Optimal control by linear almost conservative systems
In this paper, discrete and continuous linear almost conservative systems with quadratic performance index are considered. The technique of constructing an optimal control based on the power series expansion of a matrix-solution of the Riccati equation is proposed. The results are demonstrated by il...
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори: | , , , , , , , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/51 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552577256652800 |
|---|---|
| author | Novitsky, V. V. Zinchuk, M. O. Kolomiychuk, O. P. Teteryatnik, O. V. Новицкий, В. В. Зинчук, М. о. Коломийчук, О. П. Тетерятник, О. В. Новицький, В. В. Зiнчук, М. О. Коломiйчук, О. П. Тетерятник, О. В. |
| author_facet | Novitsky, V. V. Zinchuk, M. O. Kolomiychuk, O. P. Teteryatnik, O. V. Новицкий, В. В. Зинчук, М. о. Коломийчук, О. П. Тетерятник, О. В. Новицький, В. В. Зiнчук, М. О. Коломiйчук, О. П. Тетерятник, О. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "В. В. Новицький",
"institution": "Інститут математики НАН України"
},
{
"author": "М. О. Зiнчук",
"institution": "Інститут математики НАН України"
},
{
"author": "О. П. Коломiйчук",
"institution": "Інститут математики НАН України"
},
{
"author": "О. В. Тетерятник",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Novitsky, V. V. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-13T11:57:10Z |
| description | In this paper, discrete and continuous linear almost conservative systems with quadratic performance index are considered. The technique of constructing an optimal control based on the power series expansion of a matrix-solution of the Riccati equation is proposed. The results are demonstrated by illustrative examples. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:01:39Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2016, т. 13, № 3, 174–190
УДК 531:383-62:50
Оптимальне керування лiнiйними
майже консервативними системами
В.В. Новицький, М.О. Зiнчук, О.П. Коломiйчук,
О.В. Тетерятник
Iнститут математики НАН України, Київ;
Novyc@imath.kiev.ua, Е.Тeteryatnik@gmail.com
In this paper, discrete and continuous linear almost conservative systems
with quadratic performance index are considered. The technique of con-
structing an optimal control based on the power series expansion of a
matrix-solution of the Riccati equation is proposed. The results are demon-
strated by illustrative examples.
В данной работе рассматриваются почти консервативные линейные
непрерывные и дискретные системы управления с квадратичным кри-
терием качества. Предлагается методика построения оптимального
управления, основанная на разложении в степенной ряд матрицы-
решения уравнения Риккати. Приводятся иллюстративные примеры.
1 Вступ
Протягом багатьох рокiв проводяться дослiдження оптимального ке-
рування механiчними системами та, як важливий спецiальний випа-
док розглядають майже консервативнi системи, вивчення яких й досi
залишається актуальним, як моделей рiзноманiтних керованих меха-
нiчних систем (див., наприклад, [1–6]).
В [7] розглядалося оптимальне керування лiнiйними неперервними
майже консервативними системами з матрицями коефiцiєнтiв консе-
рвативних частин в загальнiй формi, що не мають кратних власних
значень, а в [8, 9] вивчалося оптимальне керування неперервними та
дискретними майже консервативними системами, коли матрицi кон-
сервативних частин заданi в канонiчнiй формi з довiльними власними
значеннями.
c○ Новицький В.В., Зiнчук М.О., Коломiйчук О.П.,
Тетерятник О.В., 2016
Оптимальне керування лiнiйними майже консервативними си . . . 175
Нижче наведено вiдмiнний вiд [7] пiдхiд знаходження оптималь-
ного керування неперервними та дискретними лiнiйними майже кон-
сервативними системами з матрицями коефiцiєнтiв консервативних
частин в загальнiй формi, що не мiстять кратних власних значень.
2 Оптимальне керування лiнiйними неперервними
майже консервативними системами
Розглянемо лiнiйну неперервну керовану майже консервативну сис-
тему [7]
𝑥̇ = (𝐴0 + 𝜀𝐴1)𝑥+ 𝜀𝐵𝑢, 𝑥(𝑡0) = 𝑥0, (1)
де 𝑥 ∈ ℝ2𝑛 — вектор стану, 𝐴0 = −𝐴𝑇0 ∈ ℝ2𝑛×2𝑛 — кососиметри-
чна невироджена матриця, 𝐴1 ∈ ℝ2𝑛×2𝑛 — довiльна стала матриця,
𝑢 ∈ ℝ𝑚 — вектор керування, 𝐵 ∈ ℝ2𝑛×𝑚 — матриця при керуваннi,
𝜀 > 0 — малий параметр.
Будемо шукати оптимальний регулятор для (1) у виглядi зворо-
тного зв’язку за станом
𝑢 = −𝐾𝑥, (2)
що мiнiмiзує квадратичний критерiй якостi
𝐽 =
∫︁ ∞
0
(︀
𝑥𝑇𝑄𝑥+ 𝑢𝑇𝑅𝑢
)︀
𝑑𝑡, (3)
де 𝐾 ∈ ℝ𝑚×2𝑛 — деяка стала матриця, 0 < 𝑅 ∈ ℝ𝑚×𝑚,
0 < 𝑄 ∈ ℝ2𝑛×2𝑛 — додатно означенi матрицi.
Регулятор (2) буде оптимальним [10], якщо
𝐾 = 𝜀𝑅−1𝐵𝑇𝑆, (4)
де 𝑆 ∈ ℝ2𝑛×2𝑛 — симетрична додатно означена матриця-розв’язок
матричного рiвняння Рiккатi
(𝐴0 + 𝜀𝐴1)
𝑇𝑆 + 𝑆(𝐴0 + 𝜀𝐴1)− 𝜀2𝑆𝐵𝑅−1𝐵𝑇𝑆 +𝑄 = 0.
Введемо замiну [11] 𝑃 = 𝜀𝑆, тодi наведене рiвняння набуде вигля-
ду
(𝐴0 + 𝜀𝐴1)
𝑇𝑃 + 𝑃 (𝐴0 + 𝜀𝐴1)− 𝜀𝑃𝐵𝑅−1𝐵𝑇𝑃 + 𝜀𝑄 = 0. (5)
Виходячи з (5), матрицю-роз’вязок 𝑃 будемо шукати у виглядi
розкладу за параметром 𝜀
𝑃 = 𝑃0 + 𝜀𝑃1 + 𝜀2𝑃2 + . . . . (6)
176Новицький В.В., Зiнчук М.О., Коломiйчук О.П., Тетерятник О.В.
Матрицю 𝑄 зобразимо у виглядi подiбного розкладу
𝑄 = 𝑄0 + 𝜀𝑄1 + 𝜀2𝑄2 + . . . . (7)
На вiдмiну вiд класичної постановки задачi, коли матриця 𝑄 за-
дана конкретно, будемо вважати, що матрицi 𝑄0, . . . , 𝑄𝑠 (0 ≤ 𝑠 —
деяке число) заданi, причому 𝑄0+ 𝜀𝑄1+ . . .+ 𝜀
𝑠𝑄𝑠 > 0, а симетричнi
матрицi 𝑄𝑠+1, 𝑄𝑠+2, . . . будуть обчисленi в процесi пошуку матрицi
зворотного зв’язку𝐾. Хоч обчисленi матрицi вносять певнi (незначнi)
корективи в заданий критерiй якостi, але дозволяють знайти точний
розв’язок матричного рiвняння Рiккатi (5) за скiнченне число крокiв
за умови, що 𝑄 — додатно означена матриця [8].
Вiд параметричного матричного рiвняння Рiккатi, пiдставляючи
(6), (7) в (5) i зрiвнюючи коефiцiєнти при однакових степенях 𝜀, при-
ходимо до нескiнченної системи матричних рiвнянь типу Рiккатi
𝐴0𝑃0 − 𝑃0𝐴0 = 0, (8)
𝐴0𝑃1 − 𝑃1𝐴0 = 𝑃0𝐴1 +𝐴𝑇1 𝑃0 − 𝑃0𝐵𝑅
−1𝐵𝑇𝑃0 +𝑄0,
................................................................................
