Канторівська двійково-фібоначчієва система числення у задачах теорії функцій
In the article we study a class of continuous functions with locally complicated structure defined in terms of the representation of numbers in the Cantor number system:\[[0;1]\ni x=\frac{\alpha_1}{s_1}+\frac{\alpha_2}{s_1s_2}+\cdots+\frac{\alpha_n}{s_1s_2 \ldots s_n}+\cdots \equiv\Delta_{\alpha_1\a...
Збережено в:
| Дата: | 2019 |
|---|---|
| Автори та афіліації: |
|
| Ключові слова: | keywords |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2019
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/515 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872553023099633664 |
|---|---|
| author | Бондаренко, О. І. Василенко, Н. М. Працьовитий, М. В. |
| author_facet | Бондаренко, О. І. Василенко, Н. М. Працьовитий, М. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "О. І. Бондаренко",
"institution": "Національний педагогічний університет імені М. П. Драгоманова, Київ"
},
{
"author": "Н. М. Василенко",
"institution": "Національний педагогічний університет імені М. П. Драгоманова, Київ"
},
{
"author": "М. В. Працьовитий",
"institution": "Національний педагогічний університет імені М. П. Драгоманова, Київ"
}
] |
| author_sort | Бондаренко, О. І. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-03-02T07:56:20Z |
| description | In the article we study a class of continuous functions with locally complicated structure defined in terms of the representation of numbers in the Cantor number system:\[[0;1]\ni x=\frac{\alpha_1}{s_1}+\frac{\alpha_2}{s_1s_2}+\cdots+\frac{\alpha_n}{s_1s_2 \ldots s_n}+\cdots \equiv\Delta_{\alpha_1\alpha_2 \ldots \alpha_n \ldots},\]where $s_n=2^{\varphi_n}$, $(\varphi_n)$is a classical Fibonacci sequence: $\varphi_1=1=\varphi_2$, \mbox{$\varphi_{n+2}=\varphi_n+\varphi_{n+1}$,} $\alpha_n\in \{0, 1, \ldots, s_n-1\}$.
Singular, nowhere monotonic and nondifferentiable functions, functions with bounded and unbounded variation are among the studied functions. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:08:44Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2019, т. 16, № 3, 174–186
УДК 517.5
О. I. Бондаренко, Н.М. Василенко,
М.В. Працьовитий
Нацiональний педагогiчний унiверситет iменi
М. П. Драгоманова, Київ; prats444gmail.com
Канторiвська двiйково-фiбоначчiєва
система числення у задачах теорiї
функцiй
In the article we study a class of continuous functions with locally
complicated structure defined in terms of the representation of
numbers in the Cantor number system:
[0; 1] 3 x =
α1
s1
+
α2
s1s2
+ · · ·+ αn
s1s2 . . . sn
+ · · · ≡ ∆α1α2...αn...,
where sn = 2ϕn , (ϕn) is a classical Fibonacci sequence: ϕ1 = 1 = ϕ2,
ϕn+2 = ϕn + ϕn+1, αn ∈ {0, 1, . . . , sn − 1}.
Singular, nowhere monotonic and nondifferentiable functions, functi-
ons with bounded and unbounded variation are among the studied
functions.
Key words: Cantor’s number system, binary series, ∆-binary and
∆-unary number, cylinder, continuous nowhere monotonic function,
singular function, function of unbounded variation.
c©
О. I. Бондаренко, Н. М. Василенко, М.В. Працьовитий, 2019
У роботi вивчається клас неперервних функцiй з локально-
складною структурою, якi означуються у термiнах зображення
чисел у канторiвськiй системi числення:
[0; 1] 3 x =
α1
s1
+
α2
s1s2
+ · · ·+ αn
s1s2...sn
+ · · · ≡ ∆α1α2...αn...,
де sn = 2ϕn , (ϕn) — класична послiдовнiсть Фiбоначчi: ϕ1 = 1 =
ϕ2, ϕn+2 = ϕn + ϕn+1, αn ∈ {0, 1, . . . , sn − 1}.
Серед дослiджуваних функцiй сингулярнi, нiде не монотоннi та
недиференцiйовнi функцiї; функцiї з обмеженою та необмеженою
варiацiєю.
