Symmetry analysis and reduction of two-dimensional Fokker-Planck equation with variable matrix of diffusion
Fokker-Planck equation from the stochastic theory, which has a homogeneous drift coefficient and a variable diffusion coefficient is considered. Lie symmetries are investigated and exact solutions are constructed.
Gespeichert in:
| Datum: | 2006 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/473 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552973220970496 |
|---|---|
| author | Stogniy, V. Стогній, В. |
| author_facet | Stogniy, V. Стогній, В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "В. Стогній",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Stogniy, V. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-13T10:42:30Z |
| description | Fokker-Planck equation from the stochastic theory, which has a homogeneous drift coefficient and a variable diffusion coefficient is considered. Lie symmetries are investigated and exact solutions are constructed. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:07:56Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2006, т.3, N 2, 292–300
УДК 517.912:512.816
Симетрiйний аналiз та редукцiя
двовимiрного рiвняння
Фоккера–Планка зi змiнною
матрицею дифузiї
В.I. СТОГНIЙ
Нацiональний технiчнiй унiверситет України
“Київський полiтехнiчнiй iнститут”, Київ
E-mail: valeriy_stogniy@mail.ru
В данiй статтi дослiджено симетрiю i знайдено точнi розв’язки одно-
го двовимiрного рiвняння Фоккера–Планка з теорiї стохастичних про-
цесiв, яке має однорiдний коефiцiєнт знесення та змiнний коефiцiєнт
дифузiї.
Fokker–Planck equation from the stochastic theory, which has a
homogeneous drift coefficient and a variable diffusion coefficient is consi-
dered. Lie symmetries are investigated and exact solutions are constructed.
Протягом багатьох рокiв спостерiгається стiйкий iнтерес до дослiд-
ження та побудови точних розв’язкiв рiвняння Фоккера–Планка [1,2]
∂u(t, x)
∂t
= −
n∑
i=1
∂
∂xi
[Ai(t, x)u(t, x)] +
+
1
2
n∑
i,j=1
∂2
∂xi∂xj
[Bij(t, x)u(t, x)], (1)
де x = (x1, x2 . . . , xn), коефiцiєнти знесення A(t, x) та дифузiї B(t, x)
визначаються вiдповiдно як вектор i матриця
A = A(t, x) = (A1(t, x), A2(t, x), . . . , An(t, x)),
B = B(t, x) = ||Bij(t, x)||ni,j=1.
Симетрiйний аналiз двовимiрного рiвняння Фоккера–Планка 293
Одновимiрне рiвняння Фоккера–Планка є добре вивченим. Щодо
рiвнянь Фоккера–Планка в просторах вищої розмiрностi, то, наскiль-
ки нам вiдомо, було дослiджено лише окремi класи рiвнянь вигля-
ду (1) у двовимiрному випадковi.
Так, в роботi [6] було знайдено умови, при яких рiвняння (1) з
однорiдним коефiцiєнтом знесення i сталою дiагональною матрицею
дифузiї є iнварiантним вiдносно дев’яти параметричної групи ло-
кальних перетворень. З використанням пiдгруп групи iнварiантно-
стi вiльного рiвняння Крамерса в [7] знайдено деякi його iнварiантнi
розв’язки. Нарештi, в [8] було розглянуто задачу групової класифi-
кацiї рiвняння Фоккера–Планка з однорiдним коефiцiєнтом знесення
та сталою дiагональною матрицею дифузiї, а також, для деяких з
отриманих рiвнянь з нетривiальною симетрiєю, було знайдено iнва-
рiантнi розв’язки.
Отже, рiвняння Фоккера–Планка у просторах розмiрностi вищої
за одиницю ще потребують систематичного вивчення.
В данiй статтi дослiджено симетрiю i знайдено точнi розв’язки
одного двовимiрного рiвняння Фоккера–Планка з теорiї стохасти-
чних процесiв [1], яке має однорiдний коефiцiєнт знесення та змiнний
коефiцiєнт дифузiї:
A = (ε− kx2y, ε− kxy2),
B =
(
−kx2 0
0 −ky2
)
, де k 6= 0, ε ∈ R.
