New Q-conditional symmetries and solutions for reaction-diffusion-convection equations with power diffusivities.
A complete description of $Q$-conditional symmetries for two classes of reaction-diffusion-convection equations with power diffusivities is obtained. Using the symmetries obtained new non-Lie solutions are constructed.
Збережено в:
| Дата: | 2006 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/462 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552961971847168 |
|---|---|
| author | Cherniha, R. Pliukhin, O. Черніга, Р. Плюхін, О. |
| author_facet | Cherniha, R. Pliukhin, O. Черніга, Р. Плюхін, О. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Р. Черніга",
"institution": null
},
{
"author": "О. Плюхін",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Cherniha, R. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-13T10:42:30Z |
| description | A complete description of $Q$-conditional symmetries for two classes of reaction-diffusion-convection equations with power diffusivities is obtained. Using the symmetries obtained new non-Lie solutions are constructed. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:07:45Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2006, т.3, N 2, 315–329
УДК 517.9:519.46
Новi Q-умовнi симетрiї
та розв’язки рiвнянь типу
реакцiї-дифузiї-конвекцiї
зi степеневими нелiнiйностями
Р.М. ЧЕРНIГА, О.Г. ПЛЮХIН
Iнститут математики НАН України, Київ
E-mail: cherniha@imath.kiev.ua, pliukhin@imath.kiev.ua
Зроблено вичерпний опис Q-умовних симетрiй двох класiв нелiнiй-
них рiвнянь реакцiї-дифузiї-конвекцiї зi степеневими коефiцiєнтами ди-
фузiї. Використовуючи отриманi симетрiї, побудовано новi нелiївськi
розв’язки.
A complete description of Q-conditional symmetries for two classes of
reaction-diffusion-convection equations with power diffusivities is obtained.
Using the symmetries obtained new non-Lie solutions are constructed.
1. Вступ. Нелiнiйнi рiвняння реакцiї-дифузiї-конвекцiї (РДК) виг-
ляду
Ut = [A(U)Ux]x +B(U)Ux + C(U), (1)
де U = U(t, x) – невiдома функцiя, A(U), B(U), C(U) – деякi заданi
гладкi функцiї, iндекси t та x означають диференцiювання за цими
змiнними, лежать в основi багатьох математичних моделей для опису
найрiзноманiтнiших процесiв живої та неживої природи [1,2]. Почи-
наючи з вiдомої роботи Овсяннiкова [3] велика кiлькiсть робiт при-
свячена дослiдженням рiвнянь вигляду (1) теоретико-алгебраїчними
методами. Зокрема, вичерпно описано всi класичнi симетрiї цих рiв-
нянь та побудовано велику кiлькiсть лiївських розв’язкiв (див. [4, 5]
та цитованi там роботи).
В 1969 Блуман (Bluman) та Коул (Cole) [6] ввели суттєве узагаль-
нення класичних симетрiй, яке отримало назву некласичних симет-
рiй [7] або умовних симетрiй [8]. В [9] (див. детальнiше в [10, Sec-
tion 5.7]) Фущичем та його учнями було запропоновано подальше
316 Р.М. Чернiга, О.Г. Плюхiн
узагальнення поняття некласичних симетрiй, яке також отримало
назву умовна симетрiя. З метою уникнення двозначностi ми користу-
ватимемося поняттям Q-умовна симетрiя для позначення некласич-
ної симетрiї, яке було запропоновано в [10].
Виявляється, що шляхом застосування поняття Q-умовна симет-
рiя до рiвнянь РДК вигляду (1) можна як розширити симетрiю цих
рiвнянь, так i знайти новi нелiївськi розв’язки для рiвнянь, якi вiдо-
мi у застосуваннях [4,10–14]. Отже, настав час для вичерпного опису
Q-умовних симетрiй рiвняння (1). Оскiльки ця задача поки що ви-
глядає занадто складною, в цiй роботi ми її розв’яжемо в частковому
випадку, а саме для рiвнянь вигляду
Ut = [UmUx]x + λUmUx + C(U), (2)
та
Ut = [UmUx]x + λUm+1Ux + C(U), (3)
де λ 6= 0, m 6= 0 – довiльнi сталi, C(U) – довiльна гладка функцiя.
Окрiм того ми продемонструємо ефективнiсть отриманих симетрiй
для побудови точних розв’язкiв рiвнянь (2)–(3). Зауважимо, що ми
скрiзь нижче розглядатимемо рiвняння з ненульовим конвективним
членом, тобто λ 6= 0. Ефект нелiнiйної конвекцiї в рiвняннях реакцiї-
дифузiї може мати вражаючий ефект для структури розв’язкiв. Як-
що конвекцiя виникає, як природне розширення закону збереження,
то ми отримуємо саме такi рiвняння, оскiльки найчастiше нелiнiйнос-
тi мають степеневий характер (детальнiше див. [2]).
