Числові характеристики випадкової величини, пов'язаної з представленням дійсних чисел рядами Остроградського-Серпінського-Пірса
It is known that any irrational number $x\in\left(0;1\right)\backslash \mathbb{Q}\equiv\Omega$ has a unique Ostrogradsky-Sierpinski-Pierce expansion: $$x=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{q_1(x)\cdot...\cdot q_n(x)},$$ where $q_n(x)\in\mathbb{N}$, $q_{n+1}(x)> q_n(x)$, for all $n \in \mathbb{N}...
Gespeichert in:
| Datum: | 2019 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2019
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/514 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872553013492580352 |
|---|---|
| author | Мороз, М. П. |
| author_facet | Мороз, М. П. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "М. П. Мороз",
"institution": "НПУ імені М.П. Драгоманова"
}
] |
| author_sort | Мороз, М. П. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-03-02T07:56:20Z |
| description | It is known that any irrational number $x\in\left(0;1\right)\backslash \mathbb{Q}\equiv\Omega$ has a unique Ostrogradsky-Sierpinski-Pierce expansion: $$x=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{q_1(x)\cdot...\cdot q_n(x)},$$ where $q_n(x)\in\mathbb{N}$, $q_{n+1}(x)> q_n(x)$, for all $n \in \mathbb{N}$.To represent an irrational number $x\in\Omega$ by Ostrogradsky-Serpinsky-Pierce expansion we have calculated numerical characteristics of the random variable $$\xi(X)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{q_n(X)},$$ where $X$ is uniform distribution on $\Omega$. A new method for calculating the mathematical expectation is proposed, which differs from the method described in \cite{Shallit1986}, and we have calculated variance $D\xi$. We consider the random variables $\xi_n$ as ageneralization of the function $\xi$ and we have calculated mathematical expectations $M\xi_n$ of them. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:08:35Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2019, т. 16, № 3, 160–173
УДК 517.927
М.П. Мороз
НПУ iменi М.П. Драгоманова, Київ; moroznik22@gmail.com
Числовi характеристики випадкової
величини, пов’язаної з
представленням дiйсних чисел
рядами
Остроградського-Серпiнського-Пiрса
It is known that any irrational number x ∈ (0; 1) \Q ≡ Ω has a unique
Ostrogradsky-Sierpinski-Pierce expansion:
x =
∞∑
n=1
1
q1(x) · ... · qn(x)
,
where qn(x) ∈ N, qn+1(x) > qn(x), for all n ∈ N. To represent an
irrational number x ∈ Ω by Ostrogradsky-Serpinsky-Pierce expansion
we have calculated numerical characteristics of the random variable
ξ(X) =
∞∑
n=1
1
qn(X)
,
where X is uniform distribution on Ω. A new method for calculati-
ng the mathematical expectation is proposed, which differs from the
method described in [4], and we have calculated variance Dξ. We
consider the random variables ξn as a generalization of the function
ξ and we have calculated mathematical expectations Mξn of them.
c© М. П. Мороз, 2019
Вiдомо, що будь-яке iррацiональне число x ∈ (0; 1) \Q ≡ Ω єдиним
чином розкладається в ряд Остроградського-Серпiнського-Пiрса:
x =
∞∑
n=1
1
q1(x) · ... · qn(x)
,
де qn(x) ∈ N, qn+1(x) > qn(x), для кожного n ∈ N. Для зо-
браження iррацiонального числа x ∈ Ω рядом Остроградського-
Серпiнського-Пiрса обчислюються числовi характеристики ви-
падкової величини
ξ(X) =
∞∑
n=1
1
qn(X)
,
де X – рiвномiрно розподiлена на Ω випадкова величина. Запро-
поновано новий спосiб обчислення математичного сподiванняMξ,
вiдмiнний вiд способу, що описаний в [4], та знайдено дисперсiю
Dξ. Також розглянуто випадковi величини ξn як узагальнення
функцiї ξ та обчислено їхнi математичнi сподiвання Mξn
1. Основний об’єкт дослiдження та поста-
новка задачi
Нехай x ∈ Ω = (0; 1) \Q. Тодi x єдиним чином можна представити
у виглядi ряду Остроградського-Серпiнського-Пiрса:
x =
∞∑
n=1
(−1)n−1
q1(x) · ... · qn(x)
,
де qn(x) ∈ N, qn+1(x) > qn(x), ∀n ∈ N. Таким чином qn(x) є
функцiєю вiд аргумента x ∈ Ω, яка може набувати зчисленну
кiлькiсть значень при кожному n ∈ N.
