Перетворення та дискретні динамічні системи на [0; 1], що зберігають рівномірний розподіл послідовностей
In the paper, we consider some sufficient conditions for functionsfrom $[0,1]$ to $R$ to preserve a property of uniform distribution ofsequences. We study the relation between $Q_{2}$-normal numbers andsequences produced by shift operator for digits of$Q_{2}$-representation of numbers.
Збережено в:
| Дата: | 2019 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2019
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/445 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552948498694144 |
|---|---|
| author | Працьовитий, М. В. Кривошия, Р. В. Макарчук, О. П. |
| author_facet | Працьовитий, М. В. Кривошия, Р. В. Макарчук, О. П. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "М. В. Працьовитий",
"institution": "НПУ імені М.\\,П. Драгоманова"
},
{
"author": "Р. В. Кривошия",
"institution": "НПУ імені М.\\,П. Драгоманова, Київ"
},
{
"author": "О. П. Макарчук",
"institution": "Центральноукраїнський державний педагогічний університет імені В. Винниченка, м. Кропивницький"
}
] |
| author_sort | Працьовитий, М. В. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-03-02T07:56:21Z |
| description | In the paper, we consider some sufficient conditions for functionsfrom $[0,1]$ to $R$ to preserve a property of uniform distribution ofsequences. We study the relation between $Q_{2}$-normal numbers andsequences produced by shift operator for digits of$Q_{2}$-representation of numbers. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:07:33Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2019, т. 16, № 3, 19–35
УДК 519.21
М.В. Працьовитий, Р.В. Кривошия,
О.П. Макарчук
1НПУ iменi М.П. Драгоманова, Iнститут математики НАН
України, Київ; prats4444@gmail.com
2НПУ iменi М.П. Драгоманова, Київ; vikasvat2013@gmail.com
3Центральноукраїнський державний педагогiчний унiверситет
iменi В. Винниченка, м. Кропивницький; makolpet@gmail.com
Перетворення та дискретнi динамiчнi
системи на [0; 1], що зберiгають
рiвномiрний розподiл послiдовностей
In the paper, we consider some sufficient conditions for functions
from [0, 1] to R to preserve a property of uniform distribution of
sequences. We study the relation between Q2-normal numbers and
sequences produced by shift operator for digits of Q2-representation
of numbers.
Key words: Q2-representation of real numbers; Q2-normal number;
simply normal number; shift operator; crinkly function; uniformly
distributed sequence.
У роботi розглядається ряд достатнiх умов збереження властиво-
стi рiвномiрного розподiлу послiдовностей для функцiй, що дiють
з [0; 1] в R. Дослiджується зв’язок мiж Q2-нормальними числа-
ми та послiдовностями, продукованими оператором зсуву цифр
Q2-зображення чисел.
Ключовi слова: Q2-зображення дiйсних чисел; Q2-нормальне
число; слабо нормальне число; оператор зсуву цифр; звивиста
функцiя; рiвномiрно розподiлена послiдовнiсть.
c© М.В. Працьовитий, Р.В. Кривошия, О.П. Макарчук, 2019
20 М.В. Працьовитий, Р.В. Кривошия, О.П. Макарчук
1. Вступ
Послiдовнiсть (xn) називається рiвномiрно розподiленою за мо-
дулем 1, якщо для довiльного iнтервалу (a; b) ⊂ [0; 1] виконується
умова
lim
n→∞
Nn
(
(a; b)
)
n
= b− a,
де Nn((a; b)) — кiлькiсть чисел серед {x1}, {x2}, . . . , {xn}, якi на-
лежать iнтервалу (a; b).
Нехай (q0; q1) — стохастичний вектор з строго додатними
координатами. Вiдомо [2], що для довiльного дiйсного числа
x ∈ [0; 1] iснує нескiнченний двiйковий вектор (α1;α2; . . . ;αn; . . . )
такий, що
x = βα1 +βα2qα1 +βα3qα2qα1 + . . .+βαn+1qαnqαn−1 . . . qα1 + . . . , (1)
де β0 = 0, β1 = q0.
