Boundary value problems for integrodifferential equations
This paper presents a detailed survey of research on boundary value problems for integro-differential and integro-dynamic systems. The existence of solutions to these problems is examined using the theoretical apparatus of pseudo-inverse matrices and operators, alongside the Vishik-Lyusternik�...
Gespeichert in:
| Datum: | 2025 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2025
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/537 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872553043950567424 |
|---|---|
| author | Bondar, Ivanna Бондар, Іванна |
| author_facet | Bondar, Ivanna Бондар, Іванна |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Іванна Бондар",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Bondar, Ivanna |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2026-02-24T12:22:41Z |
| description | This paper presents a detailed survey of research on boundary value problems for integro-differential and integro-dynamic systems. The existence of solutions to these problems is examined using the theoretical apparatus of pseudo-inverse matrices and operators, alongside the Vishik-Lyusternik's method for the case of weakly perturbed systems. |
| doi_str_mv | 10.3842/trim.v21n1.537 |
| first_indexed | 2026-08-04T01:09:04Z |
| format | Article |
| fulltext |
Çáiðíèê ïðàöü Ií-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè (2024) ò. 21, �1, 1�12
Êðàéîâi çàäà÷i äëÿ
iíòåãðî-äèôåðåíöiàëüíèõ ðiâíÿíü
I. À. Áîíäàð
Abstract. This paper presents a detailed survey of research on boundary
value problems for integro-di�erential and integro-dynamic systems. The
existence of solutions to these problems is examined using the theoretical
apparatus of pseudo-inverse matrices and operators, alongside the Vishik-
Lyusternik's method for the case of weakly perturbed systems.
Àíîòàöiÿ. Ó äàíié ðîáîòi ïðåäñòàâëåíèé îãëÿä ïðàöü ïðèñâÿ÷åíèõ
êðàéîâèì çàäà÷àì äëÿ iíòåãðî-äèôåðåíöiàëüíèõ òà iíòåãðî-äèíàìi÷íèõ
ñèñòåì. Äëÿ äîñëiäæåííÿ iñíóâàííÿ ðîçâ'ÿçêiâ òàêèõ çàäà÷ âèêîðèñòà-
íî àïàðàò òåîði¨ ïñåâäîîáåðíåíèõ ìàòðèöü òà îïåðàòîðiâ, ìåòîä Âèøèêà�
Ëþñòåðíiêà (ó âèïàäêó ñëàáêîçáóðåíèõ ñèñòåì).
1. Âñòóï
Çàäà÷i ïîáóäîâè êîíñòðóêòèâíèõ ìåòîäiâ àíàëiçó ëiíiéíèõ òà ñëàá-
êîíåëiíiéíèõ êðàéîâèõ çàäà÷ äëÿ øèðîêîãî êëàñó ñèñòåì ôóíêöiîíàëü-
íî-äèôåðåíöiàëüíèõ ðiâíÿíü, ÿêi òðàäèöiéíî çàéìàþòü îäíå iç öåíòðàëü-
íèõ òà âàæëèâèõ ìiñöü ó ÿêiñíié òåîði¨ äèôåðåíöiàëüíèõ ðiâíÿíü, ãðóí-
òîâíî âèâ÷àëèñÿ ó ðîáîòàõ Á. Âàí-äåð-Ïîëÿ, Â. Âîëüòåððà, À. Ïóàíêà-
ðå, Ì.I. Ðîíòî, À.Ì. Ñàìîéëåíêà, Ì.Î. Ïåðåñòþêà, Î.À. Áîé÷óêà, Â.Ï.
Æóðàâëüîâà [4, 5]. Öå çóìîâëåíî, ïåðø çà âñå, âàæëèâiñòþ ïðàêòè÷íî-
ãî çàñòîñóâàííÿ òåîði¨ êðàéîâèõ çàäà÷ ó ðiçíèõ îáëàñòÿõ çíàíü: òåîði¨
íåëiíiéíèõ êîëèâàíü, òåîði¨ ñòiéêîñòi ðóõó, òåîði¨ êåðóâàííÿ; íèçêè ðà-
äiîòåõíi÷íèõ, ìåõàíi÷íèõ òà áiîëîãi÷íèõ çàäà÷.
Ñïåöèôiêà ðîçãëÿäó êðàéîâèõ çàäà÷ äëÿ ñèñòåì iíòåãðî-äèôåðåíöi-
àëüíèõ ðiâíÿíü ïîëÿã๠â òîìó, ùî ¨õ ëiíiéíà ÷àñòèíà ¹ îïåðàòîðîì,
ÿêèé íå ì๠îáåðíåíîãî. Öåé ôàêò ñóòò¹âî óñêëàäíþ¹ äîñëiäæåííÿ òà-
êèõ îïåðàòîðíèõ ðiâíÿíü òà êðàéîâèõ çàäà÷ äëÿ íèõ òà ïðèçâîäèòü äî
Ðîáîòà âèêîíàíà ó ðàìêàõ íàóêîâî-äîñëiäíî¨ òåìè ìîëîäèõ ó÷åíèõ ÍÀÍ Óêðà¨-
íè 2024-2025 ðð. (äåðæàâíèé ðå¹ñòðàöiéíèé íîìåð 0124U002111), à òàêîæ ãðàíòîì
Simons Foundation (1290607, I.À.Á.).
2020 Mathematics Subject Classi�cation: 34B15, 45J05, 93C15, 49J15, 65J15
Êëþ÷îâi ñëîâà: êðàéîâi çàäà÷i, iíòåãðî-äèôåðåíöiàëüíi ðiâíÿííÿ, iíòåãðî-
äèíàìi÷íi ñèñòåìè, ïñåâäîîáåðíåíi ìàòðèöi, îðòîïðîåêòîðè, ìåòîä Âèøèêà�
Ëþñòåðíiêà, iòåðàöiéíèé ïðîöåñ, êåðóâàííÿ
DOI : https://doi.org/10.3842/trim.v21n1.537
1
2 I. À. Áîíäàð
òîãî, ùî ðîçâ'ÿçîê êðàéîâî¨ çàäà÷i äëÿ òàêèõ ñèñòåì ñêëàäà¹òüñÿ iç óìîâ
ðîçâ'ÿçíîñòi ÿê ñàìî¨ îïåðàòîðíî¨ ñèñòåìè, òàê i êðàéîâî¨ çàäà÷i äëÿ íå¨.
Äëÿ äîñëiäæåííÿ iñíóâàííÿ ðîçâ'ÿçêiâ òàêèõ çàäà÷ âèêîðèñòàíî àïà-
ðàò òåîði¨ ïñåâäîîáåðíåíèõ ìàòðèöü òà îïåðàòîðiâ, ÿêèé ðîçâèíåíî ó
ðîáîòàõ À.Ì. Ñàìîéëåíêà, Î.À. Áîé÷óêà, Ñ.À. Êðèâîøå¨ [16,20].
