Канторвали як множини неелементарних ланцюгових дробів з обмеженим алфавітом
Let $G_{\mathcal{A}}$ be a set of values of continued fractions whose elements belong to a bounded set $\mathcal{A}$ of positive real numbers. We prove that $G_{\mathcal{A}}$ is a continuum bounded and perfect set. For $\mathcal{A}_3=\{0{,}5; 1; 8\}$, the set $G_{\mathcal{A}}$ is a Cantorval, namely...
Збережено в:
| Дата: | 2019 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2019
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/523 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872553030666158080 |
|---|---|
| author | Працьовитий, М. В. Гончаренко, Я. В. Дрозденко, В. О. |
| author_facet | Працьовитий, М. В. Гончаренко, Я. В. Дрозденко, В. О. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "М. В. Працьовитий",
"institution": "Національний педагогічний університет імені М. П. Драгоманова, Київ"
},
{
"author": "Я. В. Гончаренко",
"institution": null
},
{
"author": "В. О. Дрозденко",
"institution": "Білоцерківський національний аграрний університет, Біла Церква"
}
] |
| author_sort | Працьовитий, М. В. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-03-02T07:56:20Z |
| description | Let $G_{\mathcal{A}}$ be a set of values of continued fractions whose elements belong to a bounded set $\mathcal{A}$ of positive real numbers. We prove that $G_{\mathcal{A}}$ is a continuum bounded and perfect set. For $\mathcal{A}_3=\{0{,}5; 1; 8\}$, the set $G_{\mathcal{A}}$ is a Cantorval, namely, it is homeomorphic to the set$$E= \{x: x=\sum\limits_{k=1}^{\infty}(\frac{3\alpha_{2k-1}}{4^k}+\frac{2\alpha_{2k}}{4^k}),\alpha_k\in\{0,1\}\},$$where $E$ contains a finite set of intervals whose complements are continuum nowhere dense sets. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:08:51Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2019, т. 16, № 3, 210–218
УДК 510.22+511.72+517.5+519.21
М.В. Працьовитий 1, Я. В. Гончаренко 2,
В.О. Дрозденко 3
1НПУ iменi М.П. Драгоманова, IМ НАН України, Київ;
prats4444@gmail.com
2НПУ iменi М.П. Драгоманова, Київ; yan_a@ukr.net
3Бiлоцеркiвський нацiональний аграрний унiверситет, Бiла
Церква; drozdenko0408@gmail.com
Канторвали як множини
неелементарних ланцюгових дробiв з
обмеженим алфавiтом
LetGA be a set of values of continued fractions whose elements belong
to a bounded set A of positive real numbers. We prove that GA is a
continuum bounded and perfect set. For A3 = {0,5; 1; 8}, the set GA
is a Cantorval, namely, it is homeomorphic to the set
E = {x : x =
∞∑
k=1
(
3α2k−1
4k
+
2α2k
4k
), αk ∈ {0, 1}},
where E contains a finite set of intervals whose complements are
continuum nowhere dense sets.
Key words: continued fraction, Cantorval, topological structure of
a set of continued fractions with bounded alphabet, set of incomplete
sums of numerical series, nowhere dense set, Lebesgue measure,
perfect set.
c© М.В. Працьовитий, Я.В. Гончаренко, В. О. Дрозденко
Доведено, що множина GA значень ланцюгових дробiв, елемен-
ти яких належать обмеженiй множинi A додатних дiйсних чисел
є континуальною, обмеженою, досконалою. При A3 = {0, 5; 1; 8}
вона є канторвалом, а саме множиною, гомеоморфною множинi
E = {x : x =
∞∑
k=1
(
3α2k−1
4k
+
2α2k
4k
), αk ∈ {0, 1}},
яка мiстить злiченну множину вiдрiзкiв, доповнення до яких є
континуальною нiде не щiльною множиною.
Ключовi слова: ланцюговий дрiб, канторвал, топологiчна стру-
ктура множини ланцюгових дробiв з обмеженим алфавiтом, мно-
жина неповних сум числового ряду, нiде не щiльна множина, мiра
Лебега, досконала множина.
