Orthogonal-symplectic superalgebra: structure and realizations
Subalgebras of the orthogonal-symplectic superalgebra $Osp(2, n)$ are classified. Some realizations of superalgebra $Osp(2, 1)$ in vector fields are constructed.
Збережено в:
| Дата: | 2006 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/460 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552961098383360 |
|---|---|
| author | Marchenko, V. Moskalenko, Yu. Марченко, В. Москаленко, Ю. |
| author_facet | Marchenko, V. Moskalenko, Yu. Марченко, В. Москаленко, Ю. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "В. Марченко",
"institution": null
},
{
"author": "Ю. Москаленко",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Marchenko, V. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-13T10:42:30Z |
| description | Subalgebras of the orthogonal-symplectic superalgebra $Osp(2, n)$ are classified. Some realizations of superalgebra $Osp(2, 1)$ in vector fields are constructed. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:07:45Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2006, т.3, N 2, 211–216
УДК 517.912:512.816
Ортогонально-симплектична
супералгебра: структура i реалiзацiї
В.О. МАРЧЕНКО, Ю.Д. МОСКАЛЕНКО
Полтавський держ. пед. унiверситет iм. В.Г. Короленка
E-mail: math@pdpu.poltava.ua
Проведено класифiкацiю градуйованих пiдалгебр ортогонально-сим-
плектичної супералгебри Osp(2, n). Побудовано реалiзацiї супералге-
бри Osp(2, 1) в класi диференцiальних операторiв першого порядку з
матричними коефiцiєнтами.
Subalgebras of the orthogonal-symplectic superalgebra Osp(2, n) are classi-
fied. Some realizations of superalgebra Osp(2, 1) in vector fields are
constructed.
1. Вступ. Дослiдження структури алгебр Лi є важливим для роз-
в’язування багатьох задач групового аналiзу диференцiальних рiв-
нянь, основи якого заклав С. Лi [1]. Систематичне дослiдження пiд-
алгебр алгебр симетрiй квантової механiки було розпочато у роботi
Патери, Вiнтернiтца i Цассенхауза [2], у якiй був запропонований
загальний метод класифiкацiї пiдалгебр скiнченновимiрної алгебри
Лi. У запропонованiй роботi проведено дослiдження пiдалгебр орто-
гонально-симплектичної супералгебри.
2. Ортогонально-симплектична супералгебра. Ортогональ-
но-симплектична супералгебра Osp(2, n) має таке матричне пред-
ставлення [3]: X θ ω
−ωT α β
θ
T
γ −α
, де X ∈ AO(n); α, β, γ ∈ R; θ, ω ∈ Rn.
Нехай Iab – матриця порядку n + 2, яка мiстить одиницю на пе-
ретинi a-го рядка i b-го стовпця, а решта елементiв є нулями. Тодi
базис Osp(2, n) можна задати такими матрицями:
Jab = Iab − Iba, D = In+2,n+2 − In+1,n+1, S = −In+2,n+1,
212 В.О. Марченко, Ю.Д. Москаленко
T = In+1,n+2, Ga = Ia,n+1 + In+2,a, Pa = Ia,n+2 − In+1,a,
де a, b = 1, 2, . . . , n; a < b.
Елементи Jab, D, S, T утворюють базис парної частини супер-
алгебри, елементи Pa, Ga – базис непарної частини супералгебри.
Базиснi елементи задовольняють таким комутацiйним i антикомута-
цiйним спiввiдношенням:
[Jab, Jcd] = δadJbc + δbcJad − δacJbd − δbdJac,
[Pa, Jbc] = δabPc − δacPb, [Ga, Jbc] = δabGc − δacGb,
[D,Pa] = −Pa, [D,Ga] = Ga, [S, Pa] = Ga, [S,Ga] = 0,
[T, Pa] = 0, [T,Ga] = −Pa, [D,S] = 2S, [D,T ] = −2T,
[T, S] = D, [Ga, Gb]+ = −2δabS, [Pa, Pb]+ = −2δabT,
[Ga, Pb]+ = δabD − Jab,
де a, b, c, d = 1, 2, . . . , n; δab – символ Кронекера. Тут символ [·, ·]
означає комутатор, а [·, ·]+ – антикомутатор елементiв алгебри.
