Realizations of two five-dimensional Lie algebras
Inequivalent realizations of two five-dimensional Lie algebras are constructed. The corresponding groups of automorphisms and sets of megaideal are found.
Saved in:
| Date: | 2006 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/459 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552958520983552 |
|---|---|
| author | Lutfullin, M. Matyash , L. Лутфуллін , M. Матяш , Л. |
| author_facet | Lutfullin, M. Matyash , L. Лутфуллін , M. Матяш , Л. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "M. Лутфуллін ",
"institution": null
},
{
"author": "Л. Матяш ",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Lutfullin, M. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-13T10:42:30Z |
| description | Inequivalent realizations of two five-dimensional Lie algebras are constructed. The corresponding groups of automorphisms and sets of megaideal are found. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:07:42Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2006, т.3, N 2, 197–200
УДК 517.95
Реалiзацiї двох п’ятивимiрних
алгебр Лi
M.B. ЛУТФУЛЛIН, Л.О. МАТЯШ
Полтавський держ. пед. унiверситет iм. В.Г. Короленка
E-mail: mwl@imath.kiev.ua, math@pdpu.poltava.ua
Побудовано нееквiвалентнi реалiзацiї двох п’ятивимiрних алгебр Лi в
класi векторних полiв з довiльною скiнченною кiлькiстю змiнних. Зна-
йдено також вiдповiднi групи автоморфiзмiв та множини мегаiдеалiв.
Inequivalent realizations of two five-dimensional Lie algebras are construc-
ted. The corresponding groups of automorphisms and sets of megaideal are
found.
Однiєю з важливих проблем сучасного групового аналiзу диферен-
цiальних рiвнянь є задача опису реалiзацiй алгебр Лi в певному кла-
сi векторних полiв. Вiдомi реалiзацiї бiльш широких класiв алгебр
Лi дозволяють ефективно розв’язувати задачi групової класифiкацiї
диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними, опису гравiтацiй-
них полiв загального вигляду, iнварiантних вiдносно групи рухiв та
групи конформних перетворень, iнтегрування звичайних диференцi-
альних рiвнянь, опису систем звичайних диференцiальних рiвнянь,
що допускають нелiнiйний принцип суперпозицiї тощо (див., напри-
клад [1–8]).
Важливi та елегантнi результати щодо класифiкацiї реалiзацiй
алгебр Лi отримано самим С. Лi. Вiн прокласифiкував невиродже-
нi реалiзацiї алгебр у класi векторних полiв в просторi однiєї дiй-
сної змiнної, однiєї комплексної змiнної та двох комплексних змiн-
них [9,10]. Використовуючи геометричнi пiдходи, Лi також одержав
реалiзацiї у двох дiйсних змiнних [11, Vol. 3] (сучасний виклад цих
результатiв див. в [12]). У цiй же роботi С. Лi вказує метод повної
класифiкацiї всiх алгебр Лi векторних полiв у трьох комплексних
змiнних, проте не наводить вiдповiдних результатiв.
Реалiзацiям рiзних частинних класiв алгебр Лi присвячено бага-
то робiт. Наприклад, нещодавно побудовано повний опис реалiзацiй
всiх алгебр Лi розмiрностi n < 5 в просторах довiльної скiнченної
198 M.B. Лутфуллiн, Л.О. Матяш
кiлькостi змiнних [14]. Запропонований в [14] метод, що спирається
на поняття мегаiдеала, можна застосувати для класифiкацiї реалi-
зацiй алгебр Лi бiльш високих розмiрностей. Нами побудовано нее-
квiвалентнi реалiзацiї для ряду п’ятивимiрних алгебр Лi. Оскiльки
мегаiдеал – це iдеал алгебри Лi, iнварiантний вiдносно довiльних її
автоморфiзмiв, то як додатковий результат знайдено вiдповiднi гру-
пи автоморфiзмiв. Як i в [15], використано канонiчнi комутацiйнi
спiввiдношення алгебр Лi з класифiкацiї Мубаракзянова [13].
У цiй роботi наведено повнi перелiки нееквiвалентних реалiзацiй
для двох п’ятивимiрних алгебр Лi. Для кожної розглянутої алгеб-
ри A подано ненульовi комутацiйнi спiввiдношення, загальний ви-
гляд матриць, що визначають повну групу автоморфiзмiв Aut(A) та
групу внутрiшнiх автоморфiзмiв Int(A), множину M0 власних ме-
гаiдеалiв (окрiм {0} та самої алгебри A) i перелiк нееквiвалентних
реалiзацiй в класi векторних полiв з довiльною скiнченною кiлькiстю
змiнних.
Нижче використано такi позначення: ei – базиснi елементи алгеб-
ри Лi; θi, αij – довiльнi дiйснi параметри; що задовольняють умови,
за яких вiдповiднi матрицi невиродженi; i, j = 1, 2, . . . , 5; ∂k = ∂/∂xk ;
c – довiльна стала.