Використавши перетворення
t→ kt, x→ x, y → y, u→ u,
бачимо, що, не зменшуючи загальностi мiркувань, можемо дослiджу-
вати рiвняння
ut + 2(1− 2xy)u+ (2x+ ε− x2y)ux + (2y + ε− xy2)uy +
+ 1
2x
2uxx + 1
2y
2uyy = 0, (2)
в якому ε ∈ R, u = u(t, x, y), ut = ∂u
∂t , ux = ∂u
∂x i т.д.
Використовуючи стандартний алгоритмом Лi [4, 5], можна дове-
сти наступне твердження.
Твердження. Максимальною скiнченновимiрною алгеброю iнварi-
антностi рiвняння (2), в якому ε 6= 0, є двовимiрна абелева алгебра
294 В.I. Стогнiй
Лi L2 = 〈∂t, u∂u〉. Якщо ж в (2) ε = 0, то максимальною скiнченно-
вимiрною алгеброю iнварiантностi цього рiвняння є чотиривимiрна
розв’язна алгебра Лi операторiв симетрiї L4 з такими базисними
операторами:
P0 = ∂t, I = u∂u, D1 = −x∂x + y∂y,
D2 = −xt∂x + yt∂y − (ln |x| − ln |y|)u∂u.
Зауваження. Тут ми не враховуємо симетрiї ν = β(t, x, y)∂u, де
функцiя β є розв’язком рiвняння (2) i наявнiсть якого обумовлюється
лiнiйнiстю дослiджуваного рiвняння.
У подальшому дослiдженнi ми будемо використовувати однови-
мiрнi пiдалгебри алгебри L2 та одно- i двовимiрнi пiдалгебри алге-
бри L4. Класифiкацiя пiдалгебр дiйсних алгебр Лi невисоких розмiр-
ностей з точнiстю до спряженостi, яку визначають групи внутрiшнiх
автоморфiзмiв цих алгебр Лi, проведена в [9]. Згiдно з результатами
цiєї роботи, одновимiрнi пiдалгебри алгебри L2 вичерпуються алгеб-
рами
〈∂t〉 , 〈∂t + αu∂u〉 (α 6= 0), 〈u∂u〉 .
Для алгебри L4 одновимiрнi пiдалгебри вичерпуються алгебрами
〈I〉 , 〈D1〉 , 〈D2〉 , 〈P0〉 , 〈D2 + αP0〉 ,
〈P0 + αI〉 (α 6= 0),
а двовимiрнi пiдалгебри такими алгебрами:
〈I,D1〉 , 〈I, P0〉 , 〈D1, P0〉 , 〈I,D2〉 ,
〈D1, P0 + αI〉 , 〈I,D2 + αP0〉 (α 6= 0).
Одним iз застосувань симетрiйних властивостей диференцiаль-
них рiвнянь з частинними похiдними є симетрiйна редукцiя рiвнянь
з нетривiальною симетрiєю до рiвнянь з меншою кiлькiстю неза-
лежних змiнних, зокрема, до звичайних диференцiальних рiвнянь
(див., наприклад, [3–5]).
Рiвняння (2), в якому ε 6= 0, допускає двовимiрну алгебру iнва-
рiантностi L2. Оскiльки оператор I не задовольняє необхiдну умову
iснування iнварiантних розв’язкiв [4], то тут для симетрiйної реду-
кцiї ми можемо використовувати лише одновимiрнi пiдалгебри
〈∂t〉 , 〈∂t + αu∂u〉 (α 6= 0).
Симетрiйний аналiз двовимiрного рiвняння Фоккера–Планка 295
В просторi змiнних t, x, y, u iнварiантами оператора ∂t є змiннi x, y,
u, тому вiдповiдна пiдстановка (анзац) має вигляд
u = ϕ(x, y),
а вiдповiдне редуковане рiвняння буде таким:
2(1− 2xy)ϕ+ (2x+ ε− x2y)ϕx + (2y + ε− xy2)ϕy +
+ 1
2x
2ϕxx + 1
2y
2ϕyy = 0.
Для оператора 〈∂t + αu∂u〉 (α 6= 0) iнварiанти мають вигляд ω =
ue−αt, x, y, а тому вiдповiдний анзац буде таким:
u = eαtϕ(x, y). (3)
Пiдстановка (3) в (2) приводить до такого диференцiального рiвня-
ння:
(α+ 2− 4xy)ϕ+ (2x+ ε− x2y)ϕx + (2y + ε− xy2)ϕy +
+ 1
2x
2ϕxx + 1
2y
2ϕyy = 0.
