Властивості множини неповних сум одного ряду, члени якого утворюють узагальнену послідовність Фібоначчі
In this paper we study properties of one positive series,whose terms are elements of generalized Fibonacci sequence satisfyingcondition $u_{n+2}=\frac{u_{n+1}}{4}+\frac{u_n}{8}$. We prove that theset of incomplete sums of this series is a nowhere dense set ofpositive Lebesgue measure.
Gespeichert in:
| Datum: | 2019 |
|---|---|
| Автори та афіліації: |
|
| Ключові слова: | keywords |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2019
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/478 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552977679515648 |
|---|---|
| author | Працьовитий, М. В. Карвацький, Д. М. |
| author_facet | Працьовитий, М. В. Карвацький, Д. М. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "М. В. Працьовитий",
"institution": "НПУ ім. М.П. Драгоманова, Київ"
},
{
"author": "Д. М. Карвацький",
"institution": "Інститут математики НАН України, Київ"
}
] |
| author_sort | Працьовитий, М. В. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-03-02T07:56:20Z |
| description | In this paper we study properties of one positive series,whose terms are elements of generalized Fibonacci sequence satisfyingcondition $u_{n+2}=\frac{u_{n+1}}{4}+\frac{u_n}{8}$. We prove that theset of incomplete sums of this series is a nowhere dense set ofpositive Lebesgue measure. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:08:00Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2019, т. 16, № 3, 7–18
УДК 511.72
М. В. Працьовитий, Д. М. Карвацький
Iнститут математики НАН України, Київ;
karvatsky@imath.kiev.ua
Властивостi множини неповних сум
одного ряду, члени якого утворюють
узагальнену послiдовнiсть Фiбоначчi
In this paper we study properties of one positive series, whose terms
are elements of generalized Fibonacci sequence satisfying condition
un+2 = un+1
4 + un
8 . We prove that the set of incomplete sums of this
series is a nowhere dense set of positive Lebesgue measure.
У статтi вивчаються властивостi одного ряду, члени якого утво-
рюють узагальнену послiдовнiсть Фiбоначчi, для якої виконує-
ться умова un+2 = un+1
4 + un
8 . Доведено, що множина неповних
сум такого ряду є нiде не щiльною множиною додатної мiри Ле-
бега.
1. Вступ
Класична послiдовнiсть Фiбоначчi та її узагальнення мають ши-
роке застосування у рiзних роздiлах математики. Зокрема, вони
використовувалися для представлення дiйсних чисел [7, 9], дослi-
дження стохастичних випадкових величин [6], вивчення об’єктiв
зi складною локальною будовою [4, 8].
c© М. В. Працьовитий, Д. М. Карвацький, 2019
8 М. В. Працьовитий, Д. М. Карвацький
Означення 1. Послiдовнiсть дiйсних чисел (un) ≡ (un)∞n=1, яка
має властивiсть
un+2 = pun+1 + sun, (1)
де u1, u2, p, s — фiксованi дiйснi числа, називатимемо узагаль-
неною послiдовнiстю Фiбоначчi.
Узагальнена послiдовнiсть Фiбоначчi є чотирьохпараметри-
чним об’єктом, оскiльки з (1) зрозумiло, що вираз її загального
члена залежить вiд параметрiв u1, u2, p, s. Тривiальним прикла-
дом узагальненої послiдовностi Фiбоначчi є (0) = (0, 0, 0, . . .) —
нуль-послiдовнiсть. Очевидно, що коли (un)∞n=1 — узагальнена
послiдовнiсть Фiбоначчi, то (un)∞n=m — теж узагальнена послi-
довнiсть Фiбоначчi. Прикладами узагальнених послiдовностей
Фiбоначчi є:
1. класична послiдовнiсть Фiбоначчi (u1 = 0, u2 = p = s = 1);
2. довiльна геометрична прогресiя (s = 0);
3. послiдовнiсть чисел Люка (u1 = 2, u2 = p = s = 1);
4. послiдовнiсть чисел Якобсталя (u1 = s = 2, u2 = p = 1);
5. послiдовнiсть чисел Пелля (u1 = u2 = p = 1, s = 2).
Теорема 1. Для загального члена узагальненої послiдовностi
Фiбоначчi має мiсце рiвнiсть
un =
Φn−1 (u2 − u1Ψ)−Ψn−1 (u2 − u1Φ)
Φ−Ψ
при Φ 6= Ψ,
Φn−1
(
u1 + (n− 1)
(u2
Φ
− u1
))
при Φ = Ψ,
де
Φ =
p+
√
p2 + 4s
2
та Ψ =
p−
√
p2 + 4s
2
.