Ключовi слова: канторiвська система числення, двiйковий ряд,
∆-бiнарне число, цилiндр, сингулярна функцiя, неперервна нiде
не монотонна функцiя, дискретний розподiл, неперервний розпо-
дiл, рiвномiрний розподiл.
Вступ
Узагальненням класичної s-кової системи числення є канторiв-
ська система, яка використовує послiдовнiсть натуральних основ
(sn) i змiнний алфавiт Asn ≡ {0, 1, . . . , sn − 1}, n = 1, 2, . . . [4, 13,
21].
Якщо (sn) — послiдовнiсть натуральних чисел, бiльших 1,
(Asn) — послiдовнiсть алфавiтiв, то представлення числа x ∈
[0; 1] у канторiвськiй (sn)-системi має вигляд
x =
α1
s1
+
α2
s1s2
+ · · ·+ αn
s1s2 . . . sn
+ · · · ≡ ∆α1α2...αn..., (1)
де αn ∈ Asn .
Символiчний запис ∆α1α2...αn... називається ∆-зображенням
ряду (1) i його суми — числа x. При цьому αn називається n-
ою цифрою цього зображення.
∆-зображення числа є його кодуванням засобами змiнного ал-
фавiту, при цьому кодом числа x є послiдовнiсть (αn) з простору
Ω ≡ As1 ×As2 × . . .×Asn × . . . .
176 О. I. Бондаренко, Н.М. Василенко, М.В. Працьовитий
У роботi [5] розглядалась система числення з послiдовнiстю
основ sn = 2ϕn , де (ϕn) — класична послiдовнiсть Фiбоначчi [7]:
де ϕ1 = 1 = ϕ2, ϕn+2 = ϕn + ϕn+1. Базисною послiдовнiстю для
неї є послiдовнiсть степенiв 2 :
2−1, 2−2, 2−4, 2−7, 2−12, 2−20, 2−33, . . . , 2−(ϕ1+ϕ2+...+ϕn), . . . .
Використовуючи зв’язок ∆-зображення з класичним двiйковим
зображенням [5], легко констатувати, що сума базисного ряду
x = ∆(1) =
∞∑
n=1
2−(ϕ1+ϕ2+...+ϕn), (2)
є iррацiональним числом, оскiльки його двiйкове зображення є
неперiодичним.
Зауважимо, що множина неповних сум (пiдсум) ряду (2) є
аномально фрактальною, тобто має нульову фрактальну розмiр-
нiсть Гаусдорфа-Безиковича [11, 22].
Iнверсор цифр ∆-зображення чисел, тобто функцiя, що озна-
чена рiвнiстю
I = ∆α1α2...αn... = ∆[s1−1−α1][s2−1−α2]...[sk−1−αk]...,
має аналiтичний вираз I(x) = 1 − x. Це свiдчить про вiдносну
простоту геометрiї ∆-зображення чисел («рiвноправнiсть» цифр
алфавiту, їх рiвноцiнну вагу).
У данiй роботi ми продовжуємо вивчати ту ж канторiвську
систему i використовувати її для конструювання неперервних
функцiй з локально складними властивостями варiацiйного та
диференцiального характеру.
Iнтерес до неперервних функцiй, якi мають масивнi (у
тополого-метричному та фрактальному сенсi) множини осо-
бливостей iнтегро-диференцiального та варiацiйного характеру,
зокрема до сингулярних [14], нiде не монотонних та недиференцi-
йовних невпинно зростає [1, 3]. Його пiдсилюють новi приклади
Канторiвська двiйково-фiбоначчiєва система числення 177
моделей реальних процесiв iнформацiйно-комунiкацiйного пла-
ну, якi використовують такi функцiї, iнтерес до систем кодува-
ння, декодування та захисту iнформацiї, засобiв компактизацiї
даних тощо.
Сьогоднi найбiльш поширеним способом конструювання та
дослiдження нiде не монотонних функцiй є метод згущення осо-
бливостей [22], задання функцiй перетворювачем цифр (одного
або рiзних) зображень чисел [2, 16], зокрема за допомогою авто-
матiв з рiзною масивнiстю пам’ятi [8, 9, 12, 15, 19], iнверсуванням
цифр зображення числа, «проектування» цифр одного зображе-
ння числа в iнше. Одним з явно сформованих є пiдхiд, який
реалiзується в роботах [17, 18, 20]. Дану роботу слiд вважати
продовженням дослiдження в цьому напрямi.
