Estimation of solutions of one class of differential equations with the Hukuhara derivative and stability with repsect to two measures
A comparison system is constructed for a class of differential equations with the Hukuhara derivative. The problem of the stability and instability of the trivial solution of differential equations with the Hukuhara derivative in terms of two measures is considered.
Збережено в:
| Дата: | 2020 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Англійська Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2020
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/443 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552946024054784 |
|---|---|
| author | Ocheretnyuk, Ye.V. Очеретнюк, Е.В. Очеретнюк, Є.В. |
| author_facet | Ocheretnyuk, Ye.V. Очеретнюк, Е.В. Очеретнюк, Є.В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Є.В. Очеретнюк",
"institution": "Черкаський державний технологічний університет"
}
] |
| author_sort | Ocheretnyuk, Ye.V. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-10T19:26:12Z |
| description | A comparison system is constructed for a class of differential equations with the Hukuhara derivative. The problem of the stability and instability of the trivial solution of differential equations with the Hukuhara derivative in terms of two measures is considered. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:07:30Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2018, т. 15, № 1, 114–131
УДК 517.925.51
Оцiнка розв’язкiв одного класу
диференцiальних рiвнянь iз
похiдною Хукухари i стiйкiсть за
двома мiрами
Є.В. Очеретнюк
Черкаський державний технологiчний iнститут, Черкаси;
ocheretnyukeugen@ukr.net
A comparison system is constructed for a class of differential equations
with the Hukuhara derivative. The problem of the stability and instability
of the trivial solution of differential equations with the Hukuhara derivative
in terms of two measures is considered.
В роботi побудовано систему порiвняння для одного класу диферен-
цiальних рiвнянь з похiдною Хукухари. Розглянуто питання про стiй-
кiсть i нестiйкiсть тривiального розв’язку. Розглянуто питання про
стiйкiсть i нестiйкiсть тривiального розв’язку диференцiальних рiв-
нянь з похiдною Хукухари в термiнах двох мiр.
1 Вступ
Теорiя диференцiальних рiвнянь iз багатозначною правою частиною
застосовується при моделюваннi реальних процесiв i явищ, зокрема
керованих процесiв. Одним зi класiв цих рiвнянь є диференцiальнi
рiвняння з похiдною Хукухари [1]. Диференцiальнi рiвняння з похi-
дною Хукухари [2,3] застосовуються при моделюваннi рiзних процесiв
керування у сферi технiки й економiки.
Метою даної роботи є дослiдження стiйкостi i нестiйкостi розв’яз-
кiв системи диференцiальниx рiвнянь iз похiдною Хукухари за допо-
могою методу порiвняння [4] i теорiї мiшаних об’ємiв [5].
c○ Очеретнюк Є.В., 2018
Оцiнка розв’язкiв одного класу диференцiальних рiвнянь iз . . . 115
2 Постановка задачi
Нехай (𝐾𝐶(ℝ𝑛), 𝑑𝐻) — метричний простiр випуклих компактiв у ℝ𝑛
iз метрикою Хаусдорфа. У просторi 𝐾𝐶(ℝ𝑛) можна ввести операцiї
додавання (за Мiнковським) i множення на невiд’ємний скаляр, тобто
якщо 𝑢 ∈ 𝐾𝐶(ℝ𝑛), 𝑣 ∈ 𝐾𝐶(ℝ𝑛), 𝜆 ≥ 0 то
𝑢+ 𝑣 = {𝑥+ 𝑦|𝑥 ∈ 𝑢, 𝑦 ∈ 𝑣} ∈ 𝐾𝐶(ℝ𝑛),
𝜆𝑢 = {𝜆𝑥|𝑥 ∈ 𝑢} ∈ 𝐾𝐶(ℝ𝑛).
Тодi (𝐾𝐶(ℝ𝑛), 𝑑𝐻) — метричний простiр зi структурою клину [6].
Означимо поняття рiзницi Хукухари: 𝑤 𝑑𝑒𝑓
= 𝑢− 𝑣, 𝑤 ∈ 𝐾𝐶(ℝ𝑛), якщо
i тiльки якщо 𝑢 = 𝑤 + 𝑣.
Якщо T ⊆ ℝ — вiдкрита зв’язна множина, 𝐹 : T → 𝐾𝐶(ℝ𝑛), то
можна визначити диференцiйовнiсть цього вiдображення.
Означення 2.1. Вiдображення 𝐹 : T → 𝐾𝐶(ℝ𝑛) називається дифе-
ренцiйовним при 𝑡 = 𝑡0 ∈ T, якщо iснує елемент 𝒟𝐻𝐹 (𝑡0) ∈ 𝐾𝐶(ℝ𝑛),
коли
lim
𝜌→0+
𝐹 (𝑡0 + 𝜌)− 𝐹 (𝑡0)
𝜌
, lim
𝜌→0+
𝐹 (𝑡0)− 𝐹 (𝑡0 − 𝜌)
𝜌
iснують i дорiвнюють 𝒟𝐻𝐹 (𝑡0).
Необхiдною умовою iснування похiдної Хукухари для вiдображе-
ння 𝐹 (𝑡) на множинi T є умова, що функцiя 𝑑𝑖𝑎𝑚[𝐹 (𝑡)] – неспадна
при 𝑡 ∈ T.
Розглянемо диференцiальне рiвняння
𝒟𝐻𝑢(𝑡) = 𝐹 (𝑡, 𝑢(𝑡)), (1)
де 𝑢 ∈ 𝐾𝐶(ℝ𝑛), 𝑡 ∈ ℝ, 𝐹 : [𝑎,+∞)×Ω ⊆ 𝐾𝐶(ℝ𝑛), 𝑎 ∈ ℝ, Ω — вiдкрита
пiдмножина в (𝐾𝐶(ℝ𝑛), 𝑑𝐻), i вiдповiдну задачу Кошi з початковою
умовою 𝑢(𝑡0) = 𝑢0 ∈ Ω.
Умови iснування i єдностi розв’язку для задачi Кошi (1) вiдомi [7].
В подальшому вважатимемо, що цi умови виконуються i що 𝑢 = 0
розв’язок диференцiального рiвняння (1). Тут i далi 0 = {0 ∈ ℝ𝑛}.
Слiдуючи класичнiй постановцi задачi про стiйкiсть наведеної в
роботi О.М. Ляпунова, в данiй роботi будуть розглядатися деякi за-
дачi про стiйкiсть розв’язку 𝑢 = 0 рiвняння (1) щодо функцiоналу
об’єму 𝑉 [𝑢(𝑡)] (дивергентна стiйкiсть) або щодо метрики Хаусдорфа.
Наведемо вiдповiднi визначення.
116 Очеретнюк Є.В.
Означення 2.2. Розв’язок 𝑢 = 0 диференцiального рiвняння (1) на-
зивається дивергентно стiйким, якщо для будь-яких 𝑡0 ∈ [𝑎,+∞) i
𝜀 > 0 iснує додатнє число 𝛿 = 𝛿(𝜀, 𝑡0) > 0, коли при всiх 𝑢0 ∈ 𝐾𝐶(ℝ𝑛)
з нерiвностi 𝑉 [𝑢0] < 𝛿 виникає, що 𝑉 [𝑢(𝑡; 𝑡0, 𝑢0)] < 𝜀 при всiх 𝑡 ≥ 𝑡0.
Означення 2.3. Розв’язок 𝑢 = 0 диференцiального рiвняння (1) на-
зивається стiйким, якщо для будь-яких 𝑡0 ∈ [𝑎,+∞) i 𝜀 > 0 iснує чи-
сло 𝛿 = 𝛿(𝜀, 𝑡0) > 0, коли при всiх 𝑢0 ∈ 𝐾𝐶(ℝ𝑛) iз умови 𝑑𝐻(𝑢0, 0) < 𝛿
виникає нерiвнiсть 𝑑𝐻(𝑢(𝑡; 𝑡0, 𝑢0), 0) < 𝜀 при всiх 𝑡 ≥ 𝑡0.
Запишемо формулу для змiни функцiоналу 𝑉 [𝑢(𝑡)] вздовж
розв’язку диференцiального рiвняння (1). З рiвняння (1) виникає, що
𝑢(𝑡+ 𝜀) = 𝑢(𝑡) +
∫︁ 𝑡+𝜀
𝑡
𝐹 (𝑠, 𝑢(𝑠))𝑑𝑠, 𝜀 > 0, 𝑡 ≥ 𝑡0,
𝑉 [𝑢(𝑡+ 𝜀)]− 𝑉 [𝑢(𝑡)]
𝜀
=
𝑉 [𝑢(𝑡) +
∫︀ 𝑡+𝜀
𝑡
𝐹 (𝑠, 𝑢(𝑠))𝑑𝑠]− 𝑉 [𝑢(𝑡)]
𝜀
.