Нехай (Ω,F , λ) – ймовiрнiсний простiр, де F – σ-алгебра ви-
мiрних за Лебегом пiдмножин множини Ω, λ – мiра Лебега. Тодi
qn(x) – дискретна випадкова величина (вимiрна функцiя) для
кожного n ∈ N.
162 М. П. Мороз
На множинi збiжностi ряду
∑∞
n=1
1
qn(x) визначимо функцiю
ξ(x) =
∞∑
n=1
1
qn(x)
,
яка є нашим основним об’єктом дослiдження. В данiй роботi ми
доводимо, що функцiя ξ(x) визначена (набуває скiнченних зна-
чень) майже скрiзь на [0; 1] та є випадковою величиною, обчи-
слюємо її математичне сподiвання та дисперсiю, розглядємо ви-
падковi величини ξn як узагальнення функцiї ξ та обчислюємо
їхнi математичнi сподiвання Mξn.
Зауваження 1. Задача про знаходження математичного спо-
дiвання випадкової величини ξ була розв’язана в роботi [4]. Про-
те в цiй роботi не висвiтлено питання вимiрностi функцiї ξ,
що є принциповим для наступного дослiдження цiєї функцiї. В
данiй роботi ми доводимо вимiрнiсть ξ та пропонуємо свiй спо-
сiб обчислення математичного сподiвання Mξ, вiдмiнний вiд
запропонованого в роботi [4].
2. Основнi вiдомостi про ряди
Остроградського-Серпiнського-Пiрса
та зображення ними дiйсних чисел
Означення 1. Рядом Остроградського-Серпiнського-Пiрса на-
зивається знакозмiнний ряд виду
1
q1
− 1
q1q2
+ . . .+
(−1)n−1
q1q2 . . . qn
+ . . . =
∞∑
n=1
(−1)n−1
q1q2 . . . qn
,
де qn ∈ N, qn+1 > qn для кожного n ∈ N.
Теорема 1. [1, c.22, c.144] Сума кожного ряду
Остроградського-Серпiнського-Пiрса є iррацiональним чи-
слом з (0; 1). Будь-яке iррацiональне число x з (0; 1) можна
Числовi характеристики випадкової величини 163
єдиним чином представити у виглядi ряду Остроградського-
Серпiнського-Пiрса, тобто iснує єдина строго зростаюча
послiдовнiсть натуральних чисел (qn(x)) така, що
x =
∞∑
n=1
(−1)n−1
q1(x) · . . . · qn(x)
≡ ∆O
q1(x)...qn(x)....
Скорочений (символiчний) запис ∆O
q1(x)...qn(x)... називається
∆O-зображенням числа x, при цьому натуральне число qn(x) на-
зивається n-ною ∆O-цифрою числа x. Кожна ∆O-цифра є коре-
ктно означеною функцiєю числа, що представляється у виглядi
ряду Остроградського-Серпiнського-Пiрса в силу єдиностi тако-
го представлення.
Означення 2. Цилiндром ∆O
c1c2...cm рангу m з основою
c1c2 . . . cm, що породжений представленням чисел рядами
Остроградського-Серпiнського-Пiрса, називається множина
всiх чисел виду ∆O
c1c2...cmαm+1αm+2....
Вiдомо [1], що рiзнi ∆O-цилiндри або не перетинаються, або
один з них є власною пiдмножиною iншого. При цьому ∅ 6=
∆O
a1a2...am ⊂ ∆O
b1b2...bn
тодi i тiльки тодi, коли n < m та ai = bi
∀i = 1, 2, ..., n. Для мiри Лебега ∆O-цилiндрiв має мiсце спiввiд-
ношення
λ
(
∆O
c1c2...cm
)
=
1
c1 . . . cm (cm + 1)
.
3. Функцiя ξ(x) як випадкова величина
Нехай маємо ймовiрнiсний простiр (Ω,F , λ), функцiя qn(x) :
Ω −→ R — n-на ∆O-цифра числа x.
Теорема 2. Функцiя 1
qn(x) є випадковою величиною для ∀n ∈ N.
