Symmety properties and equivalence transformations of the equations of nonlinear mathematical physics
Basic results in the field of symmetry analysis of differential equations, which were obtained for 10 last years by the scientific group of the Yury Kondratyuk Poltava National Technical University, are presented.
Збережено в:
| Дата: | 2006 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/469 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552968986820608 |
|---|---|
| author | Serov, M. Сєров, М. |
| author_facet | Serov, M. Сєров, М. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "М. Сєров",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Serov, M. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-13T10:42:30Z |
| description | Basic results in the field of symmetry analysis of differential equations, which were obtained for 10 last years by the scientific group of the Yury Kondratyuk Poltava National Technical University, are presented. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:07:52Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2006, т.3, N 2, 255–269
УДК 517.9
Симетрiйнi властивостi та
перетворення еквiвалентностi
рiвнянь нелiнiйної математичної
фiзики
М.I. СЄРОВ
Полтавський нац. технiчний унiверситет iм. Юрiя Кондратюка
E-mail: k26@pntu.poltava.ua
Наведено основнi результати в областi симетрiйного аналiзу диферен-
цiальних рiвнянь, одержанi за останнi 10 рокiв групою науковцiв Пол-
тавського нацiонального технiчного унiверситету iменi Юрiя Кондра-
тюка.
Basic results in the field of symmetry analysis of differential equations,
which were obtained for 10 last years by the scientific group of the Yury
Kondratyuk Poltava National Technical University, are presented.
1. Вступ. Ця робота присвячена пам’ятi видатного українського ма-
тематика, фундатора школи симетрiйного аналiзу рiвнянь нелiнiйної
математичної фiзики на Українi, Вiльгельма Iллiча Фущича. Док-
тор фiз.-мат. наук, професор, член-кореспондент НАН України, за-
вiдувач вiддiлу прикладних дослiджень Iнституту математики НАН
України, лауреат державної премiй України, В.I.Фущич добре вi-
домий своїми науковими працями серед учених, якi займаються те-
матикою даного напряму математичної фiзики, не тiльки в нашiй
країнi, але й за її межами – в США, Канадi, Японiї, Iталiї, Австра-
лiї, Нiмеччинi, Польщi, Росiї та iнших країнах. Вiн є автором понад
300 наукових статей та 9 монографiй. Але не тiльки цi досягнення є
основними в роботi Вiльгельма Iллiча. Одним з основних i найбiльш
вагомих його досягнень є те, що вiн зумiв повести за собою по шля-
ху наукових дослiджень своїх учнiв, молодих науковцiв не тiльки
Iнституту математики НАН України, а й багатьох iнших iнститутiв
та унiверситетiв Києва, Ужгорода, Полтави, Житомира, Миколаєва,
Вiнницi, Днiпропетровська та деяких iнших мiст України. Усi свої
256 М.I. Сєров
знання, весь багатий досвiд наукових дослiджень Вiльгельму Iллiчу
вдалось передати своїм учням та послiдовникам. Група вчених згур-
тована Вiльгельмом Iллiчем навколо вiддiлу прикладних дослiджень
Iнституту математики НАН України по праву заслуговує носити iм’я
наукової школи симетрiйного аналiзу рiвнянь математичної фiзики.
Вiдзначаючись великою працездатнiстю i широкою обiзнанiстю
в своїй областi дослiджень, Вiльгельм Iллiч Фущич своєю енергiйнi-
стю, глибоким розумiнням багатьох проблем надихав нас, його учнiв,
до пошуку шляхiв розв’язання все нових i нових важливих задач.
Науковий шлях Вiльгельма Iллiча починався з вивчення си-
метрiйних властивостей лiнiйних рiвнянь та систем математичної
фiзики. Разом зi своїми учнями В.А.Салогубом, Л.П.Сокуром,
А.Г.Нiкiтiним, С.П.Онуфрiйчуком, Ю.М.Сегедою, В.В.Наконеч-
ним, В.А.Владiмiровим та iншими, вiн досяг значних успiхiв в цiй
галузi. В той же час, багато його наукових досягнень вiдносяться до
симетрiйного аналiзу рiвнянь нелiнiйної математичної фiзики.
Першi нелегкi кроки в цьому напрямi Вiльгельм Iллiч робив ра-
зом зi своїми учнями Ю.М.Сегедою, С.С.Москалюком, В.М.Ште-
ленем у кiнцi 70-х – на початку 80-х рокiв минулого столiття. Поряд
з широкими дослiдженнями в галузi симетрiйного аналiзу лiнiйних
рiвнянь, вивчення нелiнiйних задач у той час тiльки починалось.
Кожне нелiнiйне рiвняння, зi слiв Вiльгельма Iллiча, потребувало
iндивiдуального пiдходу, вимагало розробки спецiальних методiв йо-
го дослiдження. Незважаючи на цi принципову рису нелiнiйних рiв-
нянь, Вiльгельму Iллiчу вдалося розробити ряд важливих пiдходiв
дослiдження нелiнiйних диференцiальних рiвнянь i узагальнити їх
для цiлих класiв рiвнянь та систем нелiнiйної математичної фiзики.
