Про одну сингулярну функцію канторівського типу, пов'язану з рядами Енгеля
In the paper, we construct and study the class ofcontinuous on $[0, 1]$ functions with continuum set of peculiarities.Any function $f$ belonging to this classis defined by the Engel series representation of its argumentand by special convergent series.Conditions for $f$ to be a~Cantor-type singular...
Gespeichert in:
| Datum: | 2019 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2019
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/522 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872553028533354496 |
|---|---|
| author | Барановський, О. М. Працьовитий, М. В. |
| author_facet | Барановський, О. М. Працьовитий, М. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "О. М. Барановський",
"institution": "Інститут математики НАН України, Київ"
},
{
"author": "М. В. Працьовитий",
"institution": "Національний педагогічний університет імені М. П. Драгоманова, Київ"
}
] |
| author_sort | Барановський, О. М. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-03-02T07:56:20Z |
| description | In the paper, we construct and study the class ofcontinuous on $[0, 1]$ functions with continuum set of peculiarities.Any function $f$ belonging to this classis defined by the Engel series representation of its argumentand by special convergent series.Conditions for $f$ to be a~Cantor-type singular function are found. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:08:49Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2019, т. 16, № 3, 131–148
УДК 517.5
О. М. Барановський1, М. В. Працьовитий2
1 Iнститут математики НАН України, Київ;
baranovskyi@imath.kiev.ua
2 НПУ iменi М.П. Драгоманова, Iнститут математики
НАН України, Київ; prats4444@gmail.com
Про одну сингулярну функцiю
канторiвського типу, пов’язану
з рядами Енгеля
In the paper, we construct and study the class of continuous on [0, 1]
functions with continuum set of peculiarities. Any function f belong-
ing to this class is defined by the Engel series representation of its
argument and by special convergent series. Conditions for f to be
a Cantor-type singular function are found.
Key words: Continuous function, singular function, Engel series,
E-representation of a number.
У роботi конструюється i дослiджується клас неперервних на [0, 1]
функцiй з континуальною множиною особливостей. Функцiя f
з цього класу визначається зображенням аргументу рядом Енге-
ля i спецiальним збiжним рядом. Знайдено умови сингулярностi
канторiвського типу функцiї f .
Ключовi слова: Неперервна функцiя, сингулярна функцiя, ряд
Енгеля, E-зображення числа.
c© О. М. Барановський, М. В. Працьовитий, 2019
132 О. М. Барановський, М. В. Працьовитий
1. Вступ
Переважна бiльшiсть [8, 30, 36, 44] функцiй, неперервних на вiд-
рiзку [0, 1], має складнi локальнi властивостi (нескiнченну i на-
вiть континуальну множину особливостей). До таких, зокрема,
належать сингулярнi функцiї, якi мають похiдну рiвну нулю май-
же скрiзь у розумiннi мiри Лебега; нiде не монотоннi функцiї,
якi не мають жодного як завгодно малого промiжку монотонно-
стi; недиференцiйовнi функцiї, якi не мають похiдної в жоднiй
точцi тощо. Саме таким функцiям присвячена дана робота. Їх
моделювання i дослiдження вимагає тонких прийомiв i методiв.
Вирази, якими вони аналiтично задаються, мiстять нескiнченну
кiлькiсть операцiй або граничнi переходи. Часто при цьому ви-
користовуються ряди [3], нескiнченнi добутки, ланцюговi дроби
i т. п. Принаймнi так було для класичних нiде не диференцiйов-
них функцiй Вейєрштрасса [26], Такаґi [42], Серпiнського [18],
Буша–Вундерлiха [31, 43] тощо, сингулярних функцiй Канто-
ра [13], Салема [32, 35, 40, 41], Мiнковського [37], Серпiнсько-
го [24] та iн.
Останнiм часом для цього використовують системи функцiо-
нальних рiвнянь [6, 20 – 22, 27], системи iтерованих функцiй, рi-
зноманiтнi системи зображення чисел (системи кодування чи-
сел) [2, 14 – 17, 28, 38] i автомати зi скiнченною пам’яттю (пере-
творювачi цифр одного зображення в iнше) [7, 10 – 12, 14].
Iснують певнi методологiчнi труднощi у розвитку як загаль-
ної, так i iндивiдуальної теорiї таких функцiй. У першу чергу, во-
ни пов’язанi з вiдсутнiстю ефективних способiв їх задання (опи-
су), а також iнструментарiю їх дослiдження.
Iдеї теорiї фракталiв (фрактальної геометрiї та фрактально-
го аналiзу) — самоподiбностi, самоафiнностi, автомодельностi —
можуть бути ефективно для цього використанi.
Сьогоднi розвивається кiлька основних напрямiв дослiдження
фрактальних властивостей функцiй (локальних та глобальних):
1. фрактальнi характеристики суттєвих для функцiї множин
Про одну сингулярну функцiю канторiвського типу 133
(наприклад, множин особливостей) [13, 26];
2. властивостi рiвнiв функцiї [18, 26];
3. фрактальнi властивостi графiкiв [9 – 11, 23];
4. здатнiсть функцiї зберiгати або трансформувати фракталь-
ну розмiрнiсть [29].