Представлення (1) називається Q2-представленням числа x i
має наступне зображення:
x = ∆Q2
α1α2α3...αn....
Якщо q0 = 1
2 , то отримаємо класичне двiйкове зображення з
вiдповiдним представленням:
x = ∆2
α1α2α3...αn... =
+∞∑
j=1
αj
2j
.
Iснує зчисленна множина чисел виду ∆Q2
γ1γ2...γk1(0)
, якi мають
2 зображення (i вiдповiдно представлення):
∆Q2
γ1γ2...γk1(0)
= ∆Q2
γ1...γk0(1)
,
для всiх iнших чисел з вiдрiзку [0; 1] вiдповiдне представлення
однозначне.
Перетворення та дискретнi динамiчнi системи 21
Вперше поняття рiвномiрно розподiленої послiдовностi ввiв
Герман Вейль в 1919-му роцi в роботi [6], де вiн обгрунтував
рiвномiрну розподiленiсть послiдовностi {nγ}(γ /∈ Q).
Означення 1. Число
x = ∆2
α1α2α3...αn... =
+∞∑
j=1
αj
2j
називається слабонормальним за основою 2, якщо
wk
k
→ 1
2
(k →∞),
де wk — кiлькiсть нулiв серед чисел α1, α2, ..., αk.
Означення 2. Число
x = ∆2
α1α2α3...αn... =
+∞∑
j=1
αj
2j
називається нормальним за основою 2, якщо для довiльного
двiйкового вектора (c1; c2; ...; cr) виконується умова:
wk
k
→ 1
2r
(k →∞),
де wk — кiлькiсть блокiв цифр (c1; c2; ...; cr), серед набору цифр
α1, α2, ..., αk.
Останнi два означення ввiв Емiль Борель [4].В роботi [9] по-
казано, що число x є нормальним за основою 2 тодi i тiльки то-
дi, коли послiдовнiсть {2nx} рiвномiрно розподiлена на вiдрiзку
[0; 1]. Останнiй факт в термiнах дискретних динамiчних систем
означає, що орбiта точки t породжена функцiєю T (x) = {2x} є
рiвномiрно розподiленою послiдовнiстю лише тодi, коли t є нор-
мальним за основою 2 числом. Цiлком природною є проблема
поглиблення вiдповiдного результату для Q2-представлення дiй-
сних чисел.
22 М.В. Працьовитий, Р.В. Кривошия, О.П. Макарчук
2. Перетворення, що зберiгають рiвномiрний
розподiл послiдовностей вiдрiзку [0; 1].
Означення 3. Будемо говорити, що функцiя ϕ(x) : [0; 1] → R
задовольняє властивiсть SUD(save uniform distribution), якщо
для кожної рiвномiрно розподiленої послiдовностi (xn) ⊆ [0; 1],
послiдовнiсть (ϕ(xn)) також є рiвномiрно розподiленою.
Вiдомими [1] є наступнi властивостi:
1) якщо послiдовнiсть (xn) рiвномiрно розподiлена, то (xn+β)
також рiвномiрно розподiлена, для довiльного β ∈ R;
2) якщо (xn) рiвномiрно розподiлена i (yn) : lim
n→∞
(xn − yn) =
γ − const, то (yn) рiвномiрно розподiлена;
3) якщо (xn) рiвномiрно розподiлена, то послiдовнiсть (mxn)
рiвномiрно розподiлена, для кожного m ∈ Z \ {0}.
Вiдомо [3], що з iснування границi
lim
n→∞
1
n
n∑
j=1
f ({xj})
випливає, що f (x) є iнтегровною по Рiману функцiєю на вiдрiзкi
[0; 1], тобто маємо наслiдок.
Наслiдок 1. Якщо ϕ(x) володiє властивiстю SUD, то множи-
на точок розриву функцiї ϕ(x) має мiру Лебега 0.
Сформулюємо необхiдний критерiй того, що функцiя володiє
властивiстю SUD.