Ðåçóëüòàòè îòðèìàíi â ðîáîòàõ [3, 6, 7, 10�13, 17, 18], à òàêîæ ìåòîäè-
êà ¨õ îòðèìàííÿ, ìîæóòü áóòè âèêîðèñòàíi ïðè ïîäàëüøîìó ðîçâèòêó
òåîði¨ êðàéîâèõ çàäà÷ äëÿ iíòåãðî-äèôåðåíöiàëüíèõ ðiâíÿíü ïðè ìîäå-
ëþâàííi òà äîñëiäæåííi ôiçè÷íèõ, åêîíîìi÷íèõ òà áiîëîãi÷íèõ ïðîöåñiâ.
Îñíîâíi ðåçóëüòàòè, ùî âèçíà÷àþòü íàóêîâó íîâèçíó, òàêi:
1. Âèêîðèñòîâóþ÷è ìåòîä Âiøèêà-Ëþñòåðíèêà [19] òà òåîðiþ ïñåâäî-
îáåðíåíèõ çà Ìóðîì-Ïåíðîóçîì ìàòðèöü, çíàéäåíî äîñòàòíi óìîâè iñíó-
âàííÿ ðîçâ'ÿçêiâ ëiíiéíèõ ñëàáêîçáóðåíèõ ñèñòåì iíòåãðî-äèôåðåíöiàëü-
íèõ ðiâíÿíü òà êðàéîâèõ çàäà÷ äëÿ íèõ ó ïðèïóùåííi, ùî ïîðîäæóþ÷i
çàäà÷i íåðîçâ'ÿçíi. Ïîáóäîâàíî çàãàëüíèé âèãëÿä ðîçâ'ÿçêiâ òàêèõ çà-
äà÷ ó âèãëÿäi ÷àñòèí ðÿäiâ Ëîðàíà, ÿêi çáiãàþòüñÿ ïðè ôiêñîâàíîìó,
äîñòàòíüî ìàëîìó ε [12].
2. Îòðèìàíî êðèòåðié ðîçâ'ÿçíîñòi ëiíiéíî¨ íåîäíîðiäíî¨ çàäà÷i äëÿ ñè-
ñòåìè iíòåãðî-äèôåðåíöiàëüíèõ ðiâíÿíü ç iìïóëüñíèì âïëèâîì. Çàïðî-
ïîíîâàíî çàäà÷i òàêîãî òèïó ðîçãëÿäàòè ÿê âíóòðiøíi êðàéîâi çàäà÷i
("interface BVP's") [13,18].
3. Äëÿ ñëàáêîíåëiíiéíî¨ ñèñòåìè iíòåãðî-äèôåðåíöiàëüíèõ ðiâíÿíü òà
êðàéîâî¨ çàäà÷i äëÿ íå¨ ïîáóäîâàíî ðiâíÿííÿ äëÿ ïîðîäæóþ÷èõ êîí-
ñòàíò, ÿêi âèçíà÷àþòü íåîáõiäíi óìîâè iñíóâàííÿ ðîçâ'ÿçêiâ, äîâåäå-
íî äîñòàòíi óìîâè òà âñòàíîâëåíî çâ'ÿçîê ìiæ íåîáõiäíèìè òà äîñòà-
òíiìè óìîâàìè. Ïîáóäîâàíî çáiæíó iòåðàöiéíó ïðîöåäóðó âiäøóêàííÿ
ðîçâ'ÿçêiâ. Òàêîæ äîñëiäæåíî iìïóëüñíi íåëiíiéíi êðàéîâi çàäà÷i äëÿ
âiäïîâiäíèõ ñèñòåì òà âñòàíîâëåíi óìîâè iñíóâàííÿ ¨õ ðîçâ'ÿçêó ó âiä-
ïîâiäíîìó êëàñi âåêòîð-ôóíêöié [7, 10, 17].
4. Îòðèìàíî óìîâè áiôóðêàöi¨ ç òî÷êè ε “ 0 ðîçâ'ÿçêiâ ñëàáêîçáóðå-
íèõ ñèñòåì ëiíiéíèõ iíòåãðî-äèíàìi÷íèõ ðiâíÿíü íà ïðîìiæêó ra, bs äî-
âiëüíî¨ ÷àñîâî¨ øêàëè. Ïîáóäîâàíî çáiæíèé iòåðàöiéíèé ïðîöåñ ïîøóêó
ðîçâ'ÿçêiâ ó âèãëÿäi ÷àñòèíè ðÿäó Ëîðàíà [11].
5. Ðîçãëÿíóòî íåîäíîðiäíó ñèñòåìó iíòåãðî-äèôåðåíöiàëüíèõ ðiâíÿíü ç
âèðîäæåíèì ÿäðîì, ÿêà ¹ ðîçâ'ÿçíîþ íå ïðè âñiõ íåîäíîðiäíîñòÿõ. Ââî-
äÿ÷è êåðóâàííÿ çâåäåíî äàíó ñèñòåìó äî ðîçâ'ÿçíî¨. Çíàéäåíî âèãëÿä
òàêîãî êåðóâàííÿ òà êðèòåðié ðîçâ'ÿçíîñòi ñèñòåìè. Ðîçãëÿíóòî àíàëî-
ãi÷íó ïðîáëåìó äëÿ êðàéîâî¨ çàäà÷i äëÿ ñèñòåìè iíòåãðî-äèôåðåíöiàëü-
íèõ ðiâíÿíü [17].
Êðàéîâi çàäà÷i äëÿ iíòåãðî-äèôåðåíöiàëüíèõ ðiâíÿíü 3
2. Ñëàáêîíåëiíiéíi êðàéîâi çàäà÷i äëÿ ñèñòåì
iíòåãðî-äèôåðåíöiàëüíèõ ðiâíÿíü ç iìïóëüñíèì âïëèâîì
Ïðè ìàòåìàòè÷íîìó ìîäåëþâàííi åâîëþöi¨ ðåàëüíèõ ïðîöåñiâ ç êî-
ðîòêî÷àñîâèìè çáóðåííÿìè ÷àñòî ¨õ òðèâàëiñòþ ìîæíà çíåõòóâàòè i
ââàæàòè, ùî öi çáóðåííÿ íîñÿòü "ìèòò¹âèé" õàðàêòåð. Òàêà iäåàëiçàöiÿ
ïðèâîäèòü äî íåîáõiäíîñòi äîñëiäæåííÿ äèíàìi÷íèõ ñèñòåì ç ðîçðèâíè-
ìè òðàåêòîðiÿìè àáî, ÿê ¨õ ÷àñíî íàçèâàþòü, äèôåðåíöiàëüíi ñèñòåìè ç
iìïóëüñíèì âïëèâîì.
