Integral theorems in finite-dimensional commutative algebra

For monogenic (continuous and differentiable in the sense of G\^ateaux) functions given in special real subspaces of an arbitrary finite-dimensional commutative associative algebra over the complex field and taking values in this algebra, we establish basic properties analogous to properties of holo...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2023
Hauptverfasser:	Plaksa, Sergiy, Shpakivskiy, Vitaliy, Плакса, Сергій, Шпаківський, Віталій
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainisch Englisch
Veröffentlicht:	Інститут математики НАН України 2023
Online Zugang:	https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/533
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine
Завантажити файл:

Institution

Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine

_version_	1872553040923328512
author	Plaksa, Sergiy Shpakivskiy, Vitaliy Плакса, Сергій Шпаківський, Віталій
author_facet	Plaksa, Sergiy Shpakivskiy, Vitaliy Плакса, Сергій Шпаківський, Віталій
author_institution_txt_mv	[ { "author": "Sergiy Plaksa", "institution": "Institute of Mathematics of the National Academy of Science of Ukraine" }, { "author": "Vitaliy Shpakivskiy", "institution": "Institute of Mathematics of the National Academy of Science of Ukraine" } ]
author_sort	Plaksa, Sergiy
baseUrl_str	https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai
collection	OJS
datestamp_date	2023-08-17T09:06:54Z
description	For monogenic (continuous and differentiable in the sense of G\^ateaux) functions given in special real subspaces of an arbitrary finite-dimensional commutative associative algebra over the complex field and taking values in this algebra, we establish basic properties analogous to properties of holomorphic functions of a complex variable. Methods for proving results are based on a representation of monogenic functions via holomorphic functions of complex variables that allows to establish analogues of Cauchy-Riemann conditions and the continuity of G\^ateaux derivatives of all orders for monogenic functions. In such a way, analogues of a number of classical theorems of complex analysis (the Cauchy integral theorem for a curvilinear integral, the Cauchy integral formula, the Morera theorem, the Taylor theorem) are proved and different equivalent definitions for the mentioned monogenic functions are established. An analogue of the Cauchy theorem for an integral over non piecewise smooth surfaces is proved.
doi_str_mv	10.3842/trim.v20n1.533
first_indexed	2026-08-04T01:09:01Z
format	Article
fulltext	Збірник праць Ін-ту математики НАН України (2023) т. 20, №1, 911–946 Інтегральні теореми в скінченновимірній комутативній алгебрі С. А. Плакса, В. С. Шпаківський Abstract. For monogenic (continuous and differentiable in the sense of Gâteaux) functions given in special real subspaces of an arbitrary finite- dimensional commutative associative algebra over the complex field and tak- ing values in this algebra, we establish basic properties analogous to prop- erties of holomorphic functions of a complex variable. Methods for proving results are based on a representation of monogenic functions via holomorphic functions of complex variables that allows to establish analogues of Cauchy- Riemann conditions and the continuity of Gâteaux derivatives of all orders for monogenic functions. In such a way, analogues of a number of classical theorems of complex analysis (the Cauchy integral theorem for a curvilin- ear integral, the Cauchy integral formula, the Morera theorem, the Taylor theorem) are proved and different equivalent definitions for the mentioned monogenic functions are established. An analogue of the Cauchy theorem for an integral over non piecewise smooth surfaces is proved. Анотація. Для моногенних (неперервних і диференційовних за Гато) функцій, що визначені у спеціальних дійсних підпросторах довільної скінченновимірної комутативної асоціативної алгебри над комплексним полем і примають значення в цій алгебрі, встановлено основні властиво- сті, аналогічні властивостям голоморфних функцій комплексної змінної. Методи дослідження базуються на представленні моногенних функцій через голоморфні функції комплексних змінних, що дає змогу встано- вити аналоги умов Коші-Рімана та неперервність похідних Гато всіх по- рядків для моногенних функцій. У такий спосіб доведено аналоги ряду класичних теорем комплексного аналізу (інтегральна теорема Коші для криволінійного інтеграла, інтегральна формула Коші, теорема Морери, теорема Тейлора) та встановлено різні еквівалентні означення моноген- них функцій. Доведено аналог теореми Коші для поверзневого інтеграла по не кусково гладких поверхнях. 2020 Mathematics Subject Classification: 30G35, 35J05, 31A30 Ключові слова: комутативна банахова алгебра; моногенна функція; аналітична функція; гіперголоморфна функція; умови Коші-Рімана; теорема Коші; інтегральна формула Коші; теорема Морери; теорема Тейлора DOI : http://dx.doi.org/10.3842/trim.v20n1.533 911 912 С. Плакса, В. Шпаківський 1. ВСТУП З середини 70-х років минулого століття в Інституті математики НАН України, починаючи з роботи І. П. Мельниченка [55], система- тично і послідовно розробляється алгебраїчно-аналітичний підхід до основних еліптичних рівнянь математичної фізики, який пов’язаний з використанням комутативних алгебр. Ідея такого підходу полягає у знаходженні комутативних банахових алгебр таких, щоб диференційовні за Гато функції зі значеннями в цих алгебрах мали компоненти, які є розв’язками заданих рівнянь з частин- ними похідними. Такі алгебри були знайдені І. П. Мельниченком для тривимірного рівняння Лапласа (див. [55, 58, 59]) і еліптичних рівнянь з вироджен- ням на осі, що описують осесиметричні потенціальні поля (див. [56,59]), В. Ф. Ковальовим і І. П. Мельниченком для двовимірного бігармоні- чного рівняння (див. [51, 57]) і узагальненого бігармонічного рівняння (див. [52]). Згодом, в роботах [27, 31] показано, що для опису всіх про- сторових гармонічних функцій у формі компонент диференційовних за Гато гіперкомплексних функцій відповідні нескінченновимірні ко- мутативні банахові алгебри необхідно включити у топологiчнi векторнi простори з тим же базисом і топологією покоординатної збіжності. Інтерес до дослідження функцій в комутативних алгебрах гіперком- плексних чисел останнім часом зростає у зв’язку з поєднанням зручно- стей властивості комутативності з широкими можливостями застосу- вань (див., наприклад, монографії Г.Б, Прайса [35], Д. Бокалетті та ін. [9], М.Е. Луна-Елізаррарас та ін. [24] і роботи В.В. Кісіля [20, 21], А. Погоруя, М.Н. Родрігеса-Даніно і М. Шапіро [34], в яких вивчаю- ться різноманітні алгебраїчні, геометричні і аналітичні аспекти теорії гіперкомплексних чисел). Зрозуміло, що для успішної реалізації вказаного вище підходу до основних еліптичних рівнянь математичної фізики, необхідно розпо- всюдити класичні методи теорії голоморфних функцій комплексної змін- ної на диференційовні за Гато функції, задані в банахових алгебрах, асоційованих з рівняннями математичної фізики. Ускладненість ситуа- ції при цьому полягає в обмеженості можливостей переносу класичних теорем комплексного аналізу в аналіз на банахових алгебрах. У роботі Е. Р. Лорха [23] доведено інтегральну теорему Коші та ін- тегральну формулу Коші, теореми Тейлора та Морера для функцій, диференційовних у сенсі Лорха в довільній опуклій області комутатив- ної банахової алгебри. Умову опуклості області в цих результатах було знято Е.К. Блюмом [5]. Інтегральні теореми в скінченновимірній комутативній алгебрі 913 У той же час, застосування диференціовних функцій зі значення- ми в комутативних банахових алгебрах до побудови розв’язків рів- нянь математичної фізики вимагає дослідження таких функцій у спе- ціальних дійсних підпросторах вказаних алгебр (див. цитовані робо- ти [27, 31, 51, 52, 55, 57–59] та роботи П. В. Кетчума [18, 19], Л. Собре- ро [45]) і М. Н. Рошкулеця [39]. У цій роботі розглядаються моногенні (тобто неперервні та диферен- ційовні за Гато) функції Φ : Ω Ñ A, що визначені в області Ω певного дійсного підпростору E3 скінченновимірної комутативної асоціативної алгебри A з одиницею над полем комплексних чисел і приймають зна- чення в цій алгебрі. Як буде показано, основні властивості таких моногенних функцій аналогічні властивостям голоморфних функцій комплексної змінної. Методи дослідження базуються на представленні моногенних функцій через голоморфні функції комплексних змінних, що дає змогу встано- вити аналоги умов Коші-Рімана та неперервність похідних Гато всіх порядків для моногенних функцій. У такий спосіб доведено аналоги ряду класичних теорем комплексного аналізу (інтегральна теорема Ко- ші для криволінійного інтеграла, інтегральна формула Коші, теорема Морери, теорема Тейлора) та встановлено різні еквівалентні означення моногенних функцій. Встановлені результати узагальнюють відповідні результати робіт [26, 28–30,33] для моногенних функцій в конкретних скінченновимірних ко- мутативних асоціативних алгебрах. Згадаємо також роботи П.В. Кетчу- ма [18, 19], В. Гончарова [14] і М.