З формули Штейнера виникає, що
𝑉 [𝑢(𝑡) +
∫︁ 𝑡+𝜀
𝑡
𝐹 (𝑠, 𝑢(𝑠))𝑑𝑠] = 𝑉 [𝑢(𝑡)]+
+𝜀𝑛𝑉1[𝑢(𝑡),
1
𝜀
∫︁ 𝑡+𝜀
𝑡
𝐹 (𝑠, 𝑢(𝑠))𝑑𝑠] + 𝑜(𝜀),
де 𝑉1[𝑢, 𝑣] — перший мiшаний об’єм 𝑢 ∈ 𝐾𝐶(ℝ𝑛) i 𝑣 ∈ 𝐾𝐶(ℝ𝑛), тому
lim
𝜀→0+
𝑉 [𝑢(𝑡+ 𝜀)]− 𝑉 [𝑢(𝑡)]
𝜀
= 𝑛𝑉1[𝑢(𝑡), 𝐹 (𝑡, 𝑢(𝑡))].
Аналогiчно
lim
𝜀→0−
𝑉 [𝑢(𝑡+ 𝜀)]− 𝑉 [𝑢(𝑡)]
𝜀
= 𝑛𝑉1[𝑢(𝑡), 𝐹 (𝑡, 𝑢(𝑡))].
Таким чином,
𝑑𝑉 [𝑢(𝑡)]
𝑑𝑡
= 𝑛𝑉1[𝑢(𝑡), 𝐹 (𝑡, 𝑢(𝑡))]. (2)
У данiй роботi розглядається задача про стiйкiсть розв’язку 𝑢 = 0
диференцiального рiвняння з похiдною Хукухари
𝒟𝐻𝑢(𝑡) = 𝜓
(︀
𝑉 [𝑢(𝑡)]
)︀
𝐴(𝑡)𝑢(𝑡), (3)
Оцiнка розв’язкiв одного класу диференцiальних рiвнянь iз . . . 117
де 𝑢 ∈ 𝐾𝐶(ℝ𝑛), 𝑡 ∈ ℝ, 𝜓 ∈ 𝐶(ℝ+;ℝ+), 𝜓 — незростальна функцiя,
𝐴 ∈ 𝐶([𝑎,+∞);ℒ(ℝ𝑛)).
Використовуючи формулу (2), отримаємо
𝑑𝑉 [𝑢(𝑡)]
𝑑𝑡
= 𝑛𝜓
(︀
𝑉 [𝑢(𝑡)]
)︀
𝑉1[𝑢(𝑡), 𝐴(𝑡)𝑢(𝑡)]. (4)
Так, iз формули (4) випливає, що для дослiдження стiйкостi розв’яз-
ку 𝑢 = 0 диференцiального рiвняння (3) щодо функцiоналу 𝑉 [𝑢(𝑡)]
необхiдно, передусiм, з’ясувати оцiнки величини вiдхилення
𝑉1[𝑢(𝑡),𝐴(𝑡)𝑢(𝑡)]
𝑉 [𝑢(𝑡)] , 𝑖𝑛𝑡 𝑢 ̸= ∅ на траєкторiях диференцiального рiвняння
(3). Розглянемо це питання детальнiше. Позначимо 𝐵(𝑡) = 𝐴(𝑡) −
𝑠𝑝𝐴(𝑡)
𝑛 𝐼, тодi зi включення
𝐴(𝑡)𝑢(𝑡) ⊆ 𝑠𝑝𝐴(𝑡)
𝑛
𝑢+𝐵(𝑡)𝑢
випливає нерiвнiсть
𝑉1[𝑢(𝑡), 𝐴(𝑡)𝑢(𝑡)] ≤ 𝑉1[𝑢(𝑡),
𝑠𝑝𝐴(𝑡)
𝑛
𝑢(𝑡)] + 𝑉1[𝑢(𝑡), 𝐵(𝑡)𝑢(𝑡)] =
=
|𝑠𝑝𝐴(𝑡)|
𝑛
𝑉 [𝑢(𝑡)] + 𝑉1[𝑢(𝑡), 𝐵(𝑡)𝑢(𝑡)].
(5)
Нехай 𝜀 > 0 — достатньо мале число, тодi
𝑢+ 𝜀𝐵(𝑡)𝑢 ⊆ 𝛼(𝐼 + 𝜀𝐵(𝑡))𝑢, (6)
де
1 ≤ 𝛼 = sup
𝑝∈𝑆𝑛−1
𝑢(𝑝) + 𝜀𝑢(𝐵
T(𝑡)𝑝)
𝑢(𝑝+ 𝜀𝐵T(𝑡)𝑝)
,
𝑢(𝑝) — опорна функцiя 𝑢 ∈ 𝐾𝐶(ℝ𝑛), 𝑢(𝑝) ≥ 0 при всiх 𝑝 ∈ 𝑆𝑛−1.
Нехай 𝑥0 ∈ 𝑖𝑛𝑡 𝑢0, тодi рiвняння (3) розширимо звичайним дифе-
ренецiальним рiвнянням
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝜓
(︀
𝑉 [𝑢(𝑡)]
)︀
𝐴(𝑡)𝑥(𝑡), (7)
де 𝑥 ∈ ℝ𝑛, i означимо функцiю
̃︀(𝑡, 𝑝) = 𝑢(𝑡)(𝑝)− (𝑝, 𝑥(𝑡)),
118 Очеретнюк Є.В.
де 𝑢(𝑡)(𝑝) — опорна функцiя множини 𝑢(𝑡) ∈ 𝐾𝐶(ℝ𝑛).
𝜕̃︀
𝜕𝑡
=
𝜕𝑢(𝑡)(𝑝)
𝜕𝑡
− (𝑝,
𝑑𝑥
𝑑𝑡
) = 𝜓
(︀
𝑉 [𝑢(𝑡)]
)︀
𝑢(𝑡)(𝐴
T(𝑡)𝑝)−
−𝜓
(︀
𝑉 [𝑢(𝑡)]
)︀
(𝑥,𝐴T(𝑡)𝑝) = 𝜓
(︀
𝑉 [𝑢(𝑡)]
)︀̃︀(𝑡, 𝐴T(𝑡)𝑝).
(8)
Лема 2.1. При всiх 𝑡 ∈ [𝑡0, 𝑡0 + Ω+(𝑡0, 𝑢0)) i 𝑝 ∈ 𝑆𝑛−1 виконуються
нерiвностi
inf
𝑝∈𝑆𝑛−1
[︃̃︀(𝑡0, 𝑝)𝑒𝑥𝑝{︁∫︁ 𝑡
𝑡0
𝜓
(︀
𝑉 [𝑢(𝑠)]
)︀
𝜎𝑚(𝐴(𝑠))𝑑𝑠
}︁]︃
≤
≤ ̃︀(𝑡0, 𝑝) ≤ sup
𝑝∈𝑆𝑛−1
[︃̃︀(𝑡0, 𝑝)𝑒𝑥𝑝{︁∫︁ 𝑡
𝑡0
𝜓
(︀
𝑉 [𝑢(𝑠)]
)︀
𝜎𝑀 (𝐴(𝑠))𝑑𝑠
}︁]︃
.
(9)
Доведення. Доведемо, наприклад, оцiнку знизу.
Розглянемо диференцiальне рiвняння
𝜕̃︀*
𝜕𝑡
= 𝜓
(︀
𝑉 [𝑢(𝑡)]
)︀̃︀*(𝑡, 𝐴T(𝑡)𝑝) + 𝜀
з початковою умовою ̃︀*(𝑡0, 𝑝) = ̃︀(𝑡0, 𝑝), де 𝜀 — мале додатне число.
