгебра R определяется как пополнение алгебры R0
в некоторой специальной топологии и состоит из всех формальных
бесконечных рядов с коэффициентами из поля ℝ. Коммутатор двух
элементов 𝑎 ∈ R, 𝑏 ∈ R определяется формулой
[𝑎, 𝑏] = 𝑎𝑏− 𝑏𝑎
и вводит в R структуру алгебры Ли. Оператор коммутирования ad 𝑎,
𝑎 ∈ R определяется как линейное отображение R ↦→ R
ad 𝑎(𝑦) = [𝑎, 𝑦], 𝑦 ∈ R.
Пусть 𝑓(𝑥, 𝑦) ∈ R, 𝑧 ∈ R, 𝜆 ∈ ℝ, тогда поляризационное тождество
𝑓(𝑥+ 𝜆𝑧, 𝑦) = 𝑓(𝑥, 𝑦) + 𝜆𝑓1(𝑥, 𝑦, 𝑧) + 𝜆2𝑓2(𝑥, 𝑦, 𝑧) + ...
определяет производную Хаусдорфа 𝑧 𝜕𝑓𝜕𝑥
𝑑𝑓
= 𝑓1(𝑥, 𝑦, 𝑧).
Определим рекурсивно следующие лиевы элементы алгебры R
(определение и более подробные сведения о лиевых элементах можно
найти в [7]):
{𝑦, 𝑥0} = 𝑦, {𝑦, 𝑥𝑙+1} = [{𝑦, 𝑥𝑙}, 𝑥], 𝑙 ∈ ℕ.
Легко заметить, что
ad 𝑙𝑥(𝑦) = (−1)𝑙{𝑦, 𝑥𝑙}.
166 Слынько В.И., Кравчук С.В.
Пусть 𝑝(𝑥) =
∞∑︀
𝑘=0
𝑝𝑘𝑥
𝑘 — ряд от генератора 𝑥, тогда по определению
полагают, что
{𝑦, 𝑝(𝑥)} 𝑑𝑓
=
∞∑︁
𝑘=0
𝑝𝑘{𝑦, 𝑥𝑘}.
Отметим также, что если 𝑝(𝑥) =
∞∑︀
𝑘=0
𝑝𝑘𝑥
𝑘, 𝑞(𝑥) =
∞∑︀
𝑘=0
𝑞𝑘𝑥
𝑘, то
{𝑦, 𝑝(𝑥)𝑞(𝑥)} = {{𝑦, 𝑝(𝑥)}, 𝑞(𝑥)}. (1)
Аналогично, для произвольной конечной последовательности 𝑥1, . . . ,
𝑥𝑛 элементов из R определим рекурсивно элемент {𝑥1, . . . , 𝑥𝑛−1, 𝑥𝑛}
{𝑥1, ..., 𝑥𝑛−1, 𝑥𝑛} = [{𝑥1, . . . , 𝑥𝑛−1}, 𝑥𝑛].
Элемент 𝑒𝑥 определяется посредством формулы
𝑒𝑥 =
∞∑︁
𝑘=0
𝑥𝑘
𝑘!
.
При этом
𝑒−𝑥𝑦𝑒𝑥 = {𝑦, 𝑒𝑥} (2)
и справедливы тождества Ф. Хаусдорфа
𝑒−𝑥
(︁
𝑦
𝜕
𝜕𝑥
)︁
𝑒𝑥 =
{︁
𝑦,
𝑒𝑥 − 1
𝑥
}︁
,(︁(︁
𝑦
𝜕
𝜕𝑥
)︁
𝑒𝑥
)︁
𝑒−𝑥 =
{︁
𝑦,
1− 𝑒−𝑥
𝑥
}︁
.
(3)
Пусть 𝒳 — гильбертово пространство со скалярным произведени-
ем (., .) и нормой ‖𝑥‖ =
√︀
(𝑥, 𝑥), 𝐿(𝒳 ) — банахова алгебра линейных
ограниченных операторов, действующих в пространстве 𝑋.
Отметим, что тождества (1)—(3) имеют формальный характер,
однако, для элементов банаховой алгебры 𝐿(𝒳 ), (1) выполняется в
общей части области сходимости рядов 𝑝(𝑥) и 𝑞(𝑥), а (2) и (3) при
всех 𝑥 ∈ 𝐿(𝒳 ), 𝑦 ∈ 𝐿(𝒳 ).
Рассмотрим операторное дифференциальное уравнение
𝑑𝑈(𝑡, 𝑠)
𝑑𝑡
= 𝐴(𝑡)𝑈(𝑡, 𝑠), 𝑈(𝑠, 𝑠) = 𝐼, 𝑡 ≥ 𝑠, (4)
Применение коммутаторного исчисления к проблеме стабили . . . 167
где 𝑈 ∈ 𝐶1(ℝ×ℝ;𝐿(𝒳 )), 𝐴 ∈ 𝐶(ℝ;𝐿(𝒳 )), 𝐼 — тождественный опера-
тор.
В работе В. Магнуса [2] установлены условия, при которых опе-
ратор 𝑈(𝑡, 𝑠) можно представить в виде
𝑈(𝑡, 𝑠) = exp Ω̂(𝑡, 𝑠), 𝑡 ≥ 𝑠.
При этом функция Ω̂(𝑡, 𝑠) является решением задачи Коши для нели-
нейного дифференциального уравнения (уравнения В. Магнуса)
𝑑Ω̂(𝑡, 𝑠)
𝑑𝑡
=
{︁
𝐴(𝑡),
Ω̂(𝑡, 𝑠)
1− 𝑒−Ω̂(𝑡,𝑠)
}︁
=
=
∞∑︁
𝑛=0
𝛽𝑛
{︁
𝐴(𝑡), Ω̂𝑛(𝑡, 𝑠)
}︁
, Ω̂(𝑠, 𝑠) = 0.