Доведення. Враховуючи припущення, що передують теоре-
мi, лишилося показати, що функцiя 1
qn(x) є вимiрною, тобто що
164 М. П. Мороз
множина {x : 1
qn(x) ≤ a} ∈ F для ∀a ∈ R. Зрозумiло, що
1
qn(x) може набувати тiльки злiченну кiлькiсть значень, причо-
му 0 < 1
qn(x) ≤ 1. Якщо a ≤ 0, то {x : 1
qn(x) ≤ a} = ∅ ∈ F . Якщо
a ≥ 1, то {x : 1
qn(x) ≤ a} = Ω ∈ F .
Нехай 0 < a < 1. Тодi функцiя 1
qn(x) набуває злiченну кiль-
кiсть значень, що не перевищують a, а саме значень з множини
{ 1
k ,
1
k+1 , ...}, де k ∈ N\{1} та 1
k ≤ a <
1
k−1 . Тодi
{x :
1
qn(x)
≤ a} =
∞⋃
p=0
{x :
1
qn(x)
=
1
k + p
} =
∞⋃
p=0
{x : qn(x) = k + p} =
=
∞⋃
p=0
⋃
c1<...<cn−1<k+p
∆O
c1...cn−1(k+p)
.
Зрозумiло, що
⋃
c1<...<cn−1<k+p
∆O
c1...cn−1(k+p) є скiнченним об’-
єднанням цилiндрiв, кожен з яких є вимiрною за Лебегом мно-
жиною. Тому
⋃
c1<...<cn−1<k+p
∆O
c1...cn−1(k+p) теж вимiрна множина.
Звiдси отримуємо, що й множина {x : 1
qn(x) ≤ a} є вимiрною за
Лебегом.
Отже, {x : 1
qn(x) ≤ a} ∈ F , ∀a ∈ R, а тому функцiя 1
qn(x) є
випадковою величиною для кожного n ∈ N. Теорему доведено.
Надалi нам знадобиться наступна теорема, яка має мiсце для
iнтеграла Лебега.
Теорема 3. [2, c.303](Теорема Б. Левi) Нехай дано вимiрний
простiр з мiрою (A,A, µ) та послiдовнiсть iнтегровних функцiй
fn(x) : A→ R таких, що
f1(x) ≤ f2(x) ≤ . . . ≤ fn(x) ≤ . . .
та ∃K ∈ R :
∫
A
fn(x) dµ ≤ K, ∀n ∈ N. Тодi майже скрiзь на A
iснує границя
f(x) = lim
n→∞
fn(x),
Числовi характеристики випадкової величини 165
причому функцiя f(x) iнтегровна на A та∫
A
fn(x) dµ→
∫
A
f(x) dµ.
Наслiдок 4. [2, c.305] Якщо ψn(x) ≥ 0 та
∞∑
n=1
∫
A
ψn(x) dµ <
+∞, то майже скрiзь на A сходиться ряд
∞∑
n=1
ψn(x) та∫
A
( ∞∑
n=1
ψn(x)
)
dµ =
∞∑
n=1
∫
A
ψn(x) dµ.
Нехай B(k, t) =
∑
k<q1<...<qm<k+t
1
q1 . . . qm
, де t ∈ N, k – невiд’-
ємне цiле число, а сума обчислюється по всеможливим послiдов-
ностям натуральних чисел (qi)
m
i=1 таким, що k < q1 < . . . < qm <
k + t. При цьому кiлькiсть m елементiв таких послiдовностей
набуває всеможливих допустимих значень.
Теорема 5. B(k, t) =
∑
k<q1<...<qm<k+t
1
q1 . . . qm
=
t− 1
k + 1
.
Доведення. Для доведення цiєї рiвностi скористаємося мето-
дом математичної iндукцiї. Нехай k – фiксоване цiле невiд’ємне
число, а t – довiльне натуральне число.
Якщо t = 1, то B(k, 1) = 0 =
t− 1
k + 1
, оскiльки в цьому випадку
мiж k та k + t не iснує жодного натурального числа.
Якщо t = 2, то B(k, 2) =
1
k + 1
=
t− 1
k + 1
.
Якщо t = 3, то B(k, 3) =
1
k + 1
+
1
k + 2
+
1
(k + 1)(k + 2)
=
=
2
k + 1
=
t− 1
k + 1
.