Вiльгельм Iллiч вiдзначав [1] важливiсть вiдбору серед всiх допу-
стимих математичних моделей тих, якi описують конкретнi фiзичнi
процеси i мають багатi симетрiйнi властивостi, а саме задовольняють
принципам вiдносностi Галiлея та Пункаре–Ейнштейна. У зв’язку з
цим всi рiвняння з частинними похiдними вiн подiляв на два вели-
ких класи: рiвняння релятивiстської та рiвняння нерелятивiстської
фiзики. Багато його робiт разом з А.Г.Нiкiтiним, В.М.Штеленем,
Р.М.Чернiгою, Р.З.Ждановим, Р.М.Поповичем та iншими присвя-
чено цiй тематицi.
Важливий напрям, розроблений Вiльгельмом Iллiчем та його уч-
нямиЮ.М.Сегедою, В.М.Штеленем, В.М.Федорчуком, Л.Ф.Баран-
ником, А.Ф.Баранником, В.I. Лагном та багатьма iншими, полягає в
Симетрiйнi властивостi та перетворення еквiвалентностi 257
застосуваннi алгебр та груп iнварiантностi нелiнiйних диференцiаль-
них рiвнянь до знаходження їх розв’язкiв. За допомогою пiдалгебр
алгебри iнварiантностi диференцiальних рiвнянь будують спецiальнi
пiдстановки, якi названо “анзацами”. Анзаци редукують вихiдне рiв-
няння до рiвняння з меншою кiлькiстю незалежних змiнних. Це дало
можливiсть одержати цiлi класи точних розв’язкiв багатьох основ-
них рiвнянь та систем нелiнiйної математичної фiзики: Дiрака, Да-
ламбера, Шрьодiнгера, Ламе, Максвелла тощо.
Продовжуючи вивчення нелокальних симетрiй диференцiальних
рiвнянь, якi Вiльгельм Iллiч розпочинав сумiсно з А.Г.Нiкiтiним для
лiнiйних задач (ця тематика одержала назву нелiївської симетрiї ди-
ференцiальних рiвнянь), разом з В.А.Тичинiним було отримано ряд
важливих результатiв i для нелiнiйних рiвнянь Кортевега–де Фрiза,
Борна–Iнфельда, Даламбера та деяких iнших.
Одним з найвагомiших в областi симетрiйного аналiзу є напрям,
який одержав назву “умовна симетрiя диференцiальних рiвнянь”.
Цей напрям розроблено Вiльгельмом Iллiчем сумiсно з I.М.Цифрою,
В.I.Чопиком та автором. Вiльгельм Iллiч стверджував, що з розроб-
кою методу та концепцiї умовної симетрiї виникла необхiднiсть пе-
регляду з цiєї точки зору всiх результатiв для всеможливих рiвнянь
як лiнiйної, так i нелiнiйної математичної фiзики, одержаних ранiше
класичними методами С. Лi.
Науковi iдеї Вiльгельма Iллiча Фущича живуть i розвиваються в
роботах його учнiв i послiдовникiв. Групи молодих вчених, якi за-
ймаються дослiдженнями в цiй областi, зосередженi в кiлькох мiстах
України i закордоном. Робота цих груп координується вiддiлом при-
кладних дослiджень Iнституту математики НАН України на чолi з
доктором фiз.-мат. наук, професором А.Г.Нiкiтiним. Одна з таких
груп складається з викладачiв та аспiрантiв кафедри вищої мате-
матики Полтавського нацiонального технiчного унiверситету iменi
Юрiя Кондратюка. Основнi публiкацiї та результати, одержанi ни-
ми за останнi десять рокiв, наведено в цiй статтi та деяких iнших
статтях цього збiрника.
2. Конформна iнварiантнiсть. Розглянемо клас квазiлiнiйних
рiвнянь з частинними похiдними другого порядку вигляду
Fµν
(
u, u
1
)
uµν +G
(
u, u
1
)
= 0, (1)
де Fµν(u, u
1
), G(u, u
1
), u = u(x) – гладкi функцiї, x = (x0, x1), u
1
=
258 М.I. Сєров
(u0, u1), uµ = ∂u
∂xµ
, uµν = ∂2u
∂xµ∂xν
, µ = 0, 1. Тут i далi за iндексами, що
повторюються, передбачається пiдсумовування.
До класу (1) входять такi класичнi рiвняння як рiвняння ейкона-
лу uµuµ = F (u) та нелiнiйнi хвильовi рiвняння
2u+G(u, u
1
) = 0.
Якщо Fµν = (1− uαuα)gµν + uµuν , G = 0, то рiвняння (1) cпiвпадає
з рiвнянням Борна–Iнфельда (1− uνuν)2u+ uµuνuµν = 0. Наведенi
рiвняння володiють широкими алгебрами лiївських симетрiй. Вони
iнварiантнi вiдносно алгебр Пуанкаре, розширеної алгебри Пуанкаре,
конформної алгебри. В [2] доведено таке твердження.
