Kinetic cluster expansions of generating operators of solutions of hierarchies of evolution equations
The article provides an overview of the method of kinetic cluster expansions for generating operators of solutions to the hierarchies of evolutionary equations. The developed method allows for a rigorous justification of the derivation of nonlinear kinetic equations from the microscopic dynamics of...
Gespeichert in:
| Datum: | 2025 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2025
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/538 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872553042417549312 |
|---|---|
| author | Gapyak, Ihor Гап'як, Ігор |
| author_facet | Gapyak, Ihor Гап'як, Ігор |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Ігор Гап'як",
"institution": "Інститут математики НАН України, Київський національний університет імені Тараса Шевченка"
}
] |
| author_sort | Gapyak, Ihor |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2026-02-24T12:22:41Z |
| description | The article provides an overview of the method of kinetic cluster expansions for generating operators of solutions to the hierarchies of evolutionary equations. The developed method allows for a rigorous justification of the derivation of nonlinear kinetic equations from the microscopic dynamics of a system of many particles. |
| doi_str_mv | 10.3842/trim.v21n1.538 |
| first_indexed | 2026-08-04T01:09:02Z |
| format | Article |
| fulltext |
Çáiðíèê ïðàöü Ií-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè (2024) ò. 21, �1, 13�34
Êiíåòè÷íi êëàñòåðíi ðîçêëàäè òâiðíèõ
îïåðàòîðiâ ðîçâ'ÿçêiâ i¹ðàðõié
åâîëþöiéíèõ ðiâíÿíü
I. Â. Ãàï'ÿê
Abstract. The article provides an overview of the method of kinetic
cluster expansions for generating operators of solutions to the hierarchies
of evolutionary equations. The developed method allows for a rigorous
justi�cation of the derivation of nonlinear kinetic equations from the mi-
croscopic dynamics of a system of many particles.
Àíîòàöiÿ.  ñòàòòi ïîäàíî îãëÿä ìåòîäó êiíåòè÷íèõ êëàñòåðè ðîçêëà-
äiâ äëÿ òâiðíèõ îïåðàòîðiâ ðîçâ'ÿçêiâ i¹ðàðõié åâîëþöiéíèõ ðiâíÿíü.
Ðîçðîáëåíèé ìåòîä äîçâîëÿ¹ ñòðîãî îá ðóíòîâóâàòè âèâiä íåëiíiéíèõ
êiíåòè÷íèõ ðiâíÿíü ç ìiêðîñêîïi÷íî¨ äèíàìiêè ñèñòåì áàãàòüîõ ÷àñòè-
íîê.
1. Ïåðåäí¹ ñëîâî
Îäíi¹þ ç ôóíäàìåíòàëüíèõ çàäà÷ ñó÷àñíî¨ ìàòåìàòè÷íî¨ ôiçèêè ¹
îá ðóíòóâàííÿ êiíåòè÷íèõ ðiâíÿíü, òîáòî, çàìêíåíèõ ðiâíÿíü âiäíîñíî
îäíî÷àñòèíêîâî¨ ôóíêöi¨ ðîçïîäiëó. Âiäîìi iñòîðè÷íi ïðèêëàäè êiíåòè-
÷íèõ ðiâíÿíü � ðiâíÿííÿ Áîëüöìàíà [4] òà ðiâíÿííÿ Åíñêîãà [7], ÿêi
îïèñóþòü ïðîöåñè çiòêíåííÿ ÷àñòèíîê ó ðîçðiäæåíèõ ãàçàõ. Çâè÷àéíèé
ïiäõiä äî âèâåäåííÿ ðiâíÿííÿ Áîëüöìàíà ïîëÿã๠â ïîáóäîâi àñèìïòîòè-
÷íî¨ ãðàíèöi Áîëüöìàíà��ðåäà äëÿ ðîçâ'ÿçêó çàäà÷i Êîøi äëÿ i¹ðàðõi¨
ðiâíÿíü ÁÁ�ÊI (Áîãîëþáîâ�Áîðí��ðií�Êiðêâóä�Iâîí), ÿêèé ïðåäñòàâ-
ëÿ¹òüñÿ ðîçêëàäàìè â ðÿä òåîði¨ çáóðåííÿ [5, 20].
