Exact solution of the problem of spatial potential theory for two spheres
The problem of theory of potentials for two spherical conductors of the same radius is considered. Using the transformation formulas of harmonic functions for origin of spherical coordinates transfer, an infinite system of algebraic equations is obtained to determine the unknown constants. An approa...
Gespeichert in:
| Datum: | 2020 |
|---|---|
| Автори та афіліації: |
|
| Ключові слова: | keywords |
| Hauptverfasser: | , , , , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2020
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/441 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552942595211264 |
|---|---|
| author | Didenko, Yu.F. Denisenko, V.I. Schetinina, O.K. Диденко, Ю.Ф. Денисенко, В.И. Щетинина, О.К. Діденко, Ю.Ф. Денісенко, В.І. Щетініна, О.К. |
| author_facet | Didenko, Yu.F. Denisenko, V.I. Schetinina, O.K. Диденко, Ю.Ф. Денисенко, В.И. Щетинина, О.К. Діденко, Ю.Ф. Денісенко, В.І. Щетініна, О.К. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Yu.F. Didenko",
"institution": "Kyiv National University of Trade and Economics"
},
{
"author": "V.I. Denisenko",
"institution": null
},
{
"author": "O.K. Schetinina",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Didenko, Yu.F. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-10T19:26:12Z |
| description | The problem of theory of potentials for two spherical conductors of the same radius is considered. Using the transformation formulas of harmonic functions for origin of spherical coordinates transfer, an infinite system of algebraic equations is obtained to determine the unknown constants. An approach to study of properties of solutions is proposed. This approach can be applied to the investigation of infinite systems for solving problems of potential theory for several spheres. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:07:27Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2018, т. 15, № 1, 16–26
УДК 539.375
Точний розв’язок задачi просторової
теорiї потенцiалу для двох сфер
Ю.Ф. Дiденко, В. I. Денисенко, О.К. Щетiнiна
Київський нацiональнiй торговельно-економiчний унiверситет,
Київ; d0212@ukr.net
The problem of theory of potentials for two spherical conductors of the
same radius is considered. Using the transformation formulas of harmonic
functions for origin of spherical coordinates transfer, an infinite system of
algebraic equations is obtained to determine the unknown constants. An
approach to study of properties of solutions is proposed. This approach
can be applied to the investigation of infinite systems for solving problems
of potential theory for several spheres.
Розглядається задача теорiї потенцiалiв для двох сферичних провiдни-
кiв одинакового радiусу. Користуючись формулами перетворення гар-
монiчних функцiй при переносi початку сферичних координат, одер-
жано нескiнченну систему алгебраїчних рiвнянь для визначення не-
вiдомих сталих. Запропоновано пiдхiд до дослiдження властивостей
розв’язкiв. Даний пiдхiд можна застосувати до дослiдження нескiн-
ченних систем задач теорiї потенцiалiв для кiлькох сфер.
Механiка композитних матерiалiв висуває ряд нових наукових за-
дач, якi в iдеальнiй постановцi (без урахування фiзико-механiчних i
дифузiйних властивостей перехiдних шарiв на границях роздiлу рi-
знорiдних матерiалiв) можна вiднести до задач деформування го-
могенних середовищ. У роботi [1] побудовано точний розв’язок для
пружного середовища, яке мiстить довiльно розташованi (що не до-
тикаються) сферичнi включення. В основу побудови цього розв’язку
покладено вiдомi формули перетворення векторного розв’язку Ламе
для зовнiшностi сфери при переходi до нового початку координат [2].
c○ Дiденко Ю.Ф., Денисенко В. I., Щетiнiна О.К., 2018
Точний розв’язок задачi просторової теорiї потенцiалу для . . . 17
У данiй роботi одержано явний вигляд розв’язку нескiнченностi
системи лiнiйних алгебраїчних рiвнянь, яка утворюється при розгля-
дi задачi про розрахунок електростатичного поля у просторi, що мi-
стить два сферичнi провiдники. Метод одержання явного розв’язку
алгебраїчної системи можна застосовувати при дослiдженнях асим-
птотичних властивостей розв’язку нескiнченних алгебраїчних систем
у аналогiчних складнiших задачах теорiї електростатики i теорiї пру-
жностi в областях зi сферичними включеннями.