У данiй роботi ми конструюємо i дослiджуємо нескiнченно-па-
раметричну сiм’ю неперервних функцiй зi складними локальни-
ми властивостями. Для цього ми використовуємо E-зображення
дiйсного числа, що є його кодуванням засобами нескiнченного
алфавiту за допомогою рядiв Енгеля — знакододатних рядiв, чле-
нами яких є числа, оберненi до накопичувальних добуткiв нату-
ральних [1, 4, 5, 19, 33, 34, 39]. Знайдено умови на параметри, за
яких функцiя з цiєї сiм’ї є сингулярною функцiєю канторiвського
типу, тобто неперервною функцiєю розподiлу, похiдна якої дорiв-
нює 0 майже скрiзь у розумiннi мiри Лебега i спектр якої є нiде
не щiльною множиною нульової мiри Лебега.
2. Об’єкт дослiдження
З вiдомої теореми Енгеля [33] випливає [19], що для будь-якого
числа x ∈ (0, 1] iснує єдина послiдовнiсть (gn) цiлих невiд’ємних
чисел така, що
x =
∞∑
n=1
1
(2 + g1)(2 + g1 + g2) . . . (2 + g1 + g2 + . . .+ gn)
≡ (1)
≡ ∆E
g1g2...gn....
Ряд (1) називається рядом Енгеля, останнiй символiчний запис
числа x—його E-зображенням, при цьому gn = gn(x) — n-м сим-
волом (цифрою) цього зображення.
Зауважимо, що E-зображення числа є його кодуванням засо-
бами нескiнченного алфавiту A ≡ Z0 = {0, 1, 2, . . .}.
134 О. М. Барановський, М. В. Працьовитий
Якщо iснує p ∈ N таке, що gm+np+j = gm+j , 1 ≤ j ≤ p, для
будь-якого n ∈ Z0, то кажуть, що E-зображення має перiод
gm+1gm+2 . . . gm+p,
це записується ∆E
g1g2...gm(gm+1gm+2...gm+p).
Число, E-зображення якого має перiод (0), називається
E-рацiональним. E-зображення таких чисел мають вигляд
∆E
c1c2...cm(0).
Нехай (un)∞n=0 —нескiнченна послiдовнiсть дiйсних чисел, яка
має властивостi (початковi умови):
∞∑
n=0
un = u0 + u1 + . . .+ un + rn = Sn + rn = 1; (2)
|un| < 1 при всiх n ∈ Z0; (3)
0 < rn ≡
∞∑
i=n+1
ui = rn−1 − un = 1− (u0 + u1 + . . .+ un) < 1 (4)
для будь-якого n ∈ Z0.
З властивостi (2) послiдовностi (un) випливає, що вона є не-
скiнченно малою, а з властивостi (4) — наступнi спiввiдношення:
0 < u0 + u1 + . . .+ un = Sn < 1 при всiх n = 0, 1, 2, . . .
i те, що ряд (1) має нескiнченну кiлькiсть членiв, вiдмiнних вiд 0.
Основним об’єктом даного дослiдження є функцiя
y = f(x) = rg1(x) +
∞∑
k=2
(
rgk(x)
k−1∏
i=1
ugi(x)
)
≡ ∆g1g2...gn..., (5)
де gn = gn(x) — n-й символ E-зображення числа x ∈ (0, 1].
Зрозумiло, що рiвнiсть (5) не визначає функцiю f поза пiвiн-
тервалом (0, 1]. При цьому
f(1) = f(∆E
(0)) = r0 + r0u0 + r0u
2
0 + . . . =
r0
1− u0
= 1,
Про одну сингулярну функцiю канторiвського типу 135
f(∆E
c1...cm(c)) = rc1 +
m∑
k=2
(
rck
k−1∏
i=1
uci
)
+
rc
1− uc
m∏
i=1
uci ,
зокрема
f(∆E
c1...cm(0)) = rc1 +
m∑
k=2
(
rck
k−1∏
i=1
uci
)
+
m∏
i=1
uci . (6)
Рiвнiсть (6) дає вираз значення функцiї в E-рацiональнiй точцi.
Оскiльки кожне число x ∈ (0, 1] має єдине E-зображення, то
для обґрунтування коректностi означення функцiї f досить по-
казати лише, що ряд (5) збiгається для довiльної послiдовностi
цiлих невiд’ємних чисел (gn).
Оскiльки серед чисел un можуть бути i вiд’ємнi, i рiвнi нулю,
то ряд (5), взагалi кажучи, не є знакододатним. Тому розглянемо
ряд з загальним членом
vk = rgk
k−1∏
j=1
|ugj |.
