Лебегівські властивості розподілу випадкової величини, представленої s-ковим дробом з надлишковим набором цифр
In this paper we study the Lebesgue structure and the asymptotic properties of the characteristic function of the random variable representedby an $s$-adic fraction with a redundant set of digits.
Saved in:
| Date: | 2019 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2019
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/447 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552948856258560 |
|---|---|
| author | Макарчук, О. П. Сальник, К. С. |
| author_facet | Макарчук, О. П. Сальник, К. С. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "О. П. Макарчук",
"institution": "Центральноукраїнський державний педагогічний університет імені В. Винниченка, м. Кропивницький"
},
{
"author": "К. С. Сальник",
"institution": "Центральноукраїнський державний педагогічний університет імені В. Винниченка, м. Кропивницький"
}
] |
| author_sort | Макарчук, О. П. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-03-02T07:56:21Z |
| description | In this paper we study the Lebesgue structure and the asymptotic properties of the characteristic function of the random variable representedby an $s$-adic fraction with a redundant set of digits. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:07:33Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2019, т. 16, № 3, 60–78
УДК 519.21
О.П. Макарчук, К.С. Сальник
1Центральноукраїнський державний педагогiчний унiверситет
iменi В. Винниченка, м. Кропивницький; makolpet@gmail.com
2Центральноукраїнський державний педагогiчний унiверситет
iменi В. Винниченка, м. Кропивницький
Лебегiвськi властивостi розподiлу
випадкової величини, представленої
s-ковим дробом з надлишковим
набором цифр
In this paper we study the Lebesgue structure and the asymptotic
properties of the characteristic function of the random variable
represented by an s-adic fraction with a redundant set of digits.
У роботi дослiджується лебегiвська структура та асимптоти-
чнi властивостi характеристичної функцiї випадкової величини,
представленої s-ковим дробом з надлишковим набором цифр.
Вступ.
Нехай ξk — послiдовнiсть незалежних випадкових вели-
чин, якi набувають значень 0,1,...,m − 1 з ймовiрностями
p0k, p1k, ..., p(m−1)k вiдповiдно. Випадкова величина
ξ =
∞∑
k=1
ξks
−k
c© О.П. Макарчук, К. С. Сальник, 2019
Лебегiвськi властивостi розподiлу випадкової величини 61
називається випадковою величиною, зображеною s-им дробом з
надлишковим набором цифр.
За теоремою Джессена-Вiнтнера [11] випадкова величина ξ
має чистий розподiл, тобто чисто дискретний, або чисто абсолю-
тно неперервний, або чисто сингулярний.
За теоремою П. Левi [12] випадкова величина ξ має чисто
дискретний розподiл тодi i тiльки тодi, коли
∞∏
k=1
max{pik}
0≤i≤m−1
> 0 (1)
Якщо m < s i
∞∏
k=1
max{pik}
0≤i≤m−1
= 0,
то випадкова величина ξ має сингулярний розподiл канторiвсько-
го типу.
При m = s ξ є випадковою величиною з незалежними s-ими
цифрами, лебегiвська структура якої добре вивчена [6].
При m > s проблема визначення лебегiвського типу випад-
кової величини ξ є складною i нерозв’язаною повнiстю на даний
момент.
Характеристичною функцiєю випадкової величини ψ назива-
ється комплекснозначна функцiя
fψ(t) = M(eitψ),
де M(·) – математичне сподiвання.
Розглянемо величину
Lψ = lim
|t|→∞
sup |fψ(t)|.
Теорема 1. [2] Якщо розподiл випадкової величини ψ
1) дискретний, то
Lψ = 1;
62 О. П. Макарчук, Сальник К.С.
2) абсолютно неперервний, то
Lψ = 0;
3) сингулярний, то Lψ може набувати довiльного значення з
вiдрiзку [0; 1].
В роботi [9] Жиро навiв приклад сингулярного розподiлу ψ,
для якого Lψ = 0. Приклад характеристичної функцiї сингуляр-
ного розподiлу ψ, для якого Lψ = 1 наведено Вiнтнером в роботi
[11] та Єссеєном в [8]. Сингулярнi розподiли ψ, для яких Lψ
набуває заданого значення з вiдрiзку [0; 1] побудованi Шварцем
[10].
