Лебегівські властивості розподілу випадкової величини з незалежними s-ковими цифрами
The paper discusses the criterion of Holder and Lipschitz conditions for the distribution function of the random variable $\psi $ with independent s-adic digits.
Saved in:
| Date: | 2019 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2019
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/446 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552947793002496 |
|---|---|
| author | Макарчук, О. П. |
| author_facet | Макарчук, О. П. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "О. П. Макарчук",
"institution": "Центральноукраїнський державний педагогічний університет імені В. Винниченка, м. Кропивницький"
}
] |
| author_sort | Макарчук, О. П. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-03-02T07:56:21Z |
| description | The paper discusses the criterion of Holder and Lipschitz conditions for the distribution function of the random variable $\psi $ with independent s-adic digits. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:07:32Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2019, т. 16, № 3, 36–59
УДК 519.21
О. П. Макарчук
Центральноукраїнський державний педагогiчний унiверситет
iменi В. Винниченка, м. Кропивницький; makolpet@gmail.com
Лебегiвськi властивостi розподiлу
випадкової величини з незалежними
s-ковими цифрами
In the paper, we consider random variable ψ with independent s-
adic digits. The necessary and sufficient conditions for the probability
distribution function of ψ to satisfy Lipschitz and Hölder conditions
are discussed.
У роботi розглядається випадкова величини ψ з незалежними s-
ковими цифрами. Вивчаються (або: обговорюються) необхiднi й
достатнi умови, коли функцiя розподiлу ψ задовольняє умови Лi-
пшиця i Гьольдера.
Вступ
Нехай ψk – послiдовнiсть незалежних випадкових величин, якi
набувають значень 0,1,...,s−1 з ймовiрностями p0k, p1k, ..., p(s−1)k
вiдповiдно.
Випадкова величина
ψ =
∞∑
k=1
ψks
−k
c© О.П. Макарчук, 2019
Лебегiвськi властивостi розподiлу випадкової величини 37
називається випадковою величиною з незалежними s-ими ци-
фрами.
За теоремою Джессена-Вiнтнера [11] випадкова величина ψ
має чистий розподiл, тобто або чисто дискретний, або чисто аб-
солютно неперервний, або чисто сингулярний.
За теоремою П.Левi [12] розподiл ψ дискретний тодi i тiльки
тодi, коли
∞∏
k=1
max{pik}
0≤i≤s−1
> 0.
Задача про тип розподiлу випадкової величини ψ повнiстю
розв’язана Чатерджi [10], а пiзнiше ця ж задача розв’язується в
роботi Марсальї [13].
Теорема 1. Випадкова величина ψ має чистий розподiл, при-
чому
1)дискретний тодi i тiльки тодi, коли
∞∏
k=1
max{ p0n; p1n; ...; p(s−1)n} > 0; (1)
2) абсолютно неперервний тодi i тiльки тодi, коли
+∞∑
k=1
((p0k −
1
s
)2 + ...+ (p(s−1)k −
1
s
)2) < +∞; (2)
3)сингулярний тодi i тiльки тодi коли
∞∏
k=1
max{pik}0≤i≤s−1 = 0;
∞∑
k=1
((p0k − 1
s )2 + ...+ (p(s−1)k − 1
s )2) = +∞.
38 О.П. Макарчук
2.Умови Лiпшиця i Гьольдера для функцiї
розподiлу випадкової величини з незалежни-
ми s-ими цифрами.
Теорема 2. Якщо Fψ(x) задовольняє умову Лiпшиця, тобто
iснує стала L > 0 така, що
|Fψ(x2)− Fψ(x1)| ≤ L|x2 − x1|∀x1, x2 ∈ R,
то
∞∑
k=1
(max{pik}
0≤i≤s−1
−1
s
) < +∞.
Доведення. Нехай (αk) — послiдовнiсть така, що для кожного
натурального k:
αk ∈ {0, ..., s− 1} = As
i
pαkk = max{p0k; ...; p(s−1)k}.
Якщо Fψ(x) задовольняє умову Лiпшиця, то, очевидно, розподiл
ψ неперервний.
Зрозумiло, що
Fψ(∆s
α1α2...αn(s−1))− Fψ(∆s
α1α2...αn(0)
) =
P{ψ ∈ [∆s
α1α2...αn(0)
; ∆s
α1α2...αn(s−1)]} =
= P{ψ1 = α1}P{ψ2 = α2}...P{ψn = αn}P{ψn+1 ∈ As}P{ψn+2 ∈ As}... =
= pα11pα22...pαnn.
Оскiльки
∆s
α1α2...αn(s−1) −∆s
α1α2...αn(0)
=
1
sn
,
то за умовою
Fψ(∆s
α1α2...αn(s−1))− Fψ(∆s
α1α2...αn(0)
) ≤ L
sn
,
Лебегiвськi властивостi розподiлу випадкової величини 39
тобто
snpα11pα22...pαnn ≤ L,∀n ∈ N.