Доведемо строгу нерiвнiсть
̃︀*(𝑡, 𝑝) > inf
𝑝∈𝑆𝑛−1
[︃̃︀(𝑡0, 𝑝)𝑒𝑥𝑝{︁∫︁ 𝑡
𝑡0
𝜓
(︀
𝑉 [𝑢(𝑠)]
)︀
𝜎𝑚(𝐴(𝑠))𝑑𝑠
}︁]︃
, (10)
коли 𝑡 ∈ [𝑡0, 𝑡0 + Ω+(𝑡0, 𝑢0)). Якщо (10) не виконується, то iснує 𝑡1 ∈
[𝑡0, 𝑡0 +Ω+(𝑡0, 𝑢0)) таке, що
𝛾(𝑡1, 𝑝0) =
= ̃︀*(𝑡1, 𝑝0)− inf
𝑝∈𝑆𝑛−1
[︃̃︀(𝑡0, 𝑝0)𝑒𝑥𝑝{︁∫︁ 𝑡
𝑡0
𝜓
(︀
𝑉 [𝑢(𝑠)]
)︀
𝜎𝑚(𝐴(𝑠))𝑑𝑠
}︁]︃
= 0
𝛾(𝑡1, 𝑝) ≥ 0 при всiх 𝑝 ∈ 𝑆𝑛−1
𝛾(𝑡, 𝑝) =
= ̃︀*(𝑡, 𝑝)− inf
𝑝∈𝑆𝑛−1
[︃̃︀(𝑡0, 𝑝)𝑒𝑥𝑝{︁∫︁ 𝑡
𝑡0
𝜓
(︀
𝑉 [𝑢(𝑠)]
)︀
𝜎𝑚(𝐴(𝑠))𝑑𝑠
}︁]︃
> 0
Оцiнка розв’язкiв одного класу диференцiальних рiвнянь iз . . . 119
при всiх 𝑡 ∈ [𝑡0, 𝑡1). Iз цих нерiвностей випливає умова
𝜕𝛾
𝜕𝑡
(𝑡1, 𝑝0) ≤ 0.
З другого боку
𝜕𝛾
𝜕𝑡
(𝑡, 𝑝) =
𝜕̃︀*(𝑡, 𝑝)
𝜕𝑡
−
− inf
𝑝∈𝑆𝑛−1
̃︀(𝑡0, 𝑝)𝑒𝑥𝑝{︁∫︁ 𝑡
𝑡0
𝜓
(︀
𝑉 [𝑢(𝑠)]
)︀
𝜎𝑚(𝐴(𝑠))𝑑𝑠
}︁
.
𝜓
(︀
𝑉 [𝑢(𝑠)]
)︀
𝜎𝑚(𝐴(𝑠)) + 𝜀 = 𝜓
(︀
𝑉 [𝑢(𝑠)]
)︀(︁̃︀*(𝑡, 𝐴T(𝑡)𝑝)−
− inf
𝑝∈𝑆𝑛−1
̃︀(𝑡0, 𝑝)𝑒𝑥𝑝{︁∫︁ 𝑡
𝑡0
𝜓
(︀
𝑉 [𝑢(𝑠)]
)︀
𝜎𝑚(𝐴(𝑠))𝑑𝑠
}︁
𝜎𝑚(𝐴(𝑡))
)︁
+ 𝜀 =
= 𝜓
(︀
𝑉 [𝑢(𝑡)]
)︀(︁
‖𝐴T(𝑡)𝑝‖̃︀*(𝑡, 𝐴T(𝑡)𝑝
‖𝐴T(𝑡)𝑝‖
)−
−𝑒𝑥𝑝
{︁∫︁ 𝑡
𝑡0
𝜓
(︀
𝑉 [𝑢(𝑠)]
)︀
𝜎𝑚(𝐴(𝑠))𝑑𝑠
}︁
inf
𝑝∈𝑆𝑛−1
̃︀(𝑡0, 𝑝)𝜎𝑚(𝐴(𝑡))
)︁
+ 𝜀 ≥
≥ 𝜓
(︀
𝑉 [𝑢(𝑡)]
)︀
𝜎𝑚(𝐴(𝑡))
[︁̃︀*(𝑡, 𝐴T(𝑡)𝑝
‖𝐴T(𝑡)𝑝‖
)−
−𝑒𝑥𝑝
{︁∫︁ 𝑡
𝑡0
𝜓
(︀
𝑉 [𝑢(𝑠)]
)︀
𝜎𝑚(𝐴(𝑠))𝑑𝑠
}︁
inf
𝑝∈𝑆𝑛−1
̃︀(𝑡0, 𝑝)]︁+ 𝜀
при 𝑡 = 𝑡1 вираз у квадратних дужках невiд’ємний при всiх 𝑝 ∈ 𝑆𝑛−1,
тому 𝜕𝛾
𝜕𝑡 (𝑡1, 𝑝0) > 𝜀. Отримане протирiччя доводить оцiнку (10). Гра-
ничний перехiд 𝜀 → 0+ у нерiвностi (10) завершує доведення ле-
ми.
Зауважимо, що ̃︀(𝑡0, 𝑝) > 0 при всiх 𝑝 ∈ 𝑆𝑛−1, тому ̃︀(𝑡, 𝑝) > 0 при
120 Очеретнюк Є.В.
всiх 𝑝 ∈ 𝑆𝑛−1 и 𝑡 ∈ [𝑡0, 𝑡0 +Ω+(𝑢0)). Iз цiєї леми випливає, що
𝛼 = sup
𝑝∈𝑆𝑛−1
̃︀𝑢(𝑝) + 𝜀̃︀𝑢(𝐵T(𝑡)𝑝)̃︀𝑢(𝑝+ 𝜀𝐵T(𝑡)𝑝)
=
= 1 + sup
𝑝∈𝑆𝑛−1
̃︀𝑢(𝑝)− ̃︀𝑢(𝑝+ 𝜀𝐵T(𝑡)𝑝) + 𝜀̃︀𝑢(𝐵T(𝑡)𝑝)̃︀𝑢(𝑝+ 𝜀𝐵T𝑝)
≤
≤ 1+
+ sup
𝑝∈𝑆𝑛−1
‖̃︀𝑢‖𝐶(𝑆𝑛−1)𝜀‖𝐵(𝑡)‖+ 𝜀‖𝐵(𝑡)‖‖̃︀𝑢‖𝐶(𝑆𝑛−1)̃︀𝑢(𝑝+ 𝜀𝐵T(𝑡)𝑝)
≤
≤ 1 + 2
sup
𝑝∈𝑆𝑛−1
̃︀(𝑡0, 𝑝)
inf
𝑝∈𝑆𝑛−1
̃︀(𝑡0, 𝑝)𝜀‖𝐵(𝑡)‖𝑒𝑥𝑝
{︁∫︁ 𝑡
𝑡0
𝜓
(︀
𝑉 [𝑢(𝑠)]
)︀(︀
𝜎𝑀 (𝐴(𝑠))−
−𝜎𝑚(𝐴(𝑠))
)︀
𝑑𝑠
}︁
+ 𝑜(𝜀) = 1 + 2𝜇[̃︀𝑢0]𝜀‖𝐵(𝑡)‖·
·𝑒𝑥𝑝
{︁∫︁ 𝑡
𝑡0
𝜓
(︀
𝑉 [𝑢(𝑠)]
)︀(︀
𝜎𝑀 (𝐴(𝑠))− 𝜎𝑚(𝐴(𝑠))
)︀
𝑑𝑠
}︁
.
З додатку (6) випливає, що
𝑛𝑉1[𝑢(𝑡), 𝐵(𝑡)𝑢(𝑡)] ≤ lim
𝜀→0+
𝑉 [𝛼(𝐼 + 𝜀𝐵(𝑡))𝑢(𝑡)]− 𝑉 [𝑢(𝑡)]
𝜀
≤
≤ lim
𝜀→0+
𝛼𝑛 det |𝐼 + 𝜀𝐵(𝑡))| − 1
𝜀
𝑉 [𝑢(𝑡)] =
[︁
|𝑠𝑝𝐵(𝑡)|+ 2𝑛𝜇[̃︀𝑢0]‖𝐵(𝑡)‖·
·𝑒𝑥𝑝
{︁∫︁ 𝑡
𝑡0
𝜓
(︀
𝑉 [𝑢(𝑠)]
)︀(︀
𝜎𝑀 (𝐴(𝑠))− 𝜎𝑚(𝐴(𝑠))
)︀
𝑑𝑠
}︁]︁
𝑉 [𝑢(𝑡)] =
= 2𝑛𝜇*[̃︀𝑢0]‖𝐴(𝑡)− 𝑠𝑝𝐴(𝑡)
𝑛
𝐼‖𝑒𝑥𝑝
{︁∫︁ 𝑡
𝑡0
𝜓
(︀
𝑉 [𝑢(𝑠)]
)︀(︀
𝜎𝑀 (𝐴(𝑠))−
−𝜎𝑚(𝐴(𝑠))
)︀
𝑑𝑠
}︁
𝑉 [𝑢(𝑡)],
𝜇*[𝑢0] = inf
𝑥∈ℝ𝑛
𝑢0
(𝑝0) + (𝑝, 𝑥)
𝑢0(𝑝0) + (𝑝, 𝑥)
= inf
𝑥∈ℝ𝑛
inf
𝑥∈𝑢0
[𝑢0
(𝑝)− (𝑝, 𝑥)]
inf
𝑥∈𝑢0
[𝑢0(𝑝)− (𝑝, 𝑥)]
.
