Ніде не монотонні функції, пов'язані з зображеннями чисел рядами Кантора
In the paper, we study properties of two continuous nowhere monotonicfunctions such that their argument is represented in Cantor numeralsystem with a sequence of natural bases $(s_k)$, where $s_k=2k+1$, andvalue of the function is determined by a chain dependence of digits of$Q_s$-representation of...
Saved in:
| Date: | 2019 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2019
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/517 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872553025094025216 |
|---|---|
| author | Працьовитий, М. В. Черчук, Н. В. Вовк, Ю. Ю. Шевченко, А. В. |
| author_facet | Працьовитий, М. В. Черчук, Н. В. Вовк, Ю. Ю. Шевченко, А. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "М. В. Працьовитий",
"institution": "Національний педагогічний університет імені М. П. Драгоманова, Київ"
},
{
"author": "Н. В. Черчук",
"institution": "Національний педагогічний університет імені М. П. Драгоманова, Київ"
},
{
"author": "Ю. Ю. Вовк",
"institution": "Чернігівський обласний інститут післядипломної педагогічної освіти імені К.Д. Ушинського, Чернігів"
},
{
"author": "А. В. Шевченко",
"institution": "Національний педагогічний університет імені М. П. Драгоманова, Київ"
}
] |
| author_sort | Працьовитий, М. В. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-03-02T07:56:20Z |
| description | In the paper, we study properties of two continuous nowhere monotonicfunctions such that their argument is represented in Cantor numeralsystem with a sequence of natural bases $(s_k)$, where $s_k=2k+1$, andvalue of the function is determined by a chain dependence of digits of$Q_s$-representation of a number on digits of representation of theargument. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:08:46Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2019, т. 16, № 3, 198–209
УДК 517.51
М.В. Працьовитий1, Н. В. Черчук2,
Ю.Ю. Вовк3, А. В. Шевченко4
1 НПУ iменi М.П. Драгоманова, Iнститут математики НАН
України, Київ; prats4444@gmail.com,
2 НПУ iменi М.П. Драгоманова, Київ.
3 Чернiгiвський обласний iнститут пiслядипломної
педагогiчної освiти iменi К.Д. Ушинського, Чернiгiв;
freeeidea@ukr.net
Нiде не монотоннi функцiї, пов’язанi
з зображеннями чисел рядами
Кантора
In the paper, we study properties of two continuous nowhere
monotonic functions such that their argument is represented in
Cantor numeral system with a sequence of natural bases (sk), where
sk = 2k + 1, and value of the function is determined by a chain
dependence of digits of Qs-representation of a number on digits of
representation of the argument.
Key words: Cantor numeral system, Qs-representation of a number,
continuous nowhere monotonic function, cylindrical sets, basic metric
relation.
c© М.В. Працьовитий, Н. В. Черчук, Ю.Ю. Вовк, А.В.
Шевченко 2019
У роботi вивчаються властивостi двох неперервних нiде не моно-
тонних функцiй, аргумент яких представлений у канторiвськiй
системi числення з послiдовнiстю натуральних основ (sk), де
sk = 2k + 1, а значення функцiї визначається ланцюговою за-
лежнiстю цифр Qs-зображення числа вiд цифр зображення аргу-
менту.
Ключовi слова: канторiвська система числення, Qs-зображення
числа, неперервна нiде не монотонна функцiя, цилiндричнi мно-
жини, основне метричне вiдношення.
Вступ
Бiльшiсть у топологiчному сенсi функцiй з метричного простору
C[0;1] є нiде не монотонними i навiть недиференцiйовними [9]. Ра-
зом з цим загальна аналiтична теорiя таких функцiй є мало роз-
винутою. В нiй перевага надається яскравим прикладам з погли-
бленим вивченням їх варiацiйних, структурних i фрактальних
властивостей [3], [4]. З цiєю метою використовують рiзнi систе-
ми зображення чисел, знання геометрiї яких спрощує формальне
задання функцiй i їх аналiтичне вивчення.
