Main relationships for calculating an elastic field in a medium with spheric embeddings
The task of equilibrium in elastic medium containing an infinite set of rigid spherical particles led to infinite systems of algebraic equations when conversion formula of external solution of the Lame’s equation was used for transition to a new coordinate system. It is shown how to simplify express...
Saved in:
| Date: | 2017 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/44 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552568604852224 |
|---|---|
| author | Didenko, Yu. F. Denysenko, V. I. Диденко, Ю. Ф. Денисенко, В. И. Дiденко, Ю. Ф. Денисенко, В. I. |
| author_facet | Didenko, Yu. F. Denysenko, V. I. Диденко, Ю. Ф. Денисенко, В. И. Дiденко, Ю. Ф. Денисенко, В. I. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Ю. Ф. Дiденко",
"institution": "Київський нацiональнiй торговельно-економiчний унiверситет"
},
{
"author": "В. I. Денисенко",
"institution": "Київський нацiональнiй торговельно-економiчний унiверситет"
}
] |
| author_sort | Didenko, Yu. F. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-13T11:57:10Z |
| description | The task of equilibrium in elastic medium containing an infinite set of rigid spherical particles led to infinite systems of algebraic equations when conversion formula of external solution of the Lame’s equation was used for transition to a new coordinate system. It is shown how to simplify expressions for displacement of structures with orderly arrangement of hard particles using the infinite system of equations that were obtained in the satisfaction of boundary conditions. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:01:30Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2016, т. 13, № 3, 99–104
УДК 539.3
Основнi спiввiдношення для
розрахунку пружного поля в
середовищi зi сферичними
включеннями
Дiденко Ю.Ф., Денисенко В. I.
Київський нацiональнiй торговельно-економiчний унiверситет,
Київ; d0212@ukr.net
The task of equilibrium in elastic medium containing an infinite set of
rigid spherical particles led to infinite systems of algebraic equations when
conversion formula of external solution of the Lame’s equation was used
for transition to a new coordinate system. It is shown how to simplify
expressions for displacement of structures with orderly arrangement of hard
particles using the infinite system of equations that were obtained in the
satisfaction of boundary conditions.
С помощью формулы преобразования внешнего решения уравнения
Ламе при переходе к новой системе координат задача равновесия упру-
гой среды, содержащей бесконечное множество жестких сферических
включений, сведена к бесконечным системам уравнений. В работе по-
казано как можно упростить выражения для перемещений для струк-
тур с упорядоченным расположением жестких включений, используя
бесконечные системы уравнений, полученные при удовлетворении гра-
ничных условий.
В роботах [1, 2] одержано векторну формулу перетворення зовнi-
шнього розв’язку рiвняння Ламе при переходi до нової системи ко-
ординат. Її використання в задачах рiвноваги пружного середовища,
яке мiстить нескiнченну множину жорстких сферичних включень ра-
дiуса 𝑟 = 𝑟0, дозволяє привести задачу цього класу до нескiнченних
систем алгебраїчних рiвнянь. Але при розрахунку перемiщень i на-
пруг в довiльних точках пружного середовища ми зустрiчаємося з
певними складнощами через наявнiсть подвiйних нескiнченних ря-
дiв, якi одержуються iз формули перерозкладу.
c○ Дiденко Ю.Ф., Денисенко В. I., 2016
100 Дiденко Ю. Ф., Денисенко В. I.
Нижче показано, як можна спростити вирази для перемiщень, ви-
користовуючи нескiнченнi системи алгебраїчних рiвнянь, одержаних
при виконаннi граничних умов.