Теорема 2. Для того, щоб функцiя ϕ(x) володiла властивiстю
SUD необхiдно щоб виконувалась нерiвнiсть A(ϕ) ≥ 1, де
A(ϕ) = sup
x∈[0;1]
ϕ(x)− inf
x∈[0;1]
ϕ(x).
Доведення. Припустимо, що A(ϕ) < 1. Можливi два випадки:
Перетворення та дискретнi динамiчнi системи 23
а) iснує l ∈ Z таке, що
l ≤ inf
[0;1]
ϕ(x) < sup
[0;1]
ϕ(x) ≤ l + 1.
Маємо:
inf
[0;1]
ϕ(x) = l + α,
sup
[0;1]
ϕ(x) = l + β,
β − α < 1,
0 ≤ α, β ≤ 1.
Якщо α = 0, то β < 1 i {ϕ(x)} ∈ [0;β].
Якщо β = 1, то α > 0 i {ϕ(x)} ∈ [α; 1) ∪ {0}, маємо суперечнiсть.
б) iснує l ∈ Z таке, що
inf
[0;1]
ϕ(x) ≤ l ≤ sup
[0;1]
ϕ(x).
Таким чином:
inf
[0;1]
ϕ(x) = l − 1 + α,
sup
[0;1]
ϕ(x) = l + β,
0 ≤ α, β ≤ 1.
Якщо α ∈ {0; 1} або β ∈ {0; 1}, то маємо випадок a), тому нехай
α, β ∈ (0; 1).
Маємо:
β − (α− 1) = β − α+ 1 < 1,
β < α,
{ϕ(x)} ∈ [α; 1) ∪ [0;β] 6≡ [0; 1).
� В подальшому будемо розглядати випадок, коли
ϕ(x) : [0; 1]→ [m;M ], де вiдповiдно
m = min
[0;1]
(ϕ(x)) , M = max
[0;1]
(ϕ(x)) .
24 М.В. Працьовитий, Р.В. Кривошия, О.П. Макарчук
Теорема 3. Лiнiйна функцiя ϕ(x) = kx+ l володiє властивiстю
SUD тодi i тiльки тодi, коли k ∈ Z \ {0}.
Доведення. Якщо ϕ(x) володiє властивiстю SUD, то
A(ϕ) = |k| ≥ 1.
Нехай |k| ≥ 1, тодi враховуючи властивостi 1-3, достатньо роз-
глянути випадок k ≥ 1 i l = 0. Якщо (xn) рiвномiрно розподiле-
на, то оскiльки [kxn] ∈ {0; . . . ; [k]}, умова {kxn} ∈ (a; b) ⊆ [0; 1]
виконується тiльки тодi, коли
[kxn] = 0⇒ kxn ∈ (a; b)⇒ xn ∈
(
a
k
;
b
k
)⋂[
0;
1
k
)
=
(
a
k
;
b
k
)
;
[kxn] = 1⇒ kxn − 1 ∈ (a; b)⇒ xn ∈
(
a+ 1
k
;
b+ 1
k
)⋂[
1
k
;
2
k
)
=
=
(
a+ 1
k
;
b+ 1
k
)
;
................................................................................................
[kxn] = [k]⇒ kxn − [k] ∈ (a; b)⇒
xn ∈
(
a+ [k]
k
;
b+ [k]
k
)⋂[
[k]
k
;
[k] + 1
k
)
=
(
a+ [k]
k
;
b+ [k]
k
)
.
Нехай a, b – достатньо малi додатнi числа такi, що виконується
умова 0 < a < b < {k}.
Маємо:
Nm(kxn; (a; b))
m
=
[k]∑
j=0
N
(
xn;
(
a+j
k
b+j
k
))
m
→
→
[k]∑
j=0
(
b+ j
k
− a+ j
k
)
=
[k] + 1
k
(b− a) > b− a (m→∞).
�
Перетворення та дискретнi динамiчнi системи 25
Означення 4. Функцiя, яка задана на деякому вiдрiзку [a; b] i
набуває на ньому найбiльшого i найменшого значення, назива-
ється звивистою, якщо на кожному вiдрiзку [c; d] ⊂ [a; b] вона
набуває свого найбiльшого та найменшого значення.
