Один клас неперервних ніде не монотонних функцій, який містить сингулярні функції
In the paper, we propose another way of constructing a class of continuous nowhere monotonic functions which contains singular functions. We use $ \left (\uu, \w \right) $-derivative to study the differential properties of a function belonging to the constructed class.
Збережено в:
| Дата: | 2019 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2019
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/513 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872553014119628800 |
|---|---|
| author | Осауленко, Р. Ю. |
| author_facet | Осауленко, Р. Ю. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Р. Ю. Осауленко",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Осауленко, Р. Ю. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-03-02T07:56:20Z |
| description | In the paper, we propose another way of constructing a class of continuous nowhere monotonic functions which contains singular functions. We use $ \left (\uu, \w \right) $-derivative to study the differential properties of a function belonging to the constructed class. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:08:35Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2019, т. 16, № 3, 149–159
УДК 517.2+517.51
Р.Ю. Осауленко
Нацiональний технiчний унiверситет України «Київський
полiтехнiчний iнститут iменi Iгоря Сiкорського», Київ;
RomanOsaulenko@gmail.com
Один клас неперервних нiде не
монотонних функцiй, який мiстить
сингулярнi функцiї
In the paper, we propose another way of constructing a class of conti-
nuous nowhere monotonic functions which contains singular functi-
ons. We use (u, v)-derivative to study the differential properties of a
function belonging to the constructed class.
Key words: nowhere monotonic function, singular function.
У роботi представлено ще один спосiб конструювання контину-
ального класу нiде не монотонних функцiй, який мiстить син-
гулярнi. Показано використання (u, v)-похiдної для дослiдження
диференцiальних властивостей функцiї з побудованого класу.
Ключовi слова: нiде не монотонна функцiя, сингулярна фун-
кцiя.
Вступ
Нас цiкавлять неперервнi функцiї, якi є одночасно сингулярни-
ми (вiдмiннi вiд константи, але мають похiдну рiвну нулю майже
скрiзь у розумiннi мiри Лебега) i нiде не монотонними (не мають
c© Р. Ю. Осауленко, 2019
150 Р.Ю. Осауленко
жодного промiжку монотонностi). Їх теорiя є достатньо бiдною i
вичерпується окремими прикладами [3, 4, 7]. Хотiлось би зазна-
чити, що конструкцiї, наведенi в роботi [7], викликають чимало
запитань, на якi нам не вдалося знайти вiдповiдi. Як стверджує
автор статтi [1], такi функцiї виникають у задачах теорiї фiнi-
тного керування.
Застосування зображень дiйсних чисел чи систем кодування
дiйсних чисел засобами скiнченного, нескiнченного, сталого та
змiнного алфавiтiв дозволяють спростити задачу конструювання
(моделювання) об’єктiв iз зазначеними властивостями [8, 9, 11,
12]. У цих роботах зазвичай основним прийомом для доведення
сингулярностi функцiї є використання «цилiндричної похiдної»,
вiдповiдної зображенню аргументу.
Так, цилiндричною похiдною функцiї y = f(x) в точцi x0, що
вiдповiдає s-ковому зображенню аргументу
(
x0 = ∆s
α1α2...αn...
)
називається границя
lim
n→∞
f
(
∆s
α1α2...αn(s−1)
)
− f
(
∆s
α1α2...αn(0)
)
∣∣∆s
α1α2...αn
∣∣ ,
де
∣∣∆s
α1α2...αn
∣∣ — довжина вiдрiзка
[
∆s
α1α2...αn(0)
; ∆s
α1α2...αn(s−1)
]
,
який є цилiндром n-го рангу, що мiстить число x0.
Нагадаємо, що цилiндром n-го рангу ∆s
α1α2...αn є множина всiх
точок x = ∆s
α1α2...αn..., першi n цифр зображення яких мають
фiксованi значення α1, α2, . . . , αn вiдповiдно.
