Про розподіли значень функцій типу Серпінського
We construct an infinite-parameter family of continuous nowheremonotonic and, in general, non-differentiable functions which aregeneralizations of classical nowhere differentiable Sierpi\'nskifunction. We study topological and metric propertiesof the distribution of values of functions belo...
Збережено в:
| Дата: | 2019 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2019
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/520 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872553026698346496 |
|---|---|
| author | Василенко, Н. А. |
| author_facet | Василенко, Н. А. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Н. А. Василенко",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Василенко, Н. А. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-03-02T07:56:20Z |
| description | We construct an infinite-parameter family of continuous nowheremonotonic and, in general, non-differentiable functions which aregeneralizations of classical nowhere differentiable Sierpi\'nskifunction. We study topological and metric propertiesof the distribution of values of functions belonging to constructedfamily. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:08:47Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2019, т. 16, № 3, 92–100
УДК 517.51
Н.А. Василенко
Iнститут математики НАН України, Київ;
vasylenkonnn@gmail.com
Про розподiли значень функцiй типу
Серпiнського
We construct an infinite-parameter family of continuous nowhere
monotonic and, in general, non-differentiable functions which are
generalizations of classical nowhere differentiable Sierpiński functi-
on. We study topological and metric properties of the distribution of
values of functions belonging to constructed family.
Key words: Qs-representation of real numbers; continuous nowhere
differentiable function; nowhere monotonic function; level sets of
function; Lebesgue structure of distribution; discrete distribution; si-
ngular distribution.
Будується нескiнченно-параметрична сiм’я неперервних нiде не
монотонних функцiй, якi є узагальненням класичної нiде не
диференцiйовної функцiї Серпiнського. Вивчаються тополого-
метричнi властивостi розподiлу значень функцiї з побудованої
сiм’ї.
Ключовi слова: Qs-зображення дiйсних чисел; неперервна нiде
не диференцiйовна функцiя; нiде не монотонна функцiя; рiвень
функцiї; лебегiвська структура розподiлу; дискретнiсть розподi-
лу; сингулярнiсть розподiлу.
c© Н.А. Василенко, 2019
Про розподiли значень функцiй типу Серпiнського 93
Вступ
Сьогоднi функцiї зi складною локальною будовою (нiде не мо-
нотоннi, сингулярнi, нiде не диференцiйовнi, звивистi та iн.) ви-
никають в багатьох моделях реальних об’єктiв та процесiв. На-
явнi засоби теорiї фрактального аналiзу та фрактальної геоме-
трiї значно розширили можливостi дослiдження властивостей
таких функцiй, переважна бiльшiсть яких будується з викори-
станням перетворювачiв символiв однiєї системи числення в iн-
шу [1], [2], [6]. До таких функцiй, зокрема, вiдноситься i функцiя
Серпiнського [4], а також її узагальнення — функцiї типу Сер-
пiнського [11], [12].
Функцiя типу Серпiнського будується з використанням полiо-
сновного Qs-зображення дiйсних чисел [7]. Такi зображення ви-
значаються ймовiрнiсним вектором Qs з додатними координата-
ми (q0, q1, . . . , qs−1) i розкладом
[0; 1] 3 x = βα1(x) +
∞∑
k=2
βαk(x) k−1∏
j=1
qαj(x)
≡ ∆Qs
α1(x)α2(x)...αk(x)...
,
де αk(x) ∈ As ≡ {0, 1, . . . , s− 1}, β0 = 0, βi =
i−1∑
j=0
qj .
Нехай (c1, c2, . . . , cn) – упорядкований набiр елементiв алфа-
вiту As. Нагадаємо, що цилiндром рангу n iз основою c1c2 . . . cn
називається множина ∆Qs
c1c2...cn усiх чисел x ∈ [0, 1], якi мають
таке Qs-зображення: x = ∆Qs
c1c2...cnαn+1...αn+k..., αn+k ∈ As.