2. Q-умовнi симетрiї. В роботi [4] (див. також [5]) отрима-
но вичерпний опис симетрiй Лi рiвняння реакцiї-дифузiї-конвекцiї
(РДК) (1) при B(U) 6= 0. Проте для знаходження всеможливих Q-
умовних операторiв рiвняння (1) в роботi [4] побудовано лише систе-
му вiдповiдних визначальних рiвнянь та наведено окремi її частковi
розв’язки як приклади. В цiй роботi ми ставимо задачу про вiдшу-
кання всiх Q-умовних операторiв вигляду
Q = ∂t + ξ(t, x, U)∂x + η(t, x, U)∂U , (4)
де ξ та η – невiдомi функцiї, для рiвнянь (2)–(3). Зауважимо, що
ми не розглядаємо задачу вiдшукання всiх Q-умовних операторiв
вигляду
Q = ∂x + η(t, x, U)∂U ,
Новi Q-умовнi симетрiї та розв’язки 317
оскiльки ця задача еквiвалентна розв’язанню власне рiвнянь (2)–
(3) [15].
Теорема 1. Рiвняння (2) Q-умовно iнварiантне вiдносно оператора
вигляду (4) тодi i тiльки тодi, коли воно та вiдповiдний оператор
набувають вигляду
(i) Ut = [UmUx]x + λUmUx + (λ1U
m+1 + λ2)(U−m − λ3), (5)
Q = ∂t + (λ1U + λ2U
−m)∂U , m 6= −1; (6)
(ii) Ut = [U−1Ux]x + λU−1Ux + (λ1 lnU + λ2)(U − λ3), (7)
Q = ∂t + (λ1U lnU + λ2U)∂U ; (8)
(iii) Ut = [U−
1
2Ux]x + λU−
1
2Ux + λ1U + λ2U
1
2 + λ3, (9)
Q = ∂t + f(t, x)∂x + 2(g(t, x)U + h(t, x)U
1
2 )∂U , (10)
де трiйка функцiй f , g, h є довiльним розв’язком нелiнiйної системи
диференцiальних рiвнянь
2ffx + ft + fg = 0, fxx − λfx − 2gx − fh = 0,
(g − λ1
2 )(g + 2fx) + gt = 0,
2gh− λ1h+ 2fxh− λ2fx + ht − λgx − gxx = 0,
h2 − λ2
2 h− λ3fx + λ3
2 g − λhx − hxx = 0. (11)
Всi iншi випадки iнварiантностi рiвнянь вигляду (2) вiдносно
операторiв вигляду (4) є випадками класичної iнварiантностi в сен-
сi Лi.
Зауваження 1. Незважаючи на те, що система (11) мiстить п’ять
рiвнянь на три невiдомi функцiї, вона є сумiсною. Зокрема, при f =
g = 0, λ1 = 0 вона зводиться до одного звичайного диференцiального
рiвняння
hxx + λhx + λ2
2 h− h
2 = 0 (12)
i тодi оператор
Q = ∂t + 2h(x)U
1
2 ∂U
є операторомQ-умовної симетрiї для будь-якого ненульового розв’яз-
ку рiвняння (12), причому при h = λ2
2 , отримуємо частинний випа-
док (i), коли m = − 1
2 , λ1 = 0.
318 Р.М. Чернiга, О.Г. Плюхiн
Зауваження 2. При h = 0 знайдено загальний розв’язок систе-
ми (11). Розв’язки дають нам лише оператори лiївської симетрiї (див.
випадки 8 та 11 в [4]).
Теорема 2. Рiвняння (3) при m 6= 0 Q-умовно iнварiантне вiдносно
оператора вигляду (4) тодi i тiльки тодi, коли воно та вiдповiдний
оператор набувають вигляду
(i) Ut = [UmUx]x + λUm+1Ux + λ1U + λ2U
−m, m 6= −1, (13)
Q = ∂t − λUm+1∂x + (λ1U + λ2U
−m)∂U ; (14)
(ii) Ut = [U−
1
2Ux]x + λU
1
2Ux +
+ (λ1U
3
2 + λ2U
1
2 + λ3)
(
λ1
2λ2 + U
1
2
)
, (15)
Q = ∂t +
(
−λU 1
2 + 3λ1
2λ
)
∂x + (λ1U
3
2 + λ2U
1
2 + λ3)∂U ; (16)
(iii) Ut = [U−1Ux]x + λUx + (λ1 lnU + λ2)(U − λ3), (17)
Q = ∂t − λ∂x + (λ1 lnU + λ2)U∂U . (18)
Всi iншi випадки iнварiантностi рiвнянь вигляду (3) вiдносно опера-
торiв вигляду (4) є випадками класичної iнварiантностi в сенсi Лi.
Зауваження 3. Всi Q-умовнi симетрiї рiвняння (3) при m = 0 по-
будованi в роботi [14]. Випадок (iii) локальною замiною y = x + λt
зводиться до випадку без конвективного члена, а саме:
Ut = [U−1Uy]y + (λ1 lnU + λ2)(U − λ3).