2. Лебегiвська структура розподiлу випадко-
вої величини, представленої s-ковим дробом
з надлишковим набором цифр.
Означення 1. Нехай n – натуральне число, m – невiд’ємне чи-
сло, яке не перевищує sn−1
s−1 ,
Для стохастичної матрицi ¯||p|| = (p0k, p1k, ..., p(m−1)k) розмi-
ру (m− 1)×+∞ означимо величину(число)
S
¯||p||
m,n =
∑
α1,α2,...,αn
α1
s1
+
α2
s2
+···+α2
s2
= m
sn
α1,α2,...,αr∈{0,...,m−1}
n∏
j=1
pαijj
за означенням покладемо для кожного натурального n i r < 0:
S
¯||p||
r,n = 0.
Лема 2. Нехай ¯||p|| = (p0k, p1k, ..., p(m−1)k) довiльна стохасти-
чна матриця (m− 1)×+∞, тодi для многочлена∑
l
a
(n)
l zl = hn(z) =
n∏
j=1
(
p0(n−j+1)+
Лебегiвськi властивостi розподiлу випадкової величини 63
+p1(n−j+1)z
si−1
+ . . .+ p(m−1)(n−j+1)z
(m−1)sj−1
)
.
виконується нерiвнiсть:
a
(n)
l ≤
n∏
i=1
max{
∑
0≤j≤m−1
j≡0(mods)
pjr; ...;
∑
0≤j≤m−1
j≡s−1(mods)
pjr} ∀n ∈ N.
Доведення.
Доведення проведемо за iндукцiєю по n.
При n = 1 маємо:
h1(z) = p01 + p11z
s0 + ...+ p(m−1)1z
(m−1)s0 ,
a
(1)
l = pl1 ≤
∑
0≤j≤m−1
j≡l(mods)
pj ≤
n∏
i=1
max{
∑
0≤j≤m−1
j≡0(mods)
pj1; ...;
∑
0≤j≤m−1
j≡s−1(mods)
pj1} .
Нехай твердження правильне для деякого натурального n,
тобто для многочлена
hn(z) =
n∏
j=1
(p0(n−j+1)+p1(n−j+1)z
si−1
+...+p(m−1)(n−j+1)z
(m−1)sj−1
) =
= (p0n+p1nz
s0+...+p(m−1)nz
(m−1)s0)·...·(p01+. . .+p(m−1)1z
(m−1)sn−1
)
виконується нерiвнiсть:
a
(n)
l ≤
n∏
i=1
max{
∑
0≤j≤m−1
j≡0(mods)
pjr; ...;
∑
0≤j≤m−1
j≡s−1(mods)
pjr}.
Зрозумiло, що
hn(zs) =
n∏
j=1
(p0(n−j+1)+p1(n−j+1)z
si+...+p(m−1)(n−j+1)z
(m−1)sj ) =
64 О. П. Макарчук, Сальник К.С.
= (p0n+p1nz
s1+...+p(m−1)nz
(m−1)s1)·...·(p01+. . .+p(m−1)1z
(m−1)sn),
hn+1(z) =
n∏
j=1
(p0(n−j+1)+p1(n−j+1)z
si−1
+...+p(m−1)(n−j+1)z
(m−1)sj−1
) =
= (p0(n+1)+. . .+p(m−1)(n+1)z
(m−1)s0)·...·(p01+. . .+p(m−1)1z
(m−1)sn)
звiдки
hn+1(z) = hn(zs)(p0(n+1) + p1(n+1)z
s0 + ...+ p(m−1)(n+1)z
(m−1)s0).
Отже,
a
(n+1)
l =
∑
l≡v(mods)
a
(n)
l−v · pv(n+1) ≤
≤
n∏
i=1
max{
∑
0≤j≤m−1
j≡0(mods)
pjr; ...;
∑
0≤j≤m−1
j≡s−1(mods)
pj(n+1)}
∑
0≤j≤m−1
j≡l(mods)
pjr ≤
≤
n∏
i=1
max{
∑
0≤j≤m−1
j≡0(mods)
pj(n+1);...;
∑
0≤j≤m−1
j≡s−1(mods)
pj(n+1)}·
·max{
∑
0≤j≤m−1
j≡0(mods)
pj(n+1); ...;
∑
0≤j≤m−1
j≡s−1(mods)
pj(n+1)}=
=
n+1∏
i=1
max{
∑
0≤j≤m−1
j≡0(mods)
pjr; ...;
∑
0≤j≤m−1
j≡s−1(mods)
pjr}.
