Expanded capabilities of analytical mechanics of a solid medium
Advanced potentials of analytical mechanics of continuum medium and sources promoted the appearance, development and high achievements of this direction of research namely in Ukraine are under discussion. We traced connections of this direction with D. O. Grave and his follower M. O. Kilchevsky. We...
Gespeichert in:
| Datum: | 2023 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2023
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/531 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872553038085881856 |
|---|---|
| author | Limarchenko, Oleg Лімарченко, Олег |
| author_facet | Limarchenko, Oleg Лімарченко, Олег |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Олег Лімарченко",
"institution": "Київський національний університет імені Тараса Шевченка"
}
] |
| author_sort | Limarchenko, Oleg |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-08-17T09:06:54Z |
| description | Advanced potentials of analytical mechanics of continuum medium and sources promoted the appearance, development and high achievements of this direction of research namely in Ukraine are under discussion. We traced connections of this direction with D. O. Grave and his follower M. O. Kilchevsky. We shortly state and show by examples new elements of this approach and its advantages. It is shown that similar research are developed now in Ukraine. |
| doi_str_mv | 10.3842/trim.v20n1.531 |
| first_indexed | 2026-08-04T01:08:58Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збірник праць Ін-ту математики НАН України (2023) т. 20, №1, 873–895
Розширені можливості аналітичної
механіки суцільного середовища
О. С. Лимарченко
Abstract. Advanced potentials of analytical mechanics of continuum me-
dium and sources promoted the appearance, development and high achieve-
ments of this direction of research namely in Ukraine are under discussion.
We traced connections of this direction with D. O. Grave and his follower
M. O. Kilchevsky. We shortly state and show by examples new elements
of this approach and its advantages. It is shown that similar research are
developed now in Ukraine.
Анотація. Обговорюються розширені можливості аналітичної механіки
суцільного середовища і джерела, які сприяли виникненню, розвитку і
високим досягненням такого напрямку досліджень саме в Україні. Від-
стежуються зв’язки цього напрямку досліджень з Д. О. Ґраве і його
учнем М. О. Кільчевським. Скорочено викладено і проілюстровано на
ряді прикладів нові елементи такого підходу і його переваги. Показано,
що подібні дослідження і дотепер розвиваються саме в Україні.
ВСТУП
При викладенні теоретичної механіки та деяких розділів фізики пе-
реважно аналітичній механіці відводиться роль деякого апарата, який
по аналогії з другим законом Ньютона дозволяє одержати математичну
модель системи у вигляді диференціальних рівнянь. Специфічною осо-
бливістю методів аналітичної механіки є те, що на простих прикладах
усі переваги такого підходу не розкриваються, проте надмірна громі-
здкість і складність мають місце. Оскільки у звичайних вишівських
курсах обмежуються саме такими прикладами, то загальне враження
від методів аналітичної механіки залишається таке, що цей підхід не є
конструктивним, а є лише методичним. В більшості вишів методи ана-
літичної механіки суцільних середовищ взагалі не вивчаються. Коли
М. О. Кільчевському в різних обговореннях щодо методів аналітичної
механіки казали про подібну обмеженість аналітичної механіки, то він
часто вживав відомий афоризм Д. І. Менделєєва «Нафта не паливо,
2020 Mathematics Subject Classification: 70H25, 01A72
Ключові слова: Ґраве; Кільчевський; принцип Гамільтона; в’язі; коливання рідини
з вільною поверхнею
DOI : http://dx.doi.org/10.3842/trim.v20n1.531
873
874 О. Лимарченко
опалювати можна й асигнаціями». В роботі буде дано опис розшире-
них можливостей методів аналітичної механіки суцільних середовищ в
теоретичному і конструктивному напрямках.
1. МИКОЛА ОЛЕКСАНДРОВИЧ КІЛЬЧЕВСЬКИЙ, 1909–1979
Мені пощастило бути аспірантом академіка АН УРСР Миколи Оле-
ксандровича Кільчевського. Під час навчання в Київському універси-
теті він мені не читав лекції, але за підказкою досвідчених доцентів ка-
федри теоретичної механіки, на якій я проходив спеціалізацію, я позна-
йомився з М. О. Кільчевським і після коротких обговорень і уточнень
теми дипломної роботи саме під його керівництвом я провів досліджен-
ня задачі про імпульсне збурення руху стисливого газу в циліндричній
камері. В ході двох зустрічей з ним я одержав пропозицію вступити
до нього в аспірантуру. Для мене було дивним, але щонайменше п’ять
осіб з університету і з Інституту механіки АН УРСР застерігало мене
від вступу в аспірантуру саме до М. О. Кільчевського. Але я пообі-
цяв, перейшов на роботу в Інститут механіки АН УРСР, вступив до
аспірантури, достроково захистив кандидатську дисертацію і ніколи не
шкодував що пішов працювати саме з М. О. Кільчевським. Спочатку
М. О. Кільчевський прохолодно до мене відносився, проте «проекза-
менувавши» мене по ряду питань (наукових і загальних) став відноси-
тися більш приязно. На моє прохання визначити мені тему дисертації
він відповів, що дурням визначає теми сам, а розумні це мають робити
самостійно. Через тиждень я запропонував тему, яку він схвалив, хоча
відмітив, що очікував інший напрямок. Так я став займатися задача-
ми динаміки конструкцій з рідиною з вільною поверхнею, причому з
перших кроків в сумісній і в нелінійній постановці. Нашим бесідам не
лише за темою моєї роботи сприяло те, що Б. Є. Патон, який сам слу-
хав лекції М. О. Кільчевського, направляв Миколі Олександровичу на
експертизу проєкти всіх «вічних двигунів» і «безінерційних рушіїв», які
надходили до Президії АН УРСР. Зазвичай М. О. Кільчевский давав
по черзі такі проєкти своїм аспірантам, а потім уважно слухав підготов-
лені версії відгуків аспірантів, уточнював їх і за підписами академіка
та аспіранта цей відгук повертався до Президії АН УРСР. Поступово
я «набив руку» і майже всі відгуки писав сам. При обговоренні таких
проєктів дрібниць не було. Я підлягав жорсткій критиці як за мане-
ри побудови речень на наукові теми, так і за стиль написання. За що
я безмежно вдячний М. О. Кільчевському: стиль викладення матеріа-
лу він мені прищепив. Часто також М. О. Кільчевський доручав мені
готувати відгуки на автореферати дисертацій.
Розширені можливості аналітичної механіки 875
М. О. Кільчевський не був би собою якби під час різних обговорень
таких проєктів і моїх досліджень він би не робив посилання на свій
попередній досвід, своїх колег і свою наукову школу. З величезною
вдячністю він згадував Д. О. Ґраве, якого вважав своїм керівником.
Згадуючи про Д. О. Ґраве Микола Олександрович завжди відзначав
його наукову і культурну енциклопедичність. Він був науковим експер-
том по широкому колу питань, завжди звертав увагу на культурний
рівень співробітників. Учениця Д. О. Ґраве Т. В. Путята розповідала
що на квартирі Д. О. Ґраве відбувалися зустрічі аспірантів і співро-
бітників, на яких обов’язковою складовою було виконання музичних
партій на фортеп’яно. Більш того, Д. О. Ґраве міг сказати приблизно
наступне: «Ваше виконання цього твору свідчить, що сьогодні ви не го-
тові до наукової консультації». Тобто він через музику бачив духовний
стан і схильність до творчості. Він вчив всіх добрим манерам, новинкам
культури та новим поглядам в науці. М. О. Кільчевський розповідав,
що Д. О. Ґраве все життя відточував свою лекційну майстерність. З
посмішкою він розповідав про один методичний винахід Д. О. Ґраве.
Щоб наголосити, що деякі величини в математиці й механіці не є ма-
лими, він малював диференціал і деякі вектори ледь не на всю дошку,
при цьому він сильно вдаряв крейдою в точці початку вектора, а по-
тім через декілька кроків вздовж дошки завершував новим ударом по
дошці кінець вектора. Тому, коли інколи було чутно значний шум, то
всі з посмішкою казали, що турбуватися не треба, просто Д. О. Ґраве
дійшов до зображення диференціала. Д. О. Ґраве казав, що на лекції
викладач має бути й знавцем, і педагогом, і актором одночасно.