Âiäìiòèìî, ùî åâîëþöiÿ ÿê ñêií÷åííî¨, òàê i íåñêií÷åííî¨ êiëüêîñòi
÷àñòèíîê âèçíà÷à¹òüñÿ ôóíêöiÿìè ðîçïîäiëó (ñòàíàìè), ÿêi îïèñóþòüñÿ
çàäà÷åþ Êîøi äëÿ i¹ðàðõi¨ ðiâíÿíü ÁÁ�ÊI, ÿêà äëÿ ñêií÷åííî¨ êiëüêî-
ñòi ÷àñòèíîê ¹ åêâiâàëåíòíîþ äî çàäà÷i Êîøi ðiâíÿííÿ Ëióâiëëÿ äëÿ
ôóíêöi¨ ðîçïîäiëó éìîâiðíîñòi [5, 20]. Ó ïåâíèõ ñèòóàöiÿõ [5] êîëåêòèâ-
íà ïîâåäiíêà áàãàòî÷àñòèíêîâèõ ñèñòåì ìîæå áóòè îïèñàíà êiíåòè÷íèìè
ðiâíÿííÿìè. Çâè÷àéíà ôiëîñîôiÿ îïèñó êiíåòè÷íî¨ åâîëþöi¨ ïîëÿã๠â
2020 Mathematics Subject Classi�cation: 35C10; 35Q20; 82C05; 82D05; 70F45
Êëþ÷îâi ñëîâà: i¹ðàðõiÿ åâîëþöiéíèõ ðiâíÿíü; êiíåòè÷íå ðiâíÿííÿ; êëàñòåðíi ðîç-
êëàäè; êóìóëÿíò; íàïiâãðóïà îïåðàòîðiâ; ÷àñòèíêè iç çiòêíåííÿìè
DOI : https://doi.org/10.3842/trim.v21n1.538
13
14 I. Â. Ãàï'ÿê
íàñòóïíîìó: ÿêùî ïî÷àòêîâèé ñòàí çàäà¹òüñÿ îäíî÷àñòèíêîâîþ ðåäó-
êîâàíîþ ôóíêöi¹þ ðîçïîäiëó, òîäi åâîëþöiþ ñòàíó ìîæíà åôåêòèâíî
îïèñàòè çà äîïîìîãîþ îäíî÷àñòèíêîâî¨ ðåäóêîâàíî¨ ôóíêöi¨ ðîçïîäiëó,
ÿêà âèçíà÷à¹òüñÿ íåëiíiéíèì êiíåòè÷íèì ðiâíÿííÿì.  äàíié ðîáîòi íà
îñíîâi ðîçðîáëåíîãî ìåòîäó êiíåòè÷íèõ êëàñòåðíèõ ðîçêëàäiâ äëÿ íåïå-
ðåòóðáàòèâíîãî ðîçâ'ÿçêó i¹ðàðõié åâîëþöiéíèõ ðiâíÿíü ÁÁ�ÊI ïðåä-
ñòàâëåíî îãëÿä ðîáiò, ÿêi ïðèñâÿ÷åíi ñòðîãîìó âèâîäó óçàãàëüíåíîãî êi-
íåòè÷íîãî ðiâíÿííÿ Åíñêî à òà ðåäóêîâàíèõ ôóíêöiîíàëiâ.
Àëüòåðíàòèâíèé ïiäõiä äî îïèñó åâîëþöi¨ ñòàíiâ ðóíòó¹òüñÿ íà ïîñëi-
äîâíîñòi ôóíêöié, ÿêi âèçíà÷àþòüñÿ ÿê êóìóëÿíòè ðåäóêîâàíèõ ôóíê-
öié ðîçïîäiëó. Öi ôóíêöi¨ iíòåðïðåòóþòüñÿ ÿê ðåäóêîâàíi êîðåëÿöiéíi
ôóíêöi¨, ÿêi ïiäïîðÿäêîâóþòüñÿ âiäïîâiäíié i¹ðàðõi¨ íåëiíiéíèõ åâîëþ-
öiéíèõ ðiâíÿíü [14, 15]. Äëÿ ïî÷àòêîâèõ ñòàíiâ ðåäóêîâàíèõ êîðåëÿöié-
íèõ ôóíêöié, ÿêi çàäîâîëüíÿþòü óìîâó õàîñó âèêîðèñòàíî ìåòîä êiíåòè-
÷íèõ êëàñòåðíèõ ðîçêëàäiâ i îïèñàíî åâîëþöiþ ðåäóêîâàíèõ êîðåëÿöié
çà äîïîìîãîþ êiíåòè÷íîãî ðiâíÿííÿ, à ñàìå, êiíåòè÷íîãî ðiâíÿííÿ Åí-
ñêî à [9].