Оскiльки
rgk ≤ r
∗ ≡ max{r0, r1, . . . , rn, . . .},
а
|ugk | ≤ u
∗ ≡ max{|u1|, |u2|, . . . , |un|, . . .} < 1,
то vk ≤ r∗(u∗)k−1 ≡ wk.
На основi ознаки порiвняння зi збiжностi ряду з загальним
членом wk випливає збiжнiсть ряду з загальним членом vk. При
цьому
∞∑
k=1
vk ≤
∞∑
k=1
wk =
r∗
1− u∗
.
Отже, ряд (5) є абсолютно збiжним. Коректнiсть означення фун-
кцiї f обґрунтовано.
136 О. М. Барановський, М. В. Працьовитий
3. Умови сингулярностi канторiвського ти-
пу
Нехай V —непорожня пiдмножина множини Z0. Означимо мно-
жину C[E, V ] рiвнiстю
C[E, V ] =
{
x : x = ∆E
g1g2...gn..., gn = gn(x) ∈ V ⊂ Z0 ∀n ∈ N
}
.
Лема 1. Якщо un ≥ 0, то з точнiстю до злiченної множини
спектр Sf функцiї f збiгається з множиною C[E, V ], де
V = {v : uv > 0}.
Доведення. Покажемо, що C[E, V ] ⊂ Sf . Нехай x ∈ C[E, V ]. Тодi
для будь-якого m ∈ N
m∏
i=1
ugi(x) > 0.
Оскiльки для довiльного ε > 0 легко вказати такий цилiндр
∆E
g1(x)g2(x)...gn(x), який повнiстю належить ε-околу (x − ε, x + ε)
точки x, то прирiст функцiї на промiжку (x−ε, x+ε) є додатним.
Тому x ∈ Sf .
Легко показати методом вiд супротивного, що жодна точка
сумiжного з C[E, V ] iнтервалу спектру не належить.
Спектр є замкненою множиною, а C[E, V ] —нi, i вiдрiзняється
вiд свого замикання на скiнченну або злiченну множину точок.
Тому Sf збiгається з C[E, V ] з вказаною точнiстю. �
Наступне просте твердження доводиться аналогiчно до вiдпо-
вiдного твердження для рядiв Остроградського 1-го виду [3, 28].
Лема 2. Мiра Лебега множини C[E, V ] обчислюється за фор-
мулою
λ(C[E, V ]) =
∞∏
k=0
(
1− λ(F̄k+1)
λ(Fk)
)
,
Про одну сингулярну функцiю канторiвського типу 137
де
F0 = [0, 1], Fk =
⋃
c1∈V
⋃
c2∈V
. . .
⋃
ck∈V
∆E
c1c2...ck
, F̄k+1 = Fk \ Fk+1.
Доведення. За означенням Fk є об’єднанням всiх цилiндрiв рангу
k, внутрiшнiсть яких мiстить точки C[E, V ], а множина
F̄k+1 =
⋃
c1∈V
⋃
c2∈V
. . .
⋃
ck∈V
⋃
s∈Z0\V
∆E
c1c2...cks
.
Тодi
Fk = Fk+1
⋃
F̄k+1 ⇐⇒ Fk+1 = Fk \ F̄k+1 = (0, 1] \
k+1⋃
i=1
F̄i.
Оскiльки C[E, V ] ⊂ Fk+1 ⊂ Fk для всiх k ∈ N i
C[E, V ] =
∞⋂
k=1
Fk = lim
k→∞
Fk,
то
λ(C[E, V ]) = lim
k→∞
λ(Fk+1) =
= lim
k→∞
(
λ(Fk+1)
λ(Fk)
· λ(Fk)
λ(Fk−1)
· . . . · λ(F1)
λ(F0)
)
=
=
∞∏
k=0
λ(Fk+1)
λ(Fk)
=
∞∏
k=0
λ(Fk)− λ(F̄k+1)
λ(Fk)
=
=
∞∏
k=0
(
1− λ(F̄k+1)
λ(Fk)
)
.
Це завершує доведення леми. �
Наслiдок 3. Мiра Лебега множини C[E, V ] дорiвнює 0 тодi
i тiльки тодi, коли
∞∑
k=0
λ(F̄k+1)
λ(Fk)
=∞. (7)
138 О. М. Барановський, М. В. Працьовитий
Дане твердження є наслiдком вiдомого зв’язку мiж збiжнiстю
нескiнченних добуткiв i рядiв.
Лема 4. Якщо в точцi x0 iснує похiдна функцiї f , то вона об-
числюється за формулою
f ′(x0) = lim
m→∞
(
2 + σm(x0)
) m∏
i=1
(
2 + σgi(x0)(x0)
)
ugi(x0), (8)
де σi(x0) = g1(x0) + g2(x0) + . . .+ gi(x0).
Доведення. Оскiльки f ′(x0) iснує, то
f ′(x0) = lim
m→∞
µf (∆E
m(x0))
|∆E
m(x0)|
, де ∆E
m(x0) = ∆E
g1(x0)g2(x0)...gm(x0).