На початку минулого століття в механіці було два потужних «стриб-
ка»: первинне формування асимптотичних методів нелінійної механіки
та перегляд деяких положень плідної на той час теорії оболонок. Ще
А. Айнштайн вказав на певну суперечність теорії оболонок, яке було
пов’язане з тим, що класичні методи теорії оболонок приводили до елі-
птичних крайових задач з нескінченими швидкостями поширення збу-
рень, а фізично вірогідними мали б бути гіперболічні постановки за-
дач, яким притаманні скінчені швидкості поширення збурень. Відомо
про контакти Д. О. Ґраве з А. Aйнштейном з питань теорії відносності
(я не бачив офіційного підтвердження цього, проте були згадки про
це) і не виключено, що й ширше коло питань обговорювалося ними.
В Київському політехнічному інституті в ті часи працював С. П. Ти-
мошенко, який в контакті з П. С. Еренфестом створив теорію балок і
оболонок, яка вже призводила до систем рівнянь гіперболічного типу.
Проте ця теорія, яка включала інерцію зсувних рухів перерізів пру-
жних тіл, не виглядала строго математично обґрунтованою. З точки
876 О. Лимарченко
зору М. О. Кільчевського це була теорія, що включала додаткову ме-
ханічну гіпотезу, яка не виглядала бездоганно обґрунтованою. Тому на
початку 30-х років минулого століття М. О. Кільчевський і незалежно
І. М. Векуа почали створення нових математично обґрунтованих тео-
рій оболонок. Як підсумок такої успішної роботи М. О. Кільчевський в
1939 році захистив докторську дисертацію. Через смерть Д. О. Ґраве
науковим консультантом цієї роботи виступив І. Я. Штаєрман. Пізні-
ше М. О. Кільчевський був залучений до виконання різних оборонних
замовлень, а потім зосередив свою увагу на задачі про динамічне конта-
ктне стискання твердих тіл, за що був нагороджений Державною пре-
мією УРСР, а потім послідовно був обраний членом-кореспондентом
АН УРСР і академіком АН УРСР. Крім того М. О. Кільчевський був
обраний до складу бюро Національного Комітету СРСР з теоретичної
та прикладної механіки, що автоматично включало його до складу за-
прошених гостей на засідання Академії наук СРСР, тому він був у
курсі всіх основних новин наукового життя і мав численні контакти з
колегами не лише з України.
М. О. Кільчевському належить видатний двотомний підручник з те-
оретичної механіки. Ця книга є не лише книгою з теоретичної меха-
ніки, а є ще й видатною роботою з філософії природничих наук. В
90-ті роки я познайомився з академіком НАН України М. В. Попови-
чем, відомим філософом, політиком. Він розповідав, що у свої молоді
роки читав лекції з філософії природознавства студентам, інженерам.
Одного разу після лекції він одержав від досвідченого слухача значну
порцію критики та настанову, що йому слід прочитати підручник з тео-
ретичної механіки М. О. Кільчевського, щоб впорядкувати свої знання.
М. В. Попович розповідав мені, що він був в захваті від цього підру-
чника і навіть не очікував що одержить таке джерело для подальшого
розуміння проблем. Що вже казати про значення цього підручника для
фахівців-механіків. Характерною рисою цього підручника є викладен-
ня механіки як складової частини природознавства в цілому і матема-
тики, а не просто інженерії, що безумовно було зроблено під впливом
робіт Д. О. Ґраве [9, 15].
Надалі М. О. Кільчевський приділив основну увагу розвиненню ме-
тодів аналітичної механіки континуальних систем. Він зі співавторами
випустив три монографії «Основы аналитической механики оболочек»,
«Лекции по аналитической механике оболочек», «Аналитическая ме-
ханика континуальных систем». Роки, стан здоров’я брали своє і свою
публікаційну активність він знизив. Проте мені пощастило під час чи-
сельних зустрічей з М. О. Кільчевським обговорити багато наукових і
науково-методичних проблем аналітичної механіки та, я думаю, вірно
Розширені можливості аналітичної механіки 877
зрозуміти його ставлення до багатьох етапів цієї теорії, основні етапи
якої я надалі спробую донести до читачів. Звичайно ці положення зна-
чною мірою переломлені через мій досвід і моє засвоєння (сподіваюся
не хибне) цих проблем.
2. ОСНОВНІ ПЕРЕВАГИ МЕТОДІВ АНАЛІТИЧНОЇ МЕХАНІКИ В ЗАДАЧАХ
РУХУ СУЦІЛЬНИХ СЕРЕДОВИЩ
Викладення матеріалу в цьому розділі проводиться на основі ідей і
формулювань М. О. Кільчевського, але в моїй інтерпретації й з моїми
осучасненими уточненнями та доповненнями й переважно не на основі
статей, книжок, а на основі бесід під час консультацій в період мого
навчання в аспірантурі. Тому за всі неточності та недоліки беру відпо-
відальність на себе.
Варіаційні принципи механіки бувають різними. В основному їх по-
діляють на дві групи: диференціальні та інтегральні принципи. Між
собою ці принципи поділяються як формою функціоналів, так і ви-
бором рухів порівняння. Традиційно випадки, коли не існує функці-
оналів, а є лише варіаційні співвідношення, називають варіаційними
принципами умовно. М. О. Кільчевський особливу глибину змісту ба-
чив саме у виборі рухів порівняння. Багаторічні дослідження в галузі
варіаційних принципів свідчать про те, що найчастіше використовує-
ться варіаційний принцип Гамільтона – Остроградського, який до то-
го ж є найбільш універсальним і конструктивним в плані одержання
прикладних результатів. Тому надалі в цій роботі будемо орієнтувати-
ся на цей варіант варіаційного принципу. Насамперед слід визначити
співвідношення між системою законів Ньютона і варіаційними прин-
ципами механіки. Значна частина дослідників відводять варіаційному
принципу Гамільтона – Остроградського підпорядкований статус, став-
лячи на перше місце закони Ньютона. В більшості підручників з ме-
ханіки доведенням коректності варіаційного принципу вважається те,
що варіаційний принцип Гамільтона – Остроградського можна виве-
сти з рівнянь Ньютона (коректніше з диференціального варіаційного
принципу Даламбера – Лагранжа). Проте ще з часів П. Мопертюі має
право на життя й інша думка, що в побудові основних законів механіки
варіаційні принципи та закони Ньютона є еквівалентними [14].
Найбільш повно основні переваги варіаційних принципів механіки
були викладені в [14]. В основному вони зводяться до таких властиво-
стей.
1. Інваріантність формулювань варіаційних принципів відносно гео-
метрії вивчаємих областей, що створює значні переваги при досліджен-
ні задач з неканонічними формами областей.
878 О. Лимарченко
2. Використання варіаційних принципів в механіці суцільних сере-
довищ забезпечує коректність постановки крайових задач. При цьому
кінематичні граничні умови є неодмінною складовою частиною реа-
лізації варіаційних принципів і мають бути задовільнені заздалегідь, а
динамічні граничні умови є природними для варіаційних формулювань
задач. Тому форма і кількість граничних умов є невіддільною складо-
вою реалізації варіаційного апарату. Більш того, цей апарат не буде
працювати для некоректно поставлених задач, що відразу викликає
потребу в ревізії вихідної постановки проблеми і, більш того, вказує на
місце, де ця ревізія потрібна.
3. Варіаційні принципи природним чином описують рух всіх компо-
нент системи та її взаємодію на основі властивості адитивності енерге-
тичних характеристик. Варіювання призводить до одержання в аналі-
тичному вигляді сил взаємодії між компонентами. Адитивність енер-
гетичних характеристик дозволяє поєднувати механічні системи з під-
системами немеханічної природи, наприклад, з тепловими явищами,
електромагнітними тощо.