Цилiндри мають властивостi:
1) ∆Qs
c1c2...cn =
s−1⋃
j=0
∆Qs
c1...cnj
;
2) [0, 1] =
s−1⋃
i1=0
s−1⋃
i2=0
. . .
s−1⋃
in=0
∆Qs
i1i2...in
;
3) max∆Qs
c1c2...cni
= min∆Qs
c1c2...cn[i+1];
4) |∆Qs
c1c2...cn | =
n∏
i=1
qci → 0 (n→∞);
94 Н.А. Василенко
5)
∞⋂
n=1
∆Qs
c1...cn = x ≡ ∆Qs
c1...cn... для довiльної послiдовностi (cn),
де cn ∈ As.
Дана робота присвячена вивченню розподiлу значень випад-
кової величини Y = f(X) при заданному розподiлу аргументу
X, де f – функцiя типу Серпiнського.
1. Об’єкт дослiдження
Нехай A5 = {0, 1, 2, 3, 4}, Q5 i Q3 – заданi два Q-зображення.
Вектор Q3 (для зручностi) позначимо через G3 = {g0, g1, g2}.
Визначимо на A5 дискретну функцiю
γ(α) =
0, якщо α = 0,
1, якщо α ∈ A5 \ {0, 4},
2, якщо α = 4.
(1)
Для кожної послiдовностi (αk) ∈ L ≡ A∞5 = A5 × A5 × . . .
визначимо послiдовнiсть (ck) наступним чином
c1 = 0, ck =
{
ck−1, якщо αk−1 ∈ A5 \ {2},
1− ck−1, якщо αk−1 = 2.
(2)
На вiдрiзку [0, 1] визначимо функцiю, аргумент якої подається
у формi Q5-розкладу
x = ϕα1(x) +
∞∑
i=2
ϕαi(x) · i−1∏
j=1
qαj(x)
≡ ∆Q5
α1(x)α2(x)...αk(x)...
, (3)
де αk(x) ∈ A5, Q5 = {q0, q1, q2, q3, q4, q5}, ϕ0 = 0, ϕi =
i−1∑
k=0
qk,
а значення функцiї має наступний G3-розклад:
f(x) = ψβ1 +
∞∑
i=2
ψβi · i−1∏
j=1
gβj
≡ ∆G3
β1β2...βk...
, (4)
Про розподiли значень функцiй типу Серпiнського 95
де βk ∈ A3 ≡ {0, 1, 2}, G3 = {g0, g1, g2}, ψ0 = 0, ψi =
i−1∑
k=0
gk,
причому
β1 = γ(α1), βk =
{
γ(αk), якщо ck = 0,
2− γ(αk), якщо ck 6= 0.
(5)
Властивостi функцiї f детально вивчалися в роботах [3], [11],
[12]. Наведемо деякi з них.
1. Функцiя f є неперервною в кожнiй точцi вiдрiзка [0; 1].
2. Функцiя f є нiде не монотонною на [0; 1].
3. Функцiя f задовольняє систему функцiональних рiвнянь:
f(βi + qix) =
{
δγ(i) + gγif(x), якщо i ∈ A5 \ 2,
δγ(i) + gγif(I(x)), якщо i = 2,
де I(x) = I(∆Q5
α1α2...αk...) = ∆Q5
[4−α1][4−α2]...[4−αk]....
4. Для графiка функцiї f має мiсце властивiсть:
f(I(x)) = I(f(x)).
5. Якщо y0 = ∆G3
d1d2...dm(1) (m ∈ Z0), то для множини рiвня y0
має мiсце рiвнiсть:
f−1(y0) = C[Q5, V ] ≡ {x : αi(x) ∈ V = A5 \ {0, 4}, i ∈ N},
отже, вона має властивостi: 1) є континуальною;
2) нiде не щiльною множиною; 3) нульової мiри лебега.
6. Якщо в G3-зображеннi точки y0 = ∆G3
i1i2...ik...
всi G3-цифри
ik ∈ A3 \ {1}, то множина f−1(y0) мiстить єдину точку, зображе-
ння якої має наступний вигляд:
x = ∆Q5
α1(x)α2(x)...αk(x)...