Ì.Ì. Êðèëîâ òà Ì.Ì. Áîãîëþáîâ ïîêàçàëè, ùî ïðè äîñëiäæåííi ñè-
ñòåì äèôåðåíöiàëüíèõ ðiâíÿíü ç iìïóëüñíèì âïëèâîì ìîæíà óñïiøíî
çàñòîñîâóâàòè àñèìïòîòè÷íi ìåòîäè íåëiíiéíî¨ ìåõàíiêè. Ñèñòåìàòè÷íå
âèâ÷åííÿ ìàòåìàòè÷íèõ ïðîáëåì òåîði¨ äèôåðåíöiàëüíèõ ñèñòåì ç iì-
ïóëüñíèì âïëèâîì ïî÷àëîñÿ ó ðîáîòàõ À.Ä. Ìèøêiñà, À.Ì. Ñàìîéëåíêà,
Ì.Î. Ïåðåñòþêà, À. Õàëàíàÿ, Ä. Âåêñëåðà. Ó ïîäàëüøîìó, iäå¨, çàêëà-
äåíi ó öèõ ðîáîòàõ, îòðèìàëè ñâié ðîçâèòîê òà óçàãàëüíåííÿ ó áàãàòî÷è-
ñëåííèõ ïóáëiêàöiÿõ [2,4,22]. Ñòàëî çðîçóìiëî, ùî òåîðiþ äèôåðåíöiàëü-
íèõ ñèñòåì ç iìïóëüñíèì âïëèâîì ìîæíà ðîçâèâàòè i äëÿ äîñëiäæåííÿ
ðîçâ'ÿçíîñòi ñèñòåì iíòåãðî-äèôåðåíöiàëüíèõ ðiâíÿíü [1].
Òàêèé íàïðÿì ó òåîði¨ êðàéîâèõ çàäà÷ äëÿ iíòåãðî-äèôåðåíöiàëüíèõ
ðiâíÿíü ç iìïóëüñíèì âïëèâîì ðîçâèíåíèé ó ðîáîòàõ [7, 10], äå ðîçãëÿ-
íóòî ñëàáêîíåëiíiéíó ñèñòåìó iíòåãðî-äèôåðåíöiàëüíèõ ðiâíÿíü ç iìïó-
ëüñíîþ äi¹þ ó ôiêñîâàíèé ìîìåíò ÷àñó
9xptq ´ Φptq
bż
a
rApsqxpsq`Bpsq 9xpsqsds “
“ fptq ` ε
bż
a
Kpt, sqZpxps, εq, s, εqds,
(2.1)
∆Eix|t“τi :“ Sixpτi ´ 0q ` γi ` εJ1pxp¨, εq, εq, (2.2)
t ‰ τi, t P ra, bs, τi P pa, bq, i “ 1, 2, . . . , p,
òà êðàéîâó óìîâó
ℓxp¨q “ α ` εJ2pxp¨, εq, εq, α P Rq (2.3)
Òóò Aptq, Bptq, Φptq � pm ˆ nq, pm ˆ nq, pn ˆ mq � âèìiðíi ìàòðèöi,
êîìïîíåíòè ÿêèõ íàëåæàòü ïðîñòîðó L2ra, bs; âåêòîð-ñòîâï÷èêè ìàòðè-
öi Φptq � ëiíiéíî-íåçàëåæíi íà ra, bs, fptq � n-âèìiðíà âåêòîð-ôóíêöiÿ
ç L2ra, bs; L2ra, bs �ãiëüáåðòîâèé ïðîñòið iíòåãðîâàíèõ çi ñòåïåííþ 2
âåêòîð-ôóíêöié x : ra, bs ÝÑ Rn ç íîðìîþ }x}L2 “
´ bş
a
nř
j“1
| xjptq |2 dt
¯ 1
2
,
äå
4 I. À. Áîíäàð
|xjptq|2 P L2ra, bs, j “ 1, 2, . . . , n, }x} “ 0 ðñ xptq “ 0 ìàéæå âñþ-
äè íà ra, bs; Ei, Si � pki ˆ nq-âèìiðíi ìàòðèöi, γi � ki-âèìiðíèé âåêòîð
ñòîâï÷èê êîíñòàíò, rank pEi ` Siq “ ki pi “ 1, 2, . . . , pq, òîáòî ðîçâ'ÿçîê
ñèñòåìè (2.1), (2.2) âèçíà÷à¹òüñÿ îäíîçíà÷íèì ïðîäîâæåííÿì ÷åðåç òî-
÷êè ðîçðèâó
∆Eix|t“τi “ Ei
`
xpτi ` 0q ´ xpτi ´ 0q˘, (2.4)
òóò iìïóëüñ çàäàòüñÿ íå ïî âñiõ êîïîíåíòàõ íåâiäîìî¨ n-âèìiðíî¨ âåêòîð-
ôóíêöi¨ xptq “ colpx1ptq, x2ptq, . . . , xkiptq, . . . , xnptqq, à ëèøå ïî ki ¨ ¨ êîì-
ïîíåíòàõ; ℓ � îáìåæåíèé ëiíiéíèé âåêòîðíèé ôóíêöiîíàë âèçíà÷åíèé â
D2ra; bs,
ℓ “ colpℓ1, ℓ2, ℓ3, . . . , ℓpq : D2ra; bs Ñ Rp; α “ colpα1, α2, α3, . . . , αpq ϵ Rp;
Zpxpt, εq, t, εq � íåëiíiéíà ïî ïåðøié êîìïîíåíòi n-âèìiðíà âåêòîð- ôóíê-
öiÿ, íåïåðåðâíî äèôåðåíöiéîâàíà ïî x â îêîëi ïîðîäæóþ÷îãî ðîçâ'ÿçêó,
iíòåãðîâíà ïî t i íåïåðåðâíà ïî ε :
Zp¨, t, εq P C1r}x´ x0} ď µs, Zpxp¨, εq, ¨, εq P L2ra, bs,
Zpxpt, ¨q, t, ¨q P Cr0, ε0s; J1pxp¨, εq, εq, J2pxp¨, εq, εq � íåëiíiéíi îáìåæåíi,
âiäïîâiäíî, p, q-âèìiðíi âåêòîð-ôóíêöiîíàëè, íåïåðåðâíî äèôåðåíöiéî-
âàíi ïî x ó ðîçóìiííi Ôðåøå i íåïåðåðâíi ïî ε â îêîëi ïîðîäæóþ÷îãî
ðîçâ'ÿçêó.
Øóêàíà ôóíêöiÿ xptq âèçíà÷à¹òüñÿ ó ïðîñòîði n-âèìiðíèõ ôóíêöié,
ÿêi äîïóñêàþòü ðîçðèâè ïåðøîãî ðîäó ó òî÷êàõ τ1, τ2, . . . , τp P pa, bq i ÿêi
àáñîëþòíî íåïåðåðâíi íà êîæíîìó iç ïðîìiæêiâ: ra, τ1q, rτ1, τ2q, . . . , rτp, bs.
Òàêi ôóíêöi¨ xptq P D2pra, bsztτiuIq äîïóñêàþòü ïðåäñòàâëåííÿ
xptq “
tż
a
9xpsqds` xpaq `
pÿ
i“1
χrτi,bsptq∆xpτiq, (2.5)
äå ∆xpτiq “ xpτiq ´ xpτi ´ 0q, i “ 1, . . . , p, χrτi,bsptq � õàðàêòåðèñòè-
÷íà ôóíêöiÿ ïðîìiæêà rτi, bs. Íîðìó ó ïðîñòîði D2pra, bsztτiuIq çàäà¹ìî
íàñòóïíèì ÷èíîì
}x}D2pra,bsztτiuIq “ } 9x}L2ra,bs ` |xpaq|Rn ` }
pÿ
i“1
χrτi,bsptq∆xpτiq}Rn ,
}x}L2ra,bs “
˜ bż
a
nÿ
i“1
| xiptq |2 dt
¸1{2
, t P ra, bs.