(5)
Здесь 𝛽𝑛 = 0 при 𝑛 = 3, 5, . . . , 𝛽2𝑛 = (−1)𝑛−1𝐵2𝑛
(2𝑛)! , при 𝑛 ∈ ℕ и 𝛽0 = 1,
𝐵2𝑛 — числа Бернулли [3].
Интегрирование этой задачи Коши приводит к следующему фор-
мальному представлению
Ω̂(𝑡, 𝑠) =
𝑡∫︁
𝑠
𝐴(𝜏) 𝑑𝜏 +
1
2
𝑡∫︁
𝑠
[︁
𝐴(𝜏),
𝜏∫︁
𝑠
𝐴(𝜎) 𝑑𝜎
]︁
𝑑𝜏+
+
1
4
𝑡∫︁
𝑠
[︁
𝐴(𝜏),
𝜏∫︁
𝑠
[︁
𝐴(𝜎),
𝜎∫︁
𝑠
𝐴(𝜌) 𝑑𝜌
]︁
𝑑𝜎
]︁
𝑑𝜏+
+
1
12
𝑡∫︁
𝑠
[︁[︁
𝐴(𝜏),
𝜏∫︁
𝑠
𝐴(𝜎)𝑑𝜎
]︁
,
𝜏∫︁
𝑠
𝐴(𝜎)𝑑𝜎
]︁
𝑑𝜏 + ...
Эта формула является континуальным обобщением классической
формулы Хаусдорфа–Бейкера–Кемпбелла. Хорошо известно, что ряд
в правой части этой формулы сходится не всегда. Поэтому в насто-
ящей работе будет использовано следующее представление решения
задачи Коши (4)
𝑈(𝑡, 𝑠) = (𝐼 + 𝐹 (𝑡, 𝑠))𝑒
𝑡∫︀
𝑠
𝐴(𝜏) 𝑑𝜏
.
168 Слынько В.И., Кравчук С.В.
Выведем дифференциальное операторное уравнение для функции
𝐹 (𝑡, 𝑠), применяя цепное правило для производной сложной функции
[2]
𝑑𝐹 (𝑡, 𝑠)
𝑑𝑡
=
𝑑𝑈(𝑡, 𝑠)
𝑑𝑡
𝑒−𝐴(𝑡,𝑠)−
−𝑈(𝑡, 𝑠)
(︁
𝐴(𝑡)
𝜕
𝜕𝑋
)︁
𝑒𝑋
⃒⃒⃒
𝑋=−𝐴(𝑡,𝑠)
,
где 𝐴(𝑡, 𝑠) =
𝑡∫︀
𝑠
𝐴(𝜏) 𝑑𝜏 .
Следовательно, с учётом тождества Хаусдорфа,
𝑑𝐹 (𝑡, 𝑠)
𝑑𝑡
= 𝐴(𝑡)𝑈(𝑡, 𝑠)𝑒−𝐴(𝑡,𝑠) + 𝑈(𝑡, 𝑠)𝑒
−
𝑡∫︀
𝑠
𝐴(𝜏) 𝑑𝜏
·
·
{︁
𝐴(𝑡),
𝑒−𝐴(𝑡,𝑠) − 1
𝐴(𝑡, 𝑠)
}︁
= 𝐴(𝑡)(𝐹 (𝑡, 𝑠) + 𝐼)−
−(𝐹 (𝑡, 𝑠) + 𝐼)(𝐴(𝑡)−Ψ(𝑡, 𝑠)) = [𝐴(𝑡), 𝐹 (𝑡, 𝑠)]+
𝐹 (𝑡, 𝑠)Ψ(𝑡, 𝑠) + Ψ(𝑡, 𝑠),
где
Ψ(𝑡, 𝑠) =
∞∑︁
𝑘=1
(−1)𝑘+1
(𝑘 + 1)!
{𝐴(𝑡), 𝐴𝑘(𝑡, 𝑠)}.
Таким образом, функция 𝐹 (𝑡, 𝑠) является решением задачи Коши
𝑑𝐹 (𝑡, 𝑠)
𝑑𝑡
= [𝐴(𝑡), 𝐹 (𝑡, 𝑠)] + 𝐹 (𝑡, 𝑠)Ψ(𝑡, 𝑠) + Ψ(𝑡, 𝑠),
𝐹 (𝑠, 𝑠) = 0.
(6)
2 Постановка задачи
Рассмотрим аффинное псевдолинейное дифференциальное уравне-
ние
𝑑𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
= 𝐴(𝑡, 𝑥(𝑡))𝑥(𝑡) +𝐵(𝑡, 𝑥(𝑡))𝑢(𝑥), (7)
где 𝑥 ∈ 𝒳 , 𝐴 ∈ 𝐶0,1(ℝ × 𝑋;𝐿(𝒳 )), 𝐵 ∈ 𝐶0,1(ℝ × 𝒳 ;𝐿(𝒰 ,𝒳 ))
и существует положительное число 𝜃, когда 𝐴(𝑡 + 𝜃, 𝑥) = 𝐴(𝑡, 𝑥),
𝐵(𝑡 + 𝜃, 𝑥) = 𝐵(𝑡, 𝑥) при всех (𝑡, 𝑥) ∈ ℝ × 𝒳 , 𝑢 = 𝑢(𝑥), 𝑢 ∈ 𝒰 —
управление по обратной связи, 𝒰 — пространство Банаха.
Применение коммутаторного исчисления к проблеме стабили . . . 169
Обозначим 𝑥(𝑡, 𝑥0) — решение задачи Коши (7) с начальным усло-
вием 𝑥(0, 𝑥0) = 𝑥0.