У цiй роботi ми пропонуємо ще один спосiб задання контину-
ального класу неперервних нiде не монотонних функцiй, кожна
з яких є границею рекурентно заданої рiвномiрно збiжної фун-
кцiональної послiдовностi. Вiн мiстить континуальний пiдклас
сингулярних функцiй. Для обґрунтування сингулярностi викори-
стовується узагальнення цилiндричної похiдної, так звана (u, v)-
похiдна, означення i властивостi якої наведенi в [10]. Коротко
зупинимося на тих фактах, якi будуть використовуватися для
наведених нижче конструкцiй функцiй.
Один клас неперервних нiде не монотонних функцiй 151
Позначимо через P множину всiх пар (u, v) нескiнченно малих
в нулi функцiй, для кожної з яких iснує таке число δ > 0, що
для всiх h ∈ O∗δ виконується нерiвнiсть u(h) 6= −v(h), де O∗δ —
проколений δ-окiл нуля.
Прикладами пар функцiї (u, v) є
(
ahSign
(
sin 1
h
)
, hD(h)
)
,([
h−1
]−1
, h
)
, де R 3 |a| 6= 1, D(h) =
{
0, h ∈ R\Q;
1, h ∈ Q;
, Sign (h) =
=
{
h/|h|, h 6= 0;
0, h = 0;
а [x] — цiла частина числа.
Нехай ∆
u(h)
v(h)x := u(h) + v (h),
∆
u(h)
v(h)f(x0) := f
(
x0 + u(h)
)
− f
(
x0 − v (h)
)
.
Якщо для наперед заданих в деякому околi x0 функцiї f та
пар функцiй (u; v) ∈ P iснує границя (скiнченна чи нескiнченна)
lim
h→0
∆
u(h)
v(h)f(x0)
∆
u(h)
v(h)x
= lim
h→0
f
(
x0 + u (h)
)
− f
(
x0 − v (h)
)
u(h) + v(h)
,
то її значення називається (u, v)-похiдною функцiї f в точцi x0
i позначається Du
vf(x0).
Зазначимо, що у випадку, коли u(h) = h, v(h) = 0, отримуємо
класичне означення похiдної. Якщо ж u(h) = v(h) = h, то маємо
означення симетричної похiдної.
Вибравши нескiнченно малу числову послiдовнiсть (an) i взяв-
ши за u(h) = an при h ∈
(
2−n−1; 2−n
]
, v(h) = 0 отримаємо значе-
ння Du
vf(x0), яке рiвне похiдному числу для послiдовностi (an).
Зазначимо, що наведенi далi конструкцiї мають безпосереднiй
зв’язок з (u, v)-похiдною.
• У [2] Вен Чен (Wen Chen) та iн. означили фрактальну похi-
дну (fractal derivative) як границю lim
t1→t
u(t1)−u(t)
tα1−tα
. Легко по-
152 Р.Ю. Осауленко
казати, що lim
t1→t
u(t1)−u(t)
tα1−tα
= t1−α
α Dt1−t
0 u(t) при t 6= 0. Фра-
ктальна похiдна також застосовувалась у статтi [5].
• У [6] було означено conformable fractional derivate як гра-
ницю Tα(f)(t) = lim
ε→0
f(t+εt1−α)−f(t)
ε . Легко показати, що
Tα(f)(t) = t1−αDht1α
0 f(t).
Надалi u = u(h), v = v(h). Наведемо простi твердження, якi
будемо використовувати далi (детальнiше в [10]).
Нехай P+ =
{
(u, v) ∈ P : u · v ≥ 0, ∀h ∈ O (u, v)
}
, де O (u, v) —
деякий проколений окiл нуля, в кожнiй точцi якого функцiї u, v
є визначеними i виконується нерiвнiсть u(h) 6= −v(h) для будь-
якого h ∈ O (u, v).