Н. Рошкулеця [38,40], в яких аналоги теореми Коші та інтегральної формули Коші для криволінійного інте- грала встановлено в інших конкретних комутативних алгебрах. Вкажемо роботи, в яких деякі інтегральні теореми доведено в неко- мутативних алгебрах. Так, ряд гіперкомплексних аналогів інтеграль- ної теореми Коші для криволінійного інтеграла встановлено в роботах А. Садбері [48], Ф. Коломбо, І. Сабадіні і Д. Струппи [11]. В роботах А. Садбері [48], Ф. Брекса, Р. Деланга і Ф. Соммена [7], В. В. Крав- ченка і М. В. Шапіро [22], С. Бернштейн [4], О. Ф. Геруса [49] подібні теореми доведено для поверхневого інтеграла. 2. МОНОГЕННІ ФУНКЦІЇ В СКІНЧЕННОВИМІРНІЙ КОМУТАТИВНІЙ АСОЦІАТИВНІЙ АЛГЕБРІ Нехай A – n-вимірна комутативна асоціативна банахова алгебра з одиницею 1 над полем дійсних чисел R або над полем комплексних чисел C, 3 ď n ď 8. 914 С. Плакса, В. Шпаківський Розглянемо в алгебрі A вектори e1 = 1, e2, e3, лінійно незалежні над полем R. Це означає, що рівність α1e1 + α2e2 + α3e3 = 0, α1, α2, α3 P R, виконується тоді і тільки тоді, коли α1 = α2 = α3 = 0. Нехай E3 := tζ := xe1 + ye2 + ze3 : x, y, z P Ru – лінійна оболонка векторів e1, e2, e3 над полем R. Будемо використовувати однакове позначення Ω для області Ω Ă R3 і для області в E3, яка є конгруентною до області Ω. 2.1. Диференційовність за Лорхом і за Гато. Моногенні і аналі- тичні функції. Розглянемо функцію Φ: Ω Ñ A, визначену в області Ω Ă E3, і поняття диференційовності цієї функції за Лорхом і за Гато. Функція Φ: Ω Ñ A називається диференційовною за Лорхом (див. [23]) в області Ω Ă E3, якщо для кожної точки ζ P Ω існує елемент Φ1 L(ζ) P A такий, що для кожного ε ą 0 існує δ ą 0 таке, що для всіх h P E3, для яких }h} ă δ, виконується нерівність ››Φ(ζ + h) ´ Φ(ζ) ´ hΦ1 L(ζ) ›› ď }h} ε. (2.1) Очевидно, що в нерівності (2.1) похідна Лорха Φ1 L(ζ) є функцією змінної ζ, тобто Φ1 L : Ω Ñ A. Зазначимо, що динференційовними за Лорхом функціями в комута- тивних асоціативних банахових алгебрах над полем C є, зокрема, го- ловні продовження (див., наприклад, монографію Е. Хілле і Р. Філ- ліпса [63, с. 182]) голоморфних функцій комплексної змінної. Якщо комплексна функція F є голоморфною в області D Ă C, то для усіх ζ P A, спектр яких міститься в D, головне продовження функції F виражається рівністю 1 2πi ż Γ F (t) (t´ ζ)´1 dt, (2.2) де Γ – довільна замкнена спрямлювана жорданова крива в D, яка охо- плює спектр елемента ζ. Використовуючи диференціал Гато, І. П. Мельниченко [55] розглянув похідну Гато функції Φ: Ω Ñ A також як функцію точки ζ P Ω. Ми кажемо, що функція Φ: Ω Ñ A є диференційовною за Гато в області Ω Ă E3, якщо для кожної точки ζ P Ω існує елемент Φ1 G(ζ) P A такий, що lim δÑ0+0 (Φ(ζ + δh) ´ Φ(ζ)) δ´1 = hΦ1 G(ζ) @h P E3. (2.3) Очевидно, що похідна Гато Φ1 G(ζ) для кожного вектора h P E3 є уза- гальненням класичної похідної за напрямком. Інтегральні теореми в скінченновимірній комутативній алгебрі 915 Зауважимо, що обидва означення: похідної Лорха (2.1) і похідної Га- то (2.3), – враховують існування необоротних елементів h в алгебрі A, оскільки в цих означеннях не використовується ділення на елементи алгебри на відміну від класичного означення похідної функції компле- ксної змінної. Очевидно, що функція Φ, диференційовна за Лорхом в області Ω, є також диференційовною за Гато і Φ1 L(ζ) = Φ1 G(ζ) для всіх ζ P Ω. Обер- нене твердження не є істинним подібно до того, як існування класичних похідних у точці за усіма напрямками не гарантує сильної диференці- йовності (і навіть неперервності) функції у цій точці. Для функції Φ: Ω Ñ A розглянемо поняття моногенності та аналіти- чності. Ми говоримо, що функція Φ: Ω Ñ A моногенна в області Ω Ă E3, якщо Φ неперервна і диференційовна за Гато в кожній точці області Ω. Ми використовуємо поняття моногенної функції у сенсі існування для неї похідних чисел (див. монографії Е. Гурса [15] і Ю. Ю. Трохим- чука [62]) у поєднанні з неперервністю цієї функції. У науковій літературі назва моногенна функція використовується та- кож для функцій, які задані у некомутативних алгебрах і задовольня- ють деякі умови, подібні до класичних умов Коші-Рімана (див., напри- клад, роботу Дж. Райана [41]). Такі функції називають також регуляр- ними (див., наприклад, роботу А. Садбері [48]) або гіперголоморфними (див., наприклад, монографію В. В. Кравченка і М. В. Шапіро [22]). Функцію Φ : Ω Ñ A називають аналітичною в області Ω Ă E3, якщо в деякому околі кожної точки ζ0 P Ω вона може бути представлена у вигляді суми збіжного степеневого ряду з коефіцієнтами, що належать алгебрі A. Очевидно, що кожна аналітична функція Φ : Ω Ñ A є моногенною в області Ω Ă E3 і її похідна Гато Φ1 G(ζ) також є моногенною в цій області. Далі будуть вказані достатні умови, за яких моногенна функція Φ : Ω Ñ A є аналітичною в області Ω Ă E3. 2.2. Представлення моногенних функцій за допомогою голо- морфних функцій комплексних змінних. Нехай тепер A – довіль- на n-вимірна комутативна асоціативна алгебра з одиницею над полем комплексних чисел. Е. Картан у роботі [8] довів, що в алгебрі A існує базис tIkunk=1 і існують структурні константи Υs r,k такі, що виконуються наступні правила множення: 1) @r, s P [1,m] X N : IrIs = " 0 при r ‰ s, Ir при r = s; 916 С. Плакса, В. Шпаківський 2) @r, s P [m+ 1, n] X N : IrIs = nř k=maxtr,su+1 Υs r,kIk ; 3) @s P [m+ 1, n] X N D ! us P [1,m] X N @ r P [1,m] X N : IrIs = " 0 при r ‰ us, Is при r = us, де N – множина натуральних чисел. Очевидно, що перші m базисних векторів tIuumu=1 є ідемпотентами і породжують напівпросту підалгебру S алгебри A, а вектори tIrunr=m+1 породжують нільпотентну підалгебру N цієї алгебри. Надалі алгебру A з базисом Картана позначатимемо Am n . Одиницею алгебри Am n є елемент 1 = mř u=1 Iu. Норма елемента v = nř r=1 vrIr алгебри Am n визначається рівністю }v} := gffe nÿ r=1 \|vr\|2. Алгебра Am n містить m максимальних ідеалів Iu := # nÿ k=1, k‰u λkIk \| λk P C + , u = 1, 2, . . . ,m. Визначимо m лінійних неперервних мультиплікативних функціона- лів fu : Am n Ñ C рівностями fu(Iu) = 1, fu(ω) = 0, для всіх ω P Iu, u = 1, 2, . . . ,m. Нехай e1 = 1, e2 = nÿ r=1 arIr, e3 = nÿ r=1 brIr (2.4) при ar, br P C – трійка векторів в алгебрі Am n , які лінійно незалежні над полем R. Нехай ζ := xe1 + ye2 + ze3, де x, y, z P R. Очевидно, що ξu := fu(ζ) = x+ yau + zbu, u = 1, 2, . . . ,m. Накладемо наступне обмеження на вибір лінійної оболонки E3: fu(E3) := tfu(ζ) : ζ P E3u = C, u = 1, 2, . . . ,m, (2.5) тобто образом fu(E3) множини E3 при кожному відображенні fu має бути вся комплексна площина (див. [28]). Очевидно, що це має місце тоді і тільки тоді, коли при кожному фіксованому u = 1, 2, . . . ,m хоча б одне з чисел au чи bu належить CzR. Інтегральні теореми в скінченновимірній комутативній алгебрі 917 Для області Ω Ă E3 через Du позначимо область комплексної пло- щини, на яку Ω відображається функціоналом fu. У роботі [43] доведено наступне представлення резольвенти: (te1 ´ ζ)´1 = mÿ u=1 1 t´ ξu Iu + nÿ s=m+1 s´m+1ÿ k=2 Qk,s (t´ ξus) k Is (2.6) @ t P C : t ‰ ξu, u = 1, 2, . . . ,m, де Qk,s визначені такими рекурентними співвідношеннями: Q2,s := Ts, Qk,s = s´1ÿ r=k+m´2 Qk´1,r Br, s, k = 3, 4, . . . , s´m+ 1, при Ts := yas + zbs, Br,s := s´1ř k=m+1 TkC k r,s, s = m+ 2, . . . , n, а натуральні числа us визначені у правилі множення 3) алгебри Am n . Із співвідношень (2.6) випливає, що точки (x, y, z) P R3, які відпові- дають необоротним елементам ζ P Am n , лежать на прямих Lu : " x+ yRe au + zRe bu = 0, y Im au + z Im bu = 0. (2.7) Наступна теорема містить представлення моногенних функцій, що приймають значення в алгебрі Am n , через голоморфні функції компле- ксних змінних. Теорема 2.3 ([43]). Нехай виконується умова (2.5) і область Ω Ă E3 є опуклою в напрямку прямих Lu при всіх u = 1, 2, . . . ,m. Тоді кожна моногенна функція Φ : Ω Ñ Am n подається у вигляді Φ(ζ) = mÿ u=1 Iu 1 2πi ż Γu Fu(t)(t´ ζ)´1 dt+ + nÿ s=m+1 Is 1 2πi ż Γus Gs(t)(t´ ζ)´1 dt, (2.8) де Fu – деяка голоморфна функція в області Du і Gs – деяка голоморфна функція в області Dus, а Γq – замкнена жорданова спрямлювана крива, яка лежить в області Dq, охоплює точку ξq і не містить точок ξℓ, ℓ = 1, 2, . . . ,m, ℓ ‰ q. Зауваження 2.4. Основна відмінність між інтегральним оператором (2.8) і головним продовженням (2.2) голоморфних функцій у комута- тивну банахову алгебру полягає в тому, що крива Γu не зобов’язана 918 С. Плакса, В. Шпаківський охоплювати всі точки спектра елемента ζ. Тому інтегральний опера- тор (2.8) застосовний також у випадку, коли деякі точки згаданого спектра не належать області D. Зазначимо, що Теорему 2.3 узагальнено в роботі [44] на випадок мо- ногенних функцій Φ : Ω Ñ Am n , заданних в області Ω Ă Ek, де Ek := tζ = kÿ j=1 xjej : xj P Ru – лінійна оболонка векторів e1 = 1, e2, . . . , ek, 2 ď k ď 2n, лінійно не- залежних над полем R. Отримані представлення моногенних функцій узагальнюють відповідні результати робіт [28, 33, 50, 60, 61] та ряд ін- ших результатів про представлення аналітичних функцій в конкретних скінченновимірних комутативних алгебрах, що беруть свій початок від роботи Ф. Рінглеба [37], який отримав аналогічне представлення ана- літичних функцій бікомплексної змінної. Принциповими наслідками рівності (2.8) є твердження, сформульо- вані в наступній теоремі, яка справедлива для довільної області Ω Ă E3. Теорема 2.5. Нехай виконується умова (2.5) і функція Φ : Ω Ñ Am n є моногенною в довільній області Ω Ă E3. Тоді: 1) функція Φ є диференціовною за Лорхом в області Ω ; 2) похідні Гато Φ (r) G є моногенними функціями в Ω для всіх r. Доведення. Розглянемо довільну точку ζ0 P Ω і кулю ℧ Ă Ω з центром у точці ζ0. Оскільки ℧ – опукла множина, то функція Φ подається у вигля- ді (2.8) в ℧. Звідси випливає, що компоненти Uk розкладу Φ(ζ) = nÿ k=1 Uk(x, y, z) Ik. (2.9) є R-диференційовними функціями в області ℧, тобто співвідношення Uk(x+∆x, y +∆y, z +∆z) ´ Uk(x, y, z) = = BUk(x, y, z) Bx ∆x+ BUk(x, y, z) By ∆y + BUk(x, y, z) Bz ∆z+ + o (a (∆x)2 + (∆y)2 + (∆z)2 ) , (∆x)2 + (∆y)2 + (∆z)2 Ñ 0, виконуються для всіх (x, y, z) P ℧. Інтегральні теореми в скінченновимірній комутативній алгебрі 919 Тепер диференційовність функції Φ за Лорхом в області ℧ встанов- люється повністю аналогічно до диференційовності функції компле- ксної змінної за умови, що її дійсна і уявна частини є диференційовними функціями двох дійсних змінних (див., наприклад, М.