1 Постановка задачi
Розглядається задача про розрахунок електричного поля у просторi,
який мiстить два сферичнi провiдники однакового радiусу 𝑟0 зi ста-
лими потенцiалами +
−𝑉0. Вiдстань мiж центрами сфер дорiвнює 2𝑎,
при цьому 𝑎 > 𝑟0. Провiднi сфери 𝑆1 i 𝑆2 визначаються у сферичних
локальних координатах (𝑟𝑠, 𝜃𝑠, 𝜙𝑠) 𝑠 = 1, 2 рiвняннями 𝑟𝑠 = 𝑟0, при-
чому локальнi системи координат введено так, що їхнi полярнi вiсi
збiгаються i 𝜙1 = 𝜙2 для будь-якої точки простору (рис. 1). Сфера
𝑆1 має потенцiал 𝑉0, а сфера 𝑆𝑟 — потенцiал −𝑉0. Розв’язок задачi,
тобто гармонiчну в зовнiшностi сфер функцiю Ψ, яка задовольняє
граничну умову
Ψ/𝑆1 = 𝑉0, Ψ/𝑆2 = −𝑉0, Ψ(∞) = 0 (1)
шукаємо у виглядi суперпозицiї зовнiшнiх гармонiк для даних сфер:
Ψ = Ψ1 +Ψ2,
Ψ1 =
∞∑︁
𝑛=0
(−1)𝑛𝑥𝑛
(︂
𝑟0
𝑟1
)︂𝑛+1
𝑃𝑛(cos 𝜃1), (2)
Ψ2 =
−∞∑︁
𝑛=0
(−1)𝑛𝑥𝑛
(︂
𝑟0
𝑟1
)︂𝑛+1
𝑃𝑛(cos 𝜃2).
Тут 𝑃𝑛(cos 𝜃) — полiноми Лежандра, а 𝑥𝑛(𝑛 = 0, 1, . . .) — невi-
домi сталi. При цьому в поданнi (2) функцiя Ψ є антисиметричною
вiдносно площини 𝑍 = 𝑂, тому 𝑥𝑛 можна визначити з умови
Ψ/𝑆2 = 𝑉0.
18 Дiденко Ю.Ф., Денисенко В. I., Щетiнiна О.К.
Рис 1
Скориставшись формулою перетворення [3]
𝑃𝑛(cos 𝜃2)
𝑟𝑛+1
2
=
∞∑︁
𝑘=0
(−1)𝑘
(𝑛+ 𝑘)!
𝑛!𝑘!
𝑟𝑘1
(2𝑎)𝑛+𝑘+1
𝑃𝑘(cos 𝜃1) (3)
для потенцiалу Ψ в околi сфери 𝑆1, одержимо
Ψ =
∞∑︁
𝑘=0
(︃
𝑥𝑘
(︂
𝑟0
𝑟1
)︂𝑘+1
−
∞∑︁
𝑛=0
𝑥𝑛
(𝑛+ 𝑘)!
𝑛!𝑘!
𝑟𝑘1
(2𝑎)𝑛+𝑘+1
)︃
·
· (−1)𝑘𝑃𝑘(cos 𝜃1). (4)
Таким чином, задоволення граничних умов для Ψ приводять до
наступної нескiнченної системi лiнiйних алгебраїчних рiвнянь стосов-
но невiдомих 𝑥𝑛:
𝑥𝑘 −
∞∑︁
𝑛=0
𝛼𝑛+𝑘+1(𝑛+ 𝑘)!
𝑛!𝑘!
𝑥𝑛 = 𝛿𝑘,0; 𝑘 = 0, 1, . . . , (5)
Точний розв’язок задачi просторової теорiї потенцiалу для . . . 19
де число 𝛼 = 𝑟0
2𝑎 є
(︀
0; 1
2
)︀
i 𝛿𝑘,0 — символ Кронекера, тобто 𝛿0,0 = 1 i
𝛿𝑘,0 = 0 при 𝑘 > 0.