(2.6)
Ó ðîáîòi [10] ïîêàçàíî, ùî äîñëiäæóâàòè çàäà÷ó ç iìïóëüñíèì âïëè-
âîì (2.1)�(2.3) ìîæíà, ðîçãëÿäàþ÷è ¨¨ ÿê âíóòðiøíþ êðàéîâó çàäà÷ó
("interface BVP's" [15]). Äëÿ òîãî, ùîá ïðîäåìîíñòðóâàòè öåé çâ'ÿçîê,
Êðàéîâi çàäà÷i äëÿ iíòåãðî-äèôåðåíöiàëüíèõ ðiâíÿíü 5
ââåäåíî φxp¨q � k�âèìiðíèé ëiíiéíèé îáìåæåíèé âåêòîðíèé ôóíêöiîíàë,
òàêèé, ùî
φ :“ colpφ1, . . . , φpq : D2pra, bsztτiuI q Ñ Rk,
k :“ k1 ` k2 ` . . . ` kp, φi : D2ra, bsztτiuIq Ñ Rki , i “ 1, . . . , p, íàñòóïíèì
÷èíîì $
’’’&
’’’%
φ1x :“ E1xpτ1`q ´ pE1 ` S1qxpτ1´q
φ2x :“ E2xpτ2`q ´ pE2 ` S2qxpτ2´q
¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨
φpx :“ Epxpτp`q ´ pEp ` Spqxpτp´q
(2.7)
i òåïåð iìïóëüñíó äiþ (2.2) ìîæíà çàïèñàòè ÿê êðàéîâó óìîâó
φxp¨q “ γ ` εJ1pxp¨, εq, εq, (2.8)
äå γ “ colpγ1, γ2, . . . , γpq P Rk, γi P Rki .
Îá'¹äíàâøè òàêèì ÷èíîì "âíóòðiøíþ" êðàéîâó óìîâó (2.8) iç çàäà-
íîþ (2.3) îòðèìàíî k ` q óìîâ íà íåâiäîìó n-âèìiðíó âåêòîð-ôóíêöiþ
xptq, à ñàìå
Lxp¨q “ δ ` εJpxp¨, εq, εq P Rk`q, (2.9)
äå
L :“
”
φ
ℓ
ı
, δ :“
”
γ
α
ı
, δ P Rk`q, Jpxp¨, εq :“
„
J1pxp¨, εq
J2pxp¨, εq
ȷ
.
Òåïåð ñëàáêîíåëiíiéíó iìïóëüñíó êðàéîâó çàäà÷ó (2.1)�(2.3) ìîæíà
ðîçãëÿäàòè ÿê ñëàáêîíåëiíiéíó êðàéîâó çàäà÷ó (2.1), (2.9).
Âñòàíîâëåíî íåîáõiäíó, äîñòàòíþ óìîâè ðîçâ'ÿçíîñòi òà çâ'ÿçîê ìiæ
íèìè äëÿ ñëàáêîíåëiíiéíî¨ êðàéîâî¨ çàäà÷i äëÿ iíòåãðî-äèôåðåíöiàëü-
íèõ ðiâíÿíü ç iìïóëüñíèì âïëèâîì òèïó (2.1), (2.9), ðîçâ'ÿçîê ÿêî¨ âè-
çíà÷åíèé ó òàêîìó êëàñi âåêòîð-ôóíêöié: xp¨, εq P D2ra, bsztτiuIq, 9xp¨, εq P
L2ra, bs, xpt, ¨q P Cr0, ε0s i òàêèé, ùî ïðè ε “ 0 ïåðåòâîðþ¹òüñÿ â îäèí iç
ðîçâ'ÿçêiâ ïîðîäæóþ÷î¨ êðàéîâî¨ çàäà÷i
9xptq ´ Φptq
bż
a
”
Apsqxpsq `Bpsq 9xpsq
ı
ds “ fptq, (2.10)
Lxp¨q “ δ P Rk`q, (2.11)
ÿêà äåòàëüíî ðîçãÿíóòà ó ðîáîòi [3].
Ðîçâ'ÿçîê xpt, 0q “ x0pt, crq ïîðîäæóþ÷î¨ êðàéîâî¨ çàäà÷i (2.10),(2.11)
íàçèâà¹òüñÿ ïîðîäæóþ÷èì ðîçâ'ÿçêîì ñëàáêîíåëiíiéíî¨ iìïóëüñíî¨ êðà-
éîâî¨ çàäà÷i (2.1)�(2.3), äå cr P Rr � íåâiäîìèé âåêòîð êîíñòàíò, ÿêèé
ìîæíà âèçíà÷èòè iç ïîáóäîâàíî¨ àëãåáðà¨÷íî¨ ñèñòåìè.
Ñïðàâåäëèâèìè ¹ íàñòóïíi òâåðäæåííÿ.
6 I. À. Áîíäàð
Òåîðåìà 2.1. [(Íåîáõiäíà óìîâà).] Íåõàé ñëàáêîíåëiíiéíà iìïóëüñíà
êðàéîâà çàäà÷à (2.1)�(2.3) ì๠ðîçâ'ÿçîê x “ xpt, εq, òàêèé, ùî
xp¨, εq P D2ra, bsztτiuI , 9xp¨, εq P L2ra, bs, xpt, ¨q P Cp0, ε0s
i ÿêèé ïðè ε “ 0 ïåðåòâîðþ¹òüñÿ ó ïîðîäæóþ÷èé ðîçâ'ÿçîê
x0pt, c0rq “ Ψ0ptqPDr1PQrc0r ` Ψ0ptqPDr1Q`pδ ´ LF p¨qq ` F ptq, (2.12)
@c0r P Rr, r “ m` n´ rankD ´ rankQ.
Òîäi âåêòîð êîíñòàíò c0r îáîâ'ÿçêîâî ïîâèíåí áóòè äiéñíèì êîðåíåì
ñèñòåìè ðiâíÿíü
PD˚
d1
bż
a
«
Apsq
sż
a
bż
a
Kpτ, sqZpx0ps, c0rq, s, 0qdsdτ`
`Bpsq
bż
a
Kps, τqZpx0pτ, c0rq, τ, 0qdτ
ff
ds “ 0,
(2.13)
PQ˚
d2
#
Jpx0p¨, c0rq, 0q ´ L
˜ ż̈
a
bż
a
Kpτ, sqZpx0ps, c0rq, s, 0qdsdτ`
` Ψ0p¨qD`
bż
a
«
Aptq
tż
a
bż
a
Kpτ, sqZpx0ps, c0rq, s, 0qdsdτ`
`Bptq
bż
a
Kpt, sqZpx0ps, c0rq, s, 0qds
ff
dt
¸+
“ 0,
(2.14)
d1 “ m´ rankD, d2 “ p´ rankQ.