О. Лаврентьєв і Б.В. Шабат [53, с. 21]). Використовуючи представлення (2.8) функції Φ в області ℧, отриму- ємо наступний вираз для похідної Гато порядку r: Φ (r) G (ζ) = mÿ u=1 Iu r! 2πi ż Γu Fu(t) ( (te1 ´ ζ)´1 )r+1 dt+ + nÿ s=m+1 Is r! 2πi ż Γus Gs(t) ( (te1 ´ ζ)´1 )r+1 dt, @ ζ P ℧. Більш того, ця похідна є неперервною функцією в області ℧. Отже, похідна Гато Φ (r) G є моногенною функцією в ℧ для будь-якого r. В силу довільності вибору точки ζ0 і кулі ℧ всі твердження теореми справделиві в області Ω. □ Розглянемо питання про аналоги умов Коші-Рімана як необхідних і достатніх умов моногенності функцій Φ : Ω Ñ Am n . Теорема 2.6. Нехай виконується умова (2.5). Для того, щоб функція Φ : Ω Ñ Am n була моногенною в області Ω Ă E3, необхідно і достатньо, щоб усі функції Uk : Ω Ñ C в розкладі (2.9) були R-диференціовними в області Ω і в цій області виконувалися умови BΦ By = BΦ Bx e2, BΦ Bz = BΦ Bx e3. (2.10) Доведення. Необхідність. R-диференційовність функцій Uk : Ω Ñ C в розкладі (2.9) випливає з представлення (2.8) моногенної функції Φ (див. доведення теореми 2.5). Вибираючи в рівності (2.3) послідовно елементи e1 = 1, e2, e3 у якості вектора h, отримуємо рівності BΦ Bx = Φ1 G(ζ), BΦ By = e2Φ 1 G(ζ), BΦ Bz = e3Φ 1 G(ζ), наслідком яких є рівності (2.10). Достатність доводиться повністю аналогічно до того, як це роби- ться при доведенні відповідної теореми про диференційовність функцій комплексної змінної (див., наприклад, М. О. Лаврентьєв і Б. В. Ша- бат [53, с. 21]). □ 920 С. Плакса, В. Шпаківський Отже, умови (2.10) за своєю природою аналогічні до класичних умов Коші-Рімана для голоморфних функцій комплексної змінної. 3. КОНТУРНІ ІНТЕГРАЛЬНІ ТЕОРЕМИ ДЛЯ МОНОГЕННИХ ФУНКЦІЙ В СКІНЧЕННОВИМІРНІЙ КОМУТАТИВНІЙ АСОЦІАТИВНІЙ АЛГЕБРІ Розглянемо лініну оболонку E3 := tζ = xe1 + ye2 + ze3 \| x, y, z P Ru, породжену векторами (2.4). Визначимо криволінійний інтеграл в просторі E3. Будемо використо- вувати те саме позначення γ для кривої в R3 і для конгруентної кривої в E3. Для спрямлюваної жорданової кривої γ в R3 і неперервної функції Ψ : γ Ñ Am n , розкладеної за базисом tIkunk=1 у вигляді Ψ(ζ) = nÿ k=1 Uk(x, y, z) Ik + i nÿ k=1 Vk(x, y, z) Ik, (3.1) де (x, y, z) P γ і Uk : γ Ñ R, Vk : γ Ñ R, визначимо інтеграл вздовж кривої γ Ă E3 рівністю ż γ Ψ(ζ) dζ := nÿ k=1 Ik ż γ Uk(x, y, z) dx+ nÿ k=1 e2Ik ż γ Uk(x, y, z) dy+ + nÿ k=1 e3Ik ż γ Uk(x, y, z) dz + i nÿ k=1 Ik ż γ Vk(x, y, z) dx+ + i nÿ k=1 e2Ik ż γ Vk(x, y, z) dy + i nÿ k=1 e3Ik ż γ Vk(x, y, z) dz, де dζ := e1 dx+ e2 dy + e3 dz. Визначимо також поверхневий інтеграл в просторі E3. Ми викори- стовуємо те саме позначення Σ для поверхні в R3 і для конгруентної поверхні в E3. Нехай Σ – поверхня в R3 з вимірними за Жорданом проекціями на координатні площини. Для неперервної функції Ψ : Σ Ñ Am n , розкла- деної за базисом tIkunk=1 у вигляді (3.1), де (x, y, z) P Σ і Uk : Σ Ñ R, Vk : Σ Ñ R, визначимо інтеграл по поверхні Σ з диференціальною фор- мою dx dy рівністю ż Σ Ψ(ζ) dx dy := nÿ k=1 Ik ż Σ Uk(x, y, z) dx dy + i nÿ k=1 Ik ż Σ Vk(x, y, z) dx dy. Інтегральні теореми в скінченновимірній комутативній алгебрі 921 Аналогічно визначаються інтеграли з диференціальними формами dydz та dzdx. Означення криволінійного і поверхневого інтегралів від функції гі- перкомплексної змінної коректні в тому сенсі, що їх значення не за- лежать від вибору допустимих параметризацій відповідно кривої чи поверхні, оскільки гіперкомплексні інтеграли визначаються через від- повідні дійсні інтеграли. 3.1. Формула Стокса і теорема Коші для криволінійного інте- грала. Наступне твердження містить аналог формули Стокса в алге- брі Am n . Теорема 3.2. Якщо функція Φ : Ω Ñ Am n неперервна разом з частин- ними похідними першого порядку в області Ω Ă E3 і Σ – кусково-гладка поверхня в Ω, край якої γ є кусково-гладкою жордановою кривою, то справедливий наступний аналог формули Стокса: ż γ Φ(ζ) dζ = ż Σ (BΦ Bx e2 ´ BΦ By e1 ) dx dy+ + (BΦ By e3 ´ BΦ Bz e2 ) dy dz + (BΦ Bz e1 ´ BΦ Bx e3 ) dz dx. Тепер перший крок в доведенні теореми Коші для гіперкомплексно- го криволінійного інтеграла полягає у використанні неперервності по- хідної Гато моногенної функції, яку встановлено в теоремі 2.5 за умо- ви (2.5), аналогів умов Коші-Рімана (2.10) і теореми 3.2. В результаті отримуємо наступне твердження. Теорема 3.3. Нехай виконується умова (2.5). Нехай Φ : Ω Ñ Am n – моногенна функція в області Ω Ă E3 і Σ – кусково-гладка поверхня в Ω, край якої γ є кусково-гладкою жордановою кривою. Тоді ż γ Φ(ζ) dζ = 0. (3.2) Зауваження 3.4. Зокрема, рівність (3.2) виконується у випадку, коли γ – межа B△ будь-якого трикутника △, що міститься в Ω. Пояснимо, що під трикутником △ ми розуміємо плоску фігуру, обмежену трьома відрізками, що з’єднують три його вершини, а межа B△ розглядається у відносній топології площини трикутника. Другий крок в доведенні теореми Коші для гіперкомплексного кри- волінійного інтеграла здійснюється у випадку, коли область Ω Ă E3 є 922 С. Плакса, В. Шпаківський опуклою і γ – довільна замкнена спрямлювана жорданова крива в обла- сті Ω. У цьому випадку рівність (3.2) для кожної моногенної функції Φ : Ω Ñ Am n може бути доведена класичним способом так, як це зробив Е. Р. Лорх [23] в опуклій області усієї алгебри. Через γ[ζ1, ζ2] будемо позначати дугу орієнтованої жорданової кривої γ, де ζ1 – початок цієї дуги і ζ2 – її кінець. Нарешті, доведемо наступний гіперкомплексний аналог інтегральної теореми Коші. Теорема 3.5. Нехай виконується умова (2.5) і функція Φ : Ω Ñ Am n є моногенною в області Ω Ă E3. Тоді для довільної замкненої жорда- нової спрямлюваної кривої γ, яка гомотопна точці в Ω, справедлива рівніcть (3.2). Доведення. Застосуємо схему доведення теореми 3.2 з роботи Е. Блю- ма [5]. Нехай крива γ має параметризацію ζ = ϕ(t), 0 ď t ď 1, при цьому ϕ(0) = ϕ(1) = ζ0, і нехай γ – гомотопна точці ζ0. Тоді існує функція H(s, t) двох дійсних змінних s і t, яка неперервна на квадраті Q := [0, 1] ˆ [0, 1] і приймає значення в області Ω, така, що H(0, t) = ϕ(t), H(1, t) ” ζ0 @ t P [0, 1], H(s, 0) = H(s, 1) = ζ0 @ s P [0, 1]. Оскільки функція H – неперервна на компактній множині Q, то образ K := tH(s, t) : (s, t) P Qu є компактною множиною в Ω. Позначимо ρ := min ζ1PK, ζ2PBΩ }ζ 1 ´ ζ2}. Оскільки функція H – рівномірно неперервна на множині Q, то існує δ ą 0 таке, що }H(s1, t1) ´H(s, t)} ă ρ/2 (3.3) для всіх (s, t), (s1, t1) : \|s1 ´ s\| ă δ, \|t1 ´ t\| ă δ. Виберемо числа 0 = t0 ă t1 ă . . . ă tn = 1, що задовольняють нерівності tj ´ tj´1 ă δ, j = 1, 2, . . . , n, і покладемо s1 = t1. Позначимо ζ0,j := H(0, tj), ζ1,j := H(s1, tj) при j = 1, 2, . . . , n ´ 1. Також через Lj позначимо відрізок з початком у точці ζ0,j і кінцем у точці ζ1,j . Введемо в розгляд криву γ1 := tH(s1, t) : 0 ď t ď 1u. Не змен- шуючи загальності, можемо вважати, що крива γ1 є спрямлюваною, оскільки, якщо це необхідно, γ1 може бути замінена гомотопною їй ла- маною, яка складається з відрізків, що послідовно сполучають точки ζ0, ζ1,1, ζ1,2, . . . , ζ1,n. В силу нерівності (3.3) дуги γ[ζ0, ζ01], γ1[ζ0, ζ11] і відрізок L1 містяться в кулі B(ζ0) := tζ P E3 : }ζ ´ ζ0} ă ρu. Інтегральні теореми в скінченновимірній комутативній алгебрі 923 Оскільки B(ζ0) – опукла множина, що міститься в Ω, то ż γ[ζ0,ζ01] Φ(ζ)dζ + ż L1 Φ(ζ)dζ = ż γ1[ζ0,ζ11] Φ(ζ)dζ. (3.4) При j = 1, 2, . . . , n´ 2 з (3.3) випливають наступні нерівності: }ζ ´ ζ0,j} ă ρ/2, @ ζ P γ[ζ0,j , ζ0,j+1], }ζ ´ ζ1,j} ă ρ/2, @ ζ P γ1[ζ1,j , ζ1,j+1], }ζ1,j ´ ζ0,j} ă ρ/2, в силу яких дуги γ[ζ0,j , ζ0,j+1], γ1[ζ1,j , ζ1, j + 1] і відрізки Lj , Lj+1 мі- стяться в кулі B(ζ0,j) := tζ P E3 : }ζ ´ ζ0,j} ă ρu. Оскільки B(ζ0,j) – опукла множина, що міститься в Ω, то ´ ż Lj Φ(ζ)dζ + ż γ[ζ0,j ,ζ0,j+1] Φ(ζ)dζ + ż Lj+1 Φ(ζ)dζ = ż γ1[ζ1,j ,ζ1,j+1] Φ(ζ)dζ, (3.5) j = 1, 2, . . . , n´ 2. Нарешті, подібно до рівності (3.4) отримуємо рівність ´ ż Ln´1 Φ(ζ)dζ + ż γ[ζ0,n´1,ζ0] Φ(ζ)dζ = ż γ1[ζ1,n´1,ζ0] Φ(ζ)dζ. (3.6) Додаючи всі рівності (3.4), (3.5) і (3.6), бачимо, що знищуються всі інтеграли вздовж відрізків і залишається рівність ż γ Φ(ζ)dζ = ż γ1 Φ(ζ)dζ. (3.7) Далі покладаємо sj = tj і вводимо в розгляд криву γj := tH(sj , t) : 0 ď t ď 1u при j = 2, 3, . . . , n. Подібно до γ1, не зменшуючи загальності, можемо вважати, що всі криві γj є спрямлюваними. Тепер подібно до рівності (3.7) отримуємо рівності ż γ1 Φ(ζ)dζ = ż γ2 Φ(ζ)dζ = . . . = ż γn Φ(ζ)dζ. Таким чином, ми отримали рівність ż γ Φ(ζ)dζ = ż γn Φ(ζ)dζ, 924 С. Плакса, В. Шпаківський в якій крива γn вироджується в