Nonclassical generalization of one-dimensional system of Navier-Stokes equations
The system of one-dimensional Navier-Stokes equations is generalized two the case of two-dimensional vector field and one space variable, with preserving invariance under generalized Galilei algebra.
Saved in:
| Date: | 2006 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/470 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552971152130048 |
|---|---|
| author | Serova, M. Сєрова, М. |
| author_facet | Serova, M. Сєрова, М. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "М. Сєрова",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Serova, M. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-13T10:42:30Z |
| description | The system of one-dimensional Navier-Stokes equations is generalized two the case of two-dimensional vector field and one space variable, with preserving invariance under generalized Galilei algebra. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:07:54Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2006, т.3, N 2, 270–275
УДК 517.9
Некласичне узагальнення
одновимiрної системи рiвнянь
Нав’є–Стокса
М.М. СЄРОВА
Полтавський нац. технiчний унiверситет iм. Юрiя Кондратюка
E-mail: k26@pntu.poltava.ua
Система одновимiрних рiвнянь Нав’є–Стокса узагальнена на випадок
двовимiрного векторного поля та однiєї просторової змiнної iз збере-
женням iнварiантностi вiдносно узагальненої алгебри Галiлея.
The system of one-dimensional Navier–Stokes equations is generalized two
the case of two-dimensional vector field and one space variable, with
preserving invariance under generalized Galilei algebra.
1. Вступ. Основними рiвняннями, якi описують процеси гiдроди-
намiки є система рiвнянь Нав’є–Стокса. В одновимiрному випадку
дана система має вигляд:
u0 + uu1 + u11 = − 1
ρ∂1p,
ρ0 + ∂1(ρu) = 0, p = f(ρ), (1)
де u = u(x) – швидкiсть, ρ = ρ(x) – густина, p = p(x) – тиск рiдини,
x = x(x0, x1), uµ = ∂u
∂xµ
, µ = 0, 1, f(ρ) – довiльна гладка функцiя.
У роботах [1–6] дослiдженi симетрiйнi властивостi системи рiв-
нянь Нав’є–Стокса та одержанi її iнварiантнi розв’язки. При довiль-
нiй гладкiй функцiї f(ρ) система (1) iнварiантна вiдносно алгебри
Галiлея AG(1, 1), базиснi оператори якої мають вигляд
∂0, ∂1, G = x0∂1 + ∂u. (2)
Якщо ж f(ρ) = λρk (λ, k – довiльнi сталi), то базиснi елементи (2)
розширюються оператором масштабних перетворень
D = 2x0∂0 + x1∂1 − u∂u + 2
1−kρ∂ρ. (3)
Некласичне узагальнення системи рiвнянь Нав’є–Стокса 271
Найбiльш широку симетрiю система Нав’є–Стокса (1) допускає
у випадку f(ρ) = λρ3. При такому значеннi f(ρ) максимальною в
розумiннi С. Лi алгеброю iнварiантностi системи (1) є узагальнена
алгебра Галiлея AG2(1, 1) з базисними операторами
∂0, ∂1, G, D = 2x0∂0 + x1∂1 − u∂u − ρ∂ρ,
Π = x0(x0∂0 + x1∂1 − ρ∂ρ) + (x1 − x0u)∂u. (4)
Класичним узагальненням системи (1) на випадок довiльної кiль-
костi незалежних змiнних x = (x0, ~x) ∈ R1+n є система:
u0 + (~u~∇)~u+m4~u = − 1
ρ
~∇p,
ρ0 + div(ρ~u) = 0, p = f(ρ). (5)
Таке узагальнення (5) є правильним як з фiзичної точки зору,
так i з точки зору симетрiйного аналiзу, оскiльки симетрiйнi вла-
стивостi системи (5) вiдповiдають симетрiйним властивостям систе-
ми (1), враховуючи розширення простору (~x, ~u), тобто максималь-
ною алгеброю iнварiантностi системи (5) є узагальнена алгебра Га-
лiлея AG2(1, n) з наступними базисними операторами:
∂0, ∂1, Ga = x0∂a + ∂ua , D = 2x0∂0 + xa∂a − ua∂ua − nρ∂ρ,
Π = x0(x0∂0 + xa∂a − nρ∂ρ) + (xa − x0u
a)∂ua .