У цiй роботi вивчаються двi неперервнi нiде не монотоннi фун-
кцiї з рiзними способами задання. Функцiї залежнi вiд параме-
трiв, якi набувають значень з континуальної множини. Перша
функцiя – аналог Трибiн-функцiї, що вивчалася в роботах [1],
[10], [11], [18], [14], [13], а друга – аналог функцiї Серпiнсько-
го [3], [7], [8], [12]. Для задання функцiй використовуються кан-
торiвськi зображення чисел з послiдовнiстю рiзних основ i Qs-
зображення, яке є узагальненням s-кового зображення. Коротко
зупинимось на ключових поняттях, якi стосуються двох вказан-
них зображень чисел.
Нехай задано послiдовнiсть натуральних чисел sk = 2k + 1,
k ∈ N, яку називатимемо послiдовнiстю основ; послiдовнiсть ал-
фавiтiв Ask = {0, 1, . . . , sk − 1} i простiр L = A1× . . .×Ak × . . . –
послiдовностей елементiв алфавiтiв.
200 М.В. Працьовитий, Н.В. Черчук, Ю.Ю. Вовк, А.В. Шевченко
Вiдомо [2], що для будь-якого числа x ∈ [0; 1] iснує послiдов-
нiсть (an) ∈ L така, що
x =
a1
s1
+
a2
s1s2
+ . . .
ak
s1s2 . . . sk
+ . . . = ∆(sk)
a1a2...ak...
(1)
Розклад числа x в ряд (1) називається його представленням ря-
дом Кантора [2], а скорочений запис ∆
(sk)
a1a2...ak... ряду i його суми
— (sk)–зображенням. Деякi числа мають два (sk)-зображення:
∆
(sk)
a1...am(0) = ∆
(sk)
a1...am−1[am−1][sm+1−1][sm+2−1]... ≡ ∆
(sk)
a1...[am−1](sm+k−1).
Вони називаються (sk)-бiнарними. Решта чисел мають єдине
(sk)-зображення i називаються (sk)-унарними.
Нехай задано ймовiрнiсний вектор Qs з додатними координа-
тами (q0, q1, . . . , qs−1). Розклад числа
[0; 1] 3 x = βα1(x) +
∞∑
k=2
βαk(x)
k−1∏
j=1
qαj(x)
≡ ∆Qs
α1(x)α2(x)...αk(x)...
,
де αk(x) ∈ As ≡ {0, 1, . . . , s − 1}, β0 = 0, βi =
i−1∑
j=0
qj називається
Qs-розкладом [6], а його скорочений запис ∆Qs
α1(x)α2(x)...αk(x)...
–
Qs-зображенням числа x.
Означення 1. Нехай (c1, c2, . . . , cm) – упорядкований на-
бiр елементiв алфавiту As. Qs-цилiндром рангу m iз осно-
вою c1c2 . . . cm називається множина ∆Qs
c1c2...cm усiх чи-
сел x ∈ [0, 1], якi мають таке Qs-зображення: x =
∆Qs
c1c2...cmαm+1...αm+k..., αm+k ∈ As.
Qs-цилiндр ∆Qs
c1c2...cm є вiдрiзком [∆Qs
c1c2...cm(0); ∆Qs
c1c2...cm(s−1)];
∆Qs
c1...cm = ∆Qs
c1...cm0 ∪ . . . ∪ ∆Qs
c1...cm[s−1]; ; довжина цилiндра
|∆Qs
c1c2...cm | =
m∏
i=1
qci ; |∆
Qs
c1...cmi
| = qi|∆Qs
c1...cm |.
Нiде не монотоннi функцiї, пов’язанi з рядами Кантора 201
Цилiндр ∆
(sk)
c1...cm з основою (c1, . . . , cm), ck ∈ Ask , що вiдповiдає
(sk)-зображенню, є вiдрiзком [∆
(sk)
c1...cm(0); ∆
(sk)
c1...cm([sm+k−1])], який
має довжину |∆(sk)
c1...cm | = 1
s1·s2·...·sm .
Оператор лiвостороннього зсуву цифр Qs-зображення чисел
означується рiвнiстю: ω(∆Qs
α1α2...αk...) = ∆Qs
α2...αk...;
ωn(∆Qs
α1α2...αk...
) = ω(ωn−1(∆Qs
α1α2...αk...
)) = ∆Qs
αn+1...αn+k...
.