Вступ
Популярними об’єктами сучасних математичних дослiджень є
канторвали – обмеженi лiнiйнi досконалi множини, що є об’єдна-
нням двох множин, одна з яких є нiде не щiльною, а iнша — злi-
ченним об’єднанням вiдрiзкiв, кожен з яких є сумiжним першiй
множинi i при цьому злiченна множина сумiжних iнтервалiв пер-
шої не мiстить точок другої множини. Такi множин виникають
в тополого-метричнiй теорiї абсолютно збiжних числових рядiв,
теорiї нескiнченних згорток Бернуллi, дослiдженнях розподiлiв
випадкових величин типу Джессена-Вiнтнера тощо. У геометрiї
числових рядiв вони фiгурують в якостi множин неповних сум
(пiдсум) рядiв певної категорiї, для розподiлiв випадкових вели-
чин – спектрами (мiнiмальними замкненими носiями ймовiрнi-
сної мiри). Аналогiчна ситуацiя має мiсце з множинами значень
неелементарних ланцюгових дробiв з обмеженим алфавiтом, еле-
менти якого додатнi. Цьому питанню присвячена дана робота.
Добре вiдомо, що всi обмеженi лiнiйнi досконалi множини (а
саме замкненi множини без iзольованих точок) гомеоморфнi кла-
212 М.В. Працьовитий, Гончаренко Я.В., Дрозденко В.О.
сичнiй множинi Кантора
C = {x : x =
∞∑
k=1
2αk
3k
= ∆3
α1α2...αk...
, αk ∈ {0, 2}},
доведення цього факту можна знайти в роботах [ ]. Множиною
неповних сум (пiдсум) числового ряду a1 + a2 + ... + an + ... на-
зивається множина E(an) = {x : x =
∑
n∈M⊂N
an =
∞∑
n=1
εnan, εn =
1 при n ∈ M ; εn = 0 при n /∈ M}, де M — пробiгає сiм’ю всiх
пiдмножин множини натуральних чисел (булiан).
Множина неповних сум (пiдсум) абсолютно збiжного число-
вого ряду є континуальною i досконалою. При цьому вона нале-
жить до одного з трьох топологiчних типiв:
1) є скiнченним об’єднанням вiдрiзкiв;
2) є нiде не щiльною множиною;
3) є канторвалом — об’єднанням нiде не щiльної множини i
злiченної множини вiдрiзкiв, а саме множиною, гомеоморфною
множинi неповних сум ряду
3
4
+
2
4
+
3
42
+
2
42
+ ...+
3
4n
+
2
4n
+ ...,
що рiвносильно гомеоморфною множинi
T ≡ C ∪
∞⋃
n=1
G2n−1 = [0; 1] \
∞⋃
n=1
G2n,
де Gk =
⋃
α1∈{0,2}
...
⋃
αk−1∈{0,2}
(∆3
α1...αk−11(0)
; ∆3
α1...αk−11(2)
).
Критерiй належностi множини пiдсум першому типу вiдомий.
Вiн отриманий С.Какея ще в 1914 р. у першiй публiкацiї з цiєї
тематики. Ознака (достатнi умови) належностi другому типу —
теж. Але до цих пiр критерiя канторвальностi множини пiдсум
ряду не знайдено.
Канторвал як множина неелементарних ланцюгових дробiв 213
Нагадаємо, що нескiнченним ланцюговим дробом називається
вираз виду
a0 +
1
a1 + 1
a2+...
, (1)
який скорочено позначається [a0; a1, a2, ...]. Як вiдомо [6], число-
вий ланцюговий дрiб (1) є збiжним (має значення) лише тодi,
коли a1 + a2 + ...+ an + ... є розбiжним.
Ланцюговий дрiб [an; an+1, an+2, ...] називається залишком по-
рядку n дробу (1), а скiнченний дрiб [a0; a1, ..., an] — вiдрiзком.