Òàêîæ äëÿ ôóíêöié, ÿêi îïèñóþòü êîðåëÿöi¨ â ñèñòåìi ñêií÷åííîãî
÷èñëà ïðóæíèõ êóëü i âèçíà÷àþòüñÿ çàäà÷åþ Êîøi äëÿ i¹ðàðõi¨ åâîëþ-
öiéíèõ ðiâíÿíü Ëióâiëëÿ [14], âèêîðèñòîâóþ÷è ìåòîä êiíåòè÷íèõ êëà-
ñòåðíèõ ðîçêëàäiâ âñòàíîâëåíî çàëåæíiñòü ìiæ s ÷àñòèíêîâîþ (s ą“ 0)
êîðåëÿöiéíîþ ôóíêöi¹þ òà îäíî÷àñòèíêîâèìè êîðåëÿöiéíèìè ôóíêöiÿ-
ìè â äîâiëüíèé ìîìåíò ÷àñó.
2. Êóìóëÿíòè ãðóï îïåðàòîðiâ
Ó öüîìó ðîçäiëi áóäå ïðåäñòàâëåíî íåïåðòóðáàòèâíèé ðîçâ'ÿçîê çàäà-
÷i Êîøi äëÿ i¹ðàðõi¨ ðiâíÿíü ÁÁ�ÊI äëÿ ñèñòåìè ïðóæíèõ êóëü. Òàêèé
ðîçâ'ÿçîê âèçíà÷à¹òüñÿ ÷åðåç êóìóëÿíòè ãðóï îïåðàòîðiâ ðiâíÿííÿ Ëi-
óâiëëÿ.
Ðîçãëÿíåìî ñèñòåìó íåôiêñîâàíîãî, òîáòî äîâiëüíîãî, àëå ñêií÷åííî-
ãî ÷èñëà ÷àñòèíîê îäèíè÷íî¨ ìàñè (ôîðìàëiçì íåðiâíîâàæíîãî âåëèêî-
ãî êàíîíi÷íîãî àíñàìáëþ [5, 24]) âçà¹ìîäiþ÷èõ ÿê ïðóæíi êóëi ç äiàìå-
òðîì σ ą 0. Êîæíà ÷àñòèíêà õàðàêòåðèçó¹òüñÿ ôàçîâîþ êîîðäèíàòîþ
pqi, piq ” xi P R3 ˆ R3, i ě 1. Äëÿ êîíôiãóðàöié òàêî¨ ñèñòåìè ñïðàâå-
äëèâi íàñòóïíi íåðiâíîñòi: |qi ´ qj | ě σ, i ‰ j ě 1, òîáòî ìíîæèíà
Ws ” ␣pq1, . . . , qsq P R3s
ˇ̌|qi ´ qj | ă σ
õî÷à á äëÿ îäíi¹¨ ïàðè pi, jq : i ‰ j P p1, . . . , sq( ¹ ìíîæèíîþ çàáîðîíåíèõ
êîíôiãóðàöié.
Êiíåòè÷íi êëàñòåðíi ðîçêëàäè òâiðíèõ îïåðàòîðiâ ðîçâ'ÿçêiâ 15
Íåõàé ñòàíè ñèñòåìè ïðóæíèõ êóëü íàëåæàòü ïðîñòîðó iíòåãðîâàíèõ
ôóíêöié
L1
s ” L1pR3s ˆ pR3szWsqq, s ě 1,
ÿêi ¹ ñèìåòðè÷íèìèì âiäíîñíî ïåðåñòàíîâêè àðãóìåíòiâ x1, . . . , xs, äî-
ðiâíþþòü íóëþ íà ìíîæèíi çàáîðîíåíèõ êîíôiãóðàöié Ws ç íîðìîþ:
}fs}L1pR3sˆR3sq “
ż
dx1 . . . dxs|fspx1, . . . , xsq|.