1. Аналог Трибiн-функцiї
На вiдрiзку [0; 1] розглянемо функцiю f , означену рiвнiстю:
f(∆(sk)
a1a2...ak...
) = βγ1 +
∞∑
k=2
βγk k−1∏
j=1
qγj
= ∆Q2
γ1γ2...γk...
, (2)
де β0 = 0, β1 = q0,
γ1 =
{
0, якщо α1(x) = 0,
1, якщо α1(x) 6= 0;
(3)
γk+1 =
γk, якщо
[
αk+1(x) = αk(x),
(αk(x), αk+1(x)) = (sk − 1, sk+1 − 1);
1− γk, якщо αk+1(x) 6= αk(x).
(4)
Лема 1. Дане означення функцiї f рiвнiстю (2) є коректним в
кожнiй точцi вiдрiзка [0; 1], i в тих, що мають єдине зображе-
ння, i в тих, що мають два зображення.
Доведення. Для доведення твердження досить показати, що рiв-
нiсть (2) вiд двох рiвних зображень (sk)-бiнарних точок дає рiвнi
значення. З цiєю метою розглянемо довiльну (sk)-бiнарну точку
202 М.В. Працьовитий, Н.В. Черчук, Ю.Ю. Вовк, А.В. Шевченко
x1 ≡ ∆
(sk)
c1...[cm−1](sm+k−1) = ∆
(sk)
c1...cm(0) ≡ x2 i модуль рiзницi
|f(x1)− f(x2)| =
∣∣∣f(∆
(sk)
c1...cm−1[cm−1](sm+k−1))− f(∆
(sk)
c1...cm−1cm(0))
∣∣∣ =
= Pm−1
∣∣∣∆Q2
bmbm+1...
−∆Q2
b′mb
′
m+1...
∣∣∣ , де Pm−1 =
m−1∏
j=1
qbj
Можливi випадки
1) cm(x1) = cm−1 6= cm(x2);
2) cm(x1) 6= cm−1 = cm(x2);
3) (cm−1, cm(x2)) = (sm−1 − 1, sm − 1);
4) cm(x1) 6= cm−1 6= cm(x2).
Розглянемо кожен випадок окремо.
1) Нехай cm(x1) = cm−1 6= cm(x2), тодi bm = bm−1, bm+k = 1− bm,
b′m = 1− bm−1, b′m+k = 1− b′m = bm, k ∈ N. Тодi
|f(x1)− f(x2)| = Pm−1
∣∣∣∆Q2
bm(1−bm) −∆Q2
[1−bm](bm)
∣∣∣ =
= Pm−1
∣∣∣∣βbm +
qbmβ[1−bm]
1− q[1−bm]
− β[1−bm] −
q[1−bm]βbm
1− qbm
∣∣∣∣ =
= Pm−1
∣∣∣∣βbm +
qbmβ[1−bm]
qbm
− β[1−bm] −
q[1−bm]βbm
q[1−bm]
∣∣∣∣ = 0;
2) Доведення випадку, коли cm(x1) 6= cm−1 = cm(x2) аналогi-
чне до 1).
3) Нехай (cm−1, cm(x2)) = (sm−1− 1, sm− 1). Тодi, згiдно фор-
мул (4), маємо b′m = bm−1, b′m+k = 1 − bm−1, bm = 1 − bm−1,
bm+k = bm−1. Звiдки отримаємо, що f(x1) = f(x2).
4) Нехай тепер cm(x1) 6= cm−1 6= cm(x2), тодi bm = 1− bm−1,
bm+k = 1 − bm = bm−1, b′m = 1 − bm−1, b′m+k = 1 − b′m = bm−1,
k ∈ N. З останнього слiдує, що f(x1) = f(x2).
Що i треба було довести. �
Лема 2. Функцiя f є неперервною в кожнiй точцi вiдрiзка [0; 1].
Нiде не монотоннi функцiї, пов’язанi з рядами Кантора 203
Доведення. Нехай [0; 1] 3 x0 – довiльна точка. Для доведення
твердження досить показати, що lim
x→x0
|f(x)− f(x0)| = 0.