точку, оскільки H(1, t) ” ζ0. Отже, ż γn Φ(ζ)dζ = 0, і рівність (3.2) доведено. □ 3.6. Теорема Морери. Через s[ζ1, ζ2] позначимо відрізок з початком ζ1 і кінцем ζ2. Справедливий наступний аналог теореми Морера для функцій зі зна- ченнями в алгебрі Am n . Теорема 3.7. Якщо функція Φ : Ω Ñ Am n неперервна в області Ω Ă E3 і задовольняє рівність ż B△ Φ(ζ) dζ = 0 (3.8) для кожного трикутника △, що міститься в області Ω, то функція Φ є моногенною в області Ω. Доведення. Нехай a – довільна фіксована точка в Ω. Розглянемо фун- кцію Ψ(ζ) := ż s[a,ζ] Φ(τ) dτ. Покажемо, що функція Ψ є моногенною в області Ω і Ψ1 G(ζ) = Φ(ζ). (3.9) Візьмемо h P E3 і δ ą 0 такі, що трикутник △ з вершинами a, ζ і ζ + δh міститься в Ω. Використовуючи рівність (3.8), перетворюємо різницю Ψ(ζ + δh) ´ Ψ(ζ) = ż s[a,ζ+δh] Φ(τ) dτ ´ ż s[a,ζ] Φ(τ) dτ = = ż s[a,ζ+δh] Φ(τ) dτ + ż s[ζ,a] Φ(τ) dτ + ż s[ζ+δh,ζ] Φ(τ) dτ ´ ż s[ζ+δh,ζ] Φ(τ) dτ = = ż △ Φ(τ) dτ + ż s[ζ,ζ+δh] Φ(τ) dτ = ż s[ζ,ζ+δh] Φ(τ) dτ. (3.10) Інтегральні теореми в скінченновимірній комутативній алгебрі 925 Використовуючи рівність (3.10), і неперервність функції Φ в точці ζ, отримуємо співвідношення››››› Ψ(ζ + δh) ´ Ψ(ζ) δ ´ Φ(ζ)h ››››› = 1 δ ››››› ż s[ζ,ζ+δh] Φ(τ) dτ ´ Φ(ζ)δh ››››› = = 1 δ ››››› ż s[ζ,ζ+δh] ( Φ(τ) ´ Φ(ζ) ) dτ ››››› ď M δ ż s[ζ,ζ+δh] }Φ(τ) ´ Φ(ζ)} }dτ} ď ď M δ sup τPs[ζ,ζ+δh] }Φ(τ) ´ Φ(ζ)} ¨ ż s[ζ,ζ+δh] }dτ} ď ď M }h} sup τPs[ζ,ζ+δh] }Φ(τ) ´ Φ(ζ)} Ñ 0, δ Ñ 0, (3.11) де M – деяка абсолютна стала. Зі співвідношення (3.11) випливає рівність lim δÑ0+0 Ψ(ζ + δh) ´ Ψ(ζ) δ = Φ(ζ)h, наслідком якої є рівність (3.9). Оскільки в довільному околі точки ζ функція Φ є похідною Гато моногенної функції Ψ : Ω Ñ A3, то в силу теореми 2.5 Φ є моногенною функцією в області Ω. □ 3.8. Інтегральна формула Коші. Ми використовуємо те саме по- значення Lu для множини в E3, що є конгруентною до прямої (2.7) в R3. Нехай ζ0 := x0e1 + y0e2 + z0e3 – довільна точка області Ω Ă E3. В околі точки ζ0, який міститься в Ω, візьмемо коло C(ζ0) з центром в точці ζ0. Через Cu позначимо образ кола C(ζ0) при відображенні fu, u = 1, 2, . . . ,m. Припустимо, що коло C(ζ0) охоплює множину (див. [28]) ! ζ0 + ζ : ζ P mď u=1 Lu ) . (3.12) Це означає, що крива Cu обмежує область D1 u таку, що fu(ζ0) P D1 u при u = 1, 2, . . . ,m. Скажемо, що крива γ Ă Ω один раз охоплює множину (3.12) (див. [28]), якщо існує коло C(ζ0), яке охоплює вказану множину і гомотопне кри- вій γ в області Ω z ! ζ0 + ζ : ζ P mŤ u=1 Lu ) . 926 С. Плакса, В. Шпаківський Візьмемо коло C(0) з центром в точці 0, яке міститься в E3 і охоплює множину mŤ u=1 Lu. Оскільки функція ζ´1 – неперервна на кривій C(0), то існує інтеграл λ := ż C(0) τ´1 dτ. (3.13) В силу теореми 3.5, значення інтеграла (3.13) не залежить від вибору кола C(0), яке охоплює множину mŤ u=1 Lu. Наступне твердження містить аналог інтегральної формули Коші для моногенних функцій Φ : Ω Ñ Am n , заданних в області Ω Ă E3. Теорема 3.9. Нехай виконується умова (2.5) і функція Φ : Ω Ñ Am n є моногенною в області Ω Ă E3. Тоді для кожної точки ζ0 P Ω виконує- ться наступна рівність: λΦ(ζ0) = ż γ Φ(ζ) (ζ ´ ζ0) ´1 dζ, (3.14) де γ – довільна замкнена жорданова спрямлювана крива в Ω, яка охо- плює один раз множину (3.12). Доведення. Для довільного ε P (0, 1) розглянемо коло C(ζ0, ε) := tζ0 + ε(ζ ´ ζ0) : ζ P C(ζ0)u, де C(ζ0) – коло, існування якого випливає з того, що крива γ охоплює один раз множину (3.12). Оскільки γ гомотопна колу C(ζ0, ε) в області Ωz␣ζ0 + ζ : ζ P mŤ u=1 Lu ( , то з використанням теореми 3.5 отримуємо рівністьż γ Φ(ζ) (ζ ´ ζ0) ´1 dζ = ż C(ζ0,ε) Φ(ζ) (ζ ´ ζ0) ´1 dζ. (3.15) Далі, представляючи інтеграл в правій частині рівності (3.15) у виг- ляді суми двох інтегралів, отримуємоż γ Φ(ζ) (ζ ´ ζ0) ´1 dζ = ż C(ζ0,ε) (Φ(ζ) ´ Φ(ζ0)) (ζ ´ ζ0) ´1 dζ + + Φ(ζ0) ż C(ζ0,ε) (ζ ´ ζ0) ´1 dζ =: J1 + J2. (3.16) Тут J2 = λΦ(ζ0) в силу рівності (3.13) при τ = ζ ´ ζ0. Інтегральні теореми в скінченновимірній комутативній алгебрі 927 Підінтегральна функція в інтегралі J1 обмежена константою, яка не залежить від ε. Дійсно, в силу теореми 2.5 функція Φ диференційовна за Лорхом в області Ω і похідна Φ1 L = Φ1 G неперервна в Ω. Тому зі співвідношення (2.1) випливає нерівність }Φ(ζ) ´ Φ(ζ0)} ď cε @ ζ P C(ζ0, ε), де стала c не залежить від ε. Крім того, функція (ζ ´ ζ0) ´1, яка є неперервною на C(ζ0), є також обмеженою на C(ζ0). В результаті ми отримуємо оцінку }(ζ ´ ζ0) ´1} ď ε´1 max τPC(ζ0) }(τ ´ ζ0) ´1} ď cε´1, @ ζ P C(ζ0, ε), де стала c не залежить від ε. З отриманих оцінок випливає, що функція (Φ(ζ) ´ Φ(ζ0))(ζ ´ ζ0) ´1 обмежена на колі C(ζ0, ε) константою, яка не залежить від ε. Отже, інтеграл J1 прямує до нуля, коли ε Ñ 0. Нарешті, переходячи до границі в рівності (3.16) при ε Ñ 0, отриму- ємо рівність (3.14). □ На відміну від подібних результатів Е. Лорха [23] і Е. Блюма [5], функція Φ : Ω Ñ Am n в теоремі 3.9 задана тільки в області Ω підпро- стору E3, а не в області з усієї алгебри. Більш того, зауважимо, що інтегральна формула Коші, встановлена у роботах [5, 23], не застосов- на до моногенної функції Φ : Ω Ñ Am n , оскільки в ній інтегрування здійснюється вздовж кривої, на якій функція Φ, взагалі кажучи, не визначена. Теорема 3.10. Стала λ, визначена рівністю (3.13), є оборотним еле- ментом в алгебрі Am n . Доведення. З розкладу (2.6) випливає рівність ζ´1 = nÿ k=1 rAk Ik (3.17) з коефіцієнтами rAk, що визначаються рівностями rAu = 1 ξu , u = 1, 2, . . . ,m, rAs = s´m+1ÿ k=2 rQk,s ξkus , s = m+ 1,m+ 2, . . . , n, (3.18) 928 С. Плакса, В. Шпаківський в яких rQk,s визначаються рекурентними співвідношеннями: rQ2,s = ´Ts, rQk,s = ´ s´1ÿ r=k+m´2 rQk´1,r Br, s, k = 3, 4, . . . , s´m+ 1, (3.19) де Ts := yas + zbs, s = m+ 1,m+ 2, . . . , n, (3.20) Br,s := s´1ÿ p=m+1 TpΥ p r,s, s = m+ 2,m+ 3, . . . , n, (3.21) а структурні сталі Υp r,s і натуральні числа us визначені відповідно в правилах множення 2) і 3) алгебри Am n . Враховуючи рівність (3.17) і співвідношення dζ = dx e1 + dy e2 + dz e3 = mÿ u=1 ( dx+ au dy + bu dz ) Iu+ + nÿ r=m+1 ( ar dy + br dz ) Ir = mÿ u=1 dξu Iu + nÿ r=m+1 dTr Ir, отримуємо наступну рівність: ζ´1 dζ = mÿ u=1 rAu dξu Iu + nÿ r=m+1 rAur dTr Ir+ + nÿ s=m+1 rAs dξus Is + nÿ s=m+1 nÿ r=m+1 rAs dTr IsIr =: nÿ k=1 σk Ik. (3.22) Тепер, враховуючи рівності (3.22) і (3.18), обчислюємо ż C(0) mÿ u=1 σu Iu = mÿ u=1 Iu ż Cu(0) dξu ξu = 2πi mÿ u=1 Iu = 2πi, де Cu(0) – образ кола C(0) при відображенні fu. Тому λ = 2πi+ nÿ k=m+1 Ik ż C(0) σk, і λ є оборотним елементом. □ Інтегральні теореми в скінченновимірній комутативній алгебрі 929 Отже, інтегальна формула Коші (3.14) може бути переписана у виг- ляді Φ(ζ0) = λ´1 ż γζ Φ(ζ) (ζ ´ ζ0) ´1 dζ. (3.23) В деяких спеціальних випадках (див. [28, 29,33]) встановлено, що λ = 2πi, (3.24) як і в комплексній площині. Очевидно, що рівність (3.24) виконується тоді і тільки тоді, коли ż C(0) σk = 0 @ k = m+ 1, . . . , n, (3.25) але умови (3.25) важко перевірити в загальному випадку. Вкажемо один спеціальний випадок, коли умови (3.25) легко переві- ряются і рівність (3.24) виконується. Використаємо представлення ал- гебри Am n у вигляді напівпрямої суми Am n = S ‘s N , де S – m-вимірна напівпроста підалгебра і N – (n´m)-вимірна нільпотентна підалгебра. Теорема 3.11. Нехай Am n = S ‘s N і E3 Ă S. Тоді виконується рів- ність (3.24). Доведення. З умови E3 Ă S випливає, що ak = bk = 0 для всіх k = m+ 1, . . . , n в розкладі (2.4). Тому для довільного ζ P E3, усі функції Ts і Br,s у співвідношеннях (3.20) і (3.21) рівні нулю. Тепер, враховуючи співвідношення (3.19), робимо висновок про те, що в рівностях (3.18), rAs = 0 при s = m + 1, . . . , n. Звідси миттєво випливають рівності σk = 0 при k = m + 1, . . . , n і усіх ζ P E3. Отже, умови (3.25) задовольняються і рівність (3.24) виконується. □ Зазначимо, що у випадку тривимірної лінійної оболонки E3 теоре- ма 3.11 узагальнює [28, теорема 6], доведену для напівпростих алгебр, на алгебри Am n , які, взагалі кажучи, не є напівпростими. Якщо крива інтерування в рівності (3.13) не охоплює множину mŤ u=1 Lu, то інтеграл в (3.13) може бути необоротним елементом алгебри Am n . Це підтверджує наступний приклад. Приклад 3.12. Розглянемо алгебру A2 (див. [60]) з базисом tI1, I2, ρu і таблицею множення: I2 1 = I1, I2 2 = I2, I1I2 = 0, ρ2 = 0, I1ρ = 0, I2ρ = ρ. 930 С. Плакса, В. Шпаківський Тут базис складається з двох ідемпотентних елементів I1 = I1, I2 = I2 і нільпотентного елемента I3 = ρ, тобто n = 3 і m = 2. Розглянемо інший базис в алгебрі A2: e1 = 1 = I1 + I2, e2 = iI1 + ρ, e3 = iI2. Для ζ = xe1 + ye2 + ze3 маємо ξ1 = x+ iy , ξ2 = ξu3 = x+ iz. Обернений елемент (3.17) має вигляд ζ´1 = 1 ξ1 I1 + 1 ξ2 I2 ´ y ξ22 ρ, так що всі необоротні елементи ζ P E3 розміщуються на двох коорди- натних прямих L1 = tze3 : z P Ru і L2 = tye2 : y P Ru. Візьмемо коло Cy,R := tτ = xe1 + e2 + ze3 : x 2 + z2 = R2u, яке охоплює пряму L2, але не охоплює пряму L1. Тоді для ζ P Cy,R маємо dζ = dx e1 + dz e3 = dx I1 + dξ2 I2, ζ´1 dζ = ( 1 x+ i I1 + 1 ξ2 I2 ´ 1 ξ22 ρ ) (dx I1 + dξ2 I2) = = dx x+ i I1 + dξ2 ξ2 I2 ´ dξ2 ξ22 ρ. Легко обчислюється інтегралż Cy,R ζ´1 dζ = 2πi I2, тобто цей інтеграл є необоротним елементом алгебри Am n . 