Ланцюговий дрiб rn ≡ [an; an+1, an+2, ...] називається зали-
шком порядку n, а скiнченний дрiб pn
qn
≡ [a0; a1, ..., an] — вiдрiз-
ком дробу (1), прицьому дрiб pn
qn
називається пiдхiдним дробом
порядку n.
Закон утворення пiдхiдних дробiв (p−1 = 1, q−1 = 0, p0 = a0,
q0 = 1): pk ≡ akpk−1 + pk−2, qk = akqk−1 + qk−2, ∀k ≥ 2.
Має мiсце рiвнiсть
[a0; a1, a2, ...] = [a0; a1, a2, ..., an−1 +
1
rn
] = [a0; a1, a2, ..., an−1, rn].
Нехай A = {0, 5; 1; 3} – алфавiт, L = A×A×...×A×...– простiр
послiдовностей елементiв алфавiту. Розглядається множина G
всiх ланцюгових дробiв, елементами яких належать алфавiту A.
1. Множина значень ланцюгових дробiв з
обмеженим алфавiтом
Нехай 1 < s – фiксоване натуральне число, A = {c0, c1, . . . , cs−1}
— множина дiйсних чисел таких, що 0 < c0 < c1 < . . . < cs−1, яка
називається алфавiтом; LA = A×A×A× . . .×A× . . . —простiр
послiдовностей елементiв алфавiту A. Нас цiкавлять тополого-
метричнi властивостi множини GA значень усiх нескiнченних
ланцюгових дробiв виду [0; a1, a2, . . . , an, . . .], де (an) ∈ LA.
Випадок s = 2 заслуговує на окрему увагу, яка йому придiле-
на у роботах [?, 2, 7, 8, 14].
214 М.В. Працьовитий, Гончаренко Я.В., Дрозденко В.О.
Теорема 1. [2] Якщо s = 2, то GA є вiдрiзком [a; b], де
a = [0; (c1, c0)], b = [0; (c0, c1)], коли c0c1 ≤ 1
2 ; нiде не щiльною
множиною, коли c0c1 > 1
2 . При умовi c0c1 > 1
2 кожне число
x ∈ GA має єдине зображення нескiнченним ланцюговим дро-
бом, при c0c1 = 1
2 числа злiченної множини, щiльної у вiдрiзку
[β0;β1], де β0 = [0; (c1, c0)], β1 = [0; (c0, c1)], мають два зображе-
ння, а решта — мають єдине зображення.
Зауважимо, що при c0 =
√
3−1
2 , c1 =
√
3+1
2 множина GA є оди-
ничним вiдрiзком [c0, c1], а при c0 = 1
2 , c1 = 1 — вiдрiзком [12 ; 1].
Лема 2. Множина GA значень нескiнченних ланцюгових дро-
бiв виду [0; a1, a2, . . . , an, . . .], де (an) ∈ LA, є континуальною i
обмеженою, причому
minGA = [0; (cs−1, c0)] =
√
c0cs−1(c0cs−1 + 4)− c0cs−1
2cs−1
≡ d0, (2)
maxGA = [0; (c0, cs−1)] =
√
c0cs−1(c0cs−1 + 4)− c0cs−1
2c0
≡ d1. (3)
Доведення. Якщо a ∈ A 3 b, то зi збiжностi дробу [0; (a, b)] = x
маємо
x =
1
a+
1
b+ x
⇔ ax+
x
b+ x
= 1 або
abx+ ax2 + x = b+ x ⇔ ax2 + abx− b = 0
x =
−ab+
√
ab(ab+ 4)
2a
.
Тодi очевидно, що виконуються рiвностi (2)–(3) i GA ⊂ [d0; d1].
Континуальнiсть множини GA є наслiдком попередньої теоре-
ми. Справдi, якщо B = {c0, cs−1}, то згiдно з теоремою 1 множи-
на GB значень усiх нескiнченних ланцюгових дробiв з алфавiтом
B є континуальною. А отже, такою є i множина GA ⊃ GB. �
Канторвал як множина неелементарних ланцюгових дробiв 215
Наслiдок 3. Якщо A = {1
2
, 1, 8}, то minGA =
√
2− 1
4
,
maxGA = 4
√
2− 4 = 4(
√
2− 1).