Якщо x0 – (sk)-унарна точка, то для довiльного x ∈ [0; 1] iснує
номер m = m(x) такий, що (αm−1, αm) 6= (sm−1, sm) i виконує-
ться: {
αi(x) = αi(x0), i = 1,m− 1,
αm(x) 6= αm(x0);
зрозумiло, що при m→∞ виконується x→ x0. Таким чином
|f(x)−f(x0)| =
∣∣∣∣∣∣
∞∑
i=m
βγi(y) i−1∏
j=1
qγj(y)
− ∞∑
i=m
βγi(y0) i−1∏
j=1
qγj(y0)
∣∣∣∣∣∣ =
=
m−1∏
j=1
qγj(y)
∣∣∣∣∣∣
∞∑
i=m
βγi(y) i−1∏
j=m
qγj(y)
− ∞∑
i=m
βγi(y0) i−1∏
j=m
qγj(y0)
∣∣∣∣∣∣ <
<
m−1∏
j=1
qγj(y) ≤ (max{q0, 1− q0})m−1 → 0 при m→∞.
Нехай тепер x0 – (sk)-бiнарна точка вигляду
∆
(sk)
c1...[cm−1](sm+k−1) = x0 = ∆
(sk)
c1...cm(0), то для доведення не-
перервностi функцiї f злiва треба використати (sk)-зображення
x = ∆
(sk)
c1...[cm−1](sm+k−1), а справа – (sk)-зображення x = ∆
(sk)
c1...cm(0)
i повторити аналогiчнi, як i для (sk)-унарної точки, мiркування.
�
Лема 3. Функцiя f є нiде не монотонною на [0; 1].
Доведення. Для доведення твердження покажемо, що функцiя
f не має жодного, як завгодно малого, промiжку монотонностi.
Обчислимо прирiст µf функцiї f на цилiндрi ∆
(sk)
c1c2...cm рангу m
µf (∆(sk)
c1c2...cm) = f(∆
(sk)
c1c2...cm(sm+k−1))− f(∆
(sk)
c1c2...cm(0)) =
204 М.В. Працьовитий, Н.В. Черчук, Ю.Ю. Вовк, А.В. Шевченко
=
(−1)γm+1
m∏
k=1
qγk , якщо cm = sm − 1,
(−1)γm
m∏
k=1
qγk , якщо cm = 0,
0, якщо cm ∈ Am \ {0, sm − 1},
Легко бачити, що для кожного цилiндра ∆
(sk)
c1c2...cm можна вка-
зати цилiндр ∆
(sk)
c1c2...cmj
⊂ ∆
(sk)
c1c2...cm на яких прирости функцiї f
набувають рiзних знакiв. Що i треба було довести. �
2. Аналог функцiї Серпiнського
Визначимо на Ak дискретну функцiю
γ(α) =
0, якщо α = 0,
1, якщо α ∈ Ak \ {0, sk − 1},
2, якщо α = sk − 1.
(5)
Для кожної послiдовностi (αk) ∈ L ≡ A∞k = Ak × Ak × . . .
визначимо послiдовнiсть (ck) наступним чином
c1 = c2 = 0, ck =
ck−1, якщо αk−1 6=
sk−1 − 1
2
,
1− ck−1, якщо αk−1 =
sk−1 − 1
2
.
(6)
На вiдрiзку [0, 1] визначимо функцiю
g(x) = g(∆
(sk)
α1(x)α2(x)...αk(x)...
) = ∆Q3
β1β2...βk...
, (7)
де βk ∈ A3 ≡ {0, 1, 2}, причому
β1 = γ(α1), βk =
{
γ(αk), якщо ck = 0,
2− γ(αk), якщо ck 6= 0.
(8)
Нiде не монотоннi функцiї, пов’язанi з рядами Кантора 205
Лема 4. Функцiя g означена коректно в кожнiй точцi вiдрiзка
[0; 1].
Доведення. Очевидно, що функцiя g в (sk)-унарнiй точцi озна-
чена коректно. Покажемо, що вона означена коректно i в (sk)-
бiнарнiй точцi. Для цього розглянемо два рiзних (sk)-зображення
(sk)-бiнарного значення аргумента x:
x1 ≡ ∆
(sk)
α1α2...αk−1αk(0)
= ∆
(sk)
α1α2...αk−1[αk−1](sk+i−1) ≡ x2.
Тодi g(x1)=∆Q3
β1...βk−1βkβk+1...βk+n...