Позначимо
bn = snpα11pα22...pαnn,
тодi для кожного натурального n:
bn+1
bn
= spαn+1(n+1) = smax{p0(n+1); ...; p(s−1)(n+1)} ≥ 1.
Отже, для кожного n ∈ N :
bn ≤ bn+1 ≤ L,
тобто послiдовнiсть (bn) збiжна, а тому
∞∏
k=1
(smax{p0k; ...; p(s−1)k}) > 0.
Оскiльки
smax{p0k; ...; p(s−1)k} ≥ 1,
то маємо:
∞∑
k=1
(smax{p0k; ...; p(s−1)k} − 1) < +∞,
тому
∞∑
k=1
(max{p0k; ...; p(s−1)k} −
1
s
) < +∞.
�
Теорема 3. Якщо
∞∑
k=1
(max{p0k; ...; p(s−1)k} −
1
s
) <∞,
40 О.П. Макарчук
то Fψ(x) задовольняє умову Лiпшиця з сталою
L =
∞∏
k=1
(smax{p0k; ...; p(s−1)k}),
яка є непокращуваною.
Доведення.
Нехай (αk) — послiдовнiсть така, що для кожного натураль-
ного k:
αk ∈ {0, ..., s− 1} = As
i
pαkk = max{p0k; ...; p(s−1)k}.
Якщо
∞∑
k=1
(max{p0k; ...; p(s−1)k} −
1
s
) < +∞,
то
lim
k→∞
max{p0k; ...; p(s−1)k} =
1
s
,
тому
∞∏
k=1
max{pik}
0≤i≤s−1
= 0
i за теоремою П.Левi розподiл ψ неперервний.
Оскiльки
smax{p0k; ...; p(s−1)k} ≥ 1,
то маємо:
L =
∞∏
k=1
(smax{p0k; ...; p(s−1)k}) > 0,
звiдки
snpα11pα22...pαnn ≤ L,∀n ∈ N.
Лебегiвськi властивостi розподiлу випадкової величини 41
Зрозумiло, що для заданого n ∈ N i m ∈ {0, 1, ..., sn−1}, iснують
β1, β2, ..., βn ∈ As такi, що
m
sn
= ∆s
β1β2...βn(0)
,
тодi
m+ 1
sn
= ∆s
β1β2...βn(s−1).
Маємо:
Fψ(
m+ 1
sn
)− Fψ(
m
sn
) = P{ψ ∈ [∆s
β1β2...βn(0)
; ∆s
β1β2...βn(s−1)]} =
= pβ11pβ22...pβnn ≤ pα11pα22...pαnn ≤
L
sn
Нехай m, k ∈ {0, 1, ..., sn − 1}. Якщо m > k, то враховуючи
останню нерiвнiсть маємо:
(Fψ(
m
sn
)−Fψ(
k
sn
)) =
m−k−1∑
i=0
(Fψ(
m− i
sn
)− Fψ(
m− i− 1
sn
)) ≤ L(m− k)
sn
.
Якщо m = k, то
Fψ(
m
sn
)− Fψ(
k
sn
) =
m
sn
− k
sn
.
Отже
Fψ(
m
sn
)− Fψ(
k
sn
) ≤ Lm
sn
− Lk
sn
∀m, k ∈ {0, 1, ..., sn − 1},m ≥ k.
Нехай x2, x1 ∈ [0; 1), x2 ≥ x1.
Зрозумiло, що [snx2] ≥ [snx1] i [snt] ≤ snt ∀n ∈ N , тому iснує
n0 ∈ N :
[snx2] ≤ sn − 1 ∀n > n0.
Маємо:
Fψ(
[snx2]
sn
)− Fψ(
[snx1]
sn
) ≤ (
L[snx2]
sn
− L[snx1]
sn
) ∀n > n0 (3)
42 О.П. Макарчук
Оскiльки Fψ(x) неперервна i
[snxj ]
sn
= xj −
{snxj}
sn
→ xj(n→∞), j ∈ As,
то з нерiвностi (3) при n→∞ отримаємо:
Fψ(x2)− Fψ(x1) ≤ (x2 − x1) ∀x2, x1 ∈ [0; 1), x2 ≥ x1 (4)
Перейшовши до границi n→∞ в нерiвностi:
Fψ(1− 1
n
)− Fψ(x1) ≤ (1− 1
n
− x1), x1 ∈ [0; 1)
отримаємо:
Fψ(x2)− Fψ(x1) ≤ (x2 − x1) ∀x2, x1 ∈ [0; 1), x2 ≥ x1 (5)
Оскiльки функцiя Fψ(x) неспадна, то останню нерiвнiсть можна
переписати, у виглядi:
|Fψ(x2)− Fψ(x1)| ≤ L|x2 − x1| ∀x1, x2 ∈ [0; 1].
