Метрична та ймовірнісна теорії $G_2$-зображення чисел
For numbers of interval $[0,g_0]$, $g_0<1$, we consider asystem of encoding with two bases having different signs $g_0$ and$g_1\equiv g_0-1$ by the means of alphabet $A=\{0,1\}$:\begin{equation}\label{ex:ab:1}x=\alpha_1 g_{1-\alpha_1}+\sum\limits^\infty_{k=2}(\alpha_kg_{1-\alpha_k}\prod\l...
Gespeichert in:
| Datum: | 2019 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2019
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/521 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872553029336563712 |
|---|---|
| author | Працьовитий, М. В. Лисенко, І. М. Маслова, Ю. П. |
| author_facet | Працьовитий, М. В. Лисенко, І. М. Маслова, Ю. П. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "М. В. Працьовитий",
"institution": "Національний педагогічний університет імені М. П. Драгоманова, Київ"
},
{
"author": "І. М. Лисенко",
"institution": "Національний педагогічний університет імені М. П. Драгоманова, Київ"
},
{
"author": "Ю. П. Маслова",
"institution": "Національний педагогічний університет імені М. П. Драгоманова, Київ"
}
] |
| author_sort | Працьовитий, М. В. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-03-02T07:56:20Z |
| description | For numbers of interval $[0,g_0]$, $g_0<1$, we consider asystem of encoding with two bases having different signs $g_0$ and$g_1\equiv g_0-1$ by the means of alphabet $A=\{0,1\}$:\begin{equation}\label{ex:ab:1}x=\alpha_1 g_{1-\alpha_1}+\sum\limits^\infty_{k=2}(\alpha_kg_{1-\alpha_k}\prod\limits^{k-1}_{j=1}g_{\alpha_j})\equiv\Delta^{G_2}_{\alpha_1\alpha_2\ldots\alpha_k\ldots},\end{equation}where $\alpha_n\in A$.We develop a probabilistic theory for this representation, i.e., weconsider distributions of digits of random variable $X$ with a givendistribution as well as distribution of random variable $\xi$determined by distributions of digits of its $G_2$-representation(\ref{ex:ab:1}) if the digits are independent.Lebesgue structure of the probability distribution is described.Differential properties of the probability distribution function aswell as properties of its spectrum and support are also studied. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:08:50Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2019, т. 16, № 3, 115–130
УДК 511.72+ 517.5
М.В. Працьовитий1, I.М. Лисенко2,
Ю.П. Маслова3
1 НПУ iменi М.П. Драгоманова, Iнститут математики НАН
України, Київ; prats4444@gmail.com,
2 НПУ iменi М.П. Драгоманова, Київ;
iryna.pratsiovyta@gmail.com,
3 НПУ iменi М.П. Драгоманова, Київ; julia0609mas@gmail.com.
Метрична та ймовiрнiсна теорiї
G2-зображення чисел
For numbers of interval [0, g0], g0 < 1, we consider a system of en-
coding with two bases having different signs g0 and g1 ≡ g0 − 1 by
the means of alphabet A = {0, 1}:
x = α1g1−α1
+
∞∑
k=2
(αkg1−αk
k−1∏
j=1
gαj
) ≡ ∆G2
α1α2...αk...
, (1)
where αn ∈ A. We develop a probabilistic theory for this represen-
tation, i.e., we consider distributions of digits of random variable X
with a given distribution as well as distribution of random variable
ξ determined by distributions of digits of its G2-representation (2)
if the digits are independent. Lebesgue structure of the probability
distribution is described. Differential properties of the probability
distribution function as well as properties of its spectrum and sup-
port are also studied.
c© М.В. Працьовитий, I.М. Лисенко, Ю.П. Маслова, 2019
Key words: Two-symbol system of encoding for real numbers, Q2-
representation of numbers, pure Lebesgue type of a probability distri-
bution, singular probability distribution, spectrum of a probability di-
stribution, random variable with independent digits of representation,
infinite Bernoulli convolution.
Для двоосновної системи кодування чисел вiдрiзка [0; g0], g0 < 1,
з рiзнознаковими основами g0 i
1
2
< g1 ≡ g0−1, засобами алфавiту
A = {0; 1}:
x = α1g1−α1
+
∞∑
k=2
(αkg1−αk
k−1∏
j=1
gαj
) ≡ ∆G2
α1α2...αk...
, (2)
де αn ∈ A, розвивається ймовiрнiснiсна теорiя, а саме розгля-
даються розподiли цифр випадкової величини X з заданим роз-
подiлом i розподiл випадкової величини ξ, визначенний розпо-
дiлами цифр її G2–зображеннями (2) у випадку їх незалежностi.
Встановлюється лебегiвська структура розподiлу, вивчаються ди-
ференцiальнi властивостi функцiї розподiлу, а також властивостi
його спектра та носiя.
