Wave solutions of the nonlinear diffusion equation
Wave solutions for a nonlinear diffusion equation are found by using the special ansatz.
Збережено в:
| Дата: | 2006 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/466 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552967835484160 |
|---|---|
| author | Yuryk, I. Barannyk, T. Юрик, І. Баранник, Т. |
| author_facet | Yuryk, I. Barannyk, T. Юрик, І. Баранник, Т. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "І. Юрик",
"institution": null
},
{
"author": "Т. Баранник",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Yuryk, I. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-13T10:42:30Z |
| description | Wave solutions for a nonlinear diffusion equation are found by using the special ansatz. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:07:51Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2006, т.3, N 2, 330–335
УДК 517.912:512.816
Хвильовi розв’язки нелiнiйного
рiвняння дифузiї
I.I. ЮРИК †, Т.А. БАРАННИК ‡
† Нацiональний унiверситет харчових технологiй, Київ
E-mail: appmath@imath.kiev.ua
‡ Полтавський держ. пед. унiверситет iм. В.Г. Короленка
E-mail: barannyk_t@poltava.velton.ua
З використанням спецiального анзацу знайдено хвильовi розв’язки не-
лiнiйного рiвняння дифузiї.
Wave solutions for a nonlinear diffusion equation are found by using the
special ansatz.
Вступ. Робота присвячена побудовi точних розв’язкiв нелiнiйного
рiвняння дифузiї
ut = uxx + λu
n−1
2 ux + a0u
n + a1u+
+ a2u
n+1
2 + a3u
3−n
2 + a4u
2−n, (1)
де u = u(t, x), ut = ∂u
∂t , uxx = ∂2u
∂x2 , ux = ∂u
∂x , λ ≥ 0, a0, a1, a2, a3, a4 ∈ R,
n 6= 1. Якщо a0 6= 0, то a0 можна звести до 1 або −1, помноживши
функцiю u на вiдповiдний скаляр. Рiвняння (1) є узагальненням кла-
сичного рiвняння Бюргерса ut = uxx+µuux, а також вiдомих рiвнянь
Фiшера [1] ut = uxx = u(1− u) i Маррi [2] ut = uxx +λuux + εu2 + cu.
Важливим частинним випадком рiвняння (1) є рiвняння типу Кол-
могорова–Петровського–Пiскунова
ut = uxx + a0u
n + a1u+ a2u
n+1
2 + a3u
3−n
2 + a4u
2−n, (2)
яке дослiджувалося в [3]. Вiдзначимо, що систематичне вивчення
умовної симетрiї цього рiвняння для n = 3, a4 = 0 було започатко-
вано в [4].
Для побудови точних розв’язкiв рiвняння (1) ми використовуємо
анзац
u = k
(zx
z
) 2
n−1
, (3)
Хвильовi розв’язки нелiнiйного рiвняння дифузiї 331
де k – стала, z = z(t, x), запропонований в [3] для побудови точних
розв’язкiв рiвняння (2).
В залежностi вiд значення коефiцiєнта a0 видiлимо два випадки.