166 М. П. Мороз
Як бачимо, для перших трьох натуральних t твердження, яке
ми доводимо, виконується. Припустимо, що при t = s має мiсце
рiвнiсть B(k, s) =
s− 1
k + 1
. Тодi при t = s+ 1 отримаємо
B(k, s+ 1) = B(k, s) +
1
k + s
+B(k, s) · 1
k + s
=
=
s− 1
k + 1
+
1
k + s
+
s− 1
k + 1
· 1
k + s
=
s
k + 1
=
t− 1
k + 1
.
Отже, в силу принципу математичної iндукцiї, B(k, t) =
t− 1
k + 1
для кожного натурального t та кожного невiд’ємного цiлого k.
Теорема 6. Ряд
∞∑
n=1
1
qn(x)
збiгається майже скрiзь (в сенсi мi-
ри Лебега) на множинi Ω.
Доведення. Розглянемо ймовiрнiсний простiр (Ω,F , λ).
Покажемо, що ряд
∞∑
k=1
∫
Ω
1
qk(x)
dλ є збiжним.
∫
Ω
1
q1(x)
dλ =
∞∑
i=1
(
1
i
· λ(∆O
i )
)
=
∞∑
i=1
(
1
i
· 1
i(i+ 1)
)
=
∞∑
i=1
1
i2(i+ 1)
;
∞∑
k=2
∫
Ω
1
qk(x)
dλ =
∞∑
k=2
∞∑
qk=k
1
qk
·
∑
0<q1<...<qk
1
q1 . . . qk−1qk(qk + 1)
=
=
∞∑
k=2
∞∑
qk=k
1
q2
k(qk + 1)
·
∑
0<q1<...<qk
1
q1 . . . qk−1
=
=
∞∑
qk=2
1
q2
k(qk + 1)
·
∑
0<q1<...<qk
1
q1 . . . qk−1
.
Числовi характеристики випадкової величини 167
В останньому рядку попередньої формули число k як порядко-
вий номер цифри qk не є фiксованим. Тому згiдно з попереднiми
позначеннями та теоремою 5∑
0<q1<...<qk
1
q1 . . . qk−1
= B(0, qk) = qk − 1.
Таким чином
∞∑
k=2
∫
Ω
1
qk(x)
dλ =
∞∑
qk=2
(
1
q2
k(qk + 1)
·B(0, qk)
)
=
=
∞∑
qk=2
(
1
q2
k(qk + 1)
· (qk − 1)
)
=
∞∑
i=2
i− 1
i2(i+ 1)
=
∞∑
i=1
i− 1
i2(i+ 1)
.
Остаточно отримуємо, що
∞∑
k=1
∫
Ω
1
qk(x)
dλ =
∫
Ω
1
q1(x)
dλ+
∞∑
k=2
∫
Ω
1
qk(x)
dλ =
=
∞∑
i=1
1
i2(i+ 1)
+
∞∑
i=1
i− 1
i2(i+ 1)
=
∞∑
i=1
i
i2(i+ 1)
=
∞∑
i=1
1
i(i+ 1)
= 1.
Отже, згiдно з наслiдком з теореми Б. Левi, ряд
∞∑
n=1
1
qn(x)
збiгає-
ться майже скрiзь на множинi Ω, тобто мiра Лебега пiдмножини
Ω, на якiй цей ряд розбiгається, рiвна 0. При цьому∫
Ω
( ∞∑
n=1
1
qn(x)
)
dλ =
∞∑
n=1
∫
Ω
1
qn(x)
dλ = 1.
Теорему доведено.
Позначимо через T пiдмножину множини Ω, на якiй ряд
∞∑
n=1
1
qn(x)
розбiгається. Згiдно з попередньою теоремою, λ(T ) = 0.
168 М. П. Мороз
Розглянемо множину Ω∗ = Ω\T , λ(Ω∗) = λ(Ω) = 1. Нехай F∗ –
σ-алгебра пiдмножин множини Ω∗, вимiрних за Лебегом. Таким
чином маємо, що (Ω∗,F∗, λ) – ймовiрнiсний простiр.
Розглянемо функцiю ξ : Ω∗ → R таку, що
ξ(x) =
∞∑
n=1
1
qn(x)
.
Використовуючи попереднi результати, бачимо, що функцiя ξ(x)
є вимiрною, оскiльки є границею послiдовностi вимiрних фун-
кцiй, що монотонно зростає в кожнiй точцi областi визначення [3,
с.133].
