On a generalization of the system of functions of Rademacher and Walsh
In the paper, we propose generalizations of the Rademacher and Walsh functions. They are based on $????_2$-representation of real numbers generalizing classic binary representation of numbers $????\in[0;1]$. We study integral properties of these functions. In particular, we prove that generalized Ra...
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Автори та афіліації: |
|
| Ключові слова: | keywords |
| Hauptverfasser: | , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/49 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552574088904704 |
|---|---|
| author | Pratsevity, M. V. Maslova, Yu. P. Працевитый, М. В. Маслова, Ю. П. Працьовитий, М. В. Маслова, Ю. П. |
| author_facet | Pratsevity, M. V. Maslova, Yu. P. Працевитый, М. В. Маслова, Ю. П. Працьовитий, М. В. Маслова, Ю. П. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "М. В. Працьовитий",
"institution": "Нацiональний педагогiчний унiверситет iменi М. П. Драгоманова"
},
{
"author": "Ю. П. Маслова",
"institution": "Нацiональний педагогiчний унiверситет iменi М. П. Драгоманова"
}
] |
| author_sort | Pratsevity, M. V. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-13T11:57:10Z |
| description | In the paper, we propose generalizations of the Rademacher and Walsh functions. They are based on $????_2$-representation of real numbers generalizing classic binary representation of numbers $????\in[0;1]$. We study integral properties of these functions. In particular, we prove that generalized Rademacher functions form an orthogonal system of functions. For any generalized Walsh function, its analytic expression is found. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:01:36Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2016, т. 13, № 3, 146–157
УДК 517.521
Про одне узагальнення системи
функцiй Радемахера та Уолша
М. В. Працьовитий 1, Ю. П. Маслова 2
1 Нацiональний педагогiчний унiверситет iменi
М. П. Драгоманова; prats4444@gmail.com;
2 Нацiональний педагогiчний унiверситет iменi
М. П. Драгоманова; julia0609mas@gmail.com
In the paper, we propose generalizations of the Rademacher and Walsh
functions. They are based on 𝑄2-representation of real numbers general-
izing classic binary representation of numbers 𝑥 ∈ [0; 1]. We study inte-
gral properties of these functions. In particular, we prove that generalized
Rademacher functions form an orthogonal system of functions. For any
generalized Walsh function, its analytic expression is found.
В работе предлагаются обобщения функций Радемахера и Уолша, ко-
торые основываются на 𝑄2–изображениях действительных чисел, что
является обобщением классического двоичного представления чисел
𝑥 ∈ [0; 1]. Исследуются интегральные свойства этих функций, в част-
ности доказано, что обобщенные функции Радемахера образуют орто-
гональную систему функций. Для каждой обобщенной функции Уолша
найдено ее аналитическое выражение.
1 Вступ
Класична теорiя рядiв Фур’є пов’язана з розкладами функцiй
за синусоїдальними гармонiками. Альтернативною теорiєю розкла-
дiв функцiй у ряди за ортонормованою системою функцiй є теорiя
рядiв Уолша. Система функцiй Уолша, що являють собою "прямо-
кутнi"хвилi, була введена у 1923 роцi американським математиком
Дж. Уолшем [10]. Як виявилось, у теорiї передачi сигналiв такi хвилi
мають суттєвi переваги. Iснує не лише глибокий паралелiзм мiж тео-
рiєю рядiв Уолша i класичною теорiєю тригонометричних рядiв, але
й принциповi вiдмiнностi. Система функцiй Уолша, будучи одним з
c○ Працьовитий М. В., Маслова Ю. П., 2016
Про одне узагальнення системи функцiй Радемахера та Уолша 147
найпростiших прикладiв повної ортонормованої системи, цiкава з то-
чки зору теорiї загальних ортогональних рядiв. За останнi пiвстолiття
з’явилось чимало робiт, пов’язанi з застосуваннями функцiй i рядiв
Уолша в обчислювальнiй математицi, у теорiї кодування, у цифровiй
обробцi сигналiв тощо. Сьогоднi функцiям, рядам та перетворенням
Уолша, а також їх застосуванням та узагальненням присвячена ве-
лика кiлькiсть статей та монографiй, однiєю з яких є [5].
У данiй роботi, застосовуючи 𝑄2-зображення [6,7], що є узагальне-
нням класичного двiйкового [8], ми отримуємо узагальнення функцiй
Радемахера [9] i функцiй Уолша з використанням Пеллi, при цьому
зосереджуємо свою увагу на найпростiших властивостях цих об’єктiв.
2 Функцiя Радемахера i ряди Уолша
Ми використовуватимемо двiйкове представлення та зображення
дiйсних чисел:
[0; 1) ∋ 𝑥 =
∞∑︁
𝑛=1
𝛼𝑛2
−𝑛 ≡ △2
𝛼1𝛼2...𝛼𝑛..., 𝛼𝑛 ∈ {0; 1} ≡ 𝐴2, (1)
i йому вiдповiднi двiйковi цилiндри (пiввiдрiзки):
Δ2
𝑐1...𝑐𝑚 ≡
[︃
𝑛∑︁
𝑖=1
𝑐𝑖2
−𝑖;
1
2
+
𝑛∑︁
𝑖=1
𝑐𝑖2
−𝑖
)︃
= {𝑥 : 𝛼𝑛(𝑥) = 𝑐𝑛, 𝑛 = 1,𝑚}.