Властивостi множини неповних сум одного ряду 9
2. Про один частковий випадок
Розглянемо одну узагальнену послiдовнiсть Фiбоначчi для якої
початковi параметри мають наступнi значення: u1 = 0, u2 = 3
4 ,
p = 1
4 , s = 1
8 . Для членiв такої послiдовностi буде виконуватися
рiвнiсть
un+2 =
un+1
4
+
un
8
,∀n ∈ N.
З iншого боку, загальний член такої послiдовностi, враховую-
чи Теорему 1, можна записати наступним чином
un =
(
1
2
)n−1
−
(
−1
4
)n−1
.
Ряд, що складається з елементiв послiдовностi (un), тобто має
вигляд
∞∑
n=1
un =
∞∑
n=1
[(
1
2
)n−1
−
(
−1
4
)n−1
]
, (2)
буде збiжним рядом, що володiє нетривiальними властивостями
(спiввiдношеннями мiж членами та залишками ряду).
Теорема 2. Для ряду (2) справедлива наступна рiвнiсть
∞∑
n=1
un =
u1(1− p) + u2
1− p− s
=
6
5
.
Теорема 3. Для залишкiв ряду (2) справедлива наступна рiв-
нiсть
rk =
∞∑
n=k+1
un =
uk+1 + suk
1− p− s
=
(
1
2
)n−1
+
1
5
(
−1
4
)n−1
.
Доведення. Використовуючи теорему 1, можна записати на-
ступне
rk =
∞∑
n=k+1
un =
∞∑
n=k+1
Φn−1 (u2 − u1Ψ)−Ψn−1 (u2 − u1Φ)
Φ−Ψ
.
10 М. В. Працьовитий, Д. М. Карвацький
Врахувавши початковi параметри p = 1
4 , s = 1
8 , u1 = 0, u2 = 3
4
можна визначити, що Φ = 1
2 та Ψ = −1
4 . Число rk є сумою зали-
шкiв двох рядiв, члени яких є елементами збiжних геометричних
прогресiй зi знаменниками Φ та Ψ вiдповiдно, звiдки отримаємо
rk =
∞∑
n=k+1
(u2 − u1Ψ)
Φ−Ψ
Φn−1 −
∞∑
n=k+1
(u2 − u1Φ)
Φ−Ψ
Ψn−1 =
=
(u2 − u1Ψ)Φk
(Φ−Ψ)(1− Φ)
− (u2 − u1Φ)Ψk
(Φ−Ψ)(1−Ψ)
=
=
uk+1 + ΦΨuk
(1−Ψ)(1− Φ)
.
Врахувавши, що Φ · Ψ = −s та Φ + Ψ = p, останню рiвнiсть
можна записати наступним чином
rk =
uk+1 + ΦΨuk
1− (Ψ + Φ) + ΦΨ
) =
uk+1 + suk
1− p− s
==
(
1
2
)n−1
+
1
5
(
−1
4
)n−1
.
Теорема 4. Для членiв та залишкiв ряду (2) справедливi на-
ступнi нерiвностi[
un < rn, якщо n− непарне,
un > rn, якщо n− парне.
Доведення. Використовуючи теореми 1 та 3 для непарного
номера n справедливою буде нерiвнiсть
un =
(
1
2
)n−1
−
(
1
4
)n−1
<
(
1
2
)n−1
+
1
5
(
1
4
)n−1
= rn.
В свою чергу для парного номера n виконується нерiвнiсть
un =
(
1
2
)n−1
+
(
1
4
)n−1
<
(
1
2
)n−1
− 1
5
(
1
4
)n−1
= rn.
Наслiдок 5. Справедливi наступнi рiвностi
lim
n→∞
un+1
un
=
1
2
та lim
n→∞
un
rn
= 1.
Властивостi множини неповних сум одного ряду 11
3. Властивостi множини неповних сум
Означення 2. Якщо M ∈ 2N , або iншими словами M ⊆ N
(N — множина натуральних чисел), то число
x = x (M) =
∑
n∈M
un =
∞∑
n=1
εnun, (3)
де
εn =
{
1,при n ∈M,
0,при n /∈M,
називається неповною сумою ряду.
З робiт [2] та [5] вiдомо, що множина неповних сум довiльного
збiжного знакододатного ряду є однiєю з трьох типiв: скiнченним
об’єднанням вiдрiзкiв, множиною канторiвського типу або кан-
торвалом.