4. Числовi характеристики випадкової ве-
личини ξ
Теорема 7. Математичне сподiвання Mξ випадкової величини
ξ дорiвнює 1.
Доведення. Оскiльки Mξ =
∫
Ω∗
ξ(x) dλ, то, враховуючи про-
мiжнi результати, одержанi при доведеннi теореми 4, отримуємо,
що
Mξ =
∫
Ω∗
ξ(x) dλ =
∫
Ω∗
( ∞∑
n=1
1
qn(x)
)
dλ =
∫
Ω
( ∞∑
n=1
1
qn(x)
)
dλ = 1.
Теорему доведено.
Теорема 8. Дисперсiя Dξ випадкової величини ξ дорiвнює 2 −
ζ(2), де ζ(2) – значення ζ-функцiя Рiмана в точцi 2.
Доведення. Оскiльки має мiсце формула Dξ = Mξ2−(Mξ)2,
то
Dξ = Mξ2 − 1.
Числовi характеристики випадкової величини 169
Бачимо, що обчислення дисперсiї зводиться до обчислення мате-
матичного сподiвання випадкової величини ξ2.
(ξ(x))2 =
( ∞∑
n=1
1
qn(x)
)2
=
∞∑
n=1
1
q2
n(x)
+ 2 ·
∑
k,m∈N
k<m
1
qk(x)qm(x)
.
Кожна з двох сум в останнiй рiвностi є вимiрною функцiєю,
яка приймає на Ω∗ тiльки скiнченнi значення, а тому вони є ви-
падковими величинами. При цьому кожен доданок, що входить
до цих сум, також є випадковою величиною. Тому
Mξ2 =
∞∑
n=1
M
1
q2
n
+ 2 ·
∑
k,m∈N
k<m
M
1
qkqm
.
Знайдемо значення суми
∞∑
n=1
M
1
q2
n
:
M
1
q2
1
=
∞∑
q1=1
(
1
q2
1
· λ
(
∆O
q1
))
=
∞∑
q1=1
(
1
q2
1
· 1
q1(q1 + 1)
)
=
∞∑
n=1
1
n3(n+ 1)
.
∞∑
n=2
M
1
q2
n
=
∞∑
n=2
∞∑
qn=n
1
q2
n
·
∑
0<q1<...<qn−1<qn
λ(∆O
q1...qn−1qn)
=
=
∞∑
n=2
∞∑
qn=n
1
q2
n
·
∑
0<q1<...<qn
1
q1 . . . qn−1qn(qn + 1)
=
=
∞∑
qn=2
1
q3
n(qn + 1)
·
∑
0<q1<...<qn
1
q1 . . . qn−1
=
=
∞∑
qn=2
qn − 1
q3
n(qn + 1)
=
∞∑
n=1
n− 1
n3(n+ 1)
.
170 М. П. Мороз
Таким чином отримуємо, що
∞∑
n=1
M
1
q2
n
= M
1
q1
+
∞∑
n=2
M
1
q2
n
=
∞∑
n=1
1
n3(n+ 1)
+
∞∑
n=1
n− 1
n3(n+ 1)
=
=
∞∑
n=1
1
n2(n+ 1)
=
∞∑
n=1
1
n2
−
∞∑
n=1
1
n(n+ 1)
= ζ(2)− 1.
Тепер знайдемо значення суми
∑
k,m∈N
k<m
M
1
qkqm
:
∑
k,m∈N
k<m
M
1
qkqm
=
∑
q1<...<qk<...<qm
(
1
qkqm
· λ
(
∆O
q1...qk...qm
))
=
=
∑
q1<...<qk<...<qm
1
q1 . . . qk−1q
2
kqk+1 . . . qm−1q2
m(qm + 1)
=
=
∞∑
qk=1
(
1
q2
k
·
(
1 +
∑
q1<...<qk
1
q1 . . . qk−1
)
·
·
∑
qk<...<qm
1
qk+1 . . . qm−1q2
m(qm + 1)
)
=
=
∞∑
qk=1
1
qk
·
∞∑
qm=qk+1
(
1
q2
m(qm + 1)
·
·
(
1 +
∑
qk<...<qm
1
qk+1 . . . qm−1
)))
В сумi 1+
∑
q1<...<qk
1
q1 . . . qk−1
перший доданок вiдповiдає випад-
ку, коли перед елементом qk не мiститься жодних iнших елемен-
тiв, тобто коли k = 1. Наступнi доданки (вони знаходяться пiд
знаком суми) вiдповiдають випадкам, коли перед qk мiститься
Числовi характеристики випадкової величини 171
принаймнi один елемент. При доведеннi теореми 4 було показа-
но, що
∑
q1<...<qk
1
q1 . . . qk−1
= qk − 1.
