Problems of the variational calculus with movable ends and higher-order derivatives
The necessary conditions for the existence of a weak local extremum in the Lagrange, Mayer, and Bolt problems with moving ends, derivatives of higher orders, and the boundary condition are determined. An example is given.
Saved in:
| Date: | 2017 |
|---|---|
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/45 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552572874653696 |
|---|---|
| author | Elisevich, M. A. Елишевич, М. А. Єлішевич, М. А. |
| author_facet | Elisevich, M. A. Елишевич, М. А. Єлішевич, М. А. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "М. А. Елишевич",
"institution": "Киевский национальный университет строительства и архитектуры"
}
] |
| author_sort | Elisevich, M. A. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-13T11:57:10Z |
| description | The necessary conditions for the existence of a weak local extremum in the Lagrange, Mayer, and Bolt problems with moving ends, derivatives of higher orders, and the boundary condition are determined. An example is given. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:01:34Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2016, т. 13, № 3, 105–116
УДК 517.972.2
Задачи вариационного исчисления с
подвижными концами и
производными высших порядков
М.А. Елишевич 1
1 Киевский национальный университет строительства и
архитектуры, Киев, Украина; m_ a_ e@ bk. ru
The necessary conditions for the existence of a weak local extremum in
the Lagrange, Mayer, and Bolt problems with moving ends, derivatives of
higher orders, and the boundary condition are determined. An example is
given.
Визначено необхiднi умови iснування слабкого локального екстремуму
в задачах Лагранжа, Майера, Больцах з рухомими кiнцями, похiдними
вищих порядкiв i граничною умовою. Наведено приклад.
1 Постановка задачи
В данной работе рассматривается задача определения необходимых
условий существования слабого локального экстремума функциона-
лов
𝐼1 =
∫︁ 𝑡1
𝑡0
𝐹
(︂
𝑡, 𝑥 (𝑡) , . . . ,
𝑑𝑚
𝑑𝑡𝑚
𝑥 (𝑡)
)︂
𝑑𝑡, (1)
𝐼2 = 𝐺
(︂
𝑡0, 𝑥 (𝑡0) , . . . ,
𝑑𝑝0
𝑑𝑡𝑝00
𝑥 (𝑡0) , 𝑡1, 𝑥 (𝑡1) , . . . ,
𝑑𝑝1
𝑑𝑡𝑝11
𝑥 (𝑡1)
)︂
, (2)
𝐼3 =
∫︁ 𝑡1
𝑡0
𝐹
(︂
𝑡, 𝑥 (𝑡) , . . . ,
𝑑𝑚
𝑑𝑡𝑚
𝑥 (𝑡)
)︂
𝑑𝑡+
+𝐺
(︂
𝑡0, 𝑥 (𝑡0) , . . . ,
𝑑𝑝0
𝑑𝑡𝑝00
𝑥 (𝑡0) , 𝑡1, 𝑥 (𝑡1) , . . . ,
𝑑𝑝1
𝑑𝑡𝑝11
𝑥 (𝑡1)
)︂
,
(3)
c○ Елишевич М.А., 2016
m_a_e@bk.ru
106 Елишевич М.А.
где 𝑥 (𝑡) — искомая действительная вектор-функция размерности 𝑛,
для нее выполняется краевое условие
(𝑡0, 𝑥 (𝑡0) , 𝑡1, 𝑥 (𝑡1)) = 0, (4)
𝐹 , 𝐺, — заданные действительные функции, имеющие непрерывные
частные производные по каждому из аргументов при 𝑡 ∈ Δ, Δ ⊂ 𝑅
— фиксированный отрезок, 𝑡0 и 𝑡1 не заданы, но [𝑡0; 𝑡1] ⊂ Δ, 𝐹 имеет
непрерывные частные производные по 𝑡 до порядка 𝑚 включительно,
𝐹 , 𝐺 — скалярные функции, — вектор-функция размерности 𝑙.
Задачи Лагранжа, Майера, Больца с подвижными концами рас-
сматривались для случая, когда интегральный член функционала за-
висит от искомой функции и ее производной, а терминальный член —
от искомой функции [1, с. 190–202]. Задача Больца с производными
высших порядков, когда условие (4) отсутствует, 𝑡0 и 𝑡1 не заданы,
𝑝0 = 𝑝1 = 𝑚− 1, рассматривалась в [2, с. 310–314].
2 Полученный результат
Обозначим 𝛼 — числовой параметр, 𝛿𝑥 (𝑡), 𝛿𝑡0, 𝛿𝑡1 — фиксированные
вариации искомой функции и концов отрезка соответственно.
Теорема 2.1. Для существования слабого локального экстремума в
задаче Лагранжа (1), (4) необходимы разрешимость системы урав-
нений Эйлера-Пуассона
𝑚∑︁
𝑗=0
(−1)
𝑗 𝑑
𝑗
𝑑𝑡𝑗
𝜕
𝜕 𝑑𝑗
𝑑𝑡𝑗 𝑥 (𝑡)
𝐹
(︂
𝑡, 𝑥 (𝑡) , . . . ,
𝑑𝑚
𝑑𝑡𝑚
𝑥 (𝑡)
)︂
= 0, 𝑡 ∈ [𝑡0; 𝑡1] (5)
и выполнение условий трансверсальности⎧⎨⎩
𝑚−1∑︁
𝑗=0
𝑚−1−𝑗∑︁
𝑘=0
(−1)
𝑘 𝑑𝑘
𝑑𝑡𝑘
𝜕
𝜕 𝑑𝑗+𝑘+1
𝑑𝑡𝑗+𝑘+1𝑥 (𝑡)
𝐹
(︂
𝑡, 𝑥 (𝑡) , . . . ,
𝑑𝑚
𝑑𝑡𝑚
𝑥 (𝑡)
)︂
×
× 𝑑𝑗
𝑑𝑡𝑗
𝛿𝑥 (𝑡+ 𝛿𝑡) +
⎡⎣𝐹 (︂𝑡, 𝑥 (𝑡) , . . . , 𝑑𝑚
𝑑𝑡𝑚
𝑥 (𝑡)
)︂
−
𝑚−1∑︁
𝑗=0
𝑚−1−𝑗∑︁
𝑘=0
(−1)
𝑘 ×
× 𝑑𝑘
𝑑𝑡𝑘
𝜕
𝜕 𝑑𝑗+𝑘+1
𝑑𝑡𝑗+𝑘+1𝑥 (𝑡)
𝐹
(︂
𝑡, 𝑥 (𝑡) , . . . ,
𝑑𝑚
𝑑𝑡𝑚
𝑥 (𝑡)
)︂
𝑑𝑗+1
𝑑𝑡𝑗+1
𝑥 (𝑡)
]︃
𝛿𝑡
}︃⃒⃒⃒⃒
⃒
𝑡1
𝑡0
= 0,
(6)
Задачи вариационного исчисления с подвижными концами и . . . 107
1∑︁
𝑖=0
[︂
𝜕
𝜕𝑡𝑖
(𝑡0, 𝑥 (𝑡0) , 𝑡1, 𝑥 (𝑡1)) 𝛿𝑡𝑖+
+
𝜕
𝜕𝑥 (𝑡𝑖)
(𝑡0, 𝑥 (𝑡0) , 𝑡1, 𝑥 (𝑡1)) 𝛿𝑥 (𝑡𝑖 + 𝛿𝑡𝑖)
]︂
= 0.