Äîâåäåííÿ äàíîãî òâåðäæåííÿ àíàëîãi÷íå äîâåäåííþ òåîðåìè 5.4 [4]
òà òåîðåìè 4.5 [14]. Ó âèïàäêó ïåðiîäè÷íèõ çàäà÷, êîíñòàíòà c0r ìà¹
ôiçè÷íèé çìiñò i ¹ àìïëiòóäîþ ïîðîäæóþ÷îãî ðîçâ'ÿçêó, òîìó ó êëà-
ñè÷íié ïåðiîäè÷íié çàäà÷i âiäïîâiäíå ðiâíÿííÿ äëÿ ñèñòåì çâè÷àéíèõ
äèôåðåíöiàëüíèõ ðiâíÿíü íàçèâàþòü ðiâíÿííÿì äëÿ ïîðîäæóþ÷èõ àì-
ïëiòóä. Ïî àíàëîãi¨, íàçèâà¹ìî ðiâíÿííÿ (2.13), (2.14) � ðiâíÿííÿì äëÿ
ïîðîäæóþ÷èõ êîíñòàíò iìïóëüñíî¨ êðàéîâî¨ çàäà÷i äëÿ ñèñòåì iíòå-
ãðî-äèôåðåíöiàëüíèõ ðiâíÿíü (2.1)�(2.3).
ßêùî ðiâíÿííÿ (2.13), (2.14) ðîçâ'ÿçíå, òî âåêòîð cr “ c0r P Rr âè-
çíà÷๠òîé ïîðîäæóþ÷èé ðîçâ'ÿçîê (2.12), ÿêîìó ìîæå âiäïîâiäàòè ðîç-
â'ÿçîê xpt, εq âèõiäíî¨ iìïóëüñíî¨ êðàéîâî¨ çàäà÷i (2.1)�(2.3), à öå òå ñàìå,
ùî ðîçâ'ÿçîê âíóòðiøíüî¨ êðàéîâî¨ çàäà÷i (2.1), (2.9) ïðè ε “ 0. ßêùî æ
ðiâíÿííÿ (2.13), (2.14) íå ì๠ðîçâ'ÿçêó, òî é iìïóëüñíà êðàéîâà çàäà÷à
(2.1)�(2.3) íå áóäå ìàòè ðîçâ'ÿçêó. Ìîâà éäå ïðî äiéñíi êîðåíi ðiâíÿííÿ
Êðàéîâi çàäà÷i äëÿ iíòåãðî-äèôåðåíöiàëüíèõ ðiâíÿíü 7
äëÿ ïîðîäæóþ÷èõ êîíñòàíò (2.13), (2.14). Òàêèì ÷èíîì, íåîáõiäíà óìî-
âà ðîçâ'ÿçíîñòi iìïóëüñíî¨ êðàéîâî¨ çàäà÷i (2.1)�(2.3) çàäîâîëüíÿ¹òüñÿ
âèìîãîþ, ùîá ðiâíÿííÿ (2.13), (2.14) ìàëî õî÷à îäèí äiéñíèé ðîçâ'ÿçîê
cr “ c0r P Rr.
Òåîðåìà 2.2. (Äîñòàòíÿ óìîâà). Íåõàé ïîðîäæóþ÷à êðàéîâà çàäà÷à
(2.10), (2.11) ïðè âèêîíàííi óìîâ (2.13), (2.14) ì๠r-ïàðàìåòðè÷íó
ñiì'þ ðîçâ'ÿçêiâ (2.12), äå r “ m`n´ rankD´ rankQ. Òîäi äëÿ êîæíî-
ãî äiéñíîãî çíà÷åííÿ âåêòîðà cr “ c0r P Rr, ùî çàäîâîëüíÿ¹ ñèñòåìó
ðiâíÿíü (2.13), (2.14) äëÿ ïîðîäæóþ÷èõ êîíñòàíò òà ïðè óìîâi
rankB0 “ d1 ` d2 (2.15)
ñëàáêîíåëiíiéíà êðàéîâà çàäà÷à (2.1)�(2.3) ì๠õî÷à á îäèí ðîçâ'ÿçîê
x “ xpt, εq : xp¨, εq P D2pra, bsztτiuIq, 9xp¨, εq P L2ra, bs, xpt, ¨q P Cr0, ε0s,
ÿêèé ïðè ε “ 0 ïåðåòâîðþ¹òüñÿ ó ïîðîäæóþ÷èé ðîçâ'ÿçîê (2.12) i âè-
çíà÷à¹òüñÿ çà äîïîìîãîþ çáiæíîãî iòåðàöiéíîãî ïðîöåñó òà ôîðìóëîþ
xkpt, εq “ x0pt, c0rq ` ykpt, εq, pk “ 0, 1, 2, . . .q.
Òåîðåìà 2.3. (Çâ'ÿçîê ìiæ íåîáõiäíîþ òà äîñòàòíüîþ óìîâàìè). Äëÿ
òîãî, ùîá ñëàáêîíåëiíiéíà êðàéîâà çàäà÷à äëÿ ñèñòåìè iíòåãðî- äèôå-
ðåíöiàëüíèõ ðiâíÿíü (2.1)�(2.3) ìàëà ðîçâ'ÿçîê
x “ xpt, εq : xp¨, εq P D2ra, bs, 9xp¨, εq P L2ra, bs,
xpt, ¨q P Cr0, ε0s, xpt, 0q “ x0pt, c0rq,
äå x0pt, c0rq � ïîðîäæóþ÷èé ðîçâ'ÿçîê (2.12) ç cr “ c0r P Rr pr “ r1 ´
rankQ, r1 “ m ` n ´ rankD, q, íåîáõiäíî, ùîá êîíñòàíòà c0r áóëà äié-
ñíèì êîðåíåì ðiâíÿííÿ äëÿ ïîðîäæóþ÷èõ êîíñòàíò (2.13), (2.14) i äî-
ñòàòíüî, ùîá âèêîíóâàëàñÿ óìîâà
rank tB0 :“ BF̄ pcrq
Bcr u|cr“c0r “ d1 ` d2.
Áiëüøå òîãî, ÿêùî p “ r1, îñòàííÿ óìîâà îçíà÷à¹, ùî cr “ c0r P Rr ¹
ïðîñòèì êîðåíåì ðiâíÿííÿ äëÿ ïîðîäæóþ÷èõ êîíñòàíò (2.13), (2.14).
Òóò ìàòðèöÿ B0 ¹ âiäîìîþ [10] i áóäó¹òüñÿ ïî çàäàíèõ êîïìîíåíòàõ
ñèñòåìè (2.1).
3. Íåçàâæäè ðîçâ'ÿçíi iíòåãðî-äèôåðåíöiàëüíi ðiâíÿííÿ ç
âèðîäæåíèì ÿäðîì
Ó ðîáîòi [17] ïðåäñòàâëåíî ùå îäèí ìåòîä, ÿêèé äîçâîëÿ¹ íåðîçâ'ÿç-
íó ñèñòåìó (2.10) çâåñòè äî ðîçâ'ÿçíî¨. Äëÿ öüîãî ââåäåíî ó ñèñòåìó
8 I. À. Áîíäàð
iíòåãðî-äèôåðåíöiàëüíèõ ðiâíÿíü êåðóâàííÿ u P Rn íàñòóïíèì ÷èíîì
9xptq ´ Φptq
bż
a
”
Apsqxpsq `Bpsq 9xpsq
ı
ds “ fptq `
bż
a
Kpt, sqdsu (3.1)
i ñïðàâåäëèâèì ¹ íàñòóïíèé íàñëiäîê ç òåîðåìè 1 [21].
