$\Pi$ - theorem in the problem of parametric reduction of dynamical systems
We analyze the role of $\pi$-theorem in the problem of parametricof dynamical systems. Several examples show that theapplication of $\pi$-theorem in the problem of parametric description of the dynamical systems restricts the utility of such reduction, and further group analysis becomes more complic...
Збережено в:
| Дата: | 2006 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/456 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552955226357760 |
|---|---|
| author | Lehenkyi, V. Легенький , В. Легенький, В. |
| author_facet | Lehenkyi, V. Легенький , В. Легенький, В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "В. Легенький ",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Lehenkyi, V. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-13T10:42:30Z |
| description | We analyze the role of $\pi$-theorem in the problem of parametricof dynamical systems. Several examples show that theapplication of $\pi$-theorem in the problem of parametric description of the dynamical systems restricts the utility of such reduction, and further group analysis becomes more complicated. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:07:39Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2006, т.3, N 2, 187–196
УДК 512.816:53.072.2:531.01
π-теорема в проблеме
параметрической редукции
динамических систем
В.И. ЛЕГЕНЬКИЙ
Iнститут математики НАН України, Київ
E-mail: victor@imath.kiev.ua
Проаналiзована роль π-теореми в проблемi параметричної редукцiї ди-
намiчних систем. На прикладах показано, що передчасне застосування
π-теореми звужує можливостi такої редукцiї та ускладнює подальший
груповий аналiз вихiдної динамiчної системи.
We analyze the role of π-theorem in the problem of parametric reduction
of dynamical systems. Several examples show that the premature appli-
cation of π-theorem in the problem of minimal-parametric description of
the dynamical systems restricts the utility of such reduction, and further
group analysis becomes more complicated.
1. Введение. Известному американскому математику Ричарду Бел-
лману принадлежит замечательное наблюдение [1, c. 17]: “. . . беспо-
койные инженеры и экономисты, безусловно, хотели бы иметь “пова-
ренную” книгу математических рецептов на все случаи жизни – не-
что вроде прославленной таблицы интегралов или даже логарифмов
. . . ”. Роль такого рецепта в проблеме параметрической редукции ди-
намических систем (т.е. в проблеме приведения уравнений модели
к минимально-параметрическому виду) играет так называемая π-
теорема. Мы приведем ее в редакции Л.В. Овсянникова [2, с. 263]:
Теорема 1 (π-теорема). Любая безразмерная функция физических
величин является функцией от безразмерных “комбинаций” этих
величин; любое соотношение между физическими величинами рав-
носильно некоторому соотношению между их безразмерными “ком-
бинациями”.
Суть теоремы подсказывает естественный путь уменьшения па-
раметров: из фазовых координат, времени и параметров модели сле-
дует образовать безразмерные комбинации и переписать исходные
188 В.И. Легенький
уравнения в терминах этих комбинаций. Так как число этих комби-
наций заведомо меньше совокупного числа координат и параметров,
следовательно, число параметров в редуцированной модели будет
также меньшим.
Пример 1. Рассмотрим математическую модель осциллятора с ква-
дратичным сопротивлением и линейным трением:
mẍ+ kẋ2 + cx = 0, (1)
где x означает линейную координату, m – массу, k, c – коэффици-
енты сопротивления и трения соответственно, дифференцирование
производится по времени t. Размерности величин следующие:
[x] = м, [t] = c, [m] = кг, [k] = кг/м, [c] = кг/c2.
Безразмерные комбинации будем искать в соответствии с алго-
ритмом, предложенным в работе [3]. Вначале составим таблицу раз-
мерностей:
t x m k c
t 1 0 0 0 −2
x 0 1 0 −1 0
m 0 0 1 1 1
По приведенной таблице формируем матрицу размерностей A1
A1 =
1 0 0 0 −2
0 1 0 −1 0
0 0 1 1 1
=
... 0 −2
E
... −1 0
... 1 1
и находим ядро (нуль-пространство) этой матрицы, т.е. все векто-
ра s, удовлетворяющие уравнению A1s = 0. Эта процедура автома-
тизирована в большинстве систем аналитических вычислений. На-
пример, в системе MATLAB результат получается применением к
матрице A1 оператора null(A1, ‘r’), а в системе REDUCE – операто-
ра nullspace(A1). Результат в обеих системах представляется также
в виде матрицы B1, столбцы которой и есть искомые вектора. Для
π-теорема в проблеме параметрической редукции 189
нашего примера матрица B1 принимает вид:
B1 =
1 0
0 1
−0, 5 −1
0 1
0, 5 0
.