Тепер зупинимося на рiвняннi (2), в якому ε = 0. Тут необхiдну
умову iснування iнварiантних розв’язкiв задовольняють одновимiр-
нi пiдалгебри 〈D1〉, 〈D2〉, 〈P0〉, 〈D2 + αP0〉, 〈P0 + αI〉 (α 6= 0), яким
вiдповiдає симетрiйна редукцiя рiвняння (2) до рiвнянь з частинними
похiдними в просторi двох незалежних змiнних. Розглянемо деталь-
но випадок алгебри 〈D1〉. Анзац побудований по цiй одновимiрнiй
пiдалгебрi має вигляд
u = ϕ(t, ω), ω = xy, (4)
де ϕ – нова невiдома функцiя змiнних t та ω, яка пiдлягає визначен-
ню. Пiдстановка (4) в (2), де ε = 0, приводить до такого редукованого
рiвняння:
ϕt + 2(1− 2ω)ϕ+ (4ω − 2ω2)ϕω + ω2ϕωω = 0.
Нижче для кожної з одновимiрних пiдалгебр, що залишилися, наве-
дено вiдповiднi анзаци та редукованi рiвняння:
〈D2〉 : u = exp
(
ln2 |xy |
4t
)
ϕ(t, ω), ω = xy,
296 В.I. Стогнiй
ϕt +
[
2(1− 2ω) + 1
2t
]
ϕ+ 2ω(2− ω)ϕω + ω2ϕωω = 0;
〈P0〉 : u = ϕ(x, y), 2(1− 2xy)ϕ+ (2x− x2y)ϕx +
+ (2y − xy2)ϕy + 1
2x
2ϕxx + 1
2y
2ϕyy = 0;
〈D2 + αP0〉 : u = exp
(
− t
α ln |xy | −
2
3α2 t
3
)
ϕ(ω, υ),
ω = xy, υ = ln |xy |+
1
α t
2, α 6= 0,[
2(1− 2ω)− 1
αυ
]
ϕ+ 2ω(2− ω)ϕω + ω2ϕωω + ϕυυ = 0;
〈P0 + αI〉 : u = eαtϕ(x, y), α 6= 0,
[2(1− 2xy) + α]ϕ+ (2x− x2y)ϕx + (2y − xy2)ϕy +
+ 1
2x
2ϕxx + 1
2y
2ϕyy = 0.
Серед двовимiрних пiдалгебр алгебри L4 необхiдну умову iсну-
вання iнварiантних розв’язкiв задовольняють 〈D1, P0〉, 〈D1, P0 + αI〉
(α 6= 0). Їм вiдповiдає симетрiйна редукцiя рiвняння (1), в якому
ε = 0, до звичайних диференцiальних рiвнянь. Анзац, що вiдповiдає
пiдалгебрi 〈D1, P0〉,
u = ϕ(ω), ω = xy,
зводить дослiджуване рiвняння до такого звичайного диференцiаль-
ного рiвняння:
ω2ϕ̈+ 2ω(2− ω)ϕ̇+ 2(1− 2ω)ϕ = 0, (5)
де ϕ̇ = dϕ
dω , ϕ̈ = d2ϕ
dω2 .
Для алгебри 〈D1, P0 + αI〉 (α 6= 0)
u = eαtϕ(ω), ω = xy,
а редуковане рiвняння має такий вигляд
ω2ϕ̈+ 2ω(2− ω)ϕ̇+ [2− 4ω + α]ϕ = 0. (6)
Ще одним важливим застосуванням нетривiальних симетрiйних
властивостей, саме лiнiйних диференцiальних рiвнянь, є побудова
систем координат, в яких такi рiвняння допускають вiдокремлення
змiнних. Добре вiдомо (див., наприклад, [10]), що розв’язок з вiд-
окремленими змiнними певного рiвняння можна отримувати як вла-
сну функцiю деяких наборiв операторiв симетрiї першого та вищих
порядкiв цього рiвняння, що комутують мiж собою.