Якщо перерозклад розв’язку шукають для системи з координата-
ми (𝑟𝑖, 𝑄𝑖, 𝜙𝑖) при переходi до основного базису (𝑟,𝑄, 𝜙), то загальний
розв’язок для зовнiшностi базової сфери 𝑢⃗ = 𝑒⃗𝑟𝑢𝑟 + 𝑒⃗𝜗𝑢𝜗+ 𝑒⃗𝜙𝑢𝜙. Тут
𝑢𝑟(𝑟, 𝜗, 𝜙)=
∞∑︁
𝑙=0
𝑙∑︁
𝑚=−𝑙
[︁
𝑢
(𝑚)
𝑙(𝑟)+
∞∑︁
𝑖=1
𝑈
(𝑚)
𝑙
(︁
𝑟; 𝑑
(0)
𝑖 , 𝜗
(0)
𝑖 , 𝜙
(0)
𝑖
)︁]︁
𝑆𝑚𝑙(𝜗,𝜙);
𝑢𝜗=
∞∑︁
𝑙=0
𝑙∑︁
𝑚=−𝑙
{︁[︁
𝜈
(𝑚)
𝑙 +
∞∑︁
𝑖=1
𝑉
(𝑚)
𝑙
]︁
+
𝜕𝑆
(𝑚)
𝑙
𝜕𝜗
+
[︁
𝑤
(𝑚)
𝑙 +
∞∑︁
𝑖=1
𝑊
(𝑚)
𝑙
]︁ 1
sin𝜗
𝜕𝑆
(𝑚)
𝑙
𝜕𝜙
}︁
;
𝑢𝜗=
∞∑︁
𝑙=0
𝑙∑︁
𝑚=−𝑙
{︁[︁
𝜈
(𝑚)
𝑙 +
∞∑︁
𝑖=1
𝑉
(𝑚)
𝑙
]︁ 1
sin𝜗
𝜕𝑆
(𝑚)
𝑙
𝜕𝜙
−
[︁
𝑤
(𝑚)
𝑙 +
∞∑︁
𝑖=1
𝑊
(𝑚)
𝑙
]︁𝜕𝑆(𝑚)
𝑙
𝜕𝜗
}︁
.
(1)
Функцiї, якi входять в (1), визначнi в роботi [1].
За умовами симетрiї структури типу кубiчної iндекси 𝑙(𝑛) та 𝑚(𝑘)
можуть приймати лише парнi значення в радiальних функцiях 𝑢(𝑛)𝑙 ,
𝑈
(𝑛)
𝑙 , 𝑣(𝑛)𝑙 , 𝑉 (𝑛)
𝑙 i непарнi для функцiй 𝑤(𝑛)
𝑙 ,𝑊
(𝑛)
𝑙 по iндексу 𝑙(𝑛). Пере-
нiсши це на сталi iнтегрування та ввiвши позначення 𝑙 = 2𝑝, 𝑚 = 2𝑞,
𝑛 = 2𝜈, 𝑘 = 2𝑠; 𝑝, 𝑞, 𝑟, 𝑠 = 0, 1, 2, . . . та враховуючи рiвнiсть
𝑆
(𝑛)
𝑙 (𝑄,𝜙) = 𝑝
(𝑛)
𝑙 (cos𝑄) · 𝑒𝑖𝑚𝜙,
легко одержуємо
𝑢𝑟(𝑟, 𝜗, 𝜙)=
∞∑︁
𝑝=0
𝑝∑︁′∑︁
𝑞=0
{︁[︁
𝑢
(2𝑞)
2𝑝 +𝑢
(−2𝑞)
2𝑝
]︁
+
+
∞∑︁
𝑖=1
[︁
𝑈
(2𝑞)
2𝑝 +𝑈
(−2𝑞)
2𝑝
]︁}︁
cos 2𝑞𝜙𝑃
(2𝑞)
2𝑝 ;
𝑢𝜗(𝑟, 𝜗, 𝜙) =
∞∑︁
𝑝=0
𝑝∑︁′∑︁
𝑞=0
{︁[︁
𝜈
(2𝑞)
2𝑝 + 𝜈
(−2𝑞)
2𝑝
]︁
+
+
∞∑︁
𝑖=1
[︁
𝑉
(2𝑞)
2𝑝 + 𝑉
(−2𝑞)
2𝑝
]︁}︁
cos 2𝑞𝜙
𝜕𝑃
(−2𝑞)
2𝑝
𝜕𝜗
−
Основнi спiввiдношення для розрахунку пружного поля в се . . . 101
−
∞∑︁
𝑝=0
𝑝∑︁′∑︁
𝑞=0
{︁[︁
𝑤
(2𝑞)
2𝑝+1 + 𝑤
(−2𝑞)
2𝑝+1
]︁
+
∞∑︁
𝑖=1
[︁
𝑊
(2𝑞)
2𝑝+1 +𝑊
(−2𝑞)
2𝑝+1
]︁}︁
2𝑞
sin 2𝑞𝜙
sin𝜗
𝑃
(2𝑞)
2𝑝+1;
(2)
𝑢𝜙(𝑟, 𝜗, 𝜙) = −
∞∑︁
𝑝=0
𝑝∑︁′∑︁
𝑞=0
{︁[︁
𝜈
(2𝑞)
2𝑝 + 𝜈
(−2𝑞)
2𝑝
]︁
+
+
∞∑︁
𝑖=1
[︁
𝑉
(2𝑞)
2𝑝 + 𝑉
(−2𝑞)
2𝑝
]︁}︁
2𝑞
sin 2𝑞𝜙
sin𝜗
𝑃
(2𝑞)
2𝑝 −
−
∞∑︁
𝑝=0
𝑝∑︁′∑︁
𝑞=0
{︁[︁
𝑤
(2𝑞)
2𝑝+1 + 𝑤
(−2𝑞)
2𝑝+1
]︁
+
∞∑︁
𝑖=1
[︁
𝑊
(2𝑞)
2𝑝+1 +𝑊
(−2𝑞)
2𝑝+1
]︁}︁
cos 2𝑞𝜙
𝜕𝑃
(2𝑞)
2𝑝+1
𝜕𝜗
.