Враховуючи вираз довжини цилiндра ∆E
m(x0) i приросту фун-
кцiї, отримуємо (8). �
Теорема 5. Якщо всi члени послiдовностi (un) є невiд’ємни-
ми, то f є сингулярною функцiєю розподiлу ймовiрностей на
вiдрiзку [0, 1], причому функцiєю розподiлу канторiвського ти-
пу тодi i тiльки тодi, коли для послiдовностi (un) множина
V = {v : uv > 0} забезпечує рiвнiсть (7).
Доведення проведемо аналогiчно доведенню вiдповiдного
твердження для функцiї розподiлу випадкової величини з не-
залежними однаково розподiленими рiзницями послiдовних еле-
ментiв ряду Остроградського 1-го виду (див. статтю [25] або мо-
нографiю [3, розд. 3.11, 4.2]). Спочатку доведемо кiлька допомi-
жних тверджень.
Лема 6. Мiра µξ, що вiдповiдає випадковiй величинi
ξ = ∆E
η1η2...ηk...
з незалежними однаково розподiленими E-символами ηk, є iн-
варiантною i ергодичною вiдносно перетворення зсуву ω.
Про одну сингулярну функцiю канторiвського типу 139
Доведення. 1. Нехай множина A є iнварiантною вiдносно пере-
творення ω, тобто ω−1A = A для довiльної A з борелiвської
σ-алгебри B. Тодi ω(ω−1A) = ωA i, отже, A = ωA. Тому
A = ω−1A = ω−1(ωA).
Якщо x = ∆E
g1(x)g2(x)...gk(x)... i x ∈ A, то
ω−1(ωx) =
{
x : x = ∆E
c1g2(x)...gk(x)...), c1 ∈ Z0
}
⊂ A.
Тому належнiсть x до iнварiантної множини A не залежить
вiд першого E-символу точки x. Аналогiчно можна довести, що
належнiсть x до iнварiантної множини A не залежить вiд пер-
ших n E-символiв точки x. Тому множина A є залишковою, i за
законом нуля i одиницi Колмогорова µξ(A) = 0 або µξ(A) = 1.
Отже, µξ ергодична вiдносно перетворення ω.
2. Оскiльки борелiвська σ-алгебра B породжується системою
цилiндрiв, що вiдповiдають E-зображенню, тобто множин вигля-
ду ∆E
c1c2...cn , то досить показати iнварiантнiсть мiри µξ на таких
цилiндрах. Очевидно, що µξ(∆E
c1c2...cn) = uc1 ·uc2 ·. . .·ucn . Оскiльки
ω−1(∆E
c1c2...cn) =
∞⋃
i=0
∆E
ic1c2...cn ,
то
µξ(ω
−1(∆E
c1c2...cn)) =
∞∑
i=0
µξ(∆
E
ic1c2...cn) =
= uc1 · uc2 · . . . · ucn
∞∑
i=0
ui = uc1 · uc2 · . . . · ucn = µξ(∆
E
c1c2...cn),
що й треба було довести. �
Нехай Ni(x, k) —кiлькiсть символiв «i» в E-зображеннi числа
x до k-го мiсця включно.
Якщо границя lim
k→∞
Ni(x,k)
k iснує, то її називають асимптоти-
чною частотою цифри (символу) «i» в E-зображеннi числа x
i позначають через νi(x).
140 О. М. Барановський, М. В. Працьовитий
Лема 7. Для майже всiх (у розумiннi мiри Лебега) дiйсних
чисел x ∈ [0, 1] та для довiльної цифри i ∈ Z0 має мiсце
lim sup
n→∞
Ni(x, n) < +∞,
тобто в E-розкладi майже всiх (у розумiннi мiри Лебега) дiй-
сних чисел довiльна цифра «i» з алфавiту A = Z0 трапляється
скiнченну кiлькiсть разiв.
Доведення. Нехай Ω = [0, 1], B— борелiвська σ-алгебра, P = λ—
мiра Лебега на одиничному вiдрiзку. Для довiльного i ∈ Z0 та
k ∈ N означимо множину
Aik :=
{
x : x = ∆E
g1(x)g2(x)...gn(x)..., gk(x) = i
}
=
=
∞⋃
c1=0
∞⋃
c2=0
. . .
∞⋃
ck−1=0
∆E
c1c2...ck−1i
.
Тодi
λ(Aik) ≤ λ(A0
k) =
∞∑
c1=0
. . .
∞∑
ck−1=0
|∆E
c1c2...ck−10| =
=
∞∑
c1=0
. . .
∞∑
ck−1=0
1
(2 + σ1)(2 + σ2) . . . (2 + σk−1)(1 + σk−1)
≤
≤ 1
2
·
(
3
4
)k−1
,
де σj = c1 + c2 + . . .+ cj .
