Двоїсті системи кодування дійсних чисел з нескінченним алфавітом і зв'язки між ними
We study relations between two self-similar systems forrepresentation of real numbers with infinite alphabet and zeroredundancy based on expansions of numbers in positive and alternatingbinary series. Expression for conversion of digits of firstrepresentation of number to digits of its second repres...
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори та афіліації: |
|
| Ключові слова: | keywords |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/440 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552939926585344 |
|---|---|
| author | Лисенко, І.М. Ісаєва, Т.М. |
| author_facet | Лисенко, І.М. Ісаєва, Т.М. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "І.М. Лисенко",
"institution": "НПУ імені М.П. Драгоманова"
},
{
"author": "Т.М. Ісаєва",
"institution": "НПУ імені М.П. Драгоманова, Київ"
}
] |
| author_sort | Лисенко, І.М. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-10T06:16:24Z |
| description | We study relations between two self-similar systems forrepresentation of real numbers with infinite alphabet and zeroredundancy based on expansions of numbers in positive and alternatingbinary series. Expression for conversion of digits of firstrepresentation of number to digits of its second representation isfound. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:07:24Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2017, т. 14, № 4, 125–136
УДК 517.927
I.М. Лисенко, Т.М. Iсаєва
НПУ iменi М.П. Драгоманова, Київ;
iryna.pratsiovyta@gmail.com, isaeva_tn@ukr.net
Двоїстi системи кодування дiйсних
чисел з нескiнченним алфавiтом i
зв’язки мiж ними
We study relations between two self-similar systems for representati-
on of real numbers with infinite alphabet and zero redundancy based
on expansions of numbers in positive and alternating binary series.
Expression for conversion of digits of first representation of number
to digits of its second representation is found.
Key words: binary representation of numbers, ∆]-representation of
numbers, ∆2∞-representation of numbers, binary series, projector of
representation, relation between digits of different representations.
Робота присвячена вивченню взаємозв’язкiв мiж двома самоподi-
бними системами зображення дiйсних чисел iз нескiнченним ал-
фавiтом i нульовою надлишковiстю, що ґрунтуються на розкла-
дах чисел у додатнi й знакозмiннi двiйковi ряди. Знайдено вираз
цифр числа одного зображення через цифри iншого його зобра-
ження.
Ключовi слова: двiйкове зображення чисел, ∆]-зображення чи-
сел, ∆2∞ -зображення чисел, двiйковий ряд, проектор одного зо-
браження числа в iнше, зв’язок мiж цифрами рiзних зображень.
c© I.М. Лисенко, Т.М. Iсаєва, 2017
126 I.М. Лисенко, Т.М. Iсаєва
Вступ
Для вивчення математичних об’єктiв зi складною локальною
тополого-метричною структурою i фрактальними властивостя-
ми, зокрема, функцiй, ймовiрнiсних мiр, динамiчних систем то-
що, все ширше використовують рiзнi системи кодування (зобра-
ження) дiйсних чисел [1, 16, 18], в тому числi i системи з нескiн-
ченним алфавiтом [4, 9, 14, 15]. Однi з них мають самоподiбнi
властивостi [7, 17, 21, 23], а iншi — нi [1, 4, 9, 10]. Геометрiя пер-
ших значно простiша i це спрощує їхнє використання.
Ця робота стосується двох систем iз N -самоподiбними власти-
востями, мiж якими iснує тiсний зв’язок i якi в певному сенсi є
двоїстими.