, g(x2)=∆Q3
β1...βk−1β
∗
kβ
∗
k+1...β
∗
k+n...
.
Тому
|g(x1)− g(x2)| =
k−1∏
i=1
qβi |∆
Q3
βk...βk+n...
−∆Q3
β∗k ...β
∗
k+n...
|
Очевидно, що ci(x1) = ci(x2) для i ≤ k. Для i > k розглянемо
можливi випадки
1) якщо ck+1(x1) = ck = ck+1(x2), тодi αk(x) ∈ Ak \ { sk−12 },
β∗k=βk−1 при ck=0,
βk=β∗k−1 при ck=1;
βk+n=
{
0 при ck=0,
2 при ck=1;
β∗k+n=
{
0 при ck=1,
2 при ck=0;
Таким чином врахувавши, що δβk = δβk−1
+ qβk−1 маємо
|g(x1)− g(x2)| =
k−1∏
i=1
qβi
∣∣∣∆Q3
βk(0)
−∆Q3
[βk−1](2)
∣∣∣ = 0,
k−1∏
i=1
qβi
∣∣∣∆Q3
[β∗k−1](2)
−∆Q3
β∗k(0)
∣∣∣ = 0;
2) якщо ck+1(x) 6= ck = ck+1(x
∗), тодi αk(x) = sk−1
2 або αk(x)−1 =
sk−1
2 . Звiдки, використовуючи формулу (7)-(8), маємо βn = β∗n
для всiх n = k, k + 1, k + 2 . . .. Тому g(x)− g(x∗) = 0.
206 М.В. Працьовитий, Н.В. Черчук, Ю.Ю. Вовк, А.В. Шевченко
Аналогiчнi мiркування можна провести для випадка, коли
ck+1(x) = ck 6= ck+1(x
∗).
Отже, коректнiсть означення функцiї в (sk)-бiнарнiй точцi об-
грунтовано. �
Лема 5. Функцiя g є неперервною на вiдрiзку [0; 1]
Доведення. Для доведення неперервностi функцiї g в довiльнiй
точцi x0 вiдрiзка [0, 1], досить показати, що має мiсце насту-
пне спiввiдношення lim
x→x0
|g(x)− g(x0)| = 0. Доведення проведемо
окремо для (sk)-унарних та (sk)-бiнарних точок.
Нехай x0 – (sk)-унарна точка. Тодi для довiльного x ∈ [0, 1]
iснує m = m(x) таке, що{
αj(x) = αj(x0), j = 1,m− 1,
αm(x) 6= αm(x0),
причому умова x→ x0 рiвносильна умовi m→∞. Тодi,
g(x) = ∆Q3
β1β2...βm−1βm...βm+k...
, g(x0) = ∆Q3
β1β2...βm−1β′m...β
′
m+k...
.
Таким чином,
|g(x)− g(x0)| =
∣∣∣∆Q3
β1β2...βm−1βm...βm+k...
−∆Q3
β1β2...βm−1β′m...β
′
m+k...
∣∣∣ =
=
m−1∏
i=1
qβi
∣∣∣∆Q3
βm...βm+k...
−∆Q3
β′m...β
′
m+k...
∣∣∣ ≤ m−1∏
i=1
qβi → 0 приm→∞.
Отже, функцiя g є неперервною в кожнiй (sk)-унарнiй точцi.
Для доведення неперервностi функцiї g в (sk)-бiнарнiй точцi
∆
(sk)
α1α2...αk(0)
= x0 = ∆
(sk)
α1α2...[αk−1](sk+m−1), досить довести окремо
неперервнiсть її злiва i справа у цiй точцi i повторити попере-
днi мiркування, при цьому для доведення першого твердження
використати (sk)-зображення x0 = ∆
(sk)
α1α2...[αk−1](sk+m−1), а для
доведення другого – x0 = ∆
(sk)
α1α2...αk(0)
. �
Нiде не монотоннi функцiї, пов’язанi з рядами Кантора 207
Лема 6. Прирiст функцiї g на цилiндрi ∆
(sk)
d1d2...dm
визначається
за формулою µg(∆
(sk)
d1d2...dm
) = (−1)cm
m∏
i=1
qbi .