Лему доведено. �
Лема 3. Якщо для нескiнченної стохастичної матрицi
||(p0k, ..., p(m−1)k)||, (k ∈ N) виконується умова
∞∑
n=1
(max{
∑
0≤j≤m−1
j≡0(mods)
pjn; ...;
∑
0≤j≤m−1
j≡s−1(mods)
pjn} −
1
s
) < +∞, (2)
Лебегiвськi властивостi розподiлу випадкової величини 65
то для кожного натурального n i r ∈ {0, 1, ..., (m− 1) · (sn − 1)}
виконується нерiвнiсть:
S
¯||p||
r,n ≤
C
sn
,
де
C =
∞∏
n=1
(s ·max{
∑
0≤j≤m−1
j≡0(mods)
pjn; ...;
∑
0≤j≤m−1
j≡s−1(mods)
pjn}). (3)
Доведення. Розглянемо вираз
g(z) =
n∏
j=1
(p0j + p1jz
1
sj + ...+ p(m−1)jz
(m−1)
sj ) =
= (p01+p11z
1
s1 +...+p(m−1)1z
(m−1)
s1 )·...·(p0n+p1nz
1
sj +...+p(m−1)nz
(m−1)
sn )
Нехай
g(z) =
∑
j
ajz
j
sn .
Якщо в k-ому (k ∈ {1, ..., n}) множнику добутку
g(z) =
n∏
j=1
(p0j + p1jz
1
sj + ...+ p(m−1)jz
(m−1)
sj )
взяти член pikkz
ik
sk , де ik ∈ {0, 1, ...,m − 1}, ∀k ∈ {1, ..., n} i всi цi
члени перемножити отримаємо вираз
zr
n∏
k=1
pikk,
де
r =
n∑
k=1
ik
sk
,
66 О. П. Макарчук, Сальник К.С.
тобто
asn·r =
∑ n∏
k=1
pαik−1
,
де сума береться по все можливим наборам (i1; i2; ...; in) для яких
r =
n∑
k=1
ik
sk
.
Отже,
asn·r = S
¯||p||
2n·r,n, s
n · r ∈ {0, 1, ..., (m− 1) · (sn − 1)} (4)
Розглянемо многочлен
h(z) =
n∏
i=1
(p0(n−i+1)+p1(n−i+1)z
si−1
+...+p(m−1)(n−i+1)z
(m−1)·si−1
).
Оскiльки
h(z) = g(zs
n
),
то враховуючи лему 2, маємо:
aj ≤
n∏
i=1
max{
∑
0≤j≤m−1
j≡0(mods)
pjr; ...;
∑
0≤j≤m−1
j≡s−1(mods)
pjr} ,
тому
S
¯||p||
r,n ≤
C
sn
.
Зрозумiло, що
∞∑
n=1
(max{
∑
0≤j≤m−1
j≡0(mods)
pjn; ...;
∑
0≤j≤m−1
j≡s−1(mods)
pjn} −
1
s
) < +∞,
Лебегiвськi властивостi розподiлу випадкової величини 67
звiдки
∞∑
n=1
(s ·max{
∑
0≤j≤m−1
j≡0(mods)
pjn; ...;
∑
0≤j≤m−1
j≡s−1(mods)
pjn} − 1) < +∞,
Оскiльки
p0k + p1k + ...+ p(m−1)k = 1,
то
s ·max{
∑
0≤j≤m−1
j≡0(mods)
pjn; ...;
∑
0≤j≤m−1
j≡s−1(mods)
pjn} ≥ 1,
тому
+∞ >
∞∏
n=1
(s ·max{
∑
0≤j≤m−1
j≡0(mods)
pjn; ...;
∑
0≤j≤m−1
j≡s−1(mods)
pjn}) = C.