Але, незважаючи на це, система (5) має недолiк: вона може застосо-
вуватися тiльки тодi, коли кiлькiсть функцiй ~u спiвпадає з кiлькiстю
незалежних просторових змiнних ~x. Зауважимо, що при описаннi де-
яких гiдродинамiчних процесiв виникають ситуацiї, коли розмiрнiсть
простору незалежних змiнних ~x не спiвпадає з розмiрнiстю вектор-
ного поля ~u (див. наприклад, [7, 8]). У таких випадках данi процеси
моделюються iншими рiвняннями.
Одним iз прикладiв такого моделювання може бути симетрiйний
принцип, на основi якого в данiй роботi пропонуються iншi матема-
тичнi моделi, якi узагальнюють одновимiрну систему (1) i iнварiантнi
вiдносно узагальненої алгебри Галiлея, у яких розмiрнiсть вектора
поля ~u не спiвпадає з кiлькiстю просторових змiнних ~x.
Оскiльки основу системи Нав’є–Стокса складає рiвняння Бюр-
герса
u0 + uu1 + u11 = 0, (6)
272 М.М. Сєрова
то спочатку необхiдно його узагальнити на випадок багатьох залеж-
них змiнних.
Добре вiдомо, що максимальною алгеброю iнварiантностi рiвня-
ння (6) є узагальнена алгебра Галiлея AG2(1, 1), базиснi елементи
якої
∂0, ∂1, G, D = 2x0∂0 + x1∂1 − u∂u − ρ∂ρ,
Π = x0(x0∂0 + x1∂1 − ρ∂ρ) + (x1 − x0u)∂u (7)
задовольняють комутацiйним спiввiдношенням
[∂0, ∂1] = 0, [∂0, G] = ∂1, [∂0, D] = 2∂0,
[∂0,Π] = D, [∂1, G] = 0, [∂1, D] = ∂1,
[∂1,Π] = G, [G,D] = −G, [G,Π] = 0, [D,Π] = 2Π. (8)
Розглянемо випадок ~u = ~u(x0, x1) = {u1, u2} ∈ R2. Рiвняння (6)
узагальнимо наступною системою
ua0 + F ab(u)ub1 + ua11 = 0, (9)
де F ab – довiльнi гладкi функцiї, a, b = 1, 2.
Будемо вимагати, щоб система (9) була iнварiантна вiдносно уза-
гальненої алгебри Галiлея AG2(1, 1) з базисними операторами вигля-
ду
∂0, ∂1, G = x0∂1 + ηa(x, u)∂ua ,
D = 2x0∂0 + x1∂1 + ζa(x, u)∂ua ,
Π = x0(x0∂0 + x1∂1) + σa(x, u)∂ua . (10)
У роботi [9] показано, що зображення операторiв (10) можуть бу-
ти лише лiнiйними по змiнних u, тобто
ηa = aab(x)ub + ba(x), ζa = αab(x)ub + βa(x),
σa = cab(x)ub + da(x), (11)
де aab, αab, cab, ba, βa, da – довiльнi гладкi функцiї.
Для того щоб оператори (10) утворювали базис алгебри AG2(1, 1),
потрiбно щоб вони задовольняли комутацiйним спiввiдношенням (8).
Враховуючи формули (11) i (8), одержуємо що оператори (10)
мають вигляд
∂0, ∂1, G = x0∂1 +Q1, D = 2x0∂0 + x1∂1 +Q2,
Некласичне узагальнення системи рiвнянь Нав’є–Стокса 273
Π = x0(x0∂0 + x1∂1) + x1Q1 + x0Q2, (12)
де Qi = (miabu
b + nia)∂ua , miab, nia – довiльнi сталi.
Таким чином, наша задача звелася до знаходження таких функ-
цiй F ab(u) i сталих miab, nia, при яких система рiвнянь (9) буде iнва-
рiантна вiдносно алгебри з базисними операторами (12). Детальний
опис таких систем проведено в [9].