Деякi системи кодування дiйсних чисел iз нескiнченним ал-
фавiтом можна отримати шляхом перекодування двосимвольних
зображень чисел. Так, шляхом перекодування класичного двiй-
кового зображення числа:
(0; 1] 3 x =
α1
2
+
α2
22
+ ...+
αn
2n
+ ... ≡ ∆2
α1α2...αn...,
де αn ∈ A2 ≡ {0, 1}, можна отримати ∆2∞-зображення:
(0; 1] 3 x =
1
2c1
+
1
2c1+c2
+ . . .+
1
2c1+c2+...+cn
+ . . . ≡ ∆2∞
c1c2...cn...,
де cn ∈ A = N = {1, 2, ..., n, ...}, а саме:
∆2
α1α2...αn... = ∆2
0...0︸︷︷︸
c1−1
1 0...0︸︷︷︸
c2−1
1... 0...0︸︷︷︸
ck−1
1... = ∆2∞
c1c2...cn...,
яке вивчалось i узагальнювалось у роботах [3, 7].
Кожне число x ∈ (0; 1) має єдине 2∞-зображення. Тому коре-
ктно на (0; 1] означенi функцiї: y = ck(x), k = 1, 2, ..., якi набува-
ють натуральних значень.
Множина всiх чисел x ∈ (0; 1], якi мають 2∞-зображення, такi,
що ci(x) = si ∈ N , i = 1,m називається цилiндром рангу m iз
основою s1s2...sm i позначається ∆2∞
s1s2...sm .
Двоїстi системи кодування чисел 127
Цилiндр є пiвiнтервалом (a; b] з кiнцями
a =
1
2s1
+
1
2s1+s2
+ · · ·+ 1
2s1+s2+...sm
≡ ∆2∞
s1s2...sm−1[sm+1](1),
b = a+
1
2s1+s2+···+sm
≡ ∆2∞
s1s2...sm−1sm(1).
Дещо «схожим» до 2∞-зображення чисел є ∆]-зображення:
(0; 1] 3 x =
1
2a1−1
− 1
2a1+a2−1
+...+
(−1)n−1
2a1+a2+...+an−1
+... ≡ ∆]
a1a2...an...,
де an ∈ N = {1, 2, ...n, ...}, тополого-метрична теорiя якого побу-
дована в роботах [11, 12].
Зауважимо, що ∆]-представлення числа є виразом значення
строго зростаючої сингулярно неперервної функцiї Мiнковсько-
го, який знайшов Салем [22]. Ця функцiя, яку 1911 р. запропо-
нував до розгляду Г. Мiнковський [20], означувалась в оригiна-
лi через дроби Фарея. Вона встановлює вiдповiднiсть мiж еле-
ментарним ланцюговим дробом iз елементами (an) i вiдповiдним
знакозмiнним рядом, рацiональними i квадратично iррацiональ-
ними числами.
Для кожної з указаних систем зображення чисел алфавiтом є
множина натуральних чисел. Природним є iнтерес до двох задач:
1. Який зв’язок мiж зображеннями (∆] i ∆2∞) одного i того
самого числа?
2. Якi властивостi має функцiя, аргумент i значення якої ма-
ють однаковi зображення у вказаних системах кодування, тобто
f(∆]
a1a2...an...) = ∆2∞
a1a2...an...,
ϕ(∆2∞
a1a2...an...) = ∆]
a1a2...an...?
Враховуючи, що кожне число x ∈ (0; 1] має єдине 2∞-
зображення, функцiя ϕ(x) є коректно означеною. Тодi як про
коректнiсть означення функцiї f в точках, що мають два фор-
мально рiзнi зображення, треба подбати?
Ця робота повнiстю присвячена першiй задачi.
128 I.М. Лисенко, Т.М. Iсаєва
1. Зв’язок мiж ∆]-зображенням числа i йо-
го класичним двiйковим зображенням
Лема 1. При довiльних натуральному n i набору натуральних
чисел (a1, a2, . . . , an−1, an) число
x =
1
2a1−1
− 1
2a1+a2−1
+. . .+
(−1)n−1
2a1+...+an−1+an−1 ≡ ∆]
a1...an−1an(∅) (1)
є рацiональним числом iз пiвiнтервалу (0; 21−a1 ], причому якщо
an = 1, то
x =
n−2∑
k=1
(−1)k−1
2a1+...+ak−1
+
(−1)n−2
2a1+...+an−2+a′n−1−1
≡ ∆]
a1...an−2[an−1+1](∅),
(2)
де a′n−1 = an−1 + 1.