4. Основні складності методичного типу, які потребують значної ува-
ги при застосуванні методів розв’язання заснованих на постановках
задач в диференціальному вигляді, стають схованими при формальній
реалізації алгоритмів варіаційних методів і долаються на етапі фор-
мального виконання техніки варіювання.
Існує також розширення варіаційного принципу на релятивістські
системи, проте тут ми не будемо аналізувати цю тему. Зазвичай вва-
жалося що саме цим вичерпувалися можливості варіаційних принципів.
М. О. Кільчевський наголошував, що головним у варіаційних принци-
пах механіки є не саме екстремальне співвідношення, а вибір варіацій
змінних, рухів порівняння. Нагадаємо, що в варіаційному принципі Га-
мільтона – Остроградського варіації змінних визначають рухи порів-
няння та обираються як можливі переміщення додатково наділені ви-
могою ізохронності. Отже, в підсумку рухи порівняння визначаються
як
1) малі переміщення точок системи,
2) які в заданий момент часу (час зупинено)
3) задовольняють кінематичним обмеженням задачі (в’язям, а у ви-
падку суцільного середовища ще і іншим обмеженням) і є
4) ізохронними.
Отже, пункт 1) визначає техніку варіювання функціонала, пункти 2)
і 3) визначають характер задовільнення в’язей, а пункт 4) дозволяє спе-
цифікувати екстремалі. Головною проблемою є звичайно задовільнення
в’язей. М. О. Кільчевський взагалі вважав, що «аналітична механіка
Розширені можливості аналітичної механіки 879
є наукою про в’язі». На основі аналізу в’язей і їх порівняння згідно з
його підходом можна зробити багато корисних висновків про поведінку
системи.
Новим елементом, який був відзначений у бесідах із М. О. Кільчев-
ським було визначення міри обмеження руху системи, яке накладає-
ться в’язями. Передумовою є відома теорема [8] про збільшення частот
коливань при накладанні в’язей. Покажемо хід такого аналізу на при-
кладі руху резервуара з рідиною. Відомо, що сумісний рух резервуара
з рідиною з вільною поверхнею описується достатньо складною модел-
лю [13], проте у випадку задачі про визначення частот задача значно
спрощується. Система резервуар – рідина при поступальному і куто-
вому рухах тіла–носія в режимі сумісного руху складових системи в
рамках лінійної моделі з утриманням в рівняннях лише першої анти-
симетричної форми коливань рідини описується такою математичною
моделлю:
ä1 +
1
αv
1
ε̈xB
1
1x +
1
αv
1
α̈2E
1˚
11 + ω2
1a1 = 0,
ρ
Mr +Ml
ä1B
1
1x + ε̈x +
ρ
Mr +Ml
α̈2F
1
2 = 0,
ä1E
1˚
11 + 2ε̈xF
1
2 + 2α̈2
(
1
ρ
J22
res + E2
11
)
+
+ α2
2g
ρ
[
Mr
(
l +
H
4
)
+Ml
(
l +
H
2
)]
= 0.
(2.1)
Тут a1 амплітуда збудження коливань рідини за першою антисиме-
тричною формою, εx і α2 – параметри поступального і кутового ру-
ху резервуара. Ці параметри є незалежною сукупністю параметрів, які
повністю характеризують рух системи. В рівняннях також використано
такі позначення ρ – густина рідини, g – прискорення вільного падіння,
H – рівень заповнення,Mr іMl – маса резервуара і рідини, hl і hr – змі-
щення центрів ваги рідини і резервуара відносно площини незбуреної
вільної поверхні, Iijres – тензор інерції резервуара, визначений відносно
полюса, стосовно якого описується обертання резервуара. Індексні кое-
фіцієнти є мірами зв’язаності руху рідини в резервуарі із поступальним
і кутовим рухом (вони докладно проаналізовані в [13]).
Розглянемо дві задачі. Нехай резервуар не рухається. В цьому ви-
падку друге і третє рівняння системи (2.1) виключаються, а з першого
рівняння визначається частота коливань рідини:
ω0 =
c
κ1g
R
tanh κ1H
R
.
880 О. Лимарченко
Розглянемо другу задачу. Нехай тепер резервуар може здійснювати
рух в горизонтальному напрямку. Що відбулося з точки зору аналі-
зу в’язей? Фактично в’язь, яка обмежувала поступальний рух, знята.
Виходить, що частота має зменшитися. Проте, визначення частоти су-
місних коливань системи на основі рівнянь сумісного руху призводить
до такої залежності
ω2 =
ω2
0
1 ´ ρ(B1
1x)
2
αx
1(Ml +Mr)
.
Вираз у знаменнику менший за одиницю, оскільки всі змінні додатні
та, беручи до уваги що знаменник більше за нуль, виходить, що часто-
та неочікувано збільшилася. На основі підходу аналітичної механіки
та властивостей в’язей це могло відбутися лише внаслідок накладан-
ня нових в’язей. Дійсно, після зняття обмеження на поступальний рух
резервуара, друге рівняння системи можна проінтегрувати та з нього
одержується фактично закон збереження положення центру мас систе-
ми (це випливає також з теореми про рух центру мас системи).
Таким чином ми з’ясували що з’явилася нова в’язь, яка до того ж
призвела до збільшення частоти (цю в’язь можна одержати просто без-
посереднім інтегруванням другого рівняння за часом).
І тут висновок, який в літературі відсутній: обмеження на рух, об-
умовленому в’язями при закріпленні резервуара, є меншими, ніж обме-
ження, які накладає в’язь, що визначає незмінність положення цен-
тру мас системи. Фактично в цьому алгоритмі схований метод по-
будови рейтингу в’язей за мірою їхнього впливу на обмеження рухів
точок системи.
В ході таких обговорень М. О. Кільчеський ще відзначав, що наслід-
ки багатьох гіпотез, які додатково приймаються для спрощення поста-
новок задач, можна проаналізувати до розв’язання задачі з позицій
аналізу в’язі. Треба відзначити, що кінематичні обмеження в задачах
механіки суцільного середовища можуть приймати незвичні форми в
порівнянні із задачами механіки дискретних систем.
Наприклад, умова нерозривності (вимога суцільності руху рідини)
для випадку потенціального руху ідеальної нестисливої рідини набу-
ває вигляду ∆φ = 0 і стає для задачі течії рідини старшим диференці-
альним оператором. До кінематичних обмежень слід також відносити
умови збереження об’єму рідини та умови розв’язуваності крайових за-
дач, які теж набувають незвичних форм. Проте надалі такі умови не
випливають з варіаційного принципу Гамільтона – Остроградського (не
Розширені можливості аналітичної механіки 881
є природними) і тому мають бути задовільнені на рівні кінематичних
в’язей до розв’язання варіаційної задачі.
Другий принциповий момент полягає в оцінюванні потенціальних
можливостей варіаційних принципів в конструктивному напрямку. За
часів М. О. Кільчевського варіаційні принципи використовувалися ли-
ше для доведення їхньої еквівалентності постановкам задач виведених
на основі законів Ньютона або для виведення математичної моделі си-
стеми. Найчастіше після одержання математичної моделі задачі по-
чиналося застосування різних спрощувальних гіпотез і різних методів
побудови розв’язку. Однією з проблем було і те, що в складних зада-
чах механіки, які описували сумісний рух декількох компонент систе-
ми, одержувалася математична модель неоднорідної структури, напри-
клад, зв’язані системи диференціальних рівнянь в частинних і повних
похідних, рівняння руху рідини та пружного тіла в ейлерових і лагран-
жевих змінних (для яких по-різному задаються граничні умови).