Справдi, оскiльки довжина цилiндра
|∆E
c1c2...ck−10| =
1
(2 + σ1)(2 + σ2) . . . (2 + σk−1 + 0)(1 + σk−1 + 0)
=
=
3 + σk−1
2 + σk−1
· 1
(2 + σ1)(2 + σ2) . . . (2 + σk−2)
×
Про одну сингулярну функцiю канторiвського типу 141
× 1
(3 + σk−1)(2 + σk−1)(1 + σk−1)
=
≤ 3
2
· 1
(2 + σ1)(2 + σ2) . . . (2 + σk−2)
×
× 1
(3 + σk−1)(2 + σk−1)(1 + σk−1)
i
∞∑
ck−1=0
1
(3 + σk−1)(2 + σk−1)(1 + σk−1)
=
1
2
· 1
(2 + σk−2)(1 + σk−2)
,
маємо, що λ(A0
k) ≤
3
4λ(A0
k−1). З останньої нерiвностi й очевидної
рiвностi λ(A0
1) = 1
2 випливає, що
λ(Aik) ≤ λ(A0
k) ≤
1
2
·
(
3
4
)k−1
.
Нехай Ai = lim sup
k→∞
Aik. Очевидно, що x ∈ Ai тодi i тiльки
тодi, коли E-зображення точки x мiстить нескiнченну кiлькiсть
цифр «i». Оскiльки ряд
∞∑
k=1
λ(Aik) збiжний за ознакою порiвня-
ння, отримуємо за лемою Бореля–Кантеллi, що λ(Ai) = 0. Тому
для довiльного символу i ∈ Z0 i для майже всiх у розумiннi мiри
Лебега чисел x ∈ [0, 1], маємо, що E-зображення числа x мiстить
лише скiнченну кiлькiсть символiв «i», звiдки й випливає висно-
вок леми. �
Наслiдок 8. Для майже всiх (у розумiннi мiри Лебега) дiйсних
чисел x та для довiльного i ∈ Z0 має мiсце рiвнiсть:
νi(x) = 0.
Лема 9. Для µξ-майже всiх x ∈ [0, 1] має мiсце рiвнiсть
νi(x) = ui (9)
для будь-якого i ∈ Z0.
142 О. М. Барановський, М. В. Працьовитий
Доведення. Нехай ωj(x) означає j-кратне послiдовне застосуван-
ня перетворення зсуву ω, тобто ωj+1(x) = ω(ωj(x)). Згiдно з ле-
мою 6 мiра µξ є ергодичною та iнварiантною вiдносно ω. Тому за
ергодичною теоремою Бiркгофа рiвнiсть
lim
n→∞
1
n
n−1∑
j=0
ϕ(ωj(x)) =
1∫
0
ϕ(x) d(µξ(x))
має мiсце для µξ-майже всiх чисел x ∈ [0, 1] i для довiльної фун-
кцiї ϕ ∈ L1([0, 1], dµξ).
Зафiксуємо деяке число i ∈ Z0. Нехай ∆E
i — вiдповiдний ци-
лiндр першого рангу, що вiдповiдає E-зображенню. Вiзьмемо
за функцiю ϕ iндикатор множини ∆E
i , тобто ϕ(x) = 1, якщо
x ∈ ∆E
i , i ϕ(x) = 0 в iншому випадку.
Тодi
1
n
n−1∑
j=0
ϕ(ωj(x)) =
Ni(x, n)
n
,
1∫
0
ϕ(x) d(µξ(x)) =
∫
∆E
i
d(µξ(x)) = ui.
Отже, для µξ-майже всiх x має мiсце рiвнiсть (9). �
Доведення теореми 5. Доведемо, що розподiл випадкової вели-
чини ξ не може мiстити абсолютно неперервної компоненти. Для
цього виберемо таке число i0 ∈ Z0, щоб ui0 > 0 (щонайменше
одне таке число iснує) i розглянемо множину
Mi0 = {x : x ∈ [0, 1], νi0(x) = ui0 > 0} .
За лемою 9 ця множина має повну µξ-мiру.
Розглянемо також множину L∗i0 = {x : x ∈ [0, 1], νi0(x) = 0}.
З наслiдку 8 випливає, що λ(L∗i0) = 1.
Множини Mi0 i L∗i0 не перетинаються. Перша з них є носiєм
ймовiрнiсної мiри µξ, а друга є носiєм мiри Лебега. Отже, мiра µξ
сингулярна вiдносно мiри Лебега, що й доводить першу частину
твердження.
Друга частина теореми 5 є наслiдком леми 1 i наслiдку 3. �
Про одну сингулярну функцiю канторiвського типу 143
Теорема 10. У випадку монотонностi, тобто ui ≥ 0 для
всiх i ∈ N, функцiя f трансформує фрактальну розмiрнiсть
Гаусдорфа–Безиковича, зокрема аномально фрактальну множи-
ну переводить у фрактальну множину додатної розмiрностi,
множину додатної мiри Лебега — у фрактальну множину дро-
бової розмiрностi. Бiльше того, для будь-якого α ∈ (0, 1) iснує
множина додатної мiри Лебега B така, що α0(f(B)) < α.
