On the denseness of nonintegrable Hamiltonian systems of the reduced three-body problem with pairwise interaction
The class of Hamiltonian systems of the reduced three-body problem with pairwise interaction is considered. It is proved that nonintegrable Hamiltonian systems in that class make up an everywhere dense subset.
Saved in:
| Date: | 2006 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/464 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552963222798336 |
|---|---|
| author | Pidkuyko, S. Підкуйко, С. |
| author_facet | Pidkuyko, S. Підкуйко, С. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "С. Підкуйко",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Pidkuyko, S. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-13T10:42:30Z |
| description | The class of Hamiltonian systems of the reduced three-body problem with pairwise interaction is considered. It is proved that nonintegrable Hamiltonian systems in that class make up an everywhere dense subset. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:07:47Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2006, т.3, N 2, 225–230
УДК 517.9
Про щiльнiсть неiнтегровних
гамiльтонових систем редукованої
задачi трьох тiл на прямiй з
потенцiалом попарної взаємодiї
С.I. ПIДКУЙКО
Львiвський нацiональний унiверситет iменi Iвана Франка
E-mail: s_pidkuyko@franko.lviv.ua
Розглядається клас гамiльтонових систем редукованої задачi трьох тiл
на прямiй з потенцiалом попарної взаємодiї. Доведено, що неiнтегровнi
гамiльтоновi системи в цьому класi утворюють всюди щiльну пiдмно-
жину.
The class of Hamiltonian systems of the reduced three-body problem with
pairwise interaction is considered. It is proved that nonintegrable Hami-
ltonian systems in that class make up an everywhere dense subset.
Розглядається клас гамiльтонових систем задачi трьох тiл (точок)
на прямiй з потенцiалом попарної взаємодiї, якi описуються гамiль-
тонiанами вигляду
H = 1
2 (p2
1 + p2
2 + p2
3)+ V (x1 − x2)+ V (x2 − x3)+W (x1 − x3), (1)
де xj , pj (j = 1, 2, 3) позначають, вiдповiдно, координату та iмпульс
j-ої точки, а функцiї V , W – потенцiали взаємодiї, вiдповiдно, мiж
першою i другою та другою i третьою точками, i мiж першою та
третьою точками даної гамiльтонової системи. Взаємодiя мiж пер-
шою та третьою точками, взагалi кажучи, може бути вiдмiнною вiд
взаємодiї мiж першою i другою та другою i третьою точками.
Позначимо A(x) сукупнiсть всiх функцiй f, аналiтичних в точцi
x ∈ R, що задовольняють умови:
f ′(x) = 0, f ′′(x) > 0.
226 С.I. Пiдкуйко
На потенцiали V ,W гамiльтонової системи (1) накладемо такi умови:
V ∈ A(a), W ∈ A(2a), (2)
де a ∈ R деяка фiксована точка.
Тодi в кожнiй точцi (a1, a2, a3, 0, 0, 0)∈R6 (де a1− a2 = a2− a3 = a)
фазового простору нашої гамiльтонової системи гамiльтонiан (1) бу-
де аналiтичним i матиме локальний мiнiмум.
Канонiчним перетворенням
y1 = x1 − x2, q1 = 1
3 (2p1 − p2 − p3),
y2 = x2 − x3, q2 = 1
3 (p1 + p2 − 2p3),
y = x1 + x2 + x3, q = 1
3 (p1 + p2 + p3),
гамiльтонiан гамiльтонової системи (1) зводиться до вигляду
H = 3
2q
2 + (q2
1 − q1q2 + q2
2) + V (y1) + V (y2) +W (y1 + y2). (3)
Гамiльтонова система (вимiрнiсть фазового простору якої зменши-
лась з 6 до 4) з гамiльтонiаном
K = q2
1 − q1q2 + q2
2 + V (y1) + V (y2) +W (y1 + y2) (4)
називається гамiльтоновою системою редукованої задачi трьох тiл
на прямiй з потенцiалом попарної взаємодiї. Згiдно з умовами, на-
кладеними на функцiї V , W, гамiльтонiан K є аналiтичним в точцi
(a, a, 0, 0) i має в цiй точцi локальний мiнiмум.