2 Явний розв’язок системи (5) (метод послiдовних
наближень)
Вкажемо найпростiшi властивостi можливостi розв’язання алгебраї-
чної системи рiвнянь
𝑥𝑘 − 𝑛
∞∑︁
𝑛=0
𝛼𝑛+𝑘+1(𝑛+ 𝑘)!
𝑛!𝑘!
𝑥𝑛 = 𝑓𝑘; 𝑘 = 0, 1, . . . , (6)
де число 𝛼 є
(︀
0; 1
2
)︀
. Близькi результати для аналогiчної парної систе-
ми рiвнянь див. в [4].
Перш за все, запишемо систему (6) в операторному виглядi. Нехай
𝑚— банаховий простiр дiйсних обмежених послiдовностей 𝑥 = {𝑥𝑘}∞0
iз нормою
‖𝑥‖ = sup
𝑘≥0
| 𝑥𝑘 |
i лiнiйний оператор 𝐴:
𝐴𝑥 =
∞∑︁
𝑛=0
𝛼𝑛+𝑘+1(𝑛+ 𝑘)!
𝑛!𝑘!
𝑥𝑛.
Покладемо 𝐹 = {𝑓𝑘}∞0 i запишемо (6) у виглядi
𝑥−𝐴𝑥 = 𝐹. (7)
Рiвностi
∞∑︁
𝑛=0
𝛼𝑛+𝑘+1(𝑛+ 𝑘)!
𝑛!𝑘!
=
(︂
𝛼
1− 𝛼
)︂𝑘+1
, 𝑘 = 0, 1, 2, . . . , (8)
вказують, що 𝐴 є обмеженим лiнiйним оператором у просторi 𝑚 iз
нормою
‖𝐴‖ =
𝛼
𝛼− 1
≡ 1− 1− 2𝛼
1− 𝛼
< 1. (9)
Iз (9) випливає, що система (6) є повнiстю регулярною [5], тому
для будь-якої послiдовностi 𝐹 ∈ 𝑚 iснує єдиний розв’язок 𝑥 iз просто-
ру 𝑚 рiвняння (7) (або системи (6)), при цьому 𝑥 задається у виглядi
20 Дiденко Ю.Ф., Денисенко В. I., Щетiнiна О.К.
ряду Неймана
𝑥 =
∞∑︁
𝑘=0
𝐴𝑘𝐹, (10)
який збiгається в 𝑚. Таким чином, можна зробити висновок, що ви-
конується наступне твердження.
Теорема 2.1. Для будь-якого 𝐹 ∈ 𝑚 iснує єдиний розв’язок 𝑋 ∈ 𝑚,
при цьому справедливi оцiнки
‖𝑋‖ ≤ 1− 𝛼
1− 2𝛼
‖𝐹‖,
‖𝑥𝑘‖ ≤| 𝑓𝑘 | +
(︂
1− 𝛼
1− 2𝛼
)︂(︂
2
1− 𝛼
)︂𝑘+1
‖𝐹‖. (11)
Надалi обмежимося розглядом правої частини 𝐹 у (7), яка вiдпо-
вiдає правiй частинi в системi (5): 𝑓𝑘 = 𝛿𝑘,0 𝑘 = 0, 1, 2, . . ..
Розписавши детально (10), одержимо для 𝑋 вираз:
𝑋 =
∞∑︁
𝑘=0
𝑥(𝑘), 𝑥(𝑘) = 𝐴𝑘𝐹 = {𝑥(𝑘)𝑛 }∞𝑛=0,
при цьому
𝑥(0) = {𝛿𝑛,0}∞𝑛=0, 𝑥
(1) = {𝛼𝑛+1}∞𝑛=0,
i якщо
𝑥(𝑘)𝑛 = 𝑐𝑘𝑧
𝑛+1
𝑘 , 𝑛 = 0, 1, . . . ,
то
𝑥(𝑘+1)
𝑛 = 𝐶𝑘𝑧𝑘(𝑇𝑧𝑘)
𝑛+1, 𝑛 = 0, 1, 2 . . . ,
де дробово-лiнiйне перетворення 𝑇 :
𝑇𝑧 =
(︂
1
𝛼
− 𝑧
)︂−1
. (12)
Таким чином, отримуємо
𝑥𝑛 = 𝛿𝑛10 + 𝛼𝑛+1 + 𝛼(𝑇𝛼)𝑛+1 + . . .+
+ 𝛼(𝑇𝛼) . . . (𝑇𝐾−2𝛼)(𝑇𝐾−1𝛼)𝑁−1 + . . . (𝑘 ≥ 2). (13)
Точний розв’язок задачi просторової теорiї потенцiалу для . . . 21
Розглянувши послiдовнiсть 𝑔𝑘:
𝑔1 = 𝛼, 𝑔𝑘+1 = 𝑇𝑔𝑘, 𝑘 = 1, 2, . . .