Симетрiйний аналiз двовимiрного рiвняння Фоккера–Планка 297
Зупинимося на цiй проблемi для рiвняння (2), в якому ε = 0,
тобто для рiвняння
Lu = ut + 2(1− 2xy)u+ (2x− x2y)ux + (2y − x2y)uy +
+ 1
2x
2uxx + 1
2y
2uyy = 0, (7)
використовуючи знайденi вище оператори симетрiї першого порядку.
Вiдразу зауважимо, що у вiдокремленнi змiнних оператор I вi-
дiграє тривiальну роль, тому у подальшому дослiдженнi ми вико-
ристовуємо такi пiдалгебри алгебри L4: 〈D1〉, 〈D2〉, 〈P0〉, 〈D2 + αP0〉
(α 6= 0), 〈D1, P0〉.
Повне вiдокремлення змiнних дає двовимiрна пiдалгебра 〈D1, P0〉,
тому розглянемо її випадок детально. Розв’язок з вiдокремленими
змiнними рiвняння (6) ми отримаємо проiнтегрувавши таку систему
диференцiальних рiвнянь:
Lu = 0, D1u = −xux + yuy = λu, P0u = ut = γu, (8)
де λ, γ ∈ R – сталi вiдокремлення. Саме ж вiдокремлення змiнних
ми проводимо, iнтегруючи два останнi рiвняння системи (8). Безпо-
середнi обчислення показують, що власна функцiя операторiв D1 та
P0 має такий вигляд:
u = |y|λ eγtϕ(ω), ω = xy. (9)
Здiйснивши пiдстановку (9) в перше рiвняння системи (8), ми отри-
муємо таке звичайне диференцiальне рiвняння для визначення фун-
кцiї ϕ:
ω2ϕ̈+ [4 + λ− 2ω]ωϕ̇+
+
[
γ + 1
2λ
2 + 3
2λ+ 2− (4 + λ)ω
]
ϕ = 0. (10)
Отже, вiдповiдний алгебрi 〈D1, P0〉 розв’язок з вiдокремленими змiн-
ними має вигляд (9), де функцiя ϕ задовольняє звичайне диферен-
цiальне рiвняння (10).
Одновимiрним пiдалгебрам алгебри L4 вiдповiдає часткове вiд-
окремлення змiнних. Нижче ми наводимо для кожної з таких пiд-
алгебр вигляд функцiй u та рiвняння з частинними похiдними для
визначення функцiї ϕ:
〈D1〉 : u = |y|λ ϕ(t, ω), ω = xy,
298 В.I. Стогнiй
ϕt + ω2ϕωω +
[
(4 + λ)ω − 2ω2
]
ϕω +
+
[
3
2λ+ 1
2λ
2 + 2− (λ+ 4)ω
]
ϕ = 0;
〈D2〉 : u = |xy |
−λ2 exp
(
ln2 | xy |
4t
)
ϕ(t, ω), ω = xy,
ϕt + ω2ϕωω + 2ω(2− ω)ϕω +
[
2(1− 2ω) + 1
2t + λ2
4
]
ϕ = 0;
〈P0〉 : u = eλtϕ(x, y),
1
2x
2ϕxx + 1
2y
2ϕyy + (2x− x2y)ϕx +
+ (2y − xy2)ϕy + [2(1− 2xy) + λ]ϕ = 0;
〈D2 + αP0〉 : u = exp
(
λt
α −
t ln | xy |
α − 2t3
3α2
)
ϕ(ω, υ),
ω = xy, υ = ln |xy |+
1
α t
2,[
λ−υ
α + 2(1− 2ω)
]
ϕ+ 2ω(2− ω)ϕω + ω2ϕωω + ϕυυ = 0.
У наведених вище спiввiдношеннях α 6= 0, λ ∈ R – стала вiдокрем-
лення.
Використаємо результати симетрiйної редукцiї та вiдокремлення
змiнних для побудови точних розв’язкiв рiвняння (6). Безпосередня
перевiрка дозволяє переконатися, що загальний розв’язок рiвняння
(5) має вигляд
ϕ = (C1e
2ω + C2)ω−2,
де C1, C2 – довiльнi сталi iнтегрування. У вiдповiдностi з цим отри-
муємо такий частковий (стацiонарний) розв’язок рiвняння (6):
u = 1
x2y2
(
C1e
2xy + C2
)
, C1, C2 ∈ R.
