Symmetry reduction of partial differential equations with two independent variables
The symmetry reduction of nonlinear partial differential equations with two independent variables is studied. The method is based on the Lie-Backlund symmetry operators of nonlinear ordinary differential equations. The reduction method is applied to partial differential equations of evolution and wa...
Saved in:
| Date: | 2006 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/475 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552977569415168 |
|---|---|
| author | Tsyfra, I. Цифра, І. |
| author_facet | Tsyfra, I. Цифра, І. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "І. Цифра",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Tsyfra, I. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-13T10:42:30Z |
| description | The symmetry reduction of nonlinear partial differential equations with two independent variables is studied. The method is based on the Lie-Backlund symmetry operators of nonlinear ordinary differential equations. The reduction method is applied to partial differential equations of evolution and wave types. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:08:00Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2006, т.3, N 2, 308–314
УДК 517.912:512.816
Симетрiйна редукцiя
диференцiальних рiвнянь
в частинних похiдних з двома
незалежними змiнними
I.М. ЦИФРА
Iнститут геофiзики НАН України, Київ
Iнститут математики Унiверситету в Бiлостоцi, Польща
E-mail: tsyfra@igph.kiev.ua, tsyfra@math.uwb.edu.pl
Вивчається симетрiйна редукцiя рiвнянь в частинних похiдних з двома
незалежними змiнними за допомогою операторiв симетрiї Лi–Беклунда
нелiнiйних звичайних диференцiальних рiвнянь. Метод редукцiї засто-
совується до нелiнiйних диференцiальних рiвнянь еволюцiйного та хви-
льового типу.
The symmetry reduction of nonlinear partial differential equations with
two independent variables is studied. The method is based on the Lie–
Bäcklund symmetry operators of nonlinear ordinary differential equations.
The reduction method is applied to partial differential equations of evoluti-
on and wave types.
1. Вступ.Одним з ефективних методiв побудови розв’язкiв нелiнiй-
них диференцiальних рiвнянь математичної фiзики є метод симе-
трiйної редукцiї, що дає можливiсть зводити диференцiальне рiвня-
ння з частинними похiдними до звичайного диференцiального рiвня-
ння. В роботах [1–3, 5, 6] запропоновано пiдходи, якi узагальнюють
класичний метод С. Лi i суттєво розширюють його можливостi при
побудовi розв’язкiв нелiнiйних диференцiальних рiвнянь з частин-
ними похiдними. Серед цих методiв слiд вiдзначити метод умовної
iнварiантностi [1–5] та метод антиредукцiї [6, 7]. За допомогою цих
методiв побудованi широкi класи нових розв’язкiв в явному вигля-
дi багатьох нелiнiйних рiвнянь математичної фiзики. Для побудови
анзацiв, за допомогою яких проводиться редукцiя вихiдного рiвня-
ння до звичайного рiвняння або системи звичайних диференцiаль-
них рiвнянь можуть використовуватись iнфiнiтезимальнi операто-
Симетрiйна редукцiя диференцiальних рiвнянь 309
ри точкових перетворень як класичної так i умовної симетрiї, а та-
кож оператори Лi–Беклунда. В роботi [8] запропоновано метод реду-
кцiї нелiнiйних еволюцiйних рiвнянь, що базується на симетрiї Лi–
Беклунда звичайних лiнiйних однорiдних диференцiальних рiвнянь
i дає теоретико-групове обгрунтування методу “нелiнiйного роздiле-
ння змiнних”. В [9] цей метод узагальнюється на нелiнiйнi звичайнi
диференцiальнi рiвняння i показується, що його можна застосову-
вати не тiльки до рiвнянь еволюцiйного типу, а й взагалi кажучи,
до довiльного диференцiального рiвняння з частинними похiдними.
У данiй статтi теорема 1 з [9] використовується для редукцiї i по-
будови часткових розв’язкiв нелiнiйних диференцiальних рiвнянь з
двома незалежними змiнними.