Целью настоящей работы является синтез управления 𝑢 = 𝑢(𝑥),
обеспечивающего глобальную асимптотическую устойчивость реше-
ния 𝑥 = 0 дифференциального уравнения (7). Это управление будем
искать в виде обратной связи 𝑢(𝑥) = 𝐾(𝑥)𝑥, где 𝐾 ∈ 𝐶(𝒳 ;𝐿(𝒳 ;𝒰)),
𝐿(𝒳 ;𝒰) — банахово пространство линейных операторов, действую-
щих из 𝒳 в 𝒰 . При этом используем результат теоремы 1.1.
3 Основной результат
Для фиксированного 𝑥0 ∈ 𝒳 определим линейные операторы
𝐴0(𝑥0) =
1
𝜃
𝜃∫︁
0
𝐴(𝜏, 𝑥0) 𝑑𝜏,
𝐵0(𝑥0) =
1
𝜃
𝜃∫︁
0
𝐵(𝜏, 𝑥0) 𝑑𝜏.
Следующие предположения позволяют построить управление, ко-
торое стабилизирует решение 𝑥 = 0 дифференциального уравнения
(7).
Предположение 3.1. Пусть для аффинного дифференциального
уравнения выполняются следующие предположения:
1) существует функция 𝐾 ∈ 𝐶(𝒳 ;𝐿(𝒳 ;𝒰)), в которой
𝐴0(𝑥) +𝐵0(𝑥)𝐾(𝑥) = ̃︀𝐴,
где ̃︀𝐴 ∈ 𝐿(𝒳 ) и max
𝜆∈𝜎( ̃︀𝐴)
Re 𝜆 < 0;
2) для линейных операторов
𝐶(𝑡) = ̃︀𝐴+𝐴(𝑡, 0)−𝐴0(0) + (𝐵(𝑡, 0)−𝐵0(0))𝐾(0),
𝐶(𝑡, 𝑥) = 𝐴(𝑡, 𝑥) +𝐵(𝑡, 𝑥)𝐾(𝑥), 𝐶(𝑡) =
𝑡∫︁
0
𝐶(𝜏) 𝑑𝜏
170 Слынько В.И., Кравчук С.В.
существуют положительные постоянные 𝛽, 𝜚, 𝜈, 𝜂 и 𝜇, например,
sup
(𝑡,𝑥)∈[0,𝜃]×𝑋
‖𝐶(𝑡, 𝑥)− 𝐶(𝑡)‖ ≤ 𝛽,
sup
𝑡∈[0,𝜃]
‖𝐶(𝑡)− ̃︀𝐴‖ ≤ 𝜚, sup
𝑡∈[0,𝜃]
‖ ad𝐶(𝑡) ‖ ≤ 𝜇𝜃,
1
2
sup
𝑡∈[0,𝜃]
‖ ad𝐶(𝑡)+𝐶*(𝑡) ‖ ≤ 𝜈, sup
𝑡∈[0,𝜃]
‖[𝐶(𝑡), 𝐶(𝑡)]‖ ≤ 𝜂𝜃.
Отметим, что вследствие теоремы Ляпунова–Крейна для любо-
го линейного самосопряженного положительно-определенного опе-
ратора 𝑄 существует линейный самосопряженный положительно-
определенный оператор 𝑃 , когда
̃︀𝐴*𝑃 + 𝑃 ̃︀𝐴 = −𝑄.
Определим линейные операторы
𝐸 =
1
2
𝜃∫︁
0
[𝐶(𝑡), 𝐶(𝑡)] 𝑑𝑡,
𝑅 = −(𝐸*𝑃 + 𝑃𝐸 + 𝐸*𝑃𝐸).
Напомним, что если линейный оператор 𝑃 является самосопряжен-
ным, то его спектр является действительным и существуют числа
𝜆min(𝑃 ) и 𝜆max(𝑃 )
𝜆min(𝑃 ) = inf
‖𝑥‖=1
(𝑥, 𝑃𝑥), 𝜆max(𝑃 ) = sup
‖𝑥‖=1
(𝑥, 𝑃𝑥).
Теорема 3.1. Предположим, что для аффинного дифференциально-
го уравнения (7) выполняются условия предположения 3.1 и суще-
ствует положительные постоянные 𝜒0, 𝜒1, которые запишем как
‖𝑃 −𝑅‖ ≤ 𝜒0, ‖𝑃 (𝐼 + 𝐸)‖ ≤ 𝜒1
и выполняется неравенство
𝑞 :=
√︀
𝜆max(𝑃 )(𝜒0 + 2𝜒1𝜗+ ‖𝑃‖𝜗2)
𝜆min(𝑃 )
·
· exp
(︁
− 𝜆min(𝑄)𝜃
2𝜆max(𝑃 )
+
𝛽𝜆max(𝑃 )(𝑒
𝛿𝜃 − 1)
𝜆min(𝑃 )𝛿
)︁
< 1,
Применение коммутаторного исчисления к проблеме стабили . . . 171
где
𝜗 =
(︁𝜈𝜂𝜃3
4
+
𝜂
𝜇2
(
𝜂𝜃2
4
+ 1)(𝑒𝜇𝜃 − 1− 𝜇𝜃)− 𝜂𝜃2
2
)︁
·
· exp
(︁
𝜈𝜃 +
𝜂
𝜇2
(𝑒𝜇𝜃 − 1− 𝜇𝜃)
)︁
.
𝛿 =
𝜆max(𝑄) + 4‖𝑃‖𝜚
2𝜆min(𝑃 )
− 𝜆min(𝑄)
2𝜆max(𝑃 )
.
Тогда управление 𝑢(𝑥) = 𝐾(𝑥)𝑥 глобально стабилизирует реше-
ние 𝑥 = 0 аффинного дифференциального уравнения (7).