Використавши, наприклад, наступну систему з [9]
u1
0 + u1u1
1 + u1
11 = 0, u2
0 + u1u2
1 + u2
11 = 0,
яка iнварiантна вiдносно узагальненої алгебри алгебри з базисними
операторами вигляду
∂0, ∂1, x0∂1 + ∂u1 , 2x0∂0 + x1∂1 − u1∂u1 ,
x2
0∂0 + x0x1∂1 + (x1 − x0u
1)∂u1 ,
одновимiрну систему рiвнянь Нав’є–Стокса (1) будемо узагальнюва-
ти на випадок двовимiрного векторного поля ~u та однiєї просторової
змiнної x1 наступним чином
~u0 + u1~u1 + ~u11 = ~f(ρ)ρ1, ρ0 + ∂1[~g(ρ)~u] = 0, (13)
де ~f = (f1(ρ), f2(ρ)), ~g = (g1(ρ), g2(ρ)) – довiльнi гладкi вектор-
функцiї.
Вимагаємо щоб система (13) була iнварiантна вiдносно узагальне-
ної алгебри Галiлея AG2(1, 1), базиснi елементи якої з врахуванням
комутaцiйних спiввiдношень (8) мають вигляд
∂0, ∂1, G = x0∂1 + ∂u1 ,
D = 2x0∂0 + x1∂1 − u1∂u1 +mu2∂u2 + kρ∂ρ,
Π = x0(x0∂0 + x1∂1 − u1∂u1 +mu2∂u2 + kρ∂ρ) + x1∂u1 , (14)
де m, k – довiльнi сталi. Справедливе наступне твердження.
Теорема. Система (13) iнварiантна вiдносно узагальненої алгебри
Галiлея з базисними операторами (14), тодi i тiльки тодi, коли
k = −1, m = 0,
f1 = λ1ρ, f2 = λ2, g1 = ρ, g2 = λ3ρ
2, (15)
де λ1, λ2, λ3 – довiльнi сталi.
274 М.М. Сєрова
Доведення. Використавши критерiй С. Лi [10, 11] iнварiантностi си-
стеми (13) вiдносно алгебри з базисними операторами (14), одержу-
ємо систему визначальних рiвнянь вiдносно невiдомих функцiй ~f , ~g
та сталих k, m:
kρf1 + (k + 2)f1 = 0, kρḟ2 + (k −m+ 1)f2 = 0,
m = 0, kg̈1 = 0, ġ1 = 1, k(ρġ1 − g1) = 0, g1 = −kρ,
kρg̈2 + (m+ 1)ġ2 = 0, kρġ2 + (m− k + 1)g2 = 0. (16)
Неважко бачити, що система (16) сумiсна лише при k = −1, m = 0 i
її загальний розв’язок задається формулами (15). 2
Отже, система
u1
0 + u1u1
1 − u1
11 = λ1ρρ1, u2
0 + u1u2
1 − u2
11 = λ2ρ1,
ρ0 + ∂1[ρ(u1 + λ3ρu
2)] = 0 (17)
iнварiантна вiдносно узагальненої алгебри Галiлея AG2(1, 1) з базис-
ними операторами
∂0, ∂1, G = x0∂1 + ∂u1 , D = 2x0∂0 + x1∂1 − u1∂u1 − ρ∂ρ,
Π = x0(x0∂0 + x1∂1 − u1∂u1 − ρ∂ρ) + x1∂u1 .
Так як система (17) узагальнює одномiрну систему рiвнянь Нав’є–
Стокса як по формi так i по симетрiйних властивостях, то вона пре-
тендує на описання реальних процесiв гiдродинамiки у випадку дво-
вимiрного векторного поля ~u, та однiєї просторової змiнної x1.
Аналогiчно для узагальнення системи (1) можна використати iн-
шi результати [9].
[1] Пухначев В.В. Инвариантные решения уравнений Навье–Стокса, описыва-
ющих движение со свободной частицей // ДАН СССР. – 1972. – 202. –
C. 302–305.
[2] Сєров М.I., Тулупова Л.О. Симетрiйнi властивостi узагальнених рiвнянь
Нав’є–Стокса // Записки фiз.-мат. ф-ту ПДПI iм. В.Г. Короленка. – 1996. –
C. 7–13.
[3] Фущич В.И., Штелень В.М., Попович Р.Е. О редукции уравнений Навье–
Стокса к линейным уравнениям теплопроводности // Докл. АН УССР. –
1992. – № 2. – C. 23–30.