Зрозумiло, що
k∏
n=1
(s ·max{
∑
0≤j≤m−1
j≡0(mods)
pjn; ...;
∑
0≤j≤m−1
j≡s−1(mods)
pjn}) ≤
≤
∞∏
n=1
(s ·max{
∑
0≤j≤m−1
j≡0(mods)
pjn; ...;
∑
0≤j≤m−1
j≡s−1(mods)
pjn}) = C.
Звiдки
k∏
n=1
(max{
∑
0≤j≤m−1
j≡0(mods)
pjn; ...;
∑
0≤j≤m−1
j≡s−1(mods)
pjn}) ≤
C
sk
,
тому
S
¯||p||
m,n ≤
C
sn
.
�
68 О. П. Макарчук, Сальник К.С.
Лема 4. Якщо розподiл випакдової величини ξ неперервний i
u = [m−1
s−1 ], то для кожного натурального n i довiльного m ∈
{0, 1, ..., (m− 1) · (sn − 1)}, виконується рiвнiсть
Fξ(
m+ 1
sn
)− Fξ(
m
sn
) =
S
¯||p||
r,n P{ Wn+1 ∈ [0; 1]}+ S
¯||p||
r−1,nP{ Wn+1 ∈ [1; 2]}+ ...+
+S
¯||p||
r−u,nP{ Wn+1 ∈ [u;u+ 1]},
де
Wn+1 =
∞∑
j=1
ξn+j
sj
.
Доведення.
Зрозумiло, що з неперервностi розподiлу випадкової величини
ξ випливає неперервнiсть розподiлу Wn+1.
Оскiльки
∞∑
j=1
αn+j
sj
∈ [0;
m− 1
(s− 1) · sn
],
якщо αn+j ∈ { 0, 1, ...,m − 1} для кожного натурального j, то
умова
ξ1
s1
+
ξ2
s2
+ ... ∈ [
m
sn
;
m+ 1
sn
]
може виконуватись лише тодi, коли
ξ1
s1
+
ξ2
s2
+ ...+
ξn
sn
=
r
sn
;
ξn+1
sn+1
+
ξn+2
sn+2
+ ... ∈ [0;
1
sn
];
........................................................................
ξ1
s1
+
ξ2
s2
+ ...+
ξn
sn
=
r − u
sn
;
ξn+1
sn+1
+
ξn+2
sn+2
+ ... ∈ [
u
sn
;
u+ 1
sn
].
Лебегiвськi властивостi розподiлу випадкової величини 69
зрозумiло, що для кожного h ∈ { 0, 1, ..., u} :
P{ ξ1
s1
+
ξ2
s2
+ ...+
ξn
sn
=
r − h
sn
} = S
¯||p||
r−h,n,
а також
P{ ξn+1
sn+1
+
ξn+2
sn+2
+... ∈ [
h
sn
;
h+ 1
sn
]} = P{ ξn+1
s1
+
ξn+2
s2
+... ∈ [h;h+1]},
звiдки i випливає потрiбне. �
Лема 5. Якщо виконується умова (2), то
Fξ(
m
sn
)−Fξ(
r
sn
) ≤ C(
m
sn
− r
sn
), ∀m, r ∈ {0, 1, ..., (m−1)·sn−2},m ≥ r
де константа C визначається рiвнiстю (3).
Доведення.
Оскiльки
∞∑
n=1
(max{
∑
0≤j≤m−1
j≡0(mods)
pjn; ...;
∑
0≤j≤m−1
j≡s−1(mods)
pjn} −
1
s
) < +∞,
то
lim
n→∞
max{
∑
0≤j≤m−1
j≡0(mods)
pjn; ...;
∑
0≤j≤m−1
j≡s−1(mods)
pjn} =
1
s
,
звiдки
∞∏
n=1
max{
∑
0≤j≤m−1
j≡0(mods)
pjn; ...;
∑
0≤j≤m−1
j≡s−1(mods)
pjn} = 0.
i за теоремою Левi розподiл ξ неперервний.
Враховуючи лему 3 та 4 отримаємо:
Fξ(
m+ 1
sn
)− Fξ(
m
sn
) =
70 О. П. Макарчук, Сальник К.С.