Теорема 4. Якщо функцiя ϕ(x) є неперервною та звивистою,
то вона не володiє властивiстю SUD.
Доведення. Зафiксуємо деяке a ∈ (m;M). Розглянемо множину
A = {x | ϕ(x) = a}. Припустимо, що iснує iнтервал
(α;β) ⊂ [0; 1] : A ∩ (α;β) = ∅.
Однак з iншого боку iснують α∗, β∗ ∈ (α;β) :
ϕ(α∗) = m,ϕ(β∗) = M.
i за теоремою Кошi iснує γ ∈ (α∗;β∗) : ϕ(γ) = a.
Маємо суперечнiсть.
Нехай xn = {n
√
2}, тодi зрозумiло, що (xn) рiвномiрно розпо-
дiлена. Будемо послiдовно вибирати значення zn, n ∈ N насту-
пним чином:
z1 ∈ A : |x1 − z1| <
1
1
,
z2 ∈ A : |x2 − z2| <
1
2
,
.................................................
zk ∈ A : |xk − zk| <
1
k
,
.................................................
Оскiльки
lim
k→∞
(xk − zk) = 0,
то послiдовнiсть (zk) рiвномiрно розподiлена, але тодi ϕ(zk) = a
i (ϕ(zk)) не є рiвномiрно розподiленою. �
Наступна теорема доповнює попередню.
26 М.В. Працьовитий, Р.В. Кривошия, О.П. Макарчук
Теорема 5. Якщо ϕ(x) є неперервною та звивистою i A(ϕ) ≥ 1,
то iснує послiдовнiсть (xn) ⊆ [0; 1] така, що послiдовностi (xn)
та (ϕ(xn)) одночасно є рiвномiрно розподiленими.
Доведення. Зрозумiло, що знайдуться l ∈ Z,α ∈ R такi, що
ϕ(x) ∈ [l + α; l + 1 + α]∀x ∈ [0; 1].
Розглянемо множини
An = {x | ϕ(x) = l + α+ {n
√
2}}.
Зрозумiло, що множини An є всюду щiльними на вiдрiзкi [0; 1],
для кожного натурального n. Побудуємо послiдовнiсть (zn) на-
ступним чином:
z1 ∈ A1 : |z1 − y1| <
1
1
,
z2 ∈ A2 : |z2 − y2| <
1
2
,
.................................................
zk ∈ Ak : |zk − yk| <
1
k
,
.................................................,
де yk = {k
√
3} для кожного натурального k.
Оскiльки
lim
k→∞
(zk − yk) = 0,
i послiдовнiсть (yk) рiвномiрно розподiлена, то зрозумiло, що (zk)
також рiвномiрно розподiлена. Оскiльки ϕ(zk) = l + α + {k
√
2}
маємо потрiбне. �
Теорема 6. Якщо функцiя розподiлу ϕ(x) задовольняє власти-
вiсть SUD i ϕ(0) = 0, ϕ(1) = 1, то ϕ(x) = x для кожного
x ∈ [0; 1].
Перетворення та дискретнi динамiчнi системи 27
Доведення. Якщо функцiя ϕ(x) не є строго зростаючою на вiд-
рiзкi [0; 1], то iснують x1 < x2 : ϕ(x1) = ϕ(x2) = λ i вiдповiдно
ϕ(x) = λ для кожного x ∈ [x1;x2].
Розглянемо рiвномiрно розподiлену послiдовнiсть:
an =
{
λ, n = 1;
{n
√
2}, n ≥ 2, n ∈ N.
Оскiльки ϕ(an) рiвномiрно розподiлена, то
Nm (ϕ(an); [λ;λ])
m
→ λ− λ = 0 (m→∞),
а з iншого боку
Nm (ϕ(an); [λ;λ])
m
=
Nm (an; [x1;x2])
m
→ x2 − x1 (m→∞).
Суперечнiсть. Отже, ϕ(x) строго зростає на [0; 1]. Маємо:
Nm (an; (0;x))
m
=
Nm (ϕ(an); (ϕ(0);ϕ(x)))
m
.