Теорема 1. Рiвняння (1) iнварiантне вiдносно конформної алгебри
AC(1, 1), базиснi елементи якої задаються операторами
∂0, ∂1, J01 = x0∂1 + x1∂0,
D = x0∂0+x1∂1+ku∂u, Kµ = 2xµD − (x2−ku2)∂µ, µ = 0, 1,
тодi i тiльки тодi, коли воно або має вигляд
2u = (u2
0 − u1
1)f(u)
при k = 0 або
(1− uνuν)2u+ uµuνuµν =
2
u
(
1− uνuν)(1 + λ
√
1− uνuν
)
(2)
при k = 1, де λ – довiльна стала, f = f(u) – довiльна функцiя.
Рiвняння (2) можна розглядати як рiвняння Борна–Iнфельда з
правою частиною. Вiдомо, що максимальною алгеброю iнварiантно-
стi (МАI) рiвняння Борна–Iнфельда є розширена алгебра Пуанкаре
AP1(1, n+1). Отже, права частина розширює алгебру iнварiантностi
рiвняння Борна–Iнфельда до конформної алгебри AC(1, n). У [2] та-
кож одержано узагальнення цього результату на випадок довiльної
кiлькостi змiнних.
Вiдомо [3], що багатовимiрне узагальнення рiвняння Борна–Iн-
фельда
(1− uνuν)2u+ uµuνuµν = 0, (3)
Симетрiйнi властивостi та перетворення еквiвалентностi 259
iнварiантне вiдносно розширеної алгебри Пуанкаре AP1(1, n + 1) в
просторi (x0, x1, . . . , xn, xn+1), де роль змiнної xn+1 вiдiграє фун-
кцiя u. Симетрiї цього рiвняння можна застосувати для побудови
iнварiантних анзацiв, проведення редукцiї та знаходження точних
розв’язкiв рiвняння (3). Оскiльки невiдома функцiя u = u(x) в iн-
варiантнi анзаци входить неявно, проведення редукцiї рiвняння (3)
пов’язане зi значними технiчними труднощами. Так, наприклад, у
випадку x = (x0, x1, x2) ∈ R3 загальний вигляд iнварiантного анзаца
для рiвняння (3) задається формулою
z = ϕ(ω, θ),
де ω = ω(x, u), θ = θ(x, u), z = z(x, u) – iнварiанти алгебри AP1(1, 3),
ϕ – нова невiдома функцiя. Тiльки пiсля того, як редуковане рiв-
няння для функцiї ϕ вдалося записати у коварiантному виглядi [4],
процес редукцiї значно спростився, що дало змогу побудувати класи
точних розв’язкiв рiвняння (3).
Одним з основних рiвнянь геометричної оптики є рiвняння ейко-
налу
uµu
µ = F (u). (4)
За допомогою локальної замiни змiнних рiвняння (4) можна звести
до одного з таких трьох випадкiв:
uµu
µ = 0, uµu
µ = 1, uµu
µ = −1. (5)
Симетрiйнi властивостi рiвнянь (5) добре вивченi (див., наприк-
лад, [3]). МАI двох останнiх рiвнянь (5) є конформнi алгебри AC(1,
n + 1) та AC(1 + 1, n) вiдповiдно. Причому роль xn+1 для алгебри
AC(1, n+ 1) та роль другої часової змiнної для алгебри AC(1 + 1, n)
вiдiграє функцiя u.
Природною є задачу опису рiвнянь чи систем рiвнянь, якi, напри-
клад, при x = (x0, x1, x2, x3), iнварiантнi вiдносно алгебр AC(1, 5),
AC(2, 4) чи AC(3, 3). Якщо розглянути систему двох рiвнянь ейко-
налу для двох функцiй u та w
uµu
µ = ±1, wµw
µ = ±1, (6)
то виявляється, що вона не є конформно iнварiантною. Конформно
iнварiантною система (6) стає лише при додатковiй умовi
uµw
µ = 0, (7)
260 М.I. Сєров
яка задає свого роду взаємодiю двох полiв u та w. Встановлено [5],
що при додатковiй умовi (7) системи
uµu
µ = 1, uµu
µ = 1, uµu
µ = −1,
wµw
µ = 1; wµw
µ = −1; wµw
µ = −1,
iнварiантнi вiдносно алгебр AC(1, 5), AC(2, 4) та AC(3, 3) вiдповiдно.
Подiбну задачу розв’язано в [6] для рiвняння Гамiльтона–Якобi,
яке є параболiчним аналогом рiвняння ейконалу.
При дослiдженнi симетрiйних властивостей рiвнянь та систем ма-
тематичної фiзики виникає задача класифiкацiї зображень можли-
вих алгебр iнварiантностi. Було розглянуто задачу опису нееквiва-
лентнi лiнiйнi представлення алгебр Пуанкаре та конформної алге-
бри, вiдносно яких iнварiантнi рiвняння гiперболiчного типу у ви-
падку u ∈ R2 при умовi, що вихiдна система допускає лiнiйнi пере-
творення еквiвалентностi. Одержано 6 нееквiвалентних лiнiйних зо-
бражень [7] загальної лiнiйної алгебри порядку два, на основi яких
у [8] отримано нееквiвалентнi лiнiйнi зображення розширеної алге-
бри Пуанкаре AP1(1, 1) та конформної алгебри AC(1, 1) для випадку
u ∈ R2. Побудованi лiнiйнi зображення алгебр Пуанкаре та конформ-
ної алгебри застосовано для дослiдження симетрiйних властивостей
систем квазiлiнiйних хвильових рiвнянь вигляду
2u = (F 0(u)∂0 + F 1(u)∂1)u,
де u = (u1, u2), F 0, F 1 – функцiональнi матрицi розмiрностi 2× 2.