Оскiльки доведення обох теорем досить громiздкi, то тут ми об-
межимося лише доведенням другої (доведення першої буде наведено
в iншiй роботi).
Доведення теореми 2. Використавши для рiвняння (3) замiну
V =
{
Um+1, m 6= −1,
lnU, m = −1,
(19)
отримаємо у випадку m 6= −1
Vxx = V nVt − λV n+1Vx + F (V ), (20)
де n = − m
m+1 6= 0,−1, F (V ) = −(m+1)C(V
1
m+1 ), а у випадкуm = −1
Vxx = eV Vt − λeV Vx + F (V ), (21)
Новi Q-умовнi симетрiї та розв’язки 319
де F (V ) = C(eV ). Одночасно оператор (4) набуде вигляду
Q∗ = ∂t + ξ∗(t, x, V )∂x + η∗(t, x, V )∂V (22)
(надалi зiрочки ми опускаємо). Використаємо роботу [4], в якiй побу-
довано систему вiдповiдних визначальних рiвнянь для всiх рiвнянь
РДК. Тодi для знаходження функцiй ξ, η тa F для рiвняння (20)
одержимо таку систему
ξV V = 0, ηV V = 2ξV (−λV n+1 − ξV n) + 2ξxV ,
ηFV + (2ξx − ηV )F + nη2V n−1 + 2ξxηV
n +
+ ηtV
n − λV n+1ηx − ηxx = 0,
λξxV
n+1+
(
(−2ξV + λ(n+ 1))η + 2ξξx + ξt
)
V n +
+ ξηnV n−1 − 3ξV F + 2ηxV − ξxx = 0. (23)
А для рiвняння (21) – систему
ξV V = 0, ηV V = 2ξV (−λeV − ξeV ) + 2ξxV , (24)(
ξt + 2ξξx + (λ+ ξ − 2ξV )η + λξx
)
eV − 3ξV F + 2ηxV − ξxx = 0,
ηFV + (2ξx − ηV )F + η2eV + 2ξxηe
V + ηte
V − ληxeV − ηxx = 0.
Очевидно, що першi два рiвняння систем (23)–(24) легко iнтегру-
ються вiдносно змiнної V . Для повного розв’язання цих систем до-
цiльно по черзi розглянути такi випадки:
(a) ξ = ξ(V ), η = η(V ),
(b) ξ = f(t, x), η = g(t, x)V + h(t, x), (25)
(c) ξ = a(t, x)V + f(t, x), a(t, x) 6= 0, η = η(t, x, V ).
При цьому для випадку (c) та системи (23)
η = − 2a(a+ λ)
(n+ 2)(n+ 3)
V n+3 − 2af
(n+ 1)(n+ 2)
V n+2 +
+ axV
2 + g(t, x)V + h(t, x),
при n 6= −2,−3;
η = −2a(a+ λ)V lnV + 2af lnV + axV
2 +
320 Р.М. Чернiга, О.Г. Плюхiн
+ (2a(a+ λ) + g(t, x))V + h(t, x),
при n = −2;
η = 2a(a+ λ) lnV − afV −1 + axV
2 + g(t, x)V + h(t, x),
при n = −3.
А для системи (24)
η = −2a2V eV − 2a(λ+ f − 2a)eV + axV
2 + g(t, x)V + h(t, x).
Випадок (a). Очевидно, що розв’язок першого рiвняння в (23)–
(24) має вигляд
ξ = λ∗1V + λ∗2, (26)
де λ∗1, λ∗2 ∈ R. Тодi з другого рiвняння (23) з врахуванням (26), отри-
маємо функцiю
η = − 2λ∗1(λ+ λ∗1)
(n+ 2)(n+ 3)
V n+3− 2λ∗1λ
∗
2
(n+ 1)(n+ 2)
V n+2 + λ∗3V + λ∗4,(27)
де λ∗3, λ∗4 ∈ R, n 6= −2,−3, пiдставляючи яку в четверте рiвняння
системи (23), знаходимо функцiю
F =
η
3λ∗1
[(
λ∗1(n− 2) + λ(n+ 1)
)
V n + nλ∗2V
n−1
]
, λ∗1 6= 0. (28)
Зауважимо, що випадок λ∗1 = 0 для всiх F (V ) веде лише до лiїв-
ських операторiв. Отже, залишилося задовольнити третє рiвняння
системи (23), яке з врахуванням (28) набуває вигляду
η
[(
1 + 1
3λ∗1
(λ∗1(n− 2)+ λ(n+ 1)
)
V n−1+ (n− 1)λ∗2V
n−2
]
= 0. (29)
Припустивши η 6= 0 i розчепивши цей вираз за степенями V , отри-
муємо умови
(λ∗1 + λ)(n+ 1) = 0, (n− 1)λ∗2 = 0. (30)
Оскiльки n 6= −1, то перша умова з (30) дає λ∗1 = −λ, а друга дає n =
1 або λ∗2 = 0. Отже, беручи до уваги формули (26)–(28), одержуємо
рiвняння
Vxx = V Vt − λV 2Vx −
λ∗2 + 3λV
3λ
(
1
3λ
∗
2λV
3 + λ∗3V + λ∗4
)
, (31)
Новi Q-умовнi симетрiї та розв’язки 321
та оператор Q-умовної симетрiї
Q = ∂t + (−λV + λ∗2)∂x +
(
1
3λ
∗
2λV
3 + λ∗3V + λ∗4
)
∂V , (32)
при n = 1; рiвняння
Vxx = V nVt − λV n+1Vx − (λ∗3V + λ∗4)V n, (33)
та оператор
Q = ∂t − λV ∂x + (λ∗3V + λ∗4)∂V , (34)
при λ∗2 = 0. Неважко переконатися, що розгляд випадкiв n = −2,
n = −3 веде лише до частинних випадкiв (33) та оператора (34).