звiдки випливає, що Fψ(x) задовольняє умову Лiпшиця.
Оскiльки
Fψ(∆s
α1α2...αn(1)
)− Fψ(∆s
α1α2...αn(0)
)
1
sn
= snpα11pα22...pαnn → L(n→∞)
то стала L є непокращуваною.
� Враховуючи теореми 2 i 3 отримуємо наступний наслiдок.
Наслiдок 4. Функцiя Fψ(x) задовольняє умову Лiпшиця тодi i
тiльки тодi, коли
∞∑
k=1
(max{p0k; ...; p(s−1)k} −
1
s
) < +∞. (6)
В подальшому доведемо наступну лему.
Лебегiвськi властивостi розподiлу випадкової величини 43
Лема 5. Для довiльного стохастичного вектора (p1, p2, ..., ps)
виконується нерiвнiсть:
(p1 −
1
s
)2 + ...+ (ps −
1
s
)2 ≤ (s3 + s)(max{p1; ...; ps} −
1
s
)2.
Доведення. Зрозумiло, що iснують набори iндексiв j1, ..., jk i
i1, ..., il такi, що
{j1; ...; jk} ∪ {i1; ...; il} = As,
pj1 =
1
s
− xj1 , ..., pjk =
1
s
− xjk ,
pi1 =
1
s
+ yi1 , ..., pil =
1
s
+ yil ,
xj1 , ..., xjk , yi1 , ..., yil ≥ 0.
Оскiльки
p1 + p2 + ...+ ps = 1,
то
xj1 + ...+ xjk = yi1 + ...+ yil .
Не обмежуючи загальностi нехай
xj1 = max{xj1 ; ...;xjk}
i
yi1 = max{yi1 ; ...; yil}.
Маємо:
xj1 ≤ xj1 + ...+ xjk = yi1 + ...+ yil ≤ syi1 ,
звiдки
(p1 −
1
s
)2 + ...+ (ps −
1
s
)2 = x2j1 + ...+ x2jk + y2i1 + ...+ y2il ≤
sx2j1 + sy2i1 ≤ (s3 + s)y2i1 = (s3 + s)(max{p1; ...; ps} −
1
s
)2.
44 О.П. Макарчук
� З, вище доведеної леми, випливає, що з умови (6) випливає
умова (2), що не випадково, адже з виконання умови Лiпщиця
випливає абсолютна неперервнiсть вiдповiного розподiлу.
Однак, обернене твердження не є правильним, тобто випад-
кова величина ψ може мати абсолютно неперервний розподiл,
але не задовольняти умову Лiпшиця, про що свiдчить наступний
приклад:
p0n =
1
s
− 1
sn
, p(s−1)n =
1
s
+
1
sn
, p1n = ... = p(s−2)n =
1
s
∀n ∈ N.
Безумовно логiчно розглянути питання, при яких умовах
Fψ(x) задовольняє умову Гьольдера.
Потрiбно зазначити, що не кожна функцiя розподiлу її задо-
вольняє.
Розглянемо функцiю
g(x) =
0, якщо x ∈ [−∞; 0];
1
C(n+1)2
(x−1+ 1
2n )
1
n+1 +bn, якщо x∈ [1− 1
2n ; 1− 1
2n+1], n ∈ Z+;
1, якщо x ∈ [1; +∞];
де
C =
∞∑
k=1
1
2(k + 1)2
i (bk) — послiдовнiсть, задана рекурентим спiввiдношенням:
bk+1 = bk +
1
2C(k + 1)2
, b0 = 0.
Оскiльки
g(1− 1
2n
) = bn =
n∑
k=1
1
2C(k + 1)2
→ 1(n→∞),
то очевидно g(x) є функцiює розподiлу.
Лебегiвськi властивостi розподiлу випадкової величини 45
Однак, якщо припустити, що g(x) задовольняє умову Гьоль-
дера з показником λ i сталою L, то матимемо:
g(1− 1
2n+1 )− g(1− 1
2n )
(1− 1
2n+1 − (1− 1
2n ))λ
=
2λ(n+1)−1
C(n+ 1)2
→ +∞(n→ +∞),
маємо суперечнiсть.
Теорема 6. Якщо Fψ(x) задовольняє умову Гьольдера, тобто
iснують сталi L > 0 i γ ∈ (0; 1) такi, що
|Fψ(x2)− Fψ(x1)| ≤ L|x2 − x1|γ∀x1, x2 ∈ R,
то
lim
n→∞
n∑
k=1
ln(max{p0k; ...; p(s−1)k})
n
< 0.