3. Iнварiантнiсть вiдносно узагальненої алгебри Галiлея.
У роботах [7, 9] дослiджено iнварiантнiсть систему нелiнiйних рiв-
нянь конвекцiї–дифузiї
u0 = 4u+ F a(u)ua, (8)
вiдносно узагальненої алгебри Галiлея для рiзних розмiрностей ве-
кторного поля u та просторових змiнних ~x. Тут u = u(x0, ~x) ∈ Rm,
~x ∈ Rn, F a – функцiональнi матрицi розмiрностi m × m, a = 1, n.
Вивчено всi випадки для m ≤ 3 та n ≤ 3. У [7] встановлено, що у
випадку n = 1, m = 2 iснує 5 систем, iнварiантних вiдносно названої
алгебри, наприклад, система
u0 + u1u1 + u11 = 0
Симетрiйнi властивостi та перетворення еквiвалентностi 261
iнварiантна вiдносно алгебри AG2(1, 1) з базисними операторами
∂0, ∂1, G = x0∂1 + ∂u1 , D = 2x0∂0 + x1∂1 − u1∂u1 ,
Π = x2
0∂0 + x0x1∂1 + (x1 − x0u
1)∂u1 . (9)
У роботi [9] показано, що у випадку n = 1, m = 3 таких систем 20.
При n = m = 2 є лише одна система, iнварiантна вiдносно узагаль-
неної алгебри Галiлея; вона спiвпадає з класичною системою рiвнянь
Бюргерса. У випадку n = 2, m = 3 таких систем чотири. Крiм того,
встановлено (8), що в класi систем для двовимiрного та тривимiрно-
го векторних полiв при n > m не iснує систем, iнварiантних вiдносно
узагальненої алгебри Галiлея.
Системи рiвнянь третього порядку вигляду
u0 + F (u)u1 +Ku11 + Λu111 = 0, (10)
де u ∈ R2, F – функцiональна, а K i Λ – сталi матрицi розмiрно-
стi 2×2, при конкретних нелiнiйностях знаходять широке застосува-
ння в теорiї щiльних частотних полiв, у загальних розтягах i дефор-
мацiях скiнченних середовищ, подiбних до розтягiв Хабла Всесвiту
в астрофiзицi [10], в явищах турбулентної дифузiї [11], в процесах,
пов’язаних з рiдинами Ван-дер-Ваальса [12]. Для деяких систем (10)
дослiджено симетрiйнi властивостi i методами лiївської та умовної
симетрiї знайдено точнi розв’язки [13–16].
Розглянуто також задачу про побудову функцiй F ab, при яких
система (10) iнварiантна вiдносно алгебри Галiлея та її розширень
операторами масштабних та проективних перетворень. Тобто, серед
всеможливих допустимих математичних моделей вигляду (10) вiдi-
брано тi, що задовольняють принцип вiдносностi Галiлея. Доведе-
но [17], що в класi систем (10) iснує лише 5 локально нееквiвалентних
систем третього порядку, iнварiантних вiдносно реалiзацiй розшире-
ної алгебри Галiлея AG2(1, 1). Серед них, наприклад, система
u1
0 + u1u1
1 + k11u
1
11 + λ12u
2
111 = 0,
u2
0 + u1u2
1 + k22u
2
11 = 0,
для якої максимальна в сенсi Лi алгебра iнварiантностi породжена
операторами (9).
Важливiсть цього результату полягає ще й тому, що серед систем
диференцiальних рiвнянь третього порядку вперше виокремлено си-
стеми, що iнварiантнi вiдносно узагальненої алгебри Галiлея.
262 М.I. Сєров
4. Iнварiантнiсть цилiндрично-симетричних рiвнянь. До-
бре вiдомо (див., наприклад, [3]), що нелiнiйне хвильове рiвняння
�u = F (u), де u = u(x), x = (x0, . . . , xn), F = F (u) – довiльна гладка
функцiя, iнварiантне вiдносно конформної алгебри AC(1, n), якщо
воно має вигляд
�u = λu
n+3
n−1 , λ = const. (11)
Аналогiчний результат встановлено також i для нелiнiйного рiвнян-
ня Шрьодiнгера
iψt −
1
2m
M ψ = F (ψ,ψ). (12)
Рiвняння (12) iнварiантне вiдносно узагальненої алгебри Галiлея
AG2(1, n) тодi i тiльки тодi, коли воно має вигляд
iψt −
1
2m
M ψ = λ|ψ| 4nψ, λ = const. (13)
Пiд час обговорення цих результатiв Вiльгельм Iллiч Фущич ста-
вив запитання: “Чому степенi нелiнiйностей n+3
n−1 та 4
n рiвнянь (11) та
(13) так жорстко зафiксованi? В той час, як з фiзичної точки зору
данi степенi нiчим особливим не вiдрiзняються вiд iнших степенiв”.