Принциповою пропозицією, яка випливала зі спілкування з М. О. Кіль-
чевським, було безпосереднє застосування різних методів розв’язання
і гіпотез спрощення до варіаційного формулювання задачі. В більшо-
сті задач це приводило до одержання математичної моделі однорідної
структури у вигляді системи звичайних диференціальних рівнянь від-
носно амплітудних параметрів руху складових механічної системи. Ма-
ло того, як правило значно спрощувалося виділення незалежних варі-
ацій, а в більшості випадків вдавалося побудувати функцію Лагранжа
відносно амплітудних параметрів і потім одержати математичну мо-
дель на основі диференціальних рівнянь Лагранжа другого роду. І тут
в нагоді був метод Канторовича [11], згідно з яким для задач механі-
ки математично обґрунтовано вдається ввести представлення розв’язку
задачі з відокремленими амплітудними параметрами. Цікаво що в дру-
гій половині 90-х років з’явився метод Курхенена – Леві, в якому були
використані подібні ідеї, хоча ми з М. О. Кільчевським обговорювали
такі способи в другій половині 70-х, а в 1979 я захистив кандидатську
дисертацію з використанням цього методу.
Для більш глибокого розуміння нововведень представимо дві схеми
використання варіаційних принципів механіки. Умовно їх назвемо кла-
сична схема і модифікована схема.
Класична схема. При задовільненні всіх кінематичних обмежень за-
дачі будується функція Лагранжа для механічної системи. При про-
веденні процедури виділення незалежних варіацій на виході одержую-
ться рівняння руху системи, динамічні граничні умови, сили взаємодії
між складовими компонентами системи в аналітичному вигляді. В за-
лежності від складу компонент системи, що досліджується, одержана
882 О. Лимарченко
математична модель може мати неоднорідну математичну структуру.
Звернемо увагу, що конструктивна складова в плані наближення до
розв’язання системи рівнянь в принципі відсутня.
Модифікована схема. При задовільненні всіх кінематичних обмежень
задачі будується функція Лагранжа для механічної системи. Форма
шуканого розв’язку спрощується на основі різних ідей розділення ру-
хів, до яких входять частотне і амплітудне розділення рухів (асимпто-
тичні методи нелінійної механіки), просторове розділення рухів (метод
Канторовича, інші варіаційні методи математичної фізики в тому числі
і методи поточкової дискретизації, наприклад, метод скінчених елемен-
тів, масштабне розділення рухів на основі методу вейвлетів), викори-
стання гіпотез, емпіричних і експериментальних співвідношень. Важли-
вою рисою використання методів розв’язання на етапі до вживання те-
хніки варіювання є властивість вперше відмічена Л. А. Коздобою [12],
яка полягає в тому, що всі наближення, що використовуються в рамках
реалізації варіаційного принципу Гамільтона – Остроградського набу-
вають властивостей ізоенергетичності. Тобто на цьому етапі викори-
стання наближень не порушує законів збереження енергії. Вживання
таких методів у відриві від варіаційного принципу вже не має таких
властивостей. При проведенні процедури виділення незалежних варіа-
цій або при одержанні рівнянь на основі перетвореної функції Лагран-
жа на виході одержуються рівняння руху системи, які задовільняють
динамічним граничним умовам, сили взаємодії між складовими ком-
понентами системи в аналітичному вигляді, виражені в амплітудних
параметрах. Одержана модель є системою звичайних диференціальних
рівнянь (має однорідну математичну структуру). Кількість рівнянь мо-
делі дорівнює кількості ступенів вільності механічної системи, тобто з
точки зору розмірності така модель є мінімальною. Одержана система
рівнянь просто зводиться до форми Коші, що створює передумови для
подальшого використання якісних методів диференціальних рівнянь і
методів чисельного інтегрування.
Саме такий підхід був основою для дослідження нелінійних коли-
вань рідини з вільною поверхнею в сумісній постановці задачі, що до-
зволило вперше розв’язати задачі про рух систем при кутовому русі
конструкції-носія, рух рідини в резервуарах різної геометричної фор-
ми, параметричні коливання резервуарів з рідиною, задачі керування
рухом конструкцій з рідиною, динаміку трубопроводів з рідиною, що
тече [1, 2, 4, 13].
Зараз варіаційні методи механіки активно використовуються в рі-
зних розділах механіки. Тенденція така, що чим складніша задача і
Розширені можливості аналітичної механіки 883
чим більше в цій задачі складових (часто навіть немеханічної приро-
ди), тим частіше використовуються варіаційні принципи. Слід відзна-
чити також, що традиційно українські вчені частіше використовують
варіаційні принципи механіки в порівнянні з вченими інших країн. На-
приклад, в Інституті математики НАН України М. О. Луковський і
О. М. Тимоха активно розвивають варіаційні методи дослідження за-
дач механіки рідини з вільною поверхнею на основі варіаційного прин-
ципу Бейтмена, а раніше співробітники цієї школи активно використо-
вували варіаційні методи для дослідження задач про визначення частот
і форм коливань рідини, включаючи задачі про гідропружні коливан-
ня. Ризикну стверджувати, що ніде у світі так плідно і конструктивно
варіаційні принципи механіки не вживаються. Найбільш ймовірно що
саме вплив Д. О. Ґраве і М. О. Кільчевського і їх численних учнів-
викладачів обумовив своєрідне сприйняття українськими вченими ва-
ріаційних принципів механіки.
3. КОЛИВАННЯ РІДИНИ З ВІЛЬНОЮ ПОВЕРХНЕЮ В РЕЗЕРВУАРАХ
НЕЦИЛІНДРИЧНОЇ ФОРМИ
Одним із яскравих прикладів застосування варіаційного принципу
Гамільтона – Остроградського з поглибленим аналізом кінематичних
обмежень задачі є задача про нелінійні коливання ідеальної однорідної
рідини в резервуарі у формі тіла обертання.
Ця задача є актуальною в теоретичному і практичному сенсі й, попри
давнє обговорення способів її розв’язання, існує мало практичних алго-
ритмів реалізації таких підходів. Звичайно це пов’язане із нециліндри-
чністю області, яку займає рідина, і тою властивістю, що математична
задача для рідини ставиться для області, яка знаходиться нижче рівня
вільної поверхні, а розв’язок задачі має задовільняти умові неперетіка-
ння на тій частині стінки, яка заходиться вище рівня вільної поверхні
(де спочатку рідини немає), оскільки туди підіймаються гребні хвиль.
Проте ця частина стінки в традиційну математичну постановку взагалі
не входить.
Вважаємо, що резервуар здійснює поступальний рух, стінки резерву-
ара є абсолютно твердими, рух рідини є безвихровим. За основу побу-
дови розв’язувальної системи рівнянь взято метод [13], який оснований
на використанні варіаційного принципу Гамільтона – Остроградського,
і використовувався для випадку порожнин циліндричної форми.
Ставимо задачу побудувати математичну модель системи в ампліту-
дних параметрах коливань вільної поверхні рідини за власними форма-
ми та параметрах руху резервуара. Варіаційний принцип Гамільтона –
884 О. Лимарченко
Остроградського для такої системи має вигляд
δI = 0, де L =
t2ż
t1
Ldt, L = T ´ Π. (3.1)
Тут функція Лагранжа має вигляд
L =
1
2
ρ
ż
τ
(∇⃗φ+ ˙⃗ε)2dτ +
1
2
Mr( ˙⃗ε)
2 + ρ
ż
τ
g⃗ ¨ r⃗dτ ´ (Mr +Ml)εzg. (3.2)
У цих рівняннях T і Π відповідно кінетична і потенціальна енергія си-
стеми, φ є потенціалом хвильового руху рідини, ˙⃗ε – поступальна швид-
кість руху резервуара, r⃗ – радіус-вектор довільної точки рідини віднос-
но центру незбуреної вільної поверхні рідини, яка обрана за початок
системи координат незмінно зв’язаної з резервуаром, n⃗ – одиничний
вектор нормаль до поверхні, ρ – густина рідини, Mr і Ml маса рідини
та резервуара, g⃗ = t0, 0,´gu, де g – прискорення вільного падіння.
Надалі будемо також використовувати позначення τ – область, яку
займає рідина, S – збурена вільна поверхня рідини, Σ – змочувана по-
верхня контакту рідини з резервуаром у збуреному русі. Ці ж величини
з індексом «0» є відповідними параметрами у незбуреному стані. По-
значимо також ∆Σ = Σ ´ Σ0 – зміна змочуваної поверхні контакту
рідини з резервуаром, яка обумовлена збуреним рухом системи.