𝐴0𝑃𝑘 − 𝑃𝑘𝐴0 = 𝑃𝑘−1𝐴1 +𝐴𝑇1 𝑃𝑘−1−
−
𝑘∑︀
𝑖=1
𝑃𝑖−1𝐵𝑅
−1𝐵𝑇𝑃𝑘−𝑖 +𝑄𝑘−1,
........................................................................
(9)
Покажемо, що за деяких умов нескiнченну систему рiвнянь (9)
можна розв’язати за скiнченне число крокiв.
Нехай на 𝑘-му кроцi розв’язання системи (9) отриманi додатно
означенi матрицi
∑︀𝑘
𝑖=0 𝜀
𝑖𝑃𝑖,
∑︀𝑘−1
𝑖=0 𝜀
𝑖𝑄𝑖, 𝑘 > 𝑠, де матрицi 𝑄𝑖,
𝑖 = 𝑠 + 1, . . . , 𝑘 − 1 вибираються з урахуванням розв’язностi рiвнянь
(9). Тодi можна покласти 𝑃𝑖 = 0, 𝑖 = 𝑘 + 1, 𝑘 + 2, . . . i заверши-
ти процес обчислення матрицi-розв’язку 𝑃 , а матрицi 𝑄𝑘, 𝑄𝑘+1, . . .
обчислити за формулами
𝑄𝑘 =
𝑘+1∑︁
𝑗=1
𝑃𝑗−1𝐵𝑅
−1𝐵𝑇𝑃𝑘+1−𝑗 − 𝑃𝑘𝐴1 −𝐴𝑇1 𝑃𝑘,
𝑄𝑖 =
𝑖+1∑︁
𝑗=1
𝑃𝑗−1𝐵𝑅
−1𝐵𝑇𝑃𝑖−𝑗+1, 𝑖 = 𝑘 + 1, . . . , 2𝑘, (10)
Оптимальне керування лiнiйними майже консервативними си . . . 177
𝑄𝑖 = 0, 𝑖 = 2𝑘 + 1, 2𝑘 + 2, . . .
i вони, у вiдповiдностi з (7), не вплинуть на означенiсть матриць∑︀𝑘−1
𝑖=0 𝜀
𝑖𝑄𝑖 та 𝑄.
Рiвняння (8) означає, що матрицi 𝐴0 i 𝑃0 комутують. Будемо вва-
жати, що 𝐴0 є довiльною невиродженою кососиметричною матрицею,
яка не має кратних власних значень. Тодi матрицю 𝑃0 можна зобра-
зити у виглядi наступного розкладу [12]:
𝑃0 = 𝛼0𝐼2𝑛 + 𝛼2𝐴
2
0 + . . .+ 𝛼2(𝑛−1)𝐴
2(𝑛−1)
0 , (11)
де 𝛼0, 𝛼2, . . . , 𝛼2(𝑛−1) — вiльнi параметри. Тут 𝐼2𝑛 — одинична матри-
ця розмiру 2𝑛.
В [8] показано, що для розв’язностi системи (9) (𝐴0 кососиметри-
чна канонiчної форми) права частина рiвнянь має задовольняти певнi
умови, за допомогою яких обчислюються значення вiльних параме-
трiв матриць 𝑃𝑖, 𝑖 = 0, 1, 2, . . .. Знайдемо подiбнi умови в нашому
випадку. Для цього перейдемо до еквiвалентного рiвняння, матриця
коефiцiєнтiв якого має розмiр 4𝑛2. Це можна зробити через прямий
добуток [13, теорема 8.4.1, с.239].
Позначимо через𝐷𝑖 праву частину 𝑖-го рiвняння, а через𝐷𝑖,𝑙*, 𝑃𝑖,𝑙*
— 𝑙-тi рядки вiдповiдно матриць 𝐷𝑖, 𝑃𝑖. Отримаємо наступну систему
рiвнянь:
𝐴𝜃𝑖 = 𝜉𝑖, 𝑖 = 1, 2, . . . , (12)
де
𝐴 = 𝐴0 ⊗ 𝐼2𝑛 − 𝐼2𝑛 ⊗𝐴𝑇0 , 𝜃𝑖 = [𝑃𝑖,1*, . . . , 𝑃𝑖,2𝑛*]
𝑇 ,
𝜉𝑖 = [𝐷𝑖,1*, . . . , 𝐷𝑖,2𝑛*]
𝑇 , 𝐴 ∈ ℝ4𝑛2×4𝑛2 , 𝜃𝑖, 𝜉𝑖 ∈ ℝ4𝑛2 .
Тут ⊗ — символ прямого добутку. Симетричнiсть матриць 𝑃𝑖 з роз-
в’язкiв 𝜃𝑖 забезпечуємо за допомогою вiльних параметрiв.
Отже, якщо виконуються рiвностi (необхiднi та достатнi умови)
rank Ă = rank
[︁
Ă, 𝜉i
]︁
, i = 1, 2, . . . , (13)
то рiвняння (12) мають розв’язки. Звiдси випливає, що матрицi 𝐴 i[︁
𝐴, 𝜉𝑖
]︁
мають спiльний нуль-простiр.
Матриця 𝐴 має власнi значення 𝜆𝑘 − 𝜆𝑗 [13, с.238], де 𝜆𝑘, 𝜆𝑗 ,
𝑘, 𝑗 ∈ {1, 2𝑛} — власнi значення матрицi 𝐴0, звiдки 2𝑛 iз них є нульо-
вими. Нехай вектор 𝛾 ∈ ℝ4𝑛2 є загальним розв’язком системи рiвнянь
𝐴𝛾 = 0, (14)
178Новицький В.В., Зiнчук М.О., Коломiйчук О.П., Тетерятник О.В.
тобто вiн описує нуль-простiр матрицi 𝐴. Iз властивостей прямого
добутку отримуємо
(𝐴)𝑇 = 𝐴𝑇0 ⊗ 𝐼2𝑛 − 𝐼2𝑛 ⊗ (𝐴𝑇0 )
𝑇 = −𝐴0 ⊗ 𝐼2𝑛 − 𝐼2𝑛 ⊗
(︀
−𝐴𝑇0
)︀
= −𝐴,
тобто матриця 𝐴 — кососиметрична, тому для вектора 𝛾 з (14) вiр-
на рiвнiсть (𝐴)𝑇 𝛾 = 0. Вектор 𝛾 має довiльнi сталi, за допомогою
яких можна отримати довiльний вектор нуль-простору матрицi 𝐴.
Тому з (13) i (14) випливає такий факт: якщо помножимо злiва оби-
двi частини рiвнянь (12) на ненульовий транспонований вектор 𝛾𝑇 ,
то отримаємо нульовi тотожностi (довiльнi сталi матимуть нульовi
коефiцiєнти) тодi тiльки тодi, коли рiвняння мають розв’язки.
Таким чином, необхiднi та достатнi умови розв’язностi 𝑖-го рiвня-
ння визначає рiвнiсть
(𝛾, 𝜉𝑖) = 0. (15)
Для виконання (15) i обчислення значень вiльних параметрiв матри-
цi 𝑃𝑖−1 в скалярному добутку (𝛾, 𝜉𝑖) необхiдно прирiвняти до нуля
коефiцiєнти при довiльних сталих.