Оцiнка розв’язкiв одного класу диференцiальних рiвнянь iз . . . 121
З нерiвностi (5) отримаємо
𝑉1[𝑢(𝑡), 𝐴(𝑡)𝑢(𝑡)]
𝑉 [𝑢(𝑡)]
≤ |𝑠𝑝𝐴(𝑡)|
𝑛
+ 2𝜇[̃︀𝑢0]‖𝐴(𝑡)− 𝑠𝑝𝐴(𝑡)
𝑛
𝐼‖·
·𝑒𝑥𝑝
{︁∫︁ 𝑡
𝑡0
𝜓
(︀
𝑉 [𝑢(𝑠)]
)︀(︀
𝜎𝑀 (𝐴(𝑠))− 𝜎𝑚(𝐴(𝑠))
)︀
𝑑𝑠
}︁
.
(11)
Розглянемо питання про нижнi оцiнки вiдношення 𝑉1[𝑢(𝑡),𝐴(𝑡)𝑢(𝑡)]
𝑉 [𝑢(𝑡)] .
Для цього нагадаємо одне класичне уточнення iзопериметричної не-
рiвностi Мiнковського [5], отримане в роботi [8].
Якщо 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐾𝐶(ℝ𝑛), 𝑖𝑛𝑡 𝑢 ̸= ∅, 𝑖𝑛𝑡 𝑣 ̸= ∅, то
𝑞𝑛𝑉1[𝑢, 𝑣] ≥ 𝑉 [𝑢] + (𝑛− 1)𝑉 [𝑞𝑣], (12)
𝑛𝑉1[𝑄𝑣, 𝑢] ≥ 𝑉 [𝑄𝑣] + (𝑛− 1)𝑉 [𝑢], (13)
де 𝑞(𝑢, 𝑣) — це коефiцiєнт мiсткостi компакта 𝑣 в компакт 𝑢, який
визначається так (див. [5, 8])
𝑞(𝑢, 𝑣) = max{𝛽 ≥ |∃𝑥 ≥ 0, 𝑥+ 𝛽𝑣 ⊆ 𝑢},
𝑄(𝑢, 𝑣) — коефiцiєнт охоплення тiла 𝑢 компактом 𝑣, тобто
𝑄(𝑢, 𝑣) = min{𝛼 ≥ |∃𝑥 ≥ 0, 𝑥+ 𝑢 ⊆ 𝛼𝑢}.
З нерiвностi (12) випливає оцiнка, якщо вважати 𝑣 = 𝐴𝑢
𝑛𝑉1[𝑢,𝐴𝑢]
𝑉 [𝑢]
≥ 𝑞−1 + (𝑛− 1)𝑞𝑛−1|det𝐴| ≥
≥ 𝑛[𝑞−1𝑞(𝑛−1)2 |det𝐴|𝑛−2]1/𝑛 = 𝑛𝑞𝑛−2|det𝐴|1−1/𝑛,
тому
𝑛𝑉1[𝑢(𝑡), 𝐴(𝑡)𝑢(𝑡)]
𝑉 [𝑢(𝑡)]
≥ 𝑛𝑞𝑛−2|det𝐴(𝑡)|1−1/𝑛.
З означення величини 𝑞 випливає, що
𝑞 ≥ inf
𝑝∈𝑆𝑛−1
̃︀𝑢(𝑝)̃︀𝐴𝑢(𝑝) ≥ sup
𝑥∈𝑢0
inf ̃︀𝑢0(𝑝)
sup̃︀𝑢0(𝑝)
≥
≥ 𝜇−1[𝑢0]
𝜎𝑀 (𝐴(𝑡))
𝑒𝑥𝑝
{︁∫︁ 𝑡
𝑡0
𝜓
(︀
𝑉 [𝑢(𝑠)]
)︀(︀
𝜎𝑚(𝐴(𝑠))− 𝜎𝑀 (𝐴(𝑠))
)︀
𝑑𝑠
}︁
,
122 Очеретнюк Є.В.
i, як наслiдок
𝑛𝑉1[𝑢(𝑡), 𝐴(𝑡)𝑢(𝑡)]
𝑉 [𝑢(𝑡)]
≥ 𝜇2−𝑛[̃︀𝑢0]·
·𝑒𝑥𝑝
{︁
(𝑛− 2)
∫︁ 𝑡
𝑡0
𝜓
(︀
𝑉 [𝑢(𝑠)]
)︀(︀
𝜎𝑚(𝐴(𝑠))− 𝜎𝑀 (𝐴(𝑠))
)︀
𝑑𝑠
}︁
·
· |det𝐴(𝑡)|
1−1/𝑛
𝜎𝑛−2
𝑀 (𝐴(𝑡))
.
(14)
Оцiнки (11) i (14) дозволяють встановити оцiнки швидкостi змiни
функцiоналу 𝑉 [𝑢(𝑡)] вздовж розв’язку диференцiального рiвняння
(1).
Так, iз формули (2) випливає, що
𝑑𝑉 [𝑢(𝑡)]
𝑑𝑡
⃒⃒⃒⃒
(1)
≤
[︁
|𝑠𝑝𝐴(𝑡)|+ 2𝑛𝜇[̃︀𝑢0]‖𝐴(𝑡)− 𝑠𝑝𝐴(𝑡)
𝑛
𝐼‖·
· 𝑒𝑥𝑝
{︁∫︁ 𝑡
𝑡0
𝜓
(︀
𝑉 [𝑢(𝑠)]
)︀(︀
𝜎𝑀 (𝐴(𝑠))− 𝜎𝑚(𝐴(𝑠))
)︀
𝑑𝑠
}︁]︁
· (15)
·𝑉 [𝑢(𝑡)]𝜓
(︁
𝑉 [𝑢(𝑡)]
)︁
,
𝑑𝑉 [𝑢(𝑡)]
𝑑𝑡
⃒⃒⃒⃒
(1)
≥ 𝑛𝜇2−𝑛[̃︀𝑢0]·
· 𝑒𝑥𝑝
{︁
(𝑛− 2)
∫︁ 𝑡
𝑡0
𝜓
(︀
𝑉 [𝑢(𝑠)]
)︀(︀
𝜎𝑚(𝐴(𝑠))− 𝜎𝑀 (𝐴(𝑠))
)︀
𝑑𝑠
}︁
· (16)
· |det𝐴(𝑡)|
1−1/𝑛
𝜎𝑛−2
𝑀 (𝐴(𝑡))
𝑉 [𝑢(𝑡)]𝜓
(︁
𝑉 [𝑢(𝑡)]
)︁
.
Оцiнка розв’язкiв одного класу диференцiальних рiвнянь iз . . . 123
3 Лема порiвняння
Нехай 𝜇0 > 0 — це додатне число, розглянемо систему iнтегро-дифе-
ренцiальних рiвнянь
𝑑𝜁
𝑑𝑡
= 𝑛𝜇2−𝑛
0 𝑒𝑥𝑝
{︁
(𝑛− 2)
∫︁ 𝑡
𝑡0
𝜓
(︀
𝜁(𝑠)
)︀(︀
𝜎𝑚(𝐴(𝑠))− 𝜎𝑀 (𝐴(𝑠))
)︀
𝑑𝑠
}︁
·
· |det𝐴(𝑡)|
1−1/𝑛
𝜎𝑛−2
𝑀 (𝐴(𝑡))
𝜁𝜓
(︁
𝜁
)︁
𝑑𝜉
𝑑𝑡
=
[︁
|𝑠𝑝𝐴(𝑡)|+ 2𝑛𝜇0‖𝐴(𝑡)−
𝑠𝑝𝐴(𝑡)
𝑛
𝐼‖·
·𝑒𝑥𝑝
{︁∫︁ 𝑡
𝑡0
𝜓
(︀
𝜁(𝑠)
)︀(︀
𝜎𝑀 (𝐴(𝑠))− 𝜎𝑚(𝐴(𝑠))
)︀
𝑑𝑠
}︁]︁
𝜉𝜓
(︁
𝜉
)︁
.