Ïîçíà÷èìî ÷åðåç L1
s,0 Ă L1
s ïiäïðîñòið íåïåðåðâíî äèôåðåíöiéîâàíèõ
ôóíêöié ç êîìïàêòíèì íîñi¹ì.
Åâîëþöiÿ âñiõ ìîæëèâèõ ñòàíiâ îïèñó¹òüñÿ ïîñëiäîâíiñòþ ìàðãiíàëü-
íèõ (s-÷àñòèíêîâèõ) ôóíêöié ðîçïîäiëó Fspt, x1, . . . , xsq, s ě 1, ùî çàäî-
âîëüíÿþòü çàäà÷ó Êîøi äëÿ i¹ðàðõi¨ ðiâíÿíü ÁÁ�ÊI (ëàíöþæêà ðiâíÿíü
Áîãîëþáîâà) [5]
B
BtFsptq “ LsFsptq `
sÿ
i“1
ż
R3ˆR3
dxs`1Lintpi, s` 1qFs`1ptq, (2.1)
Fsptq|t“0 “ F 0
s , s ě 1. (2.2)
ßêùî t ą 0, â i¹ðàðõi¨ åâîëþöiéíèõ ðiâíÿíü (2.1) îïåðàòîð Ëióâiëëÿ Ls
âèçíà÷à¹òüñÿ ÷åðåç äóæêó Ïóàññîíà íåâçà¹ìîäiþ÷èõ ÷àñòèíîê ç ãðàíè-
÷íîþ óìîâîþ íà BWs [5]:
LsFsptq :“ ´
sÿ
i“1
xpi, B
Bqi y|BWsFspt, x1, . . . , xsq, (2.3)
äå ÷åðåç x¨, ¨y ïîçíà÷åíî ñêàëÿðíèé äîáóòîê. Ãðàíè÷íà óìîâà íà BWs
âèçíà÷à¹òüñÿ çà òàêèì ïðàâèëîì: ÿêùî t ě 0, òî ïðè |qi ´ qj | “ σ ïî-
òðiáíî ó âèïàäêó xpqi ´ qjq, ppi ´ pjqy ď 0 â äóæöi Ïóàññîíà ïåðåéòè âiä
çíà÷åíü iìïóëüñiâ ÷àñòèíîê ppi, pjq äî çíà÷åíü iìïóëüñiâ äî çiòêíåííÿ
ppi̊ , pj̊ q çãiäíî ç ñïiââiäíîøåííÿìè
pi̊ :“ pi ´ η xη, ppi ´ pjqy ,
pj̊ :“ pj ` η xη, ppi ´ pjqy . (2.4)
Ïðè t ă 0 òàêà çàìiíà âiäïîâiä๠âèïàäêó xpqi ´ qjq, ppi ´ pjqy ą 0 [5].
16 I. Â. Ãàï'ÿê
Îïåðàòîð Lintpi, s` 1q âèçíà÷à¹òüñÿ ñïiââiäíîøåííÿì:
sÿ
i“1
ż
R3ˆR3
dxs`1Lintpi, s` 1qFs`1ptq :“
σ2
sÿ
i“1
ż
R3ˆS2`
dps`1dη xη, ppi ´ ps`1qypFs`1pt, x1, . . . , qi, pi̊ , . . .
. . . , xs, qi ´ ση, ps̊`1q ´ Fs`1pt, x1, . . . , xs, qi ` ση, ps`1q˘,
(2.5)
äå S2` :“ tη P R3
ˇ̌ |η| “ 1, xη, ppi ´ ps`1qy ą 0u i iìïóëüñè pi̊ , ps̊`1 âèçíà-
÷àþòüñÿ ç ôîðìóë (2.4).