S
¯||p||
r,n P{ Wn+1 ∈ [0; 1]}+ S
¯||p||
r−1,nP{ Wn+1 ∈ [1; 2]}+ ...+
+S
¯||p||
r−u,nP{ Wn+1 ∈ [u;u+ 1]} ≤ C
sn
· P{ Wn+1 ∈ [0;u]} =
C
sn
.
Якщо m > r, то враховуючи останню нерiвнiсть маємо:
Fξ(
m
sn
)−Fξ(
r
sn
) =
m−r−1∑
i=0
(Fξ(
m− i
sn
)− Fξ(
m− i− 1
sn
))≤C(
m− r
sn
)
Лему доведено. �
Теорема 6. Якщо для нескiнченної стохастичної матрицi
||(p0k, ..., p(m−1)k)||, де (k ∈ N) виконується умова (2), то Fξ(x)
задовольняє умову Лiпшиця:
|Fξ(x1)− Fξ(x2)| ≤ C · |x1 − x2| ∀x1, x2 ∈ R,
де стала C визначається рiвнiстю (3).
Доведення. Нехай x2, x1 ∈ [0; m−1
s−1 ), x2 ≥ x1. Оскiльки
lim
n→∞
[snz]
sn
= z,
то iснує натуральне число N0 таке, що
[snx2] <
m− 1
s− 1
· sn − 2, ∀n ∈ N,n > N0
Враховуючи лему 5 маємо:
Fξ(
[snx2]
2n
)− Fξ(
[snx1]
2n
) ≤ C(
[snx2]
sn
− [snx1]
sn
) ∀n ∈ N,n > N0
Оскiльки функцiя Fξ(x) неперервна, то з попередньої рiвностi
при n→∞ маємо:
Fξ(x2)− Fξ(x1) ≤ C(x2 − x1) ∀x2, x1 ∈ [0;
m− 1
s− 1
), x2 ≥ x1.
Лебегiвськi властивостi розподiлу випадкової величини 71
Покажемо, що
Fξ(x2)− Fξ(x1) ≤ C(x2 − x1) ∀x2, x1 ∈ [0;
m− 1
s− 1
], x2 ≥ x1
для цього достатньо показати, що
Fξ(
m− 1
s− 1
)− Fξ(x1) ≤ C(
m− 1
s− 1
− x1) ∀x1 ∈ [0;
m− 1
s− 1
].
Оскiльки остання нерiвнiсть при x1 = m−1
s−1 виконується, розгля-
немо випадок, коли x1 ∈ [0; m−1
s−1 ). Зрозумiло, що iснує достатньо
велике натуральне число N1 таке, що
Fξ(
m− 1
s− 1
− 1
n
)− Fξ(x1) ≤ C(
m− 1
s− 1
− 1
n
− x1) ∀n ∈ N,n > N1.
Спрямувавши в останнiй нерiвностi n→∞ отримаємо потрiбне.
Оскiльки при x ≤ 0:
Fξ(x) = 0,
при x ≥ m−1
s−1 :
Fξ(x) = 1,
при x2, x1 ∈ [0; m−1
s−1 ] :
|Fξ(x1)− Fξ(x2)| ≤ C · |x1 − x2|,
то
|Fξ(x1)− Fξ(x2)| ≤ C · |x1 − x2| ∀x1, x2 ∈ R.
�
3. Асимптотичнi властивостi модуля хара-
ктеристичної функцiї випадкової величи-
ни ξ.
Теорема 7. Для виконання рiвностi
Lξ = 1 (5)
72 О. П. Макарчук, Сальник К.С.
необхiдно i достатньо, щоб
lim
n→∞
∑
0≤i<j≤m−1 pi(n+1)pj(n+1)
s2·1 +
∑
0≤i<j≤m−1 pi(n+2)pj(n+2)
s2·2 +... = 0.
Доведення.
Достатнiсть. Зрозумiло, що
fψk
sk
(t) = p0ke
it·0
sk +...+p(s−1)ke
it(s−1)
sk =
m−1∑
j=0
pjk sin(
tj
sk
)+i
m−1∑
j=0
pjk cos(
tj
sk
),
тому
|f ξk
sk
(t)|2 = (
m−1∑
j=0
pjk sin(
tj
sk
))2 + (
m−1∑
j=0
pjk cos(
tj
sk
))2 =
= 1− 4
∑
0≤i<j≤m−1
pikpjksin
2(
t(j − i)
2sk
).