(17)
Основний результат роботи сформулюємо у виглядi леми
Лема 3.1. Нехай 𝜉(𝑡) i 𝜁(𝑡) — розв’язки системи рiвнянь порiвня-
ння (17) iз початковими умовами 𝜉(𝑡0) = 𝜉0, 𝜁(𝑡0) = 𝜁0, що задо-
вольняють умови 𝜁0 ≤ 𝑉 [𝑢0] ≤ 𝜉0, тодi для функцiоналу 𝑉 [𝑢(𝑡)] на
розв’язку 𝑢(𝑡) диференцiального рiвняння (1) iз початковою умовою
𝑢(𝑡0) = 𝑢0 ∈ 𝐾𝐶(ℝ𝑛), 𝜇[𝑢0] ≤ 𝜇0 виконується нерiвнiсть
𝜁(𝑡) ≤ 𝑉 [𝑢(𝑡)] ≤ 𝜉(𝑡), (18)
при всiх 𝑡 ∈ [𝑡0, 𝑡0 + 𝜔+(𝑡0, 𝑢0, 𝜁0, 𝜉0)).
Доведення. Поряд iз системою порiвняння (17) розглянемо систему
iнтегро-диференцiальних рiвнянь
𝑑𝜁
𝑑𝑡
= 𝑛𝜇2−𝑛[̃︀𝑢0]𝑒𝑥𝑝{︁(𝑛− 2)
∫︁ 𝑡
𝑡0
𝜓
(︀
𝜁(𝑠)
)︀(︀
𝜎𝑚(𝐴(𝑠))− 𝜎𝑀 (𝐴(𝑠))
)︀
𝑑𝑠
}︁
·
· |det𝐴(𝑡)|
1−1/𝑛
𝜎𝑛−2
𝑀 (𝐴(𝑡))
𝜁𝜓
(︁
𝜁
)︁
− 𝜀; (19)
𝑑𝜉
𝑑𝑡
=
[︁
|𝑠𝑝𝐴(𝑡)|+ 2𝑛𝜇[̃︀𝑢0]‖𝐴(𝑡)− 𝑠𝑝𝐴(𝑡)
𝑛
𝐼‖·
·𝑒𝑥𝑝
{︁∫︁ 𝑡
𝑡0
𝜓
(︀
𝜁(𝑠)
)︀(︀
𝜎𝑀 (𝐴(𝑠))− 𝜎𝑚(𝐴(𝑠))
)︀
𝑑𝑠
}︁]︁
𝜉𝜓
(︁
𝜉
)︁
+ 𝜀
iз початковими умовами 𝜁(𝑡0) = 𝜁0 − 𝜀, 𝜉(𝑡0) = 𝜉0 + 𝜀.
124 Очеретнюк Є.В.
Доведемо строгi нерiвностi
𝜁(𝑡) < 𝑉 [𝑢(𝑡)] < 𝜉(𝑡), (20)
у яких усi 𝑡 ∈ [𝑡0, 𝑡0 + 𝜔+(𝑡0, 𝑢0, 𝜁0, 𝜉0, 𝜀)).
Припустимо, що (20) хибний, тодi iснує
𝑡1 = (𝑡0, 𝑡0 + 𝜔+(𝑡0, 𝑢0, 𝜁0, 𝜉0, 𝜀)), у якому
𝜁(𝑡) ≤ 𝑉 [𝑢(𝑡)] ≤ 𝜉(𝑡), 𝑡 ∈ [𝑡0, 𝑡1]
𝑉 [𝑢(𝑡1)] = 𝜁(𝑡1)
(21)
або
𝜁(𝑡) ≤ 𝑉 [𝑢(𝑡)] ≤ 𝜉(𝑡), 𝑡 ∈ [𝑡0, 𝑡1]
𝑉 [𝑢(𝑡1)] = 𝜉(𝑡1).
(22)
Розглянемо випадок (21). Нехай𝑚(𝑡) = 𝑉 [𝑢(𝑡)]−𝜁(𝑡), тодi 𝑑𝑚𝑑𝑡 (𝑡1) ≤
0, а з другого боку, з урахуванням (16),
𝑑𝑚
𝑑𝑡
=
𝑑𝑉 [𝑢(𝑡)]
𝑑𝑡
− 𝑑𝜁
𝑑𝑡
≥ 𝜀+
+
[︁
𝑛𝜇2−𝑛[̃︀𝑢0]𝑒𝑥𝑝{︁(𝑛− 2)
∫︁ 𝑡
𝑡0
𝜓
(︀
𝑉 [𝑢(𝑠)]
)︀(︀
𝜎𝑚(𝐴(𝑠))− 𝜎𝑀 (𝐴(𝑠))
)︀
𝑑𝑠
}︁
·
· |det𝐴(𝑡)|
1−1/𝑛
𝜎𝑛−2
𝑀 (𝐴(𝑡))
𝑉 [𝑢(𝑡)]𝜓
(︁
𝑉 [𝑢(𝑡)]
)︁
−
−𝑛𝜇2−𝑛[̃︀𝑢0]𝑒𝑥𝑝{︁(𝑛− 2)
∫︁ 𝑡
𝑡0
𝜓
(︀
𝜁(𝑠)
)︀(︀
𝜎𝑚(𝐴(𝑠))− 𝜎𝑀 (𝐴(𝑠))
)︀
𝑑𝑠
}︁
·
· |det𝐴(𝑡)|
1−1/𝑛
𝜎𝑛−2
𝑀 (𝐴(𝑡))
𝜁𝜓
(︁
𝜁
)︁]︁
при 𝑡 = 𝑡1, унаслiдок того, що 𝜓(𝑠) — незростаюча функцiя
𝜓
(︀
𝑉 [𝑢(𝑠)]
)︀
< 𝜓
(︀
𝜁(𝑠)
)︀
,∫︁ 𝑡
𝑡0
𝜓
(︀
𝑉 [𝑢(𝑠)]
)︀(︀
𝜎𝑚(𝐴(𝑠))− 𝜎𝑀 (𝐴(𝑠))
)︀
𝑑𝑠 ≥
≥
∫︁ 𝑡
𝑡0
𝜓
(︀
𝜁(𝑠)
)︀(︀
𝜎𝑚(𝐴(𝑠))− 𝜎𝑀 (𝐴(𝑠))
)︀
𝑑𝑠,
тому при 𝑡 = 𝑡1 вираз у квадратних дужках невiд’ємний, тож 𝑑𝑚
𝑑𝑡 ≥
𝜀 > 0.
Оцiнка розв’язкiв одного класу диференцiальних рiвнянь iз . . . 125
Таким чином, припущення (21) призводить до протирiччя.
Розглянемо випадок (22). Нехай 𝑚1(𝑡) = 𝑉 [𝑢(𝑡)]− 𝜉(𝑡), тодi
𝑑𝑚1
𝑑𝑡 (𝑡2) ≥ 0, а з другого боку, з урахуванням (15),
𝑑𝑚1
𝑑𝑡
=
𝑑𝑉 [𝑢(𝑡)]
𝑑𝑡
− 𝑑𝜉
𝑑𝑡
= −𝜀+
[︁
|𝑠𝑝𝐴(𝑡)|+ 2𝑛𝜇[̃︀𝑢0]‖𝐴(𝑡)− 𝑠𝑝𝐴(𝑡)
𝑛
𝐼‖·
·𝑒𝑥𝑝
{︁∫︁ 𝑡
𝑡0
𝜓
(︀
𝑉 [𝑢(𝑠)]
)︀(︀
𝜎𝑀 (𝐴(𝑠))− 𝜎𝑚(𝐴(𝑠))
)︀
𝑑𝑠
}︁]︁
𝑉 [𝑢(𝑡)]𝜓
(︁
𝑉 [𝑢(𝑡)]
)︁
−
−
[︁
|𝑠𝑝𝐴(𝑡)|+ 2𝑛𝜇[̃︀𝑢0]‖𝐴(𝑡)− 𝑠𝑝𝐴(𝑡)
𝑛
𝐼‖·
·𝑒𝑥𝑝
{︁∫︁ 𝑡
𝑡0
𝜓
(︀
𝜁(𝑠)
)︀(︀
𝜎𝑀 (𝐴(𝑠))− 𝜎𝑚(𝐴(𝑠))
)︀
𝑑𝑠
}︁]︁
𝜉𝜓
(︁
𝜉
)︁
при 𝑡 = 𝑡2, ∫︁ 𝑡
𝑡0
𝜓
(︀
𝑉 [𝑢(𝑠)]
)︀(︀
𝜎𝑀 (𝐴(𝑠))− 𝜎𝑚(𝐴(𝑠))
)︀
𝑑𝑠 ≤
≤
∫︁ 𝑡
𝑡0
𝜓
(︀
𝜁(𝑠)
)︀(︀
𝜎𝑀 (𝐴(𝑠))− 𝜎𝑚(𝐴(𝑠))
)︀
𝑑𝑠,
тому 𝑑𝑚1
𝑑𝑡 (𝑡2) ≤ −𝜀 < 0, що призводить до протирiчя.