Íàñëiäîê 3.1. Íå âñþäè ðîçâ'ÿçíó ñèñòåìó iíòåãðî-äèôåðåíöiàëüíèõ
ðiâíÿíü (2.10), ìîæíà äîïîâíèòè, äîäàþ÷è äî íå¨ êåðóâàííÿ ó âèãëÿäi
bş
a
Kpt, sqds u, äî ðîçâ'ÿçíî¨ ïðè @fptq P L2ra, bs òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè
PS˚PD˚
d1
“ 0. (3.2)
Ïðè öüîìó âåëè÷óíó êåðóâàííÿ u íåîáõiäíî âèáðàòè íàñòóïíèì:
u “ S`PD˚
d1
b̃` PSc, c P Rn.
Òóò d1 ˆ n-âèìiðíà ìàòðèöÿ
S :“ PD˚
d1
bż
a
”
Apsq
sż
a
bż
a
Kpτ, sqdsdτ `Bpsq
bż
a
Kps, τqdτ
ı
ds,
S` � ïñåâäîîáåðíåíà (çà Ìóðîì�Ïåíðîóçîì) äî S � pn ˆ d1q-âèìiðíà
ìàòðèöÿ, PS˚ � pd1 ˆ d1q-âèìiðíà ìàòðèöÿ (îðòîïðî¹êòîð), ÿêèé ïðî¹-
êòó¹ Rd1 íà NpS˚q, PS � pnˆnq-âèìiðíà ìàòðèöÿ (îðòîïðî¹êòîð), ÿêèé
ïðî¹êòó¹ Rn íà NpSq.
Òàêèì ÷èíîì ïðè óìîâi (3.2) êåðóâàííÿ upcq ìîæå áóòè íå ¹äèíèì, áî
çàëåæèòü âiä äîâiëüíî¨ ñòàëî¨ PSc P Rn. Öå äîçâîëÿ¹ âèêîðèñòîâóâàòè
öåé ïiäõiä äëÿ äîñëiäæåííÿ çàäà÷ ïðî îïòèìàëüíå êåðóâàííÿ.
Òàêîæ ó [17] äîñëiäæåíî ïèòàííÿ êåðîâíîñòi i êðàéîâî¨ çàäà÷i äëÿ
ñèñòåìè iíòåãðî-äèôåðåíöiàëüíèõ ðiâíÿíü.
4. Ñëàáêî çáóðåíi ñèñòåìè ëiíiéíèõ iíòåãðî-äèíàìi÷íèõ
ðiâíÿíü íà ÷àñîâié øêàëi
Ïîáóäîâà ìàòåìàòè÷íèõ ìîäåëåé ïðîöåñiâ ðåàëüíîãî ñâiòó, ïðèçâî-
äèòü äî ðîçãëÿäó êðàéîâèõ çàäà÷ äëÿ ðiçíèõ îïåðàòîðíèõ ðiâíÿíü. Ó
Êðàéîâi çàäà÷i äëÿ iíòåãðî-äèôåðåíöiàëüíèõ ðiâíÿíü 9
ðîáîòi [11] ðîçãëÿíóòî ñèñòåìó iíòåãðî-äèíàìi÷íèõ ðiâíÿíü çi çáóðåí-
íÿì íà äåÿêié ÷àñîâié øêàëi T âèãëÿäó
x∆ptq ´ Φptq
bż
a
“
Apsqxpsq `Bpsqx∆psq‰∆s “ fptq`
` ε
bż
a
“
Kpt, sqxpsq `K1pt, sqx∆psq‰ ∆s.
(4.1)
Ïðèïóñêà¹òüñÿ, ùî Aptq, Bptq � pm ˆ nq-, Φptq � pn ˆ mq´, fptq �
pn ˆ 1q-, Kpt, sq,K1pt, sq � pn ˆ nq-âèìiðíi ìàòðèöi, êîìïîíåíòè ÿêèõ
íàëåæàòü ïðîñòîðó L2ra, bqT ∆-iíòåãðîâíèõ ç êâàäðàòîì íà ïðîìiæêó
ra, bqT :“ ra, bqYT ôóíêöié; ñòîâï÷èêè ìàòðèöi Φptq � ëiíiéíî-íåçàëåæíi
íà ra, bqT, òîáòî rankΦptq “ m. À òàêîæ, ùî ïîðîäæóþ÷à ñèñòåìà
x∆ptq ´ Φptq
bż
a
“
Apsqxpsq `Bpsqx∆psq‰ ∆s “ fptq, (4.2)
ÿêó îòðèìà¹ìî ç (4.1) ïðè ε “ 0, íåðîçâ'ÿçíà. Âèíèêàþòü ïèòàííÿ,
÷è ìîæíà çà äîïîìîãîþ ëiíiéíîãî çáóðåííÿ çâåñòè ñèñòåìó (4.2) äî
ðîçâ'ÿçíî¨? À ÿêùî ìîæíà, òî ÿêèìè ïîâèííi áóòè ñêëàäîâi çáóðåíèõ
ìàòðèöü Kpt, sq, K1pt, sq â iíòåãðî-äèíàìi÷íié ñèñòåìi (4.1), ùîá âîíà
ñòàëà ðîçâ'ÿçíîþ ïðè äîâiëüíèõ íåîäíîðiäíîñòÿõ fptq P L2ra, bqT?
Ðîçâ'ÿçîê ñèñòåìè (4.1) çíàéäåíî ó êëàñi âåêòîð-ôóíêöié
x “ xpt, εq : xp¨, εq P D2ra, bqT, x∆p¨, εq P L2ra, bqT, xpt, ¨q P Cp0, ε0s,
i ïîêàçàíî, ùî iñíóâàííÿ ðîçâ'ÿçêó çàäà÷i (4.1) iñòîòíî çàëåæèòü âiä
pd1 ˆ r1q-âèìiðíî¨ ìàòðèöi B0. Äîâåäåíî íàñòóïíó òåîðåìó.