У роботi [9] вивчалися тополого-метричнi та фрактальнi вла-
стивостi множини неповних сум збiжних додатних рядiв
∞∑
n=1
an = a1 + a2 +
∞∑
n=3
pan−1 + san−2, a1, a2, p, s ∈ R+, (4)
члени яких утворювали узагальнену послiдовнiсть Фiбоначчi з
додатними початковими параметрами.
Теорема 6 ( [9]). Якщо для ряду (4) виконується система не-
рiвностей {
0 < p < 1,
max{0, 1
4 −
p
2} < s < 1− p, (5)
то ряд збiгається, а множина його неповних сум являє собою
скiнченне об’єднання вiдрiзкiв.
12 М. В. Працьовитий, Д. М. Карвацький
Теорема 7 ( [9]). Якщо для ряду (4) виконується система не-
рiвностей {
0 < p < 1
2 ,
0 < s < 1
4 −
p
2 ,
(6)
то ряд буде збiгатися, а множина його неповних сум буде:
1. досконалою;
2. нiде не щiльною;
3. нульової мiри Лебега;
4. розмiрностi Гаусдорфа-Безиковича
α0 = − logΦ 2.
Залишається вiдкритим питання про тип та властивостi мно-
жини неповних сум ряду при умовi s = 1
4 −
p
2 (u2
1 + u2
2 6= 0),
оскiльки наявнi на сьогоднiшнiй день результати та методи до-
слiдження не дають вiдповiдi на це питання.
Означення 3. Цилiндром k-ого рангу з основою c1c2 . . . ck, де
ci ∈ {0, 1}, називається множина ∆′c1c2...ck , яка мiстить всi
неповнi суми ряду (2) виду
k∑
n=1
cnun +
∞∑
n=k+1
εnun, де εn ∈ {0, 1} .
Означення 4. Цилiндричним вiдрiзком рангу k з основою
c1c2 . . . ck називається вiдрiзок
∆c1c2...ck =
[
inf ∆′c1c2...ck , sup ∆′c1c2...ck
]
=
[
k∑
n=1
cnun, rk +
k∑
n=1
cnun
]
.
В залежностi вiд (un) i набору c1c2 . . . ck можливi випадки, ко-
ли ∆′c1c2...ck i ∆c1c2...ck спiвпадають та не спiвпадають, але завжди
∆′c1c2...ck ⊂ ∆c1c2...ck . Тополого-метричнi властивостi множини не-
повних сум ряду суттєво залежать вiд його властивостей, зокре-
ма, вiд швидкостi збiжностi та вiд спiввiдношення мiж членами
та залишками ряду (an > rn чи an ≤ rn).
Властивостi множини неповних сум одного ряду 13
Лема 8. Цилiндричнi множини, що вiдповiдають ряду (2) ма-
ють наступнi властивостi:
1. ∆c1c2...ck =
[
k∑
i=1
ciui,
k∑
i=1
ciui + rk
]
;
2. |∆c1c2...ck | = rk → 0, for k →∞;
3. ∆c1c2...ck ⊂ ∆c1c2...ck0
⋃
∆c1c2...ck1,
∆′c1c2...ck = ∆′c1c2...ck0
⋃
∆′c1c2...ck1;
4. inf ∆c1c2...ck = inf ∆c1c2...ck0 < inf ∆c1c2...ck1,
sup ∆c1c2...ck = sup ∆c1c2...ck1 > sup ∆c1c2...ck0;
5.
∞⋂
k=1
∆c1c2...ck =
∞⋂
k=1
∆′c1c2...ck ≡ ∆c1c2...ck... = x ⊂ [0, r] ;
6.
