Simplest functions associated with operators of the left-side shift of elements of the chain image of numbers
Properties of functions of type $\tau_????(????) = \[????(????_1(????), ????_2(????), ..., ????_????(????)), ????_{????+1}(????), ????_{????+2}(???? ), ...]$, where `$\[????_1, ????_2, ..., ????_????, ...\]$ is regular continued fraction expansion of $???? \in (0; 1]$ and $????(????_1, ????_2, ...,...
Saved in:
| Date: | 2017 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/50 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552575916572672 |
|---|---|
| author | Pratsevity, M. V. Chuikov, A. S. Працевитый, М. В. Чуйков, A. C. Працьовитий, М. В. Чуйков, A. C. |
| author_facet | Pratsevity, M. V. Chuikov, A. S. Працевитый, М. В. Чуйков, A. C. Працьовитий, М. В. Чуйков, A. C. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "М. В. Працьовитий",
"institution": "Інститут математики НАН України"
},
{
"author": "A. C. Чуйков",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Pratsevity, M. V. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-13T11:57:10Z |
| description | Properties of functions of type $\tau_????(????) = \[????(????_1(????), ????_2(????), ..., ????_????(????)), ????_{????+1}(????), ????_{????+2}(???? ), ...]$, where `$\[????_1, ????_2, ..., ????_????, ...\]$ is regular continued fraction expansion of $???? \in (0; 1]$ and $????(????_1, ????_2, ..., ????_????)$ is a natural function of natural arguments $????_1, ????_2, ..., ????_????$ are studied. Their relation with left-shift $????(????)$ and right-shift $\delta_????(????)$ continued fractions elements operators are examined. It is shown that this function are correctly defined, piecewise continuous and piecewise monotonic. Differential and integral properties of these function are also studied. Continuous transformation of a segment $[0;1]$ is constructed. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:01:37Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2016, т. 13, № 3, 158–173
УДК 511.72
Найпростiшi функцiї, пов’язанi з
оператором лiвостороннього зсуву
елементiв ланцюгового зображення
чисел
М.В. Працьовитий 1,2, А.С. Чуйков 3
1 Iнститут математики НАН України, Київ;
2 Нацiональний педагогiчний унiверситет iменi
М. П. Драгоманова, Київ
3 Iнститут математики НАН України, Київ;
chyikov.artem@gmail.com
Properties of functions of type
𝜏𝑓 (𝑥) = [𝑓(𝑎1(𝑥), 𝑎2(𝑥), . . . , 𝑎𝑘(𝑥)), 𝑎𝑘+1(𝑥), 𝑎𝑘+2(𝑥), . . .],
where [𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑛, . . .] is regular continued fraction expansion of 𝑥 ∈
(0; 1] and 𝑓(𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑘) is a natural function of natural arguments
𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑘 are studied. Their relation with left-shift 𝑇 (𝑥) and right-
shift 𝛿𝑖(𝑥) continued fractions elements operators are examined. It is shown
that this function are correctly defined, piecewise continuous and piecewise
monotonic. Differential and integral properties of these function are also
studied. Continuous transformation of a segment [0; 1] is constructed.
Изучаются свойства функций вида
𝜏𝑓 (𝑥) = [𝑓(𝑎1(𝑥), 𝑎2(𝑥), . . . , 𝑎𝑘(𝑥)), 𝑎𝑘+1(𝑥), 𝑎𝑘+2(𝑥), . . .],
где [𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑛, . . .] — разложение аргумента 𝑥 ∈ (0; 1] в элементар-
ную цепную дробь, а 𝑓(𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑘) — натуральная функция нату-
ральных аргументов 𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑘. Рассматривается их связь с опера-
торами левостороннего 𝑇 (𝑥) и правостороннего 𝛿𝑖(𝑥) сдвигов элемен-
тов цепной дроби. Показано, что эти функции корректно определены,
кусочно-непрерывны и кусочно-монотонны. Изучаются также диффе-
ренциальные и интегральные свойства этих функций. Строится непре-
рывное преобразование отрезка [0; 1].
c○ Працьовитий М.В., Чуйков А.С., 2016
Найпростiшi функцiї, пов’язанi з оператором лiвостороннього . . . 159
1 Вступ
Нагадаємо, що елементарним ланцюговим дробом називають вираз
вигляду
𝑎0 +
1
𝑎1 +
1
𝑎2 +
. . . +
1
𝑎𝑛 +
. . .
≡ [𝑎0; 𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑛, . . .], (1)
де 𝑎0 ∈ 𝑍, 𝑎𝑛 ∈ 𝑁,𝑛 = 1, 2, . . . , при цьому число 𝑎𝑛 називається 𝑛-м
його елементом. Ланцюговий дрiб зi скiнченною кiлькiстю елементiв
називається скiнченним. Будь-яке iррацiональне число можна пред-
ставити нескiнченним ланцюговим дробом єдиним чином. Причому,
число можна подати у виглядi нескiнченного перiодичного ланцюго-
вого дробу тодi i лише тодi, коли воно є iррацiональним розв’язком
квадратного рiвняння з цiлими коефiцiєнтами. Кожне рацiональне
число має два ланцюговi зображення, кожне з яких є скiнченним.
Представлення чисел ланцюговими дробами має широке застосу-
вання у рiзних галузях математики, зокрема у теорiї дiофантових
наближень та теорiї чисел. Воно використовується також у моделю-
ваннi математичних об’єктiв з нетривiальними локальними власти-
востями, зокрема, фрактальними (множин, функцiй, мiр, розподiлiв
випадкових величин, динамiчних систем тощо).
Функцiї з всюди щiльною множиною особливостей (максимумiв,
мiнiмумiв, недиференцiйовностi, сингулярностi тощо) не виражаю-
ться формулами зi скiнченною множиною «елементарних» операцiй.
Геометрично-описовий спосiб їх задання має суттєвi змiстовнi недолi-
ки, i його можна вважати сьогоднi архаїчним. Вони задаються також
методом згущення особливостей, системами функцiональних рiвнянь,
перетворювачами символiв одного зображення числа в iнше тощо. Їх
дослiдженню значно сприяють знання геометрiї самого зображення
(геометричного змiсту цифр, властивостей цилiндричних та хвосто-
вих множин, метричних спiввiдношень тощо). Вона може бути вiд-
носно простою, а саме: «самоподiбною», «N-самоподiбною», автомо-
дельною або не володiти жодною з цих властивостей.
Зображення чисел елементарними ланцюговими дробами має не-
самоподiбну геометрiю та породжує складнi метричнi вiдношення. Це
ускладнює вивчення функцiй, якi визначенi у термiнах ланцюгових
160 Працьовитий М.В., Чуйков А.С.
дробiв i мають непросту локальну структуру (континуальну множи-
ну особливостей).
Метричнi, ймовiрнiснi, фрактальнi та iншi властивостi математи-
чних об’єктiв, заданих за допомогою представлення чисел ланцюго-
вими дробами, вивчались багатьма вiтчизняними та закордонними
вченими, зокрема, М.В. Працьовитим [11], [9], О.Л. Лещинським [8],
C. Faivre [2], S. Kalpazidou [4]. Широко вiдомими i загальновизнаними
є монографiї О.Я. Хiнчина [12], В.I. Арнольда [7], C.D. Olds [5].