Рацiональнiсть числа x очевидна. Доведемо першу частину
твердження. Для цього використаємо метод математичної iнду-
кцiї. При n = 1 твердження правильне, оскiльки x = 21−a1 . При-
пускаємо iстиннiсть твердження для n = k, тобто що
1
2a1−1
− 1
2a1+a2−1
+ . . .+
(−1)k−1
2a1+a2+...+ak−1
= x ∈ (0; 21−a1 ].
Розглянемо n = k + 1. Очевидно, що
x =
1
2a1−1
− 1
2a1
· x1,
де x1 =
1
2a2−1
− 1
2a2+a3−1
+ . . .+
(−1)k
2a2+a3+...+ak+1−1
.
За припущенням x1 ∈ (0; 21−a2 ]. Тому
0 <
1
2a1−1
− 1
2a1+a2−1
≤ x =
1
2a1−1
− 1
2a1
· x1 <
1
2a1−1
,
що й треба було довести.
Двоїстi системи кодування чисел 129
Тепер доведемо другу частину твердження. Розглянувши рi-
зницю виразiв (1) i (2) при an = 1, дiстанемо:
(−1)n−2
((
1
2a1+a2+...+an−1−1 −
1
2a1+a2+...+an−1+1−1
)
−
− 1
2a1+a2+...+an−2+(an−1+1)−1
)
=
= (−1)n−2
(
1
2a1+a2+...+an−1
− 1
2a1+a2+...+an−1
)
= 0.
Отже, при an = 1 для числа x має мiсце розклад (2). Лему 1
доведено.
Лема 2. Число x, що є значенням виразiв (1) або (2), є двiйково-
рацiональним, тобто має класичне двiйкове зображення з перiо-
дом (0).
Враховуючи лему 1, ми можемо вважати, що n є числом пар-
ним, тобто n=2m. Тодi
x=
(
1
2a1−1
− 1
2a1+a2−1
)
+. . .+
(
1
2a1+...+a2m−1−1 −
1
2a1+...+a2m−1
)
=
=
2a2 − 1
2a1+a2−1
+
2a4 − 1
2a1+a2+a3+a4−1
+ . . .+
a2m − 1
2a1+a2+...+a2m−1
.
Оскiльки 2ai − 1 = 2ai−1 + 2ai−2 + . . .+ 21 + 20, то
2ai − 1
2a1+a2+...+ai−1
=
2ai−1 + 2ai−2 + . . .+ 21 + 20
2a1+a2+...+ai−1
=
=
1
2a1+a2+...+ai−1
+
1
2a1+a2+...+ai−1+1
+ . . .+
1
2a1+a2+...+ai−1
.
Тому
x =
(
1
2a1
+
1
2a1+1
+
1
2a1+2
+ . . .+
1
2a1+a2−1
)
+
130 I.М. Лисенко, Т.М. Iсаєва
+
(
1
2a1+a2+a3
+
1
2a1+a2+a3+1
+ . . .+
1
2a1+a2+a3+a4−1
)
+ . . .+
+
(
1
2a1+...+a2m−1
+
1
2a1+...+a2m−1+1
+ . . .+
1
2a1+...+a2m−1+a2m−1
)
=
= ∆2
0 . . . 0︸ ︷︷ ︸
a1−1
1 . . . 1︸ ︷︷ ︸
a2
0 . . . 0︸ ︷︷ ︸
a3
1 . . . 1︸ ︷︷ ︸
a4
0 . . . 0︸ ︷︷ ︸
a5
...1 . . . 1︸ ︷︷ ︸
a2m
(0)
.
Лему 2 доведено.