Для ефективного розв’язання задачі з використанням методу збу-
рень треба, щоб незбурена вільна поверхня і поверхня контакту ріди-
ни з резервуаром були координатними поверхнями. Для цього замість
циліндричної системи координат введемо недекартову параметризацію
області, яку займає рідина
α =
r
f(z)
, β =
z
H
.
В цих співвідношеннях r = f(z) є рівнянням твірної тіла обертання, яке
утворює резервуар, H – глибина заповнення резервуара рідиною. Тепер
площина β = 0 співпадає із незбуреною вільною поверхнею рідини S0, а
поверхня α = 1 співпадає з незбуреною бічною поверхнею контакту рі-
дини з резервуаром Σ0. В параметрах α, θ, β, які введені замість цилін-
дричної системи координат (θ – кутова координата циліндричної систе-
ми) область рідини τ набуває циліндричної форми (α P [0, 1], θ P [0, 2π]
і в незбуреному стані β P [´1, 0]).
Розширені можливості аналітичної механіки 885
Виходячи з циліндричності області у новій параметризації рівняння
вільної поверхні рідини в збуреному русі можна представити у розв’яза-
ному вигляді відносно координати β
β =
1
H
ξ(α, θ, t). (3.3)
Така форма представлення вільної поверхні (3.3) дозволяє ефективно
застосувати метод збурень і метод Канторовича для побудови неліній-
ної скінченновимірної моделі динаміки резервуара з рідиною з вільною
поверхнею у випадку резервуара у вигляді тіла обертання.
Згідно з варіаційним принципом Гамільтона – Остроградського (3.1),
(3.2) варіації змінних мають задовільняти всім кінематичним обмеже-
нням задачі, до яких відносяться
а) ∆φ = 0 в області τ , яке є рівнянням нерозривності для руху рідини
в збуреній області τ ;
б) Bφ
Bn = 0 на поверхні Σ або в розгорнутій формі Bφ
Br ´ f 1 Bφ
Bz = 0 при
r = f(z);
в) Bξ
Bt +
1
f2
Bξ
Bα
Bφ
Bα + 1
α2f2
Bξ
Bθ
Bφ
Bθ ´ αf 1
f
Bξ
Bα
Bφ
Bz = Bφ
Bz на збуреній вільній поверхні
S, що є вимогою збігу руху в напрямку нормалі частинок рідини та
руху точок вільної поверхні рідини;
г) до кінематичних обмежень слід віднести умову розв’язуваності кра-
йової задачі Неймана для рівняння Лапласа для збуреного об’єму
рідини τ . Представимо цю умову у такому вигляді
ż
Σ0
Bφ
Bnds+
ż
∆Σ0
Bφ
Bnds+
ż
S
Bφ
Bnds = 0. (3.4)
Згідно з ідеями аналітичної механіки через те, що ці три інтеграли
являють собою обмеження на різних поверхнях, кожен з цих доданків
має бути нульовим. За своїм змістом ці умови відповідають вимогам
збереження об’єму рідини в її збуреному русі. Рівність нулю першого
інтеграла дублює умову неперетікання на бічній поверхні резервуара.
Третя умова може бути перетворена до вигляду
ż
S
Bφ
Bnds =
ż
S0
Bξ
Bt ds,
що фактично є вимогою збереження об’єму рідини при збуреному русі її
вільної поверхні. Другий член обумовлений нелінійністю формулюван-
ня задачі і відповідає вимозі задовільнення умові неперетікання рідини
на гребенях хвиль, тобто цей член відповідає за рух рідини вище рівня
886 О. Лимарченко
незбуреної вільної поверхні та фактично є вимогою, щоб рідина «від-
стежувала» стінку резервуара при підйомах над незбуреною вільною
поверхнею.
Проведений аналіз кінематичних обмежень задачі містить певні ори-
гінальні моменти. Умова а), попри те, що вона описується диференці-
альним оператором старшого порядку, по суті є кінематичним обме-
женням, проте воно задається не на якійсь границі, а у всьому об’ємі.
Умова г), яка є наслідком умови розв’язуваності крайової задачі, роз-
падається на три умови, з яких одна є залежна, друга є умовою збере-
ження об’єму рідини, а третя відповідає вимозі, щоб рідина над вільною
поверхнею «відстежувала» тверду стінку. Зауважимо, що в традицій-
ній постановці задачі та при використанні методів збурень інформація
про стінку резервуара над вільною поверхнею рідини в постановку за-
дачі взагалі не входить. Тому в більшості методів розв’язання задач
коливань рідини в резервуарах нециліндричної форми цією умовою не-
хтують.
Всім цим кінематичним обмеженням а)-г) треба задовільнити до роз-
в’язання варіаційної задачі. При виведенні математичного формулю-
вання цих обмежень ми скористалися підходами аналітичної механіки.
Всі ці обмеження за своєю природою є кінематичними (вони не зале-
жать від законів руху), проте частина з них не збігається з граничними
умовами, які в багатьох роботах вважають єдиним джерелом виникне-
ння кінематичних обмежень. Зокрема, обмеження а) і третя частина
умови розв’язуваності крайової задачі не є наслідком граничних умов.
Перейдемо тепер до виконання всіх кінематичних обмежень задачі.
Відомо, що задача про визначення частот і форм коливань рідини при-
водиться до такого вигляду
∆φ = 0 в τ, Bφ
Bn = 0 на Σ0,
Bφ
Bn = λφ на S0. (3.5)
Згідно з цією постановкою задачі розв’язки будуть задовільняти кіне-
матичному обмеженню а), кінематичній граничній умові на поверхні
контакту резервуар-рідина Σ0, але без виконання умови на ∆Σ і лі-
нійній частині кінематичної граничної умови на вільній поверхні S0.
Така задача успішно розв’язується на основі методу Рітца з використа-
нням частинних розв’язків рівняння Лапласа у формі гармонічних по-
ліномів [13], які одержуються шляхом приведення частинних розв’язків
рівняння Лапласа у сферичних координатах до циліндричної системи
координат.
Проілюструємо цю задачу на рис. 3.1. Формулювання задачі роби-
ться для τ з бічною границею Σ і вільною поверхнею S. Згідно з не-
лінійного формулювання задачі рідина має відстежувати стінку над
Розширені можливості аналітичної механіки 887
вільною поверхнею, тобто вона має задовільняти умові неперетікання
над вільною поверхнею рідини на поверхні ∆Σ (на малюнку на дузі
AA0).
РИС. 3.1. Загальний вигляд області, яку займає рідина
Для довільної точки A ця вимога може бути записана у вигляді роз-
кладу у ряд Тейлора
Bφ
Bn
ˇ̌
ˇ̌
A
=
Bφ
Bn
ˇ̌
ˇ̌
A0
+ ξ
B2φ
BnBτ1
ˇ̌
ˇ̌
A0
+
1
2
ξ2
B3φ
BnBτ21
ˇ̌
ˇ̌
A0
+ . . . = 0.
Тут через τ1 позначено вектор дотичного напрямку. Через довільність
збурень вільної поверхні ξ в точці A0 має виконуватися вимога
Bkφ
BnBτk´1
1
ˇ̌
ˇ̌
A0
= 0 для k = 1, 2, . . .
Дослідження показують, що нормальні похідні в точці A0 у випадку
нециліндричних резервуарів взагалі не існують через те, що точка A0 є
сингулярною. З другого боку не можна накладати на розв’язки крайо-
вої задачі другого порядку додаткові умови порядку вищого або рівного
за порядок основного рівняння, тобто умови порядку вище одиниці є
некоректними. В підсумку це свідчить про те, що не можна викори-
стовувати розв’язки задачі про власні частоти та форми коливань як
координатних функцій при розв’язанні нелінійної задачі, а також не
можна накладати якісь додаткові обмеження на задачу про вільні ко-
ливання рідини з метою виконання граничної умови неперетікання на
продовженні бічної поверхні резервуара, куди можуть досягати гребні
хвиль.