одержуємо
𝑔𝑘 =
𝛽(1− 𝛽2𝑘)
(1− 𝛽2𝛽2𝑘)
, 𝑘 = 1, 2, . . . (14)
де 𝛽, 1
𝛽 — нерухомi точки дробово-лiнiйного перетворення 𝑇 :
𝛽±1 =
1∓
√
1− 4𝛼2
2𝛼
, 𝛽 ∈ (0, 1),
1
𝛽
∈ (1;∞). (15)
Тодi (13) можна записати у виглядi
𝑥𝑛 = 𝛿𝑛,0 + 𝑔𝑛+1
1 + 𝑔1(𝑔2)
𝑛+1 + . . .+ 𝑔1 . . . 𝑔𝑘−1(𝑔𝑘)
𝑛+1 + . . . =
= 𝛿𝑛,0 + 𝛼𝑛+1 + 𝛼
{︂
𝛽1(1− 𝛽4)
(1− 𝛽6)
}︂𝑛+1
+ . . .+ (16)
+
𝑘−1∏︁
𝑗=1
𝛽(1− 𝛽2𝑗)
(1− 𝛽2𝛽2𝑗)
{︂
𝛽(1− 𝛽2𝑘)
(1− 𝛽2𝛽2𝑘)
}︂𝑛+1
+ . . .
3 Явний розв’язок системи (5) (метод перерозкла-
дання)
Вiдомо, що електростатичне поле вiд двох заряджених сфер можна
подати у виглядi [6]:
𝜓 = 𝜓2 + 𝜓1 =
1
4𝜋𝜀0
∫︁
𝑆2
𝜔(𝜃′)𝑑𝑆2
𝑟′2
− 1
4𝜋𝜀0
∫︁
𝑆1
𝜔(𝜋 − 𝜃′)
𝑟′1
𝑑𝑆1. (17)
Тут iнтегрування проводиться по поверхнях сфер 𝑆1 i 𝑆2; 𝑟1 i 𝑟2
— вiдстань вiд елемента iнтегрування на вiдповiднiй сферi до точки
спостереження; 𝜔(𝜃′) — поверхнева густина заряду на нижнiй сферi
(рис.1), 𝜔(𝜋 − 𝜃′) — на верхнiй сферi.
Перетворимо спiввiдношення (3.1), розглянемо потенцiал, який
створює нижня сфера (рис. 1). Тодi:
𝑟′2 =
√︁
𝑟20 + 𝑟22 − 2𝑟0𝑟2 cos 𝛾 = 𝑟2
√︀
1− 2 cos 𝛾 + 2, =
𝑟0
𝑟1
< 1,
22 Дiденко Ю.Ф., Денисенко В. I., Щетiнiна О.К.
cos 𝛾 = cos 𝜃 cos 𝜃′ + sin 𝜃 sin 𝜃′ cos𝜙′, (18)
де 𝜃′, 𝜙′ — змiннi iнтегрування на сферi 𝑆2 (сферичнi координати);
𝑟, 𝜃, 𝜙 — сферичнi координати точки, в якiй обчислюється потенцiал.