Ей соответствует таблица показателей степени для безразмерных
комбинаций:
π11 = t̂ π12 = x̂
t 1 0
x 0 1
m −0, 5 −1
k 0 1
c 0,5 0
Новые безразмерные переменные принимают вид:
π11 = t̂ = t
√
c
m
, π12 = x̂ = x
k
m
,
а исходное уравнение может быть записано в виде:
¨̂x+ ˙̂x2 + x̂ = 0.
Приведенный пример – это так сказать “success story” π-теоремы:
редуцированная модель содержит только новые координаты и уже
не содержит характерных физических констант, как и гарантирует
теорема. Не всегда, однако, дело обстоит так.
Пример 2. Рассмотрим похожую модель
mẍ+ αẋ+ cx = 0, (2)
отличающуюся от вышерассмотренной только тем, что производ-
ная ẋ входит линейно, а не квадратично. Соответственно, размер-
ности прежние, за исключением коэффициента α:
[x] = м, [t] = c, [m] = кг, [α] = кг/c, [c] = кг/c2.
Таблица размерностей принимает вид:
190 В.И. Легенький
t x m α c
t 1 0 0 −1 −2
x 0 1 0 0 0
m 0 0 1 1 1
Ей соответствует матрица размерностей A2
A2 =
1 0 0 −1 −2
0 1 0 0 0
0 0 1 1 1
=
... −1 −2
E
... 0 0
... 1 1
имеющая ядро
B2 =
1 0
0 0
0 1
−1 −2
1 1
,
которому соответствует таблица
π21 = t̃ π22 = m̃
t 1 0
x 0 0
m 0 1
α −1 −2
c 1 1
Новые безразмерные переменные принимают вид:
π21 = t̃ = t
c
α
, π22 = m̃ = m
c
α2
,
а уравнение может быть представлено как:
m̃¨̃x+ ˙̃x+ x̃ = 0.
Для удобства сравнения с примером 1, можно выбрать другую ком-
бинацию безразмерных переменных (по правилу: функция от инва-
рианта – тоже инвариант):
t̃ =
π21√
π22
= t
√
c
m
, α̃ =
1
√
π22
=
α√
cm
.
π-теорема в проблеме параметрической редукции 191
Тогда преобразованное уравнение (штрих обозначает дифференци-
рование по преобразованному безразмерному времени) примет вид:
x′′ + α̃x′ + x = 0. (3)
Таким образом, замечаем, что хотя время в обоих примерах преобра-
зуется одинаково, но второе уравнение во-первых, содержит одну
безразмерную константу α̃, а, во-вторых, мы замечаем, что коорди-
ната x в нем – не преобразовывалась(!) – ей не с чем было “ком-
бинироваться”, а, значит, уравнение по-прежнему остается размер-
ным, только имеет уже не размерность силы, а размерность длины.
Для того, чтобы разобраться в этой ситуации, потребуются средства
группового анализа.
2. Параметрическая редукция как задача группового рас-
слоения. Начнем с терминологического замечания. Термин “реду-
кция”, который в буквальном смысле означает “приведение”, в рус-
скоязычной литературе все же приобрел смысл “уменьшение”. Поэто-
му, когда говорят, например, “редуцированное уравнение”, то, глав-
ным образом, имеют ввиду уравнение, у которого уменьшился поря-
док, либо уменьшилось количество неизвестных и т.д. Как правило,
преобразование, с помощью которого уравнение приобрело другой
вид, рассматривается отдельно от самого этого уравнения. По мне-
нию автора более точным является рассмотрение и самого преобра-
зования и нового уравнения совместно.
В дальнейшем мы будем вести речь о групповых преобразовани-
ях, при которых редуцированное уравнение играет роль разреша-
ющей системы, а само преобразование – роль автоморфной систе-
мы. Необходимые теоретические положения можно найти в работах
Л.В. Овсянникова [2] и Ю.Н. Павловского [4,5]. В рамках такого под-
хода для расслоения дифференциального уравнения с параметрами
(обозначим через p вектор параметров)
F (t, x, ẋ, ẍ, . . . , p) = 0
следует прежде всего найти его инфинитезимальные симметрии вида
X = τ(t, x, p)∂t + ξ(t, x, p)∂x + ϕ(t, x, p)∂p, (4)
причем для наших целей интерес представляют операторы, для ко-
торых выполняется условие {ϕ 6= 0}. Тогда в качестве интересующих
192 В.И. Легенький
нас замен можно использовать инварианты этих операторов, а само
уравнение надо записать в терминах этих инвариантов.