Оскiльки гамiльтонiан H не залежить вiд координати (повний iм-
пульс є першим iнтегралом гамiльтонової системи (1)) y, то кожен
перший iнтеграл F гамiльтонової системи (4), функцiонально незале-
жний зK, буде першим iнтегралом гамiльтонової системи (3), до того
ж, трiйка (H, q, F ) буде утворювати повний набiр перших iнтегралiв
гамiльтонової системи (4) (тобто функцiї цього набору утворюють
функцiонально незалежну трiйку перших iнтегралiв, якi перебува-
ють попарно в iнволюцiї). Зокрема, звiдси отримуємо, що з iнтегров-
ностi за Лiувiллем гамiльтонової системи (4) випливає iнтегровнiсть
за Лiувiллем гамiльтонової системи (3) (а отже й гамiльтонової си-
стеми (1)).
В данiй роботi доводиться аналог вiдомого результату Зiгеля [1]
(i його узагальнення, доведеного автором [6]) про щiльнiсть в кла-
сi гамiльтонових систем (4) множини неiнтегровних гамiльтонiанiв
(з цього ж класу).
Неiнтегровнi гамiльтоновi системи задачi трьох тiл на прямiй 227
Надалi ми будемо розглядати гамiльтонову систему редукованої
задачi трьох тiл на прямiй, початок координат конфiгурацiйного про-
стору якої перенесено в точку (a, a):
K = p2
1 − p1p2 + p2
2 + V (a+ x1) + V (a+ x2) +W (2a+ x1 + x2).
Гамiльтонiан K є аналiтичним в точцi (0, 0, 0, 0) i має в цiй точцi
локальний мiнiмум.
Основний результат роботи сформульовано в теоремi:
Теорема 1. Нехай {εk} довiльна додатня послiдовнiсть, потенцiали
V , W задовольняють умови (2). Тодi знайдеться такий потенцiал
Ṽ ∈ A(a), що має властивостi:
1) |V (k)(a)− Ṽ (k)(a)| < εk, k = 2, 3, . . . .
2) будь-який аналiтичний в точцi (0, 0, 0, 0) перший iнтеграл га-
мiльтонової системи з гамiльтонiаном
K̃ = p2
1 − p1p2 + p2
2 + Ṽ (a+ x1) + Ṽ (a+ x2) +
+W (2a+ x1 + x2),
є функцiєю вiд K̃.
Доведення цiєї теореми спирається на кiлька лем i використовує
метод Зiгеля побудови неiнтегровного гамiльтонiана.
Лема 1. Iснує потенцiал V1 ∈ A(a) з такими властивостями:
1) |V ′′1 (a)− V ′′(a)| < 1
2ε2, V
(k)
1 (a) = V (k)(a), k = 3, 4, . . . .
2) iснує лiнiйне канонiчне перетворення фазових змiнних (x1, x2,
p1, p2) у фазовi змiннi (u1, u2, v1, v2), для якого квдадратична
частина гамiльтонiана
K = p2
1 − p1p2 + p2
2 + V1(a+ x1) + V1(a+ x2) +
+W (2a+ x1 + x2),
зводиться до нормальної форми
E2 = λ11u1v1 + λ12u2v2,
де числа λ11, λ12 чисто уявнi i рацiонально незалежнi.
228 С.I. Пiдкуйко
Згiдно з процедурою побудови, запропонованої в [1], виберемо два
цiлих числа r, q, що задовольняють нерiвностi:
q > 1 +
λ12
λ11
+ 2|λ12|ε−1
2 ,
∣∣∣∣q λ12
λ11
+ r
∣∣∣∣ < 1,
i побудуємо три послiдовностi {qm}, {rm}, {lm} (m ∈ N), згiдно з
формулами
lm = qm + |rm|, rm = qm
(
r
q
−
m∑
k=1
1
qm
)
, q1 = q2,
а qm+1 є мiнiмальним степенем q, що задовольняє нерiвнiсть
qm+1 > q2
m + 4|λ12|ε−1
lm
lmlmm , m ∈ N.