ßêùî t ă 0, ãåíåðàòî𠨹ðàðõi¨ ðiâíÿíü ÁÁ�ÊI âèçíà÷à¹òüñÿ ñïiââiä-
íîøåííÿì:
sÿ
i“1
ż
R3ˆR3
dxs`1Lintpi, s` 1qFs`1ptq :“
σ2
sÿ
i“1
ż
R3ˆS2`
dps`1dη xη, ppi ´ ps`1qy`Fs`1pt, x1, . . . , xs,
qi ´ ση, ps`1q ´ Fs`1pt, x1, . . . , qi, pi̊ , . . . , xs, qi ` ση, ps̊`1q˘,
(2.6)
Íàäàëi áóäåìî ðîçãëÿäàòè ïî÷àòêîâèé ñòàí ÷àñòèíîê (2.2), ÿêèé çàäî-
âîëüíÿ¹ óìîâó õàîñó [5], à ñàìå, âèïàäîê ñòàíó ñòàòèñòè÷íî íåçàëåæíèõ
÷àñòèíîê
Fsptq|t“0 “ F pcq
s px1, . . . , xsq ”
sź
i“1
F 0
1 pxiqXR3szWs
, s ě 1, (2.7)
äå XR3szWs
” Xspq1, . . . , qsq � ôóíêöiÿ Õåâiñàéäà äîçâîëåíèõ êîíôiãó-
ðàöié s ïðóæíèõ êóëü. Çàóâàæèìî, ùî ïî÷àòêîâèé ñòàí (2.7) ¹ õàðà-
êòåðíèì äëÿ êiíåòè÷íîãî îïèñó áàãàòî÷àñòèíêîâî¨ ñèñòåìè, îñêiëüêè â
öüîìó âèïàäêó âñi ìîæëèâi ñòàíè õàðàêòåðèçóþòüñÿ çà äîïîìîãîþ îäíî-
÷àñòèíêîâî¨ ðåäóêîâàíî¨ ôóíêöi¨ ðîçïîäiëó.
Ó ïðîñòîði L1pR3n ˆ R3nq âèçíà÷åíà òàêà ãðóïà ñèëüíî íåïåðåðâíèõ
îïåðàòîðiâ
pSsp´tqfsqpx1, . . . , xsq ” Ssp´t, 1, . . . , sqfspx1, . . . , xsq :“ (2.8)$
’&
’%
fspX1p´t, x1, . . . , xsq, . . . , Xsp´t, x1, . . . , xsqq,
px1, . . . , xsq P pR3s ˆ pR3szWsqq,
0, pq1, . . . , qsq P Ws,
äå Xip´tq � ôàçîâà òðà¹êòîðiÿ i´î¨ ÷àñòèíêè, ÿêà ïîáóäîâàíà íèæ÷å.
Çàóâàæèìî, ùî ôàçîâi òðà¹êòîði¨ ñèñòåìè ïðóæíèõ êóëü âèçíà÷àþòüñÿ
ìàéæå ñêðiçü íà ôàçîâîìó ïðîñòîði R3s ˆ pR3szWsq êðiì ìíîæèíè M0
s
Êiíåòè÷íi êëàñòåðíi ðîçêëàäè òâiðíèõ îïåðàòîðiâ ðîçâ'ÿçêiâ 17
íóëüîâî¨ ìiðè Ëåáåãà [5]. Ìíîæèíà M0
s ñêëàäà¹òüñÿ iç òî÷îê ôàçîâî-
ãî ïðîñòîðó, ÿêi âèçíà÷àþòü òàêi ïî÷àòêîâi äàíi, ùî ïiä ÷àñ åâîëþöi¨
ïîðîäæóþòü áàãàòîêðàòíi çiòêíåííÿ, òîáòî çiòêíåííÿ áiëüøå íiæ äâîõ
÷àñòèíîê, áiëüøå íiæ îäíå äâîõ÷àñòèíêîâå çiòêíåííÿ â äåÿêèé ìîìåíò
÷àñó i íà ñêií÷åííîìó iíòåðâàëi ÷àñó âiäáóâà¹òüñÿ íåñêií÷åííå ÷èñëî
çiòêíåíü.