Спрямувавши m→∞, маємо: x = ϕ(x). �
Теорема 7. Якщо функцiя ϕ : [0; 1]→ [0; 1] має критичну точку
i є неперервною в околi цiєї точки, то ϕ(x) не володiє власти-
вiстю SUD.
Доведення. Нехай ϕ′(x0) = 0 для деякого x0 ∈ (0; 1). Виберемо
достатньо мале ε > 0. Зрозумiло, що
Nm (ϕ(xn); (ϕ(x0 − ε);ϕ(x0)))
m
≥ Nm (xn; (x0 − ε;x0))
m
.
Спрямувавши m→∞, маємо:
ϕ(x0)− ϕ(x0 − ε) ≥ ε,
28 М.В. Працьовитий, Р.В. Кривошия, О.П. Макарчук
ϕ(x0)− ϕ(x0 − ε)
ε
≥ 1.
Спрямувавши ε→ 0, маємо:
ϕ′(x0) ≥ 1.
Суперечнiсть. �
Теорема 8. Якщо неперервна функцiя ϕ : [0; 1] → [0; 1] володiє
властивiстю SUD, то ϕ(x) ≡ x.
Доведення. Нехай (xn) рiвномiрно розподiлена, тодi
Nm (ϕ(xn); (ϕ(0);ϕ(t)))
m
≥ Nm (xn; (0; t))
m
.
Спрямувавши m→∞, маємо
ϕ(t)− ϕ(0) ≥ t⇒ ϕ(t) ≥ t+ ϕ(0).
Якщо ϕ(0) > 0, то ϕ(1) ≥ 1 + ϕ(0) > 1 i маємо суперечнiсть.
Отже,
ϕ(0) = 0
i
ϕ(t) ≥ t ∀t ∈ [0; 1].
Позначимо
ϕ(xn) = yn
i
∆(x) = ϕ(x)− x,
тодi ∆(x) ≥ 0 для кожного x ∈ [0; 1] i функцiя ∆(x) неперервна.
За критерiєм Вейля
y1 + · · ·+ yn
n
→
1∫
0
xdx =
1
2
(n→∞),
Перетворення та дискретнi динамiчнi системи 29
але з iншого боку
y1 + · · ·+ yn
n
=
ϕ(x1) + · · ·+ ϕ(xn)
n
→
1∫
0
ϕ(x)dx (n→∞).
Маємо:
1∫
0
ϕ(x)dx =
1
2
,
1∫
0
(x+ ∆(x))dx =
1
2
,
1∫
0
∆(x)dx = 0.
Оскiльки, ∆(x) — неперервна, ∆(x) ≥ 0 ∀x ∈ [0; 1], то ∆(x) ≡ 0.
�
3. Дискретнi динамiчнi системи з рiвномiрно
розподiленими орбiтами.
Розглянемо функцiю ϕ : [0; 1]→ [0; 1] таку, що
min
[0;1]
ϕ(x) = 0,max
[0;1]
ϕ(x) = 1.
Для заданого t ∈ [0; 1] можливо розглянути орбiти:
xn(t) = ϕ(ϕ(. . . (ϕ︸ ︷︷ ︸
n
(t)) . . . )),
для динамiчної системи (X;ϕ(x)) з фазовим простором
X = ([0; 1];R1).
30 М.В. Працьовитий, Р.В. Кривошия, О.П. Макарчук
Природним питанням є дослiдження множини M(ϕ) точок
t ∈ [0; 1], таких, що послiдовнiсть xn(t) є рiвномiрно розподiле-
ною, для заданої функцiї ϕ(x).
Якщо ϕ є неперервною, то [0; 1]\M(ϕ) 6= ∅. Дiйсно, для де-
яких α, β ∈ [0; 1] : ϕ(α) = 0, ϕ(β) = 1, тому для неперервної
функцiї g(x) = ϕ(x)− x маємо:
g(α) = −α ≤ 0, g(β) = 1− β ≥ 1.