(2)
Остання множина називається двiйковим цилiндром рангу 𝑚 з осно-
вою 𝑐1𝑐2 . . . 𝑐𝑚. При цьому для чисел, що мають два зображення, ви-
користовується лише те, що має перiод (0).
Нагадаємо, що функцiями Радемахера 𝑟𝑘(𝑥) називаються функцiї
з перiодом 1, визначенi на пiввiдрiзку [0; 1) наступним чином
𝑟*0(𝑥) =
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
1 при 𝑥 ∈
[︂
0,
1
2
)︂
⇔ 𝑥 ∈ Δ2
0;
−1 при 𝑥 ∈
[︂
1
2
, 1
)︂
⇔ 𝑥 ∈ Δ2
1,
𝑟*𝑘(𝑥) ≡ 𝑟*0
(︀
{2𝑘𝑥}
)︀
= 𝑟*0
(︀
2𝑘𝑥
)︀
, 𝑘 = 0, 1, 2, . . . ,
де {2𝑘𝑥} – дробова частина числа 2𝑘𝑥.
148 Працьовитий М. В., Маслова Ю. П.
Зауважимо, що iнколи функцiям Радемахера дають наступне озна-
чення:
𝑟*𝑘(𝑥) = 𝑠𝑖𝑔𝑛 sin 2𝑘+1𝜋𝑥,
де
𝑠𝑖𝑔𝑛𝑡 =
⎧⎪⎨⎪⎩
1 при 𝑡 > 0,
0 при 𝑡 = 0,
−1 при 𝑡 < 0,
яким у данiй роботi ми користуватись не будемо.
Функцiї Уолша є всеможливими добутками функцiї Радемахера.
Нижче ми пропонуємо одне з узагальнень функцiй Радемахера
та Уолша, яке ґрунтується на узагальненнi класичного двiйкового
зображення дiйсних чисел, i будемо їх розглядати визначеними на
[0; 1).
3 Узагальнення функцiй Радемахера
Нехай 𝐴2 = {0; 1} – алфавiт двiйкової системи числення, 𝐿 =
𝐴2 × 𝐴2 × . . . × 𝐴2 × . . . – простiр послiдовностей 0 та 1, елементи
якого позначатимемо 𝑥̄ = (𝑥𝑛), 𝑦 = (𝑦𝑛).
Множина 𝐿 вiдносно бiнарної операцiї ⊕, означеної рiвностями
𝑧 = 𝑥̄⊕ 𝑦 = (𝑥𝑛 ⊕ 𝑦𝑛) = (𝑧𝑛),
де 𝑥𝑛 ⊕ 𝑦𝑛 = 𝑧𝑛 =
{︃
0, коли 𝑥𝑛 + 𝑦𝑛 = 0 або 2,
1, коли 𝑥𝑛 + 𝑦𝑛 = 1;
утворює комутативну групу.
Множину 𝐿 можна рiзними способами метризувати. У данiй си-
туацiї найприроднiшою є метрика:
𝜌 (𝑥̄, 𝑦) =
∞∑︁
𝑛=1
𝑥𝑛 ⊕ 𝑦𝑛
2𝑛
.
Iншу метрику ми наведемо нижче.
Якщо 𝑞0 – фiксоване число з iнтервалу (0;1), 𝑞1 = 1 − 𝑞0, 𝛽0 =
0, 𝛽1 = 𝑞0, то для будь-якого числа 𝑥 ∈ [0; 1] iснує послiдовнiсть (𝛼𝑛) ∈
𝐿 така, що
𝑥 = 𝛽𝛼1 +
∞∑︁
𝑘=2
⎛⎝𝛽𝛼𝑘
𝑘−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝛼𝑗
⎞⎠ ≡ Δ
𝑞−1
0
𝛼1𝛼2...𝛼𝑛.... (3)
Про одне узагальнення системи функцiй Радемахера та Уолша 149
Ряд (3) називається 𝑄2-представленням числа 𝑥, а його символiчний
запис Δ
𝑞−1
0
𝛼1𝛼2...𝛼𝑛... – 𝑄2-зображенням [9].
Зауважимо, що рiвнiсть (3) стає рiвнiстю (1) при 𝑞0 =
1
2
. Тому
𝑄2-зображення є узагальненням класичного двiйкового зображення.
Iснує злiченна множина чисел, якi мають два 𝑄2-зображення. Це
числа виду Δ
𝑞−1
0
𝑐1...𝑐𝑚1(0) = Δ
𝑞−1
0
𝑐1...𝑐𝑚0(1). Домовившись не використову-
вати останнє зображення, отримуємо єдинiсть 𝑄2-зображення. Тодi
𝑘-та 𝑄2-цифра 𝛼𝑘 = 𝛼𝑘(𝑥) є функцiєю числа, що зображується.
Цилiндром для 𝑄2-зображення рангу 𝑚 з основою 𝑐1 . . . 𝑐𝑚 нази-
вається множина
Δ
𝑞−1
0
𝑐1...𝑐𝑚 = {𝑥 : 𝛼𝑖(𝑥) = 𝑐𝑖, 𝑖 = 1,𝑚}.