Доведення. Нехай iснують сталi L > 0 i γ ∈ (0; 1) такi що
|Fψ(x2)− Fψ(x1)| ≤ L|x2 − x1|γ∀x1, x2 ∈ R,
Припустимо, що
lim
n→∞
n∑
k=1
ln(max{p0k; ...; p(s−1)k})
n
= 0,
тодi
lim
n→∞
n
√√√√ n∏
k=1
max{p0k; ...; p(s−1)k} = 1.
Розглянемо число ε ∈ (0; 1 − 1
sγ ), тодi iснує послiдовнiсть (nj)
натуральних чисел, така що
nj
√√√√ nj∏
k=1
max{p0k; ...; p(s−1)k} >
1
sγ
+ ε, ∀j ∈ N
46 О.П. Макарчук
тобто
nj∏
k=1
max{p0k; ...; p(s−1)k} > (
1
sγ
+ ε)nj , ∀j ∈ N
Нехай (αk) — послiдовнiсть, така що для кожного натурального
k:
αk ∈ As
i
pαkk = max{p0k; ...; p(s−1)k}.
Маємо:
Fψ(∆s
α1α2...αnj (1)
)− Fψ(∆s
α1α2...αnj (0)
)
1
sγn
= sγnpα11pα22...pαnjnj >
sγnj (
1
sγ
+ ε)nj = (1 + sγε)nj →∞(j →∞)
тобто умова не виконується для чисел x2 = ∆s
α1α2...αnj (1)
i x1 =
∆s
α1α2...αnj (0)
при достатньо великому натуральному j. Прийшли
до суперечностi. �
Лема 7. Якщо виконується умова
lim
k→∞
max{p0k; ...; p(s−1)k} = 1,
то функцiя Fψ(x) не задовольняє умову Гельдера.
Доведення. Позначимо
Sn =
n∑
k=1
ln(max{p0k; ...; p(s−1)k}).
Оскiльки
Sn+1 − Sn
n+ 1− n
= ln(max{p0(n+1); ...; p(s−1)(n+1)})→ 0(n→ +∞),
Лебегiвськi властивостi розподiлу випадкової величини 47
то за теоремою Штольця
lim
n→∞
n∑
k=1
ln(max{p0k; ...; p(s−1)k})
n
= 0,
i за теоремою 6 функцiя Fψ(x) не задовольняє умову Гельдера. �
Враховуючи попередню лему i теорему П.Левi маємо наступний
наслiдок
Наслiдок 8. Якщо
lim
k→∞
max{p0k; ...; p(s−1)k} = 1
i
∞∏
k=1
max{pik}
0≤i≤s−1
= 0,
то функцiя Fψ(x), будучи неперевною, не задовольняє умову
Гельдера.
Лема 9. Для довiльного натурального n i дiйсного x виконує-
ться рiвнiсть
Fψ(x)=
∑
α1,...,αn
α1,...,αn∈{0,...,s−1}
pα11·. . .·pαnnFWn(snx−(sn−1α1+s
n−2α2+...+αn)),
де
Wn =
ψn+1
s1
+
ψn+2
s2
+ ....
Доведення. Якщо випадковi величини χ1 i χ2 незалежнi, причому
випадкова величина χ1 набуває значень a1, a2, ... з ймовiрностями
q1, q2, ... вiдповiдно, то для дiйсного k > 0 маємо:
Fχ1+
χ2
k
(x) =
∑
j
P{ χ1 = aj}P{ aj+
χ2
k
< x} =
∑
j
qjFχ2(k(x−aj)).
48 О.П. Макарчук
Оскiльки
ψ = ηn +
Wn
sn
,
де випадкова величина
ηn =
ψ1
s1
+
ψ2
s2
+ ...
ψn
sn
набуває значень
α1
s1
+
α2
s2
+ ...+
αn
sn
з ймовiрностями
pα11 · pα22 · ...pαnn
по всiм наборами (α1, α2, . . . , αn) таким, що (α1, α2, . . . , αn ∈
{0, ..., s− 1}) вiдповiдно, то маємо потрiбне. �
Лема 10. Якщо для чисел a, b, x, y ∈ [0; 1] виконуються нерiв-
ностi
|x− y| ≥ τ ;
a = max{a; b} ≤ η
для деяких додатних чисел τ i η, то
|ax− by| ≤ (η +
η
τ
)|x− y|.
Доведення. Зрозумiло, що
|ax− by
x− y
| = |a+
ay − by
x− y
| ≤ |a|+ |a− b||y|
|x− y|
≤ a+
a
|x− y|
≤ η +
η
τ
,
звiдки i випливає потрiбне.