1. Базиснi поняття i факти
Нагадаємо, що iснують числа, якi мають два ∆-зображення.
Вони називаються ∆-бiнарними. Це числа з зображеннями
∆c1...cm−1cm(0) i ∆c1...cm−1[cm−1](sm+k−1), де (sm+k) ∈ Ωm = Asm ×
Asm+1 × . . . × Asm+k
× . . . . Таких чисел злiченна всюди щiль-
на в [0; 1] множина. Решта чисел мають єдине ∆-зображення i
називаються ∆-унарними.
Цилiндром рангу m з основою c1 . . . cm називається множи-
на ∆c1...cm всiх чисел x, якi мають зображення ∆c1...cmd1d2..., де
(dk) ∈ Ωm+1.
Цилiндр ∆c1...cm є вiдрiзком з кiнцями:
a =
c1
s1
+
c2
s1s2
+ . . .+
cm
s1s2 . . . sm
= ∆c1...cm(0),
b = a+
sm+1 − 1
s1 . . . smsm+1
+
sm+2 − 1
s1 . . . sm+1sm+2
+ . . . = ∆c1...cm(sm+k−1),
який має довжину |∆c1...cm | = 1
s1s2...sm
.А, отже, основне метричне
вiдношення має вигляд |∆c1...cm | = sm+1|∆c1...cmi|.
178 О. I. Бондаренко, Н.М. Василенко, М.В. Працьовитий
Воно не залежить вiд основи c1 . . . cm цилiндра i не залежить
вiд останньої цифри i, а залежить лише вiд рангу цилiндра, тобто
числа m.
Зауважимо, що кожне ∆-бiнарне число є кiнцем двох послi-
довностей цилiндрiв всеможливих рангiв, починаючи з деякого.
2. Об’єкт дослiдження
Нехай задано gk = (g0k, g1k, . . . , gsk−1,k) – послiдовнiсть векторiв,
координати яких задовольняють умови:
1) |gik| < 1,
2) g0k > 0, 3) δik ≡ g0k + g1k + . . .+ gi−1,k > 0, i ∈ Ask ,
4) g0k + g1k + . . .+ gsk−1,k = 1, k ∈ N,
5)
∞∏
i=1
gcii = 0, ∀(ci) ∈ Ω.
Очевидно, що δi+1,k = δik + gik для будь-яких i ∈ Ask , k ∈ N.
Лема 1. Має мiсце рiвнiсть
δs1−1,1 + δs2−1,2 gs1−1,1 + δs3−1,3 gs1−1,1 gs2−1,2 + . . . = 1
Доведення. Враховуючи, що δsk−1,k = 1− gsk−1,k, отримаємо
δs1−1,1 + δs2−1,2 gs1−1,1 + δs3−1,3 gs1−1,1 gs2−1,2 + . . . = 1− gs1−1,1+
+ (1− gs2−1,2)gs1−1,1 + (1− gs3−1,3) gs1−1,1 gs2−1,2 + . . . =
= . . . = 1−
∞∏
k=1
gsk−1,k = 1.
�
Розглядається функцiя y = Φ(x), означена рiвнiстю
Φ (x = ∆α1α2...αn...) = δα11 +
∞∑
k=2
(
δαkk
k−1∏
i=1
gαii
)
≡ ∆Φ
α1α2...αn....
(3)
Канторiвська двiйково-фiбоначчiєва система числення 179
Коректнiсть означення функцiї є наслiдком двох умов:
1) абсолютної збiжностi ряду (3),
2) рiвностi Φ
(
∆c1...cm−1cm(0)
)
= Φ
(
∆c1...cm−1[cm−1](sm+k−1)
)
.