Ключовi слова: Двосимвольна система кодування дiйсних чи-
сел, Q2–зображення чисел, G2–зображення чисел чистий лебегiв-
ський тип розподiлу, сингулярний розподiл ймовiрностей, спектр
розподiлу, випадкова величина з незалежними цифрами зображе-
ння.
1. Вступ
Ймовiрнiсна теорiя чисел — галузь математики, яка займається
проблемами теорiї чисел з застосуванням ймовiрнiсних засобiв i
методiв [9], а також розподiлiв ймовiрностей на числових мно-
жинах.
Ймовiрнiсна теорiя зображення чисел у певнiй системi коду-
вання (зображення) чисел вивчає розподiли цифр випадкової ве-
личин з заданим розподiлом i розподiли випадкових величин,
визначенi розподiлами цифр у їх зображеннях. Найстарiшою i
Метрична та ймовiрнiсна теорiї G2-зображення чисел 117
розвинiтiшою в цьому вiдношеннi є ймовiрнiсна теорiя двiйко-
вого зображення чисел вiдрiзка [0; 1], представлена в багатьох
роботах, зокрема [2, 4, 5, 9, 16]. Вона узагальнювалась, для Q2–
зображення – в [10, 15], а для Q∗2–зображення — в [18].
У роботах [12, 16] побудовано аналог вiдомого Q2–зображення
дiйсних чисел [10]:
x = α1q1−α1 +
∞∑
k=2
(αkq1−αk
k−1∏
j=1
qαj ) ≡ ∆G2
α1α2...αk...
,
0 < q0 < 1, q1 ≡ 1− q0, αk ∈ A, а саме: систему кодування чисел
вiдрiзка [0; g0] з рiзнознаковими основами: g0 ∈ (
1
2
; 1) i g1 ≡ g0−1,
яка грунтується на розкладi числа в ряд
x = α1g1−α1+
∞∑
k=2
(αkg1−αk
k−1∏
j=1
gαj ) ≡ ∆G2
α1α2...αk...
, αk ∈ A ≡ {0; 1}.
(3)
Кодом числа в обох системах є послiдовнiсть нулiв та одиниць,
тобто елемент простору L = A × A × . . . × A × . . . Цi системи
мають нульову надлишковiсть (кожне число має не бiльше двох
зображень, причому тих, що мають їх два, лише злiченна мно-
жина).
Оскiльки ряд (3) має, взагалi кажучи, як додатнi, так i вiд’-
ємнi доданки, то G2–зображення не є топологiчно еквiвалентним
Q2–зображе- нню i не є його простим перекодуванням. Разом з
цим метричнi теорiї цих двох зображень мають багато спiльного.
Яскравою особливiстюG2–зображення є те, що оператор лiвосто-
роннього зсуву цифрG2–зображення є функцiєю неперервною на
всьому вiдрiзку [0; g0] на вiдмiну вiд Q2–зображення, для якого
аналогiчний оператор має розрив в точцi x = ∆Q2
1(0). Це принци-
пово вiдрiзняє дану систему вiд ранiше вивчених.
Тi дiйснi числа вiдрiзка [0; g0], якi мають два G2–зображення,
називаються G2–бiнарними, а тi, що мають єдине зображен-
ня, називаються G2–унарними. Вiдомо [13], що множина B всiх
118 М.В. Працьовитий, I.М. Лисенко, Ю.П. Маслова
G2–бiнарних чисел є злiченною i вичерпується числами з G2–
зображеннями вигляду: ∆G2
c1...cm01(0) = ∆G2
c1...cm11(0). Як бачимо,
обидва зображення належать однiй хвостовiй множинi.
Алгоритм порiвняння чисел за їхнiми G2–зображеннями дає
наступне твердження:
Теорема 1. [13] Числа ∆G2
c1c2...cm1d1d2...
= x1 6= x2 =
∆G2
c1c2...cm0d′1d
′
2...
перебувають у вiдношеннi
x1 > x2, якщо σm ≡ c1 + c2 + . . .+ cm = 2k,
x1 < x2, якщо σm ≡ c1 + c2 + . . .+ cm = 2k − 1.
Геометричнi властивостi G2–зображення чисел (як i Q2–
зображе- ння) описуються в термiнах цилiндричних множин.
Означення 1. Нехай (cn) ∈ L, G2–цилiндром рангу m з
основою c1c2...cm називається множина ∆G2
c1c2...cm всiх чи-
сел x ∈ [0; g0], якi мають таке G2–зображення: x =
∆G2
c1c2...cmαm+1αm+2...αm+k...
, αm+j ∈ A, тобто ∆G2
c1c2...cm = {x :
αi(x) = ci, i = 1,m}.
Означення 2. G2–зображення i Q2–зображення чисел iз осно-
вами (g0, g1) i (q0, q1) вiдповiдно називаються двоїстими, якщо
g0 = q0.