Врештi-решт, зробивши в рiвняннях (31), (33) та операторах (32),
(34) замiну (19) та перепозначивши коефiцiєнти бiля степенiв U (λ∗3 =
= λ1, λ
∗
4 = λ2 для рiвняння (33), λ∗2 = 3λ1
2λ , λ∗3 = λ2
2 , λ∗4 = λ3
2 для
рiвняння (31)) отримаємо вiдповiдно випадки (ii) та (i) теореми 2.
Якщо η = 0 в (29), то отримаємо частинний випадок рiвняння
(33) та оператора (34) при λ∗3 = λ∗4 = 0.
Розгляньмо тепер систему (24). Пiдставивши (26) в друге рiвнян-
ня (24), знаходимо функцiю
η = 2λ∗1e
V (−λ∗1V + 2λ∗1 − λ− λ∗2) + λ∗3V + λ∗4,
де λ∗3, λ∗4 ∈ R, а пiдставивши в третє рiвняння – функцiю
F =
ηeV
3λ∗1
(λ∗1V + λ+ λ∗2 − 2λ∗1) , λ∗1 6= 0. (35)
Враховуючи (35), четверте рiвняння системи (24) набуває вигляду
eV η
(
1 + 1
3λ∗1
(λ∗1V + λ+ λ∗2 − λ∗1)
)
= 0,
а це веде до η = 0, тобто, зокрема, λ∗1 = 0, проте λ∗1 6= 0 (див. (35)).
Якщо λ∗1 = 0, то система (24) набуває вигляду
ξ = λ∗2, η = λ∗3V + λ∗4, (λ∗3V + λ∗4)(λ∗2 + λ) = 0,
(λ∗3V + λ∗4)FV − λ∗3F = −eV (λ∗3V + λ∗4)2. (36)
Розв’язавши систему (36), отримаємо рiвняння
Vxx = eV Vt − λeV Vx + (λ∗3V + λ∗4)(λ∗5 − eV ), (37)
322 Р.М. Чернiга, О.Г. Плюхiн
та оператор
Q = ∂t − λ∂x + (λ∗3V + λ∗4)∂V . (38)
Зробивши в (37) та (38) замiну (19) та перепозначивши коефiцiєнти
бiля степенiв U (λ∗3 = λ1, λ∗4 = λ2, λ∗5 = λ3), отримаємо випадок (iii)
теореми 2.
Випадок (b). Покажемо, що у цьому випадку не отримуються новi
Q-умовнi симетрiї. Розгляньмо систему (23). Розв’язком першого та
другого рiвнянь системи (23) будуть вирази (25). Пiдставивши (25)
в четверте рiвняння системи (23) i об’єднавши коефiцiєнти бiля вiд-
повiдних степенiв V , отримаємо
λ
(
(n+ 1)g + fx
)
V n+1+
(
λ(n+ 1)h+ ft + 2ffx + nfg
)
V n +
+ nfhV n−1 + 2gx − fxx = 0.
Розгляньмо випадок n 6= 1, тодi розчеплення за степенями V вiдбу-
вається таким чином
(n+ 1)g + fx = 0, λ(n+ 1)h+ ft + 2ffx + nfg = 0,
fh = 0, 2gx − fxx = 0. (39)
Для розв’язання системи (39) необхiдно розглянути два випадки
(див. третє рiвняння): f = 0 i h = 0. Якщо f = 0, то негайно отри-
мується g = h = 0, оскiльки n + 1 6= 0 i λ 6= 0, а це веде лише до
частинного випадку (a). Якщо ж h = 0, то використовуючи перше i
четверте рiвняння системи (39), отримаємо
g = g(t), f = −(n+ 1)gx+ ϕ(t),
звiдки за допомогою другого рiвняння цiєї системи одержуємо систе-
му звичайних диференцiальних рiвнянь (ЗДР)
gt − (n+ 2)g2 = 0, ϕt − (n+ 2)ϕg = 0. (40)
з загальним розв’язком
g =
−1
(n+ 2)t+ c1
, ϕ =
c2
(n+ 2)t+ c1
, ck ∈ R, k = 1, 2.