, де αk(x) =
{
0 при ik = 0,
4 при ik = 2.
7. Якщо зображення точки y0 = ∆G3
β1β2...βk...
мiстить n цифр
”1”, то множина f−1(y0) складається з 3n точок.
96 Н.А. Василенко
2. Розподiли значень функцiї Y = f(X)
Нехай X = ∆Q5
η1η2...ηk... – випадкова величина з незалежними сим-
волами ηk свого Q5-зображення, де P{ηk = i} = pi, i ∈ A5,
4∑
i=0
pi = 1. Вивчимо структуру розподiлу випадкової величини
Y = f(X) = ∆G3
τ1τ2...τk...
(де f – узагальнена функцiя Серпiнсько-
го) при заданному розподiлi аргумента X.
Нагадаємо [7], що функцiєю розподiлу випадкової величини ξ
називають функцiю Fξ(x) = P{ξ < x}, а спектром SFξ = Sξ
функцiї Fξ(x) випадкової величини ξ називається множина всiх
точок росту Fξ(x), тобто SFξ = {x : Fξ(x+ ε)−Fξ(x− ε) > 0, ∀ε}.
Точковим спектром розподiлу випадкового елемента ξ ∈ Rn
називається множина Dξ = {u : µξ({u}) > 0, u ∈ Rn} , де µξ –
ймовiрнiсна мiра, що вiдповiдає розподiлу ξ, а спектром розпо-
дiлу ξ називається мiнiмальний замкнений носiй мiри µξ, тобто
множина Sξ = {u : µξ(Oε(u)) > 0 ∀ε > 0}, де Oε(u) – вiдкрита
куля в Rn радiуса ε з центром в точцi u.
Якщо iснує скiнченна або злiченна множина E така, що
µξ(E) = 1, то розподiл ξ називається чисто дискретним, якщо
ж µξ({u}) = 0 для довiльного u ∈ Rn, то – неперервним. Якщо
0 < µξ(Dξ) < 1, то розподiл ξ називається сумiшшю дискретного
i неперервного.
Лема 1. Якщо p2 = 0, то G3-символи τk випадкової величини
Y = f(X) є незалежними i мають мiсце рiвностi:
P{τk = 0} = p0, P{τk = 2} = p4, P{τk = 1} = p1 + p3.
Доведення. Нехай p2 = 0, тодi носiєм розподiлу випадкової ве-
личини X є множина C[Q5, V ], де V = {0, 1, 3, 4}. Згiдно озна-
чення функцiї f , якщо αk ∈ V для всiх k ∈ N, то ck = 0, а
βk(f(x)) = γ(αk(x)). Тому:
P{τk = 0} = P{ηk = 0} = p0, P{τk = 2} = P{ηk = 4} = p4,
Про розподiли значень функцiй типу Серпiнського 97
P{τk=1} = P{ηk=1 ∨ ηk=3} = P{ηk=1}+ P{ηk=3} = p1 + p3,
що i треба було довести. �
Наслiдок 2. Якщо p1 = p2 = p3 = 0, то Y є випадковою вели-
чиною з незалежними G3-символами i виконуються наступнi
рiвностi:
P{τk = 0} = P{ηk = 0} = p0, P{τk = 2} = P{ηk = 4} = p4.
Лема 3. Якщо p0 = p4 = 0, то розподiл випадкової величини
Y = f(X) = ∆G3
τ1τ2...τk...
є чисто дискретним i точка y0 = ∆G3
(1)
є атомом розподiлу.
Доведення. Нехай p0 = p4 = 0, тодi носiєм розподiлу випадкової
величини X є множина {1, 2, 3}, тому
P{τk = 1} = P{ηk = 1}+P{ηk = 2}+P{ηk = 3} = p1+p2+p3 = 1,
що i треба було довести. �
Лема 4. Якщо виконується одна з умов:
1) p1 = p2 = 0 i p0 = p4 = g0 = g4;
2) p2 = p3 = 0 i p0 = p4 = g0 = g4;
3) p1 = p2 = p3 = 0 i p0 = p4 = 1
2 ,
то випадковi величини X та Y мають однаковий неперерв-
ний розподiл на [0; 1].