ßêùî ïî÷àòêîâèé ñòàí (2.7) F 0
1 P L1pR3 ˆ R3q âèçíà÷à¹òüñÿ îäíî÷à-
ñòèíêîâîþ ôóíêöi¹þ ðîçïîäiëó, òîäi íåïåðòóðáàòèâíèé ðîçâ'ÿçîê ïî÷à-
òêîâî¨ çàäà÷i i¹ðàðõi¨ ðiâíÿíü ÁÁ�ÊI (2.1), (2.7) çîáðàæó¹òüñÿ ïîñëiäîâ-
íiñòþ
F ptq “ p1, F1ptq, . . . , Fsptq, . . .q
ðåäóêîâàíèõ (s-÷àñòèíêîâèõ) ôóíêöié ðîçïîäiëó [16,18]
Fspt, x1, . . . , xsq “
8ÿ
n“0
1
n!
ż
pR3ˆR3qn
dxs`1 . . . dxs`nA1`np´t, (2.9)
t1, . . . , su, s` 1, . . . , s` nq
s`nź
i“1
F 0
1 pxiqXR3ps`nqzWs`n , s ě 1,
äå òâiðíèé îïåðàòîð A1`np´tq ¹ pn` 1q-ãî ïîðÿäêó êóìóëÿíò ãðóï îïå-
ðàòîðiâ (2.8), ÿêèé âèçíà÷à¹òüñÿ òàêèì ðîçêëàäîì:
A1`np´t, t1, . . . , su, s` 1, . . . , s` nq “ (2.10)ÿ
P: pt1,...,su,s`1,...,s`nq“Ť
iXi
p´1q|P|´1p|P| ´ 1q!
ź
XiĂP
S|θpXiq|p´t, θpXiqq,
i âèêîðèñòàíî íàñòóïíi ïîçíà÷åííÿ: t1, . . . , su ¹ ìíîæèíà, ÿêà ñêëàäà-
¹òüñÿ iç îäíîãî åëåìåíòà p1, . . . , sq, òîáòî |t1, . . . , s ` 1u| “ 1,
ř
P
� ñóìà
ïî âñiõ ìîæëèâèõ ðîçáèòòÿõ P ìíîæèíè pt1, . . . , su, s ` 1, . . . , s ` nq íà
|P| íåïîðîæíiõ ïiäìíîæèí Xi P pt1, . . . , su, s ` 1, . . . , s ` nq, ÿêi âçà¹ì-
íî íå ïåðåòèíàþòüñÿ, âiäîáðàæåííÿ θ ¹ âiäîáðàæåííÿ äåêëàñòèðèçàöi¨,
ÿêå âèçíà÷à¹òüñÿ çãiäíî ôîðìóëè: θpt1, . . . , suq “ 1, . . . , s. Íàéïðîñòiøi
ïðèêëàäè êóìóëÿíòiâ (2.10) âèçíà÷àþòüñÿ íàñòóïíèì ÷èíîì:
A1p´t, 1, . . . , sq “ Ssp´t, 1, . . . , sq,
A2p´t, 1, . . . , s, s` 1q “ Ss`1p´t, 1, . . . , s, s` 1q ´
Ssp´t, 1, . . . , sqS1p´t, s` 1q,
A3p´t, t1, . . . , su, s` 1, s` 2q “ Ss`2p´t, 1, . . . , s` 2q ´
´Ss`1p´t, 1, . . . , s` 1qS1p´t, s` 2q ´ Ss`1p´t, 1, . . . , s, s` 2q ˆ
S1p´t, s` 1q ´ Ssp´t, 1, . . . , sqS2p´t, s` 1, s` 2q `
2!Ssp´t, 1, . . . , sqS1p´t, s` 1qS1p´t, s` 2q.