Пiсля зробленої вище домовленостi про єдинiсть 𝑄2-зображення чи-
сла цилiндр є пiввiдрiзком
[︁
Δ
𝑞−1
0
𝑐1...𝑐𝑚−1𝑐𝑚(0); Δ
𝑞−1
0
𝑐1...𝑐𝑚−1[𝑐𝑚+1](0)
)︁
, який
має довжину
⃒⃒⃒
Δ
𝑞−1
0
𝑐1...𝑐𝑚
⃒⃒⃒
=
𝑚∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗 = 𝑞𝑁0
0 𝑞𝑁1
1 , де 𝑁𝑖 = ♯{𝑗 : 𝑐𝑗 = 𝑖, 𝑗 = 1,𝑚}, 𝑖 ∈ 𝐴2.
𝑄2-зображення може бути використане для метризацiї простору
𝐿, а саме:
𝜌0 (𝑥̄, 𝑦) = 𝑧1𝑞1−𝑧1 +
∞∑︁
𝑘=2
⎛⎝𝑧𝑘𝑞1−𝑧𝑘 𝑘−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑧𝑗
⎞⎠ ≡ Δ
𝑞−1
0
𝑧1𝑧2...𝑧𝑛..., де 𝑧 = 𝑥̄⊕𝑦.
Означення 3.1. На пiввiдрiзку [0;1) означимо послiдовнiсть фун-
кцiй
(𝑟𝑛)
∞
𝑛=0 :
𝑟0(𝑥) ≡ (−1)𝛼1(𝑥) · 2𝑞1−𝛼1(𝑥) =
=
{︃
2𝑞1, якщо 𝑥 ∈ [0; 𝑞0) = Δ
𝑞−1
0
0 ⇔ 𝛼1(𝑥) = 0;
−2𝑞0, якщо 𝑥 ∈ [𝑞0; 1) = Δ
𝑞−1
0
1 ⇔ 𝛼1(𝑥) = 1;
𝑟𝑛(𝑥) ≡ 𝑟0
(︁
Δ
𝑞−1
0
𝛼𝑛+1(𝑥)𝛼𝑛+2(𝑥)...
)︁
, 𝑛 ∈ 𝑁.
150 Працьовитий М. В., Маслова Ю. П.
Функцiї 𝑟𝑛 є узагальненням функцiй Радемахера i спiвпадають з
ними при 𝑞0 =
1
2
.
Зауваження 3.1. Функцiя 𝑟𝑛 набуває лише двох значень 2𝑞1 i −2𝑞0,
причому на кожному цилiндрi рангу 𝑛 вона є сталою, а отже, є
сталою на кожному з цилiндрiв рангу 𝑚 > 𝑛. Наприклад, при 𝑞0 =
1
3
графiки функцiй 𝑟0 i 𝑟1 вiдповiдно мають вигляд:
Рис 1
Теорема 3.1. Для узагальнення 𝑟𝑛 функцiї Радемахера 𝑟*𝑛 має мiсце
рiвнiсть: ∫︁
𝑥∈Δ
𝑞
−1
0
𝑐1...𝑐𝑛
𝑟𝑛(𝑥)𝑑𝑥 = 0 (4)
при довiльному наборi (𝑐1, 𝑐2, . . . , 𝑐𝑛) з 0 та 1.
Про одне узагальнення системи функцiй Радемахера та Уолша 151
Доведення. Справдi,∫︁
𝑥∈Δ
𝑞
−1
0
𝑐1...𝑐𝑛
𝑟𝑛(𝑥)𝑑𝑥 =
∫︁
𝑥∈Δ
𝑞
−1
0
𝑐1...𝑐𝑛
𝑟0
(︁
Δ
𝑞−1
0
𝛼𝑛+1(𝑥)𝛼𝑛+2(𝑥)...
)︁
𝑑𝑥 =
=
∫︁
𝑥∈Δ
𝑞
−1
0
𝑐1...𝑐𝑛0
𝑟0
(︁
Δ
𝑞−1
0
𝛼𝑛+1(𝑥)𝛼𝑛+2(𝑥)...
)︁
𝑑𝑥+
+
∫︁
𝑥∈Δ
𝑞
−1
0
𝑐1...𝑐𝑛1
𝑟0
(︁
Δ
𝑞−1
0
𝛼𝑛+1(𝑥)𝛼𝑛+2(𝑥)...
)︁
𝑑𝑥 =
= 2𝑞1|Δ
𝑞−1
0
𝑐1...𝑐𝑛0
| − 2𝑞0|Δ
𝑞−1
0
𝑐1...𝑐𝑛1
| =
= 2 (𝑞1𝑞0 − 𝑞0𝑞1)
𝑛∏︁
𝑖=1
𝑞𝑐𝑖 = 0,
що й вимагалось довести.
Наслiдок 3.1. Має мiсце рiвнiсть
1∫︁
0
𝑟𝑛(𝑥)𝑑𝑥 = 0.
Справдi, рiвнiсть (4) є наслiдком адитивної властивостi iнтеграла:
1∫︁
0
𝑟𝑛(𝑥)𝑑𝑥 =
∑︁
𝑐1∈𝐴2
. . .
∑︁
𝑐𝑛∈𝐴2
∫︁
𝑥∈Δ
𝑞
−1
0
𝑐1...𝑐𝑛
𝑟𝑛(𝑥)𝑑𝑥.