Цю “жорсткiсть” вдалося послабити для кiлькох рiвнянь, якi воло-
дiють цилiндричною симетрiєю [18].
Теорема 2. Цилiндрично-симетричне нелiнiйне хвильове рiвняння
�u− N
xn
un = F (u) (14)
iнварiантне вiдносно конформної алгебри AC(1, n−1) тодi i тiльки
тодi, коли F = λuk, де λ, k 6= 1 – довiльнi сталi, N = 1− n+ 4
k−1 .
Теорема 3. Цилiндрично-симетричне нелiнiйне рiвняння Шрьодiн-
гера
iψt −
1
2m
(
M ψ + N
xn
ψn
)
= F (ψ,ψ)
iнварiантне вiдносно узагальненої алгебри Галiлея AG2(1, n−1), то-
дi i тiльки тодi, коли F (ψ,ψ) = λ|ψ|kψ, де λ, k—довiльнi сталi,
N = 4
k − n.
Симетрiйнi властивостi та перетворення еквiвалентностi 263
При описаннi процесiв теорiї проникання (див., наприклад, [19])
використовують систему рiвнянь
ut + 1
2 (~Ou)2 = F (ρ),
vt + ~Ou~Ov = 0, (15)
ρt + ~Ou~Oρ+ ρ M u = 0
та вiдповiдну цилiндрично-симетричну систему
ut + 1
2 (~Ou)2 = F (ρ),
vt + ~Ou~Ov = 0, (16)
ρt + ~Ou~Oρ+ ρ
(
M u+ N
xn
un
)
= 0,
де u = u(t, ~x) – потенцiал поля швидкостей частинки, v = v(t, ~x) –
ентропiя, ρ = ρ(t, x) – густина.
Для систем (15) та (16) в [17,20] отримано результати, аналогiчнi
результатам щодо рiвнянь (14).
Теорема 4. Система (15) iнварiантна вiдносно узагальненої алге-
бри Галiлея AG(1, n) тодi i тiльки тодi, коли F (ρ) = λρ
2
n , де λ –
довiльнi стала.
Теорема 5. Система рiвнянь (16) iнварiантна вiдносно узагальне-
ної алгебри Галiлея AG(1, n−1) тодi i тiльки тодi, коли F (ρ) = λρk
де λ, k – довiльнi сталi, N = 2
k − n.
5. Умовна симетрiя.При дослiдженнiQ-умовної симетрiї дифе-
ренцiального рiвняння виникає проблема iнтегрування системи ви-
значальних рiвнянь для визначення координат iнфiнiтезимального
оператора. Ця система досить складна, причому складнiсть її розв’я-
зання, як правило, перевищує складнiсть розв’язання вихiдного рiв-
няння.
Поняття Q-умовної симетрiї бере початок з роботи Блумена i Ко-
ула [21], де вони ввели означення так званої некласичної симетрiї.
Розглянувши приклад лiнiйного рiвняння теплопровiдностi, вони зiт-
кнулися з проблемою iнтегрування складної нелiнiйної системи ви-
значальних рiвнянь, розв’язати яку їм не вдалося. Можливо це стало
однiєю з причин того, що в своїх подальших дослiдженнях вони до
теми некласичної симетрiї не поверталися.
У зв’язку з цим пiсля введення поняття умовної симетрiї в [3]
та рядi наступних робiт розв’язувалася задача про побудову хоча б
264 М.I. Сєров
частинних розв’язкiв визначальної системи, що, безумовно, давало
новi результати, порiвняно з лiївською симетрiєю.
Нелiнiйне рiвняння акустики u00 = uu11 було першим, для яко-
го нам вдалося повнiстю розв’язати задачу дослiдження Q-умовної
симетрiї [22, 23]. Одержано ряд операторiв, один з яких має вигляд
Q6=∂0+
(
℘̇
℘
− Λ̇
Λ
)
∂1+
[
℘̇
℘
u+
(
℘̇−℘ Λ̇
Λ
)
x2
1+
x1
Λ
+
c0
℘
]
∂u,
де c0 – довiльна стала, ℘ = ℘(x0) – функцiя Веєрштрасса, Λ = Λ(x0) –
функцiя Ламе.
В [23] поставлено та розв’язано задачу знаходження iнволютив-
ної множини двох операторiв умовної iнварiантностi двовимiрного
рiвняння акустики
u00 = u(u11 + u22).
Клас нелiнiйних (1 + 2)-вимiрних рiвнянь теплопровiдностi
H(u)u0 + u11 + u22 = F (u), (17)
де u = u(x), x = (x0, x1, x2), H(u) та F (u) — довiльнi гладкi функцiї,
розглянуто в [17]. Якщо у випадку рiвняння акустики вдалося повнi-
стю розв’язати задачу знаходження операторiв Q-умовної iнварiан-
тностi для одного конкретного рiвняння, то в [17] проведено повний
опис операторiв Q-умовної iнварiантностi для класу рiвнянь (17), в
який входять двi довiльнi функцiї H(u) i F (u).