Пiдставивши його в третє рiвняння системи (23), одержуємо лiнiйне
ЗДР
FV −
2n+ 3
V
F = 0.
Новi Q-умовнi симетрiї та розв’язки 323
В пiдсумку, випадок (b) при n 6= 1 приводить до рiвняння
Vxx = V nVt − λV n+1Vx + λ1V
2n+3, (41)
та оператора
Q = ∂t +
(n+ 1)x+ c2
(n+ 2)t+ c1
∂x −
V
(n+ 2)t+ c1
∂V . (42)
Проте оператор (42) еквiвалентний оператору
X = c1∂t + c2∂x + (n+ 2)t∂t + (n+ 1)x∂x − V ∂V ,
який є звичайним оператором iнварiантностi рiвняння (41) [4].
При n = 1, отримаємо частинний випадок рiвняння (41) та опера-
тора (42).
Аналогiчний розгляд системи (24) у випадку (b) приводить лише
до операторiв лiївської симетрiї рiвнянь вигляду (21) при F = λ1 +
+λ2e
V та F = λ1e
λ2V .
Випадок (c). Детальнi викладки ми опускаємо, оскiльки при
a(t, x) 6= const не отримується жодного оператора Q-умовної симе-
трiї, а при a(t, x) = const – лише частиннi випадки (a) i (b). Теорему
доведено.
3. Точнi розв’язки деяких рiвнянь РДК. Добре вiдомо [16–
18], що знаходження нових операторiв умовної симетрiї та нових
анзацiв ще не гарантує побудову нових розв’язкiв вiдповiдного не-
лiнiйного рiвняння, оскiльки отриманi розв’язки можуть виявитися
такими, що їх можна побудувати за допомогою класичних симетрiй
Лi. Нижче ми побудуємо точнi розв’язки деяких нелiнiйних рiвнянь
РДК, для яких було знайдено новi умовнi симетрiї, та покажемо, що
вони є нелiївськими розв’язками. Для спрощення викладок будемо
розглядати рiвняння для залежної змiнної V (t, x), а потiм зробимо
замiну (19), тобто повернемося до початкової змiнної U(t, x).
Розгляньмо випадок (i) теореми 1. Рiвняння (5) та вiдповiдний
оператор (6) пiсля замiни (19) набувають вигляду
Vxx = V nVt − λVx + (λ∗1V + λ∗2)(λ3 − V n), (43)
та
Q = ∂t + (λ∗1V + λ∗2)∂V (44)
вiдповiдно.
324 Р.М. Чернiга, О.Г. Плюхiн
Побудуємо за оператором (44) анзац за стандартною процедурою,
тобто шляхом розв’язування рiвняння Q(V ) = 0, або
dt
1
=
dV
λ∗1V + λ∗2
.
В залежностi вiд значення λ∗1 отримаємо два анзаци: при λ∗1 = 0,
одержимо
V = λ∗2t+ ϕ(x), (45)
а при λ∗1 6= 0
V = ϕ(x)eλ
∗
1t − λ∗2
λ∗1
, (46)
де ϕ(x) – нова невiдома функцiя. Пiдставивши анзац (45) в рiвняння
(43), отримуємо таке звичайне диференцiальне рiвняння (ЗДР)
ϕxx + λϕx + λ∗4 = 0, λ∗4 = −λ∗2λ3,
яке легко розв’язується i має загальний розв’язок
ϕ = c1 + c2e
−λx − λ∗4
λ x, ck ∈ R, k = 1, 2.
Отже, розв’язок рiвняння (43) при λ∗1 = 0 має вигляд
V = λ∗2t+ c1 + c2e
−λx − λ∗4
λ x.
Використавши замiну (19) отримаємо розв’язок
U =
[
λ2(m+ 1)t+ c1 + c2e
−λx − λ4(m+1)
λ x
] 1
m+1
,
рiвняння
Ut = [UmUx]x + λUmUx + λ2U
−m + λ4, m 6= −1.
Оскiльки останнє рiвняння при λ2 6= 0 допускає лише тривiальну
алгебру iнварiантностi 〈∂t, ∂x〉 [4], то використовуючи цi оператори
ми можемо отримати тiльки розв’язки вигляду U = ϕ(c3x + c4t),
c3, c4 ∈ R. Як ми бачимо, отриманий нами розв’язок при c2 6= 0 має
iнший вигляд, а тому є нелiївськими. Так само показується, що i iншi
розв’язки, якi отримано нижче, є нелiївськими.