Сразу же заметим, что вышеприведенным преобразованиям, по-
лученным из соображений размерности, соответствуют операторы
растяжений, образующие абелеву подалгебру в общей алгебре сим-
метрий. В первом случае – это операторы
X1 = t∂t − 2c∂c, X2 = x∂x − k∂k, X3 = m∂m + k∂k + c∂c,
а во втором случае – это операторы
Y1 = t∂t − α∂α − 2c∂c, Y2 = x∂x, Y3 = m∂m + α∂α + c∂c.
Обратим внимание на оператор Y2. Он не удовлетворяет вышепри-
веденному условию и именно это является причиной того, что в пер-
вом примере удалось полностью освободиться от параметров, а во-
втором – нет. Это также проливает свет на то, что преобразованное
уравнение во втором примере осталось размерным: причина состоит
в том, что оно (уравнение) – дифференциальное, а не функциональ-
ное. В последнем случае (т.е. для уравнения F (x, π1, π2) = 0) нали-
чие оператора Y2 означало бы его однородность по x, что позволило
бы представить его в виде F (x, π1, π2) = xG(π1, π2) = 0, а следова-
тельно, в виде G(π1, π2) = 0. Для дифференциального уравнения –
это не так, поэтому фразу “любое соотношение” в теореме 1 следует
заменить на “любое функциональное соотношение”.
Безусловно, разыскивая операторы симметрии в более широком
классе, у нас есть надежда получить большее число необходимых
для редукции операторов. Но при этом возникает ситуация, подо-
бная отысканию операторов точечной симметрии для дифференци-
альных уравнений первого порядка (или их систем), а именно: опре-
деляющие уравнения для коэффициентов операторов являются не-
доопределенными (что, вообще говоря, приводит к появлению бе-
сконечномерных групп симметрий) и их решение по сложности не
уступает интегрированию исходного уравнения. Поэтому мы можем
сузить класс операторов симметрии, наложив те или иные условия.
Например, положив τp = 0, ξp = 0, мы будем разыскивать т.н. “груп-
пу эквивалентностей”, а при ϕt = ϕx = 0 – ее подгруппу (иногда
называемую “сепарабельной”). Примеры подобного балансирования
между общностью результата и возможностью провести вычисления
“до конца” хорошо известны (см., например, работу Н.Х. Ибрагимо-
ва [6] или работу Л.В. Овсянникова [7]).
π-теорема в проблеме параметрической редукции 193
Возвращаясь к примеру 2, можно показать, что в классе операто-
ров (4), для которых выполняются дополнительные условия τp = 0,
ξp = 0, ϕt = ϕx = 0, уравнение допускает еще 2 оператора симмет-
рии:
Y4 = ∂t, Y5 = tx∂x − 2m∂α − α∂c.
Оператор Y4 для нас интереса не представляет (так же, как и опе-
ратор Y2, это оператор из ядра, т.е. допускается исходным уравне-
нием при любых значениях коэффициентов). Напротив, оператор Y5
для нас полезен. Прежде, чем проводить редукцию с учетом этого
дополнительного оператора, заметим, что подалгебра 〈Y1, Y3, Y5〉 –
неабелева. Действительно, анализируя попарные коммутаторы
[Y1, Y3] = 0, [Y1, Y5] = Y5, [Y5, Y3] = 0,
замечаем, что центр алгебры образован оператором Y3, а оператор
Y5 принадлежит идеалу. В силу этого, редукцию следует проводить
в порядке: Y3 −→ Y5 −→ Y1. Как видно, наличие оператора Y5 изме-
нило порядок редукции по сравнению с π-теоремой и нам предстоит
выяснить, насколько он существенен.
Итак, начинаем с оператора Y3. Для него выполнено еще условие
τ = ξ = 0 и это означает, что из 3 коэффициентов m, α, c существен-
ны только два. Выбирая в качестве инвариантов величины α/m и
c/m, получим то же уравнение (2), в котором можно считать m = 1:
ẍ+ αẋ+ cx = 0.
Оператор Y1 останется без изменений, а оператор Y5 преобразуется к
виду: Y5 = tx∂x−2∂α−α∂c. Его инварианты получаются в результате
интегрирования системы
dx
tx
= −dα
2
= −dc
α
и могут быть взяты в виде:
x̂ = xe
αt
2 , q =
α2
4
− c,
а уравнение преобразуется к виду:
ẍ+ qx = 0.