Випадок a0 6= 0. Пiдставимо (3) в (1):
2k
n− 1
z
3−n
n−1
x zxtz
− 2
n−1 − 2k
n− 1
z
2
n−1
x ztz
− n+1
n−1 =
=
2k(3− n)
(n− 1)2
z
4−2n
n−1
x z2
xxz
− 2
n−1 +
2k
n− 1
z
3−n
n−1
x zxxxz
− 2
n−1 −
− 4k
(n− 1)2
z
2
n−1
x zxxz
− n+1
n−1 − 2k(n+ 1)
(n− 1)2
z
2
n−1
x zxxz
− n+1
n−1 +
+
2k(n+ 1)
(n− 1)2
z
2n
n−1
x z−
2n
n−1 + λk
n−1
2 zxz
−1 ×
×
(
2k
n− 1
z
3−n
n−1
x zxxz
− 2
n−1 − 2k
n− 1
z
2
n−1
x zxz
− n+1
n−1
)
+
+ a0k
n
(zx
z
) 2n
n−1
+ a1k
(zx
z
) 2
n−1
+ a2k
n+1
2
(zx
z
) n+1
n−1
+
+ a3k
3−n
2
(zx
z
) 3−n
n−1
+ a4k
2−n
(zx
z
) 4−2n
n−1
. (4)
Будемо вважати, що в рiвняннi (4)
a0k
n−1 − 2λ
n− 1
k
n−1
2 +
2(n+ 1)
(n− 1)2
= 0. (5)
Рiвняння (5) є квадратним вiдносно k
n−1
2 i має коренi
k
n−1
2 =
λ±
√
λ2 − 2(n+ 1)a0
a0(n− 1)
. (6)
Помноживши обидвi частини рiвняння (4) на z
2n−4
n−1
x z
n+1
n−1 , отримаємо
z
[
2
n− 1
zxzxt −
2
n− 1
zxzxxx − a3k
1−n
2 zzx − a4k
1−nz2 −
− 2(3− n)
(n− 1)2
z2
xx
]
= z2
x
[
2
n− 1
zt + a1z + a2k
n−1
2 zx −
− 2(n+ 3)
(n− 1)2
zxx +
2λk
n−1
2
n− 1
zxx
]
.
332 I.I. Юрик, Т.А. Баранник
Використовуючи позначення
a1 =
2λ1
n− 1
, a2 =
2λ2
n− 1
k
1−n
2 , a3 =
2λ3
n− 1
k
1−n
2 ,
a4 =
2λ4
n− 1
k1−n, λ̃ = λk
n−1
2 , (7)
попереднє рiвняння можна переписати в такому виглядi:
z
[
zxzxt − zxzxxx − λ3zzx − λ4z
2 +
n− 3
n− 1
z2
xx
]
=
= z2
x
[
zt + λ1z + λ2zx −
n+ 3
n− 1
zxx + λ̃zxx
]
. (8)
Розв’язок рiвняння (8) шукаємо у виглядi
z = φ(ξ), ξ = x+ µt. (9)
Пiдставивши (9) в (8), отримуємо рiвняння
φ
[
µφ′φ′′ − φ′φ′′′ − λ3φφ
′ − λ4φ
2 +
n− 3
n− 1
(φ′′)2
]
=
= (φ′)2
[
µφ′ + λ1φ+ λ2φ
′ − n+ 3
n− 1
φ′′ + λ̃φ′′
]
, (10)
де φ′ = dφ
dξ .
Розв’язки рiвняння (10) шукаємо у виглядi [5]
φ = ν0 + ν1ϕ+ ν2ϕ
2 + · · · , (11)
де ν0, ν1, . . . – сталi, а функцiя ϕ задовольняє рiвняння
ϕ′ = ε
√
C0 + C1ϕ+ C2ϕ2 + · · ·, ε = ±1. (12)
Для того, щоб функцiя (11) була розв’язком рiвняння (10), ми повин-
нi прирiвняти окремо всi доданки, якi мiстять парнi i непарнi степенi
квадратного кореня, визначеного формулою (12). Враховуючи це за-
уваження, отримуємо таку систему рiвнянь:
µφφ′φ′′ − λ3φ
2φ′ = (λ2 + µ)(φ′)3, (13)
φ
(
φ′φ′′′ + λ4φ
2 +
3− n
n− 1
(φ′′)2
)
=
Хвильовi розв’язки нелiнiйного рiвняння дифузiї 333
= (φ′)2
(
n+ 3
n− 1
φ′′ − λ̃φ′′ − λ1φ
)
. (14)
Подiлимо обидвi частини рiвняння (13) на µφ2φ′:
φ′′
φ
− λ3
µ
=
(
λ2
µ
+ 1
)
(φ′)2
φ2
.
Виконаємо замiну
Y =
φ′
φ
,
φ′′
φ
= Y ′ + Y 2,
яка перетворює рiвняння (13) в рiвняння Рiккатi
Y ′ − λ2
µ
Y 2 =
λ3
µ
. (15)
Загальний розв’язок рiвняння (15) утворюють функцiї
Y =
√
−λ3
λ2
tanh
(√
−λ2λ3
µ
ξ + C
)
,
Y =
√
−λ3
λ2
(
tanh
(√
−λ2λ3
µ
ξ + C
))−1
, якщо λ2λ3 < 0, (16)
Y =
√
λ3
λ2
tan
(√
λ2λ3
µ
ξ + C
)
, якщо λ2λ3 > 0, (17)
Y = − µ
λ2(ξ + C)
, якщо λ3 = 0, (18)
де C – стала iнтегрування.