Теорема 3. Мають мiсце рiвностi:
1) ∆]
a1a2...a2k(∅) = ∆2
0 . . . 0︸ ︷︷ ︸
a1−1
1 . . . 1︸ ︷︷ ︸
a2
...0 . . . 0︸ ︷︷ ︸
a2k−1
1 . . . 1︸ ︷︷ ︸
a2k
(0)
;
2) ∆]
a1a2...a2ka2k+1(∅) = ∆2
0 . . . 0︸ ︷︷ ︸
a1−1
1 . . . 1︸ ︷︷ ︸
a2
...0 . . . 0︸ ︷︷ ︸
a2k−1
1 . . . 1︸ ︷︷ ︸
a2k
0 . . . 0︸ ︷︷ ︸
a2k+1
1(0)
;
3) ∆]
a1a2...an... = ∆2
0 . . . 0︸ ︷︷ ︸
a1−1
1 . . . 1︸ ︷︷ ︸
a2
...0 . . . 0︸ ︷︷ ︸
a2k−1
1 . . . 1︸ ︷︷ ︸
a2k
...
.
1. Справедливiсть твердження 1) випливає з леми 2.
2. Оскiльки можливi випадки a2k+1 = 1 або a2k+1 > 1, то з
урахуванням рiвностей (1), (2) й леми 2 отримаємо:
∆]
a1a2...a2ka2k+1(∅) = ∆2
0 . . . 0︸ ︷︷ ︸
a1−1
1 . . . 1︸ ︷︷ ︸
a2
...0 . . . 0︸ ︷︷ ︸
a2k−1
1 . . . 1︸ ︷︷ ︸
a2k
0 . . . 0︸ ︷︷ ︸
a2k+1
1(0)
.
3. Оскiльки
x=
(
1
2a1−1
− 1
2a1+a2−1
)
+. . .+
(
1
2a1+...+a2k−1−1
− 1
2a1+...+a2k−1
)
+. . .=
=
2a2 − 1
2a1+a2−1
+
2a4 − 1
2a1+a2+a3+a4−1
+ . . .+
22k − 1
2a1+a2+...+a2k−1
+ . . .
Двоїстi системи кодування чисел 131
i 2ai − 1 = 2ai−1 + 2ai−2 + . . .+ 21 + 20, то мiркуючи аналогiчно,
отримаємо
x =
(
1
2a1
+
1
2a1+1
+
1
2a1+2
+ . . .+
1
2a1+a2−1
)
+
+
(
1
2a1+a2+a3
+
1
2a1+a2+a3+1
+ . . .+
1
2a1+a2+a3+a4−1
)
+ . . .+
+
(
1
2a1+...+a2k−1
+
1
2a1+...+a2k−1+1
+ . . .+
1
2a1+...+a2k−1+a2k−1
)
+ . . . =
= ∆2
0 . . . 0︸ ︷︷ ︸
a1−1
1 . . . 1︸ ︷︷ ︸
a2
...0 . . . 0︸ ︷︷ ︸
a2k−1
1 . . . 1︸ ︷︷ ︸
a2k
...
.
Теорему 3 доведено.
2. Зв’язок мiж цифрами зображень одного
i того самого числа
Залежностi мiж цифрами зображень того самого числа x у рi-
зних системах кодування можна отримати через вище описаний
їхнiй зв’язок з класичним двiйковим зображенням:
x = ∆]
a1a2...an... ≡ ∆2
0...0︸︷︷︸
a1−1
1...1︸︷︷︸
a2
0...0︸︷︷︸
a3
1...1︸︷︷︸
a4
0...0︸︷︷︸
a5
...
,
x = ∆2∞
c1c2...cn... ≡ ∆2
0...0︸︷︷︸
c1−1
10...0︸︷︷︸
c2−1
10...0︸︷︷︸
c3−1
10...0︸︷︷︸
c4−1
1...
.
Розглянемо два крайнi випадки.