Отримане протирiччя доводить нерiвнiсть (20).
Iз нерiвностi (20) граничним переходом 𝜀 → 0+, iз урахуванням,
що 𝜉(𝑡)
𝜀
⇉ 𝜉(𝑡) i 𝜁(𝑡)
𝜀
⇉ 𝜁(𝑡), отримаємо твердження леми. Лему дове-
дено.
4 Теореми про стiйкiсть
У цьому роздiлi розглянемо деякi застосування леми порiвняння до
питання стiйкостi розв’язку 𝑢 = 0. При цьому, як це зазвичай прийня-
то в теорiї нескiнченно-вимiрних систем, питання про стiйкiсть роз-
глядатимемо в термiнах двух мiр [9]. Наведемо вiдповiднi означення.
Означення 4.1. Розв’язок 𝑢 = 0 диференцiального рiвняння (3) на-
зивається дивергентно стiйким, якщо для заданого 𝜇0 > 0 i будь-яких
𝑡0 ∈ ℝ, 𝜀 > 0 iснує 𝛿 = 𝛿(𝜀, 𝑡0) > 0, коли з умов 𝑉 [𝑢0] < 𝛿, 𝜇[𝑢0] ≤ 𝜇0
виникає, що 𝑉 [𝑢(𝑡)] < 𝜀 при всiх 𝑡 ≥ 𝑡0.
Означення 4.2. Розв’язок 𝑢 = 0 диференцiального рiвняння (3) на-
зивається стiйким, якщо для заданого 𝜇0 > 0 i будь-яких 𝑡0 ∈ [𝑎,+∞)
126 Очеретнюк Є.В.
i 𝜀 > 0 iснує 𝛿 = 𝛿(𝜀, 𝑡0) > 0 таке, що з умов 𝑑𝐻(𝑢0, 0) < 𝛿, 𝜇[𝑢0] ≤ 𝜇0
випливає тощо, що 𝑑𝐻(𝑢(𝑡), 0) < 𝜀 при всiх 𝑡 ≥ 𝑡0.
Означення 4.3. Розв’язок 𝑢 = 0 диференцiального рiвняння (3) на-
зивається нестiйким, якщо для заданого 𝜇0 > 0 iснують
𝑡0 ∈ [𝑎,+∞) i 𝜀 > 0, при яких для будь-якого 𝛿 > 0 iснує 𝑢0 ∈ 𝐾𝐶(ℝ𝑛),
коли тощо 𝑑𝐻(𝑢0, 0) < 𝛿, 𝜇[𝑢0] ≤ 𝜇0 i 𝑑𝐻(𝑢(𝑡1), 0) ≥ 𝜀 за деякого
𝑡1 ≥ 𝑡0.
Означення 4.4. Розв’язок 𝑢 = 0 диференцiального рiвняння (3) на-
зивається дивергентно нестiйким, якщо для заданого 𝜇0 > 0 iснують
𝑡0 ∈ [𝑎,+∞) i 𝜀 > 0, при яких для будь-якого 𝛿 > 0 iснує 𝑢0 ∈ 𝐾𝐶(ℝ𝑛),
коли 𝑉 [𝑢0] < 𝛿, 𝜇[𝑢0] ≤ 𝜇0 i 𝑉 [𝑢(𝑡1)] ≥ 𝜀 за деякого 𝑡1 ≥ 𝑡0.
Введемо поняття стiйкостi i нестiйкостi для частини змiнних у
системi iнтегро-диференцiальних рiвнянь (17).
Означення 4.5. [10] Розв’яок 𝜁 = 0, 𝜉 = 0 системи
iнтегро-диференцiальних рiвнянь (17) називається 𝜉-стiйким, якщо
для будь-яких 𝑡0 ∈ [𝑎,+∞), 𝜀 > 0 iснує додатне число 𝛿 = 𝛿(𝜀, 𝑡0)0,
коли з нерiвностей 0 < 𝜉0 < 𝛿, 0 < 𝜁0 < 𝛿 виникає, що 0 < 𝜉(𝑡) < 𝜀 за
всiх 𝑡 ≥ 𝑡0.
Означення 4.6. [10] Розв’язок 𝜁 = 0, 𝜉 = 0 системи
iнтегро-диференцiальних рiвнянь (17) називається 𝜁-нестiйким, якщо
iснують 𝑡0 ∈ [𝑎,+∞) i 𝜀0 > 0, коли для будь-якого 𝛿 > 0 iснують 𝜉𝛿
𝜁𝛿, коли 𝜉𝛿 < 𝛿, 𝜁𝛿 < 𝛿 i 𝜁(𝑡1) ≥ 𝜀0 за деякого 𝑡1 > 𝑡0.
Теорема 4.1. Припустимо, що диференцiальне рiвняння (1) таке,
що розв’язок 𝜁 = 0, 𝜉 = 0 системи iнтегро-диференцiальних рiвнянь
(17) є 𝜉-стiйким. Тодi розв’язок 𝑢 = 0 диференцiального рiвняння (1)
є дивергентно стiйким.
Доведення. Нехай 𝜀— достатньо мале додатне число. За умовою iснує
додатне число 𝜂 = 𝜂(𝜀, 𝑡0) > 0, коли з умов 𝜉0 < 𝜂, 𝜁0 < 𝜂 виникає,
що 𝜉(𝑡) < 𝜀 при всiх 𝑡 ≥ 𝑡0. Тут 𝜉(𝑡) — 𝜉-компонента розв’язку си-
стеми рiвнянь порiвняння (17). Нехай початковi умови 𝑢0 ∈ 𝐾𝐶(ℝ𝑛)
такi, що 𝑉 [𝑢0] < 𝜂, 𝜇[̃︀𝑢0] ≤ 𝑀 . Тодi з леми порiвняння випливає, що
𝑉 [𝑢(𝑡)] < 𝜉(𝑡) при всiх 𝑡 ≥ 𝑡0.
Якщо 𝜉0 = 𝑉 [𝑢0], то 𝜉(𝑡) < 𝜀 при всiх 𝑡 ≥ 𝑡0, що доводить дивер-
гентну стiйкiсть розв’язку 𝑢 = 0.
Оцiнка розв’язкiв одного класу диференцiальних рiвнянь iз . . . 127
Розглянемо тепер питання про стiйкiсть за Ляпуновим розв’язку
𝑢 = 0.
Теорема 4.2. Припустимо, що диференцiальне рiвняння (1) таке,
що виконується умова:∫︁ +∞
𝑡0
𝜓
(︀
𝜁(𝑠)
)︀
‖𝐴(𝑠)‖𝑑𝑠 < +∞
для всiх розв’язкiв
(︀
𝜉(𝑡), 𝜁(𝑡)
)︀
системи рiвнянь порiвняння (17) iз
початковими умовами 𝜉0 = 𝜁0 < 𝜌0, 𝜌0 > 0. Тодi розв’язок 𝑢 = 0
диференцiального рiвняння (1) стiйкий за Ляпуновим.
Доведення. З рiвняння (1) бачимо, що
𝑢(𝑡)(𝑝) = 𝑢0
(𝑝) +
∫︁ 𝑡
𝑡0
𝜓
(︀
𝑉 [𝑢(𝑠)]
)︀
𝑢(𝑠)(𝐴
T(𝑠)𝑝)𝑑𝑠.
Звiдси виникає тощо, що
‖𝑢(𝑡)‖𝐶(𝑆𝑛−1) = ‖𝑢0‖𝐶(𝑆𝑛−1)+
+
∫︁ 𝑡
𝑡0
𝜓
(︀
𝑉 [𝑢(𝑠)]
)︀
𝜎𝑀 (𝐴(𝑠))‖𝑢(𝑠)‖𝐶(𝑆𝑛−1)𝑑𝑠.