Оскiльки
fξ(t) = f ξ1
s1
+
ξ2
s2
+...
(t) = f ξk
s1
(t)fψk
s2
(t) · ...,
то
|fξ(t)|2 =
∞∏
k=1
(1− 4
∑
0≤i<j≤m−1
pikpjksin
2(
t(j − i)
2sk
)).
Оскiльки для довiльних z1, z2, ..., zn ∈ [−1; 1] виконується нерiв-
нiсть
(1− z1)(1− z2)...(1− zn) ≥ 1− (z1 + z2 + ...+ zn)
i для кожного дiйсного z :
|sin(z)| ≤ |z|,
Лебегiвськi властивостi розподiлу випадкової величини 73
то
|fξ(2πsn)|2 =
∞∏
k=1
(1− 4
∑
0≤i<j≤m−1
pi(n+k)pj(n+k)sin
2(
t(j − i)
2sk
)) ≥
≥ 1−
∞∑
k=1
(4
∑
0≤i<j≤m−1
pi(n+k)pj(n+k)(
t(j − i)
2sk
)2) ≥
≥ 1− (π(m− 1))2
∞∑
k=1
(
1
s2k
∑
0≤i<j≤m−1
pi(n+k)pj(n+k)).
Оскiльки для кожного n ∈ N :
|fξ(2πsn)|2 ≤ 1,
то врахувуючи умову теореми, маємо:
lim
n→∞
|fξ(2πsn)|2 = 1,
тому
Lξ = 1.
Необхiднiсть. Нехай
Lξ = 1.
Зрозумiло, що iснують послiдовностi (tn) i (ln) такi, що
|fψ(2πsn)| → 1(n→ +∞),
πsln ≤ tn < πsln+1.
Позначимо
k∗ = inf{ l|l ∈ N, sl ≥ m− 1}.
Нехай
A =
ln+k∗∏
k=1
(1− 4
∑
0≤i<j≤m−1
pikpjksin
2(
t(j − i)
2sk
))
74 О. П. Макарчук, Сальник К.С.
i
B =
∞∏
k=ln+k∗+1
(1− 4
∑
0≤i<j≤m−1
pikpjksin
2(
t(j − i)
2sk
)) =
=
∞∏
k=ln+1
(1− 4
∑
0≤i<j≤m−1
pi(k+k∗)pj(k+k∗)sin
2(
t(j − i)
2sk+k∗
))
Зрозумiло, що
tn(j − i)
2sln+k∗+1
=
1
sln+1
· tn(j − i)
2sk∗
<
1
sln+1
· π · s
ln+1 · (m− 1)
2sk∗
<
π
2
i
tn(j − i)
2sln+1+k∗
≥ 1
sln+1
· tn
2sk∗
≥ 1
sln+1
· π · s
ln
2sk∗
≥ π
2 · s · sk∗
.
Оскiльки A ≤ 1, то маємо:
|fξ(tn)|2 ≤
∞∏
r=1
(1−4
∑
0≤i<j≤m−1
pi(r+ln+k∗)pj(r+ln+k∗)sin
2(
π
2 · sk∗ · sr
)).
Оскiльки
lim
n→∞
|fξ(tn)|2 = 1,
то
lim
n→∞
∞∏
r=1
(1−4
∑
0≤i<j≤m−1
pi(r+ln+k∗)pj(r+ln+k∗)sin
2(
π
2 · sk∗ · sr
)) = 1,
тому
lim
n→∞
∞∑
r=1
ln(1−4
∑
0≤i<j≤m−1
pi(r+ln+k∗)pj(r+ln+k∗)sin
2(
π
2 · sk∗ · sr
)) = 0.
Оскiльки, ln(z + 1) ≤ z для кожного z ∈ (−1; +∞), то
∞∑
r=1
ln(1− 4
∑
0≤i<j≤m−1
pi(r+ln+k∗)pj(r+ln+k∗)sin
2(
π
2 · sk∗ · sr
)) ≤
Лебегiвськi властивостi розподiлу випадкової величини 75
≤
∞∑
r=1
(−4
∑
0≤i<j≤m−1
pi(r+ln+k∗)pj(r+ln+k∗)sin
2(
π
2 · sk∗ · sr
)) ≤ 0.