Лема 4. Якщо x = ∆]
a1a2...an... = ∆2∞
c1c2...cn... i при цьому a2k = 1
для будь-якого k ∈ N , то
c1 = a1, ck = a2k−1 + 1, k = 2, 3, .... (3)
Доведення. Оскiльки в цьому випадку
x = ∆]
a1a2...an... = ∆2
0...0︸︷︷︸
a1−1
10...0︸︷︷︸
a3
10...0︸︷︷︸
a5
1...
= ∆2
0...0︸︷︷︸
c1−1
10...0︸︷︷︸
c2−1
10...0︸︷︷︸
c3−1
1...
,
132 I.М. Лисенко, Т.М. Iсаєва
то, визначаючи номер мiсця останнього нуля в серiї, матимемо
c1 − 1 = a1 − 1,
c1 − 1 + c2 − 1 + 1 = a1 − 1 + a3 + 1,
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
c1−1+c2−1+...+ck−1+(k−1) = a1−1+a3+...+a2k−1+(k−1).
Звiдки за iндукцiєю отримуємо рiвностi (3). �
Лема 5. Якщо x = ∆]
a1a2...an... = ∆2∞
c1c2...cn... i при цьому a2k > 1
для будь-якого k ∈ N , то
c1 = a1,
c1+i = 1 при i = 1, a2 − 1,
ca2+1 = a3 + 1,
ca2+1+i = 1, i = 1, a4 − 1,
ca2+a4+1 = a5 + 1,
ca2+a4+1+i = 1, i = 1, a6 − 1,
.................................................
ca2+a4+...+a2k = 1,
ca2+a4+...+a2k+1 = a2k+1 + 1,
ca2+a4+...+a2k+1+i = 1, i = 1, a2k+2 − 1, 1 < k ∈ N.
Доведення. З рiвностi
∆2
0...0︸︷︷︸
a1−1
1...1︸︷︷︸
a2
0...0︸︷︷︸
a3
1...1︸︷︷︸
a4
0...0︸︷︷︸
a5
...
= ∆2
0...0︸︷︷︸
c1−1
10...0︸︷︷︸
c2−1
10...0︸︷︷︸
c3−1
10...0︸︷︷︸
c4−1
1...
маємо: c1 = a1; якщо a2 = n > 1, то це рiвносильно системi
c2 = c3 = ... = cm = 1, тобто c1+i = 1 при i = 1, a2 − 1. Тодi
ca2+1 = a3 + 1. Аналогiчно, якщо a4 > 1, то ca2+1+i = 1 при
i = 1, a4 − 1, ca2+a4+1 = a5 + 1 i так далi. Лему доведено.
Тепер розглянемо загальний випадок.
Теорема 6. Якщо x = ∆]
a1a2...an... = ∆2∞
c1c2...cn..., то c1 = a1;
c2 =
{
a3 + 1, якщо a2 = 1,
1, якщо a2 > 1;
cm =
{
a2k+1 + 1 при m− 1 = a2 + a4 + · · ·+ a2k,
1 при a2 + a4 + · · · a2k < m− 1 < a2 + · · ·+ a2k + a2k+2.
Двоїстi системи кодування чисел 133
Доведення. Рiвнiсть c1 = a1 є очевидною. При m = 2, з ура-
хуванням попереднiх лем очевидно, що
c2 =
{
a3 + 1, якщо a2 = 1,
1, якщо a2 > 1.
Розглянемо c3. Можливi випадки
3 = a2 + 1 або 3 > a2 + 1.
У першому випадку маємо a2 = 2 i c3 = a3 + 1.
У другому випадку a2 = 1 i 3 = a2 +a4 + 1 або 3 < a2 +a4 + 1.
Якщо 3 = a2 + a4 + 1, то c3 = a5 + 1.
Якщо 3 < a2 + a4 + 1, то c3 = 1.