(7)
Доказательство. Построим первую вариацию функционала 𝐼1 (1):
𝛿𝐼1 =
𝑑
𝑑𝛼
∫︁ 𝑡1+𝛼𝛿𝑡1
𝑡0+𝛼𝛿𝑡0
𝐹
(︂
𝑡, 𝑥 (𝑡) + 𝛼𝛿𝑥 (𝑡) , . . . ,
𝑑𝑚
𝑑𝑡𝑚
(𝑥 (𝑡) + 𝛼𝛿𝑥 (𝑡))
)︂
×
×𝑑𝑡|𝛼=0 =
∫︁ 𝑡1
𝑡0
𝑚∑︁
𝑗=0
𝜕
𝜕 𝑑𝑗
𝑑𝑡𝑗 𝑥 (𝑡)
𝐹
(︂
𝑡, 𝑥 (𝑡) , . . . ,
𝑑𝑚
𝑑𝑡𝑚
𝑥 (𝑡)
)︂
𝑑𝑗
𝑑𝑡𝑗
𝛿𝑥 (𝑡) 𝑑𝑡+
+𝐹
(︂
𝑡, 𝑥 (𝑡) , . . . ,
𝑑𝑚
𝑑𝑡𝑚
𝑥 (𝑡)
)︂
𝛿𝑡
⃒⃒⃒⃒𝑡1
𝑡0
,
(8)
Каждое из слагаемых подинтегральной функции (8) проинтегрируем
по частям столько раз, каков порядок входящей в него производной
𝛿𝑥 (𝑡):∫︁ 𝑡1
𝑡0
𝜕
𝜕 𝑑𝑗
𝑑𝑡𝑗 𝑥 (𝑡)
𝐹
(︂
𝑡, 𝑥 (𝑡) , . . . ,
𝑑𝑚
𝑑𝑡𝑚
𝑥 (𝑡)
)︂
𝑑𝑗
𝑑𝑡𝑗
𝛿𝑥 (𝑡) 𝑑𝑡 =
𝑗−1∑︁
𝑘=0
(−1)
𝑘 𝑑𝑘
𝑑𝑡𝑘
×
× 𝜕
𝜕 𝑑𝑗
𝑑𝑡𝑗 𝑥 (𝑡)
𝐹
(︂
𝑡, 𝑥 (𝑡) , . . . ,
𝑑𝑚
𝑑𝑡𝑚
𝑥 (𝑡)
)︂
𝑑𝑗−𝑘−1
𝑑𝑡𝑗−𝑘−1
𝛿𝑥 (𝑡)
⃒⃒⃒⃒𝑡1
𝑡0
+
+ (−1)
𝑗
∫︁ 𝑡1
𝑡0
𝑑𝑗
𝑑𝑡𝑗
𝜕
𝜕 𝑑𝑗
𝑑𝑡𝑗 𝑥 (𝑡)
𝐹
(︂
𝑡, 𝑥 (𝑡) , . . . ,
𝑑𝑚
𝑑𝑡𝑚
𝑥 (𝑡)
)︂
𝛿𝑥 (𝑡) 𝑑𝑡, 𝑗 = 0,𝑚.
(9)
Подставив (8), (9) в равенство 𝛿𝐼1 = 0, получим:∫︁ 𝑡1
𝑡0
𝑚∑︁
𝑗=0
(−1)
𝑗 𝑑
𝑗
𝑑𝑡𝑗
𝜕
𝜕 𝑑𝑗
𝑑𝑡𝑗 𝑥 (𝑡)
𝐹
(︂
𝑡, 𝑥 (𝑡) , . . . ,
𝑑𝑚
𝑑𝑡𝑚
𝑥 (𝑡)
)︂
𝛿𝑥 (𝑡) 𝑑𝑡 = 0, (10)
⎡⎣𝑚−1∑︁
𝑗=0
𝑚−1−𝑗∑︁
𝑘=0
(−1)
𝑘 𝑑𝑘
𝑑𝑡𝑘
𝜕
𝜕 𝑑𝑗+𝑘+1
𝑑𝑡𝑗+𝑘+1𝑥 (𝑡)
𝐹
(︂
𝑡, 𝑥 (𝑡) , . . . ,
𝑑𝑚
𝑑𝑡𝑚
𝑥 (𝑡)
)︂
×
× 𝑑𝑗
𝑑𝑡𝑗
𝛿𝑥 (𝑡) + 𝐹
(︂
𝑡, 𝑥 (𝑡) , . . . ,
𝑑𝑚
𝑑𝑡𝑚
𝑥 (𝑡)
)︂
𝛿𝑡
]︂⃒⃒⃒⃒𝑡1
𝑡0
= 0.
(11)
108 Елишевич М.А.
Из (10) следует (5) согласно основной лемме вариационного исчисле-
ния [1, с. 181]. Подставив в (11)
𝛿𝑥 (𝑡𝑖) ∼= 𝛿𝑥 (𝑡𝑖 + 𝛿𝑡𝑖)−
𝑑
𝑑𝑡𝑖
𝑥 (𝑡𝑖) 𝛿𝑡𝑖, 𝑖 = 0, 1, (12)
эти равенства выполняются с точностью до бесконечно малых боль-
шего порядка, чем порядок малости входящих в них вариаций, полу-
чим (6).
Построим первую вариацию функции (𝑡0, 𝑥 (𝑡0) , 𝑡1, 𝑥 (𝑡1)) (4):
𝛿 (𝑡0, 𝑥 (𝑡0) , 𝑡1, 𝑥 (𝑡1)) =
𝑑
𝑑𝛼
(𝑡0 + 𝛼𝛿𝑡0, 𝑥 (𝑡0 + 𝛼𝛿𝑡0)+
+𝛼𝛿𝑥 (𝑡0 + 𝛼𝛿𝑡0) , 𝑡1 + 𝛼𝛿𝑡1, 𝑥 (𝑡1 + 𝛼𝛿𝑡1) + 𝛼𝛿𝑥 (𝑡1 + 𝛼𝛿𝑡1))|𝛼=0 =
=
1∑︁
𝑖=0
{︂
𝜕
𝜕𝑡𝑖
(𝑡0, 𝑥 (𝑡0) , 𝑡1, 𝑥 (𝑡1)) 𝛿𝑡𝑖 +
𝜕
𝜕𝑥 (𝑡𝑖)
(𝑡0, 𝑥 (𝑡0) , 𝑡1, 𝑥 (𝑡1))×
×
[︂
𝛿𝑥 (𝑡𝑖) +
𝑑
𝑑𝑡𝑖
𝑥 (𝑡𝑖) 𝛿𝑡𝑖
]︂}︂
.
(13)
Подставив (12) в (13), с учетом (4) получим (7).
Теорема 2.2. Для существования слабого локального экстремума
в задаче Майера (2), (4) необходимо выполнение условий трансвер-
сальности (7),
1∑︁
𝑖=0
[︂
𝜕
𝜕𝑡𝑖
𝐺
(︂
𝑡0, 𝑥 (𝑡0) , . . . ,
𝑑𝑝0
𝑑𝑡𝑝00
𝑥 (𝑡0) , 𝑡1, 𝑥 (𝑡1) , . . . ,
𝑑𝑝1
𝑑𝑡𝑝11
𝑥 (𝑡1)
)︂
𝛿𝑡𝑖+
+
𝑝𝑖∑︁
𝑗=0
𝜕
𝜕 𝑑𝑗
𝑑𝑡𝑗𝑖
𝑥 (𝑡𝑖)
𝐺
(︂
𝑡0, 𝑥 (𝑡0) , . . . ,
𝑑𝑝0
𝑑𝑡𝑝00
𝑥 (𝑡0) , 𝑡1, 𝑥 (𝑡1) , . . . ,
𝑑𝑝1
𝑑𝑡𝑝11
𝑥 (𝑡1)
)︂
𝑑𝑗
𝑑𝑡𝑗𝑖
𝛿𝑥 (𝑡𝑖 + 𝛿𝑡𝑖)
]︃
= 0.
(14)
Задачи вариационного исчисления с подвижными концами и . . . 109
Доказательство. Построим первую вариацию функционала 𝐼2 (2):
𝛿𝐼2 =
𝑑
𝑑𝛼
𝐺 (𝑡0 + 𝛼𝛿𝑡0, 𝑥 (𝑡0 + 𝛼𝛿𝑡0) + 𝛼𝛿𝑥 (𝑡0 + 𝛼𝛿𝑡0) , . . . ,
𝑑𝑝0
𝑑𝑡𝑝00
[𝑥 (𝑡0 + 𝛼𝛿𝑡0) + 𝛼𝛿𝑥 (𝑡0 + 𝛼𝛿𝑡0)] , 𝑡1 + 𝛼𝛿𝑡1, 𝑥 (𝑡1 + 𝛼𝛿𝑡1)+
+𝛼𝛿𝑥 (𝑡1 + 𝛼𝛿𝑡1) , . . . ,
𝑑𝑝1
𝑑𝑡𝑝11
[𝑥 (𝑡1 + 𝛼𝛿𝑡1) + 𝛼𝛿𝑥 (𝑡1 + 𝛼𝛿𝑡1)]
)︂⃒⃒⃒⃒
𝛼=0
=
1∑︁
𝑖=0
{︂
𝜕
𝜕𝑡𝑖
𝐺
(︂
𝑡0, 𝑥 (𝑡0) , . . . ,
𝑑𝑝0
𝑑𝑡𝑝00
𝑥 (𝑡0) , 𝑡1, 𝑥 (𝑡1) , . . . ,
𝑑𝑝1
𝑑𝑡𝑝11
𝑥 (𝑡1)
)︂
𝛿𝑡𝑖+
+
𝑝𝑖∑︁
𝑗=0
𝜕
𝜕 𝑑𝑗
𝑑𝑡𝑗𝑖
𝑥 (𝑡𝑖)
𝐺
(︂
𝑡0, 𝑥 (𝑡0) , . . . ,
𝑑𝑝0
𝑑𝑡𝑝00
𝑥 (𝑡0) , 𝑡1, 𝑥 (𝑡1) , . . . ,
𝑑𝑝1
𝑑𝑡𝑝11
𝑥 (𝑡1)
)︂
𝑑𝑗
𝑑𝑡𝑗𝑖
[︂
𝛿𝑥 (𝑡𝑖) +
𝑑
𝑑𝑡𝑖
𝑥 (𝑡𝑖) 𝛿𝑡𝑖
]︂}︃
.
(15)
Подставив (15), (12) в равенство 𝛿𝐼2 = 0, получим (14). Из (4) следует
(7) согласно теореме 1.
Следствие 2.1. Для существования слабого локального экстрему-
ма в задаче Больца (3), (4) необходимы разрешимость системы урав-
нений Эйлера-Пуассона (5) и выполнение условий трансверсально-
сти (7),⎧⎨⎩
𝑚−1∑︁
𝑗=0
𝑚−1−𝑗∑︁
𝑘=0
(−1)
𝑘 𝑑𝑘
𝑑𝑡𝑘
𝜕
𝜕 𝑑𝑗+𝑘+1
𝑑𝑡𝑗+𝑘+1𝑥 (𝑡)
×
× 𝐹
(︂
𝑡, 𝑥 (𝑡) , . . . ,
𝑑𝑚
𝑑𝑡𝑚
𝑥 (𝑡)
)︂
𝑑𝑗
𝑑𝑡𝑗
𝛿𝑥 (𝑡+ 𝛿𝑡)+
+
⎡⎣𝐹 (︂𝑡, 𝑥 (𝑡) , . . . , 𝑑𝑚
𝑑𝑡𝑚
𝑥 (𝑡)
)︂
−
𝑚−1∑︁
𝑗=0
𝑚−1−𝑗∑︁
𝑘=0
(−1)
𝑘 𝑑𝑘
𝑑𝑡𝑘
𝜕
𝜕 𝑑𝑗+𝑘+1
𝑑𝑡𝑗+𝑘+1𝑥 (𝑡)
×
×𝐹
(︂
𝑡, 𝑥 (𝑡) , . . . ,
𝑑𝑚
𝑑𝑡𝑚
𝑥 (𝑡)
)︂
𝑑𝑗+1
𝑑𝑡𝑗+1
𝑥 (𝑡)
]︂
𝛿𝑡
}︂⃒⃒⃒⃒𝑡1
𝑡0
110 Елишевич М.А.
+
1∑︁
𝑖=0
[︂
𝜕
𝜕𝑡𝑖
𝐺 (𝑡0, 𝑥 (𝑡0) , . . . ,
𝑑𝑝0
𝑑𝑡𝑝00
𝑥 (𝑡0) , 𝑡1, 𝑥 (𝑡1) , . . . ,
𝑑𝑝1
𝑑𝑡𝑝11
𝑥 (𝑡1)
)︂
𝛿𝑡𝑖 +
𝑝𝑖∑︁
𝑗=0
𝜕
𝜕 𝑑𝑗
𝑑𝑡𝑗𝑖
𝑥 (𝑡𝑖)
𝐺 (𝑡0, 𝑥 (𝑡0) , . . . ,
𝑑𝑝0
𝑑𝑡𝑝00
𝑥 (𝑡0) , 𝑡1, 𝑥 (𝑡1) , . . . ,
𝑑𝑝1
𝑑𝑡𝑝11
𝑥 (𝑡1)
)︂
𝑑𝑗
𝑑𝑡𝑗𝑖
𝛿𝑥 (𝑡𝑖 + 𝛿𝑡𝑖)
]︃
= 0.
Рассмотрим частные случаи краевого условия (4).
1. Условие (4) распадается на начальное и конечное:
𝑖 (𝑡𝑖, 𝑥 (𝑡𝑖)) = 0, 𝑖 = 0, 1, (16)
где 𝑖, 𝑖 = 0, 1 — заданные действительные вектор-функции размер-
ности 𝑙𝑖, имеющие непрерывные частные производные по каждому из
аргументов при 𝑡𝑖 ∈ Δ. В этом случае вариации 𝛿𝑡0, 𝛿𝑥 (𝑡0 + 𝛿𝑡0) не
связаны с вариациями 𝛿𝑡1, 𝛿𝑥 (𝑡1 + 𝛿𝑡1).
Следствие 2.2. Для существования слабого локального экстрему-
ма в задаче Лагранжа (1), (16) необходимы разрешимость системы
уравнений Эйлера-Пуассона (5) и выполнение условий трансверсаль-
ности
𝑚−1∑︁
𝑗=0
𝑚−1−𝑗∑︁
𝑘=0
(−1)
𝑘 𝑑𝑘
𝑑𝑡𝑘𝑖
𝜕
𝜕 𝑑𝑗+𝑘+1
𝑑𝑡𝑗+𝑘+1
𝑖
𝑥 (𝑡𝑖)
𝐹
(︂
𝑡𝑖, 𝑥 (𝑡𝑖) , . . . ,
𝑑𝑚
𝑑𝑡𝑚𝑖
𝑥 (𝑡𝑖)
)︂
𝑑𝑗
𝑑𝑡𝑗𝑖
×
× 𝛿𝑥 (𝑡𝑖 + 𝛿𝑡𝑖) +
⎡⎣𝐹 (︂𝑡𝑖, 𝑥 (𝑡𝑖) , . . . , 𝑑𝑚
𝑑𝑡𝑚𝑖
𝑥 (𝑡𝑖)
)︂
−
𝑚−1∑︁
𝑗=0
𝑚−1−𝑗∑︁
𝑘=0
(−1)
𝑘 𝑑𝑘
𝑑𝑡𝑘𝑖
×
× 𝜕
𝜕 𝑑𝑗+𝑘+1
𝑑𝑡𝑗+𝑘+1
𝑖
𝑥 (𝑡𝑖)
𝐹
(︂
𝑡𝑖, 𝑥 (𝑡𝑖) , . . . ,
𝑑𝑚
𝑑𝑡𝑚𝑖
𝑥 (𝑡𝑖)
)︂
𝑑𝑗+1
𝑑𝑡𝑗+1
𝑖
𝑥 (𝑡𝑖)
⎤⎦ 𝛿𝑡𝑖 = 0,
𝜕
𝜕𝑡𝑖
𝑖 (𝑡𝑖, 𝑥 (𝑡𝑖)) 𝛿𝑡𝑖 +
𝜕
𝜕𝑥 (𝑡𝑖)
𝑖 (𝑡𝑖, 𝑥 (𝑡𝑖)) 𝛿𝑥 (𝑡𝑖 + 𝛿𝑡𝑖) = 0, 𝑖 = 0, 1.
(17)
Для существования слабого локального экстремума в задаче Май-
Задачи вариационного исчисления с подвижными концами и . . . 111
ера (2), (16) необходимо выполнение условий трансверсальности (17),
𝜕
𝜕𝑡𝑖
𝐺
(︂
𝑡0, 𝑥 (𝑡0) , . . . ,
𝑑𝑝0
𝑑𝑡𝑝00
𝑥 (𝑡0) , 𝑡1, 𝑥 (𝑡1) , . . . ,
𝑑𝑝1
𝑑𝑡𝑝11
𝑥 (𝑡1)
)︂
𝛿𝑡𝑖+
𝑝𝑖∑︁
𝑗=0
𝜕
𝜕 𝑑𝑗
𝑑𝑡𝑗𝑖
𝑥 (𝑡𝑖)
𝐺
(︂
𝑡0, 𝑥 (𝑡0) , . . . ,
𝑑𝑝0
𝑑𝑡𝑝00
𝑥 (𝑡0) , 𝑡1, 𝑥 (𝑡1) , . . . ,
𝑑𝑝1
𝑑𝑡𝑝11
𝑥 (𝑡1)
)︂
×
× 𝑑𝑗
𝑑𝑡𝑗𝑖
𝛿𝑥 (𝑡𝑖 + 𝛿𝑡𝑖) = 0, 𝑖 = 0, 1.
Для существования слабого локального экстремума в задаче Боль-
ца (3), (16) необходимы разрешимость системы уравнений Эйлера-
Пуассона (5) и выполнение условий трансверсальности (17),
𝑚−1∑︁
𝑗=0
𝑚−1−𝑗∑︁
𝑘=0
(−1)
𝑘 𝑑𝑘
𝑑𝑡𝑘𝑖
𝜕
𝜕 𝑑𝑗+𝑘+1
𝑑𝑡𝑗+𝑘+1
𝑖
𝑥 (𝑡𝑖)
𝐹
(︂
𝑡𝑖, 𝑥 (𝑡𝑖) , . . . ,
𝑑𝑚
𝑑𝑡𝑚𝑖
𝑥 (𝑡𝑖)
)︂
𝑑𝑗
𝑑𝑡𝑗𝑖
×
× 𝛿𝑥 (𝑡𝑖 + 𝛿𝑡𝑖) +
⎡⎣𝐹 (︂𝑡𝑖, 𝑥 (𝑡𝑖) , . . . , 𝑑𝑚
𝑑𝑡𝑚𝑖
𝑥 (𝑡𝑖)
)︂
−
𝑚−1∑︁
𝑗=0
𝑚−1−𝑗∑︁
𝑘=0
(−1)
𝑘 𝑑𝑘
𝑑𝑡𝑘𝑖
×
× 𝜕
𝜕 𝑑𝑗+𝑘+1
𝑑𝑡𝑗+𝑘+1
𝑖
𝑥 (𝑡𝑖)
𝐹
(︂
𝑡𝑖, 𝑥 (𝑡𝑖) , . . . ,
𝑑𝑚
𝑑𝑡𝑚𝑖
𝑥 (𝑡𝑖)
)︂
𝑑𝑗+1
𝑑𝑡𝑗+1
𝑖
𝑥 (𝑡𝑖)
⎤⎦ 𝛿𝑡𝑖 + (−1)
𝑖+1 ×
×
[︂
𝜕
𝜕𝑡𝑖
𝐺
(︂
𝑡0, 𝑥 (𝑡0) , . . . ,
𝑑𝑝0
𝑑𝑡𝑝00
𝑥 (𝑡0) , 𝑡1, 𝑥 (𝑡1) , . . . ,
𝑑𝑝1
𝑑𝑡𝑝11
𝑥 (𝑡1)
)︂
𝛿𝑡𝑖+
+
𝑝𝑖∑︁
𝑗=0
𝜕
𝜕 𝑑𝑗
𝑑𝑡𝑗𝑖
𝑥 (𝑡𝑖)
𝐺
(︂
𝑡0, 𝑥 (𝑡0) , . . . ,
𝑑𝑝0
𝑑𝑡𝑝00
𝑥 (𝑡0) , 𝑡1, 𝑥 (𝑡1) , . . . ,
𝑑𝑝1
𝑑𝑡𝑝11
𝑥 (𝑡1)
)︂
𝑑𝑗
𝑑𝑡𝑗𝑖
× ×𝛿𝑥 (𝑡𝑖 + 𝛿𝑡𝑖)] = 0, 𝑖 = 0, 1.
2. Равенства (16) разрешимы относительно 𝑥 (𝑡𝑖):
𝑥 (𝑡𝑖) = 𝑔𝑖 (𝑡𝑖) , 𝑖 = 0, 1, (18)
где 𝑔𝑖, 𝑖 = 0, 1 — заданные действительные вектор-функции размер-
ности 𝑛, имеющие непрерывные производные при 𝑡𝑖 ∈ Δ до порядка
𝑞𝑖 включительно, 𝑞𝑖 = max (𝑚, 𝑝𝑖 + 1). В этом случае
𝛿𝑥 (𝑡𝑖 + 𝛿𝑡𝑖) ∼=
𝑑
𝑑𝑡𝑖
𝑔𝑖 (𝑡𝑖) 𝛿𝑡𝑖, 𝑖 = 0, 1,
112 Елишевич М.А.
вариации 𝛿𝑡𝑖, 𝑖 = 0, 1 произвольны.
Следствие 2.3. Для существования слабого локального экстрему-
ма в задаче Лагранжа (1), (18) необходимы разрешимость системы
уравнений Эйлера-Пуассона (5) и выполнение условий трансверсаль-
ности
𝐹
(︂
𝑡𝑖, 𝑥 (𝑡𝑖) , . . . ,
𝑑𝑚
𝑑𝑡𝑚𝑖
𝑥 (𝑡𝑖)
)︂
+
𝑚∑︁
𝑗=1
𝑚−𝑗∑︁
𝑘=0
(−1)
𝑘 𝑑𝑘
𝑑𝑡𝑘𝑖
𝜕
𝜕 𝑑𝑗+𝑘
𝑑𝑡𝑗+𝑘
𝑖
𝑥 (𝑡𝑖)
𝐹 (𝑡𝑖, 𝑥 (𝑡𝑖) , . . . ,
𝑑𝑚
𝑑𝑡𝑚𝑖
𝑥 (𝑡𝑖)
)︂
𝑑𝑗
𝑑𝑡𝑗𝑖
(𝑔𝑖 (𝑡𝑖)− 𝑥 (𝑡𝑖)) = 0, 𝑖 = 0, 1.
Для существования слабого локального экстремума в задаче Май-
ера (2), (18) необходимо выполнение условий трансверсальности
𝜕
𝜕𝑡𝑖
𝐺
(︂
𝑡0, 𝑥 (𝑡0) , . . . ,
𝑑𝑝0
𝑑𝑡𝑝00
𝑥 (𝑡0) , 𝑡1, 𝑥 (𝑡1) , . . . ,
𝑑𝑝1
𝑑𝑡𝑝11
𝑥 (𝑡1)
)︂
+
𝑝𝑖∑︁
𝑗=0
𝜕
𝜕 𝑑𝑗
𝑑𝑡𝑗𝑖
𝑥 (𝑡𝑖)
𝐺
(︂
𝑡0, 𝑥 (𝑡0) , . . . ,
𝑑𝑝0
𝑑𝑡𝑝00
𝑥 (𝑡0) , 𝑡1, 𝑥 (𝑡1) , . . . ,
𝑑𝑝1
𝑑𝑡𝑝11
𝑥 (𝑡1)
)︂
×
× 𝑑𝑗+1
𝑑𝑡𝑗+1
𝑖
𝑔𝑖 (𝑡𝑖) = 0, 𝑖 = 0, 1.
Для существования слабого локального экстремума в задаче Боль-
ца (3), (18) необходимы разрешимость системы уравнений Эйлера-
Задачи вариационного исчисления с подвижными концами и . . . 113
Пуассона (5) и выполнение условий трансверсальности
𝐹
(︂
𝑡𝑖, 𝑥 (𝑡𝑖) , . . . ,
𝑑𝑚
𝑑𝑡𝑚𝑖
𝑥 (𝑡𝑖)
)︂
+
𝑚∑︁
𝑗=1
𝑚−𝑗∑︁
𝑘=0
(−1)
𝑘 𝑑𝑘
𝑑𝑡𝑘𝑖
𝜕
𝜕 𝑑𝑗+𝑘
𝑑𝑡𝑗+𝑘
𝑖
𝑥 (𝑡𝑖)
𝐹 (𝑡𝑖, 𝑥 (𝑡𝑖) , . . . ,
𝑑𝑚
𝑑𝑡𝑚𝑖
𝑥 (𝑡𝑖)
)︂
×
× 𝑑𝑗
𝑑𝑡𝑗𝑖
(𝑔𝑖 (𝑡𝑖)− 𝑥 (𝑡𝑖)) + (−1)
𝑖+1
[︂
𝜕
𝜕𝑡𝑖
𝐺
(︂
𝑡0, 𝑥 (𝑡0) , . . . ,
𝑑𝑝0
𝑑𝑡𝑝00
𝑥 (𝑡0) , 𝑡1,
𝑥 (𝑡1) , . . . ,
𝑑𝑝1
𝑑𝑡𝑝11
𝑥 (𝑡1)
)︂
+
𝑝𝑖∑︁
𝑗=0
𝜕
𝜕 𝑑𝑗
𝑑𝑡𝑗𝑖
𝑥 (𝑡𝑖)
𝐺
(︂
𝑡0, 𝑥 (𝑡0) , . . . ,
𝑑𝑝0
𝑑𝑡𝑝00
𝑥 (𝑡0) ,
𝑡1, 𝑥 (𝑡1) , . . . ,
𝑑𝑝1
𝑑𝑡𝑝11
𝑥 (𝑡1)
)︂
𝑑𝑗+1
𝑑𝑡𝑗+1
𝑖
𝑔𝑖 (𝑡𝑖)
]︃
= 0, 𝑖 = 0, 1.