Подiлимо обидвi частини рiвняння (14) на φ3:
φ′′′
φ
φ′
φ
+ λ4 +
3− n
n− 1
(φ′′)2
φ2
=
(φ′)2
φ2
(
n+ 3
n− 1
φ′′
φ
− λ̃φ
′′
φ
− λ1
)
.
Замiна
Y =
φ′
φ
,
φ′′
φ
= Y ′ + Y 2,
φ′′′
φ
= Y ′′ + 3Y Y ′ + Y 3,
перетворює рiвняння (14) в рiвняння
Y Y ′′ − n+ 1
n− 1
Y 4 + λ4 +
3− n
n− 1
(Y ′)2 +
334 I.I. Юрик, Т.А. Баранник
+ λ̃Y ′Y 2 + λ̃Y 4 + λ1Y
2 = 0. (19)
З’ясуємо, наприклад, при яких значеннях параметрiв λ1, λ2, λ3,
λ4 i µ функцiя (16) буде задовольняти рiвняння (19). Пiдставив-
ши (16) в (19) i прирiвнявши коефiцiєнти при вiдповiдних степенях
ch
(√
−λ2λ3
µ ξ + C
)
, отримаємо систему рiвнянь
2
λ2
3
µ2
− n+ 1
n− 1
(
λ3
λ2
)2
+
3− n
n− 1
λ2
3
µ2
−
− λ̃
(
−λ3
λ2
) 3
2 (−λ2λ3)
1
2
µ
+ λ̃
(
−λ3
λ2
)2
= 0, (20)
−2
λ2
3
µ2
+ 2
n+ 1
n− 1
(
−λ3
λ2
)2
+ λ̃
(
−λ3
λ2
) 3
2 (−λ2λ3)
1
2
µ
−
− 2λ̃
(
−λ3
λ2
)
+
λ1λ3
λ2
= 0, (21)
−n+ 1
n− 1
(
λ3
λ2
)2
+ λ4 + λ̃
(
−λ3
λ2
)2
− λ1
(
λ3
λ2
)
= 0. (22)
З рiвняння (20) випливає, що
µ = ±λ2, якщо λ̃ = 0, µ = |λ2|, якщо λ̃ 6= 0.
З рiвняння (21) знаходимо, що
λ1 =
(
− 4
n− 1
+ λ̃
)
λ3
λ2
. (23)
Пiдставивши в рiвняння (22), отримуємо
λ4 =
n− 3
n− 1
(
λ3
λ2
)2
. (24)
Отже, рiвняння (1) має розв’язок
u = k
(√
−λ3
λ2
) 2
n−1
[
tanh
(√
−λ3
λ2
(x+ |λ2|t) + C
)] 2
n−1
,
де k визначається формулою (6), а коефiцiєнти a1, a2, a3, a4 рiвня-
ння (1) визначаються спiввiдношеннями (7), (23), (24). Вiдзначимо,
що розв’язки рiвняння (1) для λ = 0 наведенi в [3].
Хвильовi розв’язки нелiнiйного рiвняння дифузiї 335
Аналогiчно показуємо, що розв’язками рiвняння (1) є функцiї
u = k
(√
−λ3
λ2
) 2
n−1
[
tanh
(√
−λ3
λ2
(x+ |λ2|t) + C
)]− 2
n−1
,
якщо λ2λ3 < 0;
u = k
(√
λ3
λ2
) 1
n−1
[
tan
(√
λ3
λ2
(x+ |λ2|t) + C
)] 2
n−1
,
якщо λ2λ3 > 0.
Випадок a0 = 0. Рiвняння (1) набуває вигляду
ut = uxx + λu
n−1
2 ux + a1u+ a2u
n+1
2 + a3u
3−n
2 + a4u
2−n. (25)
Будемо вважати, що в рiвняннi (25) λ 6= 0. З рiвняння (5) знаходимо,
що
k
n−1
2 =
n+ 1
λ(n− 1)
.