Новi Q-умовнi симетрiї та розв’язки 325
Пiдставивши анзац (46) в рiвняння (43), знову отримаємо лiнiйне
ЗДР
ϕxx + λϕx + λ4ϕ = 0, λ4 = −λ∗1λ3,
розв’язки якого суттєво залежать вiд значення δ = λ2 − 4λ4. Згiдно
з класичною теорiєю лiнiйних ЗДР отримуємо
ϕ1 = c1 exp
(
−λ+
√
δ
2 x
)
+ c2 exp
(
−λ−
√
δ
2 x
)
при δ > 0,
ϕ2 = c1 exp
(
−λ2x
)
+ c2x exp
(
−λ2x
)
при δ = 0,
ϕ3 = exp
(
−λ2x
) (
c1 cos
√
−δ
2 x+ c2 sin
√
−δ
2 x
)
при δ < 0.
Отже, рiвняння (43) має три типи розв’язкiв в залежностi вiд
значення δ, δ = λ2 + 4λ1λ3(m+ 1). Знову використавши замiну (19),
анзац (46) та отриманi функцiї ϕi(x), i = 1, 2, 3, будуємо розв’язки
U =
[
c1 exp
(
−λ+
√
δ
2 x+ λ1(m+ 1)t
)
+
+ c2 exp
(
−λ−
√
δ
2 x+ λ1(m+ 1)t
)
− λ2
λ1
] 1
m+1
,
U =
[
c1 exp
(
−λ2x+ λ1(m+ 1)t
)
+
+ c2x exp
(
−λ2x+ λ1(m+ 1)t
)
− λ2
λ1
] 1
m+1
,
U =
[
exp
(
−λ2x+ λ1(m+ 1)t
)
×
×
(
c1 cos
√
−δ
2 x+ c2 sin
√
−δ
2 x
)
− λ2
λ1
] 1
m+1
рiвняння
Ut = [UmUx]x + λUmUx +
326 Р.М. Чернiга, О.Г. Плюхiн
+ (λ1U
m+1 + λ2)(U−m − λ3), (47)
де m 6= −1.
Зауважимо, що нелiївськi розв’язки рiвняння (47) при λ2 = 0
було отримано в роботi [18], проте легко помiтити, що вищенаведенi
розв’язки мають iншу структуру, тобто є новими.
Розгляньмо випадок (ii) теореми 1. Рiвняння (7) та вiдповiдний
оператор (8) пiсля замiни (19) набувають виглядiв
Vxx = eV Vt − λVx + (λ1V + λ2)(λ3 − eV ),
та
Q = ∂t + (λ1V + λ2)∂V .
Аналогiчним чином, як i при розглядi випадку (i) отримаємо такi
два анзаци
V = λ2t+ ϕ(x), λ1 = 0, (48)
V = ϕ(x)eλ1t − λ2
λ1
, λ1 6= 0. (49)
Оскiльки структура анзацiв (48) i (49) така сама що й (45) i (46),
то подальшi викладки повнiстю аналогiчнi. У пiдсумку отримаємо
розв’язок
U = exp
[
λ2t+ c1 + c2e
−λx − λ4
λ x
]
,
нелiнiйного рiвняння РДК
Ut = [U−1Ux]x + λU−1Ux + λ2U + λ4.
Та три розв’язки
U = exp
[
c1 exp
(−λ+
√
δ
2 x+ λ1t
)
+ c2 exp
(−λ−√δ
2 x+ λ1t
)
− λ2
λ1
]
,
U = exp
[
c1 exp
(
− λ
2x+ λ1t
)
+ c2x exp
(
− λ
2x+ λ1t
)
− λ2
λ1
]
,
U = exp
[
exp
(
− λ
2x+ λ1t
)(
c1 cos
√
−δ
2 x+ c2 sin
√
−δ
2 x
)
− λ2
λ1
]
,
рiвняння
Ut = [U−1Ux]x + λU−1Ux + (λ1 lnU + λ2)(U − λ3)
в залежностi вiд знаку δ = λ2 + 4λ1λ3.