Вважаємо Q2–зображення i G2–зображення заданими.
Функцiя p, яка числу x = ∆Q2
α1α2...αn... ставить у вiдповiднiсть
число y = ∆G2
α1α2...αn..., називається проектором Q2–зображення
в G2–зображення.
Проектор Q2–зображення в G2–зображення Q2–цилiндр
∆Q2
c1c2...cm переводить у G2–цилiндр ∆G2
c1c2...cm , причому |∆G2
c1...cm | =
g0|∆Q2
c1...cm |.
Теорема 2. Функцiя, означена рiвнiстю p
(
∆Q2
α1...αn...
)
=
∆G2
α1...αn..., є нiде не монотонною неперервною в кожнiй Q2–
Метрична та ймовiрнiсна теорiї G2-зображення чисел 119
унарнiй точцi. У Q2–бiнарнiй точцi x0 = ∆Q2
c1...cm−11(0)
функцiя
p має скiнченний стрибок
2g0(1− g0)
2− g0
m−1∏
j=1
|gcj |.
Доведення. Нехай x0 — Q2–унарна точка, x 6= x0. Тодi iснує
натуральне число m, таке, що αm+1(x) 6= αm+1(x0), але
αi(x) = αi(x0) при i ≤ m. Розглянемо
d = |p(x)−p(x0)| = |∆G2
αm+1(x)αm+2(x)...
−∆G2
αm+1(x0)αm+2(x0)...
|·
m∏
j=1
|gαj |.
Оскiльки |∆G2
αm+1(x)αm+2(x)...
−∆G2
αm+1(x0)αm+2(x0)...
| ≤ g0; а x → x0
рiвнозначно m→∞, то при m→∞ маємо d→ 0, що рiвносиль-
но неперервностi функцiї p в точцi x0 по множинi G2–унарних
чисел.
Стрибок d функцiї p в G2–бiнарнiй точцi x0 = ∆Q2
c1...cm−11(0)
:
d(∆Q2
c1...cm−11(0)
) = |∆G2
c1...cm−11(0)
−∆G2
c1...cm−10(1)
| =
= |∆G2
1(0) −∆G2
0(1)|
m−1∏
j=1
|gcj | =
2g0(1− g0)
2− g0
m−1∏
j=1
|gcj |.
Для доведення нiде не монотонностi проектора досить у будь–
якому цилiндрi (нехай ∆G2
c1...cn) вказати такi три точки x1, x2, x3,
що x1 < x2 < x3, але для вiдповiдних значень проектора p
виконується нерiвнiсть [p(x2)− p(x1)] · [p(x3)− p(x2)] < 0. За-
для цього розглянемо точки x1 = ∆Q2
c1...cmi1(0)
, x2 = ∆Q2
c1...cmi11(0)
,
x3 = ∆Q2
c1...cmi111(0)
. Якщо i = 0 i c1 + c2 + . . .+ cm — число парне,
то для їм вiдповiдних значень: y1 = p(x1) = ∆G2
c1...cmi1(0)
, y2 =
p(x2) = ∆G2
c1...cmi11(0)
, y3 = p(x3) = ∆G2
c1...cmi111(0)
, враховую-
чи ознаку порiвняння (теорема 1), маємо y1 > y2 < y3. Отже,
(y2 − y1)(y3 − y2) < 0.
Якщо c1 + c2 + . . . + cm — число непарне, то, взявши i = 1,
матимемо x1 > x2 > x3 й iдентичний висновок. �
120 М.В. Працьовитий, I.М. Лисенко, Ю.П. Маслова
2. Метрична теорiя
Означення 3. Нехай x = ∆G2
α1α2...αn..., N1(x, k) ≡ α1+α2 . . .+αk,
N0(x, k) = k −N1. Число
lim
k→∞
Ni(x, k)
k
= νG2
i (x), i ∈ A,
у випадку його iснування, називається частотою цифри i у G2–
зображеннi числа x.
Означення 4. Число x ∈ [0; g0] називається нормальним вiд-
носно G2–зображення чисел, якщо у цьому зображеннi iснують
частоти його цифр, причому частота 0 рiвна g0, а 1 — (−g1).
Теорема 3. (Аналог теореми Бореля для двiйкового зобра-
ження).Множина B = {x : νG2
o (x) = g0}чисел x вiдрiзка
[0; g0],частота цифри 0 у G2-зображення яких має мiру Лебега
рiвну 1.
Доведення. Доведення проведемо засобами математичного ана-
лiзу, скориставшись схемою, яка використовувалася у роботi [14]
Доведемо, що множина чисел x, для яких νG2
0 (x) 6= g0 (тобто
частота не iснує або не дорiвнює g0) має мiру Лебега 0.