Теорема 1. Нехай f — функцiя, задана в околi точки x0, для
якої f ′(x0) ∈ R
⋃
{±∞}. Тодi для довiльної пари (u, v) ∈ P+ ви-
конується рiвнiсть Du
vf(x0) = f ′(x0).
Наслiдок 1. Якщо f — функцiя, задана в околi точки x0 i для
деякої (u, v) ∈ P+ не iснує скiнченної (u, v)-похiдної Du
vf(x0), то
f — недиференцiйовна в цiй точцi.
Наслiдок 2. Нехай в околi точки x0 задано функцiю f i послi-
довностi дiйсних чисел (ln), (rn), збiжнi до x0, i ln ≤ x0 ≤ rn,
ln 6= rn для всiх n ∈ N. Тодi
• якщо f ′(x0) ∈ R
⋃
{±∞}, то f ′(x) = lim
n→∞
f(rn)−f(ln)
rn−ln .
• якщо не iснує lim
n→∞
f(rn)−f(ln)
rn−ln , то в точцi x0 не iснує похi-
дної.
Якщо за ln та rn взяти лiвий та правий кiнець цилiндра n-го
рангу, то попереднiй наслiдок якраз описує цилiндричну похiдну.
Один клас неперервних нiде не монотонних функцiй 153
1. Клас нiде не монотонних функцiй
Розглянемо додаткову функцiю χ, задання якої залежить вiд
двох параметрiв p, q:
χ(x, p, q) = [x] +
3p{x}, 0 ≤ {x} < 1
3
;
2p+ q − 1− 3(p+ q − 1){x}, 1
3
≤ {x} < 2
3
;
1− 3q + 3q{x}, 2
3
≤ {x} < 1,
(1)
де [x] — цiла частина числа x, {x} — його дробова частина. Нага-
даємо, що будь-яке дiйсне число x = [x] +{x}, {x} ∈ [0; 1). Легко
переконатися, що для p, q ∈ [0; 1] рiзниця
χ(x, p, q)− x ∈ [−1; 1], x ∈ R. (2)
Рис. 1: Графiк функцiї χ для p = 0.8 i q = 0.6
Нехай задано нескiнченну послiдовнiсть пар параметрiв
(pn, gn) = P таких, що 0 ≤ lim
n→∞
pn ≤ lim
n→∞
pn ≤ 1 i 0 ≤ lim
n→∞
gn ≤
154 Р.Ю. Осауленко
lim
n→∞
gn ≤ 1. Розглянемо рекурентно задану послiдовнiсть:
Ωk+1 (x, P ) = 3−kχ
(
3kΩk (x, P ) , pk, qk
)
, Ω0 (x, P ) = x. (3)
Теорема 2. Для заданої послiдовностi пар параметрiв P
• завжди iснує неперервна Ω(x, P ) = lim
k→∞
Ωk(x, P );
• послiдовнiсть (Ωk) є рiвномiрно збiжною до Ω на [0; 1].
Доведення. Розглянемо рiзницю
Ωk(x, P )−Ω0(x, P )=Ωk(x, P )−x=
k−1∑
n=0
(Ωn+1(x, P )− Ωn(x, P )) .
Перейшовши до границь в останнiх рiвностях, отримаємо, що
Ω(x, P ) = x+
∞∑
n=0
(Ωn+1(x, P )− Ωn(x, P )) . (4)
Враховуючи ознаку Веєрштраса рiвномiрної збiжностi функцiо-
нальних рядiв та оцiнку (2), покажемо рiвномiрну збiжнiсть ряду
з рiвностi (4):
∞∑
n=0
|Ωn+1(x, P )− Ωn(x, P )| ≤
≤
∞∑
n=0
∣∣∣3−n (χ(3nΩn(x, P ), pn, qn
)
− Ωn(x, P )
)∣∣∣ ≤ ∞∑
n=0
3n.