В роботах Н. Є. Жуковського було показано [10], якщо рідина з рів-
нем заповнення до точки A виконує коливання, то область рідини до
рівня A0 виконує такі ж самі рухи (в кінематичному сенсі) як і рідина
в резервуарі з об’ємом заповнення до рівня A0. Тобто додана частина
рідини на кінематику руху вихідної рідини (характер течії) не чинить
вплив за виключенням частот коливань. Тому було запропоновано ме-
тод допоміжної області [3] для визначення координатних функцій для
888 О. Лимарченко
розв’язання нелінійної задачі про коливання рідини з вільною поверх-
нею, які задовільняють граничній умові неперетікання на стінках ре-
зервуара вище рівня незбуреної вільної поверхні, куди можуть досягати
гребні хвиль.
Ідея методу полягає в тому, що розв’язується задача про вільні ко-
ливання рідини для області рідини із заповненням до точки A, далі
за координатні функції для області τ беруться визначені координатні
функції, які задовільняють умові неперетікання на поверхні Σ0 +∆Σ,
а за координатні функції на вільній поверхні рідини S0 беруться функ-
ції, які одержуються на горизонтальному перерізі, що проходить через
точку A0. За своїм характером метод є наближеним, проте він враховує
аналітичну природу розв’язку задачі про вільні коливання рідини і її
сингулярні властивості. Успішність подальшого використання методу
в основному визначається тим, що контур із сингулярними властиво-
стями фактично переноситься від рівня, який відповідає положенню
точки A0 на рівень точки A, куди рідина вже взагалі не досягає. Та-
ке винесення сингулярних точок за межі області рідини τ є типовим в
інших задачах механіки ідеальної рідини.
Практичне використання такого підходу для побудови координатних
функцій для представлення розв’язків нелінійної задачі динаміки ріди-
ни в різних резервуарах нециліндричної форми (конус, сфера, гіпербо-
лоїд, еліпсоїд, параболоїд [1,3]) дозволило досягнути відносної точності
задовільнення граничної умови на Σ0 порядку 10´5 і 10´3 на поверхні
∆Σ, що більше ніж в 100 разів краще ніж для функцій, визначених
за класичним методом. В підсумку це дозволяє з високою точністю за-
довільнити умовам розв’язуваності нелінійної задачі про рух рідини з
вільною поверхнею (3.3) і підвищує точність задовільнення законів збе-
реження енергії та маси, а також стійкість обчислювальних процедур.
Після використання розв’язків задачі на власні коливання рідини в
резервуарі доповненої методом допоміжної області лишаються не задо-
вільненими кінематична гранична умова на вільній поверхні та вимога
збереження об’єму рідини у збуреному русі. Згідно з [3] приймемо такі
представлення шуканих розв’язків, які для цієї задачі є фактично фор-
мою пошуку розв’язку за методом Канторовича. Крім того, через те,
що резервуар є тілом обертання надалі можливе відокремлення кутової
координати у представленні форми пошуку розв’язку.
ξ = ξ̄(t) +
ÿ
i
ai(t)ψ̄i(α)Ti(θ), φ =
ÿ
i
bi(t)ψi(α, β)Ti(θ), (3.6)
де
ψ̄i(α) =
Bψ
Bz
ˇ̌
ˇ̌
β=0
=
(
1
H
Bψi
Bβ ´ αf 1
f
Bψi
Bα
)ˇ̌
ˇ̌
β=0
.
Розширені можливості аналітичної механіки 889
Також введено позначення ξ̄(t) – функція, яка забезпечує виконання
закону збереження об’єму рідини у її збуреному русі і обумовлена не-
циліндричністю області τ , ψ̄i(α)Ti(θ) – форма коливань вільної поверхні
рідини, ψi(α, β)Ti(θ) – потенціал швидкості, що відповідає руху рідини
за цією формою. В представленні розв’язку (3.6) ai(t) і bi(t) є відповідно
амплітудними параметрами збудження коливань вільної поверхні ріди-
ни та потенціалу швидкостей, що відповідають i-й формі коливань.
Згідно з теоремою, що безвихровий рух ідеальної однорідної нести-
сливої рідини повністю визначається рухом її границь, змінні ai разом
з параметрами руху резервуара ε⃗ є незалежними параметрами, які ви-
значають рух границь області, а змінні bi і ξ̄ є залежними. Покаже-
мо як виконується виключення цих залежних змінних з кінематичних
обмежень, а саме з вимоги збереження об’єму рідини та кінематичної
граничної умови на вільній поверхні рідини. Зауважимо також, що са-
ме ці дві вимоги формулюються через нелінійні співвідношення і для
їхнього виконання будуть застосовані асимптотичні методи нелінійної
механіки з припущенням про малість збурень вільної поверхні рідини
ξ.
Величина ξ̄ визначається з вимоги збереження об’єму рідини у її збу-
реному русі. З використанням розкладу значення інтеграла зі змінною
верхньою границею в ряд по ξ в околі ξ = 0 одержимо з точністю до
величин третього порядку малості (праворуч всі функції f і їх похідні
беруться для β = 0).
∆V =
2πż
0
1ż
0
ξ/Hż
0
[f(Hβ)]2dβ
αHdαθ =
=
2πż
0
1ż
0
[
f2
ξ
H
+ ff 1 ξ2
H2
+ (f 12 + ff ”) ξ3
3H3
+ . . .
]
αHdαθ.
Якщо представити ξ̄ у вигляді розкладу за ступенями малості збу-
рення вільної поверхні рідини ξ, ξ̄ = ξ̄1 + ξ̄2 + ξ̄3 + ξ̄4 (нижній індекс
відповідає порядку малості величини відносно значення ξ), то одержи-
мо (величини з верхнім індексом «v» є інтегралами від форм коливань,
вираз для яких тут не приводяться)
ξ̄1 = 0, ξ̄2 = ´ f 1
πf
ÿ
i,j
aiajβ
v
ij ,
ξ̄3 = ´f 12 + ff ”
3πf2
ÿ
i,j,k
aiajakγ
v
ijk, . . .
(3.7)
890 О. Лимарченко
Тепер після знаходження залежності ξ̄ від ai представлення розв’язку
задачі (3.6) задовільняє вимозі збереження об’єму рідини з точністю до
величин третього порядку малості відносно ξ.
Для визначення залежності bi від ai скористаємося методом Гальор-
кіна. Введемо до розгляду диференціальний оператор
L˚(ξ, φ) = Bξ
Bt +
1
f2
Bξ
Bα
Bφ
Bα +
1
α2f2
Bξ
Bθ
Bφ
Bθ ´ αf 1
f
Bξ
Bα
Bφ
Bz ´ Bφ
Bz = 0.
Виходячи з того, що система функцій ψ̄k є формами коливань вільної
поверхні, а значить вони є повною системою функцій, скалярні добутки
нев’язок визначимо за схемоюż
S0
L˚(ξ, φ)
ˇ̌
S
ψ̄kdS = 0, k = 1, 2, . . . ,
при цьому диференціальний оператор L˚ розкладається в ряд за сте-
пенями ξ, що еквівалентно його проєктуванню на незбурену вільну по-
верхню S0. Після підставлення розкладів шуканих невідомих (3.6) одер-
жимо наступні вирази для залежності величин bi від ai
b(1)p =
ÿ
i
ȧiβ
0
ip, b(2)p =
ÿ
i.j
ȧiajγ
0
ijp,
b(3)p =
ÿ
i.j,k
ȧiajakδ
0
ijkp, b(4)p =
ÿ
i.j,k,l
ȧiajakalh
0
ijklp.
(3.8)
У співвідношення (3.8) входять коефіцієнти, що визначаються через
квадратури від функцій ψ̄k і ψk по незбуреній вільній поверхні. Після
визначення залежностей (3.7) і (3.8) параметри ak можна вважати пов-
ною незалежною системою змінних, що характеризують рух обмежено-
го об’єму рідини (у випадку рухомого резервуара треба до цих параме-
трів ще додати параметри руху тіла-носія). Ці залежності встановлені
аналітично (у квадратурах) для довільної кількості форм коливань до
розв’язання варіаційної задачі. Тепер розклади шуканих змінних (3.6),
доповнені співвідношеннями (3.7) і (3.8), відповідають вільній механі-
чній системі, рух якої визначається незалежними параметрами ak, що
характеризують рух вільної поверхні рідини та параметрам ε⃗, що ха-
рактеризують рух тіла-носія.