Теорема 3.2. Система функцiй Радемахера є ортогональною, а са-
ме:
1∫︁
0
𝑟𝑛(𝑥)𝑟𝑚(𝑥)𝑑𝑥 =
{︃
0, якщо 𝑛 ̸= 𝑚,
4𝑞0𝑞1, якщо 𝑛 = 𝑚.
Доведення. Не порушуючи загальностi, вважатимемо, що 𝑛 < 𝑚. То-
152 Працьовитий М. В., Маслова Ю. П.
дi
𝑟𝑛(𝑥)𝑟𝑚(𝑥) = 𝑟0
(︁
Δ
𝑞−1
0
𝛼𝑛+1(𝑥)
. . .
)︁
𝑟0
(︁
Δ
𝑞−1
0
𝛼𝑚+1(𝑥)
. . .
)︁
=
=
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩
4𝑞20 , якщо 𝑥 ∈ Δ
𝑞−1
0
𝑐1...𝑐𝑛−10𝑐𝑛+1...𝑐𝑚−10
,
−4𝑞0𝑞1, якщо 𝑥 ∈ Δ
𝑞−1
0
𝑐1...𝑐𝑛−10𝑐𝑛+1...𝑐𝑚−11
,
−4𝑞1𝑞0, якщо 𝑥 ∈ Δ
𝑞−1
0
𝑐1...𝑐𝑛−11𝑐𝑛+1...𝑐𝑚−10
,
4𝑞21 , якщо 𝑥 ∈ Δ
𝑞−1
0
𝑐1...𝑐𝑛−11𝑐𝑛+1...𝑐𝑚−11
при довiльному наборi (𝑐1, . . . , 𝑐𝑛−1, 𝑐𝑛+1, . . . , 𝑐𝑚−1) нулiв та одиниць.
Тому, враховуючи попереднє зауваження, для
𝐼 =
∫︁
Δ
𝑞
−1
0
𝑐1...𝑐𝑛−1𝑖𝑐𝑛+1...𝑐𝑚−1𝑐𝑚
𝑟𝑛(𝑥)𝑟𝑚(𝑥)𝑑𝑥
маємо:
𝐼 =
∫︁
Δ
𝑞
−1
0
𝑐1...𝑐𝑛−1𝑖𝑐𝑛+1...𝑐𝑚−10
𝑟𝑛(𝑥)𝑟𝑚(𝑥)𝑑𝑥+
+
∫︁
Δ
𝑞
−1
0
𝑐1...𝑐𝑛−1𝑖𝑐𝑛+1...𝑐𝑚−11
𝑟𝑛(𝑥)𝑟𝑚(𝑥)𝑑𝑥 =
= ±
(︁
4𝑞1−𝑖𝑞1|Δ
𝑞−1
0
𝑐1...𝑐𝑛−1𝑖𝑐𝑛+1...𝑐𝑚−10
| − 4𝑞1−𝑖𝑞0|Δ
𝑞−1
0
𝑐1...𝑐𝑛−1𝑖𝑐𝑛+1...𝑐𝑚−11
|
)︁
=
= ±4𝑞1−𝑖𝑞𝑖(𝑞1𝑞0 − 𝑞0𝑞1)
𝑚−1∏︁
𝑛 ̸=𝑗=1
𝑞𝑐𝑗 = 0.
А отже, враховуючи адитивну властивiсть iнтеграла, маємо
1∫︁
0
𝑟𝑛(𝑥)𝑟𝑚(𝑥)𝑑𝑥 = 0.
При 𝑛 = 𝑚 маємо
𝑟𝑛(𝑥)𝑟𝑚(𝑥) = 𝑟2𝑛(𝑥) = 𝑟20
(︁
Δ
𝑞−1
0
𝛼𝑛+1𝛼𝑛+2...
)︁
=
=
{︃
4𝑞21 , якщо 𝑥 ∈ Δ
𝑞−1
0
𝑐1...𝑐𝑛0
,
4𝑞20 , якщо 𝑥 ∈ Δ
𝑞−1
0
𝑐1...𝑐𝑛1
,
Про одне узагальнення системи функцiй Радемахера та Уолша 153
для довiльного набору (𝑐1, 2 . . . , 𝑐𝑛) ∈ 𝐴𝑛2 .
Тодi
1∫︁
0
𝑟2𝑛(𝑥)𝑑𝑥 = 4𝑞21
∑︁
𝑐1∈𝐴2
. . .
∑︁
𝑐2∈𝐴2
|Δ𝑞−1
0
𝑐1...𝑐𝑛0
|+
+ 4𝑞20
∑︁
𝑐1∈𝐴2
. . .
∑︁
𝑐2∈𝐴2
|Δ𝑞−1
0
𝑐1...𝑐𝑛1
| =
=
(︀
4𝑞21𝑞0 + 4𝑞20𝑞1
)︀ ∑︁
𝑐1∈𝐴2
. . .
∑︁
𝑐2∈𝐴2
|Δ𝑞−1
0
𝑐1...𝑐𝑛 | =
= 4𝑞1𝑞0 · 1 = 4𝑞0𝑞1.
Теорему доведено.
4 Узагальнення функцiй Уолша
Систему (послiдовнiсть) узагальнених функцiй Уолша {𝜔𝑛(𝑥)}∞𝑛=0
ми побудуємо з використанням традицiйної нумерацiї Пеллi. Покла-
демо 𝜔0(𝑥) ≡ 1. Для означення функцiї 𝜔𝑛(𝑥) число 𝑛 представляє-
ться у двiйковiй системi числення:
𝑛 = 2𝑘 + 𝜀𝑘−12
𝑘−1 + . . .+ 𝜀12
1 + 𝜀0, 𝜀𝑖 ∈ 𝐴2.