Враховуючи властивостi рiвномiрно збiжних рядiв, отримує-
мо iснування неперервної функцiї Ω для заданої послiдовностi
пар P = (pk, qk). �
Лема 3. Нехай функцiональна послiдовнiсть (ϕn) рiвномiрно
збiгається до ϕ на [a; b]. Для V
[a;b]
ϕ, варiацiї функцiї ϕ, виконує-
ться нерiвнiсть V
[a;b]
ϕ ≤ lim
n→∞
V
[a;b]
ϕn ≤ lim
n→∞
V
[a;b]
ϕn.
Один клас неперервних нiде не монотонних функцiй 155
Теорема 4. Якщо для послiдовностi пар P = (pk, qk) є збiжним
додатний ряд
∞∑
n=1
(pn + qn − 1 + |pn + qn − 1|) ,
то функцiя Ω, що вiдповiдає цiй послiдовностi пар, є функцiєю
обмеженої варiацiї.
Доведення. Варiацiя функцiї χ(x, p, q) у (pn + qn + |pn + qn − 1|)
разiв бiльша, нiж варiацiя функцiї f(x) = x на тому самому
промiжку.
Якщо f — кусково-лiнiйна функцiя, то маємо оцiнку
V
[a;b]
χ
(
f(x), p, q
)
≤ (pn + qn + |pn + qn − 1|) V
[a;b]
f(x).
Враховуючи теорему 2, де було встановлено, що послiдовнiсть
кусково-лiнiйних функцiй (Ωk) рiвномiрно прямує до Ω, маємо,
що застосовною є лема 3. Отже,
V
[a;b]
Ω(x, P ) ≤ lim
k→∞
V
[a;b]
Ωk(x, P ) ≤
≤ lim
k→∞
(
(b− a) ·
k∏
n=1
(pn + qn + |pn + qn − 1|)
)
. (5)
Знайдемо умови, коли
∞∏
n=1
(pn + qn + |pn + qn − 1|)
iснує i є скiнченним. Для цього розглянемо ряд
∞∑
n=1
ln (pn + qn + |pn + qn − 1|) . Застосовуючи граничний ви-
падок ознаки порiвняння, легко показати, що ряд збiгається
одночасно з рядом
∞∑
n=1
(pn + qn − 1 + |pn + qn − 1|). �
Теорема 5. Якщо для заданої послiдовностi пар P = (pn, qn)
вiдповiдна функцiя Ω є функцiєю обмеженої варiацiї, при
156 Р.Ю. Осауленко
цьому iснує нескiнченна пiдпослiдовнiсть (nj), що значення
lim
j→∞
∣∣3pnj − 1
∣∣, lim
j→∞
∣∣3qnj − 1
∣∣, lim
j→∞
∣∣∣3 ∣∣pnj + qnj − 1
∣∣ − 1
∣∣∣ одноча-
сно вiдмiннi вiд нуля, то функцiя Ω — сингулярна.
Доведення. Зазначимо таке: якщо при x значення 3nΩn(x, P ) є
цiлим числом, то для всiх k > n виконується рiвнiсть: Ωk(x, P ) =
= Ωn(x, P ) = Ω(x, P ). Тобто, розглядаючи Ωn як n-те наближе-
ння до Ω, маємо набори точок, якi стають «нерухомими».
Позначимо Φn = {xj | 3nΩn(xj , P ) ∈ Z}. Таким чином ми
утворили послiдовнiсть вкладених множин (Φn), при цьому мно-
жина Φ =
⋃
n∈N
Φn буде скрiзь щiльною (це випливає з неперерв-
ностi функцiї Ω i власне побудови множин Φn).
Для кожної точки x утворимо послiдовностi
ln = ln(x) = max
{
xj
∣∣∣ xj ≤ x, xj ∈ Φn
}
,
rn = rn(x) = max
{
xj
∣∣∣ xj > x, xj ∈ Φn
}
.