[4] Fuschysch W.I., Popovich R.O. Symmetry reduction and exact solutions of the
Navier–Stokes equations. I, II // J. Nonlinear Math. Phys. – 1994. – 1. – P. 75–
113, P. 158–188.
Некласичне узагальнення системи рiвнянь Нав’є–Стокса 275
[5] Ludlow D.K., Clarkson P.A., Bassom A.P. Similarity reductions and exact
solutions for the two-dimensional incompressible Novier–Stokes equations //
Studies Appl. Math. – 1991. – 103, № 3. – P. 183–240.
[6] Profiloa G., Solianib G., Tebaldic C. Some exact solutions of the two-
dimensional Navier–Stokes equations // Intern. J. Eng. Sci. – 1998. – 36. –
P. 459–471.
[7] Fuschysch W.I., Serov N.I., Tychinin W.A., Ameron T.K. On nonlinear heat
equation // Доповiдi АН України. – 1992. – № 11. – P. 27–33.
[8] Woyczynski W.A. Burgers–KPZ turbulence. Göttingen lectures. – Berlin: Sprin-
ger, 1998. – 318 p.
[9] Глеба А.В. Симетрiйнi властивостi i точнi розв’язки нелiнiйних галiлей-
iнварiантних рiвнянь // Дис. . . . канд. фiз.-мат. наук. – Київ: Iн-т матема-
тики НАН України. – 2003. – 120 с.
[10] Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. – Мо-
сква: Наука, 1978. – 400 с.
[11] Олвер П. Приложение групп Ли к дифференциальным уравнениям. – Моск-
ва: Мир, 1989. – 639 с.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-470 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:07:54Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/4d/6adc817aa7706ad6d68fbbfe0cc1664d.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-4702020-08-13T10:42:30Z Nonclassical generalization of one-dimensional system of Navier-Stokes equations Некласичне узагальнення одновимірної системи рівнянь Нав'є-Стокса Serova, M. Сєрова, М. The system of one-dimensional Navier-Stokes equations is generalized two the case of two-dimensional vector field and one space variable, with preserving invariance under generalized Galilei algebra. Система одновимірних рівнянь Нав'є-Стокса узагальнена на випадок двовимірного векторного поля та однієї просторової змінної із збереженням інваріантності відносно узагальненої алгебри Галілея. Інститут математики НАН України 2006-11-14 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/470 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 3 No. 2 (2006): Symmetry and Integrability of Equations of Mathematical Physics (Dedicated to the 70-th Anniversary of Professor W.I. Fushchych); 270-275 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 3 № 2 (2006): Симетрія та інтегровність рівнянь математичної фізики (До 70-річчя від дня народження Вільгельма Ілліча Фущича); 270-275 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 3 № 2 (2006): Симетрія та інтегровність рівнянь математичної фізики (До 70-річчя від дня народження Вільгельма Ілліча Фущича); 270-275 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/470/466 Авторське право (c) 2020 М. Сєрова http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Serova, M. Сєрова, М. Nonclassical generalization of one-dimensional system of Navier-Stokes equations |
| title | Nonclassical generalization of one-dimensional system of Navier-Stokes equations |
| title_alt | Некласичне узагальнення одновимірної системи рівнянь Нав'є-Стокса |
| title_full | Nonclassical generalization of one-dimensional system of Navier-Stokes equations |
| title_fullStr | Nonclassical generalization of one-dimensional system of Navier-Stokes equations |
| title_full_unstemmed | Nonclassical generalization of one-dimensional system of Navier-Stokes equations |
| title_short | Nonclassical generalization of one-dimensional system of Navier-Stokes equations |
| title_sort | nonclassical generalization of one-dimensional system of navier-stokes equations |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/470 |
| work_keys_str_mv | AT serovam nonclassicalgeneralizationofonedimensionalsystemofnavierstokesequations AT sêrovam nonclassicalgeneralizationofonedimensionalsystemofnavierstokesequations AT serovam neklasičneuzagalʹnennâodnovimírnoísistemirívnânʹnav039êstoksa AT sêrovam neklasičneuzagalʹnennâodnovimírnoísistemirívnânʹnav039êstoksa |