Звiдки можна бачити, що 2𝑘 ≤ 𝑛 < 2𝑘+1, де 𝑘 = 𝑘(𝑛). Тепер означуємо
функцiю 𝜔𝑛 рiвнiстю:
𝜔𝑛(𝑥) ≡
𝑘∏︁
𝑖=0
𝑟𝜀𝑖𝑖 (𝑥) = 𝑟𝑘(𝑥)
𝑘−1∏︁
𝑖=0
𝑟𝜀𝑖𝑖 (𝑥).
Наприклад, для 𝑛 = 1 = 1 · 20 маємо 𝜔1(𝑥) = 𝑟0(𝑥);
для 𝑛 = 2 = 1 · 21 + 0 · 20 = (10)2 маємо
𝜔2(𝑥) = 𝑟𝜀00 (𝑥)𝑟𝜀11 (𝑥) = 𝑟1(𝑥);
для 𝑛 = 4 = 1 · 22 + 0 · 21 + 0 · 20 = (100)2 маємо 𝜀0 = 0 = 𝜀1 i
𝜔4(𝑥) = 𝑟𝜀00 (𝑥)𝑟𝜀11 (𝑥)𝑟𝜀22 (𝑥) = 𝑟2(𝑥).
Бiльше того,
𝜔2𝑘 = 𝑟00(𝑥)𝑟
0
1(𝑥) . . . 𝑟
0
𝑘−1(𝑥)𝑟
1
𝑘(𝑥) = 𝑟𝑘(𝑥) = 𝑟0
(︁
Δ
𝑞−1
0
𝛼𝑘+1(𝑥)𝛼𝑘+2(𝑥)...
)︁
.
154 Працьовитий М. В., Маслова Ю. П.
Oскiльки 2𝑘 − 1 = 2𝑘−1 + 2𝑘−2 + . . .+ 21 + 1, то
𝜔2𝑘−1(𝑥) = 𝑟0(𝑥)𝑟1(𝑥) . . . 𝑟𝑘−1(𝑥). Для 𝑛 = 5 = 1 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20 =
(101)2 отримуємо
𝜔5(𝑥) = 𝑟10(𝑥)𝑟
0
1(𝑥)𝑟
1
2(𝑥) = 𝑟0(𝑥)𝑟2(𝑥) =
= 𝑟0
(︁
Δ
𝑞−1
0
𝛼1(𝑥)𝛼2(𝑥)...
)︁
𝑟0
(︁
Δ
𝑞−1
0
𝛼3(𝑥)𝛼4(𝑥)...
)︁
=
= (−1)𝛼1(𝑥)+𝛼3(𝑥)22𝑞1−𝛼1(𝑥)𝑞1−𝛼3(𝑥).
Зауваживши, що при 2𝑘 ≤ 𝑛 < 2𝑘+1 виконується 𝑛− 2𝑘 =
𝑘−1∑︀
𝑖=0
𝜀𝑖2
𝑖
i тому маємо
𝜔𝑛(𝑥) = 𝑟𝑘(𝑥)𝜔𝑛−2𝑘(𝑥).
Зокрема,
𝑟𝑘(𝑥) = 𝜔2𝑘(𝑥).
Зауваження 4.1. Узагальнення функцiй Уолша, як i самi функцiї
Уолша, у точках розриву неперервнi справа. Але класичнi функцiї
Уолша набувають лише двох значень 1 i -1, що не збереглося для
щойно введеного їх узагальнення.
Теорема 4.1. Якщо 2𝑘 ≤ 𝑛 < 2𝑘+1, тобто
𝑛 = 2𝑘 + 𝜀𝑘−12
𝑘−1 + . . .+ 𝜀12 + 𝜀02
0,
то узагальнена функцiя Уолша
𝜔𝑛(𝑥) = 𝑟𝑘(𝑥)𝑟
𝜀𝑘−1
𝑘−1 (𝑥) . . . 𝑟
𝜀0
0 (𝑥)
на кожному цилiндрi (𝑘+1)-го рангу є сталою, причому на цилiндрi
Δ
𝑞−1
0
𝑐1𝑐2...𝑐𝑘𝑐𝑘+1 вона набуває значення
𝜔𝑛(𝑥) = (−1)𝑐2𝑠𝑞𝑐0𝑞
𝑠−𝑐
1 , (5)
де 𝑠 = 1+ 𝜀𝑘−1 + . . .+ 𝜀1 + 𝜀0–кiлькiсть цифр "1"у зображеннi числа
𝑛,
𝑐 = 𝜀0𝑐1 + 𝜀1𝑐2 + . . .+ 𝜀𝑘−1𝑐𝑘 + 𝑐𝑘+1 – кiлькiсть 𝑗 таких, що 𝜀𝑗 = 1 =
𝑐𝑗+1 серед 0, 1, . . . , 𝑘.