A5.27 : [e2, e3] = e1, [e1, e5] = e1, [e3, e5] = e3 + e4, [e4, e5] = e1 + e4;
Int :
eθ5 −θ3 eθ5θ2 θ5e
θ5 θ1
0 1 0 0 0
0 0 eθ5 0 θ3
0 0 θ5e
θ5 eθ5 θ4
0 0 0 0 1
;
Aut :
α33 −α35 α13 −α33α25 + α43 α15
0 1 0 0 α25
0 0 α33 0 α35
0 0 α43 α33 α45
0 0 0 0 1
;
M0 : 〈e1〉, 〈e1, e2〉, 〈e1, e4〉, 〈e1, e2, e3, e4〉;
Реалiзацiї:
1) ∂1, ∂3, x3∂1 + ∂4, ∂2, (x1 + x2)∂1 + (x2 + x4)∂2 + x4∂4 + ∂5;
2) ∂1, ∂3, x3∂1 + ∂4, ∂2, (x1 + x2)∂1 + (x2 + x4)∂2 + x4∂4;
3) ∂1, ∂3, x3∂1+x4∂2+x5∂3, ∂2, (x1+x2)∂1+x2∂2+x4∂3 − ∂4 − x5∂5;
Реалiзацiї двох п’ятивимiрних алгебр Лi 199
4) ∂1, ∂3, x3∂1+ln(cx4)∂2+x4∂3, ∂2, (x1+x2)∂1+x2∂2+ln(cx4)∂3−x4∂4;
5) ∂1, ∂3, x3∂1 + x4∂2, ∂2, (x1 + x2)∂1 + x2∂2 + x4)∂3 − ∂4;
6) ∂1, ∂3, x3∂1 + ∂4, x2∂1, (x1 + x2x4)∂1 − ∂2 + x4∂4;
7) ∂1, ∂3, x3∂1 + x4∂3, x2∂1, x1∂1 − ∂2 − x2∂3 − x4∂4;
8) ∂1, ∂3, x3∂1 + cex2∂3, x2∂1, x1∂1 − ∂2 − x2∂3.
A5.29 : [e2, e3] = e1, [e1, e5] = e1, [e2, e5] = e2, [e3, e5] = e4;
Int :
eθ5 −θ3e
θ5 θ2 0 θ1
0 eθ5 0 0 θ2
0 0 1 0 0
0 0 θ5 1 θ3
0 0 0 0 1
;
Aut :
α22α33 α12 α33α25 0 α15
0 α22 0 0 α25
0 0 α33 0 0
0 0 α43 α33 α45
0 0 0 0 1
;
M0 : 〈e1〉, 〈e4〉, 〈e1, e2〉, 〈e1, e4〉, 〈e1, e2, e3, e4〉;
Реалiзацiї:
1) ∂1, ∂3, x3∂1 + ∂4, ∂2, x1∂1 + x4∂2 + x3∂3 + ∂5;
2) ∂1, ∂3, x3∂1 + ∂4, ∂2, x1∂1 + x4∂2 + x3∂3 + x5∂4;
3) ∂1, ∂3, x3∂1 + ∂4, ∂2, x1∂1 + x4∂2 + x3∂3 + c∂4;
4) ∂1, ∂3, x3∂1 + x4∂2 + x5∂3, ∂2, x1∂1 + x3∂3 − ∂4 + x5∂5
5) ∂1, ∂3, x3∂1 + ln(cx4)∂2 + x4∂3, ∂2, x1∂1 + x3∂3 + x4∂4;
6) ∂1, ∂3, x3∂1 + x4∂2, ∂2, x1∂1 + x3∂3 − ∂4;
7) ∂1, ∂3, x3∂1 + ∂4, x2∂1, x1∂1 + x2∂2 + x3∂3;
8) ∂1, ∂3, x3∂1 + x4∂3, x2∂1, x1∂1 + x2∂2 + (x3 − x2)∂3 + x4∂4;
9) ∂1, ∂3, x3∂1 + cx2∂3, x2∂1, x1∂1 + x2∂2 + (x3 − x2)∂3.
Вiдзначимо, що наведенi результати є вiдносно компактними. По-
будова реалiзацiй для iнших п’ятивимiрних алгебр Лi, яких загалом
бiльше 60, хоча i не викликає принципових труднощiв, але пов’язана
iз громiздкими обчисленнями. У зв’язку з цим доцiльно розробити
алгоритм їх знаходження, який можна повнiстю реалiзувати в систе-
мах символьних обчислень.
200 M.B. Лутфуллiн, Л.О. Матяш
Автори висловлюють щиру вдячнiсть Р.О. Поповичу за увагу
до роботи.
[1] Basarab-Horwath P., Lahno V., Zhdanov R. The structure of Lie algebras
and the classification problem for partial differential equations // Acta Appl.
Math. – 2001. – 69. – P. 43–94.
[2] Zhdanov R.Z., Lahno V.I. Group classification of heat conductivity equations
with a nonlinear source // J. Phys. A: Math. Gen. – 1999. – 32. – P. 7405–7418.
[3] Крючкович Г.И. Класификация трехмерных римановых пространств по
группам движений // Усп. мат. наук. – 1954. – 9, № 1 (59). – C. 3–40.