Для доведення останньої рiвностi досить розглянути рiзницю
ρ ≡ Φ
(
∆c1...cm−1[cm−1](sm+k−1)
)
− Φ
(
∆c1...cm−1cm(0)
)
=
=
(
m−1∏
i=1
gcii
)[
δcm−1,m+gcm−1,m
∞∑
k=1
(
δsm+k−1,m+k
k−1∏
j=1
gsm+j ,m+j
)
−δcm,m
]
=
=
(
m−1∏
i=1
gcii
)
[δcm−1,m+gcm−1,m − δcmm ] = 0.
Якщо всi елементи матрицi ‖gik‖ є рацiональними, то функцiя
Φ(x) називається рацiональною. Її значення у ∆-бiнарнiй точцi
є рацiональним числом. Справдi, Φ
(
∆c1...cm(0)
)
= ∆Φ
c1...cm−1(0) є
рацiональним числом, як скiнченна сума рацiональних чисел.
Лема 2. Прирiст µΦ (∆c1c2...cm) ≡ Φ
(
∆c1c2...cm(sm+k−1)
)
−
Φ
(
∆c1c2...cm(0)
)
функцiї Φ на цилiндрi ∆c1...cm обчислюється за
формулою
µΦ(∆c1c2...cm) =
m∏
i=1
gcii. (4)
Доведення. Виразимо
µΦ(∆c1c2...cm) = P ·
[
δsm+1−1,m+1 + δsm+2−1,m+2 · gsm+1−1,m+1
+δsm+3−1,m+3 · gsm+1−1,m+1 · gsm+2−1,m+2 + · · ·
]
= P,
де P =
m∏
i=1
gcii.
Оскiльки, δsm+k−1,m+k = 1 − gsm+k−1,m+k для всiх k ∈ N, то
вираз у квадратних дужках збiгається до одиницi. Тому викону-
ється рiвнiсть (4).
Лему доведено. �
У роботах [2, 8, 10, 12, 14 – 20, 22] сформувалась певна ме-
тодологiя вивчення такого типу неперервних функцiй, якої ми
будемо дотримуватись у данiй роботi.
180 О. I. Бондаренко, Н.М. Василенко, М.В. Працьовитий
3. Властивостi: неперервнiсть, монотон-
нiсть
Теорема 3. Функцiя y = Φ(x) є неперевною в кожнiй точцi
вiдрiзка [0; 1]; строго зростаючою, якщо gik > 0 для будь-яких
i ∈ Ask , k ∈ N; сталою на всiх цилiндрах виду ∆c1...ck−1i, якщо
gik = 0.
Доведення.
1. Нехай x0 = ∆c1...cm... — довiльна ∆-унарна точка вiдрiзка
[0; 1], x0 6= x = ∆α1...αm.... Тодi iснує число m таке, що αm 6= cm,
але αi = ci при i < m, причому x→ x0 рiвносильно m→∞. Тодi
|Φ(x)− Φ(x0)| =
(
m∏
i=1
|gci,i|
)
|δαmm+
+
∞∑
k=m+1
(
δαkk
k−1∏
i=m
gαii
)
− δcmm −
∞∑
k=m+1
(
δckk
k−1∏
i=m
gcii
)∣∣∣∣∣ .
Оскiльки вираз пiд останнiм модулем є рiзницею двох чисел з
вiдрiзка [0; 1], то сам модуль не перевищує 1. При цьому добуток
m−1∏
i=1
|gci,i| → 0
при умовi m→∞, що є наслiдком умови 5).
Таким чином,
|Φ(x)− Φ(x0)| → 0
(умова m → ∞ ⇔ x → x0, що є свiдченням неперервностi фун-
кцiї Φ(x) в точцi x0).
Якщо x0 = ∆c1...cm−1[cm−1](sm+k−1) = ∆c1...cm−1cm(0) — ∆-
бiнарна точка, то неперервнiсть функцiї Φ(x) обґрунтовується
аналогiчно, з тiєю лише рiзницею, що окремо доводиться непе-
рервнiсть злiва i справа. При цьому для доведення неперервностi
Канторiвська двiйково-фiбоначчiєва система числення 181
злiва використовується перше зображення, а для доведення не-
перервностi справа — друге.