Легко бачити, що всi цi комутацiйнi спiввiдношення збiгаються
з аналогiчними для базисних елементiв алгебри Галiлея [4], тому
ортогонально-симплектичну супералгебру Osp(2, n) можна розгля-
дати як одне з можливих суперузагальнень алгебри Галiлея.
3. Пiдалгебри ортогонально-симплектичної супералгеб-
ри. Нехай L = L0 + L1 – супералгебра Лi, L0 – її парна частина,
L1 – непарна частина. Пiдалгебру супералгебри L, яка є теж супер-
алгеброю, будемо називати градуйованою пiдалгеброю. Градуйова-
на пiдалгебра F супералгебри L має вигляд F = F 0 + F 1, де F 0 –
пiдалгебра алгебри L0, [F 0, F 1] ⊂ F 1, [F 1, F 1] ⊂ F 0. Отже, зада-
ча класифiкацiї градуйованих пiдалгебр супералгебри L зводиться
до класифiкацiї пiдалгебр F 0 алгебри L0, знаходження пiдпросто-
рiв F 1 простору L1, iнварiантних вiдносно F 0, i перевiрки умови
[F 1, F 1] ⊂ F 0. Структуру супералгебри L будемо дослiджувати
вiдносно G-спряженостi, де G – група внутрiшнiх автоморфiзмiв ал-
гебри Лi L0. Стосовно супералгебри Osp(2, n) такою групою G буде
група O(n)× Sl(2,R).
Нехай
W [k, l] = 〈Pa | a = k, . . . , l〉, V [k, l] = 〈Ga | a = k, . . . , l〉,
Xab = J2a−1,2b−1 + J2a,2b, Yab = J2a−1,2b + J2a,2b−1,
Ортогонально-симплектична супералгебра 213
X[k, l] = 〈Xab | a = k, . . . , l〉, Y [k, l] = 〈Yab | a = k, . . . , l〉,
J [k, l] = 〈Jab | a = k, . . . , l〉,
La = 〈G2a−1 + P2a, G2a − P2a−1〉, L[k, l] =
l∑
i=k
Li,
(λ(S + T ) + J)[k, l] = 〈λ(S + T ) + J2a−1,2a | a = k, . . . , l〉.
Теорема. З точнiстю до O(n) × Sl(2,R)-спряженостi градуйованi
пiдалгебри супералгебри Osp(2, n) визначаються такими суперал-
гебрами:
A; AO(k)⊕ASl(2, R) +W [1, k] + V [1, k] + Ck+1;
B + 〈T 〉+W [1, k]; 〈J12 + S + T,G1 + P2〉 ⊕ C3;
〈S + T 〉+ J [1, k] +X[1, k] + Y [1, k] + L[1, k] + C2k+1;
(S + T + J)[1, k] +X[1, k] + Y [1, k] + L[1, k] + C2k+1,
де A – пiдалгебра алгебри AO(n)⊕ASl(2,R), B – пiдалгебра алгебри
AO(k)⊕AO[k + 1, n]⊕ 〈D〉, Ci – пiдалгебра алгебри AO[i, n].
Доведення. Нехай F = F 0 + F 1 – градуйована пiдалгебра супер-
алгебри Osp(2, n), F 0 – її парна частина, F 1 – непарна частина.
Якщо F 1 = 0, то F є пiдалгеброю алгебри AO(n) ⊕ ASl(2, R).
Нехай F 1 6= 0, тодi з точнiстю до спряженостi можливi випадки [4]:
1) P1 ∈ F 1; 2) G1 + P2 ∈ F 1.
Випадок 1. P1 ∈ F 1, тому −P 2
1 = T ∈ F 0, а тому F 1 = W [1, k] +
I(V [1, k] + W [k + 1, l]), де I(A,B) – пiдпряма сума просторiв A та
B [4]. Отже, або F 1 = W [1, k], або F 1 мiстить елемент вигляду G1 +
l∑
i=k+1
aiPi. Але в останньому випадковi [G1 +
l∑
i=k+1
aiPi, P1]+ = D ∈
F 0, тому 〈T,D〉 – пiдалгебра F 0, а F 1 = W [1, k] + V [1, k] [4]. Маємо
G1 ∈ F 1, отже S = −G2
1 ∈ F 0, Jab = −[Ga, Pb]+ ∈ F 0 для всiх
a, b = 1, . . . , k. Звiдси випливає, що F 0 = AO(k)⊕ASl(2, R)⊕ Ck+1.