Новi Q-умовнi симетрiї та розв’язки 327
Розгляньмо випадок (i) теореми 2. Рiвняння (13) та вiдповiдний
оператор (14) пiсля замiни (19) набувають вiдповiдно вигляду (33)
та (34). Рiвняння Q(V ) = 0 для оператора (34) має вигляд
Vt = λV Vx + λ∗3V + λ∗4. (50)
У цьому випадку зручнiше не будувати анзац, а спочатку виразити
Vt з (50) та пiдставити в (33). Тодi отримується лiнiйне ЗДР Vxx = 0,
яке породжує анзац
V = ϕ(t)x+ ψ(t), (51)
де ϕ(t)x i ψ(t) – новi шуканi функцiї. Пiдставивши анзац (51) у рiв-
няння (50), одержимо вираз
ϕtx+ ψt = λ(ϕx+ ψ)ϕ+ λ∗3(ϕx+ ψ) + λ∗4, (52)
розчеплення якого за змiнною x веде до системи ЗДР
ϕt = λϕ2 + λ∗3ϕ, ψt = λϕψ + λ∗3ψ + λ∗4. (53)
Розв’язавши систему (53) i пiдставивши отриманi вирази для ϕ та ψ
в анзац (51), одержимо розв’язки
V = 1
λt+c1
(
−x+ λ∗4
(
λ
2 t
2 + c1t
)
+ c2
)
,
та
V = 1
1+c1e
−λ∗3t
(
−λ
∗
3
λ x+ λ∗4
(
t− c1
λ∗3
e−λ
∗
3t) + c2
)
,
для рiвняння
Vxx = V nVt − λV n+1Vx − (λ∗3V + λ∗4)V n, n 6= −1,
вiдповiдно при λ∗3 = 0 та λ∗3 6= 0. Зробивши замiну (19) i перепозна-
чивши сталi, отримаємо розв’язки
U =
[
1
λt+c1
(
−x+ λ2(m+ 1)
(
λ
2 t
2 + c1t
)
+ c2
)] 1
m+1
,
та
U =
[
1
1+c1e−λ1(m+1)t
(
−λ1(m+1)
λ x+
328 Р.М. Чернiга, О.Г. Плюхiн
+ λ2(m+ 1)
(
t− c1
λ1(m+1)e
−λ1(m+1)t) + c2
)] 1
m+1
,
нелiнiйного рiвняння РДК
Ut = [UmUx]x + λUm+1Ux + λ1U + λ2U
−m, m 6= −1 (54)
вiдповiдно при λ1 = 0 та λ1 6= 0. Зауважимо, що при m 6= −1 рiвня-
ння (54) допускає лише тривiальну алгебру iнварiантностi [4], тому
отриманi розв’язки є нелiївськими.
4. Висновки. Таким чином в цiй роботi ми встановили двi тео-
реми, якi дають вичерпний опис Q-умовних симетрiй двох класiв
рiвнянь реакцiї-дифузiї-конвекцiї вигляду (2) та (3). Зауважимо, що
отриманi Q-умовнi симетрiї як правило можна використовувати i
для випадку виродження рiвняння РДК в рiвняння реакцiї-дифузiї,
тобто при λ = 0. Бiльше того, наскiльки нам вiдомо, деякi Q-умовнi
симетрiї є новими навiть у цьому частковому випадку.
В роботi також побудовано точнi розв’язки деяких нелiнiйних
РДК за допомогою отриманих симетрiй. Показано при яких умовах
цi розв’язки є нелiївськими, тобто не можуть бути отриманi класич-
ним методом Лi. В майбутньому ми плануємо бiльш детально дослi-
дити властивостi отриманих розв’язкiв та питання щодо їх можли-
вого застосування.
[1] Ames W.F. Nonlinear partial differential equations in engineering. – New York:
Academic Press, 1972. – 495 p.
[2] Murray J.D. Mathematical biology. – Berlin: Springer, 1989. – 750 p.
[3] Овсянников Л.В. Групповые свойства уравнений нелинейной теплопрово-
дности // Докл. АН СССР. – 1959. – 125. – С. 492–495.
[4] Cherniha R., Serov M. Symmetries, ansätze and exact solutions of nonli-
near second-order evolution equations with convection term // Euro. J. Appl.
Math. – 1998. – 9. – P. 527–542.
[5] Cherniha R., Serov M. Symmetries, ansätze and exact solutions of nonlinear
second-order evolution equations with convection term. II // Euro. J. Appl.
Math., to appear.
[6] Bluman G.W., Cole I.D. The general similarity solution of the heat equation //
J. Math. Mech. – 1969. – 18. – P. 1025-1042.
[7] Olver P., Rosenau P. Group-invariant solutions of differential equations // SIAM
J. Appl. Math. – 1987. – 47. – P. 263–278.
[8] Levi D., Winternitz P. Non-classical symmetry reduction: example of the Boussi-
nesq equation // J. Phys. A: Math. Gen. – 1989. – 22. – P. 2915-2924.
[9] Фущич В.I., Сєров М.I., Чопик В.I. Умовна iнварiантнiсть та нелiнiйнi рiв-
няння теплопровiдностi // Доп. АН УРСР. Сер. А. – 1988. – № 9. – С. 17–21.
Новi Q-умовнi симетрiї та розв’язки 329
[10] Fushchych W.I., Shtelen W.M., Serov M.I. Symmetry analysis and exact soluti-
ons of equations of nonlinear mathematical physics. – Kluwer: Dordrecht, 1993. –
456 p.
[11] Серов Н.И. Условная инвариантность и точные решения нелинейного урав-
нения теплопроводности // Укр. мат. журн. – 1990. – 42. – С. 1370–1376.
[12] Clarkson P.A., Mansfield E.L. Symmetry reductions and exact solutions of a
class of nonlinear heat equations // Phys. D. – 1993. – 70. – P. 250–288.