Означення 1. Нехай (b1, b2, ..., bm) — фiксований набiр елемен-
тiв алфавiту A. Множина ∆′b1b2...bm всiх ланцюгових дробiв ви-
ду [0; b1, b2, ..., bm, a1, a2, ...], де (αn) ∈ A, називається цилiндром
рангу m з основою b1b2...bm.
Цилiндр є обмеженою фiгурою, причому
A = min ∆′b1...bm = [0; b1, b2, ..., bm, (a, b)],
B = max ∆′b1...bm = [0; b1, b2, ..., bm, (b, a)], де
a =
{
c0, якщо m− непарне,
cs−1, якщо m− парне,
b =
{
c0, якщо m− парне,
cs−1, якщо m− непарне.
Означення 2. Мiнiмальний вiдрiзок, що мiстить цилiндр
∆′b1b2...bm , тобто [A;B], називається цилiндричним вiдрiз-
ком рангу m з основою b1b2...bm. Його позначатимемо через
∆b1b2...bm .
Теорема 4. Множина GA значень всiх нескiнченних ланцюго-
вих дробiв виду [0; a1, a2, . . . , an, . . .], де (an) ∈ LA, є досконалою.
Доведення. Доведемо замкненiсть множини GA, тобто те, що во-
на мiстить всi свої граничнi точки.
Нехай Fk ≡
⋃
a1∈A
...
⋃
ak∈A
∆a1a2...ak . Очевидно, що Fk+1 ⊂ Fk,
k ∈ N . Множина Fk є замкненою, як скiнченне об’єднання за-
мкнених множин. Оскiльки GA =
∞⋂
k=1
Fk = limk→∞ Fk, то GA є
замкненою множиною.
Для доведення вiдсутностi iзольованих точок у множини
GA скористаємось методом вiд супротивного. Припустимо, що
x0 = [0; b1, b2, ...] — iзольована точка множини GA. Тодi iснує
ε > 0 таке, що iнтервал (x0 − ε;x0 + ε) не мiстить точок мно-
жини GA. Розглянемо двi послiдовностi (xn) i (xn), де xn =
216 М.В. Працьовитий, Гончаренко Я.В., Дрозденко В.О.
[0; b1, ..., b2n−1, b2n + d0], xn = [0; b1, ..., b2n−1, b2n + d1]. Очевидно,
що xn 6= x0 або xn 6= x0, але x0 = lim
n→∞
xn = lim
n→∞
x′n, що супере-
чить iзольованостi x0. �
Лема 5. Нехай (b1, b2, ..., bn) — довiльний впорядкований набiр
елементiв алфавiту A; A2 ≡ {α1, α2} ⊂ A, причому α1α2 ≤ 1
2 .
Тодi множина D всiх чисел з зображеннями
∆b1b2...bna1a2..., де (an) ∈ A2,
утворює вiдрiзок, який повнiстю належить множинi GA зна-
чень ланцюгових дробiв з алфавiтом A.
Доведення. Нехай pn
qn
— пiдхiдний дрiб порядку n числа x =
[0; b1, b2, ..., bn, a1, a2, ...] тодi pn
qn
< x < pn+pn−1
qn+qn−1
або навпаки
pn+pn−1
qn+qn−1
< x < pn
qn
в залежностi парностi або непарностi n. �
Теорема 6. Множина всiх ланцюгових дробiв з обмеженим ал-
фавiтом A мiстить вiдрiзок тодi i тiльки тодi, коли iснують
такi елементи алфавiту cn i cn+1, що cn · cn+1 ≤ 1
2 , причому
Доведення. Справдi, згiдно з лемою 1 при cncn+1 ≤ 1
2 множина
GA2 , де A2 = {cn, cn+1}, є вiдрiзком i GA2 ⊂ GA.
Якщо ж cncn+1 >
1
2 для всiх n ∈ {0, 1, ..., s− 2}, то цилiндри-
чнi вiдрiзки першого рангу ∆c0 , ∆c1 ,...,∆cs−1 не мають спiльних
точок.