2. Симетрiї Лi–Беклунда звичайних диференцiальних
рiвнянь i редукцiя рiвнянь з частинними похiдними. Розгля-
немо диференцiальне рiвняння
U(x1, x2, u, u
1
, u
2
, . . . , u
k
) = 0, (1)
де x = (x1, x2), u = u(x) ∈ Ck(R2,R1), а символом u
k
позначено набiр
всiх часткових похiдних k-го порядку по змiнним x1, x2. Розглянемо
також звичайне диференцiальне рiвняння загального вигляду
H
(
x1, x2, u,
∂u
∂x1
, . . . ,
∂mu
∂xm1
)
= 0, (2)
де H є довiльною гладкою функцiєю своїх аргументiв, яке не обо-
в’язково має бути лiнiйним (як, наприклад, в [8])). Припустимо, що
iснує загальний розв’язок рiвняння (2) i вiн може бути записаний в
такому виглядi
u = F (x1, x2, C1, . . . , Cm),
де C1, . . . , Cm є довiльними функцiями вiд змiнної x2, а F є деяка
гладка функцiя своїх аргументiв. Справедливим є твердження про
симетрiйну редукцiю [9] а саме: якщо рiвняння (2) є iнварiантним
(в класичному сенсi) вiдносно оператора
Q = U(x1, x2, u, u
1
, u
2
, . . . , u
k
)∂u,
то рiвняння (1) за допомогою анзацу
u = F (x1, x2, ϕ1(x2), . . . , ϕm(x2)) (3)
310 I.М. Цифра
редукується в загальному випадку до системи k1 рiвнянь для m не-
вiдомих функцiй ϕ1(x2), . . . , ϕm(x2), причому k1 ≤ m.
Зауваження. В цьому пiдходi змiнна x2 є параметричною змiнною,
подiбно як в методi оберненої задачi розсiювання.
Далi розглянемо застосування цього методу на кiлькох прикла-
дах.
1. Розглянемо нелiнiйне еволюцiйне рiвняння вигляду
ut = f(u)uxx + a(u), (4)
де f(u), a(u) – деякi гладкi функцiї. Розглянемо також нелiнiйне
звичайне диференцiальне рiвняння
uxx = h(u), (5)
де h(u) є також деякою гладкою функцiєю. Виявляється, що рiвнян-
ня (5) є iнварiантним вiдносно групи Лi–Беклунда з iнфiнiтезималь-
ним оператором
Q = (ut − f(u)uxx − a(u))∂u,
тiльки тодi, коли h(u) є лiнiйною функцiєю, тобто h(u) = αu + β,
α, β = const. Нехай h = −u. Тодi f(u) =
(
A+ a(u)
u
)
, де A = const, для
довiльної функцiї a(u). Отже анзац
u = ϕ1(t) sinx+ ϕ2(t) cosx, (6)
де ϕ1, ϕ2 є довiльними функцiями вiд змiнної t, що задовольняє
рiвняння
uxx = −u,
редукує нелiнiйне еволюцiйне рiвняння
ut =
(
A+
a(u)
u
)
uxx + a(u) (7)
до системи двох звичайних диференцiальних рiвнянь
ϕ′1 = −Aϕ1, ϕ′2 = −Aϕ2. (8)
Симетрiйна редукцiя диференцiальних рiвнянь 311
З (8), (6) легко отримати розв’язок рiвняння (7) у виглядi
u = (k1 sinx+ k2 cosx)e−At,
де k1, k2 = const, для довiльної функцiї a(u).
2. Далi знайдемо оператори симетрiї Лi–Беклунда нелiнiйного
звичайного диференцiального рiвняння, що має вигляд
uuxx = 3u2
x − 3uux + u2. (9)
За допомогою iнфiнiтезимального методу [10] знаходимо оператори
симетрiї рiвняння (9), що мають вигляд
Q1 = [uxx + (λ− 3u2)u−3(u− ux)2 + 3(u− ux)]∂u, Q2 = ut∂u,
де λ – довiльна дiйсна стала. Тодi, як випливає з теореми 1 з [9]
вiдповiдний анзац
u = ϕ2(t)ex(ϕ1(t) + 2ex)−1/2,
що породжується рiвнянням (9), редукує рiвняння
ut = uxx + (λ− 3u2)u−3(u− ux)2 + 3(u− ux) (10)
до системи двох звичайних диференцiальних рiвнянь в такому ви-
глядi
ϕ′2 = ϕ2, ϕ′1 = −−2λ
ϕ2
2
.
Iнтегруючи цю систему отримуємо частковий розв’язок рiвнян-
ня (10) у виглядi
u(t, x) = C1e
t
(
λ
C2
1
e−2t + 2ex + C2
)−1/2
,
де C1, C2 = const.
3. На наступному прикладi покажемо, як цей метод застосовує-
ться до диференцiальних рiвнянь, що не є рiвняннями еволюцiйного
типу. Для цього розглянемо оператори симетрiї Лi–Беклунда зви-
чайного диференцiального рiвняння
uxx = u3
x. (11)
312 I.М. Цифра
Оператор Лi–Беклунда класичної симетрiї рiвняння (11) має такий
вигляд
Q1 = uxtu
−3
x ut∂u.