�
Лема 11. Якщо 2 < s ∈ N i ρ∗ > 0, λ ∈ (0; 1), то для кожного
z ∈ [1s ; 2
s ]
1 + ρ∗z ≤ Azλ
Лебегiвськi властивостi розподiлу випадкової величини 49
де
A = max{ϕ(
1
s
);ϕ(
2
s
)},
причому
ϕ(t) =
1
tλ
+ ρ∗z1−λ.
Доведення. Оскiльки
ϕ′(t) = −λt−λ−1 + ρ∗(1− λ)t−λ =
t−λ(ρ∗(1− λ)t− λ)
t
,
то легко бачити, що
max
z∈[ 1
s
; 2
s
]
ϕ(z) = max{ϕ(
1
s
);ϕ(
2
s
)}
�
Теорема 12. Якщо
lim
n→∞
max{p0k; ...; p(s−1)k}) = γ < 1, (7)
i
lim
n→∞
max{p0k; ...; p(s−1)k}) = ρ > 0, (8)
то Fψ(x) задовольняє умову Гьольдера, а саме: для кожного λ ∈
(0;− logs γ) iснує додатне дiйсне число C(λ) таке, що
|Fψ(x2)− Fψ(x1)| ≤ C(λ)|x2 − x1|λ ∀x1, x2 ∈ R.
Доведення. Нехай γ1 ∈ (γ; 1) тодi iснує натуральне n0 таке, що
max{p0k; ...; p(s−1)k}) < γ1 ∀k > n0.
Покажемо, що
|FWn0
(x2)− FWn0
(x1)| ≤ C1|x2 − x1|− logs γ1 ∀x1, x2 ∈ R.
50 О.П. Макарчук
Нехай
∆s
0,β1β2...βlδl+1δl+2...
= x1 > x2 = ∆s
0,β1β2...βlρl+1ρl+2...
(δl+1 6= ρl+1).
Зрозумiло, що
[slx1] = sl−1β1 + sl−2β2 + ...+ βl = [slx2]
i за лемою 9 маємо:
|FWn0
(x1)− FWn0
(x2)| =
= pβ1(n0+1+l) · . . . · pβn(n0+1+l)|FWn0+l
(x∗1)− FWn0+l
(x∗2)| ≤
≤ γl1|FWn0+l
(x∗1)− FWn0+l
(x∗2)|,
де
x∗1 = {slx1} = ∆s
0,δl+1δl+2...
i
x∗2 = {slx2} = ∆s
0,ρl+1ρl+2...
.
Розглянемо випадки.
1) δl+1 − ρl+1 > 1.
Оскiльки
x∗1 − x∗2 ≥
2
s
−
+∞∑
n=2
s− 1
sn
=
1
s
i
FWn0+l
(x∗1)− FWn0+l
(x∗2) ≤ 1,
то
FWn0+l
(x∗1)− FWn0+l
(x∗2) ≤ s(x∗1 − x∗2) ≤ s(x∗1 − x∗2)− logs γ1 .
1) δl+1 − ρl+1 = 1. Оскiльки
x∗1 > x∗2,
Лебегiвськi властивостi розподiлу випадкової величини 51
то можливi два випадки.
A) Iснує натуральне число m таке, що
δl+1+m − ρl+1+m < s− 1
i для кожного 1 < j < m:{
δl+1+j = 0;
ρl+1+j = s− 1,
тобто
x∗1 = ∆s
0,(ρl+1+1)0, ..., 0︸ ︷︷ ︸
m
δl+1+m...
i
x∗2 = ∆s
0,ρl+1 s− 1, ..., s− 1︸ ︷︷ ︸
m
ρl+1+m...
.
Маємо:
[smx∗1]− [smx∗2] =
(ρl+1+1)sm−1−(ρl+1s
m−1+(s−1)sm−2+(s−1)sm−3...+s−1) = 1
i за лемою 9 маємо:
|FWn0
(x∗1)− FWn0
(x∗2)| =
p(ρl+1+1)(n0+1+l) · p0(n0+2+l) · ...p0(n0+1+m+l)FWn0+l+m
(x∗∗1 )−
−pρl+1(n0+1+l)·p(s−1)(n0+2+l)·...p(s−1)(n0+1+m+l)(FWn0+l+m
(x∗∗2 )−1) ≤
pρl+1(n0+1+l) · p(s−1)(n0+2+l) · ...p(s−1)(n0+1+m+l)+
+|p(ρl+1+1)(n0+1+l) · p0(n0+2+l) · ...p0(n0+1+m+l)FWn0+l+m
(x∗∗1 )−
−pρl+1(n0+1+l) · p(s−1)(n0+2+l) · ...p(s−1)(n0+1+m+l)(FWn0+l+m
(x∗∗2 )|,
де
x∗∗1 = {smx∗1} = ∆s
0,0δl+1+m...