Елементи ланцюгового дробу (1) визначаються з рiвностi:
𝑎𝑛 = 𝑎𝑛(𝑥) =
[︂
1
𝑇𝑛−1(𝑥)
]︂
, 𝑇𝑛−1(𝑥) ̸= 0,
де 𝑇 : [0; 1) → [0; 1) — перетворення Гаусса, задане формулою:
𝑇 (𝑥) :=
1
𝑥
−
[︂
1
𝑥
]︂
, 0 < 𝑥 < 1, 𝑇 (0) := 0, 𝑎1(𝑥) = [1/𝑥]. (2)
Це перетворення «стирає» перший елемент ланцюгового дробу:
𝑇 ([0; 𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑛, . . .]) = [0; 𝑎2, 𝑎3, . . . , 𝑎𝑛+1, . . .],
i ми називаємо його оператором лiвостороннього зсуву елементiв
ланцюгового дробу. Оператор 𝑇 грає важливу роль у теорiї дина-
мiчних систем i фiгурує у працях багатьох дослiдникiв, таких як:
F. Schweiger [6], Арнольд [7] та iн. Зокрема, доведено, що оператор 𝑇
володiє ергодичною iнварiантною мiрою, яка є абсолютно неперерв-
ною вiдносно мiри Лебега:
𝜇 =
1
ln 2
· 𝑑𝑥
1 + 𝑥
.
Застосування до цiєї мiри ергодичної теореми Бiркгофа-Хiнчина
дає iснування сталої Хiнчина, яка означає наступне: середнє геоме-
тричне перших 𝑛 елементiв елементарного ланцюгового дробу майже
скрiзь прямує при 𝑛→ ∞ до абсолютної сталої [12]:
𝑛
√
𝑎1𝑎1 · · · 𝑎𝑛 →
∞∏︁
𝑟=1
(︂
1 +
1
𝑟(𝑟 + 2)
)︂log2 𝑟
≈ 2, 6.
Крiм того, зi сталою Хiнчина тiсно пов’язана теорема Кузьмiна, яка
стверджує, що ймовiрнiсть появи числа 𝑘 на мiсцi 𝑎𝑛 дається насту-
пною формулою [7]:
𝑝𝑘 =
1
ln 2
ln
(︂
1 +
1
𝑘(𝑘 + 2)
)︂
.
Найпростiшi функцiї, пов’язанi з оператором лiвостороннього . . . 161
На основi оператора 𝑇 можливою є побудова нових видiв ланцю-
гових дробiв. Так, вiдображення 𝑇𝐸 : [0; 1) → [0; 1), задане формулою
𝑇𝐸(𝑥) =
1
𝑎1(𝑥)
𝑇 (𝑥), 𝑥 ̸= 0, 𝑇𝐸(0) := 0, (3)
породжує ланцюговi дроби вигляду
1
𝑏1 +
𝑏1
𝑏2 +
𝑏2
𝑏3 +
. . .
= [[0; 𝑏1, 𝑏2, . . . , 𝑏𝑛, . . .]], 𝑏𝑛 ∈ 𝑁, 𝑏𝑛 ≤ 𝑏𝑛+1, (4)
якi називаються ланцюговими дробами Енгеля. Вони є узагальнен-
нями рядiв Енгеля. В силу останньої нерiвностi перiодичнi ланцюговi
дроби такого виду мають у своєму перiодi лише одне число. При-
чому iснує нескiнченно багато квадратичних iррацiональностей, якi
розкладаються у неперiодичнi ланцюговi дроби.
Розклад (4) отримується за формулами:
𝑏1 = 𝑏1(𝑥) := [1/𝑥], 𝑏𝑛 = 𝑏𝑛(𝑥) := 𝑏1
(︀
𝑇𝑛−1
𝐸 (𝑥)
)︀
, (5)
де 𝑛 ≥ 2, 𝑇𝑛−1
𝐸 (𝑥) ̸= 0. Наприклад, розкладемо у ланцюговий дрiб
Енгеля число 𝑥 = −
3
14
+
3
7
√
2. Використовуючи формули (3) та (5),
послiдовно отримуємо:
𝑏1(𝑥) =
[︃
1
𝑥
]︃
=
[︃
2
3
+
4
3
√
2
]︃
= 2,
𝑇 1
𝐸(𝑥) =
1
𝑏1
𝑇 (𝑥) =
1
2
(︃
2
3
+
4
3
√
2− 2
)︃
= −
2
3
+
2
3
√
2,
𝑏2(𝑥) = 𝑏1
(︀
𝑇 1
𝐸(𝑥)
)︀
= 3, 𝑇 2
𝐸(𝑥) =
1
3
(︃
3
2
+
3
2
√
2− 3
)︃
=
√
2
2
−
1
2
,
𝑏3(𝑥) = 𝑏1
(︀
𝑇 2
𝐸(𝑥)
)︀
= 4, 𝑇 3
𝐸(𝑥) =
1
4
(︁
2 + 2
√
2− 4
)︁
=
√
2
2
−
1
2
= 𝑇 2
𝐸(𝑥),
i далi процес зациклюється. Отже, −
3
14
+
3
7
√
2 = [[0; 2, 3, 4]]. Причому,
розклад у елементарний ланцюговий дрiб має вигляд: [0; 2, 1, 1, 4, 3].
162 Працьовитий М.В., Чуйков А.С.
Вiдомий аналогiчний розклад Ейлера числа 𝑒: 𝑒 = [2; 1, 2, 3, 4, . . .].
Далi вивчаються оператори, якi «зберiгають хвости» зображення
чисел елементарними ланцюговими дробами.
2 Оператори лiвостороннього та правостороннього
зсуву елементiв ланцюгового дробу
Надалi будемо розглядати лише числа з пiвiнтервалу (0; 1], при цьому
їх розклад у елементарний ланцюговий дрiб позначатимемо
𝑥 = [𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑛] або 𝑥 = [𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑛, . . .]
для рацiональних та iррацiональних чисел вiдповiдно.
Важливим в геометрiї зображення чисел ланцюговими дробами
є поняття цилiндра. Нагадаємо, що цилiндром рангу m з основою
𝑐1𝑐2 · · · 𝑐𝑚 називається множина
Δ𝑐.𝑓.
𝑐1𝑐2···𝑐𝑚 = {𝑥|𝑥 = [𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑚, 𝑎𝑚+1, . . .], 𝑎𝑖(𝑥) = 𝑐𝑖, 𝑖 = 1, 2, . . . ,𝑚}.
Цилiндром є пiвiнтервал
([𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑚 + 1], [𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑚]] , якщо m – непарне,
([𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑚], [𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑚 + 1]] , якщо m – парне.