[13] Arrigo D.J., Broadbridge P., Hill J.M. Nonclassical symmetry reductions of
the linear diffusion equation with a nonlinear source // IMA J. Appl. Math. –
1994. – 52. – P. 1–24.
[14] Cherniha R. New Q-conditional symmetries and exact solutions of some
reaction-diffusion-convection equations arising in mathematical biology //
J. Math. Anal. Appl., to appear.
[15] Zhdanov R.Z., Lahno V.I. Conditional symmetry of a porous medium equa-
tion // Phys. D. – 1998. – 122. – P. 178–186.
[16] Cherniha R. A constructive method for construction of new exact solutions of
nonlinear evolution equations // Rep. Math. Phys. – 1996.– 38. – P. 301–312.
[17] Чернiга Р.М. Застосування одного конструктивного методу для побудови
нелiївських розв‘язкiв нелiнiйних еволюцiйних рiвнянь // Укр. мaт. журн. –
1997. – 49. – C. 814–827.
[18] Cherniha R. New non-Lie ansätze and exact solutions of nonlinear reaction-
diffusion-convection equations // J. Phys. A: Math. Gen. – 1998. – 31. – P. 8179–
8198.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-462 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:07:45Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/46/bbddd1dfacf31c5ba085ea48c478e246.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-4622020-08-13T10:42:30Z New Q-conditional symmetries and solutions for reaction-diffusion-convection equations with power diffusivities. Нові Q-умовні симетрії та розв'язки рівнянь типу реакції-дифузії-конвекції зі степеневими нелінійностями Cherniha, R. Pliukhin, O. Черніга, Р. Плюхін, О. A complete description of $Q$-conditional symmetries for two classes of reaction-diffusion-convection equations with power diffusivities is obtained. Using the symmetries obtained new non-Lie solutions are constructed. Зроблено вичерпний опис $Q$-умовних симетрій двох класів нелінійних рівнянь реакції-дифузії-конвекції зі степеневими коефіцієнтами дифузії. Використовуючи отримані симетрії, побудовано нові неліївські розв'язки. Інститут математики НАН України 2006-11-14 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/462 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 3 No. 2 (2006): Symmetry and Integrability of Equations of Mathematical Physics (Dedicated to the 70-th Anniversary of Professor W.I. Fushchych); 315-329 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 3 № 2 (2006): Симетрія та інтегровність рівнянь математичної фізики (До 70-річчя від дня народження Вільгельма Ілліча Фущича); 315-329 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 3 № 2 (2006): Симетрія та інтегровність рівнянь математичної фізики (До 70-річчя від дня народження Вільгельма Ілліча Фущича); 315-329 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/462/458 Авторське право (c) 2020 Р. Черніга, О. Плюхін http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Cherniha, R. Pliukhin, O. Черніга, Р. Плюхін, О. New Q-conditional symmetries and solutions for reaction-diffusion-convection equations with power diffusivities. |
| title | New Q-conditional symmetries and solutions for reaction-diffusion-convection equations with power diffusivities. |
| title_alt | Нові Q-умовні симетрії та розв'язки рівнянь типу реакції-дифузії-конвекції зі степеневими нелінійностями |
| title_full | New Q-conditional symmetries and solutions for reaction-diffusion-convection equations with power diffusivities. |
| title_fullStr | New Q-conditional symmetries and solutions for reaction-diffusion-convection equations with power diffusivities. |
| title_full_unstemmed | New Q-conditional symmetries and solutions for reaction-diffusion-convection equations with power diffusivities. |
| title_short | New Q-conditional symmetries and solutions for reaction-diffusion-convection equations with power diffusivities. |
| title_sort | new q-conditional symmetries and solutions for reaction-diffusion-convection equations with power diffusivities. |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/462 |
| work_keys_str_mv | AT chernihar newqconditionalsymmetriesandsolutionsforreactiondiffusionconvectionequationswithpowerdiffusivities AT pliukhino newqconditionalsymmetriesandsolutionsforreactiondiffusionconvectionequationswithpowerdiffusivities AT černígar newqconditionalsymmetriesandsolutionsforreactiondiffusionconvectionequationswithpowerdiffusivities AT plûhíno newqconditionalsymmetriesandsolutionsforreactiondiffusionconvectionequationswithpowerdiffusivities AT chernihar novíqumovnísimetríítarozv039âzkirívnânʹtipureakcíídifuzííkonvekcíízístepeneviminelíníjnostâmi AT pliukhino novíqumovnísimetríítarozv039âzkirívnânʹtipureakcíídifuzííkonvekcíízístepeneviminelíníjnostâmi AT černígar novíqumovnísimetríítarozv039âzkirívnânʹtipureakcíídifuzííkonvekcíízístepeneviminelíníjnostâmi AT plûhíno novíqumovnísimetríítarozv039âzkirívnânʹtipureakcíídifuzííkonvekcíízístepeneviminelíníjnostâmi |