3.13. Теорема Тейлора. Виконуючи розклад функції (3.23) у степе- невий ряд подібно до розкладу голоморфних функцій, що базується на розкладі в степеневий ряд ядра Коші (див., наприклад, О. І. Маркуше- вич [54, с. 298]), отримуємо наступне твердження. Теорема 3.14. Нехай виконується умова (2.5) і функція Φ : Ω Ñ Am n є моногенною в області Ω Ă E3. Тоді Φ є аналітичною в області Ω, тобто в деякому околі кожної точки ζ0 P Ω вона може бути представлена у вигляді суми збіжного степеневого ряду Φ(ζ) = 8ÿ k=0 ck (ζ ´ ζ0) k, (3.26) Інтегральні теореми в скінченновимірній комутативній алгебрі 931 де cn = Φ (n) G (ζ0) n! = λ´1 ż γ Φ(τ) ( (τ ´ ζ0) ´1 )n+1 dτ, n = 0, 1, . . . , і γ – довільна замкнена жорданова спрямлювана крива в Ω, яка охо- плює один раз множину (3.12). 3.15. Еквівалентні означення моногенних функцій. Наступна те- орема, що містить різні еквівалентні означення моногенної функції, є аналогом класичної теореми комплексного аналізу про різні еквівален- тні означення голоморфних функцій. Теорема 3.16. Нехай виконується умова (2.5). Функція Φ : Ω Ñ Am n є моногенною в довільній області Ω Ă E3 тоді і тільки тоді, коли виконується одна з наступних умов: (I) усі компоненти Uk : Ω Ñ C розкладу (2.9) є R-диференційовними функціями в області Ω і в цій області виконуються умови (2.10); (II) функція Φ є аналітичною в області Ω, тобто для кожної точки ζ0 P Ω існує окіл, в якому функція Φ представляється у вигляді суми збіжного степеневого ряду (3.26) з коефіцієнтами ck, що належать алгебрі Am n ; (III) функція Φ неперервна в області Ω і виконується рівність (3.8) для кожного трикутника △, що міститься в області Ω; (IV) функція Φ є диференційовною за Лорхом в області Ω; (V) в кожній кулі ℧ Ă Ω існують m голоморфних функцій Fu в обла- стях Du := tfu(ζ) : ζ P ℧u, u = 1, 2, . . . ,m, і n ´ m голоморфних функцій Gs в областях Dus, s = m + 1,m + 2, . . . , n, таких, що функція Φ представляється у вигляді (2.8), де Γu – замкнена жор- данова спрямлювана крива, яка лежить в області Du, охоплює точку fu(ζ) і не містить точок fq(ζ), q = 1, 2, . . . ,m, q ‰ u. Доведення. Еквівалентність умови (I) і моногенності функції Φ дове- дено в теоремі 2.6. Еквівалентність умови (II) і моногенності функ- ції Φ є наслідком теореми 3.14 і властивості збіжного степеневого ря- ду (3.26) визначати моногенну функцію в області збіжності. Еквіва- лентність умови (III) і моногенності функції Φ випливає з теорем 3.5 і 3.7. Еквівалентність умови (IV) і моногенності функції Φ випливає з першого твердження теореми 2.5. Нарешті, еквівалентність умови (V) і моногенності функції Φ випливає з теореми 2.3. □ 932 С. Плакса, В. Шпаківський Теорема 3.16 узагальнює результати робіт [26, 28–30, 33, 60, 61], вста- новлені для моногенних функцій в конкретних скінченновимірних ал- гебрах. 4. ТЕОРЕМА КОШІ ДЛЯ ПОВЕРХНЕВОГО ІНТЕГРАЛА В СКІНЧЕННОВИМІРНІЙ КОМУТАТИВНІЙ АСОЦІАТИВНІЙ АЛГЕБРІ Інтегральна теорема Коші є фундаментальним результатом класи- чного комплексного аналізу в комплексній площині C: якщо межа BD областіD Ă C є замкненою спрямлюваною жордановою кривою і функ- ція F : D ÝÑ C – неперервна в замиканні D області D і голоморфна в D, то ż BD F (z)dz = 0. Розвиток гіперкомплексного аналізу як в комутативних, так і не- комутативних алгебрах потребує аналогічних загальних аналогів інте- гральної теореми Коші для багатовимірних просторів. Добре відомо, що у випадку, коли однозв’язна область має замкнену кусково-гладку межу, просторові аналоги інтегральної теореми Коші можна отримати за допомогою класичної формули Гаусса-Остроград- ського за умови, що задана функція має неперервні частинні похідні першого порядку, які неперервно продовжуються на межу області. У такий спосіб аналоги інтегральної теореми Коші доведено в алгебрі ква- терніонів (див., наприклад, монографію В. В. Кравченка і М. В. Ша- піро [22, с. 66]) і в алгебрах Кліффорда (див., наприклад, монографію Ф. Брекса, Р. Деланга і Ф. Соммена [7, с. 52]). Узагальнення інтегральної теореми Коші полягають у послабленні вимог до межі або до заданої функції. Як правило, такі узагальне- ння базуються на узагальненій Гаусса-Остроградського-Гріна-Стокса формулі (див., наприклад, Г. Федерер [12] або Дж. Харрісон і А. Нор- тон [16]) за умови неперервності частинних похідних заданої функції, але для розширених класів поверхонь інтегрування; див., наприклад„ Р. Абреу Блайя і Х. Борі Рейєс [1], а також Р. Абреу Блайя, Д. Пена Пена і Х. Борі Рейєс [3], де розглядаються спрямлювані або регуляр- ні поверхні. В роботах А. Садбері [48] і О. Ф. Геруса [49], неперерв- ність частинних похідних замінено диференційовністю компонент зада- ної функції, що приймає значення в алгебрі кватерніонів. Зазначимо, що в роботі [49] межа області залишається кусково-гладкою. Далі ми доведемо аналог інтегральної теореми Коші для поверхне- вого інтеграла від гіперголоморфної функції, що задана в області три- вимірного простору і приймає значення в довільній n-вимірній кому- тативній асоціативній алгебрі, де 3 ď n ă 8. Зазначимо, що моногенні Інтегральні теореми в скінченновимірній комутативній алгебрі 933 функції в гармонічних алгебрах утворюють підмножину гіперголомор- фних функцій, які, крім того, можуть бути заданими в областях, межі яких не є кусково-гладкими. Аналогічний результат опубліковано в роботі [32] для гіперголомор- фних функцій за умови, що задана комутативна алгебра розглядається над полем комплексних чисел. Проте, як випливає з наведеного далі доведення, така умова є неістотною. Зазначимо також, що подібний аналог інтегральної теореми Коші доведено О. Ф. Герусом [17] для гі- перголоморфних функцій, що приймають значення в некомутативній алгебрі кватерніонів. 4.1. Поверхневі інтеграли по квадровних поверхнях. Розгляне- мо поняття квадровної поверхні в R3. Множина Σ називається по- верхнею у просторі R3, якщо Σ є гомеоморфним образом квадрата G := [0, 1] ˆ [0, 1] (див., наприклад, [36, c. 24]). Через Σε позначимо ε-окіл поверхні Σ, тобто множину Σε := ! (x, y, z) P R3 : a (x´ x1)2 + (y ´ y1)2 + (z ´ z1)2 ď ε, (x1, y1, z1) P Σ ) . Відстанню Фреше d(Σ,Λ) між поверхнями Σ і Λ називається інфімум дійсних чисел ε, для яких виконуються співвідношення Σ Ă Λε, Λ Ă Σε (див., наприклад, [13]). Послідовність багатогранників Λn називається рівномірно збіжною до поверхні Σ, якщо d(Λn,Σ) Ñ 0 при n Ñ 8 (див., наприклад, [36, c. 121]). Площею Лебега поверхні Σ називається величина L(Σ) := inf lim inf nÑ8 L(Λn), де інфімум береться по усіх послідовностях Λn, рівномірно збіжних до Σ (див., наприклад, [36, c. 468]), а L(Λn) – площа багатогранника Λn. Нехай поверхня Σ має скінченну площу Лебега. Тоді за теоремою Л. Чезарі [10, с. 7] існує параметризація поверхні Σ = ␣ f(u, v) := ( x(u, v), y(u, v), z(u, v) ) : (u, v) P G( така, що якобіани A := By Bu Bz Bv ´ By Bv Bz Bu, B := Bz Bu Bx Bv ´ Bz Bv Bx Bu, C := Bx Bu By Bv ´ Bx Bv By Bu (4.1) існують майже всюди на квадраті G := [0; 1] ˆ [0; 1] і L(Σ) = ż G a A2 +B2 + C2 du dv. (4.2) 934 С. Плакса, В. Шпаківський У випадку, коли L(Σ) ă 8 і рівність (4.2) виконується для заданої параметризації Σ, поверхню Σ будемо називати квадровною. Сформулюємо деякі достатні умови квадровності поверхні Σ. ‚ Якщо Σ – спрямлювана поверхня (тобто, ліпшицевий образ квадра- та), то з результатів Т. Радо [36, IV.4.28, IV.4.1 (e)] випливає, що поверхня Σ квадровна. ‚ Нехай компоненти x(u, v), y(u, v), z(u, v) відображення f – абсолютно неперервні за Тонеллі (див., наприклад, [42, с. 169]). Нехай, крім того, в якобіанах A,B,C відображення f в кожному з добутків By Bu Bz Bv , By Bv Bz Bu, Bz Bu Bx Bv , Bz Bv Bx Bu, Bx Bu By Bv , Bx Bv By Bu одна частинна похідна належить класу інтегровних функцій Lp(G) на G, а інша частинна похідна належить Lq(G), де 1 p + 1 q = 1. То- ді поверхня Σ квадровна (див. Т. Радо [36, V.2.26]). Відзначимо, що для спрямлюваної поверхні Σ компоненти x(u, v), y(u, v), z(u, v) від- ображення f абсолютно неперервні за Тонеллі (див., наприклад, [42, с. 169]). ‚ Якщо дві компоненти відображення f(u, v) є функціями Ліпшиця, а третя компонента – абсолютно неперервна за Тонеллі, то поверхня Σ квадровна (див. Т. Радо [36, V.2.28]). Тепер визначимо поверхневі інтеграли по квадровних поверхнях. За- мкнену поверхню Γ Ă R3 розуміємо як образ сфери при гомеоморфно- му відображенні, яке відображає хоча б одне коло на спрялювану криву. Отже, замкнена поверхня Γ подається як об’єднання двох поверхонь Γ1, Γ2, для яких Γ1 X Γ2 =: γ є замкненою жордановою спрямлюваною кривою. Нехай поверхні Γ1, Γ2 задані параметрично: Γ1 = ␣ f1(u, v) := ( x1(u, v), y1(u, v), z1(u, v) ) : (u, v) P G( , Γ2 = ␣ f2(u, v) := ( x2(u, v), y2(u, v), z2(u, v) ) : (u, v) P G( . Замкнена поверхня Γ називається квадровною, якщо поверхні Γ1 і Γ2 квадровні. Для замкненої квадровної поверхні Γ і неперервної функції F : Γ Ñ R визначимо інтеграли по Γ рівностями ż Γ F (x, y, z) dydz := ż G F ( x1(u, v), y1(u, v), z1(u, v) ) A1 du dv´ ´ ż G F ( x2(u, v), y2(u, v), z2(u, v) ) A2 du dv, (4.3) Інтегральні теореми в скінченновимірній комутативній алгебрі 935 ż Γ F (x, y, z) dzdx := ż G F ( x1(u, v), y1(u, v), z1(u, v) ) B1 du dv´ ´ ż G F ( x2(u, v), y2(u, v), z2(u, v) ) B2 du dv, (4.4) ż Γ F (x, y, z) dxdy := ż G F ( x1(u, v), y1(u, v), z1(u, v) ) C1 du dv´ ´ ż G F ( x2(u, v), y2(u, v), z2(u, v) ) C2 du dv, (4.5) з якобіанами Ak, Bk, Ck відображення fk вигляду (4.1) при k = 1, 2. Легко переконатися у коректності означень (4.3)-(4.5). Справді, зна- чення правих частин інтегралів в рівностях (4.3)-(4.5) однакові для усіх параметризацій f1, f2, для яких площі