18 I. Â. Ãàï'ÿê
Äëÿ êóìóëÿíòiâ (2.10) ãðóï îïåðàòîðiâ (2.8) ñïðàâåäëèâà îöiíêàż
pR3ˆR3qs`n
dx1 . . . dxs`n
ˇ̌pA1`np´t, t1, . . . , su, s` 1, . . . , s` nqfs`nq
px1, . . . , xs`nqˇ̌ ď n!en`2}fs`n}L1
s`n . (2.11)
Äiéñíî, äàíà îöiíêà âèïëèâ๠iç íåðiâíîñòåéż
pR3ˆR3qs`n
dx1 . . . dxs`n
ˇ̌pA1`np´t, t1, . . . , su, s` 1, . . . , s` nq
fs`nqpx1, . . . , xs`nqˇ̌ ď
ÿ
P: pt1,...,su,s`1,...,s`nq“Ť
iXi
p|P| ´ 1q!}fs`n}L1
s`n “
n`1ÿ
k“1
spn` 1, kqpk ´ 1q!}fs`n}L1
s`n ,
äå spn`1, kq � ÷èñëà Ñòiðëiíãà äðóãîãî ðîäó äëÿ ÿêèõ ìàþòü ìiñöå òàêi
íåðiâíîñòi:
n`1ÿ
k“1
spn` 1, kqpk ´ 1q! “
n`1ÿ
k“1
1
k
ÿ
r1,...,rkě1
r1`...`rk“n`1
pn` 1q!
r1! . . . rk!
ď
n`1ÿ
k“1
kn ď n!en`2.
Âðàõîâóþ÷è îöiíêó (2.11), ðÿä (2.9) äëÿ äîâiëüíèõ t P R çáiãà¹òüñÿ
ïî íîðìi ïðîñòîðó L1
s çà óìîâè ùî: }F 0
1 }L1pR3ˆR3q ă e´1, ÿêà ¹ óìîâîþ
íà ñåðåäí¹ ÷èñëî ÷àñòèíîê.
Çàóâàæèìî, ùî íåïåðòóáàòèâíèé ðîçâ'ÿçîê (2.9) i¹ðàðõi¨ ðiâíÿíü ÁÁÃ-
ÊI (2.1) ïåðåòâîðþ¹òüñÿ äî ôîðìè ïåðòóáàòèâíîãî (iòåðàöiéíîãî) ðÿ-
äó [5] ÿê ðåçóëüòàò çàñòîñóâàííÿ àíàëîãiâ ðiâíÿíü Äþàìåëÿ [2] äî êó-
ìóëÿíòiâ ãðóï îïåðàòîðiâ (2.10).
ßêùî ïî÷àòêîâi äàíi F 0
1 P L1
0pR3 ˆ R3q, òî ïîñëiäîâíiñòü ôóíêöié
(2.9) ¹ ñèëüíèì ðîçâ'ÿçêîì ïî÷àòêîâî¨ çàäà÷i i¹ðàðõi¨ ðiâíÿíü ÁÁÃÊI
(2.1) i (2.7), i äëÿ äîâiëüíèõ ïî÷àòêîâèõ äàíèõ F 0
1 P L1pR3 ˆ R3q öå ¹
ñëàáêèé ðîçâ'ÿçîê [5].
3. Ìåòîä êiíåòè÷íèõ êëàñòåðíèõ ðîçêëàäiâ
 äàíîìó ðîçäiëi ñôîðìóëþ¹ìî ïåðåòâîðåííÿ äëÿ êóìóëÿíòiâ (2.10)
ãðóï îïåðàòîðiâ (2.8), ÿêi äîçâîëÿëè á ðîçêëàäè ðåäóêîâàíèõ ôóíêöié
ðîçïîäiëó (2.9) ïðè s ě 2 âèðàçèòè â òåðìiíàõ ðîçêëàäiâ ïî îäíî÷à-
ñòèíêîâié ôóíêöi¨ ðîçïîäiëó. Âiäìiòèìî, ùî âïåðøå ïîíÿòòÿ êëàñòåðíèõ
ðîçêëàäiâ áóëî çàïðîïîíîâàíî â ðîáîòi [6].
Äëÿ òîãî, ùîá ïåðåôîðìóëþâàòè çàäà÷ó Êîøi (2.1),(2.7) ÿê íîâó çà-
äà÷ó Êîøi äëÿ îäíî÷àñòèíêîâî¨ ôóíêöi¨ ðîçïîäiëó òà ÿâíî âèçíà÷åíèõ
Êiíåòè÷íi êëàñòåðíi ðîçêëàäè òâiðíèõ îïåðàòîðiâ ðîçâ'ÿçêiâ 19
ôóíêöiîíàëiâ âiäíîñíî òàêî¨ ôóíêöi¨, ââåäåìî íàñòóïíi êëàñòåðíi ðîç-
êëàäè êóìóëÿíòiâ (2.10) ãðóï îïåