Ланцюгове $D_2$-зображення дійсних чисел і деякі функції, з ним пов'язані
The properties of the representation of real numbers by continued fractions whose elements are equal to 0 and 1 (Denjoy's continued fractions) are studied.The geometry of this representation (properties of cylindrical sets, geometric content of digits, etc.) is investigated.Two projectors o...
Збережено в:
| Дата: | 2019 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2019
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/451 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552952342773760 |
|---|---|
| author | Працьовитий, М. В. Чуйков, А. С. Скрипник, С. В. |
| author_facet | Працьовитий, М. В. Чуйков, А. С. Скрипник, С. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "М. В. Працьовитий",
"institution": null
},
{
"author": "А. С. Чуйков",
"institution": null
},
{
"author": "С. В. Скрипник",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Працьовитий, М. В. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-03-02T07:56:20Z |
| description | The properties of the representation of real numbers by continued fractions whose elements are equal to 0 and 1 (Denjoy's continued fractions) are studied.The geometry of this representation (properties of cylindrical sets, geometric content of digits, etc.) is investigated.Two projectors of $D_2$-continued fraction representation of numbers into classical binary and nega-binary representations are studied.%Namely, these are the functions whose argument $x$ is written in the $D_2$-continued fraction representation and the values of the function $y$ is written in another representation with the same digits.Functional equations that satisfy these functions are given.The Lebesgue measure and the Hausdorff-Bezikovich fractal dimension of their sets of values are calculated.For one of these functions an equivalent definition of the system of two functional equations is given. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:07:36Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2019, т. 16, № 3, 101–114
УДК 511.72, 517.5
М. В. Працьовитий, С. О. Скрипник, А.
С.Чуйков
1 Iнститут математики НАН України, НПУ iменi
М.П. Драгоманова, Київ; prats4444@gmail.com,
2 Iнститут математики НАН України, Київ;
chyikov.artem@gmail.com,
3 Iнститут математики НАН України, Київ.
Ланцюгове D2-зображення дiйсних
чисел i деякi функцiї, з ним пов’язанi
The properties of the representation of real numbers by continued
fractions whose elements are equal to 0 and 1 (Denjoy’s continued
fractions) are studied. The geometry of this representation (properti-
es of cylindrical sets, geometric content of digits, etc.) is investi-
gated. Two projectors of D2-continued fraction representation of
numbers into classical binary and nega-binary representations are
studied. Functional equations that satisfy these functions are given.
The Lebesgue measure and the Hausdorff-Bezikovich fractal dimensi-
on of their sets of values are calculated. For one of these functions
an equivalent definition of the system of two functional equations is
given.
Keywords: Denjoy’s continued fraction, D2-continued fraction
representation of real number, nega-binary representation, Lebesgue
measure, Hausdorff-Besicovitch fractal dimension.
c© М. В. Працьовитий, С. О. Скрипник, А. С.Чуйков, 2019
Вивчаються властивостi зображення дiйсних чисел за допомогою
ланцюгових дробiв, елементами яких є 0 та 1 (ланцюгових дробiв
Данжуа). Дослiджується геометрiя цього зображення (властиво-
стi цилiндричних множин, геометричний змiст цифр тощо). Ви-
вчаються два проектори D2-зображення чисел в класичне двiй-
кове та нега-двiйкове зображення, а саме функцiї, якi ланцюго-
вому D2-зображенню числа x ставлять у вiдповiднiсть число y,
записане тими ж цифрами у iншому зображеннi. Наводяться фун-
кцiональнi спiввiдношення, яким задовольняють вказанi функцiї,
обчислюється мiра Лебега та розмiрнiсть Гаусдорфа-Безиковича
множин їх значень. Для однiєї з функцiй дається еквiвалентне
означення системою двох функцiональних рiвнянь.
Ключовi слова: ланцюговий дрiб Данжуа, ланцюгове D2-
зображення дiйсного числа, нега-двiйкове зображення, мiра Ле-
бега, фрактальна розмiрнiсть Гаусдорфа-Безиковича.
Вступ
Двосимвольнi системи зображення (кодування) дiйсних чисел
привертали i продовжують привертати увагу багатьох дослiдни-
кiв. До таких систем вiдносяться класичне двiйкове зображення
та його узагальнення Q2-зображення [11], [13], медiантне зобра-
ження [9], ланцюговеA2-зображення [10], [8] тощо. Причому, лан-
цюгове зображення породжує складну несамоподiбну геометрiю,
що ускладнює вивчення об’єктiв, заданих за допомогою ланцюго-
вих дробiв. Дана робота присвячена вивченню зображення чисел
за допомогою ланцюгових дробiв, елементами яких можуть бути
лише 0 або 1.
Arnaud Denjoy встановив [2], що кожне дiйсне число x розкла-
дається у ланцюговий (скiнченний або нескiнченний) дрiб Дан-
жуа вигляду
x = d0 +
1
d1 +
1
d2 +
. . . +
1
dn +
. . .
, (1)
Ланцюгове D2-зображення дiйсних чисел 103
де d0 ∈ Z таке, що x−d0 ≥ 0 i dn ∈ D2 ≡ {0, 1}, n ∈ N . Подальшi
дослiдження такого розкладу проводили M. Iosifescu i C. Kraai-
kamp (див. [1], [5], [6]).
Розклад числа x у дрiб вигляду (1) називатимемо його D2-
представленням, а формальний запис
x = [d0; d1, d2, . . . , dn, . . .]
D2
називатимемо його D2-зображенням.
Зв’язок мiж ланцюговим дробом Данжуа та елементарним
ланцюговим дробом визначається формулою, яка наведена в [6]:
x = [d0; (0, 1)a0−d0 , (1, 0)a1−1, 1, (1, 0)a2−1, 1, . . .]D2 , ∀Z 3 d0 ≤ x,
(2)
де вираз (1, 0)k означає, що група елементiв (1, 0) зустрiчається
k разiв, причому вона вiдсутня, якщо k = 0; ai, i = 0, 1, 2, . . . —
елементи розкладу числа x у елементарний ланцюговий дрiб.
Зауважимо, що для будь-якого d0 кожне рацiональне число,
аналогiчно до елементарних ланцюгових дробiв, має два зобра-
ження:
x1 = [d1, d2, . . . , dn, 1, 0, 1]D2 ≡ [d1, d2, . . . , dn, 1, 1]D2 = x2. (3)
Зауважимо також, що у розкладi (2) не iснує двох сусiднiх
нулiв. Якщо це обмеження зняти, то кожне число матиме не-
скiнченну кiлькiсть зображень, оскiльки
1
a+
1
b
=
1
a+
1
0 +
1
0 +
1
b
. (4)
Першi n елементiв a1, a2, . . . , an елементарного ланцюгового
дробу дають a1 +a2 + . . .+an елементiв ланцюгового дробу Дан-
жуа, рiвних 1, i a1+a2+. . .+an−n елементiв, рiвних 0. Нехай Zk —
104 М. В. Працьовитий, С. О. Скрипник, А. С.Чуйков
це кiлькiсть нулiв серед перших k елементiв d1, . . . , dk числа x, а
Wk — кiлькiсть одиниць. Використовуючи результат Хiнчина [7],
що для майже всiх x вiдносно мiри Лебега lim
n→∞
1
n
n∑
j=1
aj =∞ мо-
жна зробити висновок, що
lim
n→∞
Zk
Wk
= lim
n→∞
n∑
j=1
aj − n
n∑
j=1
aj
= 1,
тобто майже всi x асимптотично мають однакову кiлькiсть нулiв
i одиниць у розкладi в ланцюговий дрiб Данжуа.
Нехай x ∈ R, d0 ∈ Z, x−d0 ≥ 0. Дрiб Cn = [d0; d1, d2, . . . , dn]D2
називається пiдхiдним дробом. Значення Cn обчислюється, ви-
користовуючи рiвностi: 1/0 = ∞ та 1/∞ = 0. Це означає, що
Cn = Cn−2 при dn = 0. Причому послiдовнiсть пiдхiдних дробiв
pn/qn елементарного ланцюгового дробу є пiдпослiдовнiстю пiд-
хiдних дробiв Cn ланцюгового дробу Данжуа. Закони утворення
пiдхiдних дробiв для ланцюгового дробу Данжуа та елементар-
ного ланцюгового дробу аналогiчнi:{
p−1 = 1, p0 = d0, pn = dnpn−1 + pn−2;
q−1 = 0, q0 = 1, qn = dnqn−1 + qn−2, n ≥ 1.
Наприклад, дрiб
11
4
розкладається у елементарний ланцюго-
вий дрiб та ланцюговий дрiб Данжуа наступним чином:
11
4
= [2; 1, 3] = [d0; (0, 1)2−d0 , 1, 1, 0, 1, 1]D2 , Z 3 d0 <
11
4
.
Послiдовностi чисельникiв i знаменникiв пiдхiдних дробiв для
числа
11
4
при d0 = 0 подано у табл. (1).
Ланцюгове D2-зображення дiйсних чисел 105
i -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
pi 1 0 1 1 1 2 3 5 3 8 11
qi 0 1 0 1 0 1 1 2 1 3 4
Табл. 1: Пiдхiднi дроби розкладу числа 11/4
1. Геометрiя ланцюгового D2-зображення
Нехай x записаний у виглядi ланцюгового дробу Данжуа (2),
причому нехай d0 = 0 i x ∈ (0; 1]. Тодi a0 = 0 i
x = [(1, 0)a1−1, 1, (1, 0)a2−1, 1, . . . , (1, 0)an−1, 1, . . .]D2 =: [1, d2, . . . , dn, . . .]
D2 .
Дослiдимо геометрiю ланцюгового D2-зображення. Для цього
будемо використовувати тотожнiсть:
[1, d2, . . . , dn,∞]D2 = [1, d2, . . . , dn + 1/∞]D2 = [1, d2, . . . , dn]D2 .
Означення 1. Цилiндром рангу m з основою 1c2 · · · cm називає-
ться множина
∆D2
1c2···cm = {x|x = [1, d2, . . . , dm, . . .]
D2 , di(x) = ci, i = 2,m}.
Цилiндри мають наступнi властивостi.
1) Цилiндр ∆D2
1c2···cm є вiдрiзком, причому:
(a) Якщо m – парне (непарне) i cm = 1, то:
[1, c2, . . . , cm−1]
D2 – правий (лiвий) кiнець цилiндра,
[1, c2, . . . , cm]D2 – лiвий (правий) кiнець цилiндра.
(b) Якщо m – парне (непарне) i cm = 0, то:
[1, c2, . . . , cm]D2 – правий (лiвий) кiнець цилiндра,
[1, c2, . . . , cm, 1]D2 – лiвий (правий) кiнець цилiндра.
Дiйсно, якщо m-парне i cm=1, то
min ∆D2
1c2...cm
= [1, c2, . . . , cm, (1, 0)]D2 = [1, c2, . . . , cm]D2 ,
106 М. В. Працьовитий, С. О. Скрипник, А. С.Чуйков
max ∆D2
1c2...cm
= [1, c2, . . . , cm, (0, 1)]D2 =
= [1, c2, . . . , cm−1, (1, 0)]D2 = [1, c2, . . . , cm−1]
D2 .
Якщо ж m-парне i cm=0, то
min ∆D2
1c2...cm
= [1, c2, . . . , cm, (1, 0)]D2 = [1, c2, . . . , cm]D2 ,
max ∆D2
1c2...cm
= [1, c2, . . . , cm, 1, (1, 0)]D2 = [1, c2, . . . , cm, 1]D2
(оскiльки елемент на (m+1)-му мiсцi не може дорiвнювати
0). При непраному m мiркування аналогiчнi.
Припущення 1. min ∆D2
1c2...c2k−110
= max ∆D2
1c2...c2k−111
,
min ∆D2
1c2...c2k11
= max ∆D2
1c2...c2k10
.
2) Дiаметр цилiндра ∆D2
1c2...cm
виражається формулою:
∣∣∣∆D2
1c2...cm
∣∣∣ =
{∣∣[1, c2, . . . , cm]D2 − [1, c2, . . . , cm−1]
D2
∣∣ , cm = 1,∣∣[1, c2, . . . , cm]D2 − [1, c2, . . . , cm, 1]D2
∣∣ , cm = 0.
Випливає з першої властивостi.
3) ∆D2
1c2...cm−10
= ∆D2
1c2...cm−101
, ∆D2
1c2...cm−11
=
1⋃
i=0
∆D2
1c2...cm−11i
.
Випливає з того, що дроби Данжуа не мiстять двох послi-
довних нулiв.
Лема 2. Має мiсце рiвнiсть:
[1, 1, d3, . . . , dn, . . .]
D2 + [1, 0, 1, d3, . . . , dn, . . .]
D2 = 1.
Доведення. Нехай a = 1 + [d3, d4, . . .]
D2 , тодi
[1, 1, d3, . . . , dn, . . .]
D2 =
1
1 + 1
a
=
a
a+ 1
;
Ланцюгове D2-зображення дiйсних чисел 107
Рис. 1: Розташування цилiндрiв D2-зображення
[1, 0, 1, d3, . . . , dn, . . .]
D2 =
1
1 + 1
0+ 1
a
=
1
a+ 1
.
Звiдси
[1, 1, d3, . . . , dn, . . .]
D2+[1, 0, 1, d3, . . . , dn, . . .]
D2 =
a
a+ 1
+
1
a+ 1
= 1.
�
Лема 3. Має мiсце рiвнiсть:
∣∣∣∆D2
11c3c4...cn
∣∣∣ =
∣∣∣∆D2
101c3c4...cn
∣∣∣.
Доведення. Нехай cn = 1. За властивостi 1) i леми 2 маємо:∣∣∣∆D2
11c3c4...cn
∣∣∣ =
∣∣[11c3c4 . . . cn−1]
D2 − [11c3c4 . . . cn]D2
∣∣ =
=
∣∣(1− [101c3c4 . . . cn−1]
D2
)
−
(
1− [101c3c4 . . . cn]D2
)∣∣ =
=
∣∣[101c3c4 . . . cn]D2 − [101c3c4 . . . cn−1]
D2
∣∣ =
∣∣∣∆D2
101c3c4...cn
∣∣∣ .
При cn = 0 мiркування аналогiчнi. �
З леми 2 випливає наступна геометрична iнтерпретацiя: ци-
лiндри виду ∆D2
11c3...cn
n-го рангу розташованi симетрично вiдно-
сно точки x = 0, 5 до цилiндрiв виду ∆D2
101c3...cn
(n+ 1)-го рангу.
108 М. В. Працьовитий, С. О. Скрипник, А. С.Чуйков
2. Функцiї, якi заданi проекторами цифр
ланцюгового D2-зображення в цифри
двiйкового та нега-двiйкового зображень
Розглянемо функцiю, яка в усiх iррацiональних точках пiвiнтер-
валу (0; 1] означена рiвнiстю:
f([0; d1, d2, . . . , dn, . . .]
D2) =
∞∑
n=1
dn
2n
= ∆2
d1d2...dn....
Лема 4. Для всiх x ∈ I ∩ (0; 1] функцiя f задовольняє функцiо-
нальне рiвняння
1 + f(x) = 2f
(
1
1 + x
)
.
Доведення. Справдi, для довiльного x = [0; d1, d2, ..., dn, ...]
1 + f(x) = 1 +
d1
2
+
d2
22
+ . . . = 2
(
1
2
+
d1
22
+
d2
23
+ . . .
)
=
= 2f
(
[1, d1, d2, . . .]
D2
)
= 2f
(
1
1 + x
)
.
�
Вiдомо, що для довiльного x ∈ [0; 1] iснує послiдовнiсть
(ωn), ωn ∈ {0, 1}, така що
x =
2
3
+
∞∑
n=1
ωn
(−2)n
=
2
3
− ω1
2
+
ω2
22
− ω3
23
+ . . . ≡ ∆̄2
ω1ω2...ωn....
Таке подання числа називається нега-двiйковим зображенням.
Розглянемо функцiю ϕ, яка у рацiональних та iррацiональних
точках пiвiнтервалу (0; 1] означена вiдповiдними рiвностями:
ϕ
(
[d1, d2, . . . , dn]D2
)
= ∆̄2
d1d2...dn ,
Ланцюгове D2-зображення дiйсних чисел 109
ϕ
(
[d1, d2, . . . , dn, . . .]
D2
)
= ∆̄2
d1d2...dn....
Розглянемо два рiзнi зображення рацiонального числа (3).
Оскiльки
ϕ(x1) =
2
3
+
k∑
n=1
dn
(−2)n
+
1
(−2)k+1
+
0
(−2)k+2
+
1
(−2)k+3
=
=
2
3
+
k∑
n=1
dn
(−2)n
+
5
(−2)k+3
,
ϕ(x2) =
2
3
+
k∑
n=1
dn
(−2)n
+
1
(−2)k+1
+
1
(−2)k+2
=
2
3
+
k∑
n=1
dn
(−2)n
+
−1
(−2)k+2
,
то
ϕ(x1)− ϕ(x2) =
3
(−2)k+3
6= 0,
i тому, щоб забезпечити коректнiсть функцiї ϕ(x), будемо роз-
глядати лише перше зображення, у якому передостанiй елемент
рiвний нулю.
Лема 5. Функцiя ϕ є монотонно зростаючою i її можна пода-
ти у виглядi
ϕ(x) =
2
3
− 1
3
∞∑
n=1
(
(−1)n+1
(
22an − 1
) n∏
i=1
(
21−2ai
))
.
Доведення. Виконаємо перетворення
ϕ(x) =
2
3
−
(
1
2
− 0
22
+
1
23
− . . .− 0
22a1−2
+
1
22a1−1
)
+
+
(
1
22a1
− 0
22a1+1
+ . . .− 0
22a1+2a2−3 +
1
22a1+2a2−2
)
−
−
(
1
22a1+2a2−1 −
0
22a1+2a2
+ . . .− 0
22a1+2a2+2a3−4 +
1
22a1+2a2+2a3−3
)
+. . . =
110 М. В. Працьовитий, С. О. Скрипник, А. С.Чуйков
=
2
3
− 1
2
1− (14)a1
1− 1
4
+
1
22a1
1− (14)a2
1− 1
4
− 1
22a1+2a2−1
1− (14)a3
1− 1
4
+ . . . =
=
2
3
− 1
3
∞∑
n=1
(−1)n+12
n−2
n−1∑
i=1
ai (
22an−1
)
=
2
3
− 1
3
∞∑
n=1
(
(−1)n+1
(
22an − 1
) n∏
i=1
(
21−2ai
))
.
Монотоннiсть функцiї випливає з схожого розмiщення цилiндрiв,
якi йдуть справа-налiво на непарних кроках i злiва-направо на
парних кроках. �
Лема 6. Функцiя ϕ задовольняє функцiональнi рiвняння:
ϕ
(
x
x+ 1
)
=
1
4
ϕ(x), ϕ
(
1
1 + x
)
=
1
2
−1
2
ϕ(x), ϕ
(
1
x
− 1
)
= 1−2ϕ(x).
Доведення. Нехай x = [0; d1, d2, ...]. Оскiльки
x
x+ 1
=
[1, 0, d1, d2, . . .]
D2 , то
ϕ
(
x
x+ 1
)
=
2
3
− 1
2
+
0
22
− d1
23
+
d2
24
− . . . =
1
6
+
1
4
(
−2
3
+
2
3
− d1
2
+
d3
22
− . . .
)
=
1
6
+
1
4
(
−2
3
+ ϕ(x)
)
=
1
4
ϕ(x).
Оскiльки
1
1 + x
= [1, d1, d2, . . .]
D2 , то
ϕ
(
1
1 + x
)
=
2
3
−1
2
+
d1
22
−d2
23
+. . . =
1
6
+
1
2
(
2
3
−
(
2
3
− d1
2
+
d2
22
− . . .
))
=
=
1
6
+
1
2
(
2
3
− f(x)
)
=
1
2
− 1
2
ϕ(x).
Ланцюгове D2-зображення дiйсних чисел 111
Пiдставимо у друге функцiональне рiвняння x замiсть 1
x − 1:
ϕ(x) =
1
2
− 1
2
ϕ
(
1
x
− 1
)
,
звiдси випливає третє рiвняння. �
Теорема 7. Функцiя ϕ(x) є єдиним розв’язком системи двох
функцiональних рiвнянь
ϕ
(
1
i+ x
)
= 1− i
2
− 1
2
ϕ(x), i ∈ A
у класi обмежених на [0; 1] функцiй.
Доведення. Нехай x = [0; d1, d2, ...]. Позначимо un :=
[dn+1, dn+2, . . .]
D2 . Оскiльки x =
1
d1 + u1
i d1 ∈ D2, то:
ϕ(x) = ϕ
(
1
d1 + u1
)
= 1− d1
2
− 1
2
ϕ (u1) .
Аналогiчно, оскiльки u1 =
1
d2 + u2
i d2 ∈ D2, то:
ϕ (u1) = ϕ
(
1
d2 + u2
)
= 1− d2
2
− 1
2
ϕ (u2) .
Отже,
ϕ(x) = 1−d1
2
−1
2
(
1− d2
2
− 1
2
ϕ (u2)
)
=
(
1− 1
2
)
−d1
2
+
d2
22
+
1
22
ϕ (u2) .
За n крокiв отримаємо:
ϕ(x) =
1 ·
(
1−
(
−1
2
)n)
1 + 1
2
− d1
2
+
d2
22
+ . . .+
(−1)ndn
2n
+
(−1)n
2n
ϕ(un).
112 М. В. Працьовитий, С. О. Скрипник, А. С.Чуйков
З обмеженостi функцiї ϕ(x) i з того, що при n→∞
(−1)n
2n
→ 0 та
1 ·
(
1−
(
−1
2
)n)
1 + 1
2
→ 2
3
маємо збiжнiсть процесу:
ϕ(x) =
2
3
− d1
2
+
d2
22
+ . . .+
(−1)ndn
2n
+ . . . .
�
Задання функцiй зi складними локальними властивостями за
допомогою систем функцiональних рiвнянь займались рiзнi вче-
нi, зокрема, R. Girgenson [4], O. Dovgoshey [3], М.В. Працьовитий
та А.В. Калашнiков [12] та iн.
Нехай E(ϕ) – множина значень функцiї ϕ(x). Тодi
E(ϕ) = {y | y = ∆̄2
d1d2...dn..., dn + dn+1 6= 0 ∀n ∈ N}.
Теорема 8. Множина E(ϕ) значень функцiї ϕ належить
вiдрiзку [0; 1/2] i є нiде не щiльною самоподiбною фракталь-
ною множиною нульової мiри Лебега, розмiрнiсть Гаусдорфа-
Безиковича якої α0(E) = log2
√
5+1
2 .
Доведення. Оскiльки ∀x ∈ (0; 1] d1 = 1, то значення функцiї
зосередженi на множинi чисел, якi у своєму нега-двiйковому зо-
браженнi мають першу цифру, рiвну одиницi, тобто на множинi
[0; 1/2].
Доведемо, що E(ϕ) є нiде не щiльною за означенням. Справ-
дi, нехай (a; b) – довiльний iнтервал, що належить (0; 1]. Легко
вказати цилiндр ∆̄2
d1d2...dn
⊂ (a; b). Тодi iнтервал int∆̄2
d1d2...dn00
не мiстить жодної точки множини E(ϕ). Отже, E(ϕ) – нiде не
щiльна.
Доведемо тепер, що λ(E) = 0.
З того, що E = (E ∩ ∆̄2
101) ∪ (E ∩ ∆̄2
100) ∪ (E ∩ ∆̄2
11) i
λ(E ∩ ∆̄2
100) = 0, E
1
2∼ E ∩ ∆̄2
11, E
1
4∼ E ∩ ∆̄2
101, (5)
Ланцюгове D2-зображення дiйсних чисел 113
то λ(E) = λ(E)/4 + λ(E)/2 ⇒ λ(E)/4 = 0 ⇒ λ(E) = 0.
Для знаходження розмiрностi Гаусдорфа-Безиковича скори-
стаємось (5), звiдки отримуємо рiвняння:(
1
4
)α
+
(
1
2
)α
= 1 ⇒ α = log2
√
5 + 1
2
.
�
Лiтература
[1] Dajani K., Kraaikamp C. The mother of all continued frac-
tions // Colloq. Math. — 2000. — 84/85. part 1. — P. 109-123.
[2] Denjoy A. Complément à la notice publièe en 1934 sur les
travaux scientifiques de M. Arnaud Denjoy — Hermann, Paris,
1942.
[3] Dovgoshey O. The Cantor function / O. Dovgoshey, O. Martio,
V. Ryazanov, M. Vuorinen// Expo. Math — 24 (2006). — P. 1-
37.
[4] Girgenson R. Constructing singular functions via Farey frac-
tions // J. Math. Anal. Appl. — 203 (1996).— P. P.127-141.
[5] Iosifescu M., Kraaikamp C. Metric properties of Denjoy’s canon-
ical continued fraction expansion // Tokyo J.Math. — 31
(2008). — no. 2. — P. 495-510.
[6] Iosifescu M., Kraaikamp C. On Denjoy’s canonical continued
fraction expansion // Osaka J.Math. — 40 (2003). — no. 1. —
P. 235-244.
[7] Khintchine A. Ya. Metrische Kettenbruchproblemen // Com-
positio Math — 1 (1935). — P. 361-382.
114 М. В. Працьовитий, С. О. Скрипник, А. С.Чуйков
[8] Pratsiovytyi M.V., Chuikov A.S. Continuous distributions
whose functions preserve tails of a A-continued fraction repre-
sentation of numbers. Random Operators and Stochastic Equa-
tions. — 2019. Vol. 27 (3). — P. 199-206.
[9] Безбородов В. К. Медiантне зображення дiйсних чисел //
Студентськi фiзико-математичнi етюди— 2008.— №. 7. — С.
73-81.
[10] Дмитренко С. О., Кюрчев Д. В., Працьовитий М. В. Лан-
цюгове A2-зображення дiйсних чисел та його геометрiя //
Укр. мат. журнал. — 61 (2009). — № 4. — C. 452-463.
[11] Працьовитий М. В., Василенко Н. А. Одна сiм’я неперерв-
них функцiй з всюди щiльною множиною особливостей //
Науковий часопис НПУ iменi М.П. Драгоманова. Серiя 1.
Фiзико-математичнi науки. — Київ. — 2011, — № 12. — С. 152-
167.
[12] Працьовитий М. В., Калашнiков А. В., Безбородов В. К. Про
один клас сингулярних функцiй,що мiстить класичну фун-
кцiю Мiнковського // Науковий часопис НПУ iменi М.П.
Драгоманова. Серiя 1. Фiзико-математичнi науки. — Київ,
2010. — № 11. — С. 207-213.
[13] Працьовитий М. В. Фрактальний пiдхiд у дослiдженнях син-
гулярних розподiлiв. — Київ, 1998. — 296 с.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-451 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:07:36Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/46/ebca2d8ffc219c18cc92ad1231eba846.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-4512023-03-02T07:56:20Z Ланцюгове $D_2$-зображення дійсних чисел і деякі функції, з ним пов'язані Працьовитий, М. В. Чуйков, А. С. Скрипник, С. В. The properties of the representation of real numbers by continued fractions whose elements are equal to 0 and 1 (Denjoy's continued fractions) are studied.The geometry of this representation (properties of cylindrical sets, geometric content of digits, etc.) is investigated.Two projectors of $D_2$-continued fraction representation of numbers into classical binary and nega-binary representations are studied.%Namely, these are the functions whose argument $x$ is written in the $D_2$-continued fraction representation and the values of the function $y$ is written in another representation with the same digits.Functional equations that satisfy these functions are given.The Lebesgue measure and the Hausdorff-Bezikovich fractal dimension of their sets of values are calculated.For one of these functions an equivalent definition of the system of two functional equations is given. Вивчаються властивості зображення дійсних чисел за допомогою ланцюгових дробів, елементами яких є 0 та 1 (ланцюгових дробів Данжуа).Досліджується геометрія цього зображення (властивості циліндричних множин, геометричний зміст цифр тощо).Вивчаються два проектори $D_2$-зображення чисел в класичне двійкове та нега-двійкове зображення, а самефункції, які ланцюговому $D_2$-зображенню числа $x$ ставлять у відповідність число $y$, записане тими ж цифрами у іншому зображенні.Наводяться функціональні співвідношення, яким задовольняють вказані функції, обчислюється міра Лебега та розмірність Гаусдорфа-Безиковича множин їх значень.Для однієї з функцій дається еквівалентне означення системою двох функціональних рівнянь. Інститут математики НАН України 2019-12-26 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/451 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 16 No. 3 (2019): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 101-114 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 16 № 3 (2019): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 101-114 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 16 № 3 (2019): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 101-114 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/451/479 Авторське право (c) 2019 М.В. Працьовитий, І.М. Лисенко, Ю.П. Маслова http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Працьовитий, М. В. Чуйков, А. С. Скрипник, С. В. Ланцюгове $D_2$-зображення дійсних чисел і деякі функції, з ним пов'язані |
| title | Ланцюгове $D_2$-зображення дійсних чисел і деякі функції, з ним пов'язані |
| title_full | Ланцюгове $D_2$-зображення дійсних чисел і деякі функції, з ним пов'язані |
| title_fullStr | Ланцюгове $D_2$-зображення дійсних чисел і деякі функції, з ним пов'язані |
| title_full_unstemmed | Ланцюгове $D_2$-зображення дійсних чисел і деякі функції, з ним пов'язані |
| title_short | Ланцюгове $D_2$-зображення дійсних чисел і деякі функції, з ним пов'язані |
| title_sort | ланцюгове $d_2$-зображення дійсних чисел і деякі функції, з ним пов'язані |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/451 |
| work_keys_str_mv | AT pracʹovitijmv lancûgoved2zobražennâdíjsnihčiselídeâkífunkcííznimpov039âzaní AT čujkovas lancûgoved2zobražennâdíjsnihčiselídeâkífunkcííznimpov039âzaní AT skripniksv lancûgoved2zobražennâdíjsnihčiselídeâkífunkcííznimpov039âzaní |