Вiдзначимо наступне: оскiльки матриця 𝑃0 задовольняє рiвняння
(8), що еквiвалентно (14), то вектор 𝛾 можна сформувати за розкла-
дом (11) з меншою кiлькiстю довiльних сталих
𝛾 = [𝑃𝛿,1*, . . . , 𝑃𝛿,2𝑛*], 𝑃𝛿 = 𝛿1𝐼2𝑛 + 𝛿2𝐴
2
0 + . . .+ 𝛿𝑛𝐴
2(𝑛−1)
0 , (16)
де 𝛿𝑖, 𝑖 = 1, 𝑛 — довiльнi сталi. Але вектор 𝛾, сформований за (16),
не в усiх випадках (через меншу кiлькiсть довiльних сталих) може
давати розв’язнiсть (12) за допомогою (15).
Перше рiвняння системи (9) нелiнiйне вiдносно матрицi 𝑃0, а iншi
рiвняння лiнiйнi вiдносно матриць 𝑃𝑖, 𝑖 > 0, що мають вiльнi пара-
метри. Пiдставимо в праву частину першого рiвняння системи (9)
розклад для 𝑃0 отримаємо
𝐷1 =
𝑛−1∑︀
𝑗=0
𝛼2𝑗𝐴
2𝑗
0 𝐴1 +𝐴𝑇1
𝑛−1∑︀
𝑗=0
𝛼2𝑗𝐴
2𝑗
0 −
−
𝑛−1∑︀
𝑗=0
𝛼2𝑗𝐴
2𝑗
0 𝐵𝑅
−1𝐵𝑇
𝑛−1∑︀
𝑗=0
𝛼2𝑗𝐴
2𝑗
0 +𝑄0
або [14]
𝐷1 =
𝑛−1∑︁
𝑗=0
𝛼2𝑗(𝐴
2𝑗
0 𝐴1 +𝐴𝑇1 𝐴
2𝑗
0 )−
𝑛−1∑︁
𝑗=0
𝑛−1∑︁
𝑙=0
𝛼2𝑗𝛼2𝑙𝐴
2𝑗
0 𝐵𝑅
−1𝐵𝑇𝐴2𝑙
0 +𝑄0,
Оптимальне керування лiнiйними майже консервативними си . . . 179
тобто для 𝑖 = 1 в рiвняннi (15) коефiцiєнти при довiльних сталих
вектора 𝛾 будуть нелiнiйними вiдносно параметрiв розкладу (11), а
для iнших рiвнянь — лiнiйнi вiдносно вiльних параметрiв вiдповiдних
матриць.
З рiвнянь (12) при вiдомiй правiй частинi отримуємо матрицю 𝑃𝑖
з вiльними параметрами. Для спрощення розв’язання цих рiвнянь
матрицю 𝐴 можна звести до верхнього трикутного вигляду за до-
помогою лiвих елементарних операцiй [15, с.126], яким вiдповiдають
матрицi 𝑆1, 𝑆2, . . . , 𝑆𝑙. Далi покладаємо 𝑆 = 𝑆𝑙𝑆𝑙−1 · · ·𝑆1 i приходимо
до наступної системи рiвнянь:
𝑆𝐴𝜃𝑖 = 𝑆𝜉𝑖, 𝑖 = 1, 2, . . . , (17)
де елементи вектора 𝜃𝑖 обчислюються достатньо просто, починаючи
з нижнiх. Симетричнiсть матрицi 𝑃𝑖 узгоджуємо за допомогою ча-
стини з 2𝑛 вiльних параметрiв, достатня кiлькiсть яких випливає з
розв’язностi 𝑖-го рiвняння системи (9).
Вiдзначимо ще одну властивiсть вектора 𝛾. За допомогою нього
легко можна знайти номери лiнiйно залежних (незалежних) стовпцiв
матрицi 𝐴. Позначимо 𝑐 = [𝑐1, 𝑐2, . . . , 𝑐2𝑛]
𝑇 вектор, який ставить у
вiдповiднiсть номери стовпцям матрицi 𝐴. Тодi в коефiцiєнти при
довiльних сталих вектора 𝛾 скалярного добутку (𝛾, 𝑐) входитимуть
номери лiнiйно залежних (в сукупностi, ланцюжкiв) стовпцiв. Лiнiй-
но залежними стовпцями матрицi 𝐴 будуть номери, якi належать
тiльки одному з коефiцiєнтiв. Число таких номерiв дорiвнює числу
коефiцiєнтiв, тобто розмiрностi нуль-простору матрицi 𝐴.
Наведений вище пiдхiд опишемо у виглядi наступного алгоритму.
1. Формування матрицi 𝑃0 у виглядi (11).
2. Обчислення матрицi 𝐴 = 𝐴0 ⊗ 𝐼2𝑛 − 𝐼2𝑛 ⊗𝐴𝑇0 .
3. Побудова загального розв’язку рiвняння (14). Покласти 𝑘 = 1,
а максимальне число крокiв рiвним 𝑁 .
4. Знаходження вiльних параметрiв матрицi 𝑃𝑘−1 iз (15). Якщо
𝑘 < 𝑁 , то перейти до п.5. Якщо 𝑘 = 𝑁 , то покласти 𝑃𝑖 = 0,
𝑖 = 𝑘, 𝑘 + 1, . . ., а 𝑄𝑖 обчислити за формулами (10).
5. Знаходження 𝜃𝑘 з (12) або (17). Формування симетричної ма-
трицi 𝑃𝑘 з вектора 𝜃𝑘.
6. Збiльшення 𝑘 на 1 та перехiд до п.4.
180Новицький В.В., Зiнчук М.О., Коломiйчук О.П., Тетерятник О.В.
Приклад 2.1. Побудуємо оптимальний регулятор для системи
(1)–(4) з такими матрицями
𝐴0 =
⎡⎢⎢⎣
0 1 −2 0
−1 0 0 1
2 0 0 2
0 −1 −2 0
⎤⎥⎥⎦ , 𝐴1 =
⎡⎢⎢⎣
1 0 0 0
0 0 −2 0
0 3 0 0
0 0 0 2
⎤⎥⎥⎦ ,
𝐵 =
[︂
0 1 0 0
0 0 0 1
]︂𝑇
, 𝑄0 = 𝐼4, 𝑅 = 𝐼2, 𝐾 ∈ ℝ2×4.
Матриця 𝐴0 має рiзнi власнi значення 𝜆1,2 = ±2.828427125𝑖,
𝜆3,4 = ±1.414213562𝑖, тому для пошуку оптимального регулятора мо-
жна застосувати пiдхiд, наведений вище. Запишемо нульове набли-
ження у виглядi розкладу (11) 𝑃0 = 𝛼0𝐼2𝑛 + 𝛼2𝐴
2
0. З рiвняння (14)
знаходимо вектор 𝛾
𝛾 = [𝛿3, 𝛿4, 𝛿2, 𝛿1,−𝛿4, 𝛿3 − 𝛿1, 0, 𝛿4,−𝛿2, 0, 𝛿1 + 𝛿3,−𝛿2, 𝛿1,−𝛿4, 𝛿2, 𝛿3]𝑇 .
Обчислюємо матрицю 𝐷1, формуємо вектор 𝜉1 i в скалярному до-
бутку прирiвнюємо до нуля коефiцiєнти при довiльних сталих 𝛿𝑖,
𝑖 = 1, 4. Отримуємо наступнi рiвняння (два з коефiцiєнтiв тотожно
дорiвнюють нулю)
−18𝛼2 + 6𝛼2(𝛼0 − 5𝛼2) + (𝛼0 − 2𝛼2)
2 = 0,
−(𝛼0 − 2𝛼2)
2 + 4 + 6𝛼0 − 30𝛼2 − 9𝛼2
2 − (𝛼0 − 5𝛼2)
2 = 0.
(18)
З системи нелiнiйних рiвнянь (18) знаходимо один iз розв’язкiв:
𝛼0 = 1/3 − 1/3
√
13 + 4/9
√
21, 𝛼2 = −1/3 − 1/6
√
13 +
+1/18
√
21 i за розкладом (11) будуємо матрицю
𝑃0 =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
2 +
√
13
2 +
√
21
6 0 0 1 +
√
13
2 −
√
21
6
0 1 +
√
21
3 0 0
0 0 3 +
√
13 0
1 +
√
13
2 −
√
21
6 0 0 2 +
√
13
2 +
√
21
6
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ,
власнi значення якої дорiвнюють 𝜆1,2 = 2.527525232,
𝜆3,4 = 6.605551276, тобто 𝑃0 > 0.