Лема 2.1. Оператор зсуву 𝑇 (𝑥) є кусково-неперервною функцiєю,
яка на цилiндрах першого рангу аналiтично задається формулою:
𝑇 (𝑥) =
1
𝑥
− 𝑎1(𝑥). (6)
В кожнiй точцi виду 1
𝑖+1 , 𝑖 ∈ 𝑁 функцiя має розрив першого роду зi
стрибком 1.
Доведення. Дiйсно, оскiльки 𝑥 =
1
𝑎1(𝑥) +
1
𝑎2(𝑥) +
. . .
=
1
𝑎1(𝑥) + 𝑇 (𝑥)
,
то 𝑇 (𝑥) =
1
𝑥
− 𝑎1(𝑥). Стрибок функцiї у точках виду 𝑥 = [𝑖+1], 𝑖 ∈ 𝑁
дорiвнює:
Δ𝑇 ([𝑖+ 1]) =
⃒⃒⃒⃒
⃒ lim
𝑥→ 1
𝑖+1−0
𝑇 (𝑥)− lim
𝑥→ 1
𝑖+1+0
𝑇 (𝑥)
⃒⃒⃒⃒
⃒ =
Найпростiшi функцiї, пов’язанi з оператором лiвостороннього . . . 163
=
⃒⃒⃒⃒
⃒ lim
𝑥→ 1
𝑖+1−0
𝑎1(𝑥)− lim
𝑥→ 1
𝑖+1+0
𝑎1(𝑥)
⃒⃒⃒⃒
⃒ = (𝑖+ 1)− 𝑖 = 1.
Застосування оператора зсуву 𝑇 𝑛 разiв породжує оператор 𝑇𝑛:
𝑇𝑛([𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑛, . . .]) = [𝑎𝑛+1, 𝑎𝑛+2, . . .] =
𝑞𝑛𝑥− 𝑝𝑛
𝑝𝑛−1 − 𝑞𝑛−1𝑥
,
де
𝑝𝑛
𝑞𝑛
= [𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑛] – пiхiдний дрiб порядку 𝑛. Зокрема,
𝑇 2(𝑥) = −
(𝑎1(𝑥)𝑎2(𝑥) + 1)𝑥− 𝑎2(𝑥)
𝑥𝑎1(𝑥)− 1
. (7)
Нехай 𝑖 – натуральний параметр. Означимо клас функцiй, визна-
чених у рацiональних та iррацiональних точках пiвнiнтервалу (0; 1]
рiвностями:
𝛿𝑖(𝑥) = [𝑖, 𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑛], 𝛿𝑖(𝑥) = [𝑖, 𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑛, . . .], 𝑖 = 1, 2, . . . .
вiдповiдно, причому, за неперервнiстю покладемо 𝛿𝑖(0) :=
1
𝑖
. Очеви-
дними є рiвностi: 𝑇 (𝛿𝑖(𝑥)) = 𝑥 i 𝛿𝑎1(𝑥) (𝑇 (𝑥)) = 𝑥.
Лема 2.2. Функцiя 𝛿𝑖(𝑥) має аналiтичний вираз:
𝛿𝑖(𝑥) =
1
𝑖+ 𝑥
i є стискуючим вiдображенням з коефiцiєнтом 1
𝑖2 та нерухомою
точкою 𝑥 = [𝑖].
Доведення. Оскiльки
|𝛿𝑖(𝑥1)− 𝛿𝑖(𝑥2)| =
⃒⃒⃒⃒
1
𝑖+ 𝑥1
− 1
𝑖+ 𝑥2
⃒⃒⃒⃒
=
=
⃒⃒⃒⃒
𝑥2 − 𝑥1
(𝑖+ 𝑥1)(𝑖+ 𝑥2)
⃒⃒⃒⃒
=
1
(𝑖+ 𝑥1)(𝑖+ 𝑥2)
|𝑥1 − 𝑥2| ,
та (𝑖+ 𝑥1)(𝑖+ 𝑥2) ≥ 𝑖2, то
164 Працьовитий М.В., Чуйков А.С.
|𝛿𝑖(𝑥1)− 𝛿𝑖(𝑥2)| ≤
1
𝑖2
|𝑥1 − 𝑥2| i 𝛿𝑖([𝑖]) = [𝑖].
Наслiдок 2.1. Функцiя 𝛿𝑖(𝑥) є неперервною та строго спадною,
причому множиною її значень є промiжок:[︂
1
𝑖+ 1
;
1
𝑖
)︂
.
Лема 2.3. Якщо 𝑖 — фiксоване натуральне число, то рiвняння
𝛿𝑖(𝑥) = 𝑇 (𝑥) (8)
має злiченну множину розв’язкiв:
𝑥(𝑖)𝑛 = [𝑛, 𝑖, 𝑛, 𝑖, . . .] = [𝑛, 𝑖], 𝑛 ∈ 𝑁,
кожен з яких є iррацiональним числом.
Доведення. На множинi iррацiональних чисел рiвняння (8) можна
записати у виглядi
[𝑖, 𝑎1(𝑥), 𝑎2(𝑥), . . .] = [𝑎2(𝑥), 𝑎3(𝑥), . . .]. (9)
З єдиностi зображення iррацiонального числа елементарним ланцю-
говим дробом, маємо одночасне виконання рiвностей:
𝑖 = 𝑎2, 𝑎1 = 𝑎3, 𝑎2 = 𝑎4 = 𝑖, 𝑎3 = 𝑎5 = 𝑎1, . . . ,
система яких рiвносильна (9). Звiдки бачимо, що при довiльному на-
туральному 𝑎1 = 𝑛 число 𝑥 = [𝑛, 𝑖] є розв’язком рiвняння (8).
Скiнченний ланцюговий дрiб не може бути розв’язком рiвняння
(8), оскiльки неможливою є рiвнiсть
[𝑖, 𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑛] = [𝑎2, . . . , 𝑎𝑛],
права частина якої мiстить на два елементи менше, нiж лiва.
Лема 2.4. Функцiя
𝑓(𝑥) =
{︃
𝛿1(𝑥), якщо 0 < 𝑥 ≤ 𝑥
(1)
1 ;
𝑇 (𝑥), якщо 𝑥
(1)
1 ≤ 𝑥 ≤ 1,
(10)
є неперервною та строго спадною на [0; 1], причому 𝑓(0) = 1 та
𝑓(1) = 0.
Найпростiшi функцiї, пов’язанi з оператором лiвостороннього . . . 165
Доведення. Дане твердження випливає з того, що функцiя 𝛿1(𝑥) є не-
перервною та строго спадною на вiдрiзку [0; 1], а 𝑇 (𝑥) є неперервною
i строго спадною на цилiндрах першого рангу, причому 𝛿1(0) = 1,
𝑇 (1) = 0 i 𝑥(1)1 ∈ Δ𝑐.𝑓.
1 .
Означення Кажуть, що функцiя 𝜙(𝑥), яка визначена на вiдрiз-
ку [0; 1] i набуває значень з [0; 1], зберiгає хвости ланцюгового зо-
браження чисел, якщо для будь-якого 𝑥 ∈ (0; 1] iснують такi цiлi
невiд’ємнi числа 𝑘 = 𝑘(𝑥) та 𝑚 = 𝑚(𝑥), що мають мiсце рiвностi
𝑎𝑘+𝑗(𝑥) = 𝑎𝑚+𝑗(𝜙(𝑥)) для кожного 𝑗 ∈ 𝑁 .