Доведення. Як вiдомо [5], розмiрнiсть Гаусдорфа–Безиковича
множини C[E, V ], де V = {1, 2, . . . ,m}, m ≥ 2, дорiвнює 0.
Нехай u1, um —першi два вiдмiннi вiд 0 члени ряду (5), яким
означена функцiя f . Тодi образом множини C[E, V ] пiд дiєю фун-
кцiї f є самоподiбна множина, самоподiбна розмiрнiсть якої є
розв’язком рiвняння
ux1 + uxm = 1.
Очевидно, що цей розв’язок додатний. Отже, образом аномально
фрактальної множини C[E, V ] є множина додатної розмiрностi.
Якщо V = {m+ 1,m+ 2, . . .}, де m ∈ Z0, то множина C[E, V ]
має додатну мiру Лебега [5]. Її образом пiд дiєю функцiї f є N-са-
моподiбна множина, N-самоподiбна розмiрнiсть якої дорiвнює
α0 = sup
l∈N
{
x :
m+l∑
i=m+1
uxi = 1
}
.
Вибором m можна досягнути того, що ця розмiрнiсть буде як
завгодно близькою до 0. �
Наслiдок 11. У випадку монотонностi, тобто ui ≥ 0 для всiх
i ∈ N, функцiя f не зберiгає розмiрнiсть Гаусдорфа–Безиковича.
Лiтература
[1] Барановський О. М., Працьовитий М. В., Гетьман Б. I. По-
рiвняльний аналiз метричних теорiй представлень чисел ря-
дами Енгеля i Остроградського та ланцюговими дробами //
144 О. М. Барановський, М. В. Працьовитий
Наук. часоп. Нац. пед. ун-ту iм. М. П. Драгоманова. Сер. 1.
Фiз.-мат. науки. — 2011. — № 12. — С. 130–139.
[2] Барановський О. М., Працьовитий М. В., Торбiн Г. М. Топо-
лого-метричнi властивостi множин дiйсних чисел з умовами
на їх розклади в ряди Остроградського // Укр. мат. журн. —
2007. — Т. 59, № 9. — С. 1155–1168.
[3] Барановський О. М., Працьовитий М. В., Торбiн Г. М. Ря-
ди Остроградського–Серпiнського–Пiрса та їхнi застосуван-
ня. — Київ : Наук. думка, 2013. — 288 с. — (Проект «Наукова
книга»).
[4] Гетьман Б. I. Зображення чисел s-адичними рядами Енге-
ля // Наук. часоп. Нац. пед. ун-ту iм. М. П. Драгоманова.
Сер. 1. Фiз.-мат. науки. — 2008. — № 9. — С. 212–224.
[5] Гетьман Б. I., Працьовитий М. В., Барановський О. М. Про
властивостi однiєї сiм’ї множин канторiвського типу, що ви-
значається умовами на елементи розкладу в ряд Енгеля //
Наук. часоп. Нац. пед. ун-ту iм. М. П. Драгоманова. Сер. 1.
Фiз.-мат. науки. — 2010. — № 11. — С. 119–142.
[6] Калашнiков А. В. Деякi функцiональнi спiввiдношення, якi
задовольняє сингулярна функцiя Салема // Наук. часоп.
Нац. пед. ун-ту iм. М. П. Драгоманова. Сер. 1. Фiз.-мат. на-
уки. — 2008. — № 9. — С. 192–199.
[7] Коваль В. В. Самоафiннi графiки функцiй // Наук. зап.
Нац. пед. ун-ту iм. М. П. Драгоманова. Фiз.-мат. науки. —
2003. — № 4. — С. 241–249.
[8] Козырев С. Б. О топологической густоте извивающихся
функций // Мат. заметки. — 1983. — Т. 33, №1. — С. 71–76.
[9] Панасенко О. Б. Фрактальнi властивостi одного класу одно-
параметричних неперервних недиференцiйовних функцiй //
Про одну сингулярну функцiю канторiвського типу 145
Наук. часоп. Нац. пед. ун-ту iм. М. П. Драгоманова. Сер. 1.
Фiз.-мат. науки. — 2006. — № 7. — С. 160–167.
[10] Панасенко О. Б. Фрактальна розмiрнiсть графiкiв неперерв-
них канторiвських проекторiв // Наук. часоп. Нац. пед. ун-
ту iм. М. П. Драгоманова. Сер. 1. Фiз.-мат. науки. — 2008. —
№ 9. — С. 104–111.
[11] Панасенко О. Б. Розмiрнiсть Хаусдорфа–Безиковича графi-
ка однiєї неперервної нiде не диференцiйовної функцiї //
Укр. мат. журн. — 2009. — Т. 61, № 9. — С. 1225–1239.
[12] Працевитый Н. В. Непрерывные канторовские проекто-
ры // Методы исследования алгебраических и топологиче-
ских структур. — Киев : КГПИ, 1989. — С. 95–105.