L(Γ1), L(Γ2) подаються рівностя- ми вигляду (4.2), і значення правих частин інтегралів в рівностях (4.3)- (4.5) не залежать від вибору спрямлюваної кривої γ, яка розбиває Γ на дві частини. Лема 4.2. Якщо Γ замкнена квадровна поверхня, тоż Γ dydz = ż Γ dzdx = ż Γ dxdy = 0. (4.6) Доведення. За означеннямż Γ dydz = ż G A1 du dv ´ ż G A2 du dv. (4.7) З результатів Т. Радо [36, V.2.64 (iii), IV.4.21 (iii3)] випливає, що для поверхонь Γ1, Γ2 справедливі наступні рівності:ż G Ak du dv = ż BG ydz, k = 1, 2, (4.8) де інтеграл в правій частині розуміємо як інтеграл Лебега-Стілтьєса, який беремо по межі BG квадрата G в додатному напрямку. Тепер з рівностей (4.7), (4.8) плививає, що перший інтеграл в рівності (4.6) дорівнює нулю. Інші рівності (4.6) доводяться аналогічно. □ 4.3. Гіперголоморфні функції. Допоміжні твердження. Нехай тепер A – комутативна асоціативна алгебра над полем дійсних чисел R з базисом tekunk=1, 3 ď n ă 8. Виділимо лінійний підпростір E3 := tζ = xe1 + ye2 + ze3 : x, y, z P Ru, 936 С. Плакса, В. Шпаківський породжений векторами e1, e2, e3. Будемо використовати однакове по- значення Ω для множини в R3 і для конгруентної множини в E3. Розглянемо функцію Ψ : Ω Ñ A, розкладену за базисом tekunk=1 у вигляді Ψ(ζ) = nÿ k=1 Uk(x, y, z)ek, (4.9) де (x, y, z) P Ω і Uk : Ω Ñ R. Будемо казати, що функція Ψ : Ω Ñ A є гіперголоморфною в області Ω Ă E3, якщо її дійснозначні компоненти розкладу (4.9) є диференці- йовними функціями в Ω і виконується наступна умова в кожній точці області Ω: BΨ Bx e1 + BΨ By e2 + BΨ Bz e3 = 0. (4.10) В науковій літературі використовуються різні назви для функцій, які задовольняють рівняння вигляду (4.10). Наприклад, в роботах А. Са- дбері [48], Ф. Коломбо, І. Сабадіні і Д. Струппи [11], В. Шпрьоссіга [46] такі функції називаються регулярними, а в роботах Ф. Брекса, Р. Де- ланга і Ф. Соммена [7], С. Бернштейн [4], Дж. Райана [41] – моно- генними функціями. Ми будемо використовувати термінологію робіт В. В. Кравченка і М. В. Шапіро [22] В. Шпрьоссіга [47], О. Ф. Геру- са [49]. Нехай Ω – обмежена замкнена множина в R3. Для неперервної функ- ції Ψ : Ωζ Ñ A, розкладеної за базисом tekunk=1 у вигляді (4.9), означимо об’ємний інтеграл рівністю ż Ω Ψ(ζ) dx dy dz := nÿ k=1 ek ż Ω Uk(x, y, z) dx dy dz. Нехай Γ – замкнена квадровна поверхня в R3. Для неперервної функ- ції Ψ : Γζ Ñ A, розкладеної за базисом tekunk=1 у вигляді (4.9), де (x, y, z) P Γ і Uk : Γ Ñ R, означимо поверхневий інтеграл по Γ з дифе- ренціальною формою σ := dy dz e1 + dz dx e2 + dx dy e3 рівністю ż Γ Ψ(ζ)σ := nÿ k=1 e1ek ż Γ Uk(x, y, z) dy dz+ + nÿ k=1 e2ek ż Γ Uk(x, y, z) dz dx+ nÿ k=1 e3ek ż Γ Uk(x, y, z) dx dy, де інтеграли в правій частині рівності визначені рівностями (4.3)-(4.5). Наступна лема є наслідком леми 4.2 і означення диференціальної форми σ. Інтегральні теореми в скінченновимірній комутативній алгебрі 937 Лема 4.4. Якщо Γ – замкнена квадровна поверхня, то ż Γ σ = 0. (4.11) Введемо евклідову норму }a} := ( nÿ k=1 \|ak\|2 )1/2 в алгебрі A, де a = nř k=1 akek і ak P R при k = 1, n. Нехай Γ – замкнена квадровна поверхня в R3. Для неперервної функ- ції U : Γ Ñ R, означимо поверхневий інтеграл по Γ з диференціальною формою }σ} рівністю ż Γ U(xe1 + ye2 + ze3)}σ} := := ż G U ( x1(u, v)e1 + y1(u, v)e2 + z1(u, v)e3 )b A2 1 +B2 1 + C2 1 du dv´ ´ ż G U ( x2(u, v)e1 + y2(u, v)e2 + z2(u, v)e3 )b A2 2 +B2 2 + C2 2 du dv. Наступне твердження містить аналог формули Гаусса-Остроград- ського в алгебрі A, який випливає з класичної формули Гаусса-Остро- градського: Теорема 4.5. Нехай Ω – однозв’язна область в E3 з кусково-гладкою межею BΩ. Нехай Ψ : Ω Ñ A – неперервна функція, що має неперервні частинні похідні першого порядку в області Ω, які неперервно продов- жуються на межу BΩ. Тоді справедливий наступний аналог формули Гаусса-Остроградського: ż BΩ Ψ(ζ)σ = ż Ω (BΨ Bx e1 + BΨ By e2 + BΨ Bz e3 ) dx dy dz. (4.12) Доведення наступної теореми подібне до доведень А. Садбері [48, теорема 9] і О. Ф. Геруса [49, теорема 1], де розглядалися функції, що приймають значення в алгебрі кватерніонів. Теорема 4.6. Нехай BP – межа замкненого куба P , який міститься в області Ω Ă E3, і функція Ψ : Ω Ñ A – гіперголоморфна в області Ω. 938 С. Плакса, В. Шпаківський Тоді виконується наступна рівність:ż BP Ψ(ζ)σ = 0. Доведення. Позначимо K := ›››› ż BP Ψ(ζ)σ ››››. Нехай тако, S позначає площу поверхні BP . Розділимо P на 8 рівних кубів і позначимо через P 1 такий куб, для якого›››› ż BP 1 Ψ(ζ)σ ›››› ě K/8. Очевидно, що поверхня BP 1 має площу S/4. Продовжуючи цей процес, отримаємо послідовність вкладених кубів Pm з площами S/4m поверхонь BPm, які задовольняють нерівності›››› ż BPm Ψ(ζ)σ ›››› ě K/8m. (4.13) За принципом Кантора існує єдина точка ζ0 := x0e1 + y0e2 + z0e3, спільна для всіх кубів Pm. Оскільки функція Ψ має вигляд (4.9) і дій- снозначні компоненти Uk диференційовні в Ω, то в околі точки ζ0 маємо розклад Ψ(ζ) = Ψ(ζ0) + ∆x BΨ(ζ0) Bx +∆y BΨ(ζ0) By +∆z BΨ(ζ0) Bz + δ(ζ, ζ0)ρ, де ∆x := x´x0, ∆y := y´ y0, ∆z := z´ z0, і δ(ζ, ζ0) – нескінченно мала функція при ρ := }ζ ´ ζ0} Ñ 0. Тому для всіх достатньо малих кубів маємо ż BPm Ψ(ζ)σ = Ψ(ζ0) ż BPm σ + BΨ(ζ0) Bx ż BPm ∆xσ + BΨ(ζ0) By ż BPm ∆y σ+ + BΨ(ζ0) Bz ż BPm ∆z σ + ż BPm δ(ζ, ζ0)ρ σ = 5ÿ r=1 Jr. Згідно з формулою (4.12), J1 = 0. Використовуючи цю формулу і враховуючи рівність (4.10), отримуємо J2 + J3 + J4 = BΨ(ζ0) Bx e1Vm + BΨ(ζ0) By e2Vm + BΨ(ζ0) Bz e3Vm = 0, де через Vm позначено об’єм куба Pm. Інтегральні теореми в скінченновимірній комутативній алгебрі 939 Відзначимо, що для довільного ε ą 0 існує число m0 таке, що нерів- ність }δ(ζ, ζ0)} ă ε виконується для всіх кубів Pm при m ą m0. Відзна- чимо також, що ρ не більше, ніж діагональ куба Pm, тобто, ρ ď ? S 2m ? 2 . Тому, використовуючи згадані вище нерівності для δ(ζ, ζ0) і ρ, отриму- ємо ›››› ż BPm Ψ(ζ)σ ›››› = }J5} ď nM ż BPm ρ }δ(ζ, ζ0)} }σ} ď nM ? S 2m ? 2 S 4m ε, (4.14) де M – деяка абсолютна стала. Зі співвідношень (4.13) і (4.14) випливає нерівність K ď c ε, де стала c не залежить від ε. Перейшовши до границі в останній нерівності при ε Ñ 0, отримаємо рівність K = 0. □ 4.7. Аналог теореми Коші для поверхневого інтеграла. Вста- новимо аналог теореми Коші для поверхневого інтеграла по межі BΩ у випадку, коли функція Ψ : Ω Ñ A гіперголоморфна в області Ω і неперервна в замиканні Ω цієї області. Для функції Ψ : Ω Ñ A, гіперголоморфної в області Ω Ă E3 і непе- рервної в замиканні цієї області, розглянемо модуль неперервності ωΨ,Ω(δ) := sup ζ1,ζ2PΩ, }ζ1´ζ2}ďδ }Ψ(ζ1) ´ Ψ(ζ2)}. Верхньою площею Мінковського множини BΩ називається величина M˚(BΩ) := lim sup εÑ0 V (BΩε) 2ε (див., наприклад, П. Маттіла [25, с. 79]), де через V (BΩε) позначено об’єм множини BΩε := ␣ (x, y, z) P R3 : a (x´ x1)2 + (y ´ y1)2 + (z ´ z1)2 ď ε, (x1, y1, z1) P BΩ(. Теорема 4.8. Нехай межею BΩ однозв’язної області Ω Ă E3 є за- мкнена квадровна поверхня, для якої M˚(BΩ) ă 8, і Ω має вимірні за Жорданом перетини з усіма площинами, перпендикулярними до координатних осей. Крім того, нехай функція Ψ : Ω Ñ A є гіперголо- морфною в області Ω і неперервною в замиканні Ω цієї області. Тоді справедлива рівність ż BΩ Ψ(ζ)σ = 0. 940 С. Плакса, В. Шпаківський Доведення. Оскільки M˚(BΩ) ă 8, то існує ε0 ą 0 таке, що для всіх ε P (0, ε0) виконується нерівність V (BΩε) ď cε, (4.15) де стала c не залежить від ε. Візьмемо ε ă ε0/ ? 3. Розіб’ємо простір R3 на куби площинами, пер- пендикулярними до координатних осей, з ребром, довжина якого мен- ша ε. Тоді маємо рівність ż BΩ Ψ(ζ)σ = ÿ j ż B(ΩXKj) Ψ(ζ)σ + ÿ k ż BKk Ψ(ζ)σ, (4.16) де перша сума застосовується до кубів Kj , для яких Kj X BΩ ‰ ∅, а друга сума застосовується до кубів Kk, для яких Kk Ă Ω. За теоре- мою 4.6, друга сума дорівнює нулю. Для оцінки інтеграла першої суми візьмемо точку ζj P Ω X Kj . За- значимо, що діаметр множини Ω X Kj не перевищує ε ? 3. Оскільки Ω має вимірні за Жорданом перетини з площинами, перпендикулярними до осей координат, то міра Лебега меж згаданих вище перетинів дорів- нює 0, і тому множина B(ΩXKj) складається з квадровних поверхонь. Отже, беручи до уваги рівність (4.11), отримуємо ›››› ż B(ΩXKj) Ψ(ζ)σ ›››› = ›››› ż B(ΩXKj) (Ψ(ζ) ´ Ψ(ζj))σ ›››› ď ď nM ż B(ΩXKj) }Ψ(ζ) ´ Ψ(ζj)} }σ} ď nMωΨ,Ω(ε ? 3) ż B(ΩXKj) }σ}, (4.17) де M – деяка абсолютна стала. Таким чином, наступна оцінка є результатом рівності (4.16) і нерів- ності (4.17): ›››› ż BΩ Ψ(ζ)σ ›››› ď nM ωΨ,Ω(ε ? 3) ÿ j ż B(ΩXKj) }σ} ď ď nM ωΨ,Ω(ε ? 3) ( ż BΩ }σ} + 6 ÿ j ε2 ) . (4.18) Оскільки Ť j K j Ă BΩε ? 3, то, враховуючи нерівність (4.15), отримуємо оцінку ÿ j ε3 ď V ( BΩε ? 3 ) ď cε ? 3, Інтегральні теореми в скінченновимірній комутативній алгебрі 941 з якої випливає нерівність ÿ j ε2 ď c ? 3. (4.19) Нарешті, наступна нерівність є результатом оцінок (4.18) і (4.19): ›››› ż BΩζ Ψ(ζ)σ ›››› ď c1 ωΨ,Ω(ε ? 3) де стала c1 не залежить від ε. Для завершення доведення зазначимо, що ωΨ,Ω(ε ? 