Умова νG2
0 (x) = g0 рiвносильна умовi νG2
1 (x) = −g1, яку пере-
пишемо у виглядi
lim
n→∞
α1(x) + . . .+ αk(x)
k
= −g1 ⇔ lim
k→∞
(
1
k
k∑
i=1
αi(x) + g1) = 0.
(4)
Розглянемо iнтеграли:
Ik =
g0∫
0
(
1
k
k∑
i=1
αi(x) + g1
)2
dx =
1
k2
g0∫
0
(
k∑
i=1
αi(x) + kg1
)2
dx =
=
1
k2
g0∫
0
(
k∑
i=1
(αi(x) + g1)
)2
dx.
Метрична та ймовiрнiсна теорiї G2-зображення чисел 121
У виразi Ik зустрiчаються iнтеграли двох виразiв:
1)
g0∫
0
(αi(x) + g1)
2dx =
g0∫
0
(α2
i (x) + 2αi(x)g1 + g21)dx =
=
g0∫
0
(αi(x)(1 + 2g1) + g21)dx = (1 + 2g1)
g0∫
0
αi(x)dx+
g0∫
0
g21dx =
= (1 + 2g1)λ{x : αi(x) = 1}g0 + g0g
2
1 = (1 + 2g1)g0(−g1)g0 + g21g0 =
= g0g1(1− 2g0g1),
оскiльки α2
i (x) = αi(x) (кiлькiсть таких iнтегралiв дорiвнює k);
2)
g0∫
0
(αi(x) + g1)(αj(x) + g1)dx =
=
g0∫
0
αi(x)αj(x)dx+ g1
g0∫
0
(αi(x) + αj(x))dx+
g0∫
0
g21dx =
= g0g
2
1 + 2g1g0(−g1) + g21g0 = 0 при i 6= j.
Отже, Ik =
g0g1(1− 2g0g1)
k
. Тодi lim
k→∂
Ik = 0, тобто послiдов-
нiсть сум
1
k
k∑
i=1
αi(x) збiгається до (−g1) в середньому квадра-
тичному. Але iз збiжностi в середньому квадратичному, взагалi
кажучи, не випливає збiжнiсть майже скрiзь у розумiннi мiри
Лебега.
Вiзьмемо тепер будь–яке досить мале додатне число ε i роз-
глянемо множину Ek(ε) чисел вiдрiзка [0; g0], для яких∣∣∣∣∣1k
k∑
i=1
αi(x) + g1
∣∣∣∣∣ > ε. (5)
Щоб оцiнити мiру цiєї множини, зауважимо, що
122 М.В. Працьовитий, I.М. Лисенко, Ю.П. Маслова
Ik =
g0∫
0
(
1
k
k∑
i=1
αi(x) + g1
)2
dx ≥
∫
Ek(ε)
(
1
k
k∑
i=1
αi(x) + g1
)2
dx ≥
≥ ε2
∫
Ek(ε)
dx = ελ[Ek(ε)],
звiдси
λ[Ek(ε)] ≤
Ik
ε2
=
g0g1(1− 2g0g1)
kε2
.
Таким чином, при фiксованому ε виконується рiвнiсть
lim
k→∞
λ[Ek(ε)] = 0. Але цього ще не достатньо для висновку, що
для майже всiх x ∈ [0; g0] виконується (4).
Розглянемо послiдовнiсть множини чисел x(ε):
E1(ε), E4(ε), E9(ε), ..., En2(ε), ... (6)
i позначимо через Fk(ε) множину чисел, що належить хоча б
однiй з множин Ek2(ε), E(k+1)2(ε), .... Тодi, враховуючи спiввiд-
ношення (5), маємо:
λ[Fk(ε)] = λ[Ek2(ε) ∪ E(k+1)2(ε) ∪ ...] ≤
≤
∞∑
j=0
λ[E(k+j)2(ε)] ≤ g0g1(1− 2g0g1)
kε2
∞∑
j=0
1
(k + j)2
→ 0 (k →∞).
Оскiльки послiдовнiсть множин {Fk(ε)} є монотонною, тобто
Fk+1(ε) ⊂ Fk(ε), а мiра Лебега множини Fk(ε) прямує до нуля
при необмеженому ростi k, то перетин всiх цих множин має мiру
0. Це рiвносильно тому, що всi числа, крiм чисел множини мiри
нуль, можуть належати лише скiнченiй сукупностi цих множин,
а це означає, що коли точка x належить лише скiнченнiй кiлько-
стi множин Fk(ε), то при достатньо великому k вона не належить
Метрична та ймовiрнiсна теорiї G2-зображення чисел 123
множинi Fk(ε), а отже, не належить жоднiй з множин (6). Тому
для числа k, бiльшого деякого k0, маємо∣∣∣∣∣∣ 1
k2
k2∑
i=1
αi(x) + g1
∣∣∣∣∣∣ ≤ ε.
Таким чином, цю властивiсть мають майже всi числа для довiль-
но вибраного ε. Отже, для майже всiх виконується
1
k2
k2∑
i=1
αi(x)→ −g1 при k →∞.