Тут
𝑢
(2𝑞)
2𝑝(𝑟) + 𝑢
(−2𝑞)
2𝑝(𝑟) = 4𝑝(2𝑝+ 3− 4𝜈)𝛿2𝑝 ^̃𝐶
(2𝑞)
2𝑝 − 2(2𝑝+ 1)𝛿2𝑝+2 ^̃𝐷
(2𝑞)
2𝑝 ;
𝜈
(2𝑞)
2𝑝(𝑟) + 𝜈
(−2𝑞)
2𝑝(𝑟) = −2(2𝑝− 4 + 4𝜈)𝛿2𝑝 ^̃𝐶
(2𝑞)
2𝑝 + 2𝛿2𝑝+2 ^̃𝐷
(2𝑞)
2𝑝 ;
𝑤
(2𝑞)
2𝑝+1(𝑟) + 𝑤
(−2𝑞)
2𝑝+1(𝑟) = 2𝛿2𝑝+2 ^̃𝑁
(2𝑞)
2𝑝+1;
𝑈
(2𝑞)
2𝑝(𝑟) + 𝑈
(−2𝑞)
2𝑝(𝑟) = 𝛿−2𝑝+2
∞∑︁
𝑟=0
𝑟∑︁
𝑠=0
{︁
2𝑝𝑑2𝑞,2𝑠2𝑝,2𝑟
^̃𝐷
(2𝑠)
2𝑟 +
+ ^̃𝐶
(2𝑠)
2𝑟
[︀
2(2(1−𝜈)(4𝑟−1)−2𝑝(2𝑟+4𝜈−4))𝑏̂2𝑝,2𝑟2𝑞,2𝑠−2𝑝(2𝑟+4𝜈−4)𝑐2𝑞,2𝑠2𝑝,2𝑠
]︀
+
+𝑡2𝑞,2𝑠2𝑝,2𝑟
^̃𝑁
(2𝑠)
2𝑟+1
}︁
+ 𝛿2𝑝−1
∞∑︁
𝑟=0
𝑟∑︁′∑︁
𝑠=0
2𝑟(4𝑟 − 1)(2𝑝− 2 + 4𝜈)
4𝑝+ 3
𝑑2𝑞,2𝑠2𝑝,2𝑟
^̃𝐶
(2𝑠)
2𝑟 ;
𝑉
(2𝑞)
2𝑝(𝑟)+𝑉
(−2𝑞)
2𝑝 =
𝛿−2𝑝+1
2𝑝
∞∑︁
𝑟=0
𝑟∑︁′∑︁
𝑠=0
{︁
2𝑝𝑑2𝑞,2𝑠2𝑝,2𝑟
^̃𝐷
(2𝑠)
2𝑟 + ^̃𝐶
(2𝑠)
2𝑟
[︀
2(2(1−𝜈)(4𝑟−1)−
−2𝑝(2𝑟 + 4𝜈 − 4))𝑏̂2𝑞,2𝑠2𝑝,2𝑟 − 2𝑝(2𝑟 + 4𝜈 − 4)𝑐2𝑞,2𝑠2𝑝,2𝑠
]︀
+ 𝑡2𝑞,2𝑠2𝑝,2𝑟+1
^̃𝑁
(2𝑠)
2𝑟+1
}︁
+
+
𝛿2𝑝−1
2𝑝+ 1
∞∑︁
𝑟=0
𝑟∑︁′∑︁
𝑠=0
2𝑟(4𝑟 − 1)(2𝑝+ 5− 4𝜈)
4𝑝+ 3
𝑑2𝑞,2𝑠2𝑝,2𝑟
^̃𝐶
(2𝑠)
2𝑟 ;
𝑊
(2𝑞)
2𝑝+1+𝑊
(−2𝑞)
2𝑝+1 =− 𝛿−2𝑝+2
(2𝑝+1)(2𝑝+2)
∞∑︁
𝑟=0
𝑟∑︁
𝑠=0
[︀
(2𝑝+1)(2𝑟+1)
^̃
𝑑
(2𝑞,2𝑠)
2𝑝+1,2𝑟+1
^̃𝑁
(2𝑠)
2𝑟+1+
102 Дiденко Ю. Ф., Денисенко В. I.