[4] Петров А.З. Новые методы в общей теории относительности. – Москва:
Наука, 1966. – 495 с.
[5] Mahomed F.M., Leach P.G.L. Symmetry Lie algebras on nth order ordinary
differential equations // J. Math. Anal. Appl. – 1990. – 151. – P. 80–107.
[6] Schmucker A., Czichowski G. Symmetric algebras and normal forms of third
order ordinary differential equations // J. Lie Theory. – 1998. – 8. – P. 129–
137.
[7] Bountis T.C., Papageorgiou V., Winternitz P. On the integrability of systems
of nonlinear ordinary differential equations with superposition principles //
J. Math. Phys. – 1986. – 27. – P. 1215–1224.
[8] Carinena J.F., Grabowski J., Ramos A. Reduction of time-dependent systems
admitting a superposition principle // Acta Appl. Math. – 2001. – 66. – P. 67–
87.
[9] Lie S. Gruppenregister, Gesammetle Abhandlungen, Vol. 5. – Leipzig:
B.G. Teubner, 1924. – S. 767–773.
[10] Lie S. Theorie der Transformationsgruppen // Math. Ann. – 1880. – 16. –
P. 441–528; див. також Gesammetle Abhandlungen, Vol. 6. – Leipzig:
B.G. Teubner, 1927. – S. 1–94.
[11] Lie S. Theorie der Transformationsgruppen, Vol. 1–3. – Leipzig: B.G. Teubner,
1888, 1890, 1893.
[12] González-López A., Kamran N., Olver P.J. Lie algebras of vector fields in the
real plane // Proc. London Math. Soc. (3). – 1992. – 64. – P. 339–368.
[13] Мубаракзянов Г.М. Классификация вещественных структур алгебр Ли пя-
того порядка // Изв. высш. учебн. завед. Математика. – 1963. – № 3 (34). –
C. 99–106.
[14] Popovych R., Boyko V., Nesterenko M., Lutfullin M. Realizations of real low-
dimensional Lie algebras // J. Phys. A: Math. Gen. – 2003. – 36. – P. 7337–7360
(see math-ph/0301029).
[15] Олексiйчук Ю.Ф., Лутфуллiн М.В. Про реалiзацiї одного класу п’ятивимiр-
них алгебр Лi / Матерiали звiтної наукової конференцiї викладачiв, аспi-
рантiв, магiстрантiв i студентiв фiз.-мат. ф-ту // Науковi записки. – Пол-
тава: ПДПУ, 2005. – С. 52–56.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-459 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:07:42Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/95/b5c07e3196519d1bf58f7a9dac7dc795.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-4592020-08-13T10:42:30Z Realizations of two five-dimensional Lie algebras Реалізації двох п'ятивимірних алгебр Лі Lutfullin, M. Matyash , L. Лутфуллін , M. Матяш , Л. Inequivalent realizations of two five-dimensional Lie algebras are constructed. The corresponding groups of automorphisms and sets of megaideal are found. Побудовано нееквівалентні реалізації двох п'ятивимірних алгебр Лі в класі векторних полів з довільною скінченною кількістю змінних. Знайдено також відповідні групи автоморфізмів та множини мегаідеалів. Інститут математики НАН України 2006-11-14 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/459 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 3 No. 2 (2006): Symmetry and Integrability of Equations of Mathematical Physics (Dedicated to the 70-th Anniversary of Professor W.I. Fushchych); 197-200 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 3 № 2 (2006): Симетрія та інтегровність рівнянь математичної фізики (До 70-річчя від дня народження Вільгельма Ілліча Фущича); 197-200 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 3 № 2 (2006): Симетрія та інтегровність рівнянь математичної фізики (До 70-річчя від дня народження Вільгельма Ілліча Фущича); 197-200 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/459/455 Авторське право (c) 2020 M. Лутфуллін , Л. Матяш http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Lutfullin, M. Matyash , L. Лутфуллін , M. Матяш , Л. Realizations of two five-dimensional Lie algebras |
| title | Realizations of two five-dimensional Lie algebras |
| title_alt | Реалізації двох п'ятивимірних алгебр Лі |
| title_full | Realizations of two five-dimensional Lie algebras |
| title_fullStr | Realizations of two five-dimensional Lie algebras |
| title_full_unstemmed | Realizations of two five-dimensional Lie algebras |
| title_short | Realizations of two five-dimensional Lie algebras |
| title_sort | realizations of two five-dimensional lie algebras |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/459 |
| work_keys_str_mv | AT lutfullinm realizationsoftwofivedimensionalliealgebras AT matyashl realizationsoftwofivedimensionalliealgebras AT lutfullínm realizationsoftwofivedimensionalliealgebras AT matâšl realizationsoftwofivedimensionalliealgebras AT lutfullinm realízacíídvohp039âtivimírnihalgebrlí AT matyashl realízacíídvohp039âtivimírnihalgebrlí AT lutfullínm realízacíídvohp039âtivimírnihalgebrlí AT matâšl realízacíídvohp039âtivimírnihalgebrlí |