Доведення.
Розглянемо кожен випадок окремо.
1) Нехай p1 = p2 = 0, тодi носiєм розподiлу випадкової вели-
чини X є множина A5 \{1, 2}, тодi згiдно формул (3)-(??) маємо:
P{τk = 0} = P{ηk = 0} = p0, P{τk = 2} = P{ηk = 4} = p4,
P{τk = 1} = P{ηk = 3} = p3;
Враховуючи, що p0 = p4 = g0 = g4, маємо
P{Y ∈ ∆G3
β1β2...βk
} =
k∏
i=1
gi =
k∏
i=1
pi = P{X ∈ ∆Q5
α1α2...αk
}.
98 Н.А. Василенко
Випадок 2) розглядається аналогiчно до попереднього.
3) Нехай p1 = p2 = p3 = 0, тодi носiєм розподiлу випадкової
величини X є множина A5 \ {1, 2, 3}, тому:
P{τk = 0} = P{ηk = 0} = p0 =
1
2
, P{τk = 2} = P{ηk = 4} = p4 =
1
2
,
P{τk = 1} = P{ηk = 1}+ P{ηk = 2}+ P{ηk = 3} = 0;
Таким чином,
P{Y ∈ ∆G3
β1β2...βk
} =
1
2k
= P{X ∈ ∆Q5
α1α2...αk
}.
�
Лема 5. Якщо p0 = p4 = 0, то розподiл випадкової величини
Y = f(X) є виродженим.
Доведення. Нехай p0 = p4 = 0, тодi носiєм розподiлу випадкової
величини X є множина {1, 2, 3}, тому:
P{τk = 1} = P{ηk = 1}+P{ηk = 2}+P{ηk = 3} = p1+p2+p3 = 1,
що i треба було довести. �
Лiтература
[1] Bush K.A. Continuous functions without derivatives // Amer. Math.
Monthly. — 1952. — 59, no. 4. — P. 222-225.
[2] Peter R. Massopust, Fractal functions, fractal surfaces, and wavelets.
— Academic Press; 1 edition (January 18, 1995), 383 p.
[3] Pratsiovytyi M., Vasylenko N. Fractal properties of functions defined
in terms of Q-representation // Int. Journal of Math. Analysis, Vol. 7,
2013. – № 64. – P. 3155-3169.
[4] Sierpiński W. Arytmetyczny przyk lad funkcji ciąg lej, nieróżniczkowal-
nej // Wektor. – 1914. – №8. – P. 337–343.
Про розподiли значень функцiй типу Серпiнського 99
[5] Schweiger F. Ergodic theory of fibred systems and metric number
theory. – Oxford: Clarendon Press. – 1995. – 320 p.
[6] Jarnicki M., Pflug P. Continuous nowhere differentiable function.
The Monsters of Analysis // Springer Monographs in Mathematics
— 2015. — 299 p.
[7] Працьовитий М. В. Фрактальний пiдхiд у дослiдженнях сингу-
лярних розподiлiв. – Київ: Вид-во НПУ iменi М. П. Драгомано-
ва. – 1998. – 296 c.
[8] Працьовитий М. В., Калашнiков А. В. Про один клас неперерв-
них функцiй зi складною локальною будовою, бiльшiсть з яких
сингулярнi або недиференцiйовнi // Труды ИПММ НАН Украи-
ны. – 2011. – Том 23. – С. 180-191.
[9] Турбин А. Ф., Працевитый Н. В. Фрактальные множества, фун-
кции, распределения. – К.: Наукова думка. – 1992. – 208 с.