,
x∗∗2 = {smx∗2} = ∆s
0,(s−1)ρl+1+m...
.
52 О.П. Макарчук
Зрозумiло, що
FWn0+l+m
(x∗∗2 )−FWn0+l+m
(x∗∗1 ) ≥ FWn0+l+m
(∆s
0,s−1)−FWn0+l+m
(∆s
0,1) =
= p(s−2)(n0+1+m+l) + ...+ p1(n0+1+m+l) ≥ ρ,
s− 1
s
≥ x∗∗2 − x∗∗1 ≥
s− 2
s
,
smx∗1−smx∗2 = [smx∗1]−[smx∗2]+{smx∗1}−{smx∗2} ∈ [1−s− 1
s
; 1−s− 2
s
] ≡ [
1
s
;
2
s
]
i за лемою 10 та 11
|FWn0
(x∗1)−FWn0
(x∗2)| ≤ γm1 +(1+
1
ρ
)γm1 |x∗∗2 −x∗∗1 | = γm1 +(1+
1
ρ
)γm1 |{smx∗2}−{smx∗1}| =
γm1 +(1+
1
ρ
)γm1 | smx∗2−smx∗1−[smx∗2]+[smx∗1]| = γm1 +(1+
1
ρ
)γm1 | 1+sm(x∗1−x∗2)| ≤
≤ γm1 +(1+
1
ρ
)γm1 | sm(s2+1)(x∗1−x∗2)| = γm1 (1+(s2+1+
s2 + 1
ρ
))|smx∗1−smx∗2| ≤
≤ Aγm1 |smx∗1 − smx∗2|− logs γ1 = A|x∗1 − x∗2|− logs γ1 ,
де
A = max{g(
1
s
); g(
2
s
)},
g(t) = tlogs γ1 + (s2 + 1 +
s2 + 1
ρ
)t1+logs γ1 .
B)Виконуються рiвностi:
x∗1 = ∆s
0,(ρl+1+1)δl+1...
i
x∗2 = ∆s
0,ρl+1ρl+1...
,
де
δl+1 − ρl+1 < s− 1
Лебегiвськi властивостi розподiлу випадкової величини 53
Оскiльки
x∗1 − x∗2 ≥
1
s
−
+∞∑
n=2
s− 1
sn
+
1
s2
=
1
s2
,
то
FWn0+l
(x∗1)− FWn0+l
(x∗2) ≤ 1 ≤ s2(x∗1 − x∗2) ≤ s2(x∗1 − x∗2)− logs γ1 .
Отже,
FWn0+l
(x∗1)− FWn0+l
(x∗2) ≤ B(x∗1 − x∗2)− logs γ1 ,
де
B = max{g(
1
s
); g(
2
s
); s2}.
Маємо: |FWn0
(x1)− FWn0
(x2)| =
= γl1|FWn0+l
(x∗1)− FWn0+l
(x∗2)| ≤ γl1B({slx1} − {slx2})− logs γ1 =
= γl1B(slx1 − slx2)− logs γ1 = B(x1 − x2)− logs γ1 .
Враховуючи лему 9 маємо:
|Fψ(z1)− Fψ(z2)| =
∑
α1,α2,...,αn
α1,α2,...,αn∈{0,...,s−1}
pα11 · pα22 · ...pαnn×
×
∣∣FWn0
(snz1 − (sn−1α1 + sn−2α2 + ...+ αn))−
−FWn0
(snz2 − (sn−1α1 + sn−2α2 + ...+ αn))
∣∣ ≤∑
α1,α2,...,αn
α1,α2,...,αn∈{0,...,s−1}
pα11·pα22·...pαnn×((sn0)− logs γ1
∑
j
B|z1−z2|− logs γ1) =
=
B
γn0
1
|z1 − z2|− logs γ1 .
�
54 О.П. Макарчук
Теорема 13. Нехай
lim
k→∞
min{p0k; ...; p(s−1)k} > 0,
lim
k→+∞
max{p0k; ...; p(s−1)k} = γ < 1.
Якщо
lim
k→∞
k∑
j=1
(max{p0j ; ...; p(s−1)j} − γ) < +∞,
то Fψ(x) задовольняє умову Гьольдера з показником − logs γ,
який є непокращуваним.
Якщо
lim
k→∞
k∑
j=1
(max{p0j ; ...; p(s−1)j} − γ) = +∞,
то Fψ(x) задовольняє умову Гьольдера з довiльним показником
λ ∈ (0;− logs γ), але не задовольняє умову Гьольдера з показни-
ком − logs γ.