Маємо, що ln(x) ≤ x < rn(x), а також згiдно з побудовою мно-
жин Φn монотоннiсть послiдовностей (ln), (rn).
Побудуємо додаткову послiдовнiсть функцiй
Kn =
Ωn, якщо sup
t∈[ln(x);rn(x)]
Ωn(t, P )− inf
t∈[ln(x);rn(x)]
Ωn(t, P ) = 3−n;
0, в iншому випадку.
Особливiстю побудованої функцiї є те, що розв’язками рiв-
няння Ω(x, P ) = Ωn(x, P ) є всi числа з множини Φn. Згiдно з
побудовою маємо:
Ω
(
rn(x), P
)
− Ω
(
ln(x), P
)
rn(x)− ln(x)
=
Kn(rn)−Kn(ln)
rn(x)− ln(x)
=
{
Ωn
′+(x, P ),
0.
(Ωn
′+(x) це правостороння похiдна функцiї Ωn в точцi x.)
Один клас неперервних нiде не монотонних функцiй 157
Оскiльки Ω є функцiєю обмеженої варiацiї, то майже скрiзь
у розумiннi мiри Лебега вона має скiнченну похiдну (позначимо
множину таких значень аргументу через X).
Для всiх x, для яких iснує нескiнченна пiдпослiдовнiсть нату-
ральних чисел nj таких, що Knj (x) 6= 0 покажемо, що
lim
j→∞
Ωnj
′+(x, P ) =
0,
±∞,
не iснує.
Оскiльки Ωnj — кусково-лiнiйна функцiя, то
Ω(rnj , P )− Ω(lnj , P ) = Ωnj (rnj , P )− Ωnj (lnj , P ) = Ωnj
′+(t, P )
для всiх t ∈ [lnj ; rnj ).
Якщо врахувати задання Ωn, то очевидним стає рекурентне
спiввiдношення:
Ω′n+1(x, P ) = anΩ′n(x, P ), an ∈ {3pn, 3qn, 3 |pn + qn − 1|} .
Враховуючи iснування пiдпослiдовностi (nj) (з умов теореми),
маємо можливi випадки:
lim
j→∞
Ω′nj (x, P ) =
0,
±∞,
не iснує.
Враховуючи наслiдок 2, для всiх x ∈ X маємо
Ω′(x, P ) = lim
j→∞
Ω
(
rnj (x, P )
)
− Ω
(
lnj (x, P )
)
rnj (x)− lnj (x)
=
= lim
j→∞
Knj
(
rnj (x)
)
−Knj
(
lnj (x)
)
rnj (x)− lnj (x)
=
0,
±∞,
не iснує.
(6)
158 Р.Ю. Осауленко
Оскiльки X — це множина тих значень аргументу, для яких
iснує скiнченна похiдна функцiї Ω, то з (6) маємо, що Ω′(x, P ) = 0
для всiх x ∈ X. Отже, функцiя Ω — сингулярна. �
Згiдно з побудовою, можна говорити, що клас всеможливих
функцiй Ω мiстить в собi нiде не монотоннi сингулярнi функцiї
обмеженої варiацiї.
Рис. 2: Графiки функцiй при P =
(
3
4 + 1
n1.2 ; 1
4 + 1
n1.2
)
:
а) Ω1, Ω2, Ω3; б) Ω.
Лiтература
[1] Agadzhanov A. N. Nowhere monotone singular functions in
problems of finite control of distributed systems // Dokl.
Math. – 2014. – Vol. 89, № 1. – P. 84–87.
[2] Chen W., Sun H., Zhang X., Korošak D. Anomalous diffusi-
on modeling by fractal and fractional derivatives // Comput.
Math. Appl. – 2010. – Vol. 59, № 5. – P. 1754–1758.
[3] Garg K. M. On singular functions // Rev. Roumaine Math.
Pures Appl. – 1969. – Vol. 14. – P.1441–1452.