Нехай
𝜔(𝜃′) =
∞∑︁
𝑛=0
2𝑛+ 1
2
𝛼𝑛𝑃𝑛(cos 𝜃
′), (19)
де
𝛼𝑛 =
𝜋∫︁
0
𝜔(𝜃′) sin 𝜃′𝑃𝑛(cos 𝜃
′)𝑑′′ ,
тодi
𝜓2 =
1
4𝜋𝜀0
𝜋∫︁
0
𝑟20 sin 𝜃
′𝜔(𝜃′)𝑑𝜃′
𝜋∫︁
−𝜋
𝑑𝜙′
𝑟′2
(20)
i, скориставшись [6]
1√︀
1− 2 cos 𝛾 + 2
=
∞∑︁
𝑛=0
𝑛𝑃𝑛(cos 𝛾), (21)
𝜋∫︁
−𝜋
𝑃𝑛(cos 𝛾)𝑑𝜙1 = 2𝜋𝑃 (cos 𝜃)𝑃𝑛(cos 𝜃
′),
одержимо
𝜓2(𝑟2, 𝜃) =
𝑟0
2𝜀0
∞∑︁
𝑛=0
𝛼𝑛
(︂
𝑟0
𝑟2
)︂𝑛+1
𝑃𝑛(cos 𝜃). (22)
Аналогiчно одержуємо
𝜓1(𝑟1,Θ1) = − 𝑟0
2𝜀0
∞∑︁
𝑛=0
(−1)𝑛𝛼𝑛
(︂
𝑟0
𝑟1
)︂𝑛+1
𝑃𝑛(cosΘ1). (23)
Порiвнявши (22), (23) з поданням (2) i скориставшись теоремою
про єдинiсть для обмеженого розв’язку алгебраїчної системи (5), яку
ми одержали в п. 2, отримуємо
𝑥𝑛 = − 𝑟0
2𝜀𝑉0
𝛼𝑛. (24)
Точний розв’язок задачi просторової теорiї потенцiалу для . . . 23
Для визначення явного вигляду коефiцiєнта 𝑥𝑛 скористаємося вi-
домим розв’язком граничної задачi (1) у бiсферичних координатах
[7]
𝜓(𝜉, 𝜂) = 𝑉0 =
√︀
2𝑐𝜂 − 2 cos 𝜉
∞∑︁
𝑛=0
𝑠(𝑛+ 1
2 )𝜂
𝑠(𝑛+ 1
2 )𝜂0
𝑒−(𝑛+ 1
2 )𝜂0𝑃𝑛(cos 𝜉),
(25)
причому поверхнею нижньої сфери є координатна поверхня 𝜂 = −𝜂0,
а верхньої — 𝜂 = 𝜂0. Формули переходу вiд декартової системи коор-
динат до бiсферичної мають вигляд
𝑥 =
𝑐 sin 𝜉 cos 𝜉
𝑐𝜂 − cos 𝜉
, 𝑦 =
𝑐 sin 𝜉 sin 𝜉
𝑐𝜂 − cos 𝜉
, 𝑧 =
𝑐𝑠𝜂
𝑐𝜂 − cos 𝜉
,
𝑐𝜂0 =
𝛼
𝑟0
, 𝑠𝜂0 =
𝑐
𝑟0
, (26)
0 ≤ 𝜉 ≤ 𝜋, −∞ < 𝜂 <∞, −𝜋 ≤ 𝜉 ≤ 𝜋,
𝜉 =
𝑐
𝑐𝜂 − cos 𝜉
, 𝜂
𝑐
𝑐𝜂 − cos 𝜉
, 𝜉 =
𝑐 sin 𝜉
𝑐𝜂 − cos 𝜉
.
Для того, щоб визначити поверхневу щiльнiсть заряду на поверхнi
провiдника, необхiдно визначити нормальну похiдну вiд потенцiалу.
Тодi [6]
𝜔 = −𝜀0
𝜕𝜓
𝜕𝑛
, (27)
де 𝑛 — нормаль, яка направлена вiд провiдника до дiелектрика. В
нашому випадку на нижнiй сферi маємо
𝜔 = − 𝜀0
𝜂
𝜕𝜓
𝜕𝜂
, (28)
𝜔 =
𝜀0
𝜂
𝜕𝜓
𝜕𝜂
| 𝜂 = 𝜂0. (29)
Провiвши вiдповiднi обчислення, одержимо
𝜔(𝜃′) = −20𝑉 𝜀0
𝑟0
𝑓(𝜂0, 𝜉),
𝑓(𝜂0, 𝜉) =
1
4
{︃
1 +
(2𝑐𝜂0 − 2 cos 𝜉)
3
2
𝑠𝜂0
∞∑︁
𝑛=0
(︂
𝑛+
1
2
)︂
𝑐𝑡
(︂
𝑛+
1
2
)︂
× (30)
24 Дiденко Ю.Ф., Денисенко В. I., Щетiнiна О.К.