194 В.И. Легенький
Как видим, у нас не только уменьшилось число параметров, но и
изменилось само уравнение: исчез аддитивный член, содержащий
первую производную. Такое явление не случайно: его закономер-
ности проанализированы в работе [8]. Что же произошло с опера-
тором Y1? В новых переменных он выглядит так: Y1 = t∂t − 2q∂q
и имеет инвариант t̂ = t
√
q. После этой замены уравнение примет
окончательный вид:
ẍ+ x = 0 (5)
и уже не содержит характерных физических констант.
Теперь ответим на главный вопрос статьи: что же произойдет,
если редукция была проведена “неправильно”, т.е. на первом этапе
использованы операторы π-теоремы и уравнение уже имеет вид (3).
Могут ли помочь средства группового анализа на этом этапе? У нас
есть две возможности: первая состоит в том, чтобы вычислить опе-
ратор симметрии, допускаемый уравнением (3) по известному нам
оператору Y5, используя формулу преобразования векторных полей,
а второй путь – прямые вычисления. Идя по первому пути, получим
Ỹ5 = −α̃t∂t + 2tx∂x + (α̃2 − 4)∂α̃.
Таким образом, мы нашли оператор симметрии, допускаемый урав-
нением (3). Для нахождения инвариантов следует решить систему
− dt
α̃t
=
dx
2tx
=
dα̃
α̃2 − 4
.
Решения могут быть взяты в форме x̂ = xe
α̃t
2 , t̂ = t
√
1− α̃2
4 , после
чего уравнение примет в точности вид (5). Но сможем ли мы най-
ти этот оператор симметрии прямыми вычислениями, ведь он уже
принадлежит классу операторов
Y = τ(t, x, α̃)∂t + ξ(t, x, α̃)∂x + ϕ(α̃)∂α̃? (6)
Система определяющих уравнений для коэффициентов последнего
оператора имеет вид:
2ξtx − τtt + 3xτx + α̃τt + ϕ = 0, ξxx − 2τtx + 2α̃τx = 0,
ξtt − xξx + 2xτt + α̃ξt + ξ = 0, τxx = 0.
π-теорема в проблеме параметрической редукции 195
Анализ этой системы в общем случае достаточно сложен, так как
в процессе решения возникают уравнения, в точности совпадающие
с исходным. Поэтому был выбран такой путь: коэффициенты, для
которых получались такие уравнения, полагались равными нулю.
Результат подобной стратегии таков: удалось показать, что:
Утверждение 1. Уравнение (3) в классе операторов
Y = τ(t, x)∂t + ξ(t, x)∂x + ϕ(α̃)∂α̃
допускает только операторы ∂t, x∂x, т.е. операторы из ядра.
Утверждение 2. Уравнение (3) допускает оператор бесконечно-
мерной симметрии
Yh = − 1
2 (ht + α̃h)∂t + hx∂x − 1
2 [httt − (α̃2 − 4)ht]∂α̃, h = h(t).
Из последнего утверждения следует, что при h = 2t уравнение
допускает оператор Yh = Ŷ5−∂t, т.е. уже полученный ранее оператор,
расширенный оператором из ядра.
6. Заключение. Как нам удалось показать на примерах, основ-
ные группы, допускаемые динамическими системами с параметрами,
не всегда являются группами растяжений и, соответственно, могут
иметь неабелеву структуру. В последнем случае использование на
начальном этапе редукции операторов симметрии, соответствующих
π-теореме (которые не принадлежат в этом случае идеалу алгебры),
может привести к усложнению процедуры поиска дополнительных
операторов симметрии. Это проявляется в том, что искомый класс
операторов симметрии приходится расширять – и, следовательно,
усложнять систему определяющих уравнений. Достичь результата,
т.е. получить полное аналитическое решение в этом случае удается
редко. Причина состоит в том, что искомые группы оказываются
бесконечномерными, а соответствующие им определяющие уравне-
ния не проще исходного уравнения. Поэтому приходится проводить
сужение класса искомых операторов симметрии непосредственно в
процессе анализа этих определяющих уравнений, но это вряд ли мо-
жно отнести к регулярным методам решения.
[1] Беллман Р. Процессы регулирования с адаптацией. – Москва: Наука, 1964. –
360 с.
[2] Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. – Мо-
сква: Наука, 1978. – 400 с.
196 В.И. Легенький
[3] Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. – Мо-
сква: Мир, 1989. – 639 с.