[13] Працьовитий М. В. Фрактальний пiдхiд у дослiдженнях син-
гулярних розподiлiв. — Київ : Вид-во НПУ iм. М. П. Драго-
манова, 1998. — 296 с.
[14] Працьовитий М. В. Фрактальнi властивостi однiєї неперерв-
ної нiде не диференцiйовної функцiї // Наук. зап. Нац. пед.
ун-ту iм. М. П. Драгоманова. Фiз.-мат. науки. — 2002. —
№ 3. — С. 351–362.
[15] Працьовитий М. В. Нiде не монотоннi сингулярнi функцiї //
Наук. часоп. Нац. пед. ун-ту iм. М. П. Драгоманова. Сер. 1.
Фiз.-мат. науки. — 2011. — № 12. — С. 24–36.
[16] Працьовитий М. В., Барановський О. М. Властивостi розпо-
дiлiв випадкових величин з незалежними рiзницями послi-
довних елементiв ряду Остроградського // Теорiя ймовiр.
та матем. статист. — 2004. — № 70. — С. 131–143.
[17] Працьовитий М. В., Василенко Н. А. Одна сiм’я неперервних
нiде не монотонних функцiй з фрактальними властивостя-
ми // Наук. часоп. Нац. пед. ун-ту iм. М. П. Драгоманова.
Сер. 1. Фiз.-мат. науки. — 2013. — № 14. — С. 176–188.
146 О. М. Барановський, М. В. Працьовитий
[18] Працьовитий М. В., Василенко Н. А. Розподiли ймовiрно-
стей на графiках одного класу нiде не диференцiйовних
функцiй // Тр. Ин-та прикл. математики и механики НАН
Украины. — 2013. — Т. 26. — С. 159–171.
[19] Працьовитий М. В., Гетьман Б. I. Ряди Енгеля та їх застосу-
вання // Наук. часоп. Нац. пед. ун-ту iм. М. П. Драгоманова.
Сер. 1. Фiз.-мат. науки. — 2006. — № 7. — С. 105–116.
[20] Працьовитий М. В., Калашнiков А. В. Про один клас непе-
рервних функцiй зi складною локальною будовою, бiльшiсть
з яких сингулярнi або недиференцiйовнi // Тр. Ин-та прикл.
математики и механики НАН Украины. — 2011. — Т. 23. —
С. 180–191.
[21] Працьовитий М. В., Калашнiков А. В. Самоафiннi сингуляр-
нi та нiде не монотоннi функцiї, пов’язанi з Q-зображенням
дiйсних чисел // Укр. мат. журн. — 2013. — Т. 65, № 3. —
С. 405–417.
[22] Працьовитий М. В., Калашнiков А. В., Безбородов В. К.
Про один клас сингулярних функцiй, що мiстить класи-
чну функцiю Мiнковського // Наук. часоп. Нац. пед. ун-ту
iм. М. П. Драгоманова. Сер. 1. Фiз.-мат. науки. — 2010. —
№ 11. — С. 225–231.
[23] Працьовитий М. В., Панасенко О. Б. Диференцiальнi та
фрактальнi властивостi класу самоафiнних функцiй // Вiсн.
Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. — 2009. — № 70. — С. 128–142.
[24] Серпинскiй В. Элементарный примѣръ возрастающей функ-
ціи, имѣющей почти всюду производную равную нулю //
Мат. сб. — 1916. — Т. 30, № 3. — С. 449–473.
[25] Торбiн Г. М. Властивостi розподiлiв випадкових величин та
динамiчних систем, пов’язаних з рядами Остроградського
Про одну сингулярну функцiю канторiвського типу 147
першого виду // Наук. часоп. Нац. пед. ун-ту iм. М. П. Дра-
гоманова. Сер. 1. Фiз.-мат. науки. — 2006. — № 7. — С. 117–
125.
[26] Турбин А. Ф., Працевитый Н. В. Фрактальные множества,
функции, распределения. — Киев : Наук. думка, 1992. —
208 с.
[27] Albeverio S., Baranovskyi O., Kondratiev Yu., Pratsiovytyi M.
On one class of functions related to Ostrogradsky series and
containing singular and nowhere monotonic functions // Наук.
часоп. Нац. пед. ун-ту iм. М. П. Драгоманова. Сер. 1. Фiз.-
мат. науки. — 2013. — no. 15. — P. 24–41.
[28] Albeverio S., Baranovskyi O., Pratsiovytyi M., Torbin G.
The Ostrogradsky series and related Cantor-like sets // Acta
Arith. — 2007. — Vol. 130, no. 3. — P. 215–230.
[29] Albeverio S., Pratsiovytyi M., Torbin G. Fractal probability
distributions and transformations preserving the Hausdorff–
Besicovitch dimension // Ergodic Theory Dynam. Systems. —
2004. — Vol. 24, no. 1. — P. 1–16.