Оптимальне керування лiнiйними майже консервативними си . . . 181
Далi з рiвняння (12) знаходимо перше наближення матрицi-розв’язку
𝑃
𝑃1 =
⎡⎢⎢⎣
0 5.637411987 1.324830392 0
5.637411987 0 0 2.943220088
1.324830392 0 0 −1.074830392
0 2.943220088 −1.074830392 0
⎤⎥⎥⎦ ,
врахувавши симетричнiсть матрицi за допомогою частини вiльних
параметрiв, а решту покладаємо рiвними нулю. За формулами (10)
обчислюємо елементи розкладу 𝑄
𝑄1 =
⎡⎢⎢⎣
0.0 10.63806196 7.758400412 0.0
10.63806196 0.0 0.0 18.21744116
7.758400412 0.0 0.0 3.127846858
0.0 18.21744116 3.127846858 0.0
⎤⎥⎥⎦ ,
𝑄2 =
⎡⎢⎢⎣
31.78041391 0.0 0.0 16.5921442
0.0 8.662544486 −3.163462401 0.0
0.0 −3.163462401 1.155260372 0.0
16.5921442 0.0 0.0 8.662544486
⎤⎥⎥⎦ .
З побудови випливає, що знайдений розв’язок 𝑃,𝑄 задовольняє ма-
тричне рiвняння Рiккатi (5).
Наприклад, при 𝜀 = .04 маємо 𝑃 > 0, 𝑄 > 0, а оптимальний
регулятор 𝐾 = 𝑅−1𝐵𝑇 (𝑃0 + 𝜀𝑃1) i функцiонал 𝐽 такi:
𝐾 =
[︂
0.2254964794 2.527525232 0.0 0.1177288035
2.039013022 0.1177288035 −0.0429932157 4.566538254
]︂
,
𝐽 =
∫︁ ∞
0
(︀
𝑥𝑇 [𝑄0 + .04𝑄1 + .0016𝑄2]𝑥+ 𝑢𝑇𝑅𝑢
)︀
𝑑𝑡.
Матриця замкненої системи має вигляд
𝐴0 + 𝜀(𝐴1 −𝐵𝐾) =
=
⎡⎢⎢⎣
0.04 1.0 −2.0 0.0
−1.009019859 −0.101101009 −0.08 0.995290848
2.0 0.12 0.0 2.0
−0.081560521 −1.004709152 −1.998280271 −0.10266153
⎤⎥⎥⎦
з такими власними значеннями:
𝜆1,2 = −.036450216± 2.8303275𝑖, 𝜆3,4 = −.045431054± 1.4130169𝑖,
182Новицький В.В., Зiнчук М.О., Коломiйчук О.П., Тетерятник О.В.
тобто система (1)–(4) за допомогою знайденого оптимального регу-
лятора стабiлiзована.
3 Оптимальне керування лiнiйними дискретними
майже консервативними системами
В цьому параграфi будемо дослiджувати дискретну керовану май-
же консервативну систему з керуванням лiнiйно залежним вiд стану
системи i оптимальним в квадратичному сенсi.
Розглянемо дискретну лiнiйну стацiонарну керовану майже кон-
сервативну систему [9,16]
𝑥(𝑘 + 1) = (𝐹0 + 𝜀𝐹1)𝑥(𝑘) + 𝜀𝐺𝑢(𝑘), 𝑥(0) = 𝑥0, 𝑘 = 0, 1, . . . , (19)
де 𝑥 ∈ ℝ𝑛 — вектор стану, 𝐹0 — ортогональна матриця(︀
𝐹𝑇0 𝐹0 = 𝐹0𝐹
𝑇
0 = 𝐼
)︀
, 𝐹1 ∈ ℝ𝑛×𝑛 — довiльна стала матриця, 𝑢(𝑘) ∈ ℝ𝑚
— вектор керування, 𝐺 ∈ ℝ𝑛×𝑚 — матриця при керуваннi, 𝜀 > 0 —
малий параметр.
Поставимо задачу побудови оптимального регулятора у виглядi
зворотного зв’язку за станом
𝑢(𝑘) = −𝐻𝑥(𝑘), (20)
що мiнiмiзує квадратичний критерiй якостi
𝐽 =
∞∑︁
𝑘=0
[︀
𝑥𝑇 (𝑘)𝑄𝑥(𝑘) + 𝑢𝑇 (𝑘)𝑅𝑢(𝑘)
]︀
, (21)
де 𝐻 ∈ ℝ𝑚×𝑛 — деяка стала матриця, 𝑅 ∈ ℝ𝑚×𝑚, 𝑄 ∈ ℝ𝑛×𝑛 —
додатно означенi матрицi.
Регулятор (20) буде оптимальним [17], якщо
𝐻 = 𝜀(𝜀2𝐺𝑇𝑆𝐺+𝑅)−1𝐺𝑇𝑆𝐹, (22)
де 𝐹 = 𝐹0+𝜀𝐹1, а 𝑆 ∈ ℝ𝑛×𝑛 — симетрична додатно означена матриця-
розв’язок матричного рiвняння Рiккатi
𝑆 = 𝐹𝑇𝑆𝐹 − 𝜀2𝐹𝑇𝑆𝐺(𝜀2𝐺𝑇𝑆𝐺+𝑅)−1𝐺𝑇𝑆𝐹 +𝑄. (23)
Для спрощення розв’язання рiвняння (23), введемо замiну 𝑃 = 𝜀𝑆,
тодi прийдемо до наступного рiвняння:
𝑃 = 𝐹𝑇𝑃𝐹 − 𝜀𝐹𝑇𝑃𝐺(𝜀𝐺𝑇𝑃𝐺+𝑅)−1𝐺𝑇𝑃𝐹 + 𝜀𝑄. (24)
Оптимальне керування лiнiйними майже консервативними си . . . 183
Будемо шукати матрицю-роз’язок 𝑃 у виглядi розкладу за малим
параметром (6) i нехай матриця 𝑄 представлена подiбним чином (7).
Збiжнiсть рядiв (6), (7) випливає з iснування розв’язку матричного
рiвняння Рiккатi (23) та достатньої малостi параметра 𝜀.
Аналогiчно неперервному випадку будемо вважати, що матрицi
𝑄0, . . . , 𝑄𝑠 (𝑠 ≥ 0) заданi, причому 𝑄0 + 𝜀𝑄1 + . . . + 𝜀𝑠𝑄𝑠 > 0, а
симетричнi матрицi 𝑄𝑠+1, 𝑄𝑠+2, . . . будуть обчисленi або покладенi
рiвними нулю в процесi пошуку матрицi зворотного зв’язку 𝐻.
Для спрощення рiвняння (24), застосуємо вiдомий спосiб обчисле-
ння оберненої матрицi (𝜀𝐺𝑇𝑃𝐺 + 𝑅)−1 = 𝑀 шляхом розкладу її у
збiжний ряд за малим параметром [9,13]
𝑀 =𝑀0 + 𝜀𝑀1 + 𝜀2𝑀2 + . . . , (25)
де 𝑀0, 𝑀1, 𝑀2, . . . — деякi симетричнi матрицi.
Iз властивостi оберненої матрицi випливає рiвнiсть[︀
𝜀𝐺𝑇 (𝑃0 + 𝜀𝑃1 + . . .)𝐺+𝑅
]︀
(𝑀0 + 𝜀𝑀1 + . . .) = 𝐼. (26)
Зрiвнюючи коефiцiєнти при однакових степенях малого параметра,
приходимо до системи рiвнянь
𝑅𝑀0 = 𝐼,
𝑅𝑀1 +𝐺𝑇𝑃0𝐺𝑀0 = 0,
........................................