Ми довели твердження за умови, що числа k ростуть по по-
слiдовностi квадратiв натуральних чисел. Якщо ж k довiльне
натуральне число, то для нього знайдеться натуральне число m,
таке, що
m2 ≤ k < (m+ 1)2, тобто 0 ≤ k −m2 < 2m+ 1.
Тому
1
k
k∑
i=1
αi(x) =
1
k
m2∑
i=1
αi(x) +
k∑
i=m2+1
αi(x)
=
=
1
m2
m2∑
i=1
αi(x)
m2
k
+
1
k
k∑
i=m2+1
αi(x).
За доведеним, при k →∞ майже скрiзь
1
m2
m2∑
i=1
αi(x)→ −g1
i всюди
m2
(m+ 1)2
<
m2
k
≤ 1,
1
k
k∑
i=m2+1
αi(x) ≤ k −m2
k
<
2m+ 1
m2
,
внаслiдок чого при k →∞ m2
k
→ 1 i
1
k
k∑
i=m2+1
αi(x)→ 0.
Тому майже скрiзь виконується рiвнiсть (4). �
124 М.В. Працьовитий, I.М. Лисенко, Ю.П. Маслова
Наслiдок 4. Множина чисел, якi не є нормальними в G2–
зображеннi, має нульову мiру Лебега.
3. Розподiли цифр
Теорема 5. Якщо випадкова величина ξ = ∆G2
ξ1ξ2...
має рiвномiр-
ний розподiл на вiдрiзку [0; g0], то цифри (ξn) її G2–зображення
є незалежними i мають розподiли P{ξn = 0} = g0, P{ξn =
1} = −g1.
Доведення. Оскiльки ξ має рiвномiрний розподiл на [0; g0], то
вона не має атомiв, тобто ймовiрнiсть P{ξ = x0} = 0 для будь–
якого x0, i P{ξ ∈ ∆G2
c1...cm} = |∆G2
c1...cm | = g0
∏m
i=1 |gci |.
Тодi P{ξ1 = 0} = P{ξ ∈ ∆G2
0 } =
|∆G2
0 |
g0
= g0,
P{ξ1 = 1} = P{ξ ∈ ∆G2
1 } =
|∆G2
1 |
g0
= −g1,
P{ξm+1 = i/ξ ∈ ∆G2
c1...cm} =
P (ξ ∈ ∆G2
c1...cmi
)
P (ξ ∈ ∆G2
c1...cm)
=
= g0|gi|
m∏
j=1
|gcj | : g0
m∏
j=1
|gcj | = |gi|.
(7)
Оскiльки остання ймовiрнiсть не залежить вiд набору цифр
(c1, c2, . . . , cm), то ξm+1 не залежить вiд ξ1, ξ2, . . . , ξn. Отже, (ξn)
— послiдовнiсть незалежних випадкових величин. Бiльше того,
P{ξn = 0} = g0, P{ξn = 1} = −g1,
що й вимагалось довести. �
Наслiдок 6. Якщо (ξn) — послiдовнiсть незалежних однаково
розподiлених випадкових величин з розподiлами P{ξn = i} =
|gi|, i = 0, 1, то розподiл випадкової величини ξ = ∆G2
ξ1ξ2...ξn...
є
рiвномiрним.
Метрична та ймовiрнiсна теорiї G2-зображення чисел 125
4. Випадкова величина з незалежними
однаково розподiленими цифрами свого
G2–зображення
Теорема 7. Якщо (τn) — послiдовнiсть незалежних однаково
розподiлених випадкових величин, якi набувають значень 0 i 1
з ймовiрностями p0 i p1, тобто P{τn = i} = pi, 0 < pi < 1, i =
0, 1, то розподiл випадкової величини τ = ∆G2
τ1τ2...τn... є рiвномiр-
ним при p0 = g0 i сингулярно неперервним при p0 6= g0.
Доведення. Згiдно з теоремою Лебега кожна неперервна моно-
тонна функцiя майже скрiзь у розумiннi мiри Лебега має скiн-
ченну похiдну. Якщо в точцi x0 похiдна iснує, то вона обчислю-
ється за формулою
F ′τ (x0) = lim
n→∞
P{τ ∈ ∆G2
α1(x0)α2(x0)...αn(x0)
}
|∆G2
α1(x0)α2(x0)...αn(x0)
|
= lim
n→∞
pN0
0 pN1
1
g0
n∏
j=1
|gcj |
=
=
1
g0
lim
n→∞
p
N0
n
0 p
N1
n
1
g
N0
n
0 |g1|
N1
n
n
=
1
g0
lim
n→∞
(p0
g0
)N0
n
(
p1
|g1|
)N1
n
n =
=
1
g0
lim
n→∞
[(
p0
g0
)ν0 ( p1
|g1|
)ν1]n
,
де N1 = α1(x0) + ... + αn(x0), N0 = n − N1, ν1(x) = lim
n→∞
N1(x,n)
n ,
ν0(x) = 1− ν1(x), N1(x, n) = α1(x) + ...+ αn(x).