Переходячи до загального випадку, маємо зазначити, що чи-
сло (m − 1) виражає кiлькiсть цифр 1 серед перших n =
m∑
i=1
ci
цифр двiйкового зображення числа x.
Тому для будь-якого m ∈ N iснує k, таке, що
m− 1 = a2 + a4 + · · ·+ a2k або
a2 + a4 + · · ·+ a2k < m− 1 < a2 + a4 + · · ·+ a2k + a2k+2.
У першому випадку очевидно, що a2k+1 = cm − 1, а у другому –
cm = 1. Теорему доведено.
Зауваження. Вiдносно легко встановити зв’язок мiж указа-
ними зображеннями iррацiональних чисел допомогли вiдомi їхнi
зв’язки з класичним двiйковим зображенням. Iз отриманих ви-
разiв цифр ∆2∞-зображення числа легко вивести вирази цифр
∆]-зображення.
Теорема 7. Якщо x = ∆]
a1a2...a2k(∅) = ∆2∞
c1c2...cn..., то c1 = a1, при
n = a1 + a2 + ...+ a2k + 1 маємо cn+1 = 2, cn+1+i = 1, i = 1, 2, ...,
а для j < n
cj =
{
a2m+1 + 1 при j − 1 = a2 + a2 + ...+ a2m,
1 при a2 + a4 + · · · a2m < j − 1 < a2 + · · ·+ a2m + a2m+2.
134 I.М. Лисенко, Т.М. Iсаєва
Доведення. Оскiльки
∆]
a1a2...a2k(∅) = ∆2
0...0︸︷︷︸
a1−1
1...1︸︷︷︸
a2
0...0︸︷︷︸
a3
... 1...1︸︷︷︸
a2k
(0) =
= ∆2
0...0︸︷︷︸
a1−1
1...1︸︷︷︸
a2
0...0︸︷︷︸
a3
... 1...1︸︷︷︸
a2k−1
10(1) =
= ∆2
0...0︸︷︷︸
c1−1
1 0...0︸︷︷︸
c2−1
1... 0...0︸︷︷︸
cn−1
10(1) = ∆2∞
c1c2...cn2(1)
,
то очевидно, що c1 = a1, при n = a1 + a2 + ... + a2k + 1 маємо
cn+1 = 2, cn+1+i = 1, i = 1, 2, ... . При j < m для обґрунтува-
ння твердження достатньо повторити мiркування наведенi при
доведеннi попередньої теореми. Теорему доведено.
Зауважимо, що аналогiчнi задачi для iнших двоїстих зо-
бражень, навiть самоподiбних, є суттєво складнiшими (напри-
клад, для рядiв Люрота: додатних [23] i знакозмiнних [17]). Для
несамоподiбних зображень (наприклад, рядiв Остроградського-
Серпiнського-Пiрса [1] i рядiв Енгеля [2], рядiв Сiльвестера [4, 10]
i рядiв Остроградського [9]) вони є екстраскладними.
Лiтература
[1] Барановський О.М., Працьовитий М.В., Торбiн Г.М. Ряди
Остроградського-Серпiнського-Пiрса та їх застосування. – К.: На-
укова думка. – 2013. – 288 с.
[2] Гетьман Б. I., Працьовитий М.В., Барановський О.М. Про вла-
стивостi однiєї сiм’ї множин канторiвського типу, що визначається
умовами на елементи розкладу в ряд Енгеля // Наук. часопис
НПУ iменi М.П. Драгоманова. Серiя 1. Фiз.-мат. науки. – 2010,
№ 11. – С. 119-142.
[3] Гончаренко Я.В., Лисенко I.М. Геометрiя нескiнченно-
символьного q∞0 -зображення дiйсних чисел та її застосування
у метричнiй теорiї чисел// Науковий часопис НПУ iменi М.П.
Драгоманова. Сер. 1. Фiз-мат. науки. – 2013. – №15. – С. 100-118.