Застосовуючи лему Гронуола-Белмана, отримаємо
‖𝑢(𝑡)‖𝐶(𝑆𝑛−1) ≤ ‖𝑢0
‖𝐶(𝑆𝑛−1)𝑒𝑥𝑝
{︁∫︁ 𝑡
𝑡0
𝜓
(︀
𝑉 [𝑢(𝑠)]
)︀
𝜎𝑀 (𝐴(𝑠))𝑑𝑠
}︁
Звiдси, застосовуючи лему порiвняння, отримаємо
‖𝑢(𝑡)‖𝐶(𝑆𝑛−1) ≤ ‖𝑢0
‖𝐶(𝑆𝑛−1)𝑒𝑥𝑝
{︁∫︁ 𝑡
𝑡0
𝜓
(︀
𝜁(𝑠)
)︀
𝜎𝑀 (𝐴(𝑠))𝑑𝑠
}︁
, (23)
де 𝜁(𝑠) — 𝜁-компонента розв’язку системи порiвняння (17) iз поча-
тковими умовами 𝜉0 = 𝜁0 = 𝑉 [𝑢0].
Iснує додатне число 𝛿1, при якому з нерiвностi 𝑑𝐻(𝑢0, 0) < 𝛿1 ви-
никає, що 𝑉 [𝑢0] < 𝜌0.
Нехай 𝐴(𝑡0) =
∫︀∞
𝑡0
𝜓
(︀
𝜁(𝑠)
)︀
𝜎𝑀 (𝐴(𝑠))𝑑𝑠 i 𝛿(𝜀) = min{𝛿1, 𝜀
𝐴(𝑡0)
}, тодi
з нерiвностi (23) випливає, що
‖𝑢(𝑡)‖𝐶(𝑆𝑛−1) = 𝑑𝐻(𝑢(𝑡), 0) < 𝜀
при 𝑡 ≥ 𝑡0, якщо тiльки 𝑑𝐻(𝑢0, 0) < 𝛿 i 𝜇[𝑢0] ≤ 𝜇0.
128 Очеретнюк Є.В.
Теорема 4.3. Припустимо, що диференцiальне рiвняння (1) таке,
що для будь-якого 𝛿 > 0 iснує 𝜉𝛿 > 0, коли
sup
𝑡≥𝑡0
∫︁ 𝑡
𝑡0
𝜓
(︀
𝜉(𝑠)
)︀
𝜎𝑚(𝐴(𝑠))𝑑𝑠 = +∞,
де 𝜉(𝑠) — 𝜉-компонента розв’язку системи порiвняння (17) iз поча-
тковими умовами 𝜉(𝑡0) = 𝜁(𝑡0) = 𝜉𝛿. Тодi розв’язок 𝑢 = 0 диферен-
цiального рiвняння (1) нестiйкий за Ляпуновим.
Доведення. Нехай 𝛿 — довiльне додатне число. За умов для заданого
додатнього числа 𝛿𝑛𝑉 [𝐾] iснує число 𝜉𝛿 < 𝛿𝑛𝑉 [𝐾], коли
sup
𝑡≥𝑡0
∫︁ 𝑡
𝑡0
𝜓
(︀
𝜉(𝑠)
)︀
𝜎𝑚(𝐴(𝑠))𝑑𝑠 = +∞,
де 𝜉(𝑠) — 𝜉-компонента розв’язку системи порiвняння (17) iз початко-
вими умовами 𝜉(𝑡0) = 𝜁(𝑡0) = 𝜉𝛿.
Нехай 𝑢𝛿 =
(︁
𝜉𝛿
𝑉 [𝐾]
)︁1/𝑛
𝐾, де 𝐾 — одинична куля з центром у точцi
𝑥 = 0. Розглянемо розв’язок 𝑢(𝑡) диференцiального рiвняння (1) з
початковою умовою 𝑢(𝑡0) = 𝑢𝛿 ∈ 𝐾𝐶(ℝ𝑛).
Очевидно, що 𝑑𝐻(𝑢𝛿, 0) =
(︁
𝜉𝛿
𝑉 [𝐾]
)︁1/𝑛
< 𝛿, 𝜇[𝑢0] = 1 ≤ 𝜇0.
Зi твердження леми (2.1) бачимо, що
̃︀(𝑡, 𝑝) ≥ inf ̃︀(𝑡0, 𝑝)𝑒𝑥𝑝{︁∫︁ 𝑡
𝑡0
𝜓
(︀
𝜉(𝑠)
)︀
𝜎𝑚(𝐴(𝑠))𝑑𝑠
}︁
.
Якщо 𝑥0 = 0, то inf ̃︀(𝑡0, 𝑝) = (︁ 𝜉𝛿
𝑉 [𝐾]
)︁1/𝑛
, i, як наслiдок,
𝑑𝐻(𝑢(𝑡), 0) = ‖𝑥(𝑡)‖+ ‖̃︀(𝑡, .)‖𝐶(𝑆𝑛−1) ≥
≥
(︁ 𝜉𝛿
𝑉 [𝐾]
)︁1/𝑛
𝑒𝑥𝑝
{︁∫︁ 𝑡
𝑡0
𝜓
(︀
𝜉(𝑠)
)︀
𝜎𝑚(𝐴(𝑠))𝑑𝑠
}︁
.
Зафiксуємо 𝜀0, тодi внаслiдок умови теореми iснує число 𝑡1 =
𝑡1(𝛿) > 𝑡0, коли(︁ 𝜉𝛿
𝑉 [𝐾]
)︁1/𝑛
𝑒𝑥𝑝
{︁∫︁ 𝑡
𝑡0
𝜓
(︀
𝜉(𝑠)
)︀
𝜎𝑚(𝐴(𝑠))𝑑𝑠
}︁
≥ 𝜀0,
звiдки випливає, що 𝑑𝐻(𝑢(𝑡1), 0) ≥ 𝜀0, що доводить нестiйкiсть розв’яз-
ку 𝑢 = 0. Теорема доведена.
Оцiнка розв’язкiв одного класу диференцiальних рiвнянь iз . . . 129
Теорема 4.4. Припустимо, що диференцiальне рiвняння (1) таке,
що розв’язок 𝜉 = 𝜁 = 0 системи рiвнянь порiвняння (17) є
𝜁-нестiйким. Тодi розв’язок 𝑢 = 0 диференцiального рiвняння (1) є
дивергентно нестiйким.
Наведемо ще один результат, який стосується нестiйкостi . Роз-
глянемо диференцiальне рiвняння (7)
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝜓
(︀
𝑉 [𝑢(𝑡)]
)︀
𝐴(𝑡)𝑥(𝑡)
i функцiю Ляпунова 𝑣(𝑥) = 𝑥T𝑃𝑥, 𝑃T = 𝑃 > 0, 𝑃 ∈ ℝ𝑛×𝑛, тодi
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 𝑥T(𝐴T(𝑡)𝑃 + 𝑃𝐴(𝑡))𝑥𝜓
(︀
𝑉 [𝑢(𝑡)]
)︀
≥
≥ 𝜆𝑚(𝐴T(𝑡)𝑃 + 𝑃𝐴(𝑡))𝜓
(︀
𝑉 [𝑢(𝑡)]
)︀
‖𝑥‖2 ≥
≥
{︂
𝜆𝑚(𝐴T(𝑡)𝑃 + 𝑃𝐴(𝑡))𝜓
(︀
𝜉(𝑡)
)︀
‖𝑥‖2, 𝜆𝑚(𝐴T(𝑡)𝑃 + 𝑃𝐴(𝑡)) ≥ 0
𝜆𝑚(𝐴T(𝑡)𝑃 + 𝑃𝐴(𝑡))𝜓
(︀
𝜁(𝑡)
)︀
‖𝑥‖2, 𝜆𝑚(𝐴T(𝑡)𝑃 + 𝑃𝐴(𝑡)) ≤ 0.
Означимо функцiю
𝑝(𝑡) =
⎧⎪⎨⎪⎩
𝜆𝑚(𝐴T(𝑡)𝑃+𝑃𝐴(𝑡))𝜓
(︀
𝜉(𝑡)
)︀
𝜆𝑚(𝑃 ) , 𝜆𝑚(𝐴T(𝑡)𝑃 + 𝑃𝐴(𝑡)) ≥ 0
𝜆𝑚(𝐴T(𝑡)𝑃+𝑃𝐴(𝑡))𝜓
(︀
𝜁(𝑡)
)︀
𝜆𝑚(𝑃 ) , 𝜆𝑚(𝐴T(𝑡)𝑃 + 𝑃𝐴(𝑡)) ≤ 0
(24)
𝑑𝑣
𝑑𝑡 ≥ 𝑝(𝑡)𝑣, i, як наслiдок,
𝑣(𝑥(𝑡)) ≥ 𝑣(𝑥0)𝑒𝑥𝑝
{︁∫︁ 𝑡
𝑡0
𝑝(𝑠)𝑑𝑠
}︁
i
𝜆𝑀 (𝑃 )‖𝑥‖2 ≥ 𝜆𝑚(𝑃 )‖𝑥0‖2𝑒𝑥𝑝
{︁∫︁ 𝑡
𝑡0
𝑝(𝑠)𝑑𝑠
}︁
,
‖𝑥‖ ≥
√︃
𝜆𝑚(𝑃 )
𝜆𝑀 (𝑃 )
‖𝑥0‖𝑒𝑥𝑝
{︁1
2
∫︁ 𝑡
𝑡0
𝑝(𝑠)𝑑𝑠
}︁
.