Можна довести (це робиться аналогiчно до мiркувань i ви-
сновкiв, наведених у роботi [10] для Q2-зображення) таке твер-
дження: для майже всiх x = ∆G2
α1(x)α2(x)...αn(x)...
∈ [0; g0] у розу-
мiннi мiри Лебега виконуються рiвностi: ν0(x) = g0, ν1(x) = g1.
Тому для x0, що належить множинi повної мiри Лебега, для ко-
жної точки якої iснує скiнченна похiдна i ν0(x0) = g0, ν1(x0) = g1
маємо F ′(x0) = 0, оскiльки при p0 6= g0 виконується
p
g0
0 p
|g1|
1
g
g0
0 |g1||g1|
< 1.
126 М.В. Працьовитий, I.М. Лисенко, Ю.П. Маслова
Отже, при p0 6= g0 функцiя розподiлу Fτ є сингулярною (її похi-
дна майже скрiзь дорiвнює нулю).
Якщо p0 = g0, то
P{τ ∈ ∆G2
c1c2...cm} = pN0
0 pN1
1 = gN0
0 |g1|
N1 =
1
g0
|∆G2
c1c2...cm |,
тобто розподiл τ на [0; g0] є рiвномiрним. �
5. Оператор лiвостороннього зсуву цифр
G2–зображення чисел i його iнварiантнi
мiри
Теорема 8. [13] Оператор ω лiвостороннього зсуву цифр
G2–зобра- ження чисел вiдрiзка [0; g0], який у просторi G2-
зображень означується рiвнiстю ω(∆G2
α1α2...αn...) = ∆G2
α2α3...αn...,
аналiтично задається
ω(x) =
1
gα1(x)
x−
δα1(x)
gα1(x)
, (8)
є неперервною коректно означеною на [0; g0] функцiєю, лiнiйною
на кожному цилiндрi 1-го рангу, зростаючою на ∆G2
0 , спадною
на ∆G2
1 .
Зауваження 1. Остання теорема засвiдчує суттєву вiдмiн-
нiсть G2–зображення вiд iнших вiдомих двосимвольних зо-
бражень, зокрема Q2–зображення, Q∗2–зображення [16], нега–
двiйкового [11] та ланцюгового A2–зображення [3, 6].
Iнварiантними точками оператора лiвостороннього зсуву ω є
числа: 0 = ∆G2
(0) i ∆G2
(1) = g0 + g0g1 + g0g
2
1 + ... = g0
2+g0
.
Теорема 9. Iнварiантною мiрою оператора ω лiвостороннього
зсуву цифр G2–зображення чисел є мiра µτ , що вiдповiдає роз-
подiлу неперервної випадкової величини τ = ∆G2
τ1τ2,...,τn,..., цифр
Метрична та ймовiрнiсна теорiї G2-зображення чисел 127
(τn) ∆G2–зображення якої є незалежними й однаково розподi-
леними, якi набувають значень P{τn = 0} = p0, P{τn = 1} =
p1, 0 < p0 < 1.
Доведення. Будь-яка борелiвська пiдмножина вiдрiзка [0; g0] як
завгодно точно може бути наближена об’єднанням цилiндрiв.
Оскiльки мiра µτ неперервна, то вона однозначно визначається
значеннями на цилiндричних множинах, а саме:
µτ (∆G2
c1c2...cn) = pN0
0 pN1
1 , N1 = c1 + c2 + ...+ cn, N0 ≡ n−N1.
Тому достатньо довести, що µτ (ω−1) = µτ . Для цього виразимо
ω−1(∆G2
c1c2...cn) = ∆G2
0c1c2...cn
∪∆G2
1c1c2...cn
,
i отримаємо
µτ (ω−1(∆G2
c1c2...cn)) =µτ (∆G2
0c1c2...cn
∪∆G2
1c1c2...cn
) =
=p0p
N0
0 pN1
1 + pN0
0 p1p
N1
1 =
=pN0
0 pN1
1 (p0 + p1) = pN0
0 pN1
1 = µτ (∆G2
c1c2...cn).
Отже, µτ є iнварiантною мiрою оператора ω. �
6. Розподiли ймовiрностей, пов’язанi з
G2–зображенням чисел
Теорема 10. Нехай (ξn) — послiдовнiсть незалежних випадко-
вих величин з розподiлами P{ξn = i} = pin ≥ 0, i ∈ A = {0; 1};
то випадкова величина ξ = ∆G2
ξ1ξ2...ξn...