[4] Павловский Ю.Н. Проблема декомпозиции в математическом моделирова-
нии // Матем. моделирование. 1991. – 3, № 6. – С. 93–122.
[5] Павловский Ю.Н. Декомпозиция моделей управляемых систем. – Москва:
Знание, 1985. – 32 с.
[6] Ибрагимов Н.Х. Алгебра Вессио–Гулдберга–Ли и ее использование при ин-
тегрировании нелинейных уравнений / Современный групповой анализ. –
Москва: МФТИ, 1993. – С. 43–48.
[7] Ovsyannikov L.V. On x-autonomy property // Dokl. Akad. Nauk RAS. – 1993. –
330. – P. 559–561.
[8] Легенький В.И. Теоретико-групповой критерий редукции уравнения
G(t, x, ẋ, . . .)+εF (t, x, ẋ, . . .) = 0 к виду G(t̂, x̂, ˆ̇x, . . .) = 0 // Проблемы управ-
ления и информатики. – 2004. – № 2, C. 94–102.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-456 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:07:39Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/c1/8ee6af29a9efc4c6faefc7b1535564c1.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-4562020-08-13T10:42:30Z $\Pi$ - theorem in the problem of parametric reduction of dynamical systems ${\pi}$-теорема в проблеме параметрической редукции динамических систем ${\pi}$-теорема у проблемі параметричної редукції динамічних систем Lehenkyi, V. Легенький , В. Легенький, В. We analyze the role of $\pi$-theorem in the problem of parametricof dynamical systems. Several examples show that theapplication of $\pi$-theorem in the problem of parametric description of the dynamical systems restricts the utility of such reduction, and further group analysis becomes more complicated. Проаналізована роль $\pi$-теореми в проблемі параметричної редукції динамічних систем. На прикладах показано, що передчасне застосування $\pi$-теореми звужує можливості такої редукції та ускладнює подальший груповий аналіз вихідної динамічної системи. Проаналізована роль $\pi$-теореми в проблемі параметричної редукції динамічних систем. На прикладах показано, що передчасне застосування $\pi$-теореми звужує можливості такої редукції та ускладнює подальший груповий аналіз вихідної динамічної системи. Інститут математики НАН України 2006-11-14 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/456 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 3 No. 2 (2006): Symmetry and Integrability of Equations of Mathematical Physics (Dedicated to the 70-th Anniversary of Professor W.I. Fushchych); 187-196 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 3 № 2 (2006): Симетрія та інтегровність рівнянь математичної фізики (До 70-річчя від дня народження Вільгельма Ілліча Фущича); 187-196 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 3 № 2 (2006): Симетрія та інтегровність рівнянь математичної фізики (До 70-річчя від дня народження Вільгельма Ілліча Фущича); 187-196 3083-7529 1815-2910 ru https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/456/453 Авторське право (c) 2020 В. Легенький http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Lehenkyi, V. Легенький , В. Легенький, В. $\Pi$ - theorem in the problem of parametric reduction of dynamical systems |
| title | $\Pi$ - theorem in the problem of parametric reduction of dynamical systems |
| title_alt | ${\pi}$-теорема в проблеме параметрической редукции динамических систем ${\pi}$-теорема у проблемі параметричної редукції динамічних систем |
| title_full | $\Pi$ - theorem in the problem of parametric reduction of dynamical systems |
| title_fullStr | $\Pi$ - theorem in the problem of parametric reduction of dynamical systems |
| title_full_unstemmed | $\Pi$ - theorem in the problem of parametric reduction of dynamical systems |
| title_short | $\Pi$ - theorem in the problem of parametric reduction of dynamical systems |
| title_sort | $\pi$ - theorem in the problem of parametric reduction of dynamical systems |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/456 |
| work_keys_str_mv | AT lehenkyiv pitheoremintheproblemofparametricreductionofdynamicalsystems AT legenʹkijv pitheoremintheproblemofparametricreductionofdynamicalsystems AT legenʹkijv pitheoremintheproblemofparametricreductionofdynamicalsystems AT lehenkyiv piteoremavproblemeparametričeskojredukciidinamičeskihsistem AT legenʹkijv piteoremavproblemeparametričeskojredukciidinamičeskihsistem AT legenʹkijv piteoremavproblemeparametričeskojredukciidinamičeskihsistem AT lehenkyiv piteoremauproblemíparametričnoíredukcíídinamíčnihsistem AT legenʹkijv piteoremauproblemíparametričnoíredukcíídinamíčnihsistem AT legenʹkijv piteoremauproblemíparametričnoíredukcíídinamíčnihsistem |