Оскільки основною метою цієї роботи є викладення розширених мо-
жливостей варіаційних методів механіки, які ефективно працюють пі-
сля належного аналізу всіх кінематичних обмежень задачі та виклю-
ченні цих обмежень до реалізації варіаційного принципу, викладення
аналізу кінематичних обмежень задачі виконано докладно, а безпосере-
дню реалізацію варіаційного принципу Гамільтона – Остроградського
Розширені можливості аналітичної механіки 891
ми не будемо викладати детально. Це викликано тим, що після побу-
дови розкладів змінних (7), які через вибір координатних функцій і
виключення залежних параметрів на основі співвідношень (3.7) і (3.8),
система, що досліджується, вже стає вільною і багато технічних про-
блем зникають.
Побудовані розклади (3.6) можна безпосередньо підставляти у фун-
кцію Лагранжа і при цьому система параметрів ak і εi відповідає кіль-
кості ступенів вільності системи в рамках прийнятої моделі та за кіль-
кістю змінних є мінімальною. Схема побудови дискретної моделі скла-
дається з двох етапів перетворення функції Лагранжа
L(ξ, φ, ˙⃗ε) Ñ L(ai, bj , ξ̄, ˙⃗ε) Ñ L(ai, ȧj , ˙⃗ε).
Така схема ілюструє перехід спочатку від зв’язаної континуальної си-
стеми до зв’язаної дискретної системи, а потім, виключаючи кінема-
тичні граничні умови на вільній поверхні та умову збереження об’єму
рідини у її збуреному русі, здійснюється перехід до функції Лагранжа,
що відповідає вільній системі з числом параметрів, яке дорівнює числу
ступенів вільності системи.
Для переходу від континуальної структури моделі тіло – рідина до
дискретної моделі можна застосувати метод Канторовича до варіацій-
ного формулювання задачі, отриманого на основі принципу Гамільто-
на – Остроградського. Просторове і поверхневе інтегрування у функції
Лагранжа проводиться в змінних α, θ, β. В підінтегральному виразі від-
бувається диференціювання по β членів, що містять потенціал швид-
костей φ, і добутків цих членів на якобіан переходу від декартової гео-
метрії до недекартової параметризації області τ0, яку займає рідина в
незбуреному стані. Для порожнини обертання в цілому відмінності від
випадку резервуарів циліндричної форми полягають в тому, що,
´ по-перше, функції, за якими відбувається розклад потенціалу швид-
костей, задовільняють умови неперетікання на змочуваних границях
наближено,
´ по-друге, додається умова збереження об’єму рідини у її збуреному
русі, і,
´ по-третє, при виконанні знесення на незбурену вільну поверхню рі-
дини за допомогою ряду Тейлора окремих членів функції Лагранжа,
кінематичної граничної умови на вільній поверхні і умови збереже-
ння об’єму рідини у її збуреному русі у порівнянні з випадком ци-
ліндричної області додаються геометричні нелінійності обумовлені
переходом до недекартової параметризації області, яку займає ріди-
на;
892 О. Лимарченко
´ вчетверте, слід забезпечити, щоб координатні функції задовільняли
умові неперетікання на бічній поверхні рідини не лише для поверх-
ні контакту у незбуреному стані Σ0, а і на її певному продовженні
над рівнем незбуреної вільної поверхні куди можуть досягати гребні
хвиль ∆Σ.
В результаті застосування даної методики можна отримати рівняння
Лагранжа другого роду – рівняння сумісного руху системи «резервуар-
рідина» в амплітудних параметрах руху рідини з вільною поверхнею
ak та параметрах руху тіла-носія ε⃗
Nÿ
k=1
pkr(ai, ȧj)äk +
N+3ÿ
k=N+1
pkr(ai, ȧj)ε̈k´N = qr(ai, ȧj , εl, ε̇m). (3.9)
Через те, що другі похідні в ці рівняння входять лінійно, система зви-
чайних диференціальних рівнянь легко приводиться до форми Коші,
що сприяє подальшому аналітичному і чисельному дослідженню за-
дачі. Легко показується, що породжувальна система диференціальних
рівнянь є невиродженою, розподіл частот є відомим і діапазон розташу-
вання частот є компактним, що практично виключає проблеми прояву
ефекту жорсткості при чисельному інтегруванні системи (3.9).
4. ВІБРАЦІЙНЕ ЗБУДЖЕННЯ РУХУ СИСТЕМИ РЕЗЕРВУАР-РІДИНА В
РЕЖИМІ СУМІСНОГО РУХУ
Як приклад ефективної побудови моделі про сумісний рух резерву-
ара і рідини з вільною поверхнею на основі методів аналітичної ме-
ханіки континуальних систем розглянемо випадок резервуара у формі
еліпсоїду обертання, маса якого Mr = 0.2Ml (прояв рухомості рідини
на рух резервуара буде суттєвим). Розглянуто випадок еліпсоїдального
резервуара з півосями a = 1 і b = 2. Випадок відповідає розтягнено-
му по вертикалі еліпсоїда з глибиною заповнення H = 0.75. Резервуар
здійснює рух в горизонтальній площині зі стану спокою під дією сили
Fx = A(Mr +Ml) cosωt (A – множник, який для різних режимів підби-
рався так, щоб система виходила на режим нелінійних коливань, коли
збурення на вільній поверхні мають порядок 0,2 від радіуса вільної по-
верхні рідини).
Аналізувалися такі випадки зміни частот ω = kωωc, де
kω = 0.9, 0.98, 1.0, 1.02, 1.1, 1.5,
а ωc – частота сумісних коливань системи резервуар-рідина за першою
формою. На рис. 4.1 представлені результати розрахунків зміни в часі
збурень вільної поверхні рідини на бічній поверхні резервуара в пло-
щині zOx, в якій відбуваються коливання.
Розширені можливості аналітичної механіки 893
На рисунку зліва вгорі приведено глибину заповнення, згори в цен-
ті – значення відносної частоти та амплітудного параметра збудження
коливань системи. Звернемо увагу на те, що для частот суттєво мен-
ших за резонансні коливання вільної поверхні значно відрізняються від
синусоїдального закону і спостерігається дрейф середнього значення.
При наближенні до резонансної частоти спостерігається висока чутли-
вість системи до амплітуди збудження і навіть до зміни частоти на
декілька процентів. В характері розвинення коливань суттєво проявля-
ється модуляція, при цьому частота зміни кривої модуляції спочатку
зменшується і є найменшою для відносної частоти 0.98, а потім знову
наростає. Це свідчить про те, що нелінійності в такій системі є м’якого
типу.
РИС. 4.1. Збурення вільної поверхні рідини в різних ча-
стотних діапазонах
Вихід системи на режим усталених коливань не спостерігався, про-
те для відносної частоти 0.98 період модуляційної кривої є достатньо
великим і в окремих роботах це помилково сприймалося як вихід на
усталений режим коливань. Відмітимо також, що для відносної частоти
1 суттєво проявляється відмічений в експериментах режим антирезо-
нанса, коли протягом декількох періодів коливання на вільній поверхні
фактично зникають (їх амплітуда коливань є незначною), що помітно
в околі часу приблизно 60 с і 120 с. Лінійна теорія прогнозує подібність
поведінки системи через наближений збіг частот модуляції для значень
відносних частот симетричних відносно власної частоти [7]. Але в на-
шому випадку для частот 0.9 і 1.1 це не спостерігається, що пов’язане
із виходом на режим, коли при формуванні модуляції беруть участь не
дві форми коливань, а більше. Додаткові нелінійні властивості пове-
дінки системи визначаються через трансцендентну залежність частот
894 О. Лимарченко
від номера форми, відміченого в [5] і відповідного ущільнення спектра
коливань. Це обумовлює відсутність усталених режимів коливань.