+4(1− 𝜈)(4𝑟 − 1)𝑎̂
(2𝑞,2𝑠)
2𝑝+1
^̃𝐶
(2𝑠)
2𝑟
]︀
,
причому, 𝛿 = 𝑟0/𝑟 < 1, а 𝐷̃2𝑟, 𝐶2𝑟, 𝑁̃2𝑟+1 — сталi iнтегрування. Ко-
ефiцiєнти при сталих iнтегрування, якi залежать вiд розташування
сфер у просторi, визначенi в [1].
Введемо позначення:
𝐴
(2𝑞)
2𝑝 =
∞∑︁
𝑟=0
𝑟∑︁′∑︁
𝑠=0
{︁
2𝑝𝑑
(2𝑞,2𝑠)
2𝑝,2𝑟
^̃𝐷
(2𝑠)
2𝑟 + ^̃𝐶
(2𝑠)
2𝑟
[︀
2(2(1− 𝜈)(4𝑟 − 1)−
−2𝑝(2𝑟 + 4𝜈 − 4))
^̃
𝑏
(2𝑞,2𝑠)
2𝑝,2𝑟 − 2𝑝(2𝑟 + 4𝜈 − 4)𝑐
(2𝑞,2𝑠)
2𝑝,2𝑠
]︀
+ 𝑡
(2𝑞,2𝑠)
2𝑝,2𝑟
^̃𝑁
(2𝑠)
2𝑟+1
}︁
;
(3)
𝐵
(2𝑞)
2𝑝 =
∞∑︁
𝑟=0
𝑟∑︁′∑︁
𝑠=0
2𝑟(4𝑟 − 1)𝑑2𝑞,2𝑠2𝑝,2𝑟
^̃𝐶
(2𝑠)
2𝑟 ;
𝐾
(2𝑞)
2𝑝+1 =
∞∑︁
𝑟=0
𝑟∑︁′∑︁
𝑠=0
[︀
(2𝑝+ 1)(2𝑟 + 1)𝑑2𝑞,2𝑠2𝑝+1,2𝑟+1
^̃𝑁
(2𝑠)
2𝑟+1+
+4(1− 𝜈)(4𝑟 − 1)𝑎̂2𝑞,2𝑠2𝑝+1,2𝑟
^̃𝐶
(2𝑠)
2𝑟
]︀
.
Тодi радiальнi функцiї перепишуться так:(︀
𝑢
(2𝑞)
2𝑝 + 𝑢
(−2𝑞)
2𝑝
)︀
+
(︀
𝑈
(2𝑞)
2𝑝 + 𝑈
(−2𝑞)
2𝑝
)︀
= 4𝑝(2𝑝+ 3− 4𝜈)𝛿(2𝑝) ^̃𝐶
(2𝑞)
2𝑝 −
−(2𝑝+ 1)𝛿(2𝑝+2) ^̃𝐷
(2𝑞)
2𝑝 + 𝛿(−2𝑝+1) 2𝑝− 2 + 4𝜈
4𝑝+ 3
𝐵
(2𝑠)
2𝑝 ;(︀
𝜈
(2𝑞)
2𝑝 + 𝜈
(−2𝑞)
2𝑝
)︀
+
(︀
𝑉
(2𝑞)
2𝑝 + 𝑉
(−2𝑞)
2𝑝
)︀
= −2(2𝑝− 4 + 4𝜈)𝛿(2𝑝) ^̃𝐶
(2𝑞)
2𝑝 +
+ 2𝛿(2𝑝+2) ^̃𝐷
(2𝑞)
2𝑝 +
𝛿(−2𝑝+1)
2𝑝
𝐴
(2𝑞)
2𝑝 − 𝛿(−2𝑝−1)
(2𝑝+ 1)
· 2𝑝+ 5− 4𝜈
(4𝑝+ 3)
𝐴
(2𝑞)
2𝑝 ; (4)(︀
𝑤
(2𝑞)
2𝑝+1 + 𝑤
(−2𝑞)
2𝑝+1
)︀
+
(︀
𝑊
(2𝑞)
2𝑝+1 +𝑊
(−2𝑞)
2𝑝+1
)︀
=
= 2𝛿2𝑝+2 ^̃𝑁
(2𝑞)
2𝑝+1 −
𝛿−2𝑞−1
(2𝑝+ 1)(2𝑝+ 2)
𝐾
(2𝑞)
2𝑝+1.