Найпростiшими функцiями, що зберiгають хвости ланцюгового
зображення є функцiї 𝑓(𝑥) = 𝑥, 𝑇 (𝑥) i 𝛿𝑖(𝑥). Для них числа 𝑘 i 𝑚
є абсолютними константами, причому для першої з них 𝑘 = 0 = 𝑚,
для другої 𝑘 = 1,𝑚 = 0, для третьої 𝑘 = 0,𝑚 = 1.
Нагадаємо, що перетворенням непорожньої множини 𝑋 назива-
ється бiєктивне вiдображення цiєї множини на себе. Кожне перетво-
рення вiдрiзка [0; 1] є функцiєю, але не кожна функцiя є перетворе-
нням. Неперервнi перетворення вiдрiзка [0; 1] вичерпуються строго
монотонними функцiями з множиною значень [0; 1] .
Функцiї 𝑇 (𝑥) та 𝛿𝑖(𝑥) не є перетвореннями вiдрiзка [0; 1], але фун-
кцiя, визначена рiвнiстю (10) є неперервним перетворенням [0; 1].
Теорема 2.1. Якщо 𝑠 – фiксоване натуральне число, (𝑛1, 𝑛2, . . . , 𝑛𝑠),
(𝑚1,𝑚2, . . . ,𝑚𝑠) – заданi набори натуральних чисел, що задовольня-
ють умови
1 < 𝑛1 < 𝑛2 < . . . < 𝑛𝑠, 𝑚1 > 𝑚2 > . . . > 𝑚𝑠 > 1,
то функцiя
𝑓(𝑥) =
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
𝛿1(𝑥), 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥
(1)
𝑚1 ;
𝑇 (𝑥), 𝑥
(1)
𝑚1 < 𝑥 ≤ 𝑥
(𝑛1)
𝑚1 ;
𝛿𝑛1
(𝑥), 𝑥
(𝑛1)
𝑚1 < 𝑥 ≤ 𝑥
(𝑛1)
𝑚2 ;
𝑇 (𝑥), 𝑥
(𝑛1)
𝑚2 < 𝑥 ≤ 𝑥
(𝑛2)
𝑚2 ;
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
𝛿𝑛𝑠
(𝑥), 𝑥
(𝑛𝑠)
𝑚𝑠 < 𝑥 ≤ 𝑥
(𝑛𝑠)
1 ;
𝑇 (𝑥), 𝑥
(𝑛𝑠)
1 < 𝑥 ≤ 1.
(11)
є неперервним строго спадним перетворенням [0; 1], що зберiгає хво-
сти зображення чисел елементарними ланцюговими дробами i фра-
ктальну розмiрнiсть Хаусдорфа-Безиковича борелiвських множин.
166 Працьовитий М.В., Чуйков А.С.
Доведення. Дане твердження випливає з того, що функцiя 𝛿𝑖(𝑥) є
неперервною та строго спадною на вiдрiзку [0; 1], а функцiя 𝑇 (𝑥) є
неперервною та строго спадною на цилiндрах першого рангу. Причо-
му, розв’язком рiвняння 𝛿𝑖(𝑥) = 𝑇 (𝑥) на цилiндрi рангу𝑚 є число 𝑥(𝑖)𝑚 .
Функцiї 𝑇 (𝑥) i 𝛿𝑖(𝑥) зберiгають фрактальну розмiрнiсть Хаусдорфа-
Безиковича борелiвських множин, тобто кожна борелiвська пiдмно-
жина [0; 1] i її образ мають однакову розмiрнiсть, що випливає з ана-
лiтичних виразiв цих функцiй i результатiв роботи [10]. Тому такою
є i функцiя 𝑓(𝑥), яка є «скiнченною комбiнацiєю» функцiй 𝑇 (𝑥) i
𝛿𝑖(𝑥).
Наслiдок 2.2. Функцiя 𝐹 (𝑥) = 1 − 𝑓(𝑥) є абсолютно неперервною
функцiєю розподiлу ймовiрностей на вiдрiзку [0; 1].
3 Iншi функцiї, пов’язанi з оператором 𝑇 (𝑥)
Нехай 𝑘 — деяке фiксоване натуральне число, 𝑓(𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑘) — на-
туральна функцiя натуральних змiнних 𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑘. Простими при-
кладами таких функцiй при 𝑘 = 2 є:
𝑓1(𝑛,𝑚) = 𝑛+𝑚, 𝑓2(𝑛,𝑚) = 𝑛 ·𝑚, 𝑓 𝑖3(𝑛,𝑚) = |𝑛−𝑚|+ 𝑖, 𝑖 ∈ 𝑁.
Означимо клас функцiй рiвнiстю:
𝜏𝑓 (𝑥) = 𝜏𝑓 ([𝑎1(𝑥), 𝑎2(𝑥), 𝑎3(𝑥), . . .]) =
= [𝑓(𝑎1(𝑥), 𝑎2(𝑥), . . . , 𝑎𝑘(𝑥)), 𝑎𝑘+1(𝑥), 𝑎𝑘+2(𝑥), . . .].
Лема 3.1. Функцiя 𝜏𝑓 (𝑥) задається формулою:
𝜏𝑓 (𝑥) =
1
𝑓(𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑘) + 𝑇 𝑘(𝑥)
(12)
i є неперервною та монотонно зростаючою (спадною) на кожному
iз цилiндрiв 𝑘 -го рангу при непарному (парному) значеннi 𝑘, мно-
жиною значень якої є пiвiнтервал(︃
1
𝑓(𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑘) + 1
,
1
𝑓(𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑘)
]︃
.
Найпростiшi функцiї, пов’язанi з оператором лiвостороннього . . . 167
Доведення. Рiвнiсть (12) є очевидною. Враховуючи, що функцiя
𝑓(𝑎1(𝑥), 𝑎2(𝑥), . . . , 𝑎𝑘(𝑥)) на кожному iз цилiндрiв 𝑘-го рангу є сталою,
а функцiя 𝑇 𝑘(𝑥) є зростаючою (спадною) при парному (непарному) 𝑘,
отримуємо, що функцiя 𝜏𝑓 (𝑥) є зростаючою (спадною) при непарному
(парному) 𝑘. Неперервнiсть функцiї 𝜏𝑓 (𝑥) випливає з неперервностi
оператора зсуву 𝑇 𝑘(𝑥). Множина значень випливає з рiвностей:
𝑇 𝑘 ([𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑘]) = 0, 𝑇 𝑘 ([𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑘 + 1]) = 1.
Лема 3.2. Якщо 𝑓 та 𝑔 — натуральнi функцiї натуральних аргу-
ментiв 𝑎1(𝑥), 𝑎2(𝑥), . . . , 𝑎𝑘(𝑥), то зв’язок мiж функцiями 𝜏𝑓 (𝑥) та
𝜏𝑔(𝑥) встановлюється рiвнiстю:
𝜏𝑓 (𝑥) =
𝜏𝑔(𝑥)
(𝑓 − 𝑔)𝜏𝑔(𝑥) + 1
.
Доведення. Оскiльки 𝜏𝑔(𝑥) =
1
𝑔 + 𝑇 𝑘(𝑥)
, то 𝑇 𝑘(𝑥) =
1
𝜏𝑔(𝑥)
− 𝑔. Тодi
𝜏𝑓 (𝑥) =
1
𝑓 +
1
𝜏𝑔(𝑥)
− 𝑔
=
𝜏𝑔(𝑥)
(𝑓 − 𝑔)𝜏𝑔(𝑥) + 1
.
Лема 3.3. Аналiтично функцiї 𝜏𝑓1(𝑥), 𝜏𝑓2(𝑥), 𝜏𝑓𝑖
3
(𝑥) задаються фор-
мулами:
𝜏𝑓1(𝑥) =
1− 𝑥 · 𝑎1(𝑥)
𝑎1(𝑥) + 𝑥(1− 𝑎21(𝑥))
,
𝜏𝑓2(𝑥) =
𝑎1𝑥− 1
(𝑎21𝑎2 − 𝑎1𝑎2 − 1)𝑥− 𝑎1𝑎2 + 𝑎2
,
𝜏𝑓𝑖
3
(𝑥) =
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩
1
𝑖+ 𝑇 2(𝑥)
, якщо 𝑎1 = 𝑎2;
𝑇 (𝑥)
(𝑎1 − 2𝑎2 + 𝑖)𝑇 (𝑥) + 1
, якщо 𝑎1 > 𝑎2;
𝑇 (𝑥)
(𝑖− 𝑎1)𝑇 (𝑥) + 1
, якщо 𝑎1 < 𝑎2.
168 Працьовитий М.В., Чуйков А.С.
Доведення. Дiйсно, маючи аналiтичний вираз оператора 𝑇 (𝑥), отри-
муємо
𝜏𝑓1(𝑥) =
1
𝑎1(𝑥) + 𝑎2(𝑥) +
1
𝑎3(𝑥) +
. . .
=
1
𝑎1(𝑥) +
1
𝑇 (𝑥)
=
=
1− 𝑥 · 𝑎1(𝑥)
𝑎1(𝑥) + 𝑥(1− 𝑎21(𝑥))
.
Аналогiчно, за допомогою рiвностi (7), отримується вираз функцiї
𝜏𝑓2(𝑥). Вираз для функцiї 𝜏𝑓𝑖
3
(𝑥) отримується в результатi розкриття
модуля.
Теорема 3.1. Функцiя 𝜏𝑓1(𝑥):
1. коректно визначена;
2. неперервна на кожному iз цилiндрiв першого рангу;
3. спадна на кожному iз цилiндрiв першого рангу;
4. опукла вгору на цилiндрах першого рангу при 𝑎1 ̸= 1.
Доведення. 1. Маємо два представлення числа 𝑥 ∈ 𝑄 ∩ [0; 1] у ви-
глядi ланцюгового дробу:
𝑥1 = [𝑎1, 𝑎2, ...𝑎𝑛−1, 1] ≡ [𝑎1, 𝑎2, ...𝑎𝑛−1 + 1] = 𝑥2.
Значення функцiї в цих точках
𝜏𝑓1(𝑥1) = [𝑎1 + 𝑎2, ..., 𝑎𝑛−2, 1],
𝜏𝑓1(𝑥2) = [𝑎1 + 𝑎2, ..., 𝑎𝑛−2 + 1]
є представленнями одного й того ж числа, що й т. д.
2. Якщо 𝑥 ∈
(︁
1
𝑛+1 ;
1
𝑛
]︁
то 𝑎1 = 𝑛 i 𝜏𝑓1(𝑥) =
1− 𝑥𝑛
𝑛+ 𝑥(1− 𝑛2)
. Зна-
менник функцiї 𝜎𝜏𝑓1(𝑥) обертається в нуль при 𝑥 = 𝑛
𝑛2−1 , але
оскiльки 𝑥 ∈
(︁
1
𝑛+1 ;
1
𝑛
]︁
i 𝑛
𝑛2−1 >
1
𝑛 ,∀𝑛 ≥ 2, то 𝑥 ̸= 𝑛
𝑛2−1 .
Найпростiшi функцiї, пов’язанi з оператором лiвостороннього . . . 169
3. Знайдемо 𝜏 ′𝑓1(𝑥):
𝜏 ′𝑓1(𝑥) =
(1− 𝑥𝑛)′(𝑛+ 𝑥(1− 𝑛2))− (1− 𝑥𝑛)(𝑛+ 𝑥(1− 𝑛2))′
(𝑛+ 𝑥(1− 𝑛2))2
=
−𝑛2 − 𝑛𝑥(1− 𝑛2)− (1− 𝑛2 − 𝑥𝑛+ 𝑥𝑛3)
(𝑛+ 𝑥(1− 𝑛2))2
=
−1
(𝑛+ 𝑥(1− 𝑛2))2
< 0,
отже, функцiя 𝜏𝑓1(𝑥) – спадна.
Оскiльки функцiя 𝜏𝑓1(𝑥) є неперервною i спадною на кожному
з пiвiнтервалiв
(︁
1
𝑛+1 ;
1
𝑛
]︁
, то
min
𝑥∈( 1
𝑛+1 ;
1
𝑛 ]
𝜏𝑓1(𝑥) = 𝜏𝑓1
(︂
1
𝑛
)︂
=
1− 1
𝑛𝑛
𝑛+ 1
𝑛 (1− 𝑛2)
= 0;
sup
𝑥∈( 1
𝑛+1 ;
1
𝑛 ]
𝜏𝑓1(𝑥) = 𝜏𝑓1
(︂
1
𝑛+ 1
)︂
=
1− 𝑛
𝑛+1
𝑛+ 1
𝑛+1 (1− 𝑛2)
=
1
𝑛+ 1
.
4. Знайдемо другу похiдну функцiї 𝜏𝑓1(𝑥):
𝜏 ′′𝑓1(𝑥) =
(︂
−1
(𝑛+ 𝑥(1− 𝑛2))2
)︂′
=
2(𝑛+ 𝑥(1− 𝑛2))′
(𝑛+ 𝑥(1− 𝑛2))3
=
=
2(1− 𝑛2)
(𝑛+ 𝑥(1− 𝑛2))3
.
Тут чисельник вiд’ємний, а знаменник - спадна функцiя. ЇЇ мi-
нiмум на пiвiнтервалi
(︁
1
𝑛+1 ;
1
𝑛
]︁
рiвний 1
𝑛 при 𝑥 = 1
𝑛 , тому зна-
менник приймає лише додатнi значення. Отже, функцiя опукла
вгору на кожному з вказаних iнтервалiв.
Лема 3.4. Визначений iнтеграл вiд функцiї 𝜏𝑓1(𝑥) має вигляд:
1∫︁
0
𝜏𝑓1(𝑥)𝑑𝑥 =
1
8
+
∞∑︁
𝑛=2
𝑛− 1− ln𝑛
(𝑛2 − 1)2
.
170 Працьовитий М.В., Чуйков А.С.
Доведення. Проiнтегруємо функцiю 𝜏𝑓1(𝑥) на пiвiнтервалi (0; 1]. За
аддитивною властивiстю визначеного iнтегралу:
1∫︁
0
𝜏𝑓1(𝑥)𝑑𝑥 =
∞∑︁
𝑛=1
1/𝑛∫︁
1/(𝑛+1)
1− 𝑥𝑛
𝑛+ 𝑥(1− 𝑛2)
𝑑𝑥.
Пiдiнтегральний вираз при 𝑛 ̸= 1 можна записати наступним чином:
1− 𝑥𝑛
𝑛+ 𝑥(1− 𝑛2)
=
𝑛
𝑛2 − 1
+
1
1− 𝑛2
· 1
𝑛+ 𝑥(1− 𝑛2)
.
Тодi, при 𝑛 = 1 маємо:
1∫︁
1/2
𝜏𝑓1(𝑥)𝑑𝑥 =
1∫︁
1/2
(1− 𝑥)𝑑𝑥 =
1
8
,
а при 𝑛 = 2, 3, . . . отримуємо:
1/𝑛∫︁
1/(𝑛+1)
(︂
𝑛
𝑛2 − 1
+
1
1− 𝑛2
· 1
𝑛+ 𝑥(1− 𝑛2)
)︂
𝑑𝑥 =
=
1/𝑛∫︁
1/(𝑛+1)
𝑛𝑑𝑥
𝑛2 − 1
+
1
1− 𝑛2
1/𝑛∫︁
1/(𝑛+1)
𝑑𝑥
𝑛+ 𝑥(1− 𝑛2)
=
1
(𝑛2 − 1)(𝑛+ 1)
+
+
1
(1− 𝑛2)2
(︂
ln
(︂
𝑛+ (1− 𝑛2)
1
𝑛
)︂
− ln
(︂
𝑛+ (1− 𝑛2)
1
𝑛+ 1
)︂)︂
=
=
1
(𝑛2 − 1)(𝑛+ 1)
+
− ln𝑛
(1− 𝑛2)2
=
𝑛− 1− ln𝑛
(𝑛2 − 1)2
.
Суму цього ряду знайдено наближено:
1
8
+
∞∑︁
𝑛=2
𝑛− 1− ln𝑛
(𝑛2 − 1)2
≈ 0, 1952.
Лема 3.5. Функцiя 𝜏𝑓1(𝑥), з областю визначення 𝐷(𝑓) =
(︃
1
𝑛+ 1
;
1
𝑛
]︃
,
𝑛 ∈ 𝑁 i множиною значень 𝐸(𝑓) =
(︃
0;
1
𝑛+ 1
]︃
, 𝑛 ∈ 𝑁 є оберненою
до самої себе.
Найпростiшi функцiї, пов’язанi з оператором лiвостороннього . . . 171
Доведення. Дiйсно, розв’язавши рiвняння 𝜏𝑓1(𝑥) =
1− 𝑥 · 𝑎1(𝑥)
𝑎1(𝑥) + 𝑥(1− 𝑎21(𝑥))
вiдносно 𝑥 i зробивши замiну 𝑥 := 𝜏−1
𝑓1
(𝑥) отримаємо, що 𝜏𝑓1(𝑥) =
𝜏−1
𝑓1
(𝑥).
Лема 3.6. Зв’язок мiж функцiями 𝜏𝑓1(𝑥) i 𝑇 (𝑥) визначається фор-
мулою:
𝜏𝑓1(𝑥) =
𝑇 (𝑥)
𝑎1(𝑥)𝑇 (𝑥) + 1
.
Доведення. Дiйсно,
𝜏𝑓1(𝑥) =
1
𝑎1(𝑥) + 𝑎2(𝑥) +
1
𝑎3(𝑥) +
. . .
=
1
𝑎1(𝑥) +
1
𝑇 (𝑥)
=
𝑇 (𝑥)
𝑎1(𝑥)𝑇 (𝑥) + 1
.
Певним узагальненням оператора 𝜏𝑓1 є оператор 𝜏𝑛𝑓1 :
𝜏𝑛𝑓1(𝑥) =
1
𝑎1(𝑥) + . . .+ 𝑎𝑛(𝑥) +
1
𝑎𝑛+1(𝑥) +
. . .
= [𝑎1(𝑥)+. . .+𝑎𝑛(𝑥), 𝑟𝑛(𝑥)].
Оскiльки 𝑇𝑛(𝑥) = [𝑎𝑛+1(𝑥), 𝑎𝑛+2(𝑥), . . .], то зв’язок мiж 𝜏𝑛𝑓1(𝑥) та 𝑇𝑛(𝑥)
виражається формулою:
𝜏𝑛𝑓1(𝑥) =
1
𝑎1(𝑥) + . . .+ 𝑎𝑛−1(𝑥) +
1
𝑇𝑛−1(𝑥)
=
𝑇𝑛−1(𝑥)
𝑇𝑛−1(𝑥) ·
𝑛−1∑︀
𝑖=1
𝑎𝑖(𝑥) + 1
.
Лема 3.7. Рiвняння
𝜏𝑓1(𝑥) = 𝛿𝑖(𝑥) (13)
має злiченну кiлькiсть розв’язкiв, загальний вигляд яких:
𝑥 = [𝑘, 𝑖− 𝑘], 𝑘 = 1, 2, . . . , 𝑖− 1.
172 Працьовитий М.В., Чуйков А.С.
Доведення. На множинi iррацiональних чисел рiвняння (13) перепи-
шеться так:
[𝑎1(𝑥) + 𝑎2(𝑥), 𝑎3(𝑥), 𝑎4(𝑥), . . .] = [𝑖, 𝑎1(𝑥), 𝑎2(𝑥), . . .]. (14)
Тодi, з єдиностi зображення iррацiонального числа ланцюговим дро-
бом, маємо систему рiвностей:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
𝑖 = 𝑖,
𝑎1 = 𝑎1,
𝑎1 + 𝑎2 = 𝑖⇒ 𝑎2 = 𝑖− 𝑎1,
𝑎3 = 𝑎1,
𝑎4 = 𝑎2 = 𝑖− 𝑎1,
. . . . . . . . . . . . . . . ,
яка еквiвалентна рiвнянню (14). Як i у випадку з рiвнянням (8), скiн-
ченний ланцюговий дрiб не може бути розв’язком рiвняння (13).
Лема 3.8. Функцiя 𝜏𝑓𝑖
3
(𝑥) є монотонно спадною на цилiндрах пер-
шого рангу при 𝑎2 > 𝑎1.
Доведення. Дiйсно, при 𝑎2 > 𝑎1 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 функцiя 𝜏𝑓𝑖
3
(𝑥) є неперерв-
ною на цилiндрах Δ𝑐.𝑓.
𝑎1 i 𝜏 ′
𝑓𝑖
3
(𝑥) =
𝑇 ′(𝑥)
((𝑖− 𝑎1)𝑇 (𝑥) + 1)2
< 0.
[1] Bunder, M. W., Tognetti, K. P. Bates, B. Philip. (2005). Continued Fracti-
ons and The Gauss Map. Academia Paedagogica Nyiregyhaziensis. Acta
Mathematica, 21 (2), 113-125.
[2] Faivre C. On the central limit theorem for random variables related to the
continued fraction expansion // Colloquium mathematicum. - 1996, Vol.
71, № 1, pp. 153-159.
[3] Hartono Y., Kraaikamp C., Schweiger F. Algebraic and ergodic properties
of a new continued fraction algorithm with non-decreasing partial quoti-
ents. Journal de th𝑒orie des nombres de Bordeaux, 14 no. 2 (2002), p. 497-
516.
[4] Kalpazidou S. On a problem of Gauss-Kuzmin type for continued fracti-
on with odd partial quotients, Pacifc J. Math. 123 (1986) 103-114;
MR0834141 (87k:11086).
[5] Olds C.D. Continued fractions, Random House, New York, 1963.
[6] Schweiger, F. Ergodic theory of fibred systems and metric number theory,
Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University
Press, New York, 1995.
Найпростiшi функцiї, пов’язанi з оператором лiвостороннього . . . 173
[7] Арнольд В. И. Цепные дроби. — М.: МЦНМО, 2001. — 40 с. — ISBN
5-94057-014-3.
[8] Лещинський О.Л., Працьовитий М.В. Один клас сингулярних розпо-
дiлiв випадкових величин, представлених елементарним ланцюговим
дробом з незалежними елементами // Сучаснi фiзико-математичнi до-
слiдження молодих науковцiв вузiв України: Зб.наук.праць. — Київ:
Київ. нац. ун-т iм.Т.Г.Шевченка, 1995. — С.20-30.
[9] Працьовитий М.В. Сингулярнiсть розподiлiв випадкових величин, за-
даних розподiлами елементiв свого ланцюгового зображення // Укр.
мат. журн. - 1996. - 48, № 8. - С.1086-1095.
[10] Працьовитий М.В., Торбiн Г.М. Фрактальна геометрiя та перетворе-
ння, що зберiгають розмiрнiсть Хаусдорфа-Безиковича // Динамiчнi
системи: Працi Українського математичного конгресу – 2001. – Київ:
Iн-т математики НАН України, 2003. – С. 77-93.
[11] Працьовитий М.В. Фрактальний пiдхiд у дослiдженнях сингулярних
розподiлiв. —Київ: Вид-во НПУ iменi М.П.Драгоманова, 1998. — 296 с.
[12] Хинчин А. Я. Цепные дроби. —М.: Наука, — 1978. — 116 с.
1. Луковський І.О., Гаврилюк І.О., Василик В.Б., Ситник Д.О.
2. Біленко В. І., Божонок К. В., Дзядик С. Ю., Стеля О. Б.
Інтегро–апроксимаційний алгоритм
Вступ
Постановка задачі
Алгоритм
Похибка алгоритму
Застосування a–методу для алгебраїчно–нелінійних рівнянь гіперболічного типу
Задача Дирихле для алгебраїчно–нелінійних рівнянь еліптичного типу на прямокутнику
Наближений розв'язок початкової задачі для алгебраїчно–нелінійних рівнянь параболічного типу на прямокутнику
Сплайн–алгоритм
Монотонна схема для рівняння конвекції–дифузії
Висновки
3. Василик В.Б., Макаров В.Л., Ситник Д.О.
Вступ
Регуляризація та явне зображення розв'язку
Вибір контуру інтегрування
Чисельний метод
4. Веселовська Г.М.
5. Грушковская В.В.
Введение
Построение модельной системы
Условия устойчивости
Оценка скорости убывания решений
Пример: оценка скорости затухания колебаний маятниковой системы с частичной диссипацией
Выводы
6. Дзюбенко Г.А.
Вступ
Допоміжні факти
Доведення Теореми ??
7. Діденко Ю.Ф., Денисенко В.І.
8. Елишевич М.А.
Постановка задачи
Полученный результат
Пример
9. Константинов А.В., Лимарченко О.С., Кинебас К.В., Паранькина О.Ю.
Введение
Объект исследования и математическая модель
Результаты вычислительных экспериментов
Выводы
10. Мазко О.Г., Кусій С.М.
Вступ
Допоміжні твердження
Лінійні системи з керованими і спостережуваними виходами
Статичний регулятор по вимірюваному виходу
Динамічний регулятор
Алгоритм побудови динамічного регулятора
Приклад. Гасіння коливань лінійного осцилятора.
Висновок
11. Працьовитий М. В., Маслова Ю. П.
Вступ
Функція Радемахера і ряди Уолша
Узагальнення функцій Радемахера
Узагальнення функцій Уолша
12. Працьовитий М.В., Чуйков А.С.
Вступ
Оператори лівостороннього та правостороннього зсуву елементів ланцюгового дробу
Інші функції, пов'язані з оператором T(x)
13. Новицький В.В., Зінчук М.О., Коломійчук О.П., Тетерятник О.В.
Вступ
Оптимальне керування лінійними неперервними майже консервативними системами
Оптимальне керування лінійними дискретними майже консервативними системами
14. Осауленко Р. Ю.
Вступ
Перетворення, які зберігають хвости Qs–зображення чисел
Група перетворень, які зберігають частоти цифр Qs–зображення числа
Приклад функції, яка зберігає частоти, але не зберігає хвости зображення Qs-ірраціональних чисел
15. Слинько В.І., Кравчук С.В.
Постановка задачі.
Основний результат.
Умови стійкості
16. Солодун А. В.
Постановка задачи
Численные результаты
17. Ситник Д.О.
Вступ
Sinc–апроксимація
Sinc-апроксимація функції за її значеннями поза інтерполяційною сіткою
18. Сосницький С.П.
Вступ
Про рівняння збуреного руху в околі стаціонарних лагранжевих трикутників
Теорема про орбітальну нестійкість лагранжевих стаціонарних рухів у задачі трьох тіл
Висновок
19. Сосницький С.П.
Вступ
Про достатні умови відсутності осцилюючих симетричних рухів
20. Чернецька Л.О.
21. Timokha A.N.
Statement
Asymptotic steady-state solutions of (??)–(??)
The reciprocating excitation type
The axisymmetric elliptic excitation type
The oblique elliptic excitation type
Conclusions
22. Shlepakov L.N.
Main relationships for a non-inflated system
Construction of enlarged systems
Defining the task mathematical programming
Case of multiple channels with same probability characteristics in the same system of channels.
23. Shidlich A.L.
Approximative characteristics
Main results
Order estimates for some functionals and their applications
Proof of Theorems ?? and ??.
24. Луковський І.О., Стороженко В.О.
25. Луковський І.О., Пустовойтов М.О.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-50 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:01:37Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/4f/c32f22d590fa9e2a650017a40778f04f.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-502018-02-13T11:57:10Z Simplest functions associated with operators of the left-side shift of elements of the chain image of numbers Найпростейшие функции, связанные с оператором левостороннего сдвига элементов цепного изображения чисел Найпростiшi функцiї, пов’язанi з оператором лiвостороннього зсуву елементiв ланцюгового зображення чисел Pratsevity, M. V. Chuikov, A. S. Працевитый, М. В. Чуйков, A. C. Працьовитий, М. В. Чуйков, A. C. Properties of functions of type $\tau_????(????) = \[????(????_1(????), ????_2(????), ..., ????_????(????)), ????_{????+1}(????), ????_{????+2}(???? ), ...]$, where `$\[????_1, ????_2, ..., ????_????, ...\]$ is regular continued fraction expansion of $???? \in (0; 1]$ and $????(????_1, ????_2, ..., ????_????)$ is a natural function of natural arguments $????_1, ????_2, ..., ????_????$ are studied. Their relation with left-shift $????(????)$ and right-shift $\delta_????(????)$ continued fractions elements operators are examined. It is shown that this function are correctly defined, piecewise continuous and piecewise monotonic. Differential and integral properties of these function are also studied. Continuous transformation of a segment $[0;1]$ is constructed. Изучаются свойства функций вида $\tau_????(????) = \[????(????_1(????), ????_2(????), ..., ????_????(????)), ????_{????+1}(????), ????_{????+2}(???? ), ...]$, где `$\[????_1, ????_2, ..., ????_????, ...\]$ — разложение аргумента $???? \in (0; 1]$в элементарную цепную дробь, а $????(????_1, ????_2, ..., ????_????)$ — натуральная функция натуральных аргументов $????_1, ????_2, ..., ????_????$. Рассматривается их связь с операторами левостороннего $????(????)$ и правостороннего $\delta_????(????)$ сдвигов элементов цепной дроби. Показано, что эти функции корректно определены, кусочно-непрерывны и кусочно-монотонны. Изучаются также дифференциальные и интегральные свойства этих функций. Строится непрерывное преобразование отрезка $[0;1]$. Вивчаються властивості функцій виду $\tau_????(????) = \[????(????_1(????), ????_2(????), ..., ????_????(????)), ????_{????+1}(????), ????_{????+2}(???? ), ...]$, де `$\[????_1, ????_2, ..., ????_????, ...\]$ - розклад аргументу $???? \in (0; 1]$ в елементарну ланцюгову дріб, а $????(????_1, ????_2, ..., ????_????)$ - натуральна функція натуральних аргументів $????_1, ????_2, ..., ????_????$. Розглядається їх зв'язок з операторами лівостороннього $????(????)$ і правостороннього $\delta_????(????)$ зрушень елементів ланцюгового дробу. Показано, що ці функції коректно визначені, кусочно-безперервні і кусочно-монотонні. Вивчаються також диференціальні і інтегральні властивості цих функцій. Будується неперервне перетворення відрізка $\[0; 1\]$. Інститут математики НАН України 2017-12-22 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/50 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 13 No. 3 (2016): Mathematical problems of mechanics and computational mathematics; 158-173 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 13 № 3 (2016): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 158-173 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 13 № 3 (2016): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 158-173 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/50/46 Авторське право (c) 2016 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Pratsevity, M. V. Chuikov, A. S. Працевитый, М. В. Чуйков, A. C. Працьовитий, М. В. Чуйков, A. C. Simplest functions associated with operators of the left-side shift of elements of the chain image of numbers |
| title | Simplest functions associated with operators of the left-side shift of elements of the chain image of numbers |
| title_alt | Найпростейшие функции, связанные с оператором левостороннего сдвига элементов цепного изображения чисел Найпростiшi функцiї, пов’язанi з оператором лiвостороннього зсуву елементiв ланцюгового зображення чисел |
| title_full | Simplest functions associated with operators of the left-side shift of elements of the chain image of numbers |
| title_fullStr | Simplest functions associated with operators of the left-side shift of elements of the chain image of numbers |
| title_full_unstemmed | Simplest functions associated with operators of the left-side shift of elements of the chain image of numbers |
| title_short | Simplest functions associated with operators of the left-side shift of elements of the chain image of numbers |
| title_sort | simplest functions associated with operators of the left-side shift of elements of the chain image of numbers |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/50 |
| work_keys_str_mv | AT pratsevitymv simplestfunctionsassociatedwithoperatorsoftheleftsideshiftofelementsofthechainimageofnumbers AT chuikovas simplestfunctionsassociatedwithoperatorsoftheleftsideshiftofelementsofthechainimageofnumbers AT pracevityjmv simplestfunctionsassociatedwithoperatorsoftheleftsideshiftofelementsofthechainimageofnumbers AT čujkovac simplestfunctionsassociatedwithoperatorsoftheleftsideshiftofelementsofthechainimageofnumbers AT pracʹovitijmv simplestfunctionsassociatedwithoperatorsoftheleftsideshiftofelementsofthechainimageofnumbers AT čujkovac simplestfunctionsassociatedwithoperatorsoftheleftsideshiftofelementsofthechainimageofnumbers AT pratsevitymv najprostejšiefunkciisvâzannyesoperatoromlevostoronnegosdvigaélementovcepnogoizobraženiâčisel AT chuikovas najprostejšiefunkciisvâzannyesoperatoromlevostoronnegosdvigaélementovcepnogoizobraženiâčisel AT pracevityjmv najprostejšiefunkciisvâzannyesoperatoromlevostoronnegosdvigaélementovcepnogoizobraženiâčisel AT čujkovac najprostejšiefunkciisvâzannyesoperatoromlevostoronnegosdvigaélementovcepnogoizobraženiâčisel AT pracʹovitijmv najprostejšiefunkciisvâzannyesoperatoromlevostoronnegosdvigaélementovcepnogoizobraženiâčisel AT čujkovac najprostejšiefunkciisvâzannyesoperatoromlevostoronnegosdvigaélementovcepnogoizobraženiâčisel AT pratsevitymv najprostišifunkciípovâzanizoperatoromlivostoronnʹogozsuvuelementivlancûgovogozobražennâčisel AT chuikovas najprostišifunkciípovâzanizoperatoromlivostoronnʹogozsuvuelementivlancûgovogozobražennâčisel AT pracevityjmv najprostišifunkciípovâzanizoperatoromlivostoronnʹogozsuvuelementivlancûgovogozobražennâčisel AT čujkovac najprostišifunkciípovâzanizoperatoromlivostoronnʹogozsuvuelementivlancûgovogozobražennâčisel AT pracʹovitijmv najprostišifunkciípovâzanizoperatoromlivostoronnʹogozsuvuelementivlancûgovogozobražennâčisel AT čujkovac najprostišifunkciípovâzanizoperatoromlivostoronnʹogozsuvuelementivlancûgovogozobražennâčisel |