Крiм того ми побудували однопараметричну групу iнварiантностi
контактних перетворень, що задається генератором
Q2 =
[
G
(
u+
1
ux
)
ux +H
(
u+
1
ux
)]
∂u,
де F i H є довiльними гладкими функцiями вiд однiєї змiнної. З рiв-
няння (11) отримуємо анзац
u = ϕ2(t)−
√
ϕ1(t)− 2x, (12)
який повинен редукувати рiвняння
uxt =
u3
x
ut
(Gux +H) . (13)
Справдi пiдставляючи (12) в рiвняння (13) отримуємо систему двох
звичайних диференцiальних рiвнянь у виглядi
ϕ′1ϕ
′
2 = −2H(ϕ2), (ϕ′1)2 = 4G(ϕ2)
при довiльних функцiях G, H.
4. В попереднiх прикладах ми будували оператори симетрiї зви-
чайних диференцiальних рiвнянь другого порядку, тому отриманi
анзаци мiстили двi невiдомi функцiї, а вiдповiдна редукована систе-
ма була системою двох звичайних диференцiальних рiвнянь. Згiдно
з теоремою 1 [9] число рiвнянь в редукованiй системi не може бу-
ти бiльше двох. Покажемо на простому прикладi, що iснують такi
рiвняння, що анзац з двома невiдомими функцiями редукує дослi-
джуване рiвняння до одного звичайного диференцiального рiвняння.
Оскiльки отримана система є недовизначеною, то в цьому випадку
iснує можливiсть побудови розв’язку з однiєю довiльною функцiєю.
Розглянемо звичайне диференцiальне рiвняння
ux1x1
= ux1
. (14)
Це рiвняння допускає оператори симетрiї
Q1 = ux1x2
∂u, Q2 = ux1
F (ux1
− u)∂u,
Симетрiйна редукцiя диференцiальних рiвнянь 313
де F є довiльною гладкою функцiєю однiєї змiнної. Вiдповiдний ан-
зац
u = −ϕ1(x2) + ex1ϕ2(x2),
що породжується рiвнянням (14), редукує рiвняння
ux1x2
= ux1
F (ux1
− u) (15)
до одного звичайного диференцiального рiвняння
ϕ′2 = ϕ2F (ϕ1(x2)). (16)
Iнтегруючи рiвняння (16) знаходимо частковий розв’язок нелiнiйно-
го рiвняння (15) у виглядi
u = −ϕ1(x2) + Cex1+
∫
F (ϕ1(x2))dx2 ,
де C – довiльна стала, що мiстить довiльну функцiю ϕ1(x2).
3. Висновки. Таким чином вищi симетрiї Лi–Беклунда нелiнiй-
них звичайних диференцiальних рiвнянь дозволяють провести си-
метрiйну редукцiю дослiджуваних рiвнянь в частинних похiдних з
двома незалежними змiнними до системи звичайних диференцiаль-
них рiвнянь. У цiй роботi ми розглядали звичайнi диференцiальнi
рiвняння другого порядку. Вiдповiдно збудованi анзаци мiстять двi
невiдомi функцiї. Максимальне число рiвнянь в редукованiй систе-
мi визначається порядком звичайного диференцiального рiвняння, а
його оператори симетрiї визначають вигляд диференцiального рiв-
няння, до якого може застосовуватись метод редукцiї. Ефективнiсть
цього методу виразно проявляється при застосуваннi до нелiнiйних
диференцiальних рiвнянь, якi не допускають оператори вищих си-
метрiй в класичному сенсi i не є “iнтегровними”. Однак, виявляє-
ться, що цей метод можна успiшно також застосовувати до рiвняння
Кортевега–де Фрiза вигляду
ut = uxxx + uux + α(t)(xux + 2u) + β(t)ux,
де α(t), β(t) – довiльнi гладкi функцiї змiнної t. Метод є загальним
в тому сенсi, що його можна застосовувати не тiльки в двовимiрно-
му просторi, а довiльному скiнченовимiрному, i не тiльки до рiвнянь
еволюцiйного типу (див. рiвняння (13), (15)). Тим не менше слiд
зауважити, що при дослiдженнi еволюцiйних рiвнянь сам метод i
вiдповiднi обчислення суттєво спрощуються. Треба також вiдмiти-
ти, що цей пiдхiд легко узагальнюється на оператори Лi–Беклунда
умовної симетрiї звичайних диференцiальних рiвнянь.