Покладемо
λ̃2 = λ12, λ̃1 = λ12
( ∞∑
k=1
1
qk
− r
q
)
.
Тодi побудованi послiдовностi i числа λ̃1, λ̃2 мають такi властивостi:
1) послiдовнiсть {qm} є строго зростаючою, l1 ≥ 4,
2) числа λ̃1, λ̃2 є чисто уявними i рацiонально незалежними, до
того ж, справедлива нерiвнiсть |λ̃1 − λ11| < ε2,
3) справедливi нерiвностi:
qm|λ̃1qm + λ̃2rm|−1εlm > 2lmlmm , m ∈ N.
Лема 2. Iснує потенцiал V2 ∈ A(a) з такими властивостями:
1) |V ′′2 (a)− V ′′(a)| < ε2, V
(k)
2 (a) = V (k)(a), k = 3, 4, . . . .
2) iснує лiнiйне канонiчне перетворення фазових змiнних (x1, x2,
p1, p2) у фазовi змiннi (u1, u2, v1, v2), для якого квадратична
частина гамiльтонiана
K = p2
1 − p1p2 + p2
2 + V2(a+ x1) + V2(a+ x2) +
+W (2a+ x1 + x2),
Неiнтегровнi гамiльтоновi системи задачi трьох тiл на прямiй 229
зводиться до нормальної форми
E2 = λ21u1v1 + λ22u2v2,
де коефiцiєнти λ21, λ22 чисто уявнi i рацiонально незалежнi, до
того ж, задовольняють такi умови
λ21
λ22
=
λ̃1
λ̃2
,
∣∣∣∣λ22
λ̃2
∣∣∣∣ < 2.
Нехай E позначає гамiльтонiан K, записаний у нових фазових
змiнних (u1, u2, v1, v2). Гамiльтонiан E задовiльняє канонiчнi рiвня-
ння Гамiльтона
u̇k = Evk , v̇k = −Euk , k = 1, 2. (5)
В околi точки (0, 0, 0, 0) його можна розкласти в ряд Тейлора
E =
∞∑
n=2
En,
де En позначає однорiдну степеня n частину E.
Вiдомо [1], що iснує перший iнтеграл s (який називається iнтегра-
лом Бiркгофа i, зазвичай, є розбiжним степеневим рядом) гамiльто-
нової системи (5),
s = u1v1 +
∞∑
n=3
sn, (6)
де розклад (6) не мiстить членiв вигляду
c
n∏
k=1
(ukvk)αk , α1 + · · ·+ αn > 2.
Нехай Ẽ позначає гамiльтонiан
K̃ = p2
1 − p1p2 + p2
2 + Ṽ (a+ x1) + Ṽ (a+ x2) + (7)
+W (2a+ x1 + x2), (8)
записаний у нових фазових змiнних (u1, u2, v1, v2), s̃ – вiдповiдний
iнтеграл Бiркгофа гамiльтонової система з гамiльтонiаном Ẽ.
230 С.I. Пiдкуйко
Лема 3. Iснує потенцiал Ṽ ∈ A(a) з такими властивостями:
Ṽ (n)(a) = V (n)(a), n /∈ {lm | m ∈ N},
Ṽ (lm)(a) = V (lm)(a)± 1
2
εlm , m ∈ N, (9)
де знаки (+) або (−) в (9) можна вибрати так, що справедливi не-
рiвностi
|s̃lm | >
1
2
lmlmm , m ∈ N. (10)
У формулюваннi даної леми використовується таке позначення:
для однорiдного полiнома G вiд кiлькох змiнних через |G| познача-
ється максимальна з абсолютних величин коефiцiєнтiв полiнома G.
Зазначимо, що внаслiдок умови (10) гамiльтонова система з га-
мiльтонiаном (7) не може мати незалежного з Ẽ першого iнтеграла,
аналiтичного в околi (0, 0, 0, 0).
[1] Ziegel C.L. On the integrals of canonical systems // Ann. Math. – 1941. – (2)
42. – P. 806–822.
[2] Ziegel C.L. Über die Existenz einer Normalform analytischer Hamiltonscher
Differentialgleichungen in der Nahe einer Gleichgewichtslosung // Math. Ann. –
1954. – 128. – P. 144–170.