Доведення. Нехай
εj = max{p0j ; ...; p(s−1)j} − γ
i
lim
k→∞
k∑
j=1
(max{p0j ; ...; p(s−1)j} − γ) < +∞,
тодi iснує стала C така, що
k∑
j=1
εj < C, ∀k ∈ N,
Можливi два випадки:
Лебегiвськi властивостi розподiлу випадкової величини 55
1) виконується умова:
D =
+∞∑
j=1
εj < +∞.
Нехай δ — достатньо мале додатне число, тодi iснуєM ∈ N таке,
що
k∑
j=1
εj ∈ (D − δ;D + δ) ∀j > M, j ∈ N.
Для довiльних натуральних r > l > M маємо:
∑
l≤j≤r
εj =
r∑
j=1
εj −
l∑
j=1
εj > D − δ − (D + δ) = −2δ;
∑
l≤j≤r
εj =
r∑
j=1
εj −
l∑
j=1
εj < D + δ − (D − δ) = 2δ;
Позначимо
E = max
l≤j≤r≤M
{
∑
l≤j≤r
εj},
тодi ∑
l≤j≤r
εj < max{E; 2δ} = G ∀l, r ∈ N.
Зрозумiло, що
r∏
j=l
max{p0j ; ...; p(s−1)j} =
=
r∏
j=l
(εj + γ) ≤ γl−r
r∏
j=l
(1 +
εj
γ
) ≤ γl−re
∑
l≤j≤r
εj
γ ≤ γl−re
G
γ .
2) виконується умова:
+∞∑
j=1
εj = −∞.
56 О.П. Макарчук
Iснує K ∈ N таке, що
εj < 0 ∀j > K, j ∈ N.
Позначимо
H = max
l≤j≤r≤K
{
∑
l≤j≤r
εj},
тодi ∑
l≤j≤r
εj < max{K; 0} = T ∀l, r ∈ N.
Зрозумiло, що
r∏
j=l
max{p0j ; ...; p(s−1)j} =
r∏
j=l
(εj + γ) ≤ γl−r
r∏
j=l
(1 +
εj
γ
) ≤ γl−re
T
γ .
Отже, для константи L = max{e
G
γ ; e
T
γ } маємо:
r∏
j=l
max{p0j ; ...; p(s−1)j} ≤ Lγl−r ∀l ≥ r ∈ N
i враховуючи доведення теореми 12 легко бачити, що
|Fψ(x1)− Fψ(x2)| ≤ |z1 − z2|− logs γ ∀x1, x2 ∈ R
Покажемо, що показник − logs γ є непокращуваним. Припустимо
протилежне, тобто Fψ(x) задовольняє умову Гьольдера з пока-
зником − logs γ1, де γ1 < γ.
Нехай (αk) — послiдовнiсть, така що для кожного натураль-
ного k:
αk ∈ As
i
pαkk = max{p0k; ...; p(s−1)k}.
Лебегiвськi властивостi розподiлу випадкової величини 57
Оскiльки для довiльних z1, z2, ..., zn ∈ [−1; 1] виконується нерiв-
нiсть
(1− z1)(1− z2)...(1− zn) ≥ 1− (z1 + z2 + ...+ zn),
то маємо:
Fψ(∆s
α1α2...αn(s−1))− Fψ(∆s
α1α2...αn(0)
)
(1s )− logs γ1
=
n∏
i=1
(
γ
γ1
+
εi
γ1
) ≥
≥
n∑
i=1
(
γ
γ1
+
εi
γ1
)→ +∞(n→∞).
Нехай
lim
k→∞
k∑
j=1
(max{p0j ; ...; p(s−1)j} − γ) = +∞.
Враховуючи теорему 12 легко бачити, що Fψ(x) задовольняє
умову Гьольдера з довiльним показником λ ∈ (0;− logs γ).
Покажемо, що Fψ(x) не задовольняє умову Гьольдера з пока-
зником − logs γ. Припустимо протилежне.
Зрозумiло, що iснує послiдовнiсть натуральних чисел (nk) та-
ка, що
lim
k→+∞
εnk = +∞.
Маємо:
Fψ(∆s
α1α2...αnj (s−1)
)− Fψ(∆s
α1α2...αnj (0)
)
(1s )− logs γ
=
nj∏
i=1
(1 +
εi
γ
) ≥
≥
nj∑
i=1
(1 +
εi
γ
)→ +∞(j →∞).
�
58 О.П. Макарчук
Потрiбно вiдмiтити, що умови (7) та (8) не є необхiдними для
того, щоб Fψ(x) задовольнала умову Гьольдера. Наведемо вiдпо-
вiдний приклад.