× 𝜂0 𝑒
−(𝑛+ 1
2 )𝜂0𝑃𝑛(cos 𝜉)
}︁
.
Порiвнявши спiввiдношення (19), (25) i (30), одержимо
𝑥𝑛 =
𝜋∫︁
0
𝑓(𝜂0, 𝜉) sin 𝜃
′𝑃𝑛(cos 𝜃
′)𝑑𝜃′. (31)
Пiсля замiни змiнної у (31) маємо
𝑥𝑘 =
𝛿𝑘10
2
+ (−1)𝑘𝑠𝜂0
1∫︁
−1
𝑃𝑘
(︂
𝜏𝑐𝜂0 − 1
𝑐𝜂0 − 𝜏
)︂
(2𝑐𝜂0 − 2𝜏)−
1
2×
×
∞∑︁
𝑛=0
(︂
𝑛+
1
2
)︂
𝑐𝑡
(︂
𝑛+
1
2
)︂
𝜂0𝑒
−(𝑛+ 1
2 )𝜂0𝑃𝑛(𝜏)𝑑𝜏.
Тодi, скориставшись поданням
𝑃𝑘
(︂
𝜏𝑐𝜂0 − 1
𝑐𝜂0 − 𝜏
)︂
=
(𝑐𝜂0 − 𝜏)
1
2
2𝜋𝑖
∫︁
|𝑧|=1
𝑧−𝑘−1((1 + 𝑧2)𝑐𝜂0+
+2𝑧 − 𝜏(1 + 𝑧2 + 2𝑧𝑐𝜂0))
− 1
2 𝑑𝑧,
пiсля нескладних перетворень одержимо
𝑥𝑘 =
𝛿𝑘10
2
+
(−1)𝑘𝑠0
2𝜋𝑖
∫︁
|𝑧|=1
𝑧−𝑘−1
(1 + 𝑧2 + 2𝑧𝑐𝜂0)
1
2
·
·
∞∑︁
𝑛=0
𝑛+
1
2 𝑐𝑡
(︂
𝑛+
1
2
)︂
𝜂0𝑒
−(𝑛+ 1
2 )𝜂0𝑑𝑧, (32)
де
=
(1 + 𝑧2)𝑐𝜂0 + 2𝑧 − (1− 𝑧2)𝑠𝜂0
1 + 𝑧2 + 2𝑧𝑐𝜂0
.
Враховуючи, що 𝑒𝜂0 = 𝛽−1, де 𝛽 — визначається формулою (15),
можна записати
𝑐𝜂0 =
1 + 𝛽2
2𝛽
, 𝑠𝜂0 =
1− 𝛽2
2𝛽
, =
𝛽 + 𝑧
1 + 𝛽𝑧
.
Точний розв’язок задачi просторової теорiї потенцiалу для . . . 25
Таким чином, пiсля змiни змiнної 𝜇 = 𝛽−𝑧
1−𝛽𝑧 (32) можна подати у
виглядi
𝑥𝑘 =
𝛿𝑘10
2
− (1− 𝛽2)
2𝜋𝑖
∫︁
|𝜇|=1
(1− 𝛽𝜇)𝑘
(𝛽 − 𝜇)𝑘+1
∞∑︁
𝑛=0
𝜇𝑛𝛽𝑛
1 + 𝛽2𝑛+1
1− 𝛽2𝑛+1
𝑑𝜇. (33)
Оскiльки |𝜇| = 1
∞∑︁
𝑛=0
𝜇𝑛𝛽𝑛
1 + 𝛽2𝑛+1
1− 𝛽2𝑛+1
=
1
1− 𝜇𝛽
+ 2
∞∑︁
𝑛=1
𝛽𝑛
1− 𝜇𝛽2𝑛+1
,
то iз (33) за теоремою про лишки маємо:
𝑥𝑘 =
𝛿𝑘𝑘0
2
+ (1− 𝛽2)
∞∑︁
𝑛=1
𝑟𝑒𝑠
𝜇=𝛽−2𝑛−1
(1− 𝛽𝜇)𝑘
(𝛽 − 𝜇)𝑘+1
·
· 𝛽𝑛
1− 𝜇𝛽2𝑛+1
+
𝛿𝐾/0
2
𝑟𝑒𝑠
𝜇= 1
𝛽
1
(1− 𝜇𝛽)(𝛽 − 𝜇)
=
= (1− 𝛽2)𝛽𝑘
∞∑︁
𝑛=1
𝛽𝑛
(1− 𝛽2𝑛)𝑘
(1− 𝛽2𝑛+1)𝑘+1
+ 𝛿𝑘𝑘0.