Випадок 2. G1 + P2 ∈ F 1, тому −(G1 + P2)2 = J12 + S + T ∈
F 0. Тодi F 1 збiгається з одним iз просторiв R = 〈G1 + P2〉 + 〈G3 +
+λ1P4, G4 + λ−1
1 P3〉 + · · · + 〈G2k−1 + λk−1P2k, G2k + λ−1
k−1P2k−1〉 або
R+ 〈G2 − P1〉, де 0 < λ1 ≤ · · · ≤ λk−1 ≤ 1 [4].
Якщо dimF 1 = 1, то маємо супералгебру 〈J12 + S + T,G1 + P2〉.
Нехай dimF 1 > 1, тодi або F 1 = 〈G1 + P2, G2 − P1〉, або операто-
ри G3 + λ1P4 та G4 + λ−1
1 P3 належать F 1. В останньому випадковi
214 В.О. Марченко, Ю.Д. Москаленко
[G3 + +λ1P4, G4 + λ−1
1 P3]+ = (λ1 − λ−1
1 )D ∈ F 0. Якщо λ1 6= λ−1
1 , то
D ∈ F 0, але тодi ASl(2, R) виключається в F 0 i все зводиться до ви-
падку 1. Отже, λ1 = · · · = λk−1 = 1 i тому R = 〈G1 +P2〉+L[2, k]. Але
внаслiдок спiввiдношень −(G3 +P4)2 = J34 +S+T , [J34 +S+T,G1 +
P2] = G2 − P1 випливає, що F 1 = R + 〈G2 − P1〉 = L[1, k]. Залиша-
ється скористатися рiвностями: Xab = −[G2a−1 + P2a, G2b−1 + P2b]+,
Yab = −[G2a−1+P2a, G2b+P2b−1]+, J2a−1,2a+S+T = −(G2a−1+P2a)2,
i тому (S+T +J)[1, k]+X[1, k]+Y [1, k]+L[1, k] мiститься в F . Легко
перевiрити, що одержана структура є супералгеброю. Єдиним її не-
тривiальним розширенням є супералгебра 〈S+T 〉+J [1, k]+X[1, k]+
Y [1, k] + L[1, k]. Вiдсутнiсть iнших розширень цих супералгебр ви-
пливає з того, що включення в алгебру iнших елементiв з AO(2k)
призводить до випадку F 0 = AO(2k)⊕〈S+T 〉, але простiр L[1, k] не
є iнварiантним вiдносно AO(2k). Теорема доведена.
4. Реалiзацiї ортогонально-симплектичної супералгебри.
Нехай L = L0 +L1 – деяка супералгебра, 〈X1, . . . , Xn〉 – базис парної
частини L0, 〈Y1, . . . , Ym〉 – базис непарної частини L1. Будемо шу-
кати реалiзацiї L вигляду Xi = ξpi ∂xp , Yj = fgj ∂xg , де i = 1, . . . , n;
j = 1, . . . ,m; p, g = 1, . . . , k, причому ξpi = ξpi (x1, . . . , xk) – скалярнi
функцiї, ḟj = fgj (x1, . . . , xk) – матричнi функцiї дiйсної змiнної. Двi
реалiзацiї 〈X1, . . . , Xn〉 + 〈Y1, . . . , Ym〉 та 〈X ′1, . . . , X ′n〉 + 〈Y ′1 , . . . , Y ′m〉
супералгебри L будемо називати еквiвалентними, якщо iснує неви-
роджена замiна змiнних x′p = hp(x), p = 1, . . . , k, яка одну реалiзацiю
переводить в iншу з точнiстю до подiбностi матричних коефiцiєнтiв.
Нехай Osp(2, 1) = F 0 + F 1 – ортогонально-симплектина супер-
алгебра, F 0 = 〈T,D, S〉, F 1 = 〈P,G〉, причому
[D,S] = 2S, [D,T ] = −2T, [T, S] = D, [D,P ] = −P,
[D,G] = G, [S, P ] = G, [S,G] = 0, [T, P ] = 0,
[T,G] = −P, [G,P ]+ = D, P 2 = −T, G2 = −S. (1)
Будемо шукати реалiзацiї супералгебри Osp(2, 1) в класi опера-
торiв вигляду:
α∂t + β∂x – для парних елементiв супералгебри,
a∂t + b∂x + c – для непарних елементiв супералгебри,
де α, β – скалярнi; a, b, c – матричнi функцiї вiд t, x.