Доказательство. Обозначим Δ𝐶(𝑡, 𝑥) = 𝐶(𝑡, 𝑥)− 𝐶(𝑡) и представим
уравнение (7) в виде
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝐶(𝑡)𝑥(𝑡) + Δ𝐶(𝑡, 𝑥)𝑥(𝑡).
Применяя формулу Коши, получим интегральное представление для
решения 𝑥(𝑡) задачи Коши (7)
𝑥(𝑡) = Φ(𝑡, 0)𝑥0 +
𝑡∫︁
0
Φ(𝑡, 𝑠)Δ𝐶(𝑠, 𝑥(𝑠))𝑥(𝑠) 𝑑𝑠, (8)
где Φ(𝑡, 𝑠) обозначает эволюционный оператор дифференциального
уравнения
𝑑𝜉(𝑡)
𝑑𝑡
= 𝐶(𝑡)𝜉(𝑡). (9)
Тогда
Φ(0, 𝑡)𝑥(𝑡) = 𝑥0+
+
𝑡∫︁
0
Φ(0, 𝑡)Φ(𝑡, 𝑠)Δ𝐶(𝑠, 𝑥(𝑠))𝑥(𝑠) 𝑑𝑠 = 𝑥0+
+
𝑡∫︁
0
Φ(0, 𝑠)Δ𝐶(𝑠, 𝑥(𝑠))Φ(𝑠, 0)Φ(0, 𝑠)𝑥(𝑠) 𝑑𝑠,
Переходя к оценке по норме, получим
‖Φ(0, 𝑡)𝑥(𝑡)‖ ≤ ‖𝑥0‖+
𝑡∫︁
0
‖Φ(0, 𝑠)·
·Δ𝐶(𝑠, 𝑥(𝑠))Φ(𝑠, 0)‖‖Φ(0, 𝑠)𝑥(𝑠)‖ 𝑑𝑠, 𝑡 ≥ 0.
172 Слынько В.И., Кравчук С.В.
Применяя интегральное неравенство Гронуолла–Беллмана, получим
‖Φ(0, 𝑡)𝑥(𝑡)‖ ≤ ‖𝑥0‖ exp
(︁ 𝑡∫︁
0
‖Φ(0, 𝑠)Δ𝐶(𝑠, 𝑥(𝑠))·
·Φ(𝑠, 0)‖ 𝑑𝑠
)︁
, 𝑡 ≥ 0.
(10)
Полагая в (8) 𝑡 = 𝜃 и переходя к оценке нормы, получим
‖𝑥(𝜃)‖ ≤ ‖𝑈‖
(︁
‖𝑥0‖+
𝑡∫︁
0
‖Φ(0, 𝑠)Δ𝐶(𝑠, 𝑥(𝑠))Φ(𝑠, 0)‖·
·‖Φ(0, 𝑠)𝑥(𝑠)‖ 𝑑𝑠
)︁
,
где 𝑈 = Φ(𝜃, 0) — оператор монодромии. Учитывая неравенство (10),
получим неравенство
‖𝑥(𝜃)‖ ≤ ‖𝑈‖
(︁
1 +
𝜃∫︁
0
‖Φ(0, 𝑠)Δ𝐶(𝑠, 𝑥(𝑠))Φ(𝑠, 0)‖·
· exp
(︁ 𝑠∫︁
0
‖Φ(0, 𝜎)Δ𝐶(𝜎, 𝑥(𝜎))Φ(𝜎, 0)‖ 𝑑𝜎
)︁
𝑑𝑠
)︁
‖𝑥0‖ =
= ‖𝑈‖ exp
(︁ 𝜃∫︁
0
‖Φ(0, 𝜎)Δ𝐶(𝜎, 𝑥(𝜎))Φ(𝜎, 0)‖ 𝑑𝜎
)︁
‖𝑥0‖.
Рассмотрим вопрос об оценке норм операторов Φ(𝑡, 0) и Φ(0, 𝑡) при
𝑡 ∈ [0, 𝜃]. Введем функцию Ляпунова 𝑣(𝜉) = (𝜉, 𝑃𝜉) и применим её для
оценки решений дифференциального уравнения (9). Тогда, применяя
неравенство Коши–Буняковского, получим
𝑑𝑣(𝜉(𝑡))
𝑑𝑡
⃒⃒⃒
(9)
≤ −(𝜉,𝑄𝜉) + 2‖𝑃‖𝜚‖𝜉‖2 ≤
≤ (− 𝜆min(𝑄)
𝜆max(𝑃 )
+
2‖𝑃‖𝜚
𝜆min(𝑃 )
)𝑣(𝜉(𝑡)).
Применение коммутаторного исчисления к проблеме стабили . . . 173
Следовательно,
‖Φ(𝑡, 0)‖ ≤
√︃
𝜆max(𝑃 )
𝜆min(𝑃 )
×
× exp
(︁
(− 𝜆min(𝑄)
2𝜆max(𝑃 )
+
‖𝑃‖𝜚
𝜆min(𝑃 )
)𝑡
)︁
.
Аналогично,
𝑑𝑣(𝜉(𝑡))
𝑑𝑡
⃒⃒⃒
(9)
≥ −(𝜉,𝑄𝜉)− 2‖𝑃‖𝜚‖𝜉‖2 ≤
≤ −𝜆max(𝑄) + 2‖𝑃‖𝜚
𝜆min(𝑃 )
𝑣(𝜉(𝑡)).
Итак,
‖Φ(0, 𝑡)‖ ≤
√︃
𝜆max(𝑃 )
𝜆min(𝑃 )
exp
(︁𝜆max(𝑄) + 2‖𝑃‖𝜚
2𝜆min(𝑃 )
𝑡
)︁
.