[3] Арнольд В.И. Математические методы классической механики. – Москва:
Наука, 1974. – 472 c.
[4] Брюно А.Д. Нормальная форма системы, близкой к гамильтоновой // Мат.
заметки. – 1990. – 48, № 5. – C. 35–46.
[5] Козлов В.В. Интегрируемость и неинтегрируемость в гамильтоновой меха-
нике // УМН. – 1983. – 38, № 1. – С. 3–67.
[6] Пидкуйко С.И. О плотности множества неинтегрируемых гамильтониа-
нов // Изв. Росс. Акад. Наук. – Сер. Матем. – 1992. – 56. – С. 863–876.
[7] Пидкуйко С.И., О массивности множества неинтегрируемых гамильтониа-
нов // Мат. сборник. – 1994. – 185, № 12. – С. 101–122.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-464 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:07:47Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/b8/a446d74107a87985fdefcc0f595d23b8.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-4642020-08-13T10:42:30Z On the denseness of nonintegrable Hamiltonian systems of the reduced three-body problem with pairwise interaction Про щільність неiнтегровних гамiльтонових систем редукованої задачi трьох тiл на прямiй з потенцiалом попарної взаємодiї Pidkuyko, S. Підкуйко, С. The class of Hamiltonian systems of the reduced three-body problem with pairwise interaction is considered. It is proved that nonintegrable Hamiltonian systems in that class make up an everywhere dense subset. Розглядається клас гамільтонових систем редукованої задачі трьох тіл на прямій з потенціалом попарної взаємодії. Доведено, що неінтегровні гамільтонові системи в цьому класі утворюють всюди щільну підмножину. Інститут математики НАН України 2006-11-14 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/464 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 3 No. 2 (2006): Symmetry and Integrability of Equations of Mathematical Physics (Dedicated to the 70-th Anniversary of Professor W.I. Fushchych); 225-230 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 3 № 2 (2006): Симетрія та інтегровність рівнянь математичної фізики (До 70-річчя від дня народження Вільгельма Ілліча Фущича); 225-230 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 3 № 2 (2006): Симетрія та інтегровність рівнянь математичної фізики (До 70-річчя від дня народження Вільгельма Ілліча Фущича); 225-230 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/464/460 Авторське право (c) 2020 С. Підкуйко http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Pidkuyko, S. Підкуйко, С. On the denseness of nonintegrable Hamiltonian systems of the reduced three-body problem with pairwise interaction |
| title | On the denseness of nonintegrable Hamiltonian systems of the reduced three-body problem with pairwise interaction |
| title_alt | Про щільність неiнтегровних гамiльтонових систем редукованої задачi трьох тiл на прямiй з потенцiалом попарної взаємодiї |
| title_full | On the denseness of nonintegrable Hamiltonian systems of the reduced three-body problem with pairwise interaction |
| title_fullStr | On the denseness of nonintegrable Hamiltonian systems of the reduced three-body problem with pairwise interaction |
| title_full_unstemmed | On the denseness of nonintegrable Hamiltonian systems of the reduced three-body problem with pairwise interaction |
| title_short | On the denseness of nonintegrable Hamiltonian systems of the reduced three-body problem with pairwise interaction |
| title_sort | on the denseness of nonintegrable hamiltonian systems of the reduced three-body problem with pairwise interaction |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/464 |
| work_keys_str_mv | AT pidkuykos onthedensenessofnonintegrablehamiltoniansystemsofthereducedthreebodyproblemwithpairwiseinteraction AT pídkujkos onthedensenessofnonintegrablehamiltoniansystemsofthereducedthreebodyproblemwithpairwiseinteraction AT pidkuykos proŝílʹnístʹneintegrovnihgamilʹtonovihsistemredukovanoízadačitrʹohtilnaprâmijzpotencialompoparnoívzaêmodií AT pídkujkos proŝílʹnístʹneintegrovnihgamilʹtonovihsistemredukovanoízadačitrʹohtilnaprâmijzpotencialompoparnoívzaêmodií |