314 I.М. Цифра
[1] Фущич В.И. О симметрии и точных решениях многомерных нелинейных
волновых уравнений // Укр. мат. журн. – 1987 – 37, № 1 – С. 116–123.
[2] Fushchich W.I., Tsifra I.M. On a reduction and solutions of the nonlinear wave
equations with broken symmetry // J. Phys. A: Math. Gen. – 1987. – 20. –
L45–L48.
[3] Фущич В.И., Серов Н.И. Условная инвариатность нелинейных уравнений
акустики // Докл. АН УССР. – 1988. – № 10 – С. 28–33.
[4] Zhdanov R.Z., Tsyfra I.M., Popovych R.O. A precise definition of reduction of
partial differential equations // J. Math. Anal. Appl. – 1999. – 238. – P. 101–
123.
[5] Fushchych W. Ansatz’95 // J. Nonlinear Math. Phys. – 1995. – 2. – P. 216–235.
[6] Fushchych W., Zhdanov R. Antireduction and exact solutions of nonlinear heat
equations // J. Nonlinear Math. Phys. – 1994. – 1. – P. 60–64
[7] Zhdanov R. Conditional Lie–Bäcklund symmetry and reduction of evolution
equations // J. Phys. A: Math. Gen. – 1995. – 28. – P. 3841–3850.
[8] Svirshchevskii S.R. Lie–Bäcklund symmetries of linear ODEs and generalised
seperation of variables in nonlinear equations // Phys. Lett. A. – 1995. – 199. –
P. 344–348 .
[9] Tsyfra I.M. Symmetry reduction of nonlinear differential equations // Procee-
dings of Institute of Mathematics, Kyiv. – 2004. – 50, Part 1. – P. 266–270.
[10] Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. — Мо-
сква: Мир, 1989. — 639 с.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-475 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:08:00Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/f8/9ac7342b8160c45f45b8b9ceeb38dff8.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-4752020-08-13T10:42:30Z Symmetry reduction of partial differential equations with two independent variables Симетрійна редукція диференціальних рівнянь в частинних похідних з двома незалежними змінними Tsyfra, I. Цифра, І. The symmetry reduction of nonlinear partial differential equations with two independent variables is studied. The method is based on the Lie-Backlund symmetry operators of nonlinear ordinary differential equations. The reduction method is applied to partial differential equations of evolution and wave types. Вивчається симетрійна редукція рівнянь в частинних похідних з двома незалежними змінними за допомогою операторів симетрії Лі-Беклунда нелінійних звичайних диференціальних рівнянь. Метод редукції застосовується до нелінійних диференціальних рівнянь еволюційного та хвильового типу. Інститут математики НАН України 2006-11-14 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/475 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 3 No. 2 (2006): Symmetry and Integrability of Equations of Mathematical Physics (Dedicated to the 70-th Anniversary of Professor W.I. Fushchych); 308-314 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 3 № 2 (2006): Симетрія та інтегровність рівнянь математичної фізики (До 70-річчя від дня народження Вільгельма Ілліча Фущича); 308-314 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 3 № 2 (2006): Симетрія та інтегровність рівнянь математичної фізики (До 70-річчя від дня народження Вільгельма Ілліча Фущича); 308-314 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/475/472 Авторське право (c) 2020 І. Цифра http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Tsyfra, I. Цифра, І. Symmetry reduction of partial differential equations with two independent variables |
| title | Symmetry reduction of partial differential equations with two independent variables |
| title_alt | Симетрійна редукція диференціальних рівнянь в частинних похідних з двома незалежними змінними |
| title_full | Symmetry reduction of partial differential equations with two independent variables |
| title_fullStr | Symmetry reduction of partial differential equations with two independent variables |
| title_full_unstemmed | Symmetry reduction of partial differential equations with two independent variables |
| title_short | Symmetry reduction of partial differential equations with two independent variables |
| title_sort | symmetry reduction of partial differential equations with two independent variables |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/475 |
| work_keys_str_mv | AT tsyfrai symmetryreductionofpartialdifferentialequationswithtwoindependentvariables AT cifraí symmetryreductionofpartialdifferentialequationswithtwoindependentvariables AT tsyfrai simetríjnaredukcíâdiferencíalʹnihrívnânʹvčastinnihpohídnihzdvomanezaležnimizmínnimi AT cifraí simetríjnaredukcíâdiferencíalʹnihrívnânʹvčastinnihpohídnihzdvomanezaležnimizmínnimi |