Отже, розв’язками рiвняння (25) є функцiї
u =
(
n+ 1
λ(n− 1)
√
−λ3
λ2
) 2
n−1
[
tanh
(√
−λ3
λ2
(x+ |λ2|t) + C
)] 2
n−1
,
u =
(
n+ 1
λ(n− 1)
√
−λ3
λ2
) 2
n−1
[
tanh
(√
−λ3
λ2
(x+ |λ2|t) + C
)]− 2
n−1
,
u =
(
n+ 1
λ(n− 1)
√
−λ3
λ2
) 2
n−1
[
tan
(√
−λ3
λ2
(x+ |λ2|t) + C
)] 2
n−1
.
[1] Fisher R.A. The wave of advance of advantageous genes // Ann. Eugenics. –
1937. – 7. – P. 353–369.
[2] Murray J.D. Mathematical biology. – Berlin: Springer, 1989. – 750 p.
[3] Nikitin A.G., Barannyk T.A. Solitary wave and other solutions for nonlinear
heat equations // Centr. Eur. J. Math. – 2005. – 2. – P. 840–858.
[4] Фущич В.И., Серов Н.И. Условная инвариантность и редукция нелинейного
уравнения теплопроводности // Докл. АН УССР. – 1990. – № 7. – С. 24–28.
[5] Fan E. Multiple travelling wave solutions of nonlinear evolution equations using
a unified algebraic method // J. Phys. A: Math. Gen. – 2002. – 35. – P. 6853–
6872.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-466 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:07:51Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/a1/ecd470e8969e075b86701957e42b9aa1.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-4662020-08-13T10:42:30Z Wave solutions of the nonlinear diffusion equation Хвильові розв'язки нелінійного рівняння дифузії Yuryk, I. Barannyk, T. Юрик, І. Баранник, Т. Wave solutions for a nonlinear diffusion equation are found by using the special ansatz. З використанням спеціального анзацу знайдено хвильові розв'язки нелінійного рівняння дифузії. Інститут математики НАН України 2006-11-14 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/466 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 3 No. 2 (2006): Symmetry and Integrability of Equations of Mathematical Physics (Dedicated to the 70-th Anniversary of Professor W.I. Fushchych); 330-335 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 3 № 2 (2006): Симетрія та інтегровність рівнянь математичної фізики (До 70-річчя від дня народження Вільгельма Ілліча Фущича); 330-335 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 3 № 2 (2006): Симетрія та інтегровність рівнянь математичної фізики (До 70-річчя від дня народження Вільгельма Ілліча Фущича); 330-335 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/466/462 Авторське право (c) 2020 І. Юрик, Т. Баранник http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Yuryk, I. Barannyk, T. Юрик, І. Баранник, Т. Wave solutions of the nonlinear diffusion equation |
| title | Wave solutions of the nonlinear diffusion equation |
| title_alt | Хвильові розв'язки нелінійного рівняння дифузії |
| title_full | Wave solutions of the nonlinear diffusion equation |
| title_fullStr | Wave solutions of the nonlinear diffusion equation |
| title_full_unstemmed | Wave solutions of the nonlinear diffusion equation |
| title_short | Wave solutions of the nonlinear diffusion equation |
| title_sort | wave solutions of the nonlinear diffusion equation |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/466 |
| work_keys_str_mv | AT yuryki wavesolutionsofthenonlineardiffusionequation AT barannykt wavesolutionsofthenonlineardiffusionequation AT ûrikí wavesolutionsofthenonlineardiffusionequation AT barannikt wavesolutionsofthenonlineardiffusionequation AT yuryki hvilʹovírozv039âzkinelíníjnogorívnânnâdifuzíí AT barannykt hvilʹovírozv039âzkinelíníjnogorívnânnâdifuzíí AT ûrikí hvilʹovírozv039âzkinelíníjnogorívnânnâdifuzíí AT barannikt hvilʹovírozv039âzkinelíníjnogorívnânnâdifuzíí |