[10] Працьовитий М. В. Структура доскональних множин i сингуляр-
них розподiлiв ймовiрностей в Rn // Науковий часопис НПУ iменi
М.П. Драгоманова. Серiя 1. Фiзико-математичнi науки. – К.: НПУ
iменi М. П. Драгоманова. – 2009. – С. 179–189.
[11] Працьовитий М. В., Василенко Н. А. Недиференцiйовна функцiя,
що є одним з узагальнень вiдомої функцiї Серпiнського // На-
уковий часопис НПУ iменi М.П. Драгоманова. Серiя 1, Фiзико-
математичнi науки. – Київ: НПУ iменi М.П. Драгоманова, 2010. –
№ 11. – С. 170–181.
[12] Працьовитий М. В., Василенко Н. А. Розподiл ймовiрностей на
графiках одного класу нiде не диференцiйовних функцiй // Тру-
ды ИПММ НАН Украины. – 2013. – Т. 26. – C. 159–171.
[13] Працьовитий М. В., Торбин Г.М. Случайные величины с неза-
висимыми Q∗-знаками // Случайные эволюции: теоретические и
прикладные задачи. – Киев: Ин-т математики НАН Украины,
1992 г. – С. 95–104.
[14] Працьовитий М.В. Полiосновне Q̃-представлення i фрактальнi
математичнi об’єкти з ним пов’язанi // Фрактальний аналiз
та сумiжнi питання. — Київ: IМ НАН України - НПУ iменi
М.П.Драгоманова. — 1998. — № 2. — С. 14-35.
100 Н.А. Василенко
[15] Працьовитий М. В., Ратушняк С.П. Властивостi та розподi-
ли значень фрактальних функцiй, пов’язаних iз Q2-зображенням
дiйсних чисел // Теорiя ймовiрностей та математична стати-
стика. – 2018. – Вип. 2 – С. 187–202.
[16] Працьовитий М. В. Нiде не монотоннi сингулярнi функцiї // На-
уковий часопис НПУ iменi М.П. Драгоманова. Серiя 1. Фiзико-
математичнi науки. — К.: НПУ iменi М.П. Драгоманова. —
2011. — № 12. — С. 24-36.
[17] Свинчук О.В., Працьовитий М.В. Розподiли значень однiєї син-
гулярної немонотонної функцiї канторiвського типу // Збiрник
праць Iн-ту математики НАН України. – 2017. – т. 14. – № 2.
– C. 110-121.
[18] Лукач Е. Характеристические функции. – М: Наука, 1979. –
424 с.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-520 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:08:47Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/b6/96e182940172ba667538cbdfc0b7ceb6.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-5202023-03-02T07:56:20Z Про розподіли значень функцій типу Серпінського Василенко, Н. А. We construct an infinite-parameter family of continuous nowheremonotonic and, in general, non-differentiable functions which aregeneralizations of classical nowhere differentiable Sierpi\'nskifunction. We study topological and metric propertiesof the distribution of values of functions belonging to constructedfamily. Будується нескінченно-параметрична сім'я неперервних ніде не монотонних функцій, які є узагальненням класичної ніде не диференційовної функції Серпінського. Вивчаються тополого-метричні властивості розподілу значень функції з побудованої сім'ї. Інститут математики НАН України 2019-12-12 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/520 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 16 No. 3 (2019): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 92-100 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 16 № 3 (2019): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 92-100 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 16 № 3 (2019): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 92-100 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/520/490 Авторське право (c) 2023 Н. А. Василенко http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Василенко, Н. А. Про розподіли значень функцій типу Серпінського |
| title | Про розподіли значень функцій типу Серпінського |
| title_full | Про розподіли значень функцій типу Серпінського |
| title_fullStr | Про розподіли значень функцій типу Серпінського |
| title_full_unstemmed | Про розподіли значень функцій типу Серпінського |
| title_short | Про розподіли значень функцій типу Серпінського |
| title_sort | про розподіли значень функцій типу серпінського |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/520 |
| work_keys_str_mv | AT vasilenkona prorozpodíliznačenʹfunkcíjtipuserpínsʹkogo |