Аналогiчна ситуацiя має мiсце для цилiндрiв всiх рангiв. �
Означення 3. Валом на числовiй прямiй називатимемо мно-
жину W , яка є таким об’єднанням нескiнченного числа iнтер-
валiв, що
1) iнтервали попарно не перетинаються;
2) мiж кожними двома iнтервалами об’єднання лежить при-
наймнi один iнтервал цього об’єднання.
Прикладом валу на числовiй прямiй є об’єднання цилiндри-
чних iнтервалiв трiйкового зображення чисел вiдрiзка [0; 1] виду
∇3
1,∇3
c1c2...c2k−1c2k1
, де ci ∈ {0, 2}, k ∈ N .
Канторвал як множина неелементарних ланцюгових дробiв 217
Множиною канторiвського типу називається обмежена нiде не
щiльна, досконала множина.
Означення 4. Канторвалом називається обмежена доскона-
ла множина K числової прямої, яка є об’єднанням множини
канторiвського типу C i валу W , кожен iнтервал якого є су-
мiжним з множиною C i при цьому доповнення K до K є
валом. Структурою канторвалу K називається представлення
(розклад): K = C ∪W .
Теорема 7. Якщо A = {12 ; 1; 8}, то GA – канторвал.
Доведення. Для довiльного набору (c1, . . . , cm) ∈ Am
множина ∆c1...cm значень ланцюгових дробiв виду
[0; c1, . . . , cm, α1, α2 . . . αn, . . .], де αn ∈ A, згiдно з теоремою
1, є вiдрiзком. Очевидно, що ∆c1...cm ⊂ ∆′c1...cm ⊂ ∆c1...cm .
Наприклад, ∆ 1
2
= [23 ; 1], ∆1 = [12 ; 2
3 ], ∆8 = [19 ; 2
17 ].
Тому GA мiстить нескiнченну кiлькiсть вiдрiзкiв.
�
Лiтература
[1] Виннишин Я.Ф., Маркiтан В.П., Працьовитий М.В., Савчен-
ко I.О. Додатнi ряди, множини пiдсум яких є канторвалами. –
Proceedings of the International Geometry Center. — 2019. — Vol.12,
no. 2. P. 26–42.
[2] Дмитренко С.О., Кюрчев Д.В., Працьовитий М.В. Ланцюго-
ве A2–зображення дiйсних чисел // Український математичний
журнал. — 2009, том 61, № 4. — С.452–463.
[3] Джоунс У., Трон В. Непрерывные дроби. Аналитическая теория
и приложения. — М.: Мир, 1985. — 414с.
[4] Працьовитий М. В. Фрактальний пiдхiд у дослiдженнях сингу-
лярних розподiлiв. – Київ: Вид-во НПУ iменi М. П. Драгомано-
ва. – 1998. – 296 c.
[5] Турбин А.Ф., Працевитый Н.В. Фрактальные множества, фун-
кции, распределения. — Киев: Наук.думка, 1992. — 208с.
218 М.В. Працьовитий, Гончаренко Я.В., Дрозденко В.О.
[6] Хинчин А. Я. Цепные дроби. —М.: Наука, — 1978. — 112 с.
[7] Pratsiovytyi M., Chuikov A. Continuous distributions whose functions
preserve tails of an A2-continued fraction representation of numbers
// Random Operators and Stochastic Equations, 2019. Vol. 27(3), pp.
199-206.
[8] Pratsiovytyi M.V., Makarchuk O.P., Chuikov A.S. Approximation
and estimates in the periodic representation of real numbers of the
closed interval [0; 1] by A2-continued fractions. //Journal of Numeri-
cal & Applied Mathematics. 2019. — 1 (130). Pp. 71–83.
[9] Schweiger F. Continues fractaion and their generalizations: A short
hostory of f -expansion. Boston, Docent press, 2016.
[10] Karpenkov O. Geometry of continued fractions. Springer, 2013.
[11] Kakey S. On the set of partial sums of aninfinite series. Tohoku Sci
Rep., (4): 159–163, 1914.