Двоїстi системи кодування чисел 135
[4] Заднiпряний М.В., Працьовита I.М. Нескiнченнi згортки Бер-
нуллi, пов’язанi з рядами Сiльвестера. // Науковий часопис НПУ
iменi М.П. Драгоманова. Серiя 1. Фiз.-мат. науки. – 2010, № 11. –
С. 232-240.
[5] Iсаєва Т.М. Одне кодування дiйсних чисел засобами нескiнченно-
го алфавiту i його застосування: автореферат дисертацiї на здо-
буття наукового ступеня кандидата фiзико-математичних наук. –
Київ, 2017. – 20 c.
[6] Iсаєва Т.М. ∆µ-зображення i основа нової метричної теорiї дiй-
сних чисел // Науковий часопис НПУ iменi М.П. Драгоманова.
Серiя 1. Фiз.-мат. науки. – К.: НПУ iменi М.П. Драгоманова, 2014.
– № 16. – С. 164-185.
[7] Працьовитий М.В. Геометрiя дiйсних чисел у їх кодуваннях за-
собами нескiнченного алфавiту як основа топологiчних, метри-
чних, фрактальних i ймовiрнiсних теорiй // Науковий часопис
НПУ iменi М.П. Драгоманова. Серiя 1. Фiз.-мат. науки. – 2013,
№ 14. – С. 189-216.
[8] Працьовитий М.В. Геометрiя класичного двiйкового зображення
дiйсних чисел. – Київ: Вид-во НПУ iменi М.П. Драгоманова. –
2012. – 68 с.
[9] Працьовита I.М. Розклади дiйсних чисел в ряди Остроградського
2-го виду (O2- та O2-зображення), їх геометрiя та застосування //
Науковий часопис НПУ iменi М.П. Драгоманова. Серiя 1. Фiз.-
мат. науки. – 2008. – № 9. – С. 128-147.
[10] Працьовитий М.В., Заднiпряний М.В. Геометрiя i основи метри-
чної теорiї зображення дiйсних чисел рядами Сiльвестера // На-
уковий часопис НПУ iменi М.П. Драгоманова. Серiя 1. Фiз.-мат.
науки. – 2011. – №12. – С. 76-85.
[11] Працьовитий М.В., Iсаєва Т.М. Кодування дiйсних чисел з не-
скiнченним алфавiтом i основою 2 // Науковий часопис НПУ iменi
М.П. Драгоманова. Серiя 1. Фiз.-мат. науки. – 2013. – № 15. – С. 6-
23.
[12] Працьовитий М.В., Iсаєва Т.М. Про деякi застосування ∆]-зо-
браження дiйсних чисел // Буковинський математичний жур-
нал. – 2014. – Т. 2, № 2-3. – С. 187-197.
136 I.М. Лисенко, Т.М. Iсаєва
[13] Працьовитий М.В., Лещинський О.Л. Властивостi випадкових
величин, заданих розподiлами елементiв свого Q̃∞-зображення //
Теорiя ймовiрностей та мат. стат. – 1997. – № 57. – С. 134-140.
[14] Працьовитий М.В. Полiосновне Q̃-представлення i фрактальнi
математичнi об’єкти з ним пов’язанi // Фрактальний аналiз та су-
мiжнi питання. – Київ: IМ НАН України. – НПУ iменi М.П. Дра-
гоманова. – 1998. – № 2. – С. 14-35.
[15] Працьовитий М.В. Фрактальнi властивостi спектра розподiлу ви-
падкової величини, Q-знаки якої утворюють однорiдний ланцюг
Маркова // Фрактальний аналiз та сумiжнi питання. – Київ: IМ
НАНУ. – НПУ iм. М.П. Драгоманова. – 1998. – № 2. – С. 36-48.
[16] Працьовитий М.В. Фрактальний пiдхiд у дослiдженнях сингу-
лярних роподiлiв. – К.: НПУ iм. М.П. Драгоманова.– 1998. –296с.