Отсюда следует оценка
‖Φ(0, 𝑡)Δ𝐶(𝑡, 𝑥)Φ(𝑡, 0)‖ ≤ 𝜆max(𝑃 )
𝜆min(𝑃 )
𝛽 exp(𝛿𝑡).
Оценим норму оператора монодромии 𝑈 . Для этого рассмотрим ли-
нейное дифференциальное уравнение с импульсным воздействием,
которое имеет тот же оператор монодромии 𝑈 :
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= ̃︀𝐴𝑧(𝑡), 𝑡 ̸= 𝑘𝜃,
Δ𝑧(𝑡) = 𝐷𝑧(𝑡), 𝑡 = 𝑘𝜃,
(11)
где 𝑧 ∈ 𝒳 , 𝐷 = 𝐹 (𝜃, 0), 𝐹 (𝑡, 𝑠) — решение операторной задачи Коши
(6), в которой сказано 𝐴(𝑡) := 𝐶(𝑡), 𝐴(𝑡, 0) := 𝐶(𝑡).
Введем новую переменную
𝐹1(𝑡, 0) = 𝐹 (𝑡, 0)− 1
2
𝑡∫︁
0
[𝐶(𝜏), 𝐶(𝜏)] 𝑑𝜏.
174 Слынько В.И., Кравчук С.В.
Тогда операторная задача Коши (6) принимает вид
𝑑𝐹1(𝑡, 0)
𝑑𝑡
=
[︁
𝐶(𝑡), 𝐹1(𝑡, 0) +
1
2
𝑡∫︁
0
[𝐶(𝜏), 𝐶(𝜏)] 𝑑𝜏
]︁
+
+
(︁
𝐹1(𝑡, 0) +
1
2
𝑡∫︁
0
[𝐶(𝜏), 𝐶(𝜏)] 𝑑𝜏
)︁
Ψ(𝑡, 0)+
+
∞∑︁
𝑘=2
(−1)𝑘+1
(𝑘 + 1)!
{𝐶(𝑡), 𝐶𝑘(𝑡)}.
Пусть 𝑈(𝑡, 𝑠) — линейный оператор, являющийся решением опера-
торной задачи Коши
𝑑𝑈(𝑡, 𝑠)
𝑑𝑡
=
1
2
[𝐶(𝑡)− 𝐶*(𝑡), 𝑈(𝑡, 𝑠)], 𝑈(𝑠, 𝑠) = 𝐼.
Нетрудно показать, что ‖𝑈(𝑡, 𝑠)‖ = ‖𝑈−1(𝑡, 𝑠)‖ = 1.
Тогда, применяя формулу Коши, получим интегральное представ-
ление для функции 𝐹1(𝑡, 0)
𝐹1(𝑡, 0) =
𝑡∫︁
0
𝑈(𝑡, 𝑠)
(︁1
2
[︁
𝐶(𝑠) + 𝐶*(𝑠), 𝐹1(𝑠, 0)+
+
1
2
𝑠∫︁
0
[𝐶(𝜏), 𝐶(𝜏)] 𝑑𝜏
]︁
+
+
(︁
𝐹1(𝑠, 0) +
1
2
𝑠∫︁
0
[𝐶(𝜏), 𝐶(𝜏)] 𝑑𝜏
)︁
Ψ(𝑠, 0)+
+
∞∑︁
𝑘=2
(−1)𝑘+1
(𝑘 + 1)!
{𝐶(𝑠), 𝐶𝑘(𝑠)}
)︁
𝑈−1(𝑡, 𝑠) 𝑑𝑠.
Применение коммутаторного исчисления к проблеме стабили . . . 175
Переходя к оценке по норме, запишем
‖𝐹1(𝑡, 0)‖ ≤
𝑡∫︁
0
(︁
𝜈‖𝐹1(𝑠, 0)‖+
𝑠𝜈𝜂𝜃
2
+
+
(︁
‖𝐹1(𝑠, 0)‖+
𝑠𝜂𝜃
2
)︁ ∞∑︁
𝑘=1
𝜂𝜃(𝜃𝜇)𝑘−1
(𝑘 + 1)!
+
+
∞∑︁
𝑘=2
𝜂𝜃(𝜃𝜇)𝑘−1
(𝑘 + 1)!
)︁
𝑑𝑠.
Применяя к последней оценке лемму Гронуолла–Беллмана, получим
неравенство
‖𝐹1(𝑡, 0)‖ ≤
(︁𝜈𝜂𝜃3
4
+
𝜂𝜃2
4
∞∑︁
𝑘=1
𝜂𝜇𝑘−1𝜃𝑘
(𝑘 + 1)!
+
+
∞∑︁
𝑘=2
𝜂𝜇𝑘−1𝜃𝑘+1
(𝑘 + 1)!
)︁
× exp
(︁
𝜈𝑡+ 𝑡
∞∑︁
𝑘=1
𝜂𝜇𝑘−1𝜃𝑘
(𝑘 + 1)!
)︁
.
Полагая, что 𝑡 = 𝜃, получим оценку
‖𝐷 − 𝐸‖ ≤
(︁𝜈𝜂𝜃3
4
+
𝜂𝜃3
4
∞∑︁
𝑘=1
𝜂𝜇𝑘−1𝜃𝑘
(𝑘 + 1)!
+
+
∞∑︁
𝑘=2
𝜂𝜇𝑘−1𝜃𝑘+1
(𝑘 + 1)!
)︁
× exp
(︁
𝜈𝜃 +
∞∑︁
𝑘=1
𝜂𝜇𝑘−1𝜃𝑘+1
(𝑘 + 1)!
)︁
:= 𝜗.