Про одне узагальнення системи функцiй Радемахера та Уолша 155
Доведення. Оскiльки
𝑟𝜀𝑖𝑖 (𝑥) =
{︃
1, якщо 𝜀𝑖 = 0,
𝑟𝑖(𝑥), якщо 𝜀𝑖 = 1,
то
𝑟𝜀𝑖𝑖 (𝑥) =
⎧⎪⎨⎪⎩
1, якщо 𝜀𝑖 = 0,
2𝑞1, якщо 𝑐𝑖+1 = 0 ∧ 𝜀𝑖 = 1,
−2𝑞0, якщо 𝑐𝑖+1 = 1 ∧ 𝜀𝑖 = 1.
Тодi при 𝜀𝑖 = 1
𝑟𝜀𝑖𝑖 (𝑥) =
{︃
2𝑞1, якщо 𝑥 ∈ Δ
𝑞−1
0
𝑐1...𝑐𝑖0
,
−2𝑞1, якщо 𝑥 ∈ Δ
𝑞−1
0
𝑐1...𝑐𝑖1
,
а, отже, для 𝑥 ∈ Δ
𝑞−1
0
𝑐1...𝑐𝑖𝑐𝑖+1
𝑟𝜀𝑖𝑖 (𝑥) = (−1)𝜀𝑖𝜀𝑖+1 · 2𝜀𝑖𝑞𝜀𝑖𝑐𝑖+1
0 𝑞
𝜀𝑖−𝜀𝑖𝑐𝑖+1
1 .
Тому для 𝑥 ∈ Δ
𝑞−1
0
𝑐1...𝑐𝑖...𝑐𝑗 при 𝑖 < 𝑗 маємо
𝑟𝜀𝑖𝑖 (𝑥)𝑟
𝜀𝑗
𝑗 (𝑥) = (−1)𝜀𝑖𝑐𝑖+1+𝜀𝑗𝑐𝑗+12𝜀𝑖+𝜀𝑗 ·
· 𝑞𝜀𝑖𝑐𝑖+1+𝜀𝑗𝑐𝑗+1
0 𝑞
(𝜀𝑖+𝜀𝑗)−(𝜀𝑖𝑐𝑖+1+𝜀𝑗𝑐𝑗+1)
1 .
Звiдки i слiдує рiвнiсть (5).
Теорема 4.2. Для узагальненої функцiї Уолша 𝜔𝑛 при 2𝑘 ≤ 𝑛 <
2𝑘+1, тобто
𝑛 = 2𝑘 + 𝜀𝑘−12
𝑘−1 + . . .+ 𝜀12 + 𝜀02
0
i кожного цилiндра Δ
𝑞−1
0
𝑐1...𝑐𝑘𝑐𝑘+1 має мiсце рiвнiсть
∫︁
𝑥∈Δ
𝑞
−1
0
𝑐1...𝑐𝑘𝑐𝑘+1
𝜔𝑛(𝑥)𝑑𝑥 = 0 =
1∫︁
0
𝜔𝑛(𝑥)𝑑𝑥. (6)
156 Працьовитий М. В., Маслова Ю. П.
Доведення. Оскiльки∫︁
𝑥∈Δ
𝑞
−1
0
𝑐1...𝑐𝑘𝑐𝑘+1
𝜔𝑛(𝑥)𝑑𝑥 =
∫︁
𝑥∈Δ
𝑞
−1
0
𝑐1...𝑐𝑘0
𝜔𝑛(𝑥)𝑑𝑥+
∫︁
𝑥∈Δ
𝑞
−1
0
𝑐1...𝑐𝑘1
𝜔𝑛(𝑥)𝑑𝑥,
то, враховуючи попередню теорему, маємо∫︁
𝑥∈Δ
𝑞
−1
0
𝑐1...𝑐𝑘𝑐𝑘+1
𝜔𝑛(𝑥)𝑑𝑥 = (−1)𝑐2𝑠𝑞𝑐0𝑞
𝑠−𝑐
1 · |Δ𝑞−1
0
𝑐1...𝑐𝑘0
|+
+ (−1)𝑐+12𝑠𝑞𝑐+1
0 𝑞𝑠−𝑐−1
1 · |Δ𝑞−1
0
𝑐1...𝑐𝑘1
| =
=
⎛⎝(−1)𝑐2𝑠𝑞𝑐0𝑞
𝑠−𝑐−1
1
𝑘∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗
⎞⎠ (𝑞1𝑞0 − 𝑞0𝑞1) = 0.
Друга з рiвностi (6) є наслiдком першої та адитивної властивостi
iнтеграла.
Зауваження 4.2. Якщо 𝑛 < 𝑚,
(︀
1𝜀′𝑘−1𝜀
′
𝑘−2 . . . 𝜀
′
1𝜀
′
0
)︀
2
– двiйкове зо-
браження числа 𝑛, а (1𝜀𝑚−1𝜀𝑚−2 . . . 𝜀1𝜀0)2 – двiйкове зображення чи-
сла 𝑚 i при цьому 𝜀𝑗𝜀
′
𝑖 = 0 для всiх 𝑗 ≤ 𝑘 − 1, то очевидно, що
добуток 𝜔𝑛𝜔𝑚 функцiй Уолша є функцiєю Уолша з номером 𝑙 =
(1𝜀𝑚−1 . . . 𝜀𝑘+11𝛿𝑘−1𝛿𝑘−1 . . . 𝛿1𝛿0)2, де 𝛿𝑗 = 𝜀′𝑗 + 𝜀𝑗 , 𝑗 = 1, 𝑘 − 1. Для
таких 𝑛 i 𝑚
1∫︁
0
𝜔𝑛(𝑥)𝜔𝑚(𝑥) = 0.