[12] Працьовитий М.В. Сингулярнiсть розподiлiв випадкових вели-
чин, заданих розподiлами елементiв свого ланцюгового зображе-
ння // Укр. мат. журн. — 1996. — 48, № 8. — С.1086-1095.
[13] Працьовитий М.В., Кюрчев Д.В. Сингулярнiсть розподiлу випад-
кової величини, зображеної ланцюговим A2-дробом з незалежни-
ми елементами // Теор. ймов. та мат. стат. — 2009. — 81. — С.
139-154.
[14] Pratsiovytyi M., Kyurchev D. Properties of the distribution of the
random variable defined by A2-continued fraction with independent
elements // Random Oper. Stochastic Equations, 2009, Vol. 17., no.
1. — P.91-101.
[15] Albeverio, S., Kulyba, Y., Pratsiovytyi, M. and Torbin, G. (2015), On
singularity and fine spectral structure of random continued fractions.
Math. Nachr.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-523 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:08:51Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/fd/0bfae13518b0cb324d6d9ea86d0b00fd.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-5232023-03-02T07:56:20Z Канторвали як множини неелементарних ланцюгових дробів з обмеженим алфавітом Працьовитий, М. В. Гончаренко, Я. В. Дрозденко, В. О. Let $G_{\mathcal{A}}$ be a set of values of continued fractions whose elements belong to a bounded set $\mathcal{A}$ of positive real numbers. We prove that $G_{\mathcal{A}}$ is a continuum bounded and perfect set. For $\mathcal{A}_3=\{0{,}5; 1; 8\}$, the set $G_{\mathcal{A}}$ is a Cantorval, namely, it is homeomorphic to the set$$E= \{x: x=\sum\limits_{k=1}^{\infty}(\frac{3\alpha_{2k-1}}{4^k}+\frac{2\alpha_{2k}}{4^k}),\alpha_k\in\{0,1\}\},$$where $E$ contains a finite set of intervals whose complements are continuum nowhere dense sets. Доведено, що множина $G_{\mathcal{A}}$ значень ланцюгових дробів, елементи яких належать обмеженій множині $\mathcal{A}$ додатних дійсних чисел є континуальною, обмеженою, досконалою. При $\mathcal{A}_3=\{0,5; 1; 8\}$ вона є канторвалом, а саме множиною, гомеоморфною множині$$E= \{x: x=\sum\limits_{k=1}^{\infty}(\frac{3\alpha_{2k-1}}{4^k}+\frac{2\alpha_{2k}}{4^k}),\alpha_k\in\{0,1\}\},$$яка містить зліченну множину відрізків, доповнення до яких є континуальною ніде не щільною множиною. Інститут математики НАН України 2019-12-30 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/523 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 16 No. 3 (2019): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 210-218 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 16 № 3 (2019): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 210-218 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 16 № 3 (2019): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 210-218 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/523/501 Авторське право (c) 2019 2019 http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Працьовитий, М. В. Гончаренко, Я. В. Дрозденко, В. О. Канторвали як множини неелементарних ланцюгових дробів з обмеженим алфавітом |
| title | Канторвали як множини неелементарних ланцюгових дробів з обмеженим алфавітом |
| title_full | Канторвали як множини неелементарних ланцюгових дробів з обмеженим алфавітом |
| title_fullStr | Канторвали як множини неелементарних ланцюгових дробів з обмеженим алфавітом |
| title_full_unstemmed | Канторвали як множини неелементарних ланцюгових дробів з обмеженим алфавітом |
| title_short | Канторвали як множини неелементарних ланцюгових дробів з обмеженим алфавітом |
| title_sort | канторвали як множини неелементарних ланцюгових дробів з обмеженим алфавітом |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/523 |
| work_keys_str_mv | AT pracʹovitijmv kantorvaliâkmnožinineelementarnihlancûgovihdrobívzobmeženimalfavítom AT gončarenkoâv kantorvaliâkmnožinineelementarnihlancûgovihdrobívzobmeženimalfavítom AT drozdenkovo kantorvaliâkmnožinineelementarnihlancûgovihdrobívzobmeženimalfavítom |