Отже, в роботi розглянута найпростiша задача електростатики
для простору зi сферичними включеннями. Ця задача допускає то-
чний розв’язок методом роздiлення змiнних у бiсферичних координа-
тах. Такий пiдхiд можна застосовувати у складних задачах математи-
чної фiзики, якi не допускають точного розв’язку. Рiзнi види подання
розв’язкiв можуть виявитися корисними при вивченнi рiзних задач
електростатики, акустики i теорiї пружностi зi сферичними включе-
ннями.
[1] Диденко Ю.Ф., Улитко А.Ф. Равновесие упругой среды со сфериче-
скими включениями // Тез. докл. I Всесоюз. конф. “Механика неод-
нородных структур”. — Киев, 1983. — 250 с.
[2] Диденко Ю.Ф., Улитко А.Ф. Преобразование векторного решения
внешних задачтеории упругости для сферы при изменении начала ко-
ординат // Докл. АН УССР. Сер. "А". — 1984. — 8. — С. 35–38.
[3] Гобсон Е.В. Теория сферических и эллипсоидальных функций. — М.:
Изд-во иностр. лит., 1952. — 476 с.
26 Дiденко Ю.Ф., Денисенко В. I., Щетiнiна О.К.
[4] Годин Ю.А., Зильберглейт А.С. Осесимметричная задача элек-
тростатикт о диэлектрическом шаре около проводящей плоскости //
Журн. техн. физики. — 1986. — вып. 6. — С. 1082–1090.
[5] Канторович Л.В., Крылов В.И. Методы приближенного решения
уравнений в частных производных. — М.; Л.: ОНТИ НКТП СССР,
1936. — 528 с.
[6] Стреттон Дж. Теория электромагнетизма. — М.; Л.: Гостехтеорет-
издат, 1948. — 540 с.
[7] Лебедев Н.Н., Скальская И.П., Уфлянд Я.С. Сборник задач по ма-
тематической физике. — М.: Гостехиздат, 1955. — 420 с.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-441 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-08-04T01:07:27Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/d5/7e0d917c17134d186dd13ffd9828bad5.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-4412020-08-10T19:26:12Z Exact solution of the problem of spatial potential theory for two spheres Точное решение задачи пространственной теории потенциала для двух сфер Точний розв’язок задачi просторової теорiї потенцiалу для двох сфер Didenko, Yu.F. Denisenko, V.I. Schetinina, O.K. Диденко, Ю.Ф. Денисенко, В.И. Щетинина, О.К. Діденко, Ю.Ф. Денісенко, В.І. Щетініна, О.К. The problem of theory of potentials for two spherical conductors of the same radius is considered. Using the transformation formulas of harmonic functions for origin of spherical coordinates transfer, an infinite system of algebraic equations is obtained to determine the unknown constants. An approach to study of properties of solutions is proposed. This approach can be applied to the investigation of infinite systems for solving problems of potential theory for several spheres. Розглядається задача теорiї потенцiалiв для двох сферичних провiдни- кiв одинакового радiусу. Користуючись формулами перетворення гармонiчних функцiй при переносi початку сферичних координат, одержано нескiнченну систему алгебраїчних рiвнянь для визначення невiдомих сталих. Запропоновано пiдхiд до дослiдження властивостей розв’язкiв. Даний пiдхiд можна застосувати до дослiдження нескiнченних систем задач теорiї потенцiалiв для кiлькох сфер. Інститут математики НАН України 2020-08-10 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/441 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 15 No. 1 (2018): Mathematical problems of mechanics and computational mathematics ; 16-26 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 15 № 1 (2018): Математические проблемы механики и вычислительной математики ; 16-26 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 15 № 1 (2018): Математичнi проблеми механiки та обчислювальної математики; 16-26 3083-7529 1815-2910 uk en https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/441/439 Авторське право (c) 2018 Yu.F. Didenko, V.I. Denisenko, O.K. Schetinina http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Didenko, Yu.F. Denisenko, V.I. Schetinina, O.K. Диденко, Ю.