Для оценки нормы ‖𝑈‖ рассмотрим функцию Ляпунова 𝑣(𝑧) =
(𝑧, 𝑃𝑧), тогда наши оценки будут
𝑑𝑣(𝑧(𝑡))
𝑑𝑡
= −(𝑧,𝑄𝑧) ≤ − 𝜆min(𝑄)
𝜆max(𝑃 )
𝑣(𝑧(𝑡)), 𝑡 ∈ (0, 𝜃],
Аналогично, при 𝑡 = 𝜃 получим
𝑣(𝑧(𝜃 + 0)) = (𝑧(𝜃 + 0), 𝑃 𝑧(𝜃 + 0)) =
= ((𝐼 +𝐷)𝑧(𝜃), 𝑃 (𝐼 +𝐷)𝑧(𝜃)) = (𝑧(𝜃), 𝑃 𝑧(𝜃))+
+((𝐸*𝑃 + 𝑃𝐸 + 𝐸*𝑃𝐸)𝑧(𝜃), 𝑧(𝜃))+
+2((𝐼 + 𝐸)𝑃𝑧(𝜃), (𝐷 − 𝐸)𝑧(𝜃))+
+((𝐷 − 𝐸)𝑃𝑧(𝜃), (𝐷 − 𝐸)𝑧(𝜃)).
176 Слынько В.И., Кравчук С.В.
Применяя неравенство Коши–Буняковского, получим оценку
𝑣(𝑧(𝜃 + 0)) ≤ (𝜒0 + 2𝜒1𝜗+ ‖𝑃‖𝜗2)‖𝑧(𝜃)‖2 ≤
≤ 𝜒0 + 2𝜒1𝜗+ ‖𝑃‖𝜗2
𝜆min(𝑃 )
𝑣(𝑧(𝜃)).
Следовательно,
‖𝑈‖ ≤
√︀
𝜆max(𝑃 )(𝜒0 + 2𝜒1𝜗+ ‖𝑃‖𝜗2)
𝜆min(𝑃 )
· exp
(︁
− 𝜆min(𝑄)𝜃
2𝜆max(𝑃 )
)︁
.
Итак, ‖𝑥(𝜃, 𝑥0)‖ ≤ 𝑞‖𝑥0‖. Вследствие периодичности дифференциаль-
ного уравнения (7)
‖𝑥(𝑛𝜃, 𝑥0)‖ = ‖𝑥(𝜃, 𝑥((𝑛− 1)𝜃, 𝑥0))‖ ≤ 𝑞‖𝑥((𝑛− 1)𝜃, 𝑥0)‖,
поэтому ‖𝑥(𝑛𝜃, 𝑥0)‖ ≤ 𝑞𝑛‖𝑥0‖, 𝑞 ∈ (0, 1). Из этого неравенства гло-
бальная асимптотическая устойчивость решения 𝑥 = 0 дифференци-
ального уравнения (7) следует очевидным образом. Теорема доказа-
на.
4 Глобальная стабилизация нижнего положения
равновесия математического маятника перемен-
ной длины
Рассмотрим задачу о стабилизации нижнего положения равновесия
математического маятника переменной длины. Используя уравнения
Лагранжа второго рода, нетрудно показать, что движение этой ме-
ханической системы описывается нелинейным неавтономным уравне-
нием второго порядка
𝜙(𝑡) +
2𝑙(𝑡)
𝑙(𝑡)
𝜙̇(𝑡) +
𝑔
𝑙(𝑡)
sin𝜙(𝑡) =
𝑢
𝑚𝑙2(𝑡)
, (12)
где 𝜙 — угол отклонения маятника от вертикали, 𝑙(𝑡) — положи-
тельная 𝜃-периодическая дифференцируемая функция, моделирую-
щая изменение длины маятника, 𝑔 — ускорение свободного падения,
𝑢 — управляющий момент, 𝑚 — масса маятника.
Пусть 𝜔2
0 =
𝜃∫︀
0
𝑔
𝑙(𝑡)𝑑𝑡, определим безразмерное время 𝜏 = 𝜔0𝑡 и
перейдём в уравнении к безразмерным переменным
𝑙(𝜏) = 𝑙(𝜏/𝜔0), 𝜃 = 𝜔0𝜃,
Применение коммутаторного исчисления к проблеме стабили . . . 177
получим дифференциальное уравнение
𝜙′′(𝜏) +
2𝑙
′
(𝜏)
𝑙(𝜏)
𝜙′(𝜏) +
𝑔
𝜔2
0𝑙(𝜏)
sin𝜙(𝜏) =
𝑢
𝑚𝜔2
0𝑙
2
(𝜏)
. (13)
Представим уравнение движения управляемой механической в ви-
де псевдолинейной аффинной системы (7). Для этого введем матри-
цы
𝐱(𝜏) =
(︂
𝜙(𝜏)
𝜙′(𝜏)
)︂
, 𝐵(𝜏,𝐱) =
(︃
0
1
𝜔2
0𝑚𝑙
2
(𝜏)
)︃
,
𝐴(𝜏,𝐱) =
(︃
0 1
− 𝑔
𝜔2
0𝑙(𝜏)
sin 𝑥1
𝑥1
− 2𝑙
′
(𝜏)
𝑙(𝜏)
)︃
.
Тогда
𝐴0(𝐱) =
(︂
0 1
− sin 𝑥1
𝑥1
0
)︂
, 𝐵0(𝐱) =
(︂
0
𝑏0
)︂
,
где 𝑏0 =
𝜃∫︀
0
𝑑𝜏
𝜔2
0𝑚𝑙
2
(𝜏)
.