Òåîðåìà 4.1. Íåõàé rankB0 “ n2 ă d1 i ñèñòåìà iíòåãðî-äèíàìi÷íèõ
ðiâíÿíü (4.1) çi çáóðåííÿì çàäîâîëüíÿ¹ âêàçàíèì âèùå óìîâàì òàê,
ùî ïîðîäæóþ÷à pε “ 0q ñèñòåìà (4.2) íå ðîçâ'ÿçíà. Òîäi, ÿêùî âèêîíó-
¹òüñÿ óìîâà
PB˚
0
PD˚
d1
“ 0 (4.3)
ñèñòåìà (4.1) ì๠ρ-ïàðàìåòðè÷íó (ρ “ n`m´n1´n2) ñiì'þ ðîçâ'ÿçêiâ
ó âèãëÿäi çáiæíîãî ðÿäó ïðè ôiêñîâàíîìó ε P p0; ε˚s :
xpt, εq “
8ÿ
k“´1
εkxkpt, cρq, @ cρ P Rρ, @ t P ra, bqT. (4.4)
Äëÿ äîâåäåííÿ äàíîãî ôàêòó çàñòîñîâàíî ìåòîä Âiøèêà-Ëþñòåðíèêà
[19], ÿêèé äîçâîëÿ¹ çíàéòè åôåêòèâíi êîåôiöiåíòè óìîâè âèíèêíåííÿ
10 I. À. Áîíäàð
ðîçâ'ÿçêiâ ñèñòåìè (4.1) äëÿ @ t P ra, bqT ó âèãëÿäi ÷àñòèíè ðÿäó Ëîðàíà
ïî ñòåïåíÿõ ìàëîãî ïàðàìåòðà ε.
Çàóâàæåííÿ 4.1. Óìîâà (4.3) ¹ äîñòàòíüîþ óìîâîþ iñíóâàííÿ ðîçâ'ÿçêó
ñèñòåìè (4.1). ßêùî óìîâà (4.3) íå âèêîíó¹òüñÿ, òî ðîçâ'ÿçîê ñèñòå-
ìè (4.1) ó âèãëÿäi ðÿäó (4.4) íå iñíó¹, àëå ìîæå iñíóâàòè ó âèãëÿäi
÷àñòèíè ðÿäó Ëîðàíà òèïó (4.4) ïî ñòåïåíÿõ ´2,´3, . . . ìàëîãî ïàðà-
ìåòðà ε.
Çàóâàæåííÿ 4.2. ßêùî äîäàòêîâî âèìàãàòè âèêîíàííÿ óìîâè
PB0 “ 0, òî ñèñòåìà (4.1) áóäå ìàòè ¹äèíèé ðîçâ'ÿçîê ó âèãëÿäi çáiæíîãî
ðÿäó
xpt, εq “
8ÿ
k“´1
εkx̄kpt, c̄kq.
5. Âèñíîâêè
Äîñëiäæåííÿ êðàéîâèõ çàäà÷ äëÿ ñèñòåì iíòåãðî-äèôåðåíöiàëüíèõ
ðiâíÿíü ÿê ó íåëiíiéíîìó âèïàäêó, òà i ó äèíàìi÷íîìó, ïðîïîíóþòü øè-
ðîêèé ñïåêòð ìîæëèâîñòåé ÿê äëÿ òåîðåòè÷íîãî ðîçâèòêó, òàê i äëÿ
ïðàêòè÷íîãî çàñòîñóâàííÿ. Îñêiëüêè òåõíîëîãi¨ ïðîäîâæóþòü ðîçâèâà-
òèñÿ, ðîçóìiííÿ òà êîíòðîëü íàä ñêëàäíèìè äèíàìi÷íèìè ñèñòåìàìè
çàëèøàþòüñÿ âàæëèâîþ ñôåðîþ äîñëiäæåííÿ.
Íàïðèêëàä, iìïóëüñíi ñèñòåìè iíòåãðî-äèôåðåíöiàëüíèõ ðiâíÿíü ç êå-
ðóâàííÿì [17] ìîæóòü áóòè âèêîðèñòàíi äëÿ ìîäåëþâàííÿ òà àíàëiçó
ðiçíèõ åêîíîìi÷íèõ ÿâèù. Îäíèì iç ïðèêëàäiâ ¹ ìîäåëþâàííÿ iíòåðâåí-
öié åêîíîìi÷íî¨ ïîëiòèêè â ìàêðîåêîíîìi÷íîìó êîíòåêñòi. Ó ñâîþ ÷åð-
ãó, iíòåãðî-äèíàìi÷íi ñèñòåìè òà êðàéîâi çàäà÷i äëÿ íèõ ó âiäïîâiäíèõ
ïðîñòîðàõ [11] ¹ ïîòóæíèìè iíñòðóìåíòàìè äëÿ ìîäåëþâàííÿ ðiçíèõ
ïðîöåñiâ, ÿêi ìàþòü ñêëàäíó äèíàìiêó òà âðàõîâóþòü ïîïåðåäíi ñòàíè
ñèñòåìè, öå ôiçè÷íi, áiîëîãi÷íi àáî åêîíîìi÷íi ïðîöåñè, äå ïîòî÷íèé ñòàí
çàëåæèòü âiä óñiõ ïîïåðåäíiõ ñòàíiâ. Øèðîêèé ñïåêòð çàñòîñóâàííÿ äà-
íî¨ òåîði¨ ìîòèâó¹ äî ïîäàëüøîãî ¨¨ ðîçâèòêó [8, 9].
Ëiòåðàòóðà
[1] M. Akhmet, R. Seilova. Control of a boundary value problem for a linear impulsive
integro-di�erential system. Integral and integro-di�erential equations, 36(10):1369�
1376, 2000. doi:10.1134/S0012266114030057.
[2] O. Boichuk. Boundary value problems for impulse di�erential systems. Universitatis
Jagellonicae Acta Mathematica, XXXVI(5):187�192, 1998.
[3] O. Boichuk, I. Holovats'ka. Boundary-value problems for systems of integrodi-
�erential equations. Journal of Mathematical Sciences, 203(3):306�321, 2014.
doi:10.1007/s10958-014-2135-1.
Êðàéîâi çàäà÷i äëÿ iíòåãðî-äèôåðåíöiàëüíèõ ðiâíÿíü 11
[4] O. Boichuk, A. Samoilenko. Generalized inverse operators and Fredholm boundary
value problems. Berlin, Boston: De Gruyter, 2004. doi:10.1515/9783110944679.
[5] O. Boichuk, A. Samoilenko½ V. Zhuravlev. Linear boundary-value problems for
normally solvable operator equations in a banach space. Di�er. Equ., 50(3):1�11,
2014. doi:10.1134/S0012266114030057.
[6] I. Bondar. Weakly perturbed boundary-value problems for systems of integro-
di�erential equations with impulsive action. Tatra Mountains Mathematical Publi-
cations (Subtitle: Di�erential and Di�erence Equations and Applications 2014),
63:73�87, 2015. doi:10.1515/tmmp-2015-0021.
[7] I. Bondar. Weakly nonlinear boundary-value problems for systems of impulsive
integrodi�erential equations. critical case of the second order. Journal of Mathemati-
cal Sciences, 249(4):553�572, 2020. doi:10.1007/s10958-022-06074-6.
[8] I. Bondar. Linear boundary-value problems for systems of integrodi�erential equati-
ons with degenerate kernel. resonance case for a weakly perturbed boundary-value
problem. Journal of Mathematical Sciences, 274:822�832, 2023. doi:10.1007/s10958-
023-06645-1.
[9] I. Bondar. Regularization of Linear Impulsive Boundary Value Problem for Systems
of Integro-Di�erential Equations. In: Timokha, A. (eds) Analytical and Approxi-
mate Methods for Complex Dynamical Systems. Understanding Complex Systems.
Springer, Cham, 2025. doi:10.1515/9783110944679.