має чистий лебегiвський
тип розподiлу (тобто чисто дискретний, чисто неперервний,
чисто абсолютно неперервний або чисто сингулярно неперерв-
ний), причому чисто дискретний — тодi i тiльки тодi, коли
M =
∞∏
n=1
max{p0np1n} > 0.
128 М.В. Працьовитий, I.М. Лисенко, Ю.П. Маслова
Якщо M = 0 i L ≡
∞∑
n=1
[(
1− p0n
g0
)2
+
(
1 +
p1n
g1
)2
]
< ∞, то ξ
має абсолютно неперервний розподiл, а при M = 0 i L = ∞ —
сингулярно неперервний.
У випадку дискретностi розподiлу, його точковий спектр
утворюють точки x, для яких pαk(x)k 6= 0 для будь–якого k ∈
N i при цьому x i x0 належать однiй хвостовiй множинi.
Доведення. Дане твердження випливає з вiдомого аналогiчного
твердження для Q2–зображення, оскiльки вiдображення
ϕ : ∆G2
α1...αn... → ∆Q2
α1...αn...
є вимiрним i зберiгає вiдношення довжин цилiндрiв (образу i про-
образу). �
Лiтература
[1] Albeverio S., Goncharenko Y., Pratsiovyti M., Torbin G.
Convolutions of distributions of random variables with
independent binary digits // Random Oper. Stohastic Equati-
ons. — 2007. — 15, №1. — P. 89-97.
[2] Marsaglia G. Random variables with independent binary digi-
ts. // Ann. Math. Statist. — 1971. — Vol. 12, no. 6. — P. 1922-
1929.
[3] Pratsiovytyi M., Chuikov A. Continuous distributions whose
functions preserve tails of an A2-continued fraction representati-
on of numbers // Random Operators and Stochastic Equati-
ons. — 2019. — Vol. 27(3) — P. 199-206.
[4] Salem R. On some singular monotonic function which are stricly
increasing // Trans. Amer. Math. Soc. — 1943. — 53. — P. 423 -
439.
Метрична та ймовiрнiсна теорiї G2-зображення чисел 129
[5] Гончаренко Я.В. Згортки розподiлiв сум випадкових рядiв
спецiального виду // Науковi записки НПУ iменi М.П. Дра-
гоманова. Фiзико–математичнi науки. — Київ: НПУ iменi
М.П. Драгоманова. — 2003. — № 4. — С. 216-232.
[6] Дмитренко С.О., Кюрчев Д.В., Працьовитий М.В. Ланцюго-
ве A2–зображення дiйсних чисел та його геометрiя // Укр.
мат. журнал. — 2009. — Т.61, №4. — С. 452-463.
[7] Працьовитий М.В. Фрактальний пiдхiд у дослiдженнях син-
гулярних розподiлiв. — Київ: Вид-во НПУ iм. М.П. Драго-
манова. — 1998. — 296 с.
[8] Кац М. Статистическая независимость в теории вероятно-
стей, анализе и теории чисел // М.: Изд–во иностранной
литературы.— 1963. — 156 c.
[9] Постников А. Г. Вероятностная теория чисел. М.: Знание,
1974.— 62с.
[10] Працевитый Н.В. Случайные величины с независимыми Q2-
символами // Асимптотические методы в исследовании сто-
хастических моделей. — Киев: ИМ АН УССР. — 1987. —
С. 92-102.
[11] Працьовитий М. В., Гончаренко Я. В., Лисенко I. М. Нега–
двiйкове представлення дiйсних чисел i його застосування //
Науковий часопис НПУ iменi М.П. Драгоманова. Серiя 1.
Фiзико-математичнi науки.. — 2015. — № 17. — С. 83-106.
[12] Працьовитий М.В., Лисенко I.М., Маслова Ю.П. Геометрiя
числових рядiв: ряд як модель дiйсного числа в новiй дво-
символьнiй системi кодування чисел // Збiрник праць IМ
НАН України.— Київ: IМ НАН України. — 2018. — Т. 15,
№ 1. — С. 132-146.
130 М.В. Працьовитий, I.М. Лисенко, Ю.П. Маслова
[13] Працьовитий М.В., Лисенко I.М., Маслова Ю.П. Двооснов-
на система числення з рiзнознаковими основами i спецiальнi
функцiї, з нею пов’язанi // Збiрник праць IМ НАН Украї-
ни.— Київ: IМ НАНУкраїни. — 2019. — Т. 16, № 2. — С. 50-62.
[14] Працьовитий М.В., Фещенко О.Ю. Математичнi моделi дво-
стороннiх динамiчних конфлiктiв i Q–представлення чи-
сел // Науковi записки НПУ iменi М.П. Драгоманова.
Фiзико–математичнi науки.— Київ: НПУ iменi М.П. Дра-
гоманова — 2003. — № 4. — С. 260-269.