Нехай δ — достатньо мале додатне число i
(p0k; ...; p(s−1)k) =
{
(1s ; 1
s ; ...; 1
s ; 1
s − δ;
1
s + δ), якщо k — парне;
(1− 1
2n ; 0; ...; 0; 1
2n), якщо k — непарне
Маємо:
ψ = η1 + η2,
де
η1 =
+∞∑
j=1
ψ2j
(s2)j
,
η2 =
+∞∑
j=1
ψ2j−1
s2j−1
,
Враховуючи теорему 12 легко бачити, що Fη1(x) задовольняє
умову Гьольдера показником λ ∈ (0;− logs γ).
Лiтература
[1] Гочаренко Я.В, Працьовитий М.В, Торбiн Г.М. Тополого-
метричнi та фрактальнi властивостi згортки двох сингуляр-
них розподiлiв випадкових величин з незалежними двiйко-
вими цифрами // Теор. ймов. та мат. стат.– 2002.– Вип.– 67.–
С. 9-13.
[2] Литвинюк А.А. Про типи розподiлiв сум одного класу ви-
падкових степеневих рядiв з незалежними однаково розпо-
дiленими коефiцiєнтами // Укр. мат. журнал, 1999.– 51. –
№1.– С. 128-132.
[3] Працьовитий М.В. Розподiли сум випадкових степеневих
рядiв // Доп. НАН України.– 1996.– №5.– С. 32-37.
Лебегiвськi властивостi розподiлу випадкової величини 59
[4] Працьовитий М.В. Фрактальний пiдхiд у дослiдженнях
сингулярних розподiлiв // Київ: Вид-во НПУ iменi М.П
Драгоманова.– 1998.– 296 с.
[5] Турбин А.Ф.,Працевитый Н.В. Фрактальные множества,
функции, распределения.– Киев: Наук. думка, 1992.– 208 с.
[6] Винишин Я.Ф, Морока В.А. О функции распределения сум-
мы случайных степенных рядов // Стохастический анализ
и его приложения – Киев: Ин-т математики АН УССР, 1989.
– С. 17-25.
[7] Лукач Е. Характеристические функции.– М.: Наука, 1979.–
424 с.
[8] Натансон И. Теория функций вещественной переменной //
М: Наука.– 1974. – 480 с.
[9] Albeverio S.,Goncharenko Ya.,Pratsiovyti M.,Torbin G.
Convolutions of distributions of random variables with
independent binary digits //Random Oper. Stochastic Equati-
ons, 2007.– 15.– №1.– P. 89-97.
[10] Chaterji S. Certain induced measures on the unit interval //
Journal London Math.Soc.– 1963.– 38.– P. 325-331.
[11] Jessen B., Wintner A. Distribution function and Riemann Zeta-
function // Trans. Amer. Math. Soc. 38.– 1935.– P. 48-88.
[12] Levy P. Sur les series dont les termes sont des variables
independantes // Studia math., 3.– 1931.– P. 119-155.
[13] Marsaglia G. Random variables with independent binary digits
// Ann. Math. Statist.– 1971.– №42.– P. 1922-1929.
[14] Salem R. On some singular monotonic function which are stricly
increasing // Trans. Amer. Math. Soc.– 1943.– Vol. 53.– P. 427-
439.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-446 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:07:32Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/27/a0778d5dcdf64f98413ffdfa9af5b827.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-4462023-03-02T07:56:21Z Лебегівські властивості розподілу випадкової величини з незалежними s-ковими цифрами Макарчук, О. П. The paper discusses the criterion of Holder and Lipschitz conditions for the distribution function of the random variable $\psi $ with independent s-adic digits. У роботі розглядаються критерії умов Ліпшиця і Гьольдера для функції розподілу випадкової величини $\psi$ з незалежними s-ими цифрами. Інститут математики НАН України 2019-12-26 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/446 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 16 No. 3 (2019): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 36-59 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 16 № 3 (2019): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 36-59 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 16 № 3 (2019): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 36-59 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/446/443 Авторське право (c) 2019 О.П. Макарчук http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Макарчук, О. П. Лебегівські властивості розподілу випадкової величини з незалежними s-ковими цифрами |
| title | Лебегівські властивості розподілу випадкової величини з незалежними s-ковими цифрами |
| title_full | Лебегівські властивості розподілу випадкової величини з незалежними s-ковими цифрами |
| title_fullStr | Лебегівські властивості розподілу випадкової величини з незалежними s-ковими цифрами |
| title_full_unstemmed | Лебегівські властивості розподілу випадкової величини з незалежними s-ковими цифрами |
| title_short | Лебегівські властивості розподілу випадкової величини з незалежними s-ковими цифрами |
| title_sort | лебегівські властивості розподілу випадкової величини з незалежними s-ковими цифрами |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/446 |
| work_keys_str_mv | AT makarčukop lebegívsʹkívlastivostírozpodíluvipadkovoíveličiniznezaležnimiskovimiciframi |