Розглянемо, наприклад, випадок всестороннього розтягу для жорс-
тких сферичних включень радiуса 𝑟 = 𝑟0. Граничнi умови на кожно-
му включеннi задаються рiвностями:
𝑢𝑟
⃒⃒
𝑟=𝑟0
= −𝛼𝑟0; 𝑢𝜗
⃒⃒
𝑟=𝑟0
= 0; 𝑢𝜙
⃒⃒
𝑟=𝑟0
= 0; 𝛼 =
𝑚− 2
𝑚+ 1
𝑝
2𝐶
. (5)
Основнi спiввiдношення для розрахунку пружного поля в се . . . 103
Поклавши в (4) 𝑟 = 𝑟0, використовуючи (5) i спiввiдношення (3),
одержуємо нескiнченну систему алгебраїчних рiвнянь для визначен-
ня сталих iнтегрування ^̃𝐷
(2𝑞)
2𝑝 , ^̃𝐶
(2𝑞)
2𝑝 , ^̃𝑁
(2𝑞)
2𝑝+1
−2 ^̃𝐷
(0)
0 +𝐴
(0)
0 +
4𝜈 − 2
3
𝐵
(0)
0 =
√
4𝜋𝛼𝑟0;
4𝑝(2𝑝+ 3− 4𝜈) ^̃𝐶
(2𝑞)
2𝑝 − 2(2𝑝+ 1) ^̃𝐷
(2𝑞)
2𝑝 +𝐴
(2𝑞)
2𝑝 +
2𝑝− 2 + 4𝜈
4𝑝+ 3
𝐵
(2𝑞)
2𝑝 = 0;
−2(2𝑝− 4 + 4𝜈) ^̃𝐶
(2𝑞)
2𝑝 + 2 ^̃𝐷
(2𝑞)
2𝑝 +
𝐴
(2𝑞)
2𝑝
2𝑝
+
2𝑝+ 5− 4𝜈
(4𝑝+ 3)(2𝑝+ 1)
𝐵
(2𝑞)
2𝑝 = 0;
2 ^̃𝐷
(2𝑞)
2𝑝+1 −
1
(2𝑝+ 1)(2𝑝+ 2)
𝐾
(2𝑞)
2𝑝+1 = 0.
Вважаючи, що це система розв’язана, виразимо ^̃𝐴
(2𝑞)
2𝑝 , ^̃𝐵
(2𝑞)
2𝑝 , ^̃𝐾
(2𝑞)
2𝑝+1
через сталi iнтегрування. Пiдставивши їх в формули для перемiщень,
отримаємо:
𝑢𝑟(𝑟, 𝜗, 𝜙) =
√
4𝜋𝛼𝑟 + 2(𝛿−1 − 𝛿2)𝐷
(0)
0 +
∞∑︁′∑︁
𝑝=1
𝑝∑︁′∑︁
𝑞=0
{︀
−2(2𝑝+ 1)𝛿2𝑝+2+
+
2𝑝(2𝑝+ 1)(7− 8𝜈)
4𝑝2 − 4𝑝− 1 + 2𝜈
· 𝛿2𝑝+1 +
(2𝑝+ 1)(4𝑝+ 1)(2𝑝− 2 + 4𝜈)
4𝑝2 + 4𝑝− 1 + 2𝜈
]︂
^̃𝐷
(2𝑞)
2𝑝 +
+
[︂
4𝑝(2𝑝+ 3− 4𝜈)𝛿2𝑝 − 2𝑝[2𝑝(2𝑝+ 1)(13− 16𝜈)− 8(2𝜈2 − 3𝜈 + 1)]
4𝑝2 + 4𝑝− 1 + 2𝜈
×
× 𝛿−2𝑝+1 − 2𝑝(2𝑝+ 1)(4𝑝− 1)(2𝑝− 2 + 4𝜈)
4𝑝2 + 4𝑝− 1 + 2𝜈
]︂
^̃𝐶
(2𝑞)
2𝑝
}︂
cos 2𝑞𝜙𝑃 2𝑞
2𝑝(cos𝜗);
𝑢𝜗(𝑟, 𝜗, 𝜙) =
∞∑︁′∑︁
𝑝=0
𝑝∑︁′∑︁
𝑞=0
{︂{︂[︂
2 · 𝛿2𝑝+2 + 𝛿−2𝑝+1 · (2𝑝+ 1)(7− 8𝜈)
4𝑝2 + 4𝑝− 1 + 2𝜈
−
−𝛿−2𝑝−1 · (4𝑝+ 1)(2𝑝+ 5− 4𝜈)
4𝑝2 + 4𝑝− 1 + 2𝜈
]︂
^̃𝐷
(2𝑞)
2𝑝 +
[︀
−𝛿2𝑝 · 2(2𝑝− 4 + 4𝜈)−
−𝛿−2𝑝+1 · 2𝑝(2𝑝+ 1)(13− 16𝜈)− 8(2𝜈2 − 3𝜈 + 1)
4𝑝2 + 4𝑝− 1 + 2𝜈
+
+𝛿−2𝑝−1 · 2𝑝(4𝑝− 1)(2𝑝+ 5− 4𝜈)
4𝑝2 + 4𝑝− 1 + 2𝜈
]︂
^̃𝐶
(2𝑞)
2𝑝
}︂
×
104 Дiденко Ю. Ф., Денисенко В. I.