Таким, чином
lim
n→∞
∞∑
r=1
(4
∑
0≤i<j≤m−1
pi(r+ln+k∗)pj(r+ln+k∗)sin
2(
π
2 · sk∗ · sr
)) = 0.
Оскiльки,
sin(z) ≥ 2z
π
∀z ∈ [0;
π
2
],
то
∞∑
r=1
(
∑
0≤i<j≤m−1
pi(r+ln+k∗)pj(r+ln+k∗)sin
2(
π
2 · sk∗ · sr
)) ≥
≥
∞∑
r=1
(
∑
0≤i<j≤m−1
pi(r+ln+k∗)pj(r+ln+k∗)(
1
sk∗ · sr
)2),
звiдки
lim
n→∞
∞∑
r=1
(
∑
0≤i<j≤s−1
pi(r+ln+1)pj(r+ln+1)(
1
sk∗ · sr
)2) = 0
i
lim
n→∞
∑
0≤i<j≤m−1 pi(n+1)pj(n+1)
s2·1 +
∑
0≤i<j≤m−1 pi(n+2)pj(n+2)
s2·2 +... = 0.
� З умови (1) випливає умова (5), адже, як зазначалось, якщо
ξ — дискретна, то Lξ = 1.
Однак в цьому можливо переконатись безпосередньо, дiйсно,
якщо виконується умова (1), то
max{p0k; ...; p(m−1)k} → 1(k → +∞),
76 О. П. Макарчук, Сальник К.С.
тому для кожного j ∈ { 0, 1, ...,m− 1} :
max{p0k; ...; p(s−1)k} 6= pjk
виконується рiвнiсть
lim
k→+∞
pjk = 0.
Маємо:∑
0≤i<j≤m−1
pi(n+1)pj(n+1) =
1
2
(1−
∑
0≤j≤m−1
p2
i(n+1))→ 0(n→ +∞),
тобто для кожного ε iснує n0 : ∀n > n0 виконується нерiвнiсть:∑
0≤i<j≤m−1
pi(n+1)pj(n+1) < ε,
а тому при n > n0∑
0≤i<j≤m−1 pi(n+1)pj(n+1)
s2·1 +
∑
0≤i<j≤m−1 pi(n+2)pj(n+2)
s2·2 + ... <
<
ε
s2·1 +
ε
s2·2 + ... =
ε
s2 − 1
→ 0(ε→ 0).
Обернене твердження не є правильним, дiйсно, для послiдовнiстi
стохастичних векторiв (p0n, p1n, ..., p(m−1)n) заданих наступним
чином:
e, ...e︸ ︷︷ ︸
1
, q, e, ...e︸ ︷︷ ︸
2
, q, ..., q, e, ...e︸ ︷︷ ︸
n
, ...,
де
e = (1; 0; ...; 0), q = (
1
s
;
1
s
; ...;
1
s
; 0; ...; 0︸ ︷︷ ︸
m−s
),
очевидно
∞∏
k=1
max{pik}
0≤i≤m−1
= 0,
Лебегiвськi властивостi розподiлу випадкової величини 77
хоча, з iншого боку, при k = (n−1)n
2 + n− 2 маємо:∑
0≤i<j≤m−1 pi(k+1)pj(k+1)
s2·1 +
∑
0≤i<j≤m−1 pi(k+2)pj(k+2)
s2·2 + ... <
<
s−2C2
s
s2(n+1)
+
1
s2·(n+2)
+
1
s2·(n+3)
+ ... =
=
s−1(s− 1)
2s2(n+1)
+
1
(s2 − 1)s2(n+1)
→ 0 (n→ +∞).
Лiтература
[1] Гончаренко.Я.В. Асимптотичнi властивостi характеристи-
чної функцiї випадкової величин з незалежними двiйковими
цифрами та згортки сингулярних розподiлiв. // Науковi за-
писки НПУ iм. М.П. Драгоманова. Фiз.-мат. науки.– №3.–
2002.– С. 376-390.