𝑅𝑀𝑖 +
𝑖∑︀
𝑘=1
𝐺𝑇𝑃𝑘𝐺𝑀𝑖−1−𝑘 = 0,
...................................................
Звiдки знаходимо невiдомi матрицi 𝑀𝑖
𝑀0 = 𝑅−1, 𝑀𝑖 = −𝑅−1
𝑖∑︁
𝑘=1
𝐺𝑇𝑃𝑘−1𝐺𝑀𝑖−𝑘, 𝑖 = 1, 2, . . . . (27)
Пiдставимо вирази для матриць 𝐹, 𝑃, 𝑄, 𝑀 в (24) отримаємо
рiвняння
(𝑃0 + 𝜀𝑃1 + . . .) = (𝐹0 + 𝜀𝐹1)
𝑇 (𝑃0 + 𝜀𝑃1 + . . .)(𝐹0 + 𝜀𝐹1)−
−𝜀(𝐹0 + 𝜀𝐹1)
𝑇 (𝑃0 + 𝜀𝑃1 + . . .)𝐺(𝑀0 + 𝜀𝑀1 + . . .)𝐺𝑇×
184Новицький В.В., Зiнчук М.О., Коломiйчук О.П., Тетерятник О.В.
× (𝑃0 + 𝜀𝑃1 + . . .)(𝐹0 + 𝜀𝐹1) + 𝜀(𝑄0 + 𝜀𝑄1 + . . .). (28)
Зрiвняємо коефiцiєнти в (28) при однакових степенях 𝜀 прийдемо
до нескiнченної системи матричних рiвнянь типу Рiккатi
𝑃0 − 𝐹𝑇0 𝑃0𝐹0 = 0, (29)
𝑃1 − 𝐹𝑇0 𝑃1𝐹0 = 𝐹𝑇1 𝑃0𝐹0 + 𝐹𝑇0 𝑃0𝐹1 − 𝐹𝑇0 𝑃0𝐺𝑀0𝐺
𝑇𝑃0𝐹0 +𝑄0,
...............................................................................................
𝑃𝑖 − 𝐹𝑇0 𝑃𝑖𝐹0 = 𝐹𝑇1 𝑃𝑖−1𝐹0 + 𝐹𝑇0 𝑃𝑖−1𝐹1−
−
∑︀
(𝑘,𝑗,𝑞,𝑙,𝑡)∈𝐽(𝑖)
𝐹𝑇𝑘 𝑃𝑗𝐺𝑀𝑞𝐺
𝑇𝑃𝑙𝐹𝑡 +𝑄𝑖−1,
..............................................................................................
(30)
Тут 𝐽(𝑖) = {(𝑘, 𝑗, 𝑞, 𝑙, 𝑡) |𝑘 + 𝑗 + 𝑞 + 𝑙 + 𝑡 = 𝑖 − 1; 𝑘, 𝑡 ∈ {0, 1};
𝑗, 𝑞, 𝑙 ∈ {0, 𝑖− 1}} — множини iндексiв, 𝑖 = 1, 2, . . ..
З рiвняння (29) випливає, що нульове наближення 𝑃0 матрицi-
розв’язку 𝑃 комутує з ортогональною матрицею 𝐹0. Дiйсно, помно-
жимо злiва обидвi частини (29) на невироджену матрицю 𝐹0 отрима-
ємо 𝐹0𝑃0 − 𝑃0𝐹0 = 0. В якостi 𝑃0 ми шукаємо симетричну додатно
означену матрицю. Таких матриць нескiнченна множина, а вибра-
ти конкретну матрицю з цiєї множини можна, розв’язавши перше
рiвняння системи (30). Рiвняння (30) мають таку структуру, що до-
зволяють послiдовно знаходити невiдомi матрицi 𝑃𝑖, 𝑖 = 0, 1, 2, . . ..
Будемо вважати, що ортогональна матриця 𝐹0 не має кратних
власних значень, тодi переставну з нею матрицю 𝑃0 можна зобразити
у виглядi наступного розкладу [12]:
𝑃0 = 𝛼0𝐼𝑛 + 𝛼1𝐹0 + . . .+ 𝛼𝑛−1𝐹
𝑛−1
0 , (31)
де 𝛼0, 𝛼1, . . . , 𝛼𝑛−1 — деякi невiдомi коефiцiєнти.
Знайдемо умови, яким має вiдповiдати права частина рiвнянь (30),
щоб вони мали розв’язок. Для цього перейдемо до еквiвалентного рiв-
няння, матриця коефiцiєнтiв якого має розмiр 𝑛2 i зробимо це через
прямий добуток.
Позначимо через 𝐷𝑖 праву частину 𝑖-го рiвняння системи (30), а
через 𝐷𝑖,𝑙*, 𝑃𝑖,𝑙* — 𝑙-тi рядки вiдповiдно матриць 𝐷𝑖, 𝑃𝑖. Отримаємо
наступну еквiвалентну систему рiвнянь:
𝐹𝜃𝑖 = 𝜉𝑖, 𝑖 = 1, 2, . . . , (32)
Оптимальне керування лiнiйними майже консервативними си . . . 185
де
𝐹 = 𝐼𝑛 ⊗ 𝐼𝑛 − 𝐹𝑇0 ⊗ 𝐹𝑇0 , 𝜃𝑖 = [𝑃𝑖,1*, . . . , 𝑃𝑖,𝑛*]
𝑇 ,
𝜉𝑖 = [𝐷𝑖,1*, . . . , 𝐷𝑖,𝑛*]
𝑇 , 𝐹 ∈ ℝ𝑛2×𝑛2 , 𝜃𝑖, 𝜉𝑖 ∈ ℝ𝑛2 .
Симетричностi матриць 𝑃𝑖 з розв’язкiв 𝜃𝑖 досягаємо за допомогою
вiльних параметрiв.
Отже, якщо виконуються рiвностi
rank F̆ = rank
[︁
F̆, 𝜉i
]︁
, i = 1, 2, . . . , (33)
тобто матрицi обох частин рiвностей (33) мають спiльний нуль-простiр,
то рiвняння (32) розв’язнi.
Матриця 𝐹𝑇0 ⊗ 𝐹𝑇0 має власнi значення 𝜆𝑙𝜆𝑗 [13, с.238], де 𝜆𝑙, 𝜆𝑗 ,
𝑙, 𝑗 ∈ {1, 𝑛} — власнi значення матрицi 𝐹0, тобто 𝑛 власних зна-
чень матрицi 𝐹 є нульовими, тому що 𝜆𝑙𝜆̄𝑙 = 1, 𝑙 ∈ {1, 𝑛}. Тут
𝜆̄𝑙 — комплексно-спряжене власне значення. Нехай вектор 𝛾 ∈ ℝ𝑛2
є загальним розв’язком системи рiвнянь
𝐹𝛾 = 0. (34)
Знайдений вектор описує нуль-простiр матрицi 𝐹 . Покажемо, що та-
кож виконується рiвнiсть
(𝐹 )𝑇 𝛾 = 0. (35)
Iз властивостей прямого добутку маємо
(𝐹𝑇0 ⊗ 𝐹𝑇0 )𝑇 (𝐹𝑇0 ⊗ 𝐹𝑇0 ) = (𝐹0𝐹
𝑇
0 )⊗ (𝐹0𝐹
𝑇
0 ) = 𝐼𝑛2 ,
(𝐹𝑇0 ⊗ 𝐹𝑇0 )(𝐹𝑇0 ⊗ 𝐹𝑇0 )𝑇 = (𝐹𝑇0 𝐹0)⊗ (𝐹𝑇0 𝐹0) = 𝐼𝑛2 ,
тобто матриця 𝐹𝑇0 ⊗𝐹𝑇0 ортогональна. Домножимо злiва (35) на дану
ортогональну матрицю отримаємо
(𝐹𝑇0 ⊗ 𝐹𝑇0 )(𝐹 )𝑇 𝛾 = (𝐹𝑇0 ⊗ 𝐹𝑇0 − 𝐼𝑛 ⊗ 𝐼𝑛)𝛾 = −𝐹𝛾 = 0,
звiдки (𝐹 )𝑇 𝛾 = 𝛾𝑇𝐹 = 0. Аналогiчно неперервному випадку домно-
жимо обидвi частини рiвнянь (32) на ненульовий транспонований ве-
ктор 𝛾𝑇 i отримаємо нульовi тотожностi тодi i тiльки тодi, коли рiв-
няння мають розв’язки.