Управление 𝑢(𝐱) синтезируем в виде обратной связи 𝑢(𝐱) =
𝐾(𝐱)𝐱, выбирая ̃︀𝐴 =
(︂
0 1
−1 −2𝜇
)︂
, 𝜇 > 0,
𝐾(𝐱) =
(︀
𝑘1(𝐱) 𝑘2(𝐱)
)︀
,
когда 𝐴0(𝐱) +𝐵0(𝐱)𝐾(𝐱) = ̃︀𝐴. Тогда
𝑘1(𝐱) =
sin𝑥1 − 𝑥1
𝑥1𝑏0
, 𝑘2(𝐱) = −2𝜇
𝑏0
,
𝑢(𝐱) = − 1
𝑏0
(︁
− sin𝑥1 + 𝑥1 + 2𝜇𝑥2
)︁
. (14)
Для того, чтобы применить теорему 3.1, введём следующие функции
𝑐21(𝜏) = − 𝑔
𝜔2
0𝑙(𝜏)
, 𝑐22(𝜏) =
2𝜇
𝑚𝑏0𝜔2
0𝑙
2
(𝜏)
− 2𝑙
′
(𝜏)
𝑙(𝜏)
,
𝑐21(𝜏) =
𝜏∫︁
0
𝑐11(𝑠) 𝑑𝑠, 𝑐22(𝜏) =
𝜏∫︁
0
𝑐22(𝑠) 𝑑𝑠.
178 Слынько В.И., Кравчук С.В.
Тогда
[𝐶(𝜏), 𝐶(𝜏)] =
(︂
𝑐21 − 𝜏𝑐21 𝑐22 − 𝜏𝑐22
𝑐22𝑐21 − 𝑐22𝑐21 −𝑐21 + 𝜏𝑐21
)︂
.
Элементы матрицы 𝐸 имеют вид
𝑒11 =
1
2
𝜃∫︁
0
(𝑐21(𝜏)− 𝜏𝑐21(𝜏)) 𝑑𝜏, 𝑒12 =
1
2
𝜃∫︁
0
(𝑐22(𝜏)− 𝜏𝑐22(𝜏)) 𝑑𝜏,
𝑒21 =
1
2
𝜃∫︁
0
(𝑐22(𝜏)𝑐21(𝜏)− 𝑐22(𝜏)𝑐21(𝜏)) 𝑑𝜏, 𝑒22 = −𝑒11.
Обозначим
𝜚1 = max
𝜏∈[0,𝜃]
⃒⃒⃒
1− 𝑔
𝜔2
0𝑙(𝜏)
⃒⃒⃒
, 𝜚2 = max
𝜏∈[0,𝜃]
⃒⃒⃒
1− 1
𝑏0𝜔2
0𝑙
2
(𝜏)
− 2𝑙
′
(𝜏)
𝑙(𝜏)
⃒⃒⃒
.
Тогда 𝜚 =
√︀
𝜚21 + 4𝜇2𝜚22, 𝛽 = 𝛽0𝜚1, 𝛽0 = 1+ |min
𝑥∈ℝ
sin 𝑥
𝑥 | ≈ 1.2. Нетрудно
показать, что
𝜈 =
1
2
√︂
2𝜚21 + 4 max
𝜏∈[0,𝜃]
𝑐222(𝜏), 𝜇 =
2
𝜃
max
𝜏∈[0,𝜃]
√︁
𝜏2 + 𝑐221 + 𝑐222,
𝜂 =
1
𝜃
max
𝜏∈[0,𝜃]
√︀
𝑓,
где 𝑓 = 2(𝑐21 − 𝜏𝑐21)
2 + (𝑐22 − 𝜏𝑐22)
2 + (𝑐22𝑐21 − 𝑐22𝑐21)
2. Матрицу 𝑄
можно выбрать произвольной симметричной матрицей, а матрицу 𝑃
определить из матричного уравнения Ляпунова ̃︀𝐴𝑇𝑃+𝑃 ̃︀𝐴 = −𝑄. Та-
ким образом, определены все параметры, необходимые для проверки
условий теоремы 3.1, которые гарантируют, что построенное управ-
ление (14) глобально стабилизирует нижнее положение равновесия
математического маятника.
5 Обсуждение результатов
Отметим, что предложенные оценки оператора монодромии линей-
ного периодического дифференциального уравнения являются кон-
структивными и эффективными, особенно при малых нарушениях
Применение коммутаторного исчисления к проблеме стабили . . . 179
условия Лаппо–Данилевского. Рассмотренные методы могут быть ис-
пользованы для исследования устойчивости и стабилизации других
классов неавтономных аффинных систем. Например, аффинных си-
стем, близких к периодическим, аффинных систем с дискретным ре-
гулятором, а также при исследовании робастной устойчивости аф-
финных систем.
[1] Samoilenko A. M., Perestyuk N. A. Impulsive differential equations. ––
Singapore: World Scientific, 1995.
[2] Magnus W. On the exponential solution of differential equations for a
linear operator // Communications on Pure and Applied Mathematics. ––
1954. –– vol. 7. –– c. 649–673.
[3] Айерленд К., Роузен М. Классическое введение в современную тео-
рию чисел. — М.: Мир, 1987.— 416 c.
[4] Dynkin E. B. On the representation by means of commutators of the series
log(𝑒𝑥𝑒𝑦) for noncommuting 𝑥 and 𝑦 // Mat. Sb. –– 1949. –– Vol. 25(67). ––
P. 155—162.
[5] Serre J. P. Lie Algebras and Lie Groups. –– Springer, Berlin: Lect. Notes
Math., 1992.–– Vol. 1500.
[6] Dynkin E. B. Normed Lie algebras and analytic groups // Uspehi Matem.
Nauk (N.S.) –– 1950. –– Vol. 5, no. 1(35). –– c. 135–186.
[7] Magnus W., Karras A., Solitar D. Combinatorial group theory. –– In-
terscience Publ., 1966.