3. Равенства (18) имеют вид:
𝑥 (𝑡𝑖) = 𝑥𝑖 = const, 𝑖 = 0, 1, (19)
где 𝑥𝑖, 𝑖 = 0, 1 — заданные действительные постоянные векторы раз-
мерности 𝑛. В этом случае 𝛿𝑥 (𝑡𝑖 + 𝛿𝑡𝑖) = 0, 𝑖 = 0, 1, вариации 𝛿𝑡𝑖,
𝑖 = 0, 1 произвольны.
Следствие 2.4. Для существования слабого локального экстрему-
ма в задаче Лагранжа (1), (19) необходимы разрешимость системы
уравнений Эйлера-Пуассона (5) и выполнение условий трансверсаль-
ности
𝐹
(︂
𝑡𝑖, 𝑥 (𝑡𝑖) , . . . ,
𝑑𝑚
𝑑𝑡𝑚𝑖
𝑥 (𝑡𝑖)
)︂
−
𝑚∑︁
𝑗=1
𝑚−𝑗∑︁
𝑘=0
(−1)
𝑘 𝑑𝑘
𝑑𝑡𝑘𝑖
𝜕
𝜕 𝑑𝑗+𝑘
𝑑𝑡𝑗+𝑘
𝑖
𝑥 (𝑡𝑖)
𝐹 (𝑡𝑖,
𝑥 (𝑡𝑖) , . . . ,
𝑑𝑚
𝑑𝑡𝑚𝑖
𝑥 (𝑡𝑖)
)︂
𝑑𝑗
𝑑𝑡𝑗𝑖
𝑥 (𝑡𝑖) = 0, 𝑖 = 0, 1.
(20)
Для существования слабого локального экстремума в задаче Май-
ера (2), (19) необходимо выполнение условий трансверсальности
𝜕
𝜕𝑡𝑖
𝐺
(︂
𝑡0, 𝑥 (𝑡0) , . . . ,
𝑑𝑝0
𝑑𝑡𝑝00
𝑥 (𝑡0) , 𝑡1, 𝑥 (𝑡1) , . . . ,
𝑑𝑝1
𝑑𝑡𝑝11
𝑥 (𝑡1)
)︂
= 0,
𝑖 = 0, 1.
(21)
114 Елишевич М.А.
Для существования слабого локального экстремума в задаче Боль-
ца (3), (19) необходимы разрешимость системы уравнений Эйлера-
Пуассона (5) и выполнение условий трансверсальности
𝐹
(︂
𝑡𝑖, 𝑥 (𝑡𝑖) , . . . ,
𝑑𝑚
𝑑𝑡𝑚𝑖
𝑥 (𝑡𝑖)
)︂
−
𝑚∑︁
𝑗=1
𝑚−𝑗∑︁
𝑘=0
(−1)
𝑘 𝑑𝑘
𝑑𝑡𝑘𝑖
𝜕
𝜕 𝑑𝑗+𝑘
𝑑𝑡𝑗+𝑘
𝑖
𝑥 (𝑡𝑖)
𝐹 (𝑡𝑖,
𝑥 (𝑡𝑖) , . . . ,
𝑑𝑚
𝑑𝑡𝑚𝑖
𝑥 (𝑡𝑖)
)︂
𝑑𝑗
𝑑𝑡𝑗𝑖
𝑥 (𝑡𝑖) + (−1)
𝑖+1 𝜕
𝜕𝑡𝑖
𝐺 (𝑡0, 𝑥 (𝑡0) , . . . ,
𝑑𝑝0
𝑑𝑡𝑝00
𝑥 (𝑡0) , 𝑡1, 𝑥 (𝑡1) , . . . ,
𝑑𝑝1
𝑑𝑡𝑝11
𝑥 (𝑡1)
)︂
= 0, 𝑖 = 0, 1.
(22)
4. 𝑡𝑖, 𝑖 = 0, 1 заданы, условие (4) отсутствует. В этом случае 𝛿𝑡𝑖 = 0,
𝑖 = 0, 1, вариации 𝛿𝑥 (𝑡𝑖), 𝑖 = 0, 1 произвольны.
Следствие 2.5. Для существования слабого локального экстрему-
ма в задаче Лагранжа (1) на фиксированном отрезке [𝑡0; 𝑡1] необ-
ходимы разрешимость системы уравнений Эйлера-Пуассона (5) и
выполнение условий трансверсальности
𝑚−𝑗∑︁
𝑘=0
(−1)
𝑘 𝑑𝑘
𝑑𝑡𝑘𝑖
𝜕
𝜕 𝑑𝑗+𝑘
𝑑𝑡𝑗+𝑘
𝑖
𝑥 (𝑡𝑖)
𝐹
(︂
𝑡𝑖, 𝑥 (𝑡𝑖) , . . . ,
𝑑𝑚
𝑑𝑡𝑚𝑖
𝑥 (𝑡𝑖)
)︂
= 0, 𝑗 = 1,𝑚,
𝑖 = 0, 1.
(23)
Для существования слабого локального экстремума в задаче Май-
ера (2) на фиксированном отрезке [𝑡0; 𝑡1] необходимо выполнение усло-
вий трансверсальности
𝜕
𝜕 𝑑𝑗
𝑑𝑡𝑗𝑖
𝑥 (𝑡𝑖)
𝐺
(︂
𝑡0, 𝑥 (𝑡0) , . . . ,
𝑑𝑝0
𝑑𝑡𝑝00
𝑥 (𝑡0) , 𝑡1, 𝑥 (𝑡1) , . . . ,
𝑑𝑝1
𝑑𝑡𝑝11
𝑥 (𝑡1)
)︂
= 0,
𝑗 = 0, 𝑝𝑖, 𝑖 = 0, 1.