Отже, за теоремою Кошi g(γ) = 0, для деякого γ ∈ [0; 1], тобто
ϕ(γ) = γ (γ− є нерухомою точкою) i xn(γ) є сталою послiдовнi-
стю.
Нехай g : ∆Q2
α1α2... → ∆Q2
α2α3.... Легко бачити, що
g(t) =
{
t
q0
, t ∈ [0; q0),
t−q0
q1
, t ∈ [q0; 1].
Нехай
x = ∆Q2
α1α2...αn....
Означення 5. Число x будемо називати Q2-слабонормальним,
якщо
lim
n→∞
Nn(x; 0)
n
= q0,
де Nn(x; 0) — кiлькiсть нулiв серед чисел α1, . . . , αn.
Означення 6. Число x будемо називати Q2-нормальним, якщо
lim
n→∞
Nn(x; (γ1; γ2; . . . ; γk))
n
=
k∏
j=1
qγj ,
де Nn(x; (γ1; γ2; . . . ; γk))— кiлькiсть блокiв (γ1; . . . ; γk) серед чи-
сел α1, . . . , αn. (якщо бути точним, це кiлькiсть номерiв j ∈
{1; . . . ;n − k − 1} таких що αj+i−1 = γi для кожного i ∈
{1; . . . ; k}).
Перетворення та дискретнi динамiчнi системи 31
Зрозумiло, що кожне Q2-нормальне число є Q2-
слабонормальним. Протилежне твердження хибне, наведемо
вiдповiдний приклад.
Нехай n0 ∈ N таке, що значення an = [nq0], bn = [nq1] бiльшi
за 2 для кожного натурального n ≥ n0.
Розглянемо число
y = ∆Q2
0 . . . 0︸ ︷︷ ︸
an0
1 . . . 1︸ ︷︷ ︸
bn0
...0 . . . 0︸ ︷︷ ︸
ank
1 . . . 1︸ ︷︷ ︸
bnk
...
.
Для достатньо великого натурального l знайдеться номер n(l)
такий, що
n(l)∑
j=n0
(aj + bj) ≤ l <
n(l)+1∑
j=n0
(aj + bj).
Маємо:
Nl(x; 0)
l
≥
n(l)∑
j=n0
aj
n(l)+1∑
j=n0
(aj + bj)
≥
q0
n(l)∑
j=n0
j − (n(l)− n0 + 1)
n(l)+1∑
j=n0
(q0 + q1) · j
=
=
q0(
n(l)(n(l)+1)
2 − (n0−1)n0
2 )− (n(l)− n0 + 1)
(n(l)+1)(n(l)+2)
2 − (n0−1)n0
2
→ q0 (l→∞).
З iншого боку
Nl(x; 0)
l
≤
n(l)+1∑
j=n0
aj
n(l)∑
j=n0
(aj + bj)
≤
q0
n(l)+1∑
j=n0
j
n(l)∑
j=n0
(q0 + q1) · j − (n(l)− n0 + 1)
=
32 М.В. Працьовитий, Р.В. Кривошия, О.П. Макарчук
=
q0(
(n(l)+1)(n(l)+2)
2 − (n0−1)n0
2 )
(n(l)+1)n(l)
2 − (n(l)− n0 + 1)
→ q0 (l→∞).
Отже,
lim
n→∞
Nn(y; 0)
n
= q0,
i y є Q2-слабонормальним числом, однак воно не є Q2-
нормальним, адже блок цифр (0; 1; 0; 1) взагалi не зустрiчається.
Вiдрiзок
∆(γ1; γ2; . . . ; γl) =
[
∆Q2
γ1γ2...γl(0)
; ∆Q2
γ1γ2...γl(1)
]
будемо називати Q2-цилiндром n-го рангу.
Лема 9. Нехай M— множина всiх Q2-цилiндрiв n-го рангу для
кожного натурального n. Послiдовнiсть (xn) є рiвномiрно роз-
подiленою тiльки тодi, коли
lim
n→∞
Nn(xn;A)
n
= λ(A),
для кожної множини A ∈ M, де λ(·)— мiра Лебега i Nn(xn;A)
— кiлькiсть чисел серед {x1}, {x2}, . . . , {xn}, якi належать мно-
жинi A.