Теорема 6 [17]. Будь-який оператор Q-умовної симетрiї нелiнiйно-
го рiвняння теплопровiдностi (17) або є еквiвалентним оператору
лiївської симетрiї цього рiвняння, або з точнiстю до перетворень
з групи еквiвалентностi та додаткових перетворень є еквiвален-
тним одному з наступних операторiв:
1. Q = ∂0 + (λ1u+ λ2)∂u у випадку F = (λ1u+ λ2)(H + λ0);
2. Q = ∂0 + [λ2u− b(~x)]∂u, де 4b = b2 + λ1b+ λ2λ0,
H = u, F = λ2u
2 + λ1u+ λ0;
3. Q = ∂1 + a(x0, x1)u∂u, де a0 + a11 = −2aa1 + λa,
H = 1, F = λu lnu, λ 6= 0.
Тут λ, λ0, λ1, λ2 – довiльнi сталi.
Симетрiйнi властивостi та перетворення еквiвалентностi 265
Для класу (17) знайдено в явному виглядi широкi класи iнволю-
тивних множин двох операторiв Q-умовної симетрiї.
Отриманi оператори використано для побудови анзацiв та про-
ведення редукцiї вiдповiдних рiвнянь до диференцiальних рiвнянь
з двома змiнними. Показано, що наслiдком Q-умовної симетрiї для
рiвнянь такого типу є можливiсть роздiлення змiнних та проведення
антиредукцiї.
У роботi [24] умовна iнварiантнiсть нелiнiйного хвильового рiвня-
ння
2u = F (u) (18)
вивчалась при додатковiй умовi, що складається з двох рiвнянь
uµu
µ = G(w, u), Qu = 0. (19)
Тут u = u(x), x = (x0, ~x), ~x ∈ Rn, F = F (u), G = G(w, u), H =
H(w, u) – довiльнi гладкi функцiї, w = αx = αµx
µ, α – довiльний
сталий вектор,
Q = αµ∂µ −H(w, u)∂u. (20)
Теорема 7. Рiвняння (18) iнварiантне вiдносно оператора (20) при
умовi (19), якщо функцiї F , G, H задовольняють систему
2Hw +Gu = 2F, α2Gw +HGu − 2(HuG+HHw) = 0.
Наведемо деякi з знайдених у явному виглядi функцiй F , G, H:
1. F = λu, G = u2(λ− cosh−2 w), H = u tanhw;
2. F = λ sinhu, G = 4λ sinh2 u
2
+
16
cosh2 w
sinh2 u
4
,
H = 2 tanhw sinh
u
2
;
3. F = λ sinu, G = 4λ sin2 u
2
− 16
cosh2 w
sin2 u
4
,
H = 2 tanw sin
u
2
;
4. F = − sinu, H = −
2[(x1 + C) cos u2 + coshx1 sin u
2 ]
(x1 + C) sinhx1 − coshx1
,
G =
4
H
(H cosu−Hu sinu+ 2HH1u −H11).
266 М.I. Сєров
6. Нелокальнi перетворення еквiвалентностi. Розглянемо
систему нелiнiйних рiвнянь дифузiї
ut = ∂x[f(u)ux], (21)
де u ∈ R2, f(u) = (fab); ua = ua(t, x), fab = fab(u) – довiльнi гладкi
функцiї, a, b = 1, 2. Застосувавши до системи (21) ланцюжок нело-
кальних перетворень
t = t, x = x, ua = vax, (22)
де va = va(t, x) – новi невiдомi функцiї;
t = x0, x = w1, v1 = x1, v2 = w2, (23)
де x0, x1 – новi незалежнi змiннi, wa = wa(x0, x1) – новi залежнi
змiннi,
x0 = x0, x1 = x1, w1
1 = z1, w2
1 = z2, (24)
де za = za(x0, x1) – новi залежнi змiннi, одержимо систему
z0 = ∂1[F (z)z1], (25)
де z ∈ R2, zµ = ∂z
∂xµ
, ∂1 = ∂
∂x1
, F (z) = (F ab), F ab = F ab(z), µ = 0, 1,
причому функцiї F ab(z) пов’язанi iз функцiями fab спiввiдношення-
ми
F 11 = (z1)−2
[
f11 + z2f12
]
,
F 12 = −(z1)−1f12,
F 21 = (z1)−3
[
z2(f11 + z2f12)− (f21 + z2f22)
]
, (26)
F 22 = (z1)−2
[
f22 − z2f12
]
,
де fab = fab( 1
z1 ,
z2
z1 ), F ab = F ab(z).
Таким чином [25], ланцюжок замiн (22)–(24) зводить систему (21)
до системи рiвнянь(25) того ж вигляду i навпаки, неважко переко-
натися, що система (25) за допомогою вказаних замiн зводиться до
системи (21).
Симетрiйнi властивостi та перетворення еквiвалентностi 267
Якщо припустити, що система (21) лiнiйна, тобто f(u) = Λ, де
Λ = (λab) – стала матриця, то, використавши формули (26), одержи-
мо систему
z1
0 = ∂1
[
λ11 + λ12z
2
(z1)2
z1
1 −
λ12
z1
z2
1
]
, (27)
z2
0 = ∂1
[
z2(λ11 + λ12z
2)− (λ21 + λ22z
2)
(z1)3
z1
1 +
λ22 − λ12z
2
(z1)2
z2
1
]
,
яка за допомогою перетворень (22)–(24) зводиться до лiнiйної систе-
ми вигляду ut = Λuxx.