[2] Лукач Е. Характеристические функции // М.: Наука.–
1979.– 424 с.
[3] Працьовитий М.В., Макарчук О.П Розподiл випадкової ве-
личин, зображеної двiйковим дробом з двома надлишковими
цифрами // Науковий часопис НПУ iм. М.П. Драгоманова.
Серiя 1. Фiз.-мат. науки.– 2010.– №11.– С. 160-169.
[4] Працьовитий М.В.Фрактальний пiдхiд у дослiдженнях син-
гулярних розподiлiв // Київ: Вид-во НПУ iм. М.П. Драго-
манова, 1998. – 296 с.
[5] Працьовитий М.В.,Торбiн.Г.М. Один клас випадкових вели-
чин типу Джессена-Вiнтнера // Доп.НАН України. – 1998.
– №4. – С. 48-54.
[6] Турбин А.Ф.,Працевитый Н.В. Фрактальные множества,
функции, распределения.–Киев: Наук.думка, 1992. – 2008 с.
78 О. П. Макарчук, Сальник К.С.
[7] Albeverio,S.,Goncharenko.Y.,Pratsiovyti,M.,Torbin,G.
Convolutions of distributions of random variables with
independent binary digits // Random Oper. Stochastic
Equations, 2007.– 15, №1.– P. 89-97.
[8] Eseen C.G Fourier analysis of distribution functions.– Acta
Mathematica, 1945, 77, P. 1-125.
[9] Girault M., Les fonctions caracteristiques el leurs
transformations.– Publ. Inst. Statist. Univ. Paris.– 1954.–
4.– P. 223-239.
[10] Schvartz L. Sur le module de la fonction caracteristicue du calcul
des probabilites. – C. R. Acad. Sci. Paris.– 1941.– P. 418-421.
[11] Jessen ,B., Wintner, A. Distribution function and Riemann
Zeta-function, //Trans. Amer. Math. Soc. 38.– 1935.– P. 48-88.
[12] Levy P. Sur les sries don’t les termes sont des variables
independantes// Studia math.– 3.– 1931.– P. 119-155.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-447 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:07:33Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/24/00f08aa15550680dacd909dd74a51924.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-4472023-03-02T07:56:21Z Лебегівські властивості розподілу випадкової величини, представленої s-ковим дробом з надлишковим набором цифр Макарчук, О. П. Сальник, К. С. In this paper we study the Lebesgue structure and the asymptotic properties of the characteristic function of the random variable representedby an $s$-adic fraction with a redundant set of digits. У роботі досліджується лебегівська структура та асимптотичні властивості характеристичної функції випадкової величини, представленої $s$-ковим дробом з надлишковим набором цифр. Інститут математики НАН України 2019-12-26 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/447 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 16 No. 3 (2019): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 60-78 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 16 № 3 (2019): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 60-78 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 16 № 3 (2019): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 60-78 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/447/444 Авторське право (c) 2019 О.П. Макарчук, К.С. Сальник http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Макарчук, О. П. Сальник, К. С. Лебегівські властивості розподілу випадкової величини, представленої s-ковим дробом з надлишковим набором цифр |
| title | Лебегівські властивості розподілу випадкової величини, представленої s-ковим дробом з надлишковим набором цифр |
| title_full | Лебегівські властивості розподілу випадкової величини, представленої s-ковим дробом з надлишковим набором цифр |
| title_fullStr | Лебегівські властивості розподілу випадкової величини, представленої s-ковим дробом з надлишковим набором цифр |
| title_full_unstemmed | Лебегівські властивості розподілу випадкової величини, представленої s-ковим дробом з надлишковим набором цифр |
| title_short | Лебегівські властивості розподілу випадкової величини, представленої s-ковим дробом з надлишковим набором цифр |
| title_sort | лебегівські властивості розподілу випадкової величини, представленої s-ковим дробом з надлишковим набором цифр |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/447 |
| work_keys_str_mv | AT makarčukop lebegívsʹkívlastivostírozpodíluvipadkovoíveličinipredstavlenoískovimdrobomznadliškovimnaboromcifr AT salʹnikks lebegívsʹkívlastivostírozpodíluvipadkovoíveličinipredstavlenoískovimdrobomznadliškovimnaboromcifr |