Звiдси виникає тощо, що
𝑑𝐻(𝑢(𝑡), 0) ≥
√︃
𝜆𝑚(𝑃 )
𝜆𝑀 (𝑃 )
‖𝑥0‖𝑒𝑥𝑝
{︁1
2
∫︁ 𝑡
𝑡0
𝑝(𝑠)𝑑𝑠
}︁
.
З цiєї оцiнки можемо сформувати твердження.
130 Очеретнюк Є.В.
Теорема 4.5. Припустимо, що диференцiальне рiвняння (1) таке,
що для будь-якого 𝛿 > 0 iснує 𝜉𝛿 < 𝛿, коли тощо
sup
𝑡≥𝑡0
∫︁ 𝑡
𝑡0
𝑝(𝑠)𝑑𝑠 = +∞,
де 𝑝(𝑠) визначається за формулою (24). Тодi розв’язок 𝑢 = 0 дифе-
ренцiального рiвняння (1) нестiйкий.
5 Висновок
У роботi побудована система порiвняння у виглядi двох iнтегро-дифе-
ренцiальних рiвнянь. На основi властивостей розв’язку цiєї системи
можна встановити достатнi умови стiйкостi й нестiйкостi тривiально-
го розв’язку для одного класу диференцiальних рiвнянь iз похiдною
Хукухари.
Цiкавим є застосування отриманих результатiв до задачi про пра-
ктичну або технiчну стiйкостi диференцiальних рiвнянь iз похiдною
Хукухари.
Крiм того, в межах запропонованого в данiй роботi пiдходу до до-
слiдження розв’язкiв диференцiальних рiвнянь iз похiдною Хукухари
актуальними є якiсне дослiдження системи порiвняння i побудова її
розв’язку.
[1] Hukuhara M. Intégration des applications measurables dont la valeur est
un compact convexe // Funkcial. Ekvac. –– 1967. –– Vol. 10. –– P. 205–223.
[2] Слынько В. И. Качественный анализ множеств траекторий механиче-
ских систем // ПММ. — 2016. — Т. 80, № 1. — С. 34–45.
[3] Очеретнюк Е., В., Слынько В. И. Оценки площади решений псевдо-
линейных дифференциальных уравнений с производной Хукухары в
пространстве 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑅2 // Укр. мат. журн. — 2017. — Т. 69, № 2. — С. 189–
214.
[4] Матросов В. М., Анапольский Л. Ю., Васильев С. Н. Метод сравне-
ния в математической теории систем. — Новосибирск: Наука, 1980. —
С. 478.
[5] Хадвигер Г. Лекции об объеме, площади поверхности и изоперимет-
рии. — М.: Наука, 1966. — С. 416.
Оцiнка розв’язкiв одного класу диференцiальних рiвнянь iз . . . 131
[6] Красносельский М. А., Лифшиц Е. А., Соболев А. В. Позитивные
линейные системы: метод положительных операторов. — М.: Наука,
1985. — С. 255.
[7] Lakshmikantham V., Gnana Bhaskar T., Vasundhara DeviZJ. Theory of
set differential equations in metric spaces. –– London: Cambridge Scientific
Publisers, 2006. –– P. 211.
[8] Дискант В. И. Обощение неравенств Боннезена // Доклады АН
ССС. — 1973. — Т. 213, № 3. — С. 519–522.
[9] Slyn’ko V. I. Stability in terms of two measures for set difference equations
in space 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑅𝑛 // Applicable Analysis. –– 2017. –– Vol. 96. no. 2. ––
P. 278–292.
[10] Румянцев В. В. Озиранер А. С. Устойчивость и стабилизация движе-
ния по отношению к части переменных. — М.: Наука, 1987. — С. 256.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-443 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | English Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:07:30Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/a2/ab1fcaa76a4677e383d18598fe52fba2.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-4432020-08-10T19:26:12Z Estimation of solutions of one class of differential equations with the Hukuhara derivative and stability with repsect to two measures Оценка розвьязкiв одного класса дифференциальных уравнений с производными Хукухары i устойчивость по двум мерам Оцiнка розв’язкiв одного класу диференцiальних рiвнянь iз похiдною Хукухари i стiйкiсть за двома мiрами Ocheretnyuk, Ye.V. Очеретнюк, Е.В. Очеретнюк, Є.В. A comparison system is constructed for a class of differential equations with the Hukuhara derivative. The problem of the stability and instability of the trivial solution of differential equations with the Hukuhara derivative in terms of two measures is considered. В роботi побудовано систему порiвняння для одного класу диференцiальних рiвнянь з похiдною Хукухари. Розглянуто питання про стiй- кiсть i нестiйкiсть тривiального розв’язку. Розглянуто питання про стiйкiсть i нестiйкiсть тривiального розв’язку диференцiальних рiв- нянь з похiдною Хукухари в термiнах двох мiр. Інститут математики НАН України 2020-08-10 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/443 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 15 No. 1 (2018): Mathematical problems of mechanics and computational mathematics ; 114-131 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 15 № 1 (2018): Математические проблемы механики и вычислительной математики ; 114-131 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 15 № 1 (2018): Математичнi проблеми механiки та обчислювальної математики; 114-131 3083-7529 1815-2910 en uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/443/440 Авторське право (c) 2018 Ye.V. Ocheretnyuk http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Ocheretnyuk, Ye.V. Очеретнюк, Е.В. Очеретнюк, Є.В. Estimation of solutions of one class of differential equations with the Hukuhara derivative and stability with repsect to two measures |
| title | Estimation of solutions of one class of differential equations with the Hukuhara derivative and stability with repsect to two measures |
| title_alt | Оценка розвьязкiв одного класса дифференциальных уравнений с производными Хукухары i устойчивость по двум мерам Оцiнка розв’язкiв одного класу диференцiальних рiвнянь iз похiдною Хукухари i стiйкiсть за двома мiрами |
| title_full | Estimation of solutions of one class of differential equations with the Hukuhara derivative and stability with repsect to two measures |
| title_fullStr | Estimation of solutions of one class of differential equations with the Hukuhara derivative and stability with repsect to two measures |
| title_full_unstemmed | Estimation of solutions of one class of differential equations with the Hukuhara derivative and stability with repsect to two measures |
| title_short | Estimation of solutions of one class of differential equations with the Hukuhara derivative and stability with repsect to two measures |
| title_sort | estimation of solutions of one class of differential equations with the hukuhara derivative and stability with repsect to two measures |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/443 |
| work_keys_str_mv | AT ocheretnyukyev estimationofsolutionsofoneclassofdifferentialequationswiththehukuharaderivativeandstabilitywithrepsecttotwomeasures AT očeretnûkev estimationofsolutionsofoneclassofdifferentialequationswiththehukuharaderivativeandstabilitywithrepsecttotwomeasures AT očeretnûkêv estimationofsolutionsofoneclassofdifferentialequationswiththehukuharaderivativeandstabilitywithrepsecttotwomeasures AT ocheretnyukyev ocenkarozvʹâzkivodnogoklassadifferencialʹnyhuravnenijsproizvodnymihukuharyiustojčivostʹpodvummeram AT očeretnûkev ocenkarozvʹâzkivodnogoklassadifferencialʹnyhuravnenijsproizvodnymihukuharyiustojčivostʹpodvummeram AT očeretnûkêv ocenkarozvʹâzkivodnogoklassadifferencialʹnyhuravnenijsproizvodnymihukuharyiustojčivostʹpodvummeram AT ocheretnyukyev ocinkarozvâzkivodnogoklasudiferencialʹnihrivnânʹizpohidnoûhukuhariistijkistʹzadvomamirami AT očeretnûkev ocinkarozvâzkivodnogoklasudiferencialʹnihrivnânʹizpohidnoûhukuhariistijkistʹzadvomamirami AT očeretnûkêv ocinkarozvâzkivodnogoklasudiferencialʹnihrivnânʹizpohidnoûhukuhariistijkistʹzadvomamirami |