|∆c1c2...ckc|
|∆c1c2...ck |
=
rk+1
rk+1 + uk+1
=
1
δk+1 + 1
, де δk+1 =
uk+1
rk+1
;
7. ∆c1c2...ck = ∆s1s2...sk ↔ ci = si, i = 1, k;
8. Ok+1
c1...ck
(1, 0) = ∆c1c2...ck1
⋂
∆c1c2...ck0 =
=
[
k∑
n=1
cnun + un+1,
k∑
n=1
cnun + rn+1
]
, якщо k -парне,
∅, якщо k -непарне;
9. Для довiльного парного номера k виконується
∆c1c2...ck1
⋂
∆c1c2...ck0 = ∆c1c2...ck10
⋂
∆c1c2...ck01;
10. Gk+1
c1...ck
(1, 0) = ∆c1c2...ck\
(
∆c1c2...ck1
⋃
∆c1c2...ck0
)
=
=
(
k∑
n=1
cnun + rn+1,
k∑
n=1
cnun + un+1
)
, якщо k-непарне,
∅, якщо k-парне;
11. Для довiльного натурального k > 2 виконується
Gk+2
c1...ck
(01, 00)
⋂
Gk+2
c1...ck
(10, 11) = ∅;
12. Для довiльного натурального k > 2 виконується(
Gk+2
c1...ck
(01, 00)
⋃
Gk+2
c1...ck
(10, 11)
)⋂
Ok+1
c1...ck
(1, 0) = ∅.
14 М. В. Працьовитий, Д. М. Карвацький
Лема 9. Для довiльного непарного номера n, справедлива на-
ступна нерiвнiсть:
un+1 + un+2 + · · ·+ u2n−2 < un < un+1 + un+2 + · · ·+ u2n−1.
Доведення. Враховуючи теореми 1 та 3, можна записати на-
ступне
un + un+1 + un+2 + · · ·+ u2n−2 + u2n−1 = rn − r2n−1 =
=
(
1
2
)n−1
+
1
5
(
−1
4
)n−1
−
(
1
2
)2n−2
− 1
5
(
−1
4
)2n−2
=
=
(
1
2
)n−1
+
1
5
(
1
4
)n−1
−
(
1
4
)n−1
− 1
5
(
1
4
)2n−2
>
>
(
1
2
)n−1
−
(
1
4
)n−1
= un.
З iншого боку
un + un+1 + un+2 + · · ·+ u2n−3 + u2n−2 = rn − r2n−2 =
=
(
1
2
)n−1
+
1
5
(
−1
4
)n−1
−
(
1
2
)2n−3
− 1
5
(
−1
4
)2n−3
=
=
(
1
2
)n−1
+
1
5
(
1
4
)n−1
− 2
(
1
4
)n−1
+
1
5
(
1
4
)2n−3
<
<
(
1
2
)n−1
−
(
1
4
)n−1
= un.
Лема 10. Для довiльного перетину цилiндрiв непарного рангу
справедливi наступнi твердження
Onc1...cn−1
(0, 1) = ∆c1...cn−10 1...1︸︷︷︸
m
⋂
∆c1...cn−11 0...0︸︷︷︸
m
при m ≤ n− 2,
Onc1...cn−1
(0, 1) 6= ∆c1...cn−10 1...1︸︷︷︸
m
⋂
∆c1...cn−11 0...0︸︷︷︸
m
при m > n− 2.
Властивостi множини неповних сум одного ряду 15
Доведення. Враховуючи лему 9 та властивостi цилiндри-
чних множин легко довести, що для m ≤ n− 2
max ∆c1...cn−11 0...0︸︷︷︸
n−2
> maxOnc1...cn−1
(0, 1),
min ∆c1...cn−10 1...1︸︷︷︸
n−2
< minOnc1...cn−1
(0, 1).
З iншого боку для m > n− 2 матимемо
max ∆c1...cn−11 0...0︸︷︷︸
n−1
< maxOnc1...cn−1
(0, 1),
min ∆c1...cn−10 1...1︸︷︷︸
n−1
> minOnc1...cn−1
(0, 1).
Це i доводить правильнiсть теореми.
Лема 11. Для довiльного непорожнього On+1
c1...cn(0, 1) iснує на-
туральне число m та набiр α1, . . . , αm, β1, . . . , βm, де αi ∈ {0, 1},
βi ∈ {0, 1}, i = 1,m, такi що
Gn+m+1
c1...cn1α1...αm
(0, 1)
⋂
Gn+m+1
c1...cn0β1...βm
(0, 1) ∈ On+1
c1...cn(0, 1).
Доведення. Покажемо, що iснує натуральне число m та на-
бiр цифр α1, . . . , αm, β1, . . . , βm, де αi ∈ {0, 1}, βi ∈ {0, 1}, i = 1,m
такi, що
minGn+m+1
c1...cn0β1...βm
< minGn+m+1
c1...cn1α1...αm
< maxGn+m+1
c1...cn0β1...βm
⇔
⇔ 0 < un+1 +
m∑
i=1
(αi − βi)un+1+i < un+m+2 − rn+m+2.