[15] Працевитий М.В. Фрактальнi властивостi розподiлiв випад-
кових величин, Q2-знаки яких утворюють однорiдний лан-
цюг Маркова // Асимптотичний аналiз випадкових еволю-
цiй. — Київ: Iн-т математики АН України. — 1994. — С. 249-
254.
[16] Працьовитий М.В. Фрактальний пiдхiд у дослiдженнях син-
гулярних розподiлiв. — Київ: Вид-во НПУ iм. М.П. Драго-
манова. — 1998. — 296 с.
[17] Працевитый Н.В. Полiосновне Q̃-представлення i фракталь-
нi математичнi об’єкти з ним пов’язанi // Фрактальний ана-
лiз та сумiжнi питання. — Київ: IМ НАН України - НПУ
iменi М.П.Драгоманова. — 1998. — № 2. — С. 14-35.
[18] Торбин Г.М., Працевитый Н.В. Случайные величины с не-
зависимыми Q∗-знаками // Случайные эволюции: теорети-
ческие и прикладные задачи. — Киев: Ин-т математики АН
Украины. — 1992. — С. 95-104.
[19] Турбин А.Ф., Працевитый Н.В. Фрактальные множества,
функции, распределения. — Киев: Наукова думка. — 1992. —
208 с.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-521 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:08:50Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/b3/f0c3bd9c4e026f5d74a04e9a3bbbb8b3.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-5212023-03-02T07:56:20Z Метрична та ймовірнісна теорії $G_2$-зображення чисел Працьовитий, М. В. Лисенко, І. М. Маслова, Ю. П. For numbers of interval $[0,g_0]$, $g_0&lt;1$, we consider asystem of encoding with two bases having different signs $g_0$ and$g_1\equiv g_0-1$ by the means of alphabet $A=\{0,1\}$:\begin{equation}\label{ex:ab:1}x=\alpha_1 g_{1-\alpha_1}+\sum\limits^\infty_{k=2}(\alpha_kg_{1-\alpha_k}\prod\limits^{k-1}_{j=1}g_{\alpha_j})\equiv\Delta^{G_2}_{\alpha_1\alpha_2\ldots\alpha_k\ldots},\end{equation}where $\alpha_n\in A$.We develop a probabilistic theory for this representation, i.e., weconsider distributions of digits of random variable $X$ with a givendistribution as well as distribution of random variable $\xi$determined by distributions of digits of its $G_2$-representation(\ref{ex:ab:1}) if the digits are independent.Lebesgue structure of the probability distribution is described.Differential properties of the probability distribution function aswell as properties of its spectrum and support are also studied. Для двоосновної системи кодування чисел відрізка $[0;g_0], \; g_0&lt;1$, з різнознаковими основами $g_0$ і $\dfrac{1}{2}&lt;g_1\equiv g_0-1,$ засобами алфавіту $A=\{0;1\}$:\begin{equation}\label{ex:ab:1}x=\alpha_1 g_{1-\alpha_1}+\sum\limits^\infty_{k=2}(\alpha_k g_{1-\alpha_k}\prod\limits^{k-1}_{j=1}g_{\alpha_j})\equiv\Delta^{G_2}_{\alpha_1\alpha_2\ldots\alpha_k\ldots},\end{equation}де $\alpha_n\in A,$розвивається ймовірніснісна теорія, а саме розглядаються розподіли цифр випадкової величини $X$ з заданим розподілом і розподіл випадкової величини $\xi$, визначенний розподілами цифр її $G_2$--зображеннями (\ref{ex:ab:1}) у випадку їх незалежності.Встановлюється лебегівська структура розподілу, вивчаються диференціальні властивості функції розподілу, а також властивості його спектра та носія. Інститут математики НАН України 2019-12-12 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/521 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 16 No. 3 (2019): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 115-130 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 16 № 3 (2019): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 115-130 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 16 № 3 (2019): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 115-130 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/521/493 Авторське право (c) 2023 М. В. Працьовитий, І. М. Лисенко, Ю. П. Маслова http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Працьовитий, М. В. Лисенко, І. М. Маслова, Ю. П. Метрична та ймовірнісна теорії $G_2$-зображення чисел |
| title | Метрична та ймовірнісна теорії $G_2$-зображення чисел |
| title_full | Метрична та ймовірнісна теорії $G_2$-зображення чисел |
| title_fullStr | Метрична та ймовірнісна теорії $G_2$-зображення чисел |
| title_full_unstemmed | Метрична та ймовірнісна теорії $G_2$-зображення чисел |
| title_short | Метрична та ймовірнісна теорії $G_2$-зображення чисел |
| title_sort | метрична та ймовірнісна теорії $g_2$-зображення чисел |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/521 |
| work_keys_str_mv | AT pracʹovitijmv metričnatajmovírnísnateorííg2zobražennâčisel AT lisenkoím metričnatajmovírnísnateorííg2zobražennâčisel AT maslovaûp metričnatajmovírnísnateorííg2zobražennâčisel |