Було розв’язано групу задач для різних варіантів еліпсоїдів і рів-
нів їх заповнення. Аналізуючи в комплексі одержані результати слід
зазначити, що, по-перше, система резервуар-рідина демонструє високу
чутливість до зміни частот особливо в безпосередньому околі резонан-
су.
По-друге, значною мірою при однакових відносних амплітудах збу-
рень вільної поверхні рідини прояв нелінійності визначається нахилом
стінок в околі незбуреної вільної поверхні. Так для малих глибин і для
випадків стисненої форми еліпсоїда нахил стінки резервуара в околі
вільної поверхні значно відрізняється від вертикальних стінок. Це спри-
яє підсиленню прояву нелінійного характеру коливань, оскільки набли-
ження нахилу стінок резервуара до вертикального положення призво-
дить до зростання обмежень на рух рідини, і, до того ж до зростання
частот і відстаней між ними. Це зменшує взаємовплив форм коливань,
а значить спрощує характер розвинення коливань.
По-третє, вагомо проявляється комплекс нелінійних ефектів розви-
нення коливань, а саме дрейф середнього значення коливань на низь-
ких частотах, модуляція коливань, втрата регулярності коливань на
високих частотах, антирезонанс, перевершення висоти горба хвилі над
її впадиною.
В-четверте, на всіх режимах вихід системи резервуар-рідина на ре-
жим усталених коливань не спостерігався. Одержані результати узго-
джуються з відомими теоретичними та експериментальними даними [6].
5. ВИСНОВКИ
У роботі викладено оригінальні ідеї використання розширених мо-
жливостей аналітичної механіки суцільного середовища, зародження
яких, судячи з усього, відбулося в рамках наукової школи Д. О. Ґра-
ве і пізніше наукової школи М. О. Кільчевського. Ці ідеї є основою
поглибленого аналізу постановки задач механіки суцільних середовищ
і сприяють розвиненню конструктивних методів, створених на основі
аналітичної механіки. Відмічені переваги і оригінальність цих підходів
проілюстровано на задачі про нелінійні коливання рідини з вільною по-
верхнею, яку розглянуто в рамках нелінійної задачі динаміки сумісного
руху системи, включаючи випадок резервуара нециліндричної форми.
ЛІТЕРАТУРА
[1] A. V. Konstantinov, O. S. Limarchenko, V. N. Mel’nik, and I. Yu. Semenova. Problem
of the parametric oscillations of a noncylindrical tank partially filled with a fluid.
Розширені можливості аналітичної механіки 895
Internat. Appl. Mech., 52(6):599–604, 2016. Translation of Prikl. Mekh. 52 (2016), no.
6, 49–57. doi:10.1007/s10778-016-0780-4.
[2] A. V. Konstantinov, V. O. Limarchenko, and O. S. Limarchenko. Motion control for
structure with liquid based on compensation of the liquid hydrodynamic response.
Journal of Automation and Information Sciences, 52(6):58–70, 2020. doi:10.1615/
jautomatinfscien.v52.i6.50.
[3] O. S. Limarchenko. Specific features of application of perturbation techniques in
problems of nonlinear oscillations of a liquid with free surface in cavities of non-
cylindrical shape. Ukrainian Mathematical Journal, 59(1):46–69, 2007. doi:10.1007/
s11253-007-0004-5.
[4] O. S. Limarchenko and K. O. Semenovich. Energy redistribution between a reservoir
and a liquid with a free boundary under angular motions of the system. J. Math. Sci.,
222(3):296–303, 2017. doi:10.1007/s10958-017-3300-0.
[5] M. Onorato, L. Vozella, D. Proment, and V. Lvov. Route to thermalization in the
α-Fermi-Pasta-Ulam system. PNAS, 112(14):4208–4213, 2015. doi:10.1073/pnas.
1404397112.
[6] P. Pal. Sloshing of liquid in partially filled container – an experimental study. Int. J.
Recent Trends in Engineering, 1(6):1–5, 2009.
[7] W. Shaoa, J. Yanga, Z. Hu, and L. Tao. Coupled analysis of nonlinear sloshing and ship
motions. Applied Ocean Research, 47:85–97, 2015. doi:10.1016/j.jsv.2010.05.006.
[8] Ф. Р. Гантмахер. Лекции по аналитической механике. М.: Физматлит, 2005.
[9] Д. А. Граве. Значение математики в естествознании. Кіевъ: Тип. Импер. ун-та
св. Владиміра, 1908.
[10] Н. Е. Жуковский. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные
однородной капельной жидкостью. М.: Физматлит, 2005.
[11] Л. В. Канторович and В. И. Крылов. Приближенные методы высшего анализа.
Л.-М.: Физматгиз, 1962.
[12] Л. А. Коздоба. Методы решения нелинейных задач теплопроводности. М.: Наука,
1975.
[13] О. С. Лимарченко and В. В. Ясинский. Нелинейная динамика конструкций с жид-
костью. К.: НТТУ КПИ, 1997.
[14] Л. С. Полак. Вариационные принципы механики. Физматлит, 1959.
[15] Д. О. Ґраве. Теоретична механіка на основі техніки. Харків: ХДУ, 1930.
О. С. Лимарченко
КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА
Email: olelim2010@yahoo.com
ORCID: 0000-0002-2068-8987
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-531 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:08:58Z |
| publishDate | 2023 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/20/f2802c5d5d72432356f66a9d1d011c20.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-5312023-08-17T09:06:54Z Expanded capabilities of analytical mechanics of a solid medium Розширені можливості аналітичної механіки суцільного середовища Limarchenko, Oleg Лімарченко, Олег Advanced potentials of analytical mechanics of continuum medium and sources promoted the appearance, development and high achievements of this direction of research namely in Ukraine are under discussion. We traced connections of this direction with D. O. Grave and his follower M. O. Kilchevsky. We shortly state and show by examples new elements of this approach and its advantages. It is shown that similar research are developed now in Ukraine. Обговорюються розширені можливості аналітичної механіки суцільного середовища і джерела, які сприяли виникненню, розвитку і високим досягненням такого напрямку досліджень саме в Україні. Відстежуються зв'язки цього напрямку досліджень з Д. О. Ґраве і його учнем М. О. Кільчевським. Скорочено викладено і проілюстровано на ряді прикладів нові елементи такого підходу і його переваги. Показано, що подібні дослідження і дотепер розвиваються саме в Україні. Інститут математики НАН України 2023-08-17 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/531 10.3842/trim.v20n1.531 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 20 No. 1 (2023): Modern problems of mathematics and its applications, III; 873-895 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 20 № 1 (2023): Сучасні проблеми математики та її застосувань III; 873-895 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 20 № 1 (2023): Сучасні проблеми математики та її застосувань III; 873-895 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/531/516 Авторське право (c) 2023 Олег Лімарченко http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Limarchenko, Oleg Лімарченко, Олег Expanded capabilities of analytical mechanics of a solid medium |
| title | Expanded capabilities of analytical mechanics of a solid medium |
| title_alt | Розширені можливості аналітичної механіки суцільного середовища |
| title_full | Expanded capabilities of analytical mechanics of a solid medium |
| title_fullStr | Expanded capabilities of analytical mechanics of a solid medium |
| title_full_unstemmed | Expanded capabilities of analytical mechanics of a solid medium |
| title_short | Expanded capabilities of analytical mechanics of a solid medium |
| title_sort | expanded capabilities of analytical mechanics of a solid medium |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/531 |
| work_keys_str_mv | AT limarchenkooleg expandedcapabilitiesofanalyticalmechanicsofasolidmedium AT límarčenkooleg expandedcapabilitiesofanalyticalmechanicsofasolidmedium AT limarchenkooleg rozširenímožlivostíanalítičnoímehaníkisucílʹnogoseredoviŝa AT límarčenkooleg rozširenímožlivostíanalítičnoímehaníkisucílʹnogoseredoviŝa |