Оскiльки un+1 < rn+1, то враховуючи лему 9, ми можемо зна-
йти m̃ (m̃ > n+ 1) таке, що
un+1 − un+2 − un+3 − · · · − un+m̃ < 0.
16 М. В. Працьовитий, Д. М. Карвацький
Враховуючи, що un+m+2− rn+m+2 > 0 ми бачимо, що iснує набiр
α1, . . . , αm, β1, . . . , βm, де αi ∈ {0, 1} та βi ∈ {0, 1}, i = 1,m
такий, що
0 < un+1 +
m∑
i=1
(αi − βi)un+1+i < un+m+2 − rn+m+2.
Наслiдок 12. (лема 9, 10, 11) Будь-який перетин цилiндрiв
непарного рангу On+1
c1c2c3...cn(0, 1) повнiстю не може належати
множинi неповних сум ряду (2).
Теорема 13. Множина неповних сум ряду (2) є досконалою нiде
не щiльною множиною додатної мiри Лебега.
Доведення. Легко довести, що множина неповних сум збi-
жного додатного ряду є досконалою (замкненою, без iзольованих
точок). Позначимо через G суму довжин усiх щiлин, що утворю-
ються мiж цилiндрами парних рангiв. Очевидно, що мiра Лебега
множини неповних сум ряду (2) буде бiльшою за
L(∆′) ≥ r −G =
∞∑
n=1
un −G.
Враховуючи, що довжина дiр, якi утворюються на парних мiсцях
дорiвнює (u2n − r2n) можна записати наступне
r−G = r−2 ·(u2−r2)−23 ·(u4−r4)−· · ·−22n−1 ·(u2n−r2n)−· · · =
= r−2·6
5
·1
4
−23·6
5
·
(
1
4
)3
−25·6
5
·
(
1
4
)5
−· · ·−22n−1·6
5
·
(
1
4
)2n−1
−· · · =
=
6
5
·
(
1− 2 · 1
4
− 23 ·
(
1
4
)3
− · · · − 22n−1 ·
(
1
4
)2n−1
− . . .
)
=
=
6
5
·
(
1− 1
2
· 1
1− 1
4
)
=
6
5
·
(
1− 2
3
)
=
2
5
.
Властивостi множини неповних сум одного ряду 17
Таким чином, мiра Лебега множини неповних сум ряду є не мен-
шою вiд числа 2
5 .
Доведемо тепер нiде не щiльнiсть множини ∆′. Припустимо,
що iснує деякий вiдрiзок [a, b], що належить множинi неповних
сум ∆′. Очевидно, що можна пiдiбрати набiр чисел c1, c2, . . . , ck
для якого
a <
k∑
n=1
cnun < b, max{uk, rk} < b−
k∑
n=1
cnun.
Iншими словами, iснує цилiндричний вiдрiзок k−ого рангу
∆c1...ck , який буде належати вiдрiзку [a, b].
Якщо k є парним числом, то з властивостей цилiндричних
множин слiдує, що Gk+1
c1...ck
(0, 1) ⊂ ∆c1...ck . Тобто, iснує деяка дiра
(gap) Gk+1
c1...ck
(0, 1), яка належить вiдрiзку [a, b]. Ми прийшли до
суперечностi.
Якщо k є непарним числом, то з властивостей цилiндричних
множин слiдує, що iснує Ok+1
c1...ck
(0, 1) ⊂ ∆c1...ck ⊂ [a, b]. Враховую-
чи наслiдок 12, перетин Ok+1
c1...ck
(0, 1) не може повнiстю належати
множинi неповних сум ряду. Приходимо до суперечностi.
Лiтература
[1] Jessen B., Wintner A. Distribution functions and Rieman Zeta-
function // Trans. Amer. Math. Soc. – 1935. – Vol. 38, № 1. – P.
48-88.
[2] Guthrie J. A., Nymann J. E. The topological structure of the set of
subsums of an infinite series // Colloq. Math. – 1988. – Vol. 55, № 2.
– P. 323-327.
[3] Levy P. Sur les series dont les termes sont des variables independantes
// Studia math. – 1931. – Vol. 3, № 1. – P. 119-155.
[4] Pratsyovitiy M. V., Karvatskiy D. M. Jacobsthal-Lucas series and
their applications // Algebra and discrete mathematics. – 2017. –
Vol. 24, № 1. P. 169-180.