× cos 2𝑞𝜙
𝑑𝑃2𝑝
(2𝑞)(cos𝜗)
𝑑𝜗− 2(𝛿2𝑝+2 − 𝛿−2−1) ^̃𝑁
(2𝑞)
2𝑝+1 · 2𝑞
sin 2𝑞𝜙
sin𝜗
𝑃2𝑝(2𝑞)
}︂
;
𝑢𝜙(𝑟, 𝜗, 𝜙) = −
∞∑︁′∑︁
𝑝=0
𝑝∑︁′∑︁
𝑞=0
{︂{︂[︂
2 · 𝛿(2𝑝+2) + 𝛿−2𝑝+1 · (2𝑝+ 1)(7− 8𝜈)
4𝑝2 + 4𝑝− 1 + 2𝜈
−
−𝛿−2𝑝−1 · (4𝑝+ 1)(2𝑝+ 5− 4𝜈)
4𝑝2 + 4𝑝− 1 + 2𝜈
]︂
^̃𝐷
(2𝑞)
2𝑝 −
[︀
𝛿2𝑝 · 2(2𝑝− 4 + 4𝜈)+
+𝛿−2𝑝+1 · 2𝑝(2𝑝+ 1)(13− 16𝜈)− 8(2𝜈2 − 3𝜈 + 1)
4𝑝2 + 4𝑝− 1 + 2𝜈
−
−𝛿−2𝑝−1 · 2𝑝(4𝑝− 1)(2𝑝+ 5− 4𝜈)
4𝑝2 + 4𝑝− 1 + 2𝜈
]︂
^̃𝐶
(2𝑞)
2𝑝
}︂
×
× cos 2𝑞
sin 2𝑞𝜙
sin𝜗
^̃𝑃
(2𝑞)
2𝑝 (cos𝜙) + 2(𝛿2𝑝+2 − 𝛿−2−1) ^̃𝑁
(2𝑞)
2𝑝+1 cos 2𝑞𝜙
𝑑𝑃
(2𝑞)
2𝑝+1
𝑑𝜗
}︃
.
Розрахунок напруг проводиться з використанням наведених вище
виразiв i вiдношень закона Гука в сферичних координатах.
[1] Перетворення векторного розв’язку зовнiшнiх задач теорiї пружностi
для сфери при змiнi початку координат / Дiденко Ю.Ф. // Допов.
АН УССР. Сер. "А". — 1984. — 8. — С. 35–38.
[2] Об одной задаче пространственной теории потенциала / Диденко
Ю.Ф., Борисенко В.А., Комаров Г.Н., Денисенко В.И. // Вестник Хер-
сонского национального технического университета. — 2007. — 2(28). —
С. 103–108.
1. Луковський І.О., Гаврилюк І.О., Василик В.Б., Ситник Д.О.
2. Біленко В. І., Божонок К. В., Дзядик С. Ю., Стеля О. Б.