Доведення. Якщо (xn) рiвномiрно розподiлена, то очевидно вiд-
повiдна рiвнiсть виконується для кожної множини A ∈M .
Розглянемо промiжок [a; b], де a > 0 i b < 1 (випадок a = 0
або 1 розглядаються аналогiчним чином).
Нехай
a = ∆Q2
α1α2..., b = ∆Q2
β1β2...
.
Розглянемо послiдовнiсть вiдрiзкiв
Cn =
[
∆Q2
α1α2...αn(0)
b = ∆Q2
β1β2...βn(1)
]
.
Зрозумiло, що знайдеться набiр Q2-цилiндрiв n-го рангу
∆
(
η
(1)
1 ; η
(1)
2 ; . . . ; η(1)n
)
, . . . , ∆
(
η
(j)
1 ; η
(j)
2 ; . . . ; η(j)n
)
,
Перетворення та дискретнi динамiчнi системи 33
такi, що
Cn =
j⋃
i=1
∆
(
η
(i)
1 ; η
(i)
2 ; . . . ; η(i)n
)
.
Маємо:
lim
l→∞
Nl(xk;Cn)
l
=
j∑
r=1
lim
l→∞
Nl
(
xk; ∆
(
η
(r)
1 ; . . . ; η
(r)
n
))
l
=
=
j∑
r=1
lim
l→∞
λ
(
∆
(
η
(r)
1 ; . . . ; η(r)n
))
= λ(Cn).
Аналогiчно доводиться, що
lim
l→∞
Nl(xk; C̃n)
l
= λ(C̃n),
де
C̃n =
[
∆Q2
α1α2...αn(1)
b = ∆Q2
β1β2...βn(0)
]
.
Оскiльки
Nl(xk; C̃n)
l
≤ Nl(xk; (a; b))
l
≤ Nl(xk;Cn)
l
∀n ∈ N,
то перейшовши до границi l→ +∞ i врахувавши, що
lim
l→∞
λ(Cl) = b− a = lim
l→∞
λ(C̃l),
отримаємо:
lim
l→∞
Nl(xk; (a; b))
l
= b− a.
�
Теорема 10. Число
z = ∆Q2
α1α2α3...
є Q2-нормальним тiльки тодi, коли послiдовнiсть (gn(z)) є рiв-
номiрно розподiленою.
34 М.В. Працьовитий, Р.В. Кривошия, О.П. Макарчук
Доведення. Нехай (gn(z)) рiвномiрно розподiлена. Зрозумi-
ло, що Nn(gk(z); ∆(γ1; γ2; . . . ; γl)) дорiвнює кiлькостi блокiв
(γ1; γ2; . . . ; γl) серед цифр α1, α2, . . . , αn, тому що число ∆Q2
η1η2...
належить вiдрiзку ∆(γ1; γ2; . . . ; γl) лише тодi, коли ηr = γr для
кожного r ∈ {1; . . . ; l}.
Маємо:
Nn(z; (γ1; . . . ; γl))
n
=
Nn(gk(z); ∆(γ1; . . . ; γl))
n
→ λ(∆(γ1; . . . ; γl)) =
l∏
j=1
qγj (n→ +∞),
тобто z є Q2-нормальним.
Нехай z є Q2-нормальним, тодi для кожного Q2-цилiндра
∆(γ1; . . . ; γl) маємо:
Nn(gk(z); ∆(γ1; . . . ; γl))
n
=
Nn(z; (γ1; . . . ; γl))
n
→
l∏
j=1
qγj =
= λ(∆(γ1; . . . ; γl))(n→ +∞),
i на основi попередньої леми отримаємо потрiбне. �
Лiтература
[1] Кейперс Л.,Ниддерейтер Г. Равномерно распределение по-
следовательностей: Пер.с англ./ Под ред. С. М. Ермакова. –
М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1985. – 408 с.