В сумi 1+
∑
qk<...<qm
1
qk+1 . . . qm−1
перший доданок вiдповiдає ви-
падку, коли мiж елементами qk та qm не мiститься жодного еле-
мента. Наступнi доданки (вони знахордяться пiд знаком суми)
вiдповiдають випадкам, коли мiж qk та qm мiститься принаймнi
один елемент.
Тодi ми отримуємо наступнi рiвностi:
∑
k,m∈N
k<m
M
1
qkqm
=
∞∑
qk=1
1
qk
·
∞∑
qm=qk+1
(
1
q2
m(qm + 1)
·
(
1+
qm−qk−1
qk + 1
))=
=
∞∑
qk=1
1
qk
·
∞∑
qm=qk+1
(
1
q2
m(qm + 1)
· qm
qk + 1
) =
=
∞∑
qk=1
1
qk(qk + 1)
·
∞∑
qm=qk+1
1
qm(qm + 1)
=
=
∞∑
qk=1
(
1
qk(qk + 1)
· 1
qk + 1
)
=
∞∑
n=1
1
n(n+ 1)2
=
=
∞∑
n=1
1
n(n+ 1)
−
∞∑
n=1
1
(n+ 1)2
= 1−
∞∑
n=2
1
n2
= 2−ζ(2).
Остаточно отримуємо, що
Dξ = Mξ2 − (Mξ)2 =
∞∑
n=1
M
1
q2
n
+ 2 ·
∑
k,m∈N
k<m
M
1
qkqm
− 1 =
= ζ(2)− 1 + 2 · (2− ζ(2))− 1 = 2− ζ(2).
Теорему доведено.
172 М. П. Мороз
5. Узагальнення випадкової величини ξ
Розглянемо випадкову величину ξn : Ω∗ → R таку, що
ξn(x) =
∞∑
k=1
1
qk(x) + n
,
де n – деяке фiксоване цiле невiд’ємне число. Вона є узагальнен-
ням випадкової величини ξ. Зрозумiло, що для довiльного x ∈ Ω∗
ряд
∑∞
k=1
1
qk(x)+n збiгається, оскiльки збiгається ряд
∑∞
k=1
1
qk(x) .
Знайдемо математичне сподiвання Mξn.
Провiвши аналогiчнi мiркування до тих, що використанi при
доведеннi теорем 4 та 5 (ми їх тут опускаємо), отримуємо, що
Mξn=
∫
Ω∗
ξn(x)dλ=
∫
Ω∗
(∞∑
k=1
1
qk(x) + n
)
dλ=
∫
Ω
( ∞∑
k=1
1
qk(x)+n
)
dλ=
=
∞∑
k=1
∫
Ω
1
qk(x) + n
dλ=
∫
Ω
1
q1(x) + n
dλ+
∞∑
k=2
∫
Ω
1
qk(x) + n
dλ =
=
∞∑
i=1
1
i(i+ 1)(i+ n)
+
∞∑
i=1
i− 1
i(i+ 1)(i+ n)
=
∞∑
i=1
1
(i+ 1)(i+ n)
.
При n = 0 отримуємо, що ξ0 = ξ , а тому Mξ = Mξ0 =
∞∑
i=1
1
(i+ 1)i
= 1, що узгоджується з теоремою 5.
При n = 1 отримуємо, що Mξ1 =
∞∑
i=1
1
(i+ 1)2
= ζ(2)− 1.
Числовi характеристики випадкової величини 173
При n ≥ 2 отримуємо, що
Mξn =
∞∑
i=1
1
(i+ 1)(i+ n)
=
1
n− 1
∞∑
i=1
n− 1
(i+ 1)(i+ n)
=
=
1
n− 1
∞∑
i=1
i+ n− i− 1
(i+ 1)(i+ n)
=
1
n− 1
∞∑
i=1
(
1
i+ 1
− 1
i+ n
)
=
=
1
n− 1
·
(
1
2
+
1
3
+ . . .+
1
n
)
=
H (n)− 1
n− 1
,
де H (n) =
1
1
+
1
2
+ . . .+
1
n
– n-не гармонiчне число.