Iснує чотири нееквiвалентнi реалiзацiї алгебри ASl(2, R) = 〈D,T,
S〉 у класi вказаних операторiв [5]:
1) T = ∂t, D = 2t∂t, S = t2∂t;
Ортогонально-симплектична супералгебра 215
2) T = ∂t, D = 2t∂t + x∂x, S = t2∂t + tx∂x;
3) T = ∂t, D = 2t∂t + x∂x, S = (t2 + x4)∂t + tx∂x;
4) T = ∂t, D = 2t∂t + x∂x, S = (t2 − x4)∂t + tx∂x.
Вiдзначимо, що для всiх реалiзацiй T = ∂t, тому з умови [T, P ] = 0
випливає, що P = a∂t + b∂x + c, де a, b, c – матричнi функцiї лише
вiд x.
Розглянемо реалiзацiю 1 алгебри ASl(2,R). З комутацiйних спiв-
вiдношень маємо, що P = [P,D], тобто a∂t + b∂x + c = 2a∂t, звiдси,
a = b = c = 0, P = 0, що неможливо. Отже, вiдповiдної реалiзацiї
супералгебри не iснує.
Iншi реалiзацiї алгебри ASl(2,R) об’єднаємо за формулою S =
(t2 + εx4)∂t + x∂x, де ε = 0, ±1. З умови P = [P,D] випливає, що
P = xA∂t + B∂x + 1
xC, де A, B, C – сталi матрицi. Але T = −P 2,
тому матимемо систему рiвнянь для визначення матриць A, B, C:
A2 = B2 = [A,B]+ = [B,C]+ = O, C2 = BC,
BA+ [A,C]+ = −E, (2)
де O – нульова матриця, E – одинична матриця.
G = [S, P ], тому G = −(txA + 4εx3B)∂t − (x2A + tB)∂x − t
xC.
Але тодi, враховуючи спiввiдношення (2) мiж матрицями A, B, C,
одержимо G2 = −(t2 + 8εx4BA)∂t + tx∂x + 4εx2BC. З iншого боку
G2 = −S = −(t2+εx4)∂t−tx∂x. Прирiвнюючи вiдповiднi коефiцiєнти,
маємо систему рiвнянь
8εBA = εE, 4εBC = 0.
Якщо ε = ±1, то BA = 1
8E, BC = 0. Але [A,B]+ = 0, отже, AB =
− 1
8E. Маємо одночасно B = 1
8A
−1 i B = − 1
8A
−1, що неможливо.
Реалiзацiй OSp(2, 1) в цих випадках не iснує.
Залишається проаналiзувати випадок ε = 0. Безпосереднi обчис-
лення свiдчать, що оператори
T = ∂t, D = 2t∂t + x∂x, S = t2∂t + tx∂x,
P = xA∂t +B∂x +
1
x
C, G = −txA− (x2A+ tB)∂x −
t
x
C,
де A, B, C – сталi матрицi, якi визначаються умовами (2), задоволь-
няють спiввiдношенням (1), тобто реалiзують супералгебру Osp(2,1).
216 В.О. Марченко, Ю.Д. Москаленко
Знайдемо розв’язок системи (2) у випадку, коли A, B, C – матрицi
порядку 2. З умови A2 = 0 випливає, що з точнiстю до подiбностi
A =
(
0 1
0 0
)
(A 6= 0, так як BA+ [A,C]+ 6= 0).
Але тодi з рiвностi B2 = [A,B]+ = 0 легко одержати, що B = λA,
де λ ∈ R. Якщо λ 6= 0, то −E = BA + [A,C]+ = λA2 + 1
λ [B,C]+ =
= 0, тому λ = 0, B = 0. Матрицю C знаходимо з системи рiвнянь
C2 = 0, [A,C]+ = −E, загальним розв’язком якої є C =
(
α α2
−1 −α
)
,
де α ∈ R.
Отже,
A =
(
0 1
0 0
)
, B =
(
0 0
0 0
)
, C =
(
α α2
−1 −α
)
, α ∈ R.
Але ця сукупнiсть матриць подiбна до такої:
à =
(
0 1
0 0
)
, B̃ =
(
0 0
0 0
)
, C̃ =
(
0 0
−1 0
)
(достатньо розглянути перетворення X̃ = V XV −1, де V =
(
1 α
0 1
)
).