[1] Беспалов М. С. Перестановки системы Уолша, сохраняющие констан-
ты Лебега // Матем. заметки. – 2000. – том 68. – выпуск 1, С. 36–48.
[2] Беспалов М. С. Собственные подпространства дискретного преобра-
зования Уолша // Пробл. передачи информ. – 2010. – том 46, выпуск
3, С. 60–79.
[3] Беспалов М. С. Явный вид ядра Дирихле для рядов и преобразований
Уолша // Матем. сб. – 2005. – том 196, номер 7, C. 3–26.
[4] Беспалов М. С., Скляренко В. А. Функции Уолша и их приложения.
– Владимир: Изд-во ВлГУ, 2012. –– 35 с.
[5] Голубов В. И., Ефимов А. В., Скворцов В. А. Ряды и преобразования
Уолша: теория и применение. – М.: Наука, 1987. – 344 с.
Про одне узагальнення системи функцiй Радемахера та Уолша 157
[6] Працевитый Н. В. Случайные величины с независимыми 𝑄2-
символами // Асимптотические методы в исследовании стохастиче-
ских моделей. – Киев: Ин-т математики АН УССР, 1987. – С. 92–102.
[7] Працьовитий М. В. Фрактальний пiдхiд у дослiдженнях сингулярних
розподiлiв. – К.: Вид-во НПУ iменi М. П. Драгоманова, 1998. – 296 с.
[8] Працьовитий М. В. Геометрiя класичного двiйкового зображення дiй-
сних чисел. – К.: Вид-во НПУ iменi М. П. Драгоманова, 2012. – 68 с.
[9] Rademacher H. Einige S𝑎̈tze 𝑢̈ber Reihen von allgemeinen Orthogonal
funktionen. – // Math. Ann. – 1922. – 87. – P.112-138.
[10] Walsh J. L. A closed set of normal orthogonal funktions // Amer. J. Math.
– 1923. – 45. – P. 5–24.
1. Луковський І.О., Гаврилюк І.О., Василик В.Б., Ситник Д.О.
2. Біленко В. І., Божонок К. В., Дзядик С. Ю., Стеля О. Б.
Інтегро–апроксимаційний алгоритм
Вступ
Постановка задачі
Алгоритм
Похибка алгоритму
Застосування a–методу для алгебраїчно–нелінійних рівнянь гіперболічного типу
Задача Дирихле для алгебраїчно–нелінійних рівнянь еліптичного типу на прямокутнику
Наближений розв'язок початкової задачі для алгебраїчно–нелінійних рівнянь параболічного типу на прямокутнику
Сплайн–алгоритм
Монотонна схема для рівняння конвекції–дифузії
Висновки
3. Василик В.Б., Макаров В.Л., Ситник Д.О.
Вступ
Регуляризація та явне зображення розв'язку
Вибір контуру інтегрування
Чисельний метод
4. Веселовська Г.М.
5. Грушковская В.В.
Введение
Построение модельной системы
Условия устойчивости
Оценка скорости убывания решений
Пример: оценка скорости затухания колебаний маятниковой системы с частичной диссипацией
Выводы
6. Дзюбенко Г.А.
Вступ
Допоміжні факти
Доведення Теореми ??
7. Діденко Ю.Ф., Денисенко В.І.
8. Елишевич М.А.
Постановка задачи
Полученный результат
Пример
9. Константинов А.В., Лимарченко О.С., Кинебас К.В., Паранькина О.Ю.
Введение
Объект исследования и математическая модель
Результаты вычислительных экспериментов
Выводы
10. Мазко О.Г., Кусій С.М.
Вступ
Допоміжні твердження
Лінійні системи з керованими і спостережуваними виходами
Статичний регулятор по вимірюваному виходу
Динамічний регулятор
Алгоритм побудови динамічного регулятора
Приклад. Гасіння коливань лінійного осцилятора.
Висновок
11. Працьовитий М. В., Маслова Ю. П.
Вступ
Функція Радемахера і ряди Уолша
Узагальнення функцій Радемахера
Узагальнення функцій Уолша
12. Працьовитий М.В., Чуйков А.С.
Вступ
Оператори лівостороннього та правостороннього зсуву елементів ланцюгового дробу
Інші функції, пов'язані з оператором T(x)
13. Новицький В.В., Зінчук М.О., Коломійчук О.П., Тетерятник О.В.
Вступ
Оптимальне керування лінійними неперервними майже консервативними системами
Оптимальне керування лінійними дискретними майже консервативними системами
14. Осауленко Р. Ю.
Вступ
Перетворення, які зберігають хвости Qs–зображення чисел
Група перетворень, які зберігають частоти цифр Qs–зображення числа
Приклад функції, яка зберігає частоти, але не зберігає хвости зображення Qs-ірраціональних чисел
15. Слинько В.І., Кравчук С.В.
Постановка задачі.
Основний результат.
Умови стійкості
16. Солодун А. В.
Постановка задачи
Численные результаты
17. Ситник Д.О.
Вступ
Sinc–апроксимація
Sinc-апроксимація функції за її значеннями поза інтерполяційною сіткою
18. Сосницький С.П.