(24)
Для существования слабого локального экстремума в задаче Боль-
ца (3) на фиксированном отрезке [𝑡0; 𝑡1] необходимы разрешимость
системы уравнений Эйлера-Пуассона (5) и выполнение условий транс-
Задачи вариационного исчисления с подвижными концами и . . . 115
версальности
𝑚−𝑗−1∑︁
𝑘=0
(−1)
𝑘 𝑑𝑘
𝑑𝑡𝑘𝑖
𝜕
𝜕 𝑑𝑗+𝑘+1
𝑑𝑡𝑗+𝑘+1
𝑖
𝑥 (𝑡𝑖)
𝐹
(︂
𝑡𝑖, 𝑥 (𝑡𝑖) , . . . ,
𝑑𝑚
𝑑𝑡𝑚𝑖
𝑥 (𝑡𝑖)
)︂
+ (−1)
𝑖+1 ×
× 𝜕
𝜕 𝑑𝑗
𝑑𝑡𝑗𝑖
𝑥 (𝑡𝑖)
𝐺
(︂
𝑡0, 𝑥 (𝑡0) , . . . ,
𝑑𝑝0
𝑑𝑡𝑝00
𝑥 (𝑡0) , 𝑡1, 𝑥 (𝑡1) , . . . ,
𝑑𝑝1
𝑑𝑡𝑝11
𝑥 (𝑡1)
)︂
= 0,
𝑗 = 0, 𝑞𝑖 − 1, 𝑖 = 0, 1.
(25)
5. Условие (4) отсутствует. В этом случае вариации 𝛿𝑡𝑖, 𝛿𝑥 (𝑡𝑖 + 𝛿𝑡𝑖),
𝑖 = 0, 1 произвольны.
Следствие 2.6. Для существования слабого локального экстрему-
ма в задаче Лагранжа (1) необходимы разрешимость системы урав-
нений Эйлера-Пуассона (5) и выполнение условий трансверсально-
сти (20), (23).
Для существования слабого локального экстремума в задаче Май-
ера (2) необходимо выполнение условий трансверсальности (21), (24).
Для существования слабого локального экстремума в задаче Боль-
ца (3) необходимы разрешимость системы уравнений Эйлера-Пуас-
сона (5) и выполнение условий трансверсальности (22), (25).
3 Пример
Рассмотрим задачу Больца (3) со скалярной искомой функцией 𝑥 (𝑡):
𝐼3 =
∫︁ 1
0
[︃(︂
𝑑2
𝑑𝑡2
𝑥 (𝑡)
)︂2
+ 48𝑥 (𝑡)
]︃
𝑑𝑡+
+ 𝑥2 (0) + 𝑥2 (1) +
(︂
𝑑
𝑑𝑡
𝑥 (𝑡)
⃒⃒⃒⃒
𝑡=0
)︂2
+
(︂
𝑑
𝑑𝑡
𝑥 (𝑡)
⃒⃒⃒⃒
𝑡=1
)︂2
.
Здесь 𝑡0 = 0, 𝑡1 = 1, 𝑛 = 1, 𝑙 = 0, 𝑚 = 2, 𝑝0 = 1, 𝑝1 = 1, 𝑞0 = 2, 𝑞1 = 2,
𝐹 =
(︂
𝑑2
𝑑𝑡2
𝑥 (𝑡)
)︂2
+ 48𝑥 (𝑡) ,
𝐺 = 𝑥2 (0) + 𝑥2 (1) +
(︂
𝑑
𝑑𝑡
𝑥 (𝑡)
⃒⃒⃒⃒
𝑡=0
)︂2
+
(︂
𝑑
𝑑𝑡
𝑥 (𝑡)
⃒⃒⃒⃒
𝑡=1
)︂2
.
116 Елишевич М.А.
Составим уравнение Эйлера-Пуассона (5):
2
𝑑4
𝑑𝑡4
𝑥 (𝑡) + 48 = 0.
Оно имеет общее решение
𝑥 (𝑡) = 𝑐0 + 𝑐1𝑡+ 𝑐2𝑡
2 + 𝑐3𝑡
3 − 𝑡4,
где 𝑐𝑖, 𝑖 = 0, 3 — произвольные скалярные постоянные.
Условия трансверсальности (25) имеют вид:(︂
−2
𝑑3
𝑑𝑡3
𝑥 (𝑡)− 2𝑥 (𝑡)
)︂⃒⃒⃒⃒
𝑡=0
= 0,
(︂
−2
𝑑3
𝑑𝑡3
𝑥 (𝑡) + 2𝑥 (𝑡)
)︂⃒⃒⃒⃒
𝑡=1
= 0,(︂
2
𝑑2
𝑑𝑡2
𝑥 (𝑡)− 2
𝑑
𝑑𝑡
𝑥 (𝑡)
)︂⃒⃒⃒⃒
𝑡=0
= 0,
(︂
2
𝑑2
𝑑𝑡2
𝑥 (𝑡) + 2
𝑑
𝑑𝑡
𝑥 (𝑡)
)︂⃒⃒⃒⃒
𝑡=1
= 0.
Отсюда
− 12𝑐3 − 2𝑐0 = 0, −12𝑐3 + 48 + 2𝑐0 + 2𝑐1 + 2𝑐2 + 2𝑐3 − 2 = 0,
4𝑐2 − 2𝑐1 = 0, 4𝑐2 + 12𝑐3 − 24 + 2𝑐1 + 4𝑐2 + 6𝑐3 − 8 = 0,
𝑐0 = −12, 𝑐1 = −2
3
, 𝑐2 = −1
3
, 𝑐3 = 2.
Рассматриваемый функционал может достигать слабого локального
экстремума на функции
𝑥 (𝑡) = −12− 2
3
𝑡− 1
3
𝑡2 + 2𝑡3 − 𝑡4.
[1] Галеев Э.М. Оптимизация: Теория, примеры, задачи: Учебное посо-
бие / Э. М. Галеев. — М.: Книжный дом ЛИБРОКОМ, 2010. — 336
с.
[2] Алексеев В.М. Оптимальное управление / В. М. Алексеев, В. М. Ти-
хомиров, С. В. Фомин. — М.: Наука, 1979. — 432 с.
1. Луковський І.О., Гаврилюк І.О., Василик В.Б., Ситник Д.О.
2. Біленко В. І., Божонок К. В., Дзядик С. Ю., Стеля О. Б.
Інтегро–апроксимаційний алгоритм
Вступ
Постановка задачі
Алгоритм
Похибка алгоритму
Застосування a–методу для алгебраїчно–нелінійних рівнянь гіперболічного типу
Задача Дирихле для алгебраїчно–нелінійних рівнянь еліптичного типу на прямокутнику
Наближений розв'язок початкової задачі для алгебраїчно–нелінійних рівнянь параболічного типу на прямокутнику
Сплайн–алгоритм
Монотонна схема для рівняння конвекції–дифузії
Висновки
3. Василик В.Б., Макаров В.Л., Ситник Д.О.