18 М. В. Працьовитий, Д. М. Карвацький
[5] Prus-Wisniowski F. Beyond the sets of subsums // 2013. – 37p. (avai-
ble in http://atom.math.uni.lodz.pl)
[6] Pratsiovytyi M.V., Feshchenko O.Yu. Topological, metric and fractal
properties of probability distributions on the set of incomplete sums
of positive series // Theory of Stochastic Processes. – 2007. – Т. 13
(29), № 1-2. – P. 205-224.
[7] Василенко Н.М. Фiбоначчiєвi подання дiйсних чисел // Науковий
часопис НПУ iменi М. П. Драгоманова. Серiя 1. Фiз.-мат. науки.
– К.: НПУ iменi М. П. Драгоманова. – 2006.– № 9. – С. 190-203.
[8] Карвацький Д. М. Властивостi розподiлу випадкової неповної су-
ми збiжного знакододатного ряду, члени якого утворюють уза-
гальнену постiдовнiсть Фiбоначчi // Буковинський математичний
журнал. – Т. 3, № 1. – Чернiвцi: Чернiвецький нацiональний унi-
верситет. – 2015. – С. 52-59.
[9] Карвацький Д. М. Зображення дiйсних чисел нескiнченно мали-
ми знакододатними узагальненими послiдовностями Фiбоначчi //
Науковий часопис НПУ iменi М. П. Драгоманова. Серiя 1. Фiз.-
мат. науки. – К.: НПУ iменi М. П. Драгоманова. – № 15 (1). – 2013.
– С. 56-74.
[10] Карвацький Д. М., Василенко Н. М. Математичнi структури
у просторах узагальнених послiдовностей Фiбоначчi // Науко-
вий часопис НПУ iменi М. П. Драгоманова. Серiя 1. Фiзико-
математичнi науки. – К.: НПУ iменi М. П. Драгоманова. – 2012.–
№13(1). – С.118-128.
[11] Працьовитий М.В. Фрактальний пiдхiд у дослiдженнi сингуляр-
них розподiлiв // К.: Вид-во НПУ iменi М. П. Драгоманова. –
1998. – 296 с.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-478 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:08:00Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/8b/d13f490844bf18c93dd425706ec9ec8b.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-4782023-03-02T07:56:20Z Властивості множини неповних сум одного ряду, члени якого утворюють узагальнену послідовність Фібоначчі Працьовитий, М. В. Карвацький, Д. М. In this paper we study properties of one positive series,whose terms are elements of generalized Fibonacci sequence satisfyingcondition $u_{n+2}=\frac{u_{n+1}}{4}+\frac{u_n}{8}$. We prove that theset of incomplete sums of this series is a nowhere dense set ofpositive Lebesgue measure. У статті вивчаються властивості одного ряду, члени якого утворюють узагальнену послідовність Фібоначчі, для якої виконується умова $u_{n+2}=\frac{u_{n+1}}{4}+\frac{u_n}{8}$. Доведено, що множина неповних сум такого ряду є ніде не щільною множиною додатної міри Лебега. Інститут математики НАН України 2019-12-26 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/478 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 16 No. 3 (2019): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 7-18 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 16 № 3 (2019): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 7-18 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 16 № 3 (2019): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 7-18 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/478/483 Авторське право (c) 2019 М.В. Працьовитий, Д.М. Карвацький http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Працьовитий, М. В. Карвацький, Д. М. Властивості множини неповних сум одного ряду, члени якого утворюють узагальнену послідовність Фібоначчі |
| title | Властивості множини неповних сум одного ряду, члени якого утворюють узагальнену послідовність Фібоначчі |
| title_full | Властивості множини неповних сум одного ряду, члени якого утворюють узагальнену послідовність Фібоначчі |
| title_fullStr | Властивості множини неповних сум одного ряду, члени якого утворюють узагальнену послідовність Фібоначчі |
| title_full_unstemmed | Властивості множини неповних сум одного ряду, члени якого утворюють узагальнену послідовність Фібоначчі |
| title_short | Властивості множини неповних сум одного ряду, члени якого утворюють узагальнену послідовність Фібоначчі |
| title_sort | властивості множини неповних сум одного ряду, члени якого утворюють узагальнену послідовність фібоначчі |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/478 |
| work_keys_str_mv | AT pracʹovitijmv vlastivostímnožininepovnihsumodnogorâdučleniâkogoutvorûûtʹuzagalʹnenuposlídovnístʹfíbonaččí AT karvacʹkijdm vlastivostímnožininepovnihsumodnogorâdučleniâkogoutvorûûtʹuzagalʹnenuposlídovnístʹfíbonaččí |