Інтегро–апроксимаційний алгоритм
Вступ
Постановка задачі
Алгоритм
Похибка алгоритму
Застосування a–методу для алгебраїчно–нелінійних рівнянь гіперболічного типу
Задача Дирихле для алгебраїчно–нелінійних рівнянь еліптичного типу на прямокутнику
Наближений розв'язок початкової задачі для алгебраїчно–нелінійних рівнянь параболічного типу на прямокутнику
Сплайн–алгоритм
Монотонна схема для рівняння конвекції–дифузії
Висновки
3. Василик В.Б., Макаров В.Л., Ситник Д.О.
Вступ
Регуляризація та явне зображення розв'язку
Вибір контуру інтегрування
Чисельний метод
4. Веселовська Г.М.
5. Грушковская В.В.
Введение
Построение модельной системы
Условия устойчивости
Оценка скорости убывания решений
Пример: оценка скорости затухания колебаний маятниковой системы с частичной диссипацией
Выводы
6. Дзюбенко Г.А.
Вступ
Допоміжні факти
Доведення Теореми ??
7. Діденко Ю.Ф., Денисенко В.І.
8. Елишевич М.А.
Постановка задачи
Полученный результат
Пример
9. Константинов А.В., Лимарченко О.С., Кинебас К.В., Паранькина О.Ю.
Введение
Объект исследования и математическая модель
Результаты вычислительных экспериментов
Выводы
10. Мазко О.Г., Кусій С.М.
Вступ
Допоміжні твердження
Лінійні системи з керованими і спостережуваними виходами
Статичний регулятор по вимірюваному виходу
Динамічний регулятор
Алгоритм побудови динамічного регулятора
Приклад. Гасіння коливань лінійного осцилятора.
Висновок
11. Працьовитий М. В., Маслова Ю. П.
Вступ
Функція Радемахера і ряди Уолша
Узагальнення функцій Радемахера
Узагальнення функцій Уолша
12. Працьовитий М.В., Чуйков А.С.
Вступ
Оператори лівостороннього та правостороннього зсуву елементів ланцюгового дробу
Інші функції, пов'язані з оператором T(x)
13. Новицький В.В., Зінчук М.О., Коломійчук О.П., Тетерятник О.В.
Вступ
Оптимальне керування лінійними неперервними майже консервативними системами
Оптимальне керування лінійними дискретними майже консервативними системами
14. Осауленко Р. Ю.
Вступ
Перетворення, які зберігають хвости Qs–зображення чисел
Група перетворень, які зберігають частоти цифр Qs–зображення числа
Приклад функції, яка зберігає частоти, але не зберігає хвости зображення Qs-ірраціональних чисел
15. Слинько В.І., Кравчук С.В.
Постановка задачі.
Основний результат.
Умови стійкості
16. Солодун А. В.
Постановка задачи
Численные результаты
17. Ситник Д.О.
Вступ
Sinc–апроксимація
Sinc-апроксимація функції за її значеннями поза інтерполяційною сіткою
18. Сосницький С.П.
Вступ
Про рівняння збуреного руху в околі стаціонарних лагранжевих трикутників
Теорема про орбітальну нестійкість лагранжевих стаціонарних рухів у задачі трьох тіл
Висновок
19. Сосницький С.П.
Вступ
Про достатні умови відсутності осцилюючих симетричних рухів
20. Чернецька Л.О.
21. Timokha A.N.
Statement
Asymptotic steady-state solutions of (??)–(??)
The reciprocating excitation type
The axisymmetric elliptic excitation type
The oblique elliptic excitation type
Conclusions
22. Shlepakov L.N.
Main relationships for a non-inflated system
Construction of enlarged systems
Defining the task mathematical programming
Case of multiple channels with same probability characteristics in the same system of channels.
23. Shidlich A.L.
Approximative characteristics
Main results
Order estimates for some functionals and their applications
Proof of Theorems ?? and ??.
24. Луковський І.О., Стороженко В.О.