Рiвняння (10), в якому λ = −4, γ = −6 теж iнтегрується в елемен-
тарних функцiях i його загальний розв’язок має такий вигляд:
ϕ = C1
(
1 + 1
ω
)
+ C2
(
1− 1
ω
)
e2ω, C1, C2 ∈ R.
Вiдповiдний частковий (нестацiонарний) розв’язок рiвняння (6) та-
кий:
u = y−4e−6t
[
C1
(
1 + 1
xy
)
+ C2
(
1− 1
xy
)
e2xy
]
, C1, C2,∈ R.
Симетрiйний аналiз двовимiрного рiвняння Фоккера–Планка 299
Аналогiчний розгляд рiвняння (10), в якому λ = γ = −4 приводить
ще до такого розв’язку рiвняння (6):
u = y−4e−4t(C1 + C2e
2xy), C1, C2 ∈ R.
Нарештi, рiвняння (5) замiною змiнних ϕ = ωkη(ω), де k = − 3
2 ±√
1− 4α (α 6 1
4 ) зводиться до рiвняння
ωη′′ + [−2ω + 2k + 4] η′ − (2k + 4)η = 0,
розв’язками якого є функцiї
η = ω−k−2eωη(0, k + 1, 2ω),
де η(0, k + 1, 2ω) – розв’язок рiвняння Уiттекера (див., наприклад,
[11]). Згiдно з цим отримуємо ще такий клас точних розв’язкiв рiв-
няння (6):
u = eαt+xy(xy)−2ψ(0, k + 1, 2ω),
де k = − 3
2 ±
√
1− 4α (α 6 1
4 ), ψ(0, k + 1, 2ω) – розв’язок рiвняння
Уiттекера
4ω2ψ′′ = (ω2 + 4(k + 1)2 − 1)ψ, ω = xy.
Певну iнформацiю про структуру точних розв’язкiв рiвняння (6) да-
ють i диференцiальнi рiвняння з частинними похiдними, якi були
отриманi в результатi редукцiї та вiдокремлення змiнних за одно-
вимiрними пiдалгебрами. Так, наприклад, рiвняння, отримане реду-
кцiєю за пiдалгеброю 〈D2〉, замiною змiнних
ϕ = t−
1
2ψ(t, ω)
зводиться до рiвняння
ψt + ω2ψωω + 2ω(2− ω)ψω + 2(1− 2ω)ψ = 0. (11)
Покладемо, наприклад,
ψ = eβtΦ(ω) + e−βtF (ω), β ∈ R. (12)
Пiдстановка (12) в (11) показує, що функцiя буде розв’язком рiвня-
ння (11) за умови, що функцiї Φ i F задовольняють рiвняння
ω2Φωω + 2ω(2− ω)Φω + [2(1− 2ω) + β] Φ = 0,
300 В.I. Стогнiй
ω2Fωω + 2ω(2− ω)Fω + [2(1− 2ω)− β]F = 0,
якi є рiвняннями вигляду (5) i точнi розв’язки яких, як було по-
казано вище, визначаються через розв’язки рiвняння Уiттекера. До
аналогiчного результату приводить i розгляд рiвнянь, отриманих в
результатi вiдокремлення змiнних в рiвняннi (6) за пiдалгебрами
〈D1〉 , 〈D2〉 .
Отриманi результати дозволяють стверджувати, що наявнiсть в
диференцiального рiвняння хоча б невисоких симетрiйних властиво-
стей дозволяє редукувати багатовимiрну задачу до задачi в просто-
рi з меншою кiлькiстю змiнних. Наскiльки нам вiдомо, останнiй тип
розв’язкiв у рiвнянь Фоккера–Планка в просторах розмiрностi вищої
за два ще систематично не дослiджувався. А як випливає з отрима-
них результатiв, цi розв’язки є бiльш загальними, нiж iнварiантнi
розв’язки, яким в основному придiлялася увага дослiдникiв.
[1] Gardiner C.W. Handbook of stochastic methods. – Berlin: Springer, 1985.
[2] Risken H. The Fokker–Planck equation. – Berlin: Springer, 1996.