[30] Banach S. Über die Baire’sche Kategorie gewisser Funktionen-
mengen // Studia Math. — 1931. — Bd. 3. — S. 174–179.
[31] Bush K. A. Continuous functions without derivatives // Amer.
Math. Monthly. — 1952. — Vol. 59, no. 4. — P. 222–225.
[32] Chatterji S. D. Certain induced measures on the unit interval //
J. London Math. Soc. — 1963. — Vol. 38. — P. 325–331.
[33] Engel F. Entwicklung der Zahlen nach Stammbrüchen // Verh.
d. 52. Versamml. dtsch. Philologen u. Schulmänner Marburg
1913. — Leipzig : Teubner, 1914. — S. 190–191.
148 О. М. Барановський, М. В. Працьовитий
[34] Erdős P., Rényi A., Szüsz P. On Engel’s and Sylvester’s series //
Ann. Univ. Sci. Budapest. Sect. Math. — 1958. — Vol. 1. — P. 7–
32.
[35] Marsaglia G. Random variables with independent binary digits
// Ann. Math. Statist. — 1971. — Vol. 42, no. 6. — P. 1922–1929.
[36] Mazurkiewicz S. Sur les fonctions non dérivables // Studia
Math. — 1931. — Vol. 3. — P. 92–94.
[37] Minkowski H. Zur Geometrie der Zahlen // Verh. d. 3. Int.
Math.-Kongr. Heidelb. 1904. — Leipzig : Teubner, 1905. —
S. 164–173.
[38] Pratsiovytyi M. V., Vasylenko N. A. Fractal properties of func-
tions defined in terms of Q-representation // Int. J. Math. Anal.
(Ruse). — 2013. — Vol. 7, no. 64. — P. 3155–3167.
[39] Rényi A. A new approach to the theory of Engel’s series // Ann.
Univ. Sci. Budapest. Sect. Math. — 1962. — Vol. 5. — P. 25–32.
[40] Salem R. On some singular monotonic functions which are
strictly increasing // Trans. Amer. Math. Soc. — 1943. —
Vol. 53, no. 3. — P. 427–439.
[41] Takács L. An increasing continuous singular function // Amer.
Math. Monthly. — 1978. — Vol. 85, no. 1. — P. 35–37.
[42] Takagi T. A simple example of the continuous function without
derivative // Tōkyō Sūgaku-Butsurigakkwai Hōkoku. — 1901. —
Vol. 1. — P. 176–177.
[43] Wunderlich W. Eine überall stetige und nirgends differenzierba-
re Funktion // Elem. Math. — 1952. — Bd. 7, H. 4. — S. 73–79.
[44] Zamfirescu T. Most monotone functions are singular // Amer.
Math. Monthly. — 1981. — Vol. 88, no. 1. — P. 47–49.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-522 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:08:49Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/76/05a18de0a1c46da6f644e5f2b69dfa76.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-5222023-03-02T07:56:20Z Про одну сингулярну функцію канторівського типу, пов'язану з рядами Енгеля Барановський, О. М. Працьовитий, М. В. In the paper, we construct and study the class ofcontinuous on $[0, 1]$ functions with continuum set of peculiarities.Any function $f$ belonging to this classis defined by the Engel series representation of its argumentand by special convergent series.Conditions for $f$ to be a~Cantor-type singular function are found. У роботі конструюється і досліджується клас неперервних на $[0, 1]$ функцій з континуальною множиною особливостей. Функція $f$ з~цього класу показано зображенням аргументу поруч з Енгеля і спеціальним збіжним поруч. Знайдено умови сингулярності канторівського типу функції $f$. Інститут математики НАН України 2019-12-30 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/522 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 16 No. 3 (2019): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 131-148 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 16 № 3 (2019): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 131-148 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 16 № 3 (2019): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 131-148 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/522/495 Авторське право (c) 2019 О. М. Барановський, М. В. Працьовитий http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Барановський, О. М. Працьовитий, М. В. Про одну сингулярну функцію канторівського типу, пов'язану з рядами Енгеля |
| title | Про одну сингулярну функцію канторівського типу, пов'язану з рядами Енгеля |
| title_full | Про одну сингулярну функцію канторівського типу, пов'язану з рядами Енгеля |
| title_fullStr | Про одну сингулярну функцію канторівського типу, пов'язану з рядами Енгеля |
| title_full_unstemmed | Про одну сингулярну функцію канторівського типу, пов'язану з рядами Енгеля |
| title_short | Про одну сингулярну функцію канторівського типу, пов'язану з рядами Енгеля |
| title_sort | про одну сингулярну функцію канторівського типу, пов'язану з рядами енгеля |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/522 |
| work_keys_str_mv | AT baranovsʹkijom proodnusingulârnufunkcíûkantorívsʹkogotipupov039âzanuzrâdamiengelâ AT pracʹovitijmv proodnusingulârnufunkcíûkantorívsʹkogotipupov039âzanuzrâdamiengelâ |