25. Луковський І.О., Пустовойтов М.О.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-44 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:01:30Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/35/e39494b8b6a4bcee9e3614d3b99fd335.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-442018-02-13T11:57:10Z Main relationships for calculating an elastic field in a medium with spheric embeddings Основные соотношения для расчета упругого поля в среде со сфереческими включениями Основнi спiввiдношення для розрахунку пружного поля в середовищi зi сферичними включеннями Didenko, Yu. F. Denysenko, V. I. Диденко, Ю. Ф. Денисенко, В. И. Дiденко, Ю. Ф. Денисенко, В. I. The task of equilibrium in elastic medium containing an infinite set of rigid spherical particles led to infinite systems of algebraic equations when conversion formula of external solution of the Lame’s equation was used for transition to a new coordinate system. It is shown how to simplify expressions for displacement of structures with orderly arrangement of hard particles using the infinite system of equations that were obtained in the satisfaction of boundary conditions. С помощью формулы преобразования внешнего решения уравнения Ламе при переходе к новой системе координат задача равновесия упругой среды, содержащей бесконечное множество жестких сферических включений, сведена к бесконечным системам уравнений. В работе показано как можно упростить выражения для перемещений для структур с упорядоченным расположением жестких включений, используя бесконечные системы уравнений, полученные при удовлетворении граничных условий. За допомогою формули перетворення зовнішнього розв'язку рівняння Ламе при переході до нової системи координат задача рівноваги пружного середовища, що містить безліч жорстких сферичних включень, зведена до нескінченних систем рівнянь. В роботі показано як можна спростити вирази для переміщень для структур з упорядкованим розташуванням жорстких включень, використовуючи нескінченні системи рівнянь, отримані при задоволенні граничних умов. Інститут математики НАН України 2017-12-22 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/44 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 13 No. 3 (2016): Mathematical problems of mechanics and computational mathematics; 99-104 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 13 № 3 (2016): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 99-104 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 13 № 3 (2016): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 99-104 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/44/41 Авторське право (c) 2016 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Didenko, Yu. F. Denysenko, V. I. Диденко, Ю. Ф. Денисенко, В. И. Дiденко, Ю. Ф. Денисенко, В. I. Main relationships for calculating an elastic field in a medium with spheric embeddings |
| title | Main relationships for calculating an elastic field in a medium with spheric embeddings |
| title_alt | Основные соотношения для расчета упругого поля в среде со сфереческими включениями Основнi спiввiдношення для розрахунку пружного поля в середовищi зi сферичними включеннями |
| title_full | Main relationships for calculating an elastic field in a medium with spheric embeddings |
| title_fullStr | Main relationships for calculating an elastic field in a medium with spheric embeddings |
| title_full_unstemmed | Main relationships for calculating an elastic field in a medium with spheric embeddings |
| title_short | Main relationships for calculating an elastic field in a medium with spheric embeddings |
| title_sort | main relationships for calculating an elastic field in a medium with spheric embeddings |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/44 |
| work_keys_str_mv | AT didenkoyuf mainrelationshipsforcalculatinganelasticfieldinamediumwithsphericembeddings AT denysenkovi mainrelationshipsforcalculatinganelasticfieldinamediumwithsphericembeddings AT didenkoûf mainrelationshipsforcalculatinganelasticfieldinamediumwithsphericembeddings AT denisenkovi mainrelationshipsforcalculatinganelasticfieldinamediumwithsphericembeddings AT didenkoûf mainrelationshipsforcalculatinganelasticfieldinamediumwithsphericembeddings AT denisenkovi mainrelationshipsforcalculatinganelasticfieldinamediumwithsphericembeddings AT didenkoyuf osnovnyesootnošeniâdlârasčetauprugogopolâvsredesosferečeskimivklûčeniâmi AT denysenkovi osnovnyesootnošeniâdlârasčetauprugogopolâvsredesosferečeskimivklûčeniâmi AT didenkoûf osnovnyesootnošeniâdlârasčetauprugogopolâvsredesosferečeskimivklûčeniâmi AT denisenkovi osnovnyesootnošeniâdlârasčetauprugogopolâvsredesosferečeskimivklûčeniâmi AT didenkoûf osnovnyesootnošeniâdlârasčetauprugogopolâvsredesosferečeskimivklûčeniâmi AT denisenkovi osnovnyesootnošeniâdlârasčetauprugogopolâvsredesosferečeskimivklûčeniâmi AT didenkoyuf osnovnispivvidnošennâdlârozrahunkupružnogopolâvseredoviŝizisferičnimivklûčennâmi AT denysenkovi osnovnispivvidnošennâdlârozrahunkupružnogopolâvseredoviŝizisferičnimivklûčennâmi AT didenkoûf osnovnispivvidnošennâdlârozrahunkupružnogopolâvseredoviŝizisferičnimivklûčennâmi AT denisenkovi osnovnispivvidnošennâdlârozrahunkupružnogopolâvseredoviŝizisferičnimivklûčennâmi AT didenkoûf osnovnispivvidnošennâdlârozrahunkupružnogopolâvseredoviŝizisferičnimivklûčennâmi AT denisenkovi osnovnispivvidnošennâdlârozrahunkupružnogopolâvseredoviŝizisferičnimivklûčennâmi |