Лiтература
[1] Барановський О.М., Працьовитий М.В., Торбiн Г.М. Ряди
Остроградського-Серпiнського-Пiрса та їхнi застосування, Нау-
кова Думка, Київ, 2013.
[2] Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и фун-
кционального анализа. – М.:Наука, 1976. – 542 с.
[3] Смирнов В.И. Курс высшей математики, Т. 5, Наука, Москва,
1974.
[4] Shallit J.O. Metric theory of Pierce expansions, Fibonacci Quart, 24
(1986), no. 1, 2–40.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-514 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:08:35Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/00/d00bdc68de4631cb1441724b482ad000.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-5142023-03-02T07:56:20Z Числові характеристики випадкової величини, пов'язаної з представленням дійсних чисел рядами Остроградського-Серпінського-Пірса Мороз, М. П. It is known that any irrational number $x\in\left(0;1\right)\backslash \mathbb{Q}\equiv\Omega$ has a unique Ostrogradsky-Sierpinski-Pierce expansion: $$x=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{q_1(x)\cdot...\cdot q_n(x)},$$ where $q_n(x)\in\mathbb{N}$, $q_{n+1}(x)&gt; q_n(x)$, for all $n \in \mathbb{N}$.To represent an irrational number $x\in\Omega$ by Ostrogradsky-Serpinsky-Pierce expansion we have calculated numerical characteristics of the random variable $$\xi(X)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{q_n(X)},$$ where $X$ is uniform distribution on $\Omega$. A new method for calculating the mathematical expectation is proposed, which differs from the method described in \cite{Shallit1986}, and we have calculated variance $D\xi$. We consider the random variables $\xi_n$ as ageneralization of the function $\xi$ and we have calculated mathematical expectations $M\xi_n$ of them. Відомо, що будь-яке ірраціональне число $x\in\left(0;1\right)\backslash \mathbb{Q}\equiv\Omega$ єдиним чином розкладається в ряд Остроградського-Серпінського-Пірса:$$x=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{q_1(x)\cdot...\cdot q_n(x)},$$ де $q_n(x)\in\mathbb{N}$, $q_{n+1}(x)&gt; q_n(x)$, для кожного $n \in \mathbb{N}$.Для зображення ірраціонального числа $x\in\Omega$ рядом Остроградського-Серпінського-Пірса обчислюються числові характеристики випадкової величини $$\xi(X)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{q_n(X)},$$ де $X$ -- рівномірно розподілена на $\Omega$ випадкова величина. Запропоновано новий спосіб обчислення математичного сподівання $M\xi$, відмінний від способу, що описаний в \cite{Shallit1986}, та знайдено дисперсію $D\xi$. Також розглянуто випадкові величини $\xi_n$ як узагальнення функції $\xi$ та обчислено їхні математичні сподівання $M\xi_n$ Інститут математики НАН України 2019-12-30 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/514 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 16 No. 3 (2019): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 160-173 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 16 № 3 (2019): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 160-173 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 16 № 3 (2019): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 160-173 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/514/497 Авторське право (c) 2019 М. П. Мороз http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Мороз, М. П. Числові характеристики випадкової величини, пов'язаної з представленням дійсних чисел рядами Остроградського-Серпінського-Пірса |
| title | Числові характеристики випадкової величини, пов'язаної з представленням дійсних чисел рядами Остроградського-Серпінського-Пірса |
| title_full | Числові характеристики випадкової величини, пов'язаної з представленням дійсних чисел рядами Остроградського-Серпінського-Пірса |
| title_fullStr | Числові характеристики випадкової величини, пов'язаної з представленням дійсних чисел рядами Остроградського-Серпінського-Пірса |
| title_full_unstemmed | Числові характеристики випадкової величини, пов'язаної з представленням дійсних чисел рядами Остроградського-Серпінського-Пірса |
| title_short | Числові характеристики випадкової величини, пов'язаної з представленням дійсних чисел рядами Остроградського-Серпінського-Пірса |
| title_sort | числові характеристики випадкової величини, пов'язаної з представленням дійсних чисел рядами остроградського-серпінського-пірса |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/514 |
| work_keys_str_mv | AT morozmp čislovíharakteristikivipadkovoíveličinipov039âzanoízpredstavlennâmdíjsnihčiselrâdamiostrogradsʹkogoserpínsʹkogopírsa |