Розглянемо неiнварiантна вiдносно алгебри Галiлея систему
z1
0 = ∂1
[
z1
1
2(z1)2
]
,
z2
0 = ∂1
[
− z2
(z1)3
(
1
2
+ g
(
z2
z1
))
z1
1 + g
(
z2
z1
)
z2
1
(z1)2
]
. (28)
Неважко переконатися, що ця система одержується дiєю перетворень
(22)–(24) на систему
u1
t = ∂x
[
1
2
u1
x
]
,
u2
t = ∂x
[
u2
u1
u1
x + g(u2)u2
x
]
, (29)
яка iнварiантнa [26] вiдносно алгебри Галiлея AG(1, 1). Побудувавши
по операторах алгебри AG(1, 1) анзаци для системи (29) та подiяв-
ши на них перетвореннями (22)–(24), одержимо нелокальнi анзаци
для системи (28) [27], якi неможливо отримати в рамках теорiї С. Лi.
Цi анзаци редукують систему (28) до систем звичайних диференцi-
альних рiвнянь, розв’язавши якi за допомогою вiдповiдних анзацiв,
можна знайти розв’язки системи (28).
В данiй роботi зроблено огляд основних досягнень другого поко-
лiння полтавських вчених з наукової школи, створеної Вiльгельмом
Iллiчем Фущичем. Наведенi результати свiдчать про те, що його iдеї
живуть i розвиваються молодими науковцями.
268 М.I. Сєров
[1] Fushchych W.I. Anzatz’95 // J. Nonlinear Math. Phys. – 1995. – 2. – С. 216–
235.
[2] Блажко Л.М. Iнварiантнiсть квазiлiнiйного рiвняння вiдносно конформної
алгебри // Працi Iнституту математики НАН України. – 2001. – 36. – С. 40–
44.
[3] Фущич В.И., Штелень В.М., Серов Н.И. Симметрийный анализ и точные
решения уравнений нелинейной математической физики. – Киев: Наукова
думка, 1989. – 339 с.
[4] Сєров М.I., Блажко Л.М. Симетрiйна редукцiя двовимiрного i тривимiрного
рiвняння Борна–Iнфельда // Вiсник Харкiвського ун-ту. – 2000. – № 475. –
С. 394–399.
[5] Фущич В.I., Сєров М.I., Подошвелев Ю.Г. Конформна iнварiантнiсть си-
стеми рiвнянь ейконалу // Доп. НАН України. – 1999. – № 1. – C. 43–47.
[6] Фущич В.I., Сєров М.I., Сєрова М.М., Глєба А.В. Лiївська та умовна си-
метрiя системи рiвнянь Гамiльтона–Якобi // Доп. НАН України. – 1998. –
№ 12. – С.49–52.
[7] Глєба А.В. Симетрiйнi властивостi i точнi розв’язки нелiнiйних галiлей-
iнварiантних рiвнянь // Дис. . . . канд. фiз.-мат. наук. – Київ: Iн-т матема-
тики НАН України, 2003. – 120 c.
[8] Сєров М.I., Жадан Т.О., Блажко Л.М. Класифiкацiя лiнiйних зображень
алгебр Галiлея, Пуанкаре та конформної у випадку двовимiрного векторно-
го поля та їх застосування // Укр. мат. журн. – 2006. – 58. – C. 1128–1145.
[9] Жадан Т.О. Iнварiантнiсть системи рiвнянь дифузiї-конвекцiї вiдносно уза-
гальненої алгебри Галiлея // Вiсник Київського ун-ту. Серiя: математика,
механiка. – 2004. – Випуск 12. – C. 70–75.
[10] Woyczynski W.A. Burgers–KPZ turbulence Göttingen lectures – Berlin: Spri-
nger, 1998. – 320 p.
[11] Karczewska A. Statical solutions to turbulent diffusion // Nonlinear Analysis. –
1999. – 37. – P. 635–675.
[12] Jian H.-Y., Wang X.-P., Hsieh D.-Y. The global attractor of a dissipative nonli-
near evolution system // J. Math. Anal. Appl. – 1999. – 238. – P. 124–142.
[13] Cherniha R.M. Galilean-invariant nonlinear PDEs and their exact solutions //
J. Nonlinear Math.Phys. – 1995. – 2. – P. 374–383.
[14] Webb G.M. Lie symmetries of a coupled nonlinear Burgers–heat equation
system // J. Phys. A: Math. Gen. – 1990. – 23. – P. 3885–3894.
[15] Serov N.I., Tulupova L.A. Symmetry properties of the generalized Korteweg–de
Vries and Burgers equations // Доп. НАН України. – 1994. – № 12. – P. 42–44.
[16] Сєров М.I., Чернiга Р.М. Симетрiї Лi та точнi розв’язки нелiнiйних рiвнянь
з конвективним членом // Укр. мат. журн. – 1997. – 49. – С. 1262–1270.
[17] Iчанська Н.В. Лiївська та умовна симетрiї деяких нелiнiйних еволюцiйних
рiвнянь // Дис. . . . канд.фiз.-мат. наук. – Київ: Iн-т математики НАН
України, 2005. – 148 c.