[2] Турбин А.Ф.,Працевитый Н.В. Фрактальные множества,
функции, распределения // Киев: Наук.думка. – 1992. –
2008 с.
[3] De Bruijn N.G., Post K. A. A remark on uniformly distributet
sequences and Riemann integrability // Indag.Math. – 1968. –
30. – p.149-150.
Перетворення та дискретнi динамiчнi системи 35
[4] Borel.E Les probabilies denombrables et leurs applications ari-
thmetiques. — Rend. Circ. Mat. Palermo, 1909, p. 247-271.
[5] Borel.E Lecons sur la theorie des fonctions // 2nd ed. – Paris:
Gauthier – Villars. – 1914.
[6] Weil.H Uber die Gibbssche Erscheinung und verwandte
Konvergenzphanomene // Rend. Circ. Math. Palermo. – 1910.
– 30. – P. 377-407.
[7] Weil.H Uber ein Problem aus dem Gebiete der diophantischen
Approximationen // Nachr. Ges. Wiss. Gottingen, Math.-phys.
Kl. – 1914, P. 234-244
[8] Weil.H Uber die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins //
Math. Ann. – 1916. – 77. – P. 313-352.
[9] Niven I., Zuckerman H.S. On the definition of normal numbers
// Pacific J. Math. – 1951. – 1. – P. 103-109.
[10] Ries F. Sur la theorie ergodique // Comment. Math. Helv.,
1944/45. – 17. – P. 221-239.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-445 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:07:33Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/fb/512270e161a2ffb90c5c2124add979fb.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-4452023-03-02T07:56:21Z Перетворення та дискретні динамічні системи на [0; 1], що зберігають рівномірний розподіл послідовностей Працьовитий, М. В. Кривошия, Р. В. Макарчук, О. П. In the paper, we consider some sufficient conditions for functionsfrom $[0,1]$ to $R$ to preserve a property of uniform distribution ofsequences. We study the relation between $Q_{2}$-normal numbers andsequences produced by shift operator for digits of$Q_{2}$-representation of numbers. В роботі розлядається ряд достатніх умов збереження властивості рівномірного розподілу послідовностей для функцій, щодіють з $[0;1]$ в $R$. Досліджується зв'язок між $Q_{2}$-нормальними числами та послідовностями, продукованими оператором зсуву по відношенню до відповідних чисел. Інститут математики НАН України 2019-12-26 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/445 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 16 No. 3 (2019): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 19-35 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 16 № 3 (2019): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 19-35 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 16 № 3 (2019): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 19-35 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/445/442 Авторське право (c) 2019 М.В. Працьовитий, Р.В. Кривошия, О.П. Макарчук http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Працьовитий, М. В. Кривошия, Р. В. Макарчук, О. П. Перетворення та дискретні динамічні системи на [0; 1], що зберігають рівномірний розподіл послідовностей |
| title | Перетворення та дискретні динамічні системи на [0; 1], що зберігають рівномірний розподіл послідовностей |
| title_full | Перетворення та дискретні динамічні системи на [0; 1], що зберігають рівномірний розподіл послідовностей |
| title_fullStr | Перетворення та дискретні динамічні системи на [0; 1], що зберігають рівномірний розподіл послідовностей |
| title_full_unstemmed | Перетворення та дискретні динамічні системи на [0; 1], що зберігають рівномірний розподіл послідовностей |
| title_short | Перетворення та дискретні динамічні системи на [0; 1], що зберігають рівномірний розподіл послідовностей |
| title_sort | перетворення та дискретні динамічні системи на [0; 1], що зберігають рівномірний розподіл послідовностей |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/445 |
| work_keys_str_mv | AT pracʹovitijmv peretvorennâtadiskretnídinamíčnísistemina01ŝozberígaûtʹrívnomírnijrozpodílposlídovnostej AT krivošiârv peretvorennâtadiskretnídinamíčnísistemina01ŝozberígaûtʹrívnomírnijrozpodílposlídovnostej AT makarčukop peretvorennâtadiskretnídinamíčnísistemina01ŝozberígaûtʹrívnomírnijrozpodílposlídovnostej |