3) Ñ 0 при ε Ñ 0 в силу рівномірної неперервності функції Ψ на Ω. □ Теорема 4.8 узагальнює [29, теорема 1] доведену для трьохвимір- ної комутативної алгебри при додаткових припущеннях про межу BΩ і задану функцію. Подібний аналог теореми 4.8 доведений О. Ф. Ге- русом [17] для гіперголоморфних функцій в некомутативній алгебрі кватерніонів. Розглянемо деякі умови, за яких виконується нерівність (4.15), що є еквівалентною умові M˚(BΩ) ă 8. ‚ Зазначимо, що для поверхні Σ в R3 існують додатні сталі c1 і c2 такі, що c1ε 3NΣ(ε) ď V (Σε) ď c2ε 3NΣ(ε), (4.20) деNΣ(ε) – найменша кількість ε-куль, що покривають Σ (див. Ф. M. Бо- родіч і А. Ю. Воловіков [6]). Зі співвідношення (4.20) випливає, що нерівність (4.15) еквівален- тна нерівності вигляду NΣ(ε) ε 2 ď c, (4.21) де стала c не залежить від ε. ‚ Враховуючи, що спрямлювана поверхня Σ є ліпшицевим образом ква- драта G і нерівність вигляду (4.21) виконується для G, легко довести нерівність (4.21) для такої поверхні Σ. ‚ Якщо для поверхні Σ в R3, яка має скінченну двовимірну міру Хаус- дорфа H2(Σ), існує додатна стала c така, що cε2 ď H2 ( Σ XB(x, ε) ) (4.22) для всіх x P Σ і ε P (0; diamΣ], де diamΣ – діаметр поверхні Σ, а через B(x, ε) позначено відкриту кулю з центром x і радіусом ε, то виконуються нерівності PΣ(ε)ε 2 ď c1H2(Σ) ă 8, 942 С. Плакса, В. Шпаківський де PΣ(ε) – найбільша кількість неперетинних ε-куль з центрами в Σ і стала c1 не залежить від ε (див. Р. Абреу Блайя, Х. Борі Рейєс і Т. Морено-Гарсіа [2, с. 309]). Тому, враховуючи нерівність NΣ(2ε) ď PΣ(ε) (див. П. Маттіла [25, с. 78]), отримуємо нерівність (4.21) для поверхні Σ, яка задовольняє умову (4.22). Зауваження 4.9. Має інтерес розгляд комутативних асоціативних ал- гебр Am n , в яких існують лінійно незалежні над полем R елементи e1, e2, e3, що задовольняють умову e21 + e22 + e23 = 0. (4.23) Такі алгебри називаються гармонічними, оскільки в них кожна моно- генна функція Φ(ζ) змінної ζ = xe1+ ye2+ ze3 задовольняє тривимірне рівняння Лапласа в силу співвідношень ( B2 Bx2 + B2 By2 + B2 Bz2 ) Φ(ζ) ” Φ2 G(ζ)(e 2 1 + e22 + e23) = 0 (див., наприклад, [18, 26, 55, 59, 61]) подібно до того, як кожна голо- морфна функція комплексної змінної задовольняє двовимірне рівняння Лапласа. Зазначимо, що у випадку лінійної оболонки E3, для якої виконую- ться умови (2.5), (4.23) і e1 = 1, моногенні функції вказаної змінної ζ утворюють підмножину гіперголоморфних функцій. Дійсно, кожна моногенна функція Φ: Ω Ñ Am n має R-диференційовні компоненти Uk в розкладі (2.9) в області Ω, і в цій області виконуються умови (2.10), наслідком яких є рівності BΦ Bx e1 + BΦ By e2 + BΦ Bz e3 = BΦ Bx (e 2 1 + e22 + e23) = 0. У той же час існують гіперголоморфні функції які не є моногенними. Наприклад, функція Ψ(x + ye2 + ze3) = ze2 ´ ye3 задовольняє умо- ву (4.10), але не задовольняє необхідні умови моногенності, а саме рів- ності вигляду (2.10). Аналогічно, існують гіперголомофні функції, які не задовольняють тривимірне рівняння Лапласа. Наприклад, функція Ψ(xe1 + ye2 + ze3) = x2e1 + i ( x2 + z2 2 ) e2 + (xz + x+ iy)e3 задовольняє рівняння (4.10), але компоненти x2 і x2+ z2/2 не є просто- ровими гармонічними функціями. Інтегральні теореми в скінченновимірній комутативній алгебрі 943 ЛІТЕРАТУРА [1] Ricardo Abreu Blaya and Juan Bory Reyes. Boundary value problems for quaternionic monogenic functions on non-smooth surfaces. Adv. Appl. Clifford Algebras, 9(1):1–22, 1999. doi:10.1007/BF03041934. [2] Ricardo Abreu Blaya, Juan Bory Reyes, and Tania Moreno García. Minkowski dimension and Cauchy transform in Clifford analysis. Complex Anal. Oper. Theory, 1(3):301–315, 2007. doi:10.1007/s11785-007-0015-0. [3] Ricardo Abreu Blaya, Dixan Peña Peña, and Juan Bory Reyes. Clifford Cauchy type integrals on Ahlfors-David regular surfaces in Rm+1. Adv. Appl. Clifford Algebras, 13(2):133–156, 2003. doi:10.1007/s00006-003-0008-7. [4] S. Bernstein. Factorization of the nonlinear Schrödinger equation and applications. Complex Variables and Elliptic Equations, 51(5-6):429–452, 2006. doi:10.1080/ 17476930500481400. [5] E. K. Blum. A theory of analytic functions in Banach algebras. Trans. Amer. Math. Soc., 78:343–370, 1955. doi:10.2307/1993068. [6] Feodor M. Borodich and Aleksei Yu. Volovikov. Surface integrals for domains with fractal boundaries and some applications to elasticity. R. Soc. Lond. Proc. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci., 456(1993):1–24, 2000. doi:10.1098/rspa.2000.0506. [7] F. Brackx, Richard Delanghe, and F. Sommen. Clifford analysis, volume 76 of Research Notes in Mathematics. Pitman (Advanced Publishing Program), Boston, MA, 1982. [8] E. Cartan. Les groupes bilinéaires et les systèmes de nombres complexes. Ann. Fac. Sci. Toulouse Sci. Math. Sci. Phys., 12(1):B1–B64, 1898. URL: http://www.numdam. org/item?id=AFST_1898_1_12_1_B1_0. [9] Francesco Catoni, Dino Boccaletti, Roberto Cannata, Vincenzo Catoni, Enrico Nichelatti, and Paolo Zampetti. The mathematics of Minkowski space-time. Frontiers in Mathematics. Birkhäuser Verlag, Basel, 2008. With an introduction to commutative hypercomplex numbers. [10] Lamberto Cesari. Surface area. Annals of Mathematics Studies, No. 35. Princeton University Press, Princeton, N. J., 1956. [11] Fabrizio Colombo, Irene Sabadini, and Daniele C. Struppa. Slice monogenic functions. Israel J. Math., 171:385–403, 2009. doi:10.1007/s11856-009-0055-4. [12] Herbert Federer. Geometric measure theory. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 153. Springer-Verlag New York, Inc., New York, 1969. [13] M. Fréchet. Sur la distance de deux surfaces. Ann. Soc. Polonaise Math., 3:4–19, 1924. [14] V. Gončarov. Sur l’intégrale de Cauchy dans le domaine hypercomplexe. Bulletin de l’Académie des Sciences de l’URSS. Classe des sciences mathématiques et na, (10):1405–1424, 1932. [15] E. Goursat. Cours d’analyse mathématique. Gauthier–Villars, Paris, 1910. [16] Jenny Harrison and Alec Norton. The Gauss-Green theorem for fractal boundaries. Duke Math. J., 67(3):575–588, 1992. doi:10.1215/S0012-7094-92-06724-X. [17] O. F. Herus. On the Cauchy theorem for hyperholomorphic functions of spatial variable. Journal of Mathematical Sciences, 229(1):1–6, 2018. doi:10.1007/ s10958-018-3658-7. [18] P. W. Ketchum. Analytic functions of hypercomplex variables. Trans. Amer. Math. Soc., 30(4):641–667, 1928. doi:10.2307/1989440. [19] P. W. Ketchum. A complete solution of Laplace’s equation by an infinite hypervariable. Amer. J. Math., 51(2):179–188, 1929. doi:10.2307/2370704. 944 С. Плакса, В. Шпаківський [20] Vladimir V. Kisil. Hypercomplex representations of the Heisenberg group and mechanics. Internat. J. Theoret. Phys., 51(3):964–984, 2012. doi:10.1007/ s10773-011-0970-0. [21] V.V. Kisil. Erlangen programme at large: an overview. In Advances in Applied Analysis, Trends in Mathematics, pages 1–94. Springer, Basel, 2012. doi:10.1007/ 978-3-0348-0417-1. [22] Vladislav V. Kravchenko and Michael V. Shapiro. Integral representations for spatial models of mathematical physics, volume 351 of Pitman Research Notes in Mathematics Series. Longman, Harlow, 1996. [23] Edgar R. Lorch. The theory of analytic functions in normed abelian vector rings. Trans. Amer. Math. Soc., 54:414–425, 1943. doi:10.2307/1990255. [24] M. Elena Luna-Elizarrarás, Michael Shapiro, Daniele C. Struppa, and Adrian Vajiac. Bicomplex holomorphic functions. Frontiers in Mathematics. Birkhäuser/Springer, Cham, 2015. The algebra, geometry and analysis of bicomplex numbers. doi:10.1007/ 978-3-319-24868-4. [25] Pertti Mattila. Geometry of sets and measures in Euclidean spaces, volume 44 of Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, 1995. Fractals and rectifiability. doi:10.1017/CBO9780511623813. [26] S. A. Plaksa. Commutative algebras associated with classic equations of mathematical physics. In Advances in Applied Analysis, Trends in Mathematics, pages 177–223. Springer, Basel, 2012. doi:10.1007/978-3-0348-0417-5. [27] S. A. Plaksa. Integral theorems for monogenic functions in an infinite-dimensional space with a commutative multiplication. Зб. праць Ін-ту матем. НАН України, 10(4–5):306–319, 2013. [28] S. A. Plaksa and R. P. Pukhtaievych. Monogenic functions in a finite-dimensional semi-simple commutative algebra. Analele Universitatii ”Ovidius” Constanta – Seria Matematica, 22(1):221–235, December 2014. doi:10.2478/auom-2014-0018. [29] S. A. Plaksa and V. S. Shpakivskyi. Integral theorems and a Cauchy formula in a commutative three-dimensional harmonic algebra. Bull. Soc. Sci. Lett. Łódź Sér. Rech. Déform., 60(2):47–54, 2010. [30] S. A. Plaksa and V. S. Shpakivskyi. Integral theorems in a commutative three- dimensional harmonic algebra. In Progress in analysis and its applications, pages 232–239. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2010. URL: https://doi.org/10.1142/ 9789814313179_0031, doi:10.1142/9789814313179\_0031. [31] S. A. Plaksa and V. S. Shpakivskyi. A description of spatial potential fields by means of monogenic functions in infinite-dimensional spaces with a commutative multiplication. Bulletin Soc. Sci. et Lettr. Lódź, 62(2):55–65, 2012. [32] S. A. Plaksa and V. S. Shpakivskyi. Cauchy theorem for a surface integral in commutative algebras. Complex Variables and Elliptic Equations, 59(1):110–119, November 2013. doi:10.1080/17476933.2013.845178. [33] S. A. Plaksa and V. S. Shpakivskyi. Monogenic functions in a finite-dimensional algebra with unit and radical of maximal dimensionality. Journal of Algerian Mathematical Society, 1(1):1–13, 2014. [34] A. Pogorui, R.M. Rodríguez-Dagnino, and M. Shapiro. Solutions for PDEs with constant coefficients and derivability of functions ranged in commutative algebras. Mathematical Methods in the Applied Sciences, 37(17):2799–2810, November 2013. doi:10.1002/mma.3019. Інтегральні теореми в скінченновимірній комутативній алгебрі 945 [35] G. Baley Price. An introduction to multicomplex spaces and functions, volume 140 of Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics. Marcel Dekker, Inc., New York, 1991. With a foreword by Olga Taussky Todd. [36] Tibor Radó. Length and Area. American Mathematical Society, New York„ , 1948. [37] F. Ringleb. Beiträge zur funktionentheorie in hyperkomplexen systemen. Rend. Circ. Mat. Palermo, 57:311–340, 1933. [38] M. N. Roşculeţ. O teorie a funcţiilor de o variabilă hipercomplexă în spaţiul cu trei dimensiuni. Studii şi Cercetǎri Matematice, 5(3–4):361–401, 1954. [39] M. N. Roşculeţ. Algebre infinite associate la ecuaţii cu derivate parţiale, omogene, cu coeficienţi constanţi de ordin oarecare. Studii şi Cercetǎri Matematice, 6(3–4):567–643, 1955. [40] M. N. Roşculeţ. Algebre liniare asociative şi comutative şi fincţii monogene ataşate lor. Studii şi Cercetǎri Matematice, 6(1–2):135–173, 1955. [41] J. Ryan. Dirac operators, conformal transformations and aspects of classical harmonic analysis. J. of Lie Theory, 8:67–82, 1998. [42] S. Saks. Theory of the integral, 2nd English edition. Warsaw, 1937. [43] V. Shpakivskyi. Constructive description of monogenic functions in a finite-dimen- sional commutative associative algebra. Advances in Pure and Applied Mathematics, 7(1), January 2016. doi:10.1515/apam-2015-0022. [44] V. S. Shpakivskyi. Monogenic functions in finite-dimensional commutative associative algebras. Зб. праць Ін-ту матем. НАН України, 12(3):251–268, 2015. [45] L. Sobrero. Nuovo metodo per lo studio dei problemi di elasticità, con applicazione al problema della piastra forata. Ricerche di Ingegneria, 13(2):255–264, 1934. [46] Wolfgang Spröß ig. Eigenvalue problems in the framework of Clifford analysis. Adv. Appl. Clifford Algebras, 11(S2):301–316, 2001. doi:10.1007/BF03219141. [47] Wolfgang Sprössig. Quaternionic analysis and Maxwell’s equations. Cubo, 7(2):57–67, 2005. [48] A. Sudbery. Quaternionic analysis. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 85(2):199–224, 1979. doi:10.1017/S0305004100055638. [49] О. Ф. Герус. Про гіперголоморфні функції просторової змінної. Укр. матем. журн., 63(4):459–465, 2011. [50] С. В. Грищук and С. А. Плакса. Моногенные функции в бигармонической алгебре. Укр. матем. журн., 61(12):1587–1596, 2009. doi:10.1007/s11253-010-0319-5. [51] В. Ф. Ковалев and И. П. Мельниченко. Бигармонические функции на бигармони- ческой плоскости. Докл. АН УССР. Сер. А, (8):25–27, 1981. [52] В. Ф. Ковалев and И. П. Мельниченко. Алгебры функционально-инвариантных решений p-бигармонического уравнения. Препринт 91.10. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1991. [53] М.А. Лаврентьев and Б.В. Шабат. Методы теории функций комплексного пере- менного. Москва: Наука, 1987. [54] А.И. Маркушевич. Теория аналитических функций, volume 1. Москва: Наука, 1968. [55] И. П. Мельниченко. О представлении моногенными функциями гармонических отображений. Укр. матем. журн., 27(5):606–613, 1975. [56] И. П. Мельниченко. Об одном методе описания потенциальных полей с осевой симметрией. In Современные вопросы вещественного и комплексного анализа (Ин- т математики АН УССР, Киев), pages 98–102. 1984. [57] И. П. Мельниченко. Бигармонические базисы в алгебрах второго ранга. Укр. ма- тем. журн., 38(2):252–254, 1986. 946 С. Плакса, В. Шпаківський [58] И. П. Мельниченко. Алгебры функционально-инвариантных решений трехмерно- го уравнения Лапласа. Укр. матем. журн., 55(9):1284–1290, 2003. [59] И. П. Мельниченко and С. А. Плакса. Коммутативные алгебры и пространствен- ные потенциальные поля. Ин-т математики НАН Украины, Киев, 2008. [60] С. А. Плакса and Р. П. Пухтаевич. Конструктивное описание моногенных фун- кций в трехмерной гармонической алгебре с одномерным радикалом. Укр. матем. журн., 65(5):670–680, 2013. doi:10.1007/s11253-013-0810-x. [61] С. А. Плакса and В. С. Шпаковский. Конструктивное описание моногенных фун- кций в гармонической алгебре третьего ранга. Укр. матем. журн., 62(8):1078– 1091, 2010. doi:10.1007/s11253-011-0427-x. [62] Ю. Ю. Трохимчук. Непрерывные отображения и условия моногенности. Москва: Физматиз, 1963. [63] Э. Хилле and Р. Филлипс. Функциональный анализ и полугруппы. Москва: Изда- тельство иностр. лит, 1962. С. А. Плакса ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ НАН УКРАЇНИ, М. КИЇВ Email: plaksa@imath.kiev.ua, plaksa62@gmail.com ORCID: 0000-0002-2828-0329 В. С. Шпаківський ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ НАН УКРАЇНИ, М. КИЇВ Email: shpakivskyi86@gmail.com ORCID: 0000-0003-4256-8975
id	oai:trim.imath.kiev.ua:article-533
institution	Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine
keywords_txt_mv	keywords
language	Ukrainian English
last_indexed	2026-08-04T01:09:01Z
publishDate	2023
publisher	Інститут математики НАН України
record_format	ojs
resource_txt_mv	trimimathkievua/42/29605d3ad31525bf30d2907ec76e5342.pdf
spelling	oai:trim.imath.kiev.ua:article-5332023-08-17T09:06:54Z Integral theorems in finite-dimensional commutative algebra Інтегральні теореми в скінченновимірній комутативній алгебрі Plaksa, Sergiy Shpakivskiy, Vitaliy Плакса, Сергій Шпаківський, Віталій For monogenic (continuous and differentiable in the sense of G\^ateaux) functions given in special real subspaces of an arbitrary finite-dimensional commutative associative algebra over the complex field and taking values in this algebra, we establish basic properties analogous to properties of holomorphic functions of a complex variable. Methods for proving results are based on a representation of monogenic functions via holomorphic functions of complex variables that allows to establish analogues of Cauchy-Riemann conditions and the continuity of G\^ateaux derivatives of all orders for monogenic functions. In such a way, analogues of a number of classical theorems of complex analysis (the Cauchy integral theorem for a curvilinear integral, the Cauchy integral formula, the Morera theorem, the Taylor theorem) are proved and different equivalent definitions for the mentioned monogenic functions are established. An analogue of the Cauchy theorem for an integral over non piecewise smooth surfaces is proved. Для моногенних (неперервних і диференційовних за Гато) функцій, що визначені у спеціальних дійсних підпросторах довільної скінченновимірної комутативної асоціативної алгебри над комплексним полем і примають значення в цій алгебрі, встановлено основні властивості, аналогічні властивостям голоморфних функцій комплексної змінної. Методи дослідження базуються на представленні моногенних функцій через голоморфні функції комплексних змінних, що дає змогу встановити аналоги умов Коші-Рімана та неперервність похідних Гато всіх порядків для моногенних функцій. У такий спосіб доведено аналоги ряду класичних теорем комплексного аналізу (інтегральна теорема Коші для криволінійного інтеграла, інтегральна формула Коші, теорема Морери, теорема Тейлора) та встановлено різні еквівалентні означення моногенних функцій. Доведено аналог теореми Коші для поверзневого інтеграла по не кусково гладких поверхнях. Інститут математики НАН України 2023-08-17 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/533 10.3842/trim.v20n1.533 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 20 No. 1 (2023): Modern problems of mathematics and its applications, III; 911-946 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 20 № 1 (2023): Сучасні проблеми математики та її застосувань III; 911-946 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 20 № 1 (2023): Сучасні проблеми математики та її застосувань III; 911-946 3083-7529 1815-2910 uk en https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/533/518 Авторське право (c) 2023 Сергій Плакса, Віталій Шпаківський http://creativecommons.org/licenses/by/4.0
spellingShingle	Plaksa, Sergiy Shpakivskiy, Vitaliy Плакса, Сергій Шпаківський, Віталій Integral theorems in finite-dimensional commutative algebra
title	Integral theorems in finite-dimensional commutative algebra
title_alt	Інтегральні теореми в скінченновимірній комутативній алгебрі
title_full	Integral theorems in finite-dimensional commutative algebra
title_fullStr	Integral theorems in finite-dimensional commutative algebra
title_full_unstemmed	Integral theorems in finite-dimensional commutative algebra
title_short	Integral theorems in finite-dimensional commutative algebra
title_sort	integral theorems in finite-dimensional commutative algebra
url	https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/533
work_keys_str_mv	AT plaksasergiy integraltheoremsinfinitedimensionalcommutativealgebra AT shpakivskiyvitaliy integraltheoremsinfinitedimensionalcommutativealgebra AT plaksasergíj integraltheoremsinfinitedimensionalcommutativealgebra AT špakívsʹkijvítalíj integraltheoremsinfinitedimensionalcommutativealgebra AT plaksasergiy íntegralʹníteoremivskínčennovimírníjkomutativníjalgebrí AT shpakivskiyvitaliy íntegralʹníteoremivskínčennovimírníjkomutativníjalgebrí AT plaksasergíj íntegralʹníteoremivskínčennovimírníjkomutativníjalgebrí AT špakívsʹkijvítalíj íntegralʹníteoremivskínčennovimírníjkomutativníjalgebrí

Integral theorems in finite-dimensional commutative algebra

Institution

Ähnliche Einträge