[10] I. Bondar, M. Gromyak½ N. Kozlova. Weakly nonlinear impulsive boundary-value
problems for systems of integrodi�erential equations. Miskolc Mathematical Notes,
17(1):69�84, 2016. doi:10.18514/MMN.2016.1897.
[11] I. Bondar, O. Nesterenko½ O. Strakh. Weakly perturbed systems of linear integro-
dynamic equations on time scales. Journal of Mathematical Sciences, 265(4):561�576,
2022. doi:10.1007/s10958-022-06074-6.
[12] I. Bondar, R. Ovchar. Bifurcation of solutions of the boundary-value problem
for systems of integrodi�erential equations with degenerate kernel. Journal of
Mathematical Sciences, 238(3):224�236, 2019. doi:10.1007/s10958-019-04231-y.
[13] I. Bondar, O. Strakh. Weakly perturbed impulsive boundary-value problem for
integrodi�erential systems in the resonance case. Journal of Mathematical Sciences,
274(1):13�24, 2023. doi:10.1007/s10958-023-06567-y.
[14] I. Golovatska. Weakly perturbed boundary-value problems for systems of integro-
di�erential equations. Tatra Mountains Mathematical Publications, 54(1):61�71,
2013. doi:10.2478/tmmp-2013-0005.
[15] A. Zettl. Adjoint and self-adjoint bvp's with interface conditions. SIAM
J.Appl.Math., 16(4), 1968. doi:10.1137/0116069.
[16] Î. Áîé÷óê, Ñ. Êðèâîøåÿ½ A. Ñàìîéëåíêî. Êðàéîâi çàäà÷i äëÿ ñèñòåì ëiíié-
íèõ iíòåãðî-äèôåðåíöiàëüíèõ ðiâíÿíü ç âèðîäæåíèì ÿäðîì. Óêð. ìàò. æóðí.,
48(11):1576�1579, 1996.
[17] I. Áîíäàð. Óìîâè êåðóâàííÿ äëÿ íåçàâæäè ðîçâ'ÿçíèõ iíòåãðî-äèôåðåíöiàëüíèõ
ðiâíÿíü ç âèðîäæåíèì ÿäðîì òà êðàéîâèõ çàäà÷ äëÿ íèõ. Áóêîâèíñüêèé ìàòå-
ìàòè÷íèé æóðíàë, 4(1-2):13�17, 2016.
[18] I. Áîíäàð, Ì. Ãðîìÿê. Iìïóëüñíà êðàéîâà çàäà÷à äëÿ iíòåãðî-äèôåðåíöiàëüíèõ
ðiâíÿíü ç âèðîäæåíèì ÿäðîì. Íåêðèòè÷íèé âèïàäîê. Áóêîâèíñüêèé ìàòåìà-
òè÷íèé æóðíàë, 5(3-4):15�17, 2017.
[19] Ì. Âèøèê, Ëþñòåðíèê Ë. Ðåøåíèå íåêîòîðûõ çàäà÷ î âîçìóùåíèÿõ â ñëó÷àå ìà-
òðèö è ñàìîñîïðÿæåííûõ è íåñàìîñîïðÿæåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
12 I. À. Áîíäàð
Ðåøåíèå íåêîòîðûõ çàäà÷ î âîçìóùåíèÿõ â ñëó÷àå ìàòðèö è ñàìîñîïðÿæåííûõ
è íåñàìîñîïðÿæåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. ÓÌÍ, 3(15):3�80, 1960.
[20] Ñ. Êðèâîøåÿ. Óìîâè ðîçâ'ÿçíîñòi íåòåðîâèõ êðàéîâèõ çàäà÷ äëÿ iíòåãðî-
äèôåðåíöiàëüíèõ ñèñòåì. Âiñíèê Êè¨âñüêîãî Óíiâåðñèòåòó. Ñåðiÿ: ôiçèêî-
ìàòåìàòè÷íi íàóêè, 4:144�151, 2001.
[21] A. Ñàìîéëåíêî, Î. Áîé÷óê½ Ñ. Êðèâîøåÿ. Êðàéîâi çàäà÷i äëÿ ñèñòåì ëiíié-
íèõ iíòåãðî-äèôåðåíöiàëüíèõ ðiâíÿíü ç âèðîäæåíèì ÿäðîì. Óêð. ìàò. æóðí.,
48(11):1576�1579, 1996.
[22] À. Ñàìîéëåíêî, Ì. Ïåðåñòþê. Äèôåðåíöiàëüíi ðiâíÿííÿ ç iìïóëüñíîþ äi¹þ. Êè-
¨â: Âèùà øêîëà, 1987.
I. À. Áîíäàð
Iíñòèòóò ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè, ì. Êè¨â
Email: bondar.ivnn@gmail.com
ORCID: 0000-0001-8876-1557
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-537 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:09:04Z |
| publishDate | 2025 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/00/88b02380b395ad54da5af45e1d9ba200.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-5372026-02-24T12:22:41Z Boundary value problems for integrodifferential equations Крайові задачі для інтегро-диференціальних рівнянь Bondar, Ivanna Бондар, Іванна This paper presents a detailed survey of research on boundary value problems for integro-differential and integro-dynamic systems. The existence of solutions to these problems is examined using the theoretical apparatus of pseudo-inverse matrices and operators, alongside the Vishik-Lyusternik's method for the case of weakly perturbed systems. У даній роботі представлений огляд праць присвячених крайовим задачам для інтегро-диференціальних та інтегро-динамічних систем. Для дослідження існування розв'язків таких задач використано апарат теорії псевдообернених матриць та операторів, метод Вишика-Люстерніка (у випадку слабкозбурених систем). Інститут математики НАН України 2025-08-18 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/537 10.3842/trim.v21n1.537 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 21 No. 1 (2024): Special Issue "Actual problems of modern mathematics: methods, models and applications"; 1-12 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 21 № 1 (2024): Спеціальний номер "Актуальні проблеми сучасної математики: методи, моделі та застосування" ; 1-12 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 21 № 1 (2024): Спеціальний номер "Актуальні проблеми сучасної математики: методи, моделі та застосування" ; 1-12 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/537/520 Авторське право (c) 2024 Іванна Бондар http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Bondar, Ivanna Бондар, Іванна Boundary value problems for integrodifferential equations |
| title | Boundary value problems for integrodifferential equations |
| title_alt | Крайові задачі для інтегро-диференціальних рівнянь |
| title_full | Boundary value problems for integrodifferential equations |
| title_fullStr | Boundary value problems for integrodifferential equations |
| title_full_unstemmed | Boundary value problems for integrodifferential equations |
| title_short | Boundary value problems for integrodifferential equations |
| title_sort | boundary value problems for integrodifferential equations |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/537 |
| work_keys_str_mv | AT bondarivanna boundaryvalueproblemsforintegrodifferentialequations AT bondarívanna boundaryvalueproblemsforintegrodifferentialequations AT bondarivanna krajovízadačídlâíntegrodiferencíalʹnihrívnânʹ AT bondarívanna krajovízadačídlâíntegrodiferencíalʹnihrívnânʹ |