Доведення. Зафiксуємо цилiндр ∆
(sk)
d1d2...dm
, тодi
µg(∆
(sk)
d1d2...dm
) = g(∆
(sk)
d1d2...dm(sm+k−1))− g(∆
(sk)
d1d2...dm(0)) =
=
∆Q3
b1b2...bm(2) −∆Q3
b1b2...bm(0) =
m∏
i=1
qbi , якщо cm = 0,
∆Q3
b1b2...bm(0) −∆Q3
b1b2...bm(2) = −
m∏
i=1
qbi , якщо cm = 1,
що i треба було довести. �
Наслiдок. Функцiя g є нiде не монотонною.
Зауваження. Принципова вiдмiннiсть функцiй, розглянутих
у данiй роботi, полягає у рiзницi їх екстремальних властивостей
на цилiндрах, при цьому об’єднує їх той факт, що множини рiв-
нiв цих функцiй є складнiшими вiд їх класичних аналогiв i на
кожному цилiндрi ∆
(sk)
c1...cm залежить вiд Asm .
У данiй роботi ми залишили поза увагою диференцiальнi вла-
стивостi функцiй. Цiкавим об’єктом дослiдження є суперпозицiя
функцiй, розглянутих у попереднiх пуктах.
Лiтература
[1] Bush K.A. Continuous functions without derivatives // Amer.
Math. Monthly. — 1952. — 59, no. 4. — P. 222-225.
[2] Cantor G. Uber die einfachen Zahlesysteme // Z. Math. Phys. —
1869. — 10, Bd. 14. — P. 121-128.
[3] Jarnicki M., Pflug P. Continuous nowhere differentiable function.
The Monsters of Analysis // Springer Monographs in Mathematics
— 2015. — 299 p.
208 М.В. Працьовитий, Н.В. Черчук, Ю.Ю. Вовк, А.В. Шевченко
[4] Peter R. Massopust. Fractal functions, fractal surfaces, and wavelets.
– Academic Press; 1 edition (January 18, 1995), 383 p.
[5] Турбин А. Ф., Працевитый Н. В. Фрактальные множества, фун-
кции, распределения. – К.: Наукова думка. – 1992. – 208 с.
[6] Працьовитий М. В. Фрактальний пiдхiд у дослiдженнях сингу-
лярних розподiлiв. – Київ: Вид-во НПУ iменi М. П. Драгомано-
ва. – 1998. – 296 c.
[7] Sierpiński W. Arytmetyczny przyk lad funkcji ciąg lej, ni-
eróżniczkowalnej // Wektor. – 1914. – №8. – P. 337-343.
[8] Pratsiovytyi M., Vasylenko N. Fractal properties of functions defined
in terms of Q-representation // Int. J. of Math. Anal. – 2013. – 7(64).
– P. 3155–3169. doi:10.12988/ijma.2013.311278
[9] Козырев С. Б. О топологической густоте извивающихся фун-
кций // Мат. заметки.– 1983. — 33, №1.—С. 71-76.
[10] Коваль В. В. Самоафiннi графiки функцiй // Науковi запи-
ски НПУ iменi М.П. Драгоманова. Фiзико-математичнi науки.
2004. —№ 5.—С. 292-299.
[11] Панасенко О. Б. Фрактальна властивостi одного класу однопа-
раметричних неперервних недиференцiйовних функцiй // Нау-
ковий часопис НПУ iменi М.П. Драгоманова. Серiя 1. Фiзико-
математичнi науки. – К.: НПУ iменi М.П.Драгоманова. – 2006. –
№ 7. – С. 160–167.
[12] Працьовитий М. В., Василенко Н. А. Недиференцiйовна фун-
кцiя, що є одним з узагальнень вiдомої функцiї Серпiнсько-
го // Науковий часопис НПУ iменi М.П. Драгоманова. Серiя 1,
Фiзико-математичнi науки. – Київ: НПУ iменi М.П. Драгомано-
ва, 2010. – № 11. – С. 170–181.
[13] Працьовитий М.В, Калашнiков А.В. Самоафiннi сингулярнi та
нiде не монотоннi функцiї, пов’язанi з Q-зображеннями чисел //
УМЖ.— 2013, т.65, №3. —C. 381-393.