[4] Garg K. M. Construction of absolutely continuous and singular
functions that are nowhere of monotonic type // Classical real
Один клас неперервних нiде не монотонних функцiй 159
analysis (Madison, Wis., 1982). – Providence, R.I.: Amer. Math.
Soc. – 1985. – P. 61–79. – (Contemp. Math.; 42).
[5] He J.-H. Fractal calculus and its geometrical explanation
// Results in Physics. – 2018. – Vol. 10. – P. 272–276.
[6] Khalil R., Al Horani M., Yousef A., Sababheh M. A new defini-
tion of fractional derivative // J. Comput. Appl. Math. – 2014. –
Vol. 264. – P. 65–70.
[7] Shukla U. K. On points of non-symmetrical differentaibility of a
continuous function. III // Ganita. – 1958. – Vol. 8. – P. 81–104.
[8] Калашнiков А. В., Працьовитий М. В. Самоафiннi сингу-
лярнi та нiде не монотоннi функцiї, пов’язанi з Q-зображен-
ням дiйсних чисел // Укр. мат. журн. – 2013. – Т. 65, № 3. –
С. 405–417.
[9] Климчук С. О., Працьовитий М. В. Про один клас нiде не
монотонних функцiй з фрактальними властивостями, який
мiстить пiдклас сингулярних функцiй // Зб. пр. Iн-ту мате-
матики НАН України. – 2017. – Т. 14, № 4. – С. 19–33.
[10] Осауленко Р. Ю. Узагальнення класичної похiдної функцiї
в точцi i його застосування // Зб. пр. Iн-ту математики НАН
України. – 2018. – Т. 15, № 1. – С. 100–113.
[11] Працьовитий М. В. Фрактальний пiдхiд у дослiдженнях
сингулярних розподiлiв. – Вид-во НПУ iменi М.П. Драго-
манова. – 1998. – 296 с.
[12] Працьовитий М. В. Нiде не монотоннi сингулярнi фун-
кцiї // Наук. часоп. НПУ iменi М.П. Драгоманова. Сер. 1.
Фiз.-мат. науки. – 2011. – № 12. – С. 24–36.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-513 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:08:35Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/b0/66ca0bde29709771a4be030e36623fb0.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-5132023-03-02T07:56:20Z Один клас неперервних ніде не монотонних функцій, який містить сингулярні функції Осауленко, Р. Ю. In the paper, we propose another way of constructing a class of continuous nowhere monotonic functions which contains singular functions. We use $ \left (\uu, \w \right) $-derivative to study the differential properties of a function belonging to the constructed class. У роботі представлено ще один спосіб конструювання континуального класу ніде не монотонних функцій, який містить сингулярні. Показано використання $\left(\uu,\w\right)$-похідної для дослідження диференціальних властивостей функції з побудованого класу. Інститут математики НАН України 2019-12-30 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/513 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 16 No. 3 (2019): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 149-159 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 16 № 3 (2019): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 149-159 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 16 № 3 (2019): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 149-159 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/513/496 Авторське право (c) 2019 2019 http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Осауленко, Р. Ю. Один клас неперервних ніде не монотонних функцій, який містить сингулярні функції |
| title | Один клас неперервних ніде не монотонних функцій, який містить сингулярні функції |
| title_full | Один клас неперервних ніде не монотонних функцій, який містить сингулярні функції |
| title_fullStr | Один клас неперервних ніде не монотонних функцій, який містить сингулярні функції |
| title_full_unstemmed | Один клас неперервних ніде не монотонних функцій, який містить сингулярні функції |
| title_short | Один клас неперервних ніде не монотонних функцій, який містить сингулярні функції |
| title_sort | один клас неперервних ніде не монотонних функцій, який містить сингулярні функції |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/513 |
| work_keys_str_mv | AT osaulenkorû odinklasneperervnihnídenemonotonnihfunkcíjâkijmístitʹsingulârnífunkcíí |