Вступ
Регуляризація та явне зображення розв'язку
Вибір контуру інтегрування
Чисельний метод
4. Веселовська Г.М.
5. Грушковская В.В.
Введение
Построение модельной системы
Условия устойчивости
Оценка скорости убывания решений
Пример: оценка скорости затухания колебаний маятниковой системы с частичной диссипацией
Выводы
6. Дзюбенко Г.А.
Вступ
Допоміжні факти
Доведення Теореми ??
7. Діденко Ю.Ф., Денисенко В.І.
8. Елишевич М.А.
Постановка задачи
Полученный результат
Пример
9. Константинов А.В., Лимарченко О.С., Кинебас К.В., Паранькина О.Ю.
Введение
Объект исследования и математическая модель
Результаты вычислительных экспериментов
Выводы
10. Мазко О.Г., Кусій С.М.
Вступ
Допоміжні твердження
Лінійні системи з керованими і спостережуваними виходами
Статичний регулятор по вимірюваному виходу
Динамічний регулятор
Алгоритм побудови динамічного регулятора
Приклад. Гасіння коливань лінійного осцилятора.
Висновок
11. Працьовитий М. В., Маслова Ю. П.
Вступ
Функція Радемахера і ряди Уолша
Узагальнення функцій Радемахера
Узагальнення функцій Уолша
12. Працьовитий М.В., Чуйков А.С.
Вступ
Оператори лівостороннього та правостороннього зсуву елементів ланцюгового дробу
Інші функції, пов'язані з оператором T(x)
13. Новицький В.В., Зінчук М.О., Коломійчук О.П., Тетерятник О.В.
Вступ
Оптимальне керування лінійними неперервними майже консервативними системами
Оптимальне керування лінійними дискретними майже консервативними системами
14. Осауленко Р. Ю.
Вступ
Перетворення, які зберігають хвости Qs–зображення чисел
Група перетворень, які зберігають частоти цифр Qs–зображення числа
Приклад функції, яка зберігає частоти, але не зберігає хвости зображення Qs-ірраціональних чисел
15. Слинько В.І., Кравчук С.В.
Постановка задачі.
Основний результат.
Умови стійкості
16. Солодун А. В.
Постановка задачи
Численные результаты
17. Ситник Д.О.
Вступ
Sinc–апроксимація
Sinc-апроксимація функції за її значеннями поза інтерполяційною сіткою
18. Сосницький С.П.
Вступ
Про рівняння збуреного руху в околі стаціонарних лагранжевих трикутників
Теорема про орбітальну нестійкість лагранжевих стаціонарних рухів у задачі трьох тіл
Висновок
19. Сосницький С.П.
Вступ
Про достатні умови відсутності осцилюючих симетричних рухів
20. Чернецька Л.О.
21. Timokha A.N.
Statement
Asymptotic steady-state solutions of (??)–(??)
The reciprocating excitation type
The axisymmetric elliptic excitation type
The oblique elliptic excitation type
Conclusions
22. Shlepakov L.N.
Main relationships for a non-inflated system
Construction of enlarged systems
Defining the task mathematical programming
Case of multiple channels with same probability characteristics in the same system of channels.
23. Shidlich A.L.
Approximative characteristics
Main results
Order estimates for some functionals and their applications
Proof of Theorems ?? and ??.
24. Луковський І.О., Стороженко В.О.
25. Луковський І.О., Пустовойтов М.О.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-45 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:01:34Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/82/44c78a42a5b82c6875645f0a08256082.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-452018-02-13T11:57:10Z Problems of the variational calculus with movable ends and higher-order derivatives Задачи вариационного исчисления с подвижными концами и производными высших порядков Задачі варіаційного числення з рухомими кінцями та похідними вищих порядків Elisevich, M. A. Елишевич, М. А. Єлішевич, М. А. The necessary conditions for the existence of a weak local extremum in the Lagrange, Mayer, and Bolt problems with moving ends, derivatives of higher orders, and the boundary condition are determined. An example is given. Определены необходимые условия существования слабого локального экстремума в задачах Лагранжа, Майера, Больца с подвижными концами, производными высших порядков и граничным условием. Приведен пример. Визначено необхiднi умови iснування слабкого локального екстремуму в задачах Лагранжа, Майера, Больцах з рухомими кiнцями, похiдними вищих порядкiв i граничною умовою. Наведено приклад. Інститут математики НАН України 2017-12-22 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/45 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 13 No. 3 (2016): Mathematical problems of mechanics and computational mathematics; 105-116 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 13 № 3 (2016): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 105-116 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 13 № 3 (2016): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 105-116 3083-7529 1815-2910 ru https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/45/42 Авторське право (c) 2016 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Elisevich, M. A. Елишевич, М. А. Єлішевич, М. А. Problems of the variational calculus with movable ends and higher-order derivatives |
| title | Problems of the variational calculus with movable ends and higher-order derivatives |
| title_alt | Задачи вариационного исчисления с подвижными концами и производными высших порядков Задачі варіаційного числення з рухомими кінцями та похідними вищих порядків |
| title_full | Problems of the variational calculus with movable ends and higher-order derivatives |
| title_fullStr | Problems of the variational calculus with movable ends and higher-order derivatives |
| title_full_unstemmed | Problems of the variational calculus with movable ends and higher-order derivatives |
| title_short | Problems of the variational calculus with movable ends and higher-order derivatives |
| title_sort | problems of the variational calculus with movable ends and higher-order derivatives |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/45 |
| work_keys_str_mv | AT elisevichma problemsofthevariationalcalculuswithmovableendsandhigherorderderivatives AT eliševičma problemsofthevariationalcalculuswithmovableendsandhigherorderderivatives AT êlíševičma problemsofthevariationalcalculuswithmovableendsandhigherorderderivatives AT elisevichma zadačivariacionnogoisčisleniâspodvižnymikoncamiiproizvodnymivysšihporâdkov AT eliševičma zadačivariacionnogoisčisleniâspodvižnymikoncamiiproizvodnymivysšihporâdkov AT êlíševičma zadačivariacionnogoisčisleniâspodvižnymikoncamiiproizvodnymivysšihporâdkov AT elisevichma zadačívaríacíjnogočislennâzruhomimikíncâmitapohídnimiviŝihporâdkív AT eliševičma zadačívaríacíjnogočislennâzruhomimikíncâmitapohídnimiviŝihporâdkív AT êlíševičma zadačívaríacíjnogočislennâzruhomimikíncâmitapohídnimiviŝihporâdkív |