[8] Daletskii Yu. L., Krein M. G. Stability of solutions of differential equa-
tions in Banach space. –– Amer. Math. Soc., 1974.
[9] Лаппо–Данилевский И. А. Применение функций от матриц к теории
систем линейных дифференциальных уравнений. — М.: ГТТИ, 1957.—
456 c.
[10] Четаев Н. Г. Устойчивость движения. — М.: Наука, 1965.— 176 c.
http://mi.mathnet.ru/eng/msb/v67/i1/p155
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-439 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian English |
| last_indexed | 2026-08-04T01:07:26Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/7c/c1c866476e67453842fb824cc43b607c.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-4392020-08-10T19:26:13Z Application of the commutator calculus to the problem of stabilization of pseudo-linear periodic affine systems Применение коммутаторного исчисления к проблеме стабилизации псевдолинейных периодических аффинных систем Застосування комутаторного числення до проблеми стабілізації псевдолінійних періодичних афінних систем Slynko, V.I. Kravchuk, S.V. Слинько, В.И. Кравчук, С.В. Слинько, В.І. Кравчук, С.В. New conditions for the stabilization of affine periodic systems are established. Applying the commutation calculus and the direct Lyapunov method, we obtain control conditions that ensure the stability of affine periodic system, and we also synthesize the control for stabilizing the lower position of equilibrium of a pendulum of variable length. Установлены новые условия стабилизации аффинных периодических систем. При применении коммутационных исчислений и прямого метода Ляпунова получены условия на управление, обеспечивающее устойчивость афинной периодической системы, также синтезировано управление для стабилизации нижнего положения равновесия математического маятника переменной длины. Інститут математики НАН України 2020-08-10 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/439 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 15 No. 1 (2018): Mathematical problems of mechanics and computational mathematics ; 162-179 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 15 № 1 (2018): Математические проблемы механики и вычислительной математики ; 162-179 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 15 № 1 (2018): Математичнi проблеми механiки та обчислювальної математики; 162-179 3083-7529 1815-2910 ru en https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/439/436 Авторське право (c) 2018 V.I. Slynko, S.V. Kravchuk http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Slynko, V.I. Kravchuk, S.V. Слинько, В.И. Кравчук, С.В. Слинько, В.І. Кравчук, С.В. Application of the commutator calculus to the problem of stabilization of pseudo-linear periodic affine systems |
| title | Application of the commutator calculus to the problem of stabilization of pseudo-linear periodic affine systems |
| title_alt | Применение коммутаторного исчисления к проблеме стабилизации псевдолинейных периодических аффинных систем Застосування комутаторного числення до проблеми стабілізації псевдолінійних періодичних афінних систем |
| title_full | Application of the commutator calculus to the problem of stabilization of pseudo-linear periodic affine systems |
| title_fullStr | Application of the commutator calculus to the problem of stabilization of pseudo-linear periodic affine systems |
| title_full_unstemmed | Application of the commutator calculus to the problem of stabilization of pseudo-linear periodic affine systems |
| title_short | Application of the commutator calculus to the problem of stabilization of pseudo-linear periodic affine systems |
| title_sort | application of the commutator calculus to the problem of stabilization of pseudo-linear periodic affine systems |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/439 |
| work_keys_str_mv | AT slynkovi applicationofthecommutatorcalculustotheproblemofstabilizationofpseudolinearperiodicaffinesystems AT kravchuksv applicationofthecommutatorcalculustotheproblemofstabilizationofpseudolinearperiodicaffinesystems AT slinʹkovi applicationofthecommutatorcalculustotheproblemofstabilizationofpseudolinearperiodicaffinesystems AT kravčuksv applicationofthecommutatorcalculustotheproblemofstabilizationofpseudolinearperiodicaffinesystems AT slinʹkoví applicationofthecommutatorcalculustotheproblemofstabilizationofpseudolinearperiodicaffinesystems AT kravčuksv applicationofthecommutatorcalculustotheproblemofstabilizationofpseudolinearperiodicaffinesystems AT slynkovi primeneniekommutatornogoisčisleniâkproblemestabilizaciipsevdolinejnyhperiodičeskihaffinnyhsistem AT kravchuksv primeneniekommutatornogoisčisleniâkproblemestabilizaciipsevdolinejnyhperiodičeskihaffinnyhsistem AT slinʹkovi primeneniekommutatornogoisčisleniâkproblemestabilizaciipsevdolinejnyhperiodičeskihaffinnyhsistem AT kravčuksv primeneniekommutatornogoisčisleniâkproblemestabilizaciipsevdolinejnyhperiodičeskihaffinnyhsistem AT slinʹkoví primeneniekommutatornogoisčisleniâkproblemestabilizaciipsevdolinejnyhperiodičeskihaffinnyhsistem AT kravčuksv primeneniekommutatornogoisčisleniâkproblemestabilizaciipsevdolinejnyhperiodičeskihaffinnyhsistem AT slynkovi zastosuvannâkomutatornogočislennâdoproblemistabílízacíípsevdolíníjnihperíodičnihafínnihsistem AT kravchuksv zastosuvannâkomutatornogočislennâdoproblemistabílízacíípsevdolíníjnihperíodičnihafínnihsistem AT slinʹkovi zastosuvannâkomutatornogočislennâdoproblemistabílízacíípsevdolíníjnihperíodičnihafínnihsistem AT kravčuksv zastosuvannâkomutatornogočislennâdoproblemistabílízacíípsevdolíníjnihperíodičnihafínnihsistem AT slinʹkoví zastosuvannâkomutatornogočislennâdoproblemistabílízacíípsevdolíníjnihperíodičnihafínnihsistem AT kravčuksv zastosuvannâkomutatornogočislennâdoproblemistabílízacíípsevdolíníjnihperíodičnihafínnihsistem |