Ф. Денисенко, В.И. Щетинина, О.К. Діденко, Ю.Ф. Денісенко, В.І. Щетініна, О.К. Exact solution of the problem of spatial potential theory for two spheres |
| title | Exact solution of the problem of spatial potential theory for two spheres |
| title_alt | Точное решение задачи пространственной теории потенциала для двух сфер Точний розв’язок задачi просторової теорiї потенцiалу для двох сфер |
| title_full | Exact solution of the problem of spatial potential theory for two spheres |
| title_fullStr | Exact solution of the problem of spatial potential theory for two spheres |
| title_full_unstemmed | Exact solution of the problem of spatial potential theory for two spheres |
| title_short | Exact solution of the problem of spatial potential theory for two spheres |
| title_sort | exact solution of the problem of spatial potential theory for two spheres |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/441 |
| work_keys_str_mv | AT didenkoyuf exactsolutionoftheproblemofspatialpotentialtheoryfortwospheres AT denisenkovi exactsolutionoftheproblemofspatialpotentialtheoryfortwospheres AT schetininaok exactsolutionoftheproblemofspatialpotentialtheoryfortwospheres AT didenkoûf exactsolutionoftheproblemofspatialpotentialtheoryfortwospheres AT denisenkovi exactsolutionoftheproblemofspatialpotentialtheoryfortwospheres AT ŝetininaok exactsolutionoftheproblemofspatialpotentialtheoryfortwospheres AT dídenkoûf exactsolutionoftheproblemofspatialpotentialtheoryfortwospheres AT denísenkoví exactsolutionoftheproblemofspatialpotentialtheoryfortwospheres AT ŝetínínaok exactsolutionoftheproblemofspatialpotentialtheoryfortwospheres AT didenkoyuf točnoerešeniezadačiprostranstvennojteoriipotencialadlâdvuhsfer AT denisenkovi točnoerešeniezadačiprostranstvennojteoriipotencialadlâdvuhsfer AT schetininaok točnoerešeniezadačiprostranstvennojteoriipotencialadlâdvuhsfer AT didenkoûf točnoerešeniezadačiprostranstvennojteoriipotencialadlâdvuhsfer AT denisenkovi točnoerešeniezadačiprostranstvennojteoriipotencialadlâdvuhsfer AT ŝetininaok točnoerešeniezadačiprostranstvennojteoriipotencialadlâdvuhsfer AT dídenkoûf točnoerešeniezadačiprostranstvennojteoriipotencialadlâdvuhsfer AT denísenkoví točnoerešeniezadačiprostranstvennojteoriipotencialadlâdvuhsfer AT ŝetínínaok točnoerešeniezadačiprostranstvennojteoriipotencialadlâdvuhsfer AT didenkoyuf točnijrozvâzokzadačiprostorovoíteoriípotencialudlâdvohsfer AT denisenkovi točnijrozvâzokzadačiprostorovoíteoriípotencialudlâdvohsfer AT schetininaok točnijrozvâzokzadačiprostorovoíteoriípotencialudlâdvohsfer AT didenkoûf točnijrozvâzokzadačiprostorovoíteoriípotencialudlâdvohsfer AT denisenkovi točnijrozvâzokzadačiprostorovoíteoriípotencialudlâdvohsfer AT ŝetininaok točnijrozvâzokzadačiprostorovoíteoriípotencialudlâdvohsfer AT dídenkoûf točnijrozvâzokzadačiprostorovoíteoriípotencialudlâdvohsfer AT denísenkoví točnijrozvâzokzadačiprostorovoíteoriípotencialudlâdvohsfer AT ŝetínínaok točnijrozvâzokzadačiprostorovoíteoriípotencialudlâdvohsfer |