[3] Bluman G., Kumei S. Symmetries and differential equations. – New York: Sprin-
ger, 1989.
[4] Ovsiannikov L.V. Group analysis of differential equations. – New York:
Academic, 1982.
[5] Olver P. Applications of Lie groups to differential equations. – New York: Spri-
nger, 1986.
[6] Shtelen W.M., Stogny V.S. Symmetry properties of one- and two- dimensional
Fokker-Planck equations // J. Phys. A: Math. Gen. – 1989. – 22. – L539–L543.
[7] Saied E.A. On the similarity solutions for the free Kramers equation // Appl.
Math. and Comp. – 1996. – 74. – P. 59–63.
[8] Finkel F. Symmetries of the Fokker–Planck equations with a constant diffusion
matrix in 2 + 1 dimensions // J. Phys. A: Math. Gen. – 1999. – 32. – P. 2671–
2684.
[9] Patera J., Winternitz P. Subalgebras of real three- and four-dimensonal Lie
algebras // J. Math. Phys. – 1977. – 18. – P. 1449–1455.
[10] Miller W. Symmetry and separation of variables. – Reading: Addison-Wesley,
1977.
[11] Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. –
Москва: Наука, 1976.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-473 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:07:56Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/6d/e672bce248e2196841d616e0fdcdd56d.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-4732020-08-13T10:42:30Z Symmetry analysis and reduction of two-dimensional Fokker-Planck equation with variable matrix of diffusion Симетрійний аналіз та редукція двовимірного рівняння Фоккера-Планка зі змінною матрицею дифузії Stogniy, V. Стогній, В. Fokker-Planck equation from the stochastic theory, which has a homogeneous drift coefficient and a variable diffusion coefficient is considered. Lie symmetries are investigated and exact solutions are constructed. В даній статті досліджено симетрію і знайдено точні розв'язки одного двовимірного рівняння Фоккера-Планка з теорії стохастичних процесів, яке має однорідний коефіцієнт знесення та змінний коефіцієнт дифузії. Інститут математики НАН України 2006-11-14 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/473 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 3 No. 2 (2006): Symmetry and Integrability of Equations of Mathematical Physics (Dedicated to the 70-th Anniversary of Professor W.I. Fushchych); 292-300 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 3 № 2 (2006): Симетрія та інтегровність рівнянь математичної фізики (До 70-річчя від дня народження Вільгельма Ілліча Фущича); 292-300 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 3 № 2 (2006): Симетрія та інтегровність рівнянь математичної фізики (До 70-річчя від дня народження Вільгельма Ілліча Фущича); 292-300 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/473/470 Авторське право (c) 2020 В. Стогній http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Stogniy, V. Стогній, В. Symmetry analysis and reduction of two-dimensional Fokker-Planck equation with variable matrix of diffusion |
| title | Symmetry analysis and reduction of two-dimensional Fokker-Planck equation with variable matrix of diffusion |
| title_alt | Симетрійний аналіз та редукція двовимірного рівняння Фоккера-Планка зі змінною матрицею дифузії |
| title_full | Symmetry analysis and reduction of two-dimensional Fokker-Planck equation with variable matrix of diffusion |
| title_fullStr | Symmetry analysis and reduction of two-dimensional Fokker-Planck equation with variable matrix of diffusion |
| title_full_unstemmed | Symmetry analysis and reduction of two-dimensional Fokker-Planck equation with variable matrix of diffusion |
| title_short | Symmetry analysis and reduction of two-dimensional Fokker-Planck equation with variable matrix of diffusion |
| title_sort | symmetry analysis and reduction of two-dimensional fokker-planck equation with variable matrix of diffusion |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/473 |
| work_keys_str_mv | AT stogniyv symmetryanalysisandreductionoftwodimensionalfokkerplanckequationwithvariablematrixofdiffusion AT stogníjv symmetryanalysisandreductionoftwodimensionalfokkerplanckequationwithvariablematrixofdiffusion AT stogniyv simetríjnijanalíztaredukcíâdvovimírnogorívnânnâfokkeraplankazízmínnoûmatriceûdifuzíí AT stogníjv simetríjnijanalíztaredukcíâdvovimírnogorívnânnâfokkeraplankazízmínnoûmatriceûdifuzíí |