Отже, маємо єдину (з точнiстю до еквiвалентностi) реалiзацiю
супералгебри Osp(2, 1) у класi вказаних операторiв
T = ∂t, D = 2t∂t + x∂x, S = t2∂t + tx∂x,
P =
(
0 x∂t
− 1
x 0
)
, G =
(
0 −tx∂t − x2∂x
t
x 0
)
.
[1] Lie S., Engel F. Theorie der Transformations Gruppen. – Leipzig: Teubner,
1888, 1890, 1893. – Bd. 1–3.
[2] Patera J., Winternitz P., Zassenhaus H. Continuous subgroups of the
fundamental groups of physics. I. General method and the Poincaré group //
J. Math. Phys. – 1975. – 16. – P. 1597–1624.
[3] Березин Ф.А. Введение в алгебру и анализ с антикомутирующими перемен-
ными. – Москва: Изд-во МГУ, 1983. – 208 с.
[4] Фущищ В.И., Баранник Л.Ф., Баранник А.Ф. Подгруповой анализ групп
Галилея, Пуанкаре и редукция нелинейных уравнений. – Киев: Наукова
думка, 1991. – 304 с.
[5] Жданов Р.З., Лагно В.И. О новых реализациях групп Пуанкаре P (1, 2) и
P (2, 2) // Укр. мат. журн. – 2000. – 52, № 4. – С. 447–462.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-460 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:07:45Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/8a/eb0a5304ecdc990096db1896ec6bbf8a.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-4602020-08-13T10:42:30Z Orthogonal-symplectic superalgebra: structure and realizations Ортогонально-симплектична супералгебра: структура і реалізації Marchenko, V. Moskalenko, Yu. Марченко, В. Москаленко, Ю. Subalgebras of the orthogonal-symplectic superalgebra $Osp(2, n)$ are classified. Some realizations of superalgebra $Osp(2, 1)$ in vector fields are constructed. Проведено класифікацію градуйованих підалгебр ортогонально-симплектичної супералгебри $Osp(2,n)$. Побудовано реалізації супералгебри $Osp(2,1)$ в класі диференціальних операторів першого порядку з матричними коефіцієнтами. Інститут математики НАН України 2006-11-14 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/460 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 3 No. 2 (2006): Symmetry and Integrability of Equations of Mathematical Physics (Dedicated to the 70-th Anniversary of Professor W.I. Fushchych); 211-216 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 3 № 2 (2006): Симетрія та інтегровність рівнянь математичної фізики (До 70-річчя від дня народження Вільгельма Ілліча Фущича); 211-216 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 3 № 2 (2006): Симетрія та інтегровність рівнянь математичної фізики (До 70-річчя від дня народження Вільгельма Ілліча Фущича); 211-216 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/460/456 Авторське право (c) 2020 В. Марченко, Ю. Москаленко http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Marchenko, V. Moskalenko, Yu. Марченко, В. Москаленко, Ю. Orthogonal-symplectic superalgebra: structure and realizations |
| title | Orthogonal-symplectic superalgebra: structure and realizations |
| title_alt | Ортогонально-симплектична супералгебра: структура і реалізації |
| title_full | Orthogonal-symplectic superalgebra: structure and realizations |
| title_fullStr | Orthogonal-symplectic superalgebra: structure and realizations |
| title_full_unstemmed | Orthogonal-symplectic superalgebra: structure and realizations |
| title_short | Orthogonal-symplectic superalgebra: structure and realizations |
| title_sort | orthogonal-symplectic superalgebra: structure and realizations |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/460 |
| work_keys_str_mv | AT marchenkov orthogonalsymplecticsuperalgebrastructureandrealizations AT moskalenkoyu orthogonalsymplecticsuperalgebrastructureandrealizations AT marčenkov orthogonalsymplecticsuperalgebrastructureandrealizations AT moskalenkoû orthogonalsymplecticsuperalgebrastructureandrealizations AT marchenkov ortogonalʹnosimplektičnasuperalgebrastrukturaírealízacíí AT moskalenkoyu ortogonalʹnosimplektičnasuperalgebrastrukturaírealízacíí AT marčenkov ortogonalʹnosimplektičnasuperalgebrastrukturaírealízacíí AT moskalenkoû ortogonalʹnosimplektičnasuperalgebrastrukturaírealízacíí |