[17] Працьовитий М.В., Хворостiна Ю. В. Випадкова величина, сим-
воли L-зображення якої є випадковими величинами з марков-
ською залежнiстю // Теорiя ймовiрностi та математична стати-
стика, Вип. 91. – 2014. – С. 146-157.
[18] Турбин А.Ф., Працевитый Н.В. Фрактальные множества, фун-
кции, распределения. – Київ: Наукова думка. – 1992. – 208 с.
[19] Isaieva Tetiana M., Pratsiovytyi Mykola V. Transformations of (0, 1]
preserving tails ∆µ-representation of numbers // Algebra and Di-
screte Mathematics. – Volume 22 (2016). №1, pp. 102-115.
[20] Minkowski H. Gesammelte Abhandlungen. – Berlin. – 1911, vol. 2. –
P. 50-51.
[21] Pratsiovytyi M., Khvorostina Yu. Topological and metric properties
of distributions of random variables represented by the alternating
Luroth series with independent elements, Random Oper. Stoch. Equ.
21 (2013), № 4, P. 385-401.
[22] Salem R. On some singular monotonic function which are strictly
increasing // Trans. Amer. Math. Soc.– 1943, 53. – P. 427-439.
[23] Zhykharyeva Yulia, Pratsiovytyi Mykola Expansions of numbers in
positive Luroth series and their applications to metric, probabilistic
and fractal theories of numbers // Algebra and Discrete Mathematics,
Vol. 14 (2012), № 1. P. 145-160.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-440 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:07:24Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/e5/e15c039d300cbab4608d75ecd6b492e5.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-4402020-08-10T06:16:24Z Двоїсті системи кодування дійсних чисел з нескінченним алфавітом і зв'язки між ними Лисенко, І.М. Ісаєва, Т.М. We study relations between two self-similar systems forrepresentation of real numbers with infinite alphabet and zeroredundancy based on expansions of numbers in positive and alternatingbinary series. Expression for conversion of digits of firstrepresentation of number to digits of its second representation isfound. Робота присвячена вивченню взаємозв'язків між двома самоподібними системами зображення дійсних чисел із нескінченним алфавітом і нульовою надлишковістю, що ґрунтуються на розкладах чисел у додатні й знакозмінні двійкові ряди. Знайдено вираз цифр числа одного зображення через цифри іншого його зображення. Інститут математики НАН України 2017-12-26 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/440 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 14 No. 4 (2017): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 125-136 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 14 № 4 (2017): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 125-136 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 14 № 4 (2017): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 125-136 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/440/437 Авторське право (c) 2017 І.М. Лисенко, Т.М. Ісаєва http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Лисенко, І.М. Ісаєва, Т.М. Двоїсті системи кодування дійсних чисел з нескінченним алфавітом і зв'язки між ними |
| title | Двоїсті системи кодування дійсних чисел з нескінченним алфавітом і зв'язки між ними |
| title_full | Двоїсті системи кодування дійсних чисел з нескінченним алфавітом і зв'язки між ними |
| title_fullStr | Двоїсті системи кодування дійсних чисел з нескінченним алфавітом і зв'язки між ними |
| title_full_unstemmed | Двоїсті системи кодування дійсних чисел з нескінченним алфавітом і зв'язки між ними |
| title_short | Двоїсті системи кодування дійсних чисел з нескінченним алфавітом і зв'язки між ними |
| title_sort | двоїсті системи кодування дійсних чисел з нескінченним алфавітом і зв'язки між ними |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/440 |
| work_keys_str_mv | AT lisenkoím dvoístísistemikoduvannâdíjsnihčiselzneskínčennimalfavítomízv039âzkimížnimi AT ísaêvatm dvoístísistemikoduvannâdíjsnihčiselzneskínčennimalfavítomízv039âzkimížnimi |