Вступ
Про рівняння збуреного руху в околі стаціонарних лагранжевих трикутників
Теорема про орбітальну нестійкість лагранжевих стаціонарних рухів у задачі трьох тіл
Висновок
19. Сосницький С.П.
Вступ
Про достатні умови відсутності осцилюючих симетричних рухів
20. Чернецька Л.О.
21. Timokha A.N.
Statement
Asymptotic steady-state solutions of (??)–(??)
The reciprocating excitation type
The axisymmetric elliptic excitation type
The oblique elliptic excitation type
Conclusions
22. Shlepakov L.N.
Main relationships for a non-inflated system
Construction of enlarged systems
Defining the task mathematical programming
Case of multiple channels with same probability characteristics in the same system of channels.
23. Shidlich A.L.
Approximative characteristics
Main results
Order estimates for some functionals and their applications
Proof of Theorems ?? and ??.
24. Луковський І.О., Стороженко В.О.
25. Луковський І.О., Пустовойтов М.О.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-49 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:01:36Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/a9/6a85aff9162b43183994096ecae6a0a9.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-492018-02-13T11:57:10Z On a generalization of the system of functions of Rademacher and Walsh Об одном обобщении системы функций Радемахера и Уолша Про одне узагальнення системи функцiй Радемахера та Уолша Pratsevity, M. V. Maslova, Yu. P. Працевитый, М. В. Маслова, Ю. П. Працьовитий, М. В. Маслова, Ю. П. In the paper, we propose generalizations of the Rademacher and Walsh functions. They are based on $????_2$-representation of real numbers generalizing classic binary representation of numbers $????\in[0;1]$. We study integral properties of these functions. In particular, we prove that generalized Rademacher functions form an orthogonal system of functions. For any generalized Walsh function, its analytic expression is found. В работе предлагаются обобщения функций Радемахера и Уолша, которые основываются на $????_2$ –изображениях действительных чисел, что является обобщением классического двоичного представления чисел $???? \in [0;1]$. Исследуются интегральные свойства этих функций, в частности доказано, что обобщенные функции Радемахера образуют ортогональную систему функций. Для каждой обобщенной функции Уолша найдено ее аналитическое выражение. У роботі пропонуються узагальнення функцій Радемахера і Уолша, які ґрунтуються на $????_2$-зображення дійсних чисел, що є узагальненням класичного двійкового представлення чисел $???? \in [0; 1]$. Досліджуються інтегральні властивості цих функцій, зокрема доведено, що узагальнені функції Радемахера утворюють ортогональну систему функцій. Для кожної узагальненої функції Уолша знайдено її аналітичний вираз. Інститут математики НАН України 2017-12-22 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/49 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 13 No. 3 (2016): Mathematical problems of mechanics and computational mathematics; 146-157 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 13 № 3 (2016): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 146-157 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 13 № 3 (2016): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 146-157 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/49/45 Авторське право (c) 2016 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Pratsevity, M. V. Maslova, Yu. P. Працевитый, М. В. Маслова, Ю. П. Працьовитий, М. В. Маслова, Ю. П. On a generalization of the system of functions of Rademacher and Walsh |
| title | On a generalization of the system of functions of Rademacher and Walsh |
| title_alt | Об одном обобщении системы функций Радемахера и Уолша Про одне узагальнення системи функцiй Радемахера та Уолша |
| title_full | On a generalization of the system of functions of Rademacher and Walsh |
| title_fullStr | On a generalization of the system of functions of Rademacher and Walsh |
| title_full_unstemmed | On a generalization of the system of functions of Rademacher and Walsh |
| title_short | On a generalization of the system of functions of Rademacher and Walsh |
| title_sort | on a generalization of the system of functions of rademacher and walsh |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/49 |
| work_keys_str_mv | AT pratsevitymv onageneralizationofthesystemoffunctionsofrademacherandwalsh AT maslovayup onageneralizationofthesystemoffunctionsofrademacherandwalsh AT pracevityjmv onageneralizationofthesystemoffunctionsofrademacherandwalsh AT maslovaûp onageneralizationofthesystemoffunctionsofrademacherandwalsh AT pracʹovitijmv onageneralizationofthesystemoffunctionsofrademacherandwalsh AT maslovaûp onageneralizationofthesystemoffunctionsofrademacherandwalsh AT pratsevitymv obodnomobobŝeniisistemyfunkcijrademaheraiuolša AT maslovayup obodnomobobŝeniisistemyfunkcijrademaheraiuolša AT pracevityjmv obodnomobobŝeniisistemyfunkcijrademaheraiuolša AT maslovaûp obodnomobobŝeniisistemyfunkcijrademaheraiuolša AT pracʹovitijmv obodnomobobŝeniisistemyfunkcijrademaheraiuolša AT maslovaûp obodnomobobŝeniisistemyfunkcijrademaheraiuolša AT pratsevitymv proodneuzagalʹnennâsistemifunkcijrademaheratauolša AT maslovayup proodneuzagalʹnennâsistemifunkcijrademaheratauolša AT pracevityjmv proodneuzagalʹnennâsistemifunkcijrademaheratauolša AT maslovaûp proodneuzagalʹnennâsistemifunkcijrademaheratauolša AT pracʹovitijmv proodneuzagalʹnennâsistemifunkcijrademaheratauolša AT maslovaûp proodneuzagalʹnennâsistemifunkcijrademaheratauolša |