[18] Фущич В.I., Сєров М.I., Подошвелев Ю.Г. Конформна симетрiя нелiнiйного
цилiндрично-симетричного хвильового рiвняння // Доп. НАН України. –
1998. – № 4. – C. 64–68.
Симетрiйнi властивостi та перетворення еквiвалентностi 269
[19] Сагомонян А.Я. Проникание. – Москва: Изд-во Московского ун-та, 1974. –
300 с.
[20] Сєрова М.М., Iчанська Н.В. Iнварiантнiсть рiвнянь теорiї проникання вiд-
носно розширеної алгебри Галiлея // Вiсник Київського ун-ту. – № 4. –
2000. – С. 107–111.
[21] Bluman G.W., Cole J.D. The general similarity solution of the heat equation //
J. Math. Mech. – 1969. – 18. – P. 1025–1042.
[22] Подошвелев Ю.Г. Q-умовна iнварiантнiсть рiвняння акустики // Працi Iн-
ституту математики НАН України. – 1998. – 19. – C. 174–177.
[23] Подошвелев Ю.Г. Класична та умовна симетрiя нелiнiйних хвильових рiв-
нянь // Дис. . . . канд. фiз.-мат. наук. – Київ: Iн-т математики НАН України,
2001. – 109 c.
[24] Сєров М.I., Подошвелев Ю.Г., Яковенко Т.П. Умовна симетрiя нелiнiйного
хвильового рiвняння 2u = F (u) // Вiсник Київського ун-ту. – 2000. – № 3. –
C. 158–163.
[25] Сєров M.I., Омелян О.М., Чернiга Р.М. Лiнеаризацiя систем нелiнiйних рiв-
нянь дифузiї за допомогою нелокальних перетворень // Доп. НАН Украї-
ни. – 2004. – № 10. – C. 39–45.
[26] Омелян О.М. Iнварiантнiсть нелiнiйної системи дифузiї вiдносно алге-
бри Галiлея / Матерiали 9-ої Мiжнародної наукової конференцiї iм. акад.
М. Кравчука (16–19 травня 2002, м. Київ). – Київ, 2002. – С. 149.
[27] Омелян О.М. Нелокальнi формули розмноження розв’язкiв системи нелi-
нiйних рiвнянь дифузiї // Матерiали 10-ої Мiжнародної наукової конфе-
ренцiї iм. акад. М. Кравчука (13–15 травня 2004, м. Київ). – Київ, 2004. –
С. 197.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-469 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:07:52Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/e5/4d7b9ddb09f9c55b2f8c6cdf96ed6de5.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-4692020-08-13T10:42:30Z Symmety properties and equivalence transformations of the equations of nonlinear mathematical physics Симетрійні властивості та перетворення еквівалентності рівнянь нелінійної математичної фізики Serov, M. Сєров, М. Basic results in the field of symmetry analysis of differential equations, which were obtained for 10 last years by the scientific group of the Yury Kondratyuk Poltava National Technical University, are presented. Наведено основні результати в області симетрійного аналізу диференціальних рівнянь, одержані за останні 10 років групою науковців Полтавського національного технічного університету імені Юрія Кондратюка. Інститут математики НАН України 2006-11-14 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/469 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 3 No. 2 (2006): Symmetry and Integrability of Equations of Mathematical Physics (Dedicated to the 70-th Anniversary of Professor W.I. Fushchych); 255-269 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 3 № 2 (2006): Симетрія та інтегровність рівнянь математичної фізики (До 70-річчя від дня народження Вільгельма Ілліча Фущича); 255-269 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 3 № 2 (2006): Симетрія та інтегровність рівнянь математичної фізики (До 70-річчя від дня народження Вільгельма Ілліча Фущича); 255-269 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/469/465 Авторське право (c) 2020 М. Сєров http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Serov, M. Сєров, М. Symmety properties and equivalence transformations of the equations of nonlinear mathematical physics |
| title | Symmety properties and equivalence transformations of the equations of nonlinear mathematical physics |
| title_alt | Симетрійні властивості та перетворення еквівалентності рівнянь нелінійної математичної фізики |
| title_full | Symmety properties and equivalence transformations of the equations of nonlinear mathematical physics |
| title_fullStr | Symmety properties and equivalence transformations of the equations of nonlinear mathematical physics |
| title_full_unstemmed | Symmety properties and equivalence transformations of the equations of nonlinear mathematical physics |
| title_short | Symmety properties and equivalence transformations of the equations of nonlinear mathematical physics |
| title_sort | symmety properties and equivalence transformations of the equations of nonlinear mathematical physics |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/469 |
| work_keys_str_mv | AT serovm symmetypropertiesandequivalencetransformationsoftheequationsofnonlinearmathematicalphysics AT sêrovm symmetypropertiesandequivalencetransformationsoftheequationsofnonlinearmathematicalphysics AT serovm simetríjnívlastivostítaperetvorennâekvívalentnostírívnânʹnelíníjnoímatematičnoífíziki AT sêrovm simetríjnívlastivostítaperetvorennâekvívalentnostírívnânʹnelíníjnoímatematičnoífíziki |