2. Доведемо строгу монотоннiсть функцiї Φ(x) при умовi до-
датностi всiх елементiв матрицi ‖gik‖. З цiєю метою розглянемо
x1 i x2, де x1 < x2. Нехай x1 = ∆c1...cmd1d2..., x2 = ∆c1...cmd′1d
′
2...
.
Тодi d1 < d′1. Розглянемо рiзницю
Φ(x2)−Φ(x1)=
(
m∏
i=1
gcii
)[∞∑
k=1
(
δd′kk
k−1∏
i=1
gd′ii
)
−
∞∑
k=1
(
δdkk
k−1∏
i=1
gdii
)]
≥
≥
(
m∏
i=1
gcii
)[
δd′11 − δd11 − gd11 · 1
]
=
(
m∏
i=1
gcii
)[
δd′11 − δ[d1+1]1
]
> 0,
оскiльки x1 6= x2.
Отже, Φ(x) є строго зростаючою функцiєю.
3. Нехай gim = 0. Тодi для довiльного x = ∆c1...cm−1id1d2..., що
належить цилiндру ∆c1...cm−1i, маємо
Φ(x) = δc11+
m−1∑
k=2
(
δckk
k−1∏
i=1
gcii
)
+δim
m−1∏
i=1
gcii+0 = Φ(∆c1...cm−1(0)),
тобто функцiя Φ(x) набуває сталого значення у кожнiй точцi
цилiндра ∆c1...cm−1i. �
Наслiдок 4. Областю визначення i множиною значень функцiї
Φ(x) є [0; 1], тобто D(Φ) = [0; 1] = E(Φ).
Наслiдок 5. Нехай Fk — об’єднання цилiндрiв рангу k, серед
внутрiшнiх точок яких є точки нестабiльностi функцiї Φ, тоб-
то
Fk ≡
⋃
i1: gi11 6=0
. . .
⋃
ik: gikk 6=0
∆i1i2...ik .
Функцiя Φ(x) є сингулярною функцiєю канторiвського типу [11]
тодi i тiльки тодi, коли
∞∑
k=1
λ (Fk \ Fk+1)
λ(Fk)
=∞, де λ(·)− мiра Лебега.
182 О. I. Бондаренко, Н.М. Василенко, М.В. Працьовитий
4. Варiацiйнi властивостi функцiї
Лема 6. Якщо gik > 0 для всiх i ∈ Ask i k ≥ m, то функцiя
Φ(x) є монотонною на кожному цилiндрi m-го рангу, причому
на цилiндрi ∆c1...cm є
1) строго зростаючою, якщо P ≡
m∏
i=1
gcii > 0;
2) строго спадною, якщо P < 0;
3) сталою, якщо P = 0.
Доведення. Нехай x1 = ∆c1...cmd1d2... i x2 = ∆c1...cmd′1d
′
2...
, причому
x1 < x2, тобто d1 < d′1. Розглянемо рiзницю
ρ ≡ Φ(x2)−Φ(x1) = P
[ ∞∑
k=1
(
δd′kk
k−1∏
i=1
gd′ii
)
−
∞∑
k=1
(
δdkk
k−1∏
i=1
gdii
)]
.
Оскiльки вираз у квадратних дужках має додатне значення iз
за x1 < x2, то знак рiзницi ρ залежить вiд знаку числа P. З
довiльностi вибору чисел x1 i x2 з цилiндра ∆c1...cm випливає
твердження, що вимагалось довести. Лему доведено. �
Наслiдок 7. Функцiя Φ(x) свого найбiльшого i найменшого зна-
чення на цилiндрi, набуває на його кiнцях.
Наслiдок 8. Точки максимумiв та мiнiмумiв функцiї є ∆-
бiнарними числами.
Теорема 9. Якщо матриця ‖gik‖ не мiстить нулiв, але має
нескiнченну кiлькiсть вiд’ємних елементiв, то функцiя Φ(x) є
нiде не монотонною.
Доведення. Для доведення теореми досить показати, що в до-
вiльному цилiндрi як завгодно великого рангу iснує три точки
x1, x2, x3 такi, що x1 < x2 < x3 i при цьому
[Φ(x2)− Φ(x1)] [Φ(x3)− Φ(x2)] < 0.
Можна скористатися iншим прийомом, а саме довести, що у
кожному цилiндрi iснує два цилiндри вищих рангiв, прирости
Канторiвська двiйково-фiбоначчiєва система числення 183
на яких мають рiзнi знаки. З цiєю метою розглянемо цилiндр
∆c1...cm i число k > m, для якого iснує gik < 0. Згiдно з лемою 1
µΦ(∆c1...cm...ck−10) = P · g0k, µΦ(∆c1...cm...ck−1i) = P · gik,
де P =
k−1∏
i=1
gcii.
Оскiльки g0k > 0 (див. умову 2)), а gik < 0, то
µΦ(∆c1...cm...ck−10)µΦ(∆c1...cm...ck−1i) = P 2g0kgik < 0.
Саме це є свiдченням не монотонностi функцiї на цилiндрi
∆c1...cm . Теорему доведено. �
Теорема 10. Варiацiя V (Φ) функцiї Φ на вiдрiзку [0; 1] обчи-
слюється за формулою
V (Φ) =
∞∏
k=1
Wk, (5)
де Wk = g0k + |g1k|+ · · ·+ |gsk−1,k|.
Доведення. Враховуючи, що функцiя Φ(x) найменшого i найбiль-
шого значення на цилiндрi набуває на його кiнцях, а також лему
1, яка виражає коливання функцiї на цилiндрi, бачимо, що до-
буток
m∏
k=1
Wk
виражає сумарне значення коливань функцiї на всiх цилiндрах
рангу m. Тодi граничний перехiд дає варiацiю функцiї Φ на всьо-
му вiдрiзку [0; 1], тобто приводить до формули (5). �
Наслiдок 11. Функцiя Φ є функцiєю обмеженої варiацiї тодi i
тiльки тодi, коли збiгається ряд
∞∑
k=1
(1−Wk).
184 О. I. Бондаренко, Н.М. Василенко, М.В. Працьовитий
Дане твердження є наслiдком попередньої теореми i теореми
про зв’язок збiжностi нескiнченного добутку
∞∏
k=1
(1− ak) i ряду
∞∑
k=1
ak.
5. Один цiкавий частковий випадок
Нехай g0k = q0k > 0, gsk−1,k = q1k > 0, q0k + q1k = 1; gik = 0
при 0 6= i 6= sk − 1, k ∈ N. Тодi δ0k = 0, δik = q0k, при i 6= 0. У
цьому випадку вираз (3) функцiї Φ(x) набуває Q∗2 представлення
чисел.
При виконаннi вказаних умов функцiя Φ(x) є сингулярною
функцiєю розподiлу (має похiдну рiвну нулю майже скрiзь, у ро-
зумiннi мiри Лебега) з аномально фрактальним спектром (мно-
жиною точок росту).
Якщо крiм цього q0k = q0 для будь-якого k ∈ N, то вираз
функцiї Φ є Q2-зображенням числа, а при q0 = 1
2 — класичним
двiйковим. Цi додатковi обмеження дозволяють суттєво спро-
стити дослiдження локальних тополого-метричних та iнтегро-
диференцiальних властивостей функцiї.
Лiтература
[1] Jarnicki M., Pflug P. Continuous nowhere differentiable function.
The Monsters of Analysis // Springer Monographs in Mathematics
— 2015. — 299 p.
[2] Pratsiovytyi M., Vasylenko N. Fractal properties of functions defi-
ned in terms of Q-representation // International Journal of Math.
Analysis Vol.7, 2013. no. 61-67 . — P. 3155-3169.
[3] Peter R. Massopust, Fractal functions, fractal surfaces, and wavelets.
— Academic Press; 1 edition (January 18, 1995), 383 p.
Канторiвська двiйково-фiбоначчiєва система числення 185
[4] Cantor G. Uber die einfachen Zahlesysteme // Z. Math. Phys. —
1869. — 10, Bd. 14. — P. 121-128.
[5] Бондаренко О.I., Працьовитий М.В. Канторiвська система числе-
ння, пов’язана з двiйковим рядом i послiдовнiстю Фiбоначчi //
Фрактальний аналiз та сумiжнi питання. Зб. праць Iн-ту матема-
тики НАН України. — Т.14, № 4. — Київ: Iнститут математики
НАН України, 2017. — С. 178-187.
[6] Василенко Н. М. Математичнi структури в просторi послiдовно-
стей Фiбоначчi / Н. М. Василенко, М. В. Працьовитий // Нау-
ковий часопис НПУ iменi М. П. Драгоманова. Серiя 1. Фiз.-мат.
науки. — Київ: НПУ iменi М. П. Драгоманова, 2008. — 9. — С. 129-
150.
[7] Воробьев Н.Н. Числа Фибоначчи. — М.: Наука, 1969. — 112 с.
[8] Коваль В.В. Самоафiннi графiки функцiй // Науковий часопис
НПУ iменi М.П. Драгоманова. Серiя 1. Фiзико-математичнi нау-
ки. — К.: НПУ iменi М.П. Драгоманова. — 2004. — № 5. — С. 292-
299.
[9] Панасенко О.Б. Фрактальна розмiрнiсть графiкiв неперервних
канторiвських проекторiв // Науковий часопис НПУ iменi М.П.
Драгоманова. Серiя 1. Фiзико-математичнi науки. — К.: НПУ iме-
нi М.П. Драгоманова. — 2008, № 9. — С. 104-111.
[10] Працевитый Н.В. Непрерывные канторовские проекторы // Ме-
тоды исследования алгебраических и топологических структур. —
Киев: КГПИ, 1989. — С. 95-105.
[11] Працьовитий М. В. Фрактальний пiдхiд у дослiдженнях сингу-
лярних розподiлiв. — Київ: Вид-во НПУ iменi М. П. Драгоманова,
1998. — 296 с.
[12] Працьовитий М.В. Фрактальнi властивостi однiєї неперервної нi-
де не диференцiйовної функцiї // Науковий часопис НПУ iме-
нi М.П. Драгоманова. Серiя 1. Фiзико-математичнi науки. — К.:
НПУ iменi М.П. Драгоманова. — 2002. — № 3. — С. 351-362.
[13] Працьовитий М. В. Системи числення зi змiнною основою та
змiнним алфавiтом (або розвинення чисел в ряди Кантора) //
Студентськi фiзико-математичнi етюди. — Київ: Вид-во НПУ iме-
нi М. П. Драгоманова, 2009. — 10, №8. — C. 6-18.
186 О. I. Бондаренко, Н.М. Василенко, М.В. Працьовитий
[14] Працьовитий М. В. Нiде не монотоннi сингулярнi функцiї // На-
уковий часопис НПУ iменi М.П. Драгоманова. Серiя 1. Фiзико-
математичнi науки. — К.: НПУ iменi М.П. Драгоманова. — 2011.
— № 12. — С. 24-36.
[15] Працьовитий М. В., Барановський О. М., Маслова Ю. П. Уза-
гальнення Трибiн-функцiї // Нелiнiйнi коливання, 2019, Том 22,
№3. — C. 380-390.
[16] Працьовитий М.В., Василенко Н.А. Одна сiм’я неперервних нiде
не монотонних функцiй з фрактальними властивостями // На-
уковий часопис НПУ iменi М.П. Драгоманова. Серiя 1. Фiзико-
математичнi науки. — К.: НПУ iменi М.П. Драгоманова. — 2013.
— № 14. — С. 176-188.
[17] Працьовитий М. В., Калашнiков А.В. Про один клас неперервних
функцiй зi складною локальною будовою, бiльшiсть з яких сингу-
лярнi або недиференцiйовнi // Труды ИПММ НАН Украины. —
2011, Т.23. — С. 180-191.
[18] Працьовитий М.В., Калашнiков А.В. Самоафiннi сингулярнi та
нiде не монотоннi функцiї, пов’язанi з Q-зображенням чисел. //
Укр. Мат. Журнал. — 2013. – Т.65, № 3. — С. 381-393.
[19] Працьовитий М.В., Ратушняк С.П. Неперервна нiде не дифе-
ренцiйовна функцiя з фрактальними властивостями, визначена в
термiнах Q2-зображення // Нелiнiйнi коливання, Т.23. № 2б 2020.
— С. 231-252.
[20] Працьовитий М. В., Свинчук О. В. Розсiювання значень однi-
єї фрактальної неперервної немонотонної функцiї канторiвського
типу // Нелiнiйнi коливання, 2018, Том 21, №1. — C. 116-130.
[21] Ралко Ю.В. Зрображення чисел рядами Кантора та деякi його
застосування // Науковий часопис НПУ iменi М. П. Драгоманова.
Серiя 1. Фiз.-мат. науки. — Київ: НПУ iменi М. П. Драгоманова.
— 2009. — 10, №10. — С. 132-140.
[22] Турбин А.Ф., Працевитый Н.В. Фрактальные множества, фун-
кции, распределения. — Киев: Наук.думка, 1992. — 208 с.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-515 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:08:44Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/05/2be1cbf613123662cb6950f84ace3505.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-5152023-03-02T07:56:20Z Канторівська двійково-фібоначчієва система числення у задачах теорії функцій Бондаренко, О. І. Василенко, Н. М. Працьовитий, М. В. In the article we study a class of continuous functions with locally complicated structure defined in terms of the representation of numbers in the Cantor number system:\[[0;1]\ni x=\frac{\alpha_1}{s_1}+\frac{\alpha_2}{s_1s_2}+\cdots+\frac{\alpha_n}{s_1s_2 \ldots s_n}+\cdots \equiv\Delta_{\alpha_1\alpha_2 \ldots \alpha_n \ldots},\]where $s_n=2^{\varphi_n}$, $(\varphi_n)$is a classical Fibonacci sequence: $\varphi_1=1=\varphi_2$, \mbox{$\varphi_{n+2}=\varphi_n+\varphi_{n+1}$,} $\alpha_n\in \{0, 1, \ldots, s_n-1\}$. Singular, nowhere monotonic and nondifferentiable functions, functions with bounded and unbounded variation are among the studied functions. У роботі вивчається клас неперервних функцій з локально-складною структурою, які означуються у термінах зображення чисел у канторівській системі числення:\[[0;1]\ni x=\frac{\alpha_1}{s_1}+\frac{\alpha_2}{s_1s_2}+ \cdots +\frac{\alpha_n}{s_1s_2...s_n}+\cdots\equiv\Delta_{\alpha_1\alpha_2...\alpha_n...},\]де $s_n=2^{\varphi_n}$, $(\varphi_n)$ ---класична послідовність Фібоначчі: $\varphi_1=1=\varphi_2$, \mbox{$\varphi_{n+2}=\varphi_n+\varphi_{n+1}$,} $\alpha_n\in \{0, 1, \ldots, s_n-1\}$. Серед досліджуваних функцій сингулярні, ніде не монотонні та недиференційовні функції; функції з обмеженою та необмеженою варіацією. Інститут математики НАН України 2019-12-30 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/515 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 16 No. 3 (2019): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 174-186 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 16 № 3 (2019): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 174-186 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 16 № 3 (2019): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 174-186 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/515/498 Авторське право (c) 2019 О. І. Бондаренко, Н. М. Василенко, М. В. Працьовитий http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Бондаренко, О. І. Василенко, Н. М. Працьовитий, М. В. Канторівська двійково-фібоначчієва система числення у задачах теорії функцій |
| title | Канторівська двійково-фібоначчієва система числення у задачах теорії функцій |
| title_full | Канторівська двійково-фібоначчієва система числення у задачах теорії функцій |
| title_fullStr | Канторівська двійково-фібоначчієва система числення у задачах теорії функцій |
| title_full_unstemmed | Канторівська двійково-фібоначчієва система числення у задачах теорії функцій |
| title_short | Канторівська двійково-фібоначчієва система числення у задачах теорії функцій |
| title_sort | канторівська двійково-фібоначчієва система числення у задачах теорії функцій |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/515 |
| work_keys_str_mv | AT bondarenkooí kantorívsʹkadvíjkovofíbonaččíêvasistemačislennâuzadačahteoríífunkcíj AT vasilenkonm kantorívsʹkadvíjkovofíbonaččíêvasistemačislennâuzadačahteoríífunkcíj AT pracʹovitijmv kantorívsʹkadvíjkovofíbonaččíêvasistemačislennâuzadačahteoríífunkcíj |