[14] Працевитый Н.В. Непрерывные канторовские проекторы // Ме-
тоды исследования алгебраических и топологических структур.
— Киев: КГПИ, 1989. – С. 95-105.
Нiде не монотоннi функцiї, пов’язанi з рядами Кантора 209
[15] Працьовитий М. В. Фрактальнi властивостi однiєї неперервної
нiде не диференцiйовної функцiї// Науковi записки НПУ iм.
М.П. Драгоманова. Фiзико-математичнi науки. 2002. – № 3, –
C. 351-362.
[16] Працьовитий М. В. Системи числення зi змiнною основою та
змiнним алфавiтом (або розвинення чисел в ряди Кантора) //
Студентськi фiзико-математичнi етюди. – Київ: Вид-во НПУ iме-
нi М. П. Драгоманова, 2009. – 10, №8. – C. 6-18.
[17] Працьовитий М. В., Свинчук О. В. Розсiювання значень однiєї
фрактальної неперервної немонотонної функцiї канторiвського
типу // Нелiнiйнi коливання, 2018, Том 21, №1. – C. 116-130.
[18] Працьовитий М.В., Панасенко О.Б. Диференцiальнi i фракталь-
нi властивостi одного класу самоафiнних функцiй // Вiсник
Львiвського унiверситету. Серiя механiко-математична. – 2009.
– Т. 70. – C. 128-139.
[19] Ралко Ю.В. Зрображення чисел рядами Кантора та деякi його
застосування // Науковий часопис НПУ iменi М. П. Драгомано-
ва. Серiя 1. Фiз.-мат. науки. – Київ: НПУ iменi М. П. Драгома-
нова. – 2009. – 10, №10. – С. 132-140.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-517 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:08:46Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/83/f0649c1ab70dfcd02c07b6a4c9098b83.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-5172023-03-02T07:56:20Z Ніде не монотонні функції, пов'язані з зображеннями чисел рядами Кантора Працьовитий, М. В. Черчук, Н. В. Вовк, Ю. Ю. Шевченко, А. В. In the paper, we study properties of two continuous nowhere monotonicfunctions such that their argument is represented in Cantor numeralsystem with a sequence of natural bases $(s_k)$, where $s_k=2k+1$, andvalue of the function is determined by a chain dependence of digits of$Q_s$-representation of a number on digits of representation of theargument. У роботі вивчаються властивості двох неперервних ніде не монотонних функцій, аргумент яких представлений у канторівській системі числення з послідовністю натуральних основ $(s_k)$, де $s_k=2k+1$, а значення функції визначається ланцюговою залежністю цифр $Q_s$-зображення числа від цифр зображення аргументу. Інститут математики НАН України 2019-12-30 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/517 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 16 No. 3 (2019): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 198-209 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 16 № 3 (2019): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 198-209 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 16 № 3 (2019): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 198-209 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/517/500 Авторське право (c) 2019 2019 http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Працьовитий, М. В. Черчук, Н. В. Вовк, Ю. Ю. Шевченко, А. В. Ніде не монотонні функції, пов'язані з зображеннями чисел рядами Кантора |
| title | Ніде не монотонні функції, пов'язані з зображеннями чисел рядами Кантора |
| title_full | Ніде не монотонні функції, пов'язані з зображеннями чисел рядами Кантора |
| title_fullStr | Ніде не монотонні функції, пов'язані з зображеннями чисел рядами Кантора |
| title_full_unstemmed | Ніде не монотонні функції, пов'язані з зображеннями чисел рядами Кантора |
| title_short | Ніде не монотонні функції, пов'язані з зображеннями чисел рядами Кантора |
| title_sort | ніде не монотонні функції, пов'язані з зображеннями чисел рядами кантора |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/517 |
| work_keys_str_mv | AT pracʹovitijmv nídenemonotonnífunkcíípov039âzanízzobražennâmičiselrâdamikantora AT čerčuknv nídenemonotonnífunkcíípov039âzanízzobražennâmičiselrâdamikantora AT vovkûû nídenemonotonnífunkcíípov039âzanízzobražennâmičiselrâdamikantora AT ševčenkoav nídenemonotonnífunkcíípov039âzanízzobražennâmičiselrâdamikantora |