186Новицький В.В., Зiнчук М.О., Коломiйчук О.П., Тетерятник О.В.
Таким чином, вiльнi параметри матриць 𝑃𝑖−1, 𝑖 = 1, 2, . . . можна
визначати з необхiдних та достатнiх умов розв’язностi 𝑖-х рiвнянь, а
саме з рiвностей
(𝛾, 𝜉𝑖) = 0. (36)
Оскiльки вектор 𝛾 має довiльнi сталi, то для обчислення значень
вiльних параметрiв матрицi 𝑃𝑖−1 в скалярному добутку (𝛾, 𝜉𝑖) прирiв-
нюємо до нуля коефiцiєнти при цих довiльних сталих i, з утвореної
системи рiвнянь, знаходимо значення параметрiв.
Укажемо на те, що вектор 𝛾 можна сформувати з розкладу (31)
𝛾 = [𝑃𝛿,1*, . . . , 𝑃𝛿,𝑛*], 𝑃𝛿 = 𝛿1𝐼𝑛 + 𝛿2𝐹0 + . . .+ 𝛿𝑛𝐹
𝑛−1
0 , (37)
де 𝛿𝑖, 𝑖 = 1, 𝑛 — довiльнi сталi. Якщо число довiльних сталих змен-
шити, задовольнивши симетричнiсть 𝑃𝛿 = 𝑃𝑇𝛿 , то рiвнiсть (36) не в
усiх випадках буде визначати розв’язнiсть 𝑖-го рiвняння (32).
Перше рiвняння системи (30) нелiнiйне вiдносно матрицi 𝑃0. Пiд-
ставивши в праву частину першого рiвняння розклад для 𝑃0, отри-
маємо
𝐷1 = 𝐹𝑇1
𝑛−1∑︀
𝑗=0
𝛼𝑗𝐹
𝑗
0𝐹0 + 𝐹𝑇0
𝑛−1∑︀
𝑗=0
𝛼𝑗𝐹
𝑗
0𝐹1−
−𝐹𝑇0
𝑛−1∑︀
𝑗=0
𝛼𝑗𝐹
𝑗
0𝐺𝑀0𝐺
𝑇
𝑛−1∑︀
𝑗=0
𝛼𝑗𝐹
𝑗
0𝐹0 +𝑄0
або [14]
𝐷1 =
𝑛−1∑︁
𝑗=0
𝛼𝑗(𝐹
𝑇
1 𝐹
𝑗
0𝐹0+𝐹
𝑇
0 𝐹
𝑗
0𝐹1)−
𝑛−1∑︁
𝑗=0
𝑛−1∑︁
𝑙=0
𝛼𝑗𝛼𝑙𝐹
𝑇
0 𝐹
𝑗
0𝐺𝑀0𝐺
𝑇𝐹 𝑙0𝐹0+𝑄0,
тобто в коефiцiєнти при довiльних сталих вектора 𝛾 рiвняння (36)
(𝑖 = 1) параметри 𝛼0, . . . , 𝛼𝑛−1 входитимуть в нелiнiйнiй формi. Для
iнших рiвнянь вiльнi параметри вiдповiдних матриць в коефiцiєнти
входять лiнiйно.
Перейдемо до обчислення матрицi 𝑃𝑖 з вiльними параметрами.
Аналогiчно неперервним системам за допомогою лiвих елементарних
операцiй над многочленними матрицями 𝐹 можна звести до верхньо-
го трикутного вигляду. Нехай верхня трикутна матриця виходить з
матрицi 𝐹 за допомогою лiвих елементарних операцiй, якi вiдповiда-
ють матрицям 𝑆1, 𝑆2, . . . , 𝑆𝑙. Тодi за допомогою матрицi перетворення
Оптимальне керування лiнiйними майже консервативними си . . . 187
𝑆 = 𝑆𝑙𝑆𝑙−1 · · ·𝑆1 переходимо до спрощеної системи рiвнянь
𝑆𝐹𝜃𝑖 = 𝑆𝜉𝑖, 𝑖 = 1, 2, . . . . (38)
З рiвнянь (38) вектор 𝜃𝑖 знаходиться достатньо просто шляхом обчи-
слення невiдомих елементiв знизу вгору. Симетричнiсть матрицi 𝑃𝑖
узгоджуємо за допомогою частини з 𝑛 вiльних параметрiв.
Алгоритм обчислення матрицi-розв’язку рiвняння Рiккатi (24) ана-
логiчний алгоритму для неперервних систем, але в дискретному ви-
падку можна отримати тiльки наближений розв’язок.
Приклад 3.1. Побудуємо оптимальний регулятор для системи
(19) – (22) з такими матрицями
𝐹0 =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
− 2
√
15
15 −
√
10
5 0
√
3
3
−
√
15
15 −
√
10
10 −
√
2
2 −
√
3
3
−
√
15
15 −
√
10
10
√
2
2 −
√
3
3
√
15
5 −
√
10
5 0 0
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ , 𝐹1 =
⎡⎢⎢⎣
0 −1 0 1
2 0 −2 0
0 2 0 −1
1 0 −3 0
⎤⎥⎥⎦ ,
𝐺 =
[︂
0 1 0 0
0 0 0 1
]︂𝑇
, 𝑄0 = 𝐼4, 𝑅 = 𝐼2, 𝐻 ∈ ℝ2×4.
Матриця 𝐹0 має рiзнi власнi значення 𝜆1,2 = .9210727584 ±
±.3893905156𝑖, 𝜆3,4 = −.9838321405± .1790930460𝑖, тому для пошуку
оптимального регулятора можна застосувати пiдхiд, наведений вище.
Зобразимо нульове наближення у виглядi розкладу
𝑃0 = 𝛼0𝐼𝑛 + 𝛼1𝐹1 + 𝛼2𝐹
2
1 + 𝛼3𝐹
3
1 i з рiвностi 𝑃𝑇0 = 𝑃0 знаходимо
залежнiсть мiж вiльними параметрами 𝛼1 = −2/15
√
30𝛼3 − 𝛼3 −
−2/5
√
5𝛼3, 𝛼2 = −1/2
√
2𝛼3 + 2/15
√
15𝛼3 + 1/10
√
10𝛼3. З рiвняння
(34) знаходимо вектор 𝛾. Через громiздкiсть в явному виглядi його
не наводимо. Обчислюємо матрицю 𝐷1, формуємо вектор 𝜉1 i в ска-
лярному добутку (𝛾, 𝜉1) прирiвнюємо до нуля коефiцiєнти при довiль-
них сталих. Отримуємо наступнi незалежнi рiвняння для визначення
188Новицький В.В., Зiнчук М.О., Коломiйчук О.П., Тетерятник О.В.
параметрiв 𝛼0, 𝛼3:
15.61984500𝛼0 − 22.39958669𝛼2
3 − 6.701970448𝛼2
0 + 11.44058324+
+37.93586151𝛼3 − 30.16610332𝛼0𝛼3 = 0,
−7.201572752𝛼2
3 + 5.654225979𝛼0 + 4.− .6399412480𝛼3−
−2.𝛼2
0 − .7628360030𝛼0𝛼3 = 0.
(39)
З системи нелiнiйних рiвнянь (39) знаходимо один iз розв’язкiв:
𝛼0 = 3.459052383, 𝛼3 = −.2412704158 i за розкладом (31) будуємо
матрицю
𝑃0 =
⎡⎢⎢⎣
3.240153334 −0.214888563 −0.062295754 0.326184800
−0.214888563 3.336743538 −0.246900352 −0.29189035
−0.062295754 −0.246900352 3.830544242 −0.13929754
0.326184800 −0.291890349 −0.139297540 3.489336348
⎤⎥⎥⎦ ,
власнi значення якої дорiвнюють 𝜆1,2 = 3.014597169, 𝜆3,4 =
= 3.933791563, тобто 𝑃0 > 0.
Далi з першого рiвняння системи (30) знаходимо перше наближе-
ння матрицi-розв’язку 𝑃
𝑃1 =
⎡⎢⎢⎣
22.34733765 5.365413683 −0.395008501 −1.113513221
5.365413683 6.999809995 11.05559507 −17.51995097
−0.395008501 11.05559507 −6.999809995 −1.789541488
−1.113513221 −17.51995097 −1.789541488 16.94572418
⎤⎥⎥⎦ .
Наприклад, при 𝜀 = .1 маємо 𝑃 > 0, 𝑄 > 0 i оптимальний регуля-
тор
𝐻 = (𝜀𝐺𝑇 (𝑃0 + 𝜀𝑃1)𝐺+𝑅)−1𝐺𝑇 (𝑃0 + 𝜀𝑃1)(𝐹0 + 𝜀𝐹1)
такий:
𝐻 =
[︂
−1.299181545 −0.5012362228 −1.766854996 −1.807127737
2.870457236 −1.880327207 −0.189222113 0.7717162978
]︂
,
а матриця замкненої системи має вигляд
𝐹0 + 𝜀(𝐹1 −𝐺𝐻) =
=
⎡⎢⎢⎣
−0.516397779 −0.732455532 0.0 0.677350269
0.071719265 −0.266104144 −0.730421281 −0.396637496
−0.258198890 −0.116227766 0.707106781 −0.677350269
0.587550946 −0.444422811 −0.281077789 −0.0771716298
⎤⎥⎥⎦ ,
Оптимальне керування лiнiйними майже консервативними си . . . 189
власнi значення якої 𝜆1,2 = .7917173248 ± .3386625833𝑖,
𝜆3,4 = −.8680007107± .2163971358𝑖 за модулем меншi одиницi.
Таким чином, система (19)–(22) за допомогою знайденого опти-
мального регулятора стабiлiзована з точнiстю до першого наближе-
ння.
[1] Понтрягин Л.С., В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Ми-
щенко Математическая теория оптимальных процессов. — М.: Наука,
1961. — 384 с.
[2] Politi A., Oppo G.L., and Badii R. Coexistence of conservative and dissi-
pative behavior in reversible dynamical systems // Phys. Rev. A— Vol.
33, 4055.— 1986.
[3] Кузнецов А.П., Савин Д.В.Консервативные и почти консервативные
осцилляторы и их модели. //Материалы XIII зимней школы по СВЧ
электронике и радиофизике. — Саратов: Издательство ГосУНЦ «Кол-
ледж», 2006. — C.85-86.
[4] Новицький В. В. Дослiдження майже консервативних систем.
//Зб. наукових праць вiддiлу прикладного нелiнiйного аналiзу ННК
"IПСА"НТУУ "КПI".Вип.1 — ТОВ "Спринт-сервис". 2013. №1.—
С.112-119.
[5] Тетерятник О. В. Дослiдження двох звязаних керованих осциля-
торiв / Зб. праць Iн-ту математики НАН України. — 2013. 10, №3.—
С.191-200.
[6] Тетерятник О. В. Аналiтичний вираз оптимального керування для
системи двох зв’язаних керованих майже консервативних осциляторiв
// Зб. праць Iн-ту математики НАН України.— 2014. т.11, №5.— С.231-
239.
[7] Новицкий В.В., Хуан Чень Оптимальное управление почти консерва-
тивными системами.//Зб. праць Iн-ту математики НАН України.—
2004. т.1, № 2.— С.152-157.
[8] Зiнчук М.О., Новицький В.В. Оптимальне керування неперервними
майже консервативними системами.// Зб. праць Iн-ту математики
НАН України.— 2006. т.3, №1.— С. 75-89.
[9] Зiнчук М.О., Новицький В.В. Оптимальне керування дискретними
майже консервативними системами.// Зб. праць Iн-ту математики
НАН України.— 2008. т.5, №2.— С.124-140.
[10] Barnett S., Cameron R.G. Introduction to Mathematical Control Theory,
Second Edition.— Oxford: Clarendon press. 1985.— 404 p.
[11] Ларин В.Б. О слабом управлении слабодемпфированными системами.
//Прикл. математика и механика.— 1978. т. 42. вып.6.— С. 1000-1006.
190Новицький В.В., Зiнчук М.О., Коломiйчук О.П., Тетерятник О.В.
[12] Прасолов В.В. Задачи и теоремы линейной алгебры.— М.: Наука.
1996.— 304 с.
[13] Ланкастер П. Теория матриц.— М.: Наука, 1978.— 280с.
[14] Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ. Т1. Основные алго-
ритмы.— М.: Мир, 1976.— 736с.
[15] Гантмахер Ф.Р. Теория матриц.— М.: Наука. 1988.— 552с.
[16] Ларин В.Б., Науменко К.И. Слабое дискретное управление слабодем-
пфированными системами. В кн. Навигация и управление движением
механических систем.— Киев, 1980.— С.90-100.
[17] Стрейц В. Метод пространства состояний в теории дискретных ли-
нейных систем управления.— М.: Наука, 1985.— 296с.
1. Луковський І.О., Гаврилюк І.О., Василик В.Б., Ситник Д.О.
2. Біленко В. І., Божонок К. В., Дзядик С. Ю., Стеля О. Б.
Інтегро–апроксимаційний алгоритм
Вступ
Постановка задачі
Алгоритм
Похибка алгоритму
Застосування a–методу для алгебраїчно–нелінійних рівнянь гіперболічного типу
Задача Дирихле для алгебраїчно–нелінійних рівнянь еліптичного типу на прямокутнику
Наближений розв'язок початкової задачі для алгебраїчно–нелінійних рівнянь параболічного типу на прямокутнику
Сплайн–алгоритм
Монотонна схема для рівняння конвекції–дифузії
Висновки
3. Василик В.Б., Макаров В.Л., Ситник Д.О.
Вступ
Регуляризація та явне зображення розв'язку
Вибір контуру інтегрування
Чисельний метод
4. Веселовська Г.М.
5. Грушковская В.В.
Введение
Построение модельной системы
Условия устойчивости
Оценка скорости убывания решений
Пример: оценка скорости затухания колебаний маятниковой системы с частичной диссипацией
Выводы
6. Дзюбенко Г.А.
Вступ
Допоміжні факти
Доведення Теореми ??
7. Діденко Ю.Ф., Денисенко В.І.
8. Елишевич М.А.
Постановка задачи
Полученный результат
Пример
9. Константинов А.В., Лимарченко О.С., Кинебас К.В., Паранькина О.Ю.
Введение
Объект исследования и математическая модель
Результаты вычислительных экспериментов
Выводы
10. Мазко О.Г., Кусій С.М.
Вступ
Допоміжні твердження
Лінійні системи з керованими і спостережуваними виходами
Статичний регулятор по вимірюваному виходу
Динамічний регулятор
Алгоритм побудови динамічного регулятора
Приклад. Гасіння коливань лінійного осцилятора.
Висновок
11. Працьовитий М. В., Маслова Ю. П.
Вступ
Функція Радемахера і ряди Уолша
Узагальнення функцій Радемахера
Узагальнення функцій Уолша
12. Працьовитий М.В., Чуйков А.С.
Вступ
Оператори лівостороннього та правостороннього зсуву елементів ланцюгового дробу
Інші функції, пов'язані з оператором T(x)
13. Новицький В.В., Зінчук М.О., Коломійчук О.П., Тетерятник О.В.
Вступ
Оптимальне керування лінійними неперервними майже консервативними системами
Оптимальне керування лінійними дискретними майже консервативними системами
14. Осауленко Р. Ю.
Вступ
Перетворення, які зберігають хвости Qs–зображення чисел
Група перетворень, які зберігають частоти цифр Qs–зображення числа
Приклад функції, яка зберігає частоти, але не зберігає хвости зображення Qs-ірраціональних чисел
15. Слинько В.І., Кравчук С.В.
Постановка задачі.
Основний результат.
Умови стійкості
16. Солодун А. В.
Постановка задачи
Численные результаты
17. Ситник Д.О.
Вступ
Sinc–апроксимація
Sinc-апроксимація функції за її значеннями поза інтерполяційною сіткою
18. Сосницький С.П.
Вступ
Про рівняння збуреного руху в околі стаціонарних лагранжевих трикутників
Теорема про орбітальну нестійкість лагранжевих стаціонарних рухів у задачі трьох тіл
Висновок
19. Сосницький С.П.
Вступ
Про достатні умови відсутності осцилюючих симетричних рухів
20. Чернецька Л.О.
21. Timokha A.N.
Statement
Asymptotic steady-state solutions of (??)–(??)
The reciprocating excitation type
The axisymmetric elliptic excitation type
The oblique elliptic excitation type
Conclusions
22. Shlepakov L.N.
Main relationships for a non-inflated system
Construction of enlarged systems
Defining the task mathematical programming
Case of multiple channels with same probability characteristics in the same system of channels.
23. Shidlich A.L.
Approximative characteristics
Main results
Order estimates for some functionals and their applications
Proof of Theorems ?? and ??.
24. Луковський І.О., Стороженко В.О.
25. Луковський І.О., Пустовойтов М.О.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-51 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:01:39Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/3b/81902a8c2fd2914d1d79d38c7fa9283b.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-512018-02-13T11:57:10Z Optimal control by linear almost conservative systems Оптимальное управление линейными почти консевативными системами Оптимальне керування лiнiйними майже консервативними системами Novitsky, V. V. Zinchuk, M. O. Kolomiychuk, O. P. Teteryatnik, O. V. Новицкий, В. В. Зинчук, М. о. Коломийчук, О. П. Тетерятник, О. В. Новицький, В. В. Зiнчук, М. О. Коломiйчук, О. П. Тетерятник, О. В. In this paper, discrete and continuous linear almost conservative systems with quadratic performance index are considered. The technique of constructing an optimal control based on the power series expansion of a matrix-solution of the Riccati equation is proposed. The results are demonstrated by illustrative examples. В данной работе рассматриваются почти консервативные линейные непрерывные и дискретные системы управления с квадратичным критерием качества. Предлагается методика построения оптимального управления, основанная на разложении в степенной ряд матрицы решения уравнения Риккати. Приводятся иллюстративные примеры. У даній роботі розглядаються майже консервативні лінійні неперервні і дискретні системи управління з квадратичним критерієм якості. Пропонується методика побудови оптимального управління, заснована на розкладанні в степеневий ряд матриці розв'язки рівняння Ріккаті. Наводяться ілюстративні приклади. Інститут математики НАН України 2017-12-22 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/51 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 13 No. 3 (2016): Mathematical problems of mechanics and computational mathematics; 174-190 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 13 № 3 (2016): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 174-190 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 13 № 3 (2016): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 174-190 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/51/47 Авторське право (c) 2016 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Novitsky, V. V. Zinchuk, M. O. Kolomiychuk, O. P. Teteryatnik, O. V. Новицкий, В. В. Зинчук, М. о. Коломийчук, О. П. Тетерятник, О. В. Новицький, В. В. Зiнчук, М. О. Коломiйчук, О. П. Тетерятник, О. В. Optimal control by linear almost conservative systems |
| title | Optimal control by linear almost conservative systems |
| title_alt | Оптимальное управление линейными почти консевативными системами Оптимальне керування лiнiйними майже консервативними системами |
| title_full | Optimal control by linear almost conservative systems |
| title_fullStr | Optimal control by linear almost conservative systems |
| title_full_unstemmed | Optimal control by linear almost conservative systems |
| title_short | Optimal control by linear almost conservative systems |
| title_sort | optimal control by linear almost conservative systems |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/51 |
| work_keys_str_mv | AT novitskyvv optimalcontrolbylinearalmostconservativesystems AT zinchukmo optimalcontrolbylinearalmostconservativesystems AT kolomiychukop optimalcontrolbylinearalmostconservativesystems AT teteryatnikov optimalcontrolbylinearalmostconservativesystems AT novickijvv optimalcontrolbylinearalmostconservativesystems AT zinčukmo optimalcontrolbylinearalmostconservativesystems AT kolomijčukop optimalcontrolbylinearalmostconservativesystems AT teterâtnikov optimalcontrolbylinearalmostconservativesystems AT novicʹkijvv optimalcontrolbylinearalmostconservativesystems AT zinčukmo optimalcontrolbylinearalmostconservativesystems AT kolomijčukop optimalcontrolbylinearalmostconservativesystems AT teterâtnikov optimalcontrolbylinearalmostconservativesystems AT novitskyvv optimalʹnoeupravlenielinejnymipočtikonsevativnymisistemami AT zinchukmo optimalʹnoeupravlenielinejnymipočtikonsevativnymisistemami AT kolomiychukop optimalʹnoeupravlenielinejnymipočtikonsevativnymisistemami AT teteryatnikov optimalʹnoeupravlenielinejnymipočtikonsevativnymisistemami AT novickijvv optimalʹnoeupravlenielinejnymipočtikonsevativnymisistemami AT zinčukmo optimalʹnoeupravlenielinejnymipočtikonsevativnymisistemami AT kolomijčukop optimalʹnoeupravlenielinejnymipočtikonsevativnymisistemami AT teterâtnikov optimalʹnoeupravlenielinejnymipočtikonsevativnymisistemami AT novicʹkijvv optimalʹnoeupravlenielinejnymipočtikonsevativnymisistemami AT zinčukmo optimalʹnoeupravlenielinejnymipočtikonsevativnymisistemami AT kolomijčukop optimalʹnoeupravlenielinejnymipočtikonsevativnymisistemami AT teterâtnikov optimalʹnoeupravlenielinejnymipočtikonsevativnymisistemami AT novitskyvv optimalʹnekeruvannâlinijnimimajžekonservativnimisistemami AT zinchukmo optimalʹnekeruvannâlinijnimimajžekonservativnimisistemami AT kolomiychukop optimalʹnekeruvannâlinijnimimajžekonservativnimisistemami AT teteryatnikov optimalʹnekeruvannâlinijnimimajžekonservativnimisistemami AT novickijvv optimalʹnekeruvannâlinijnimimajžekonservativnimisistemami AT zinčukmo optimalʹnekeruvannâlinijnimimajžekonservativnimisistemami AT kolomijčukop optimalʹnekeruvannâlinijnimimajžekonservativnimisistemami AT teterâtnikov optimalʹnekeruvannâlinijnimimajžekonservativnimisistemami AT novicʹkijvv optimalʹnekeruvannâlinijnimimajžekonservativnimisistemami AT zinčukmo optimalʹnekeruvannâlinijnimimajžekonservativnimisistemami AT kolomijčukop optimalʹnekeruvannâlinijnimimajžekonservativnimisistemami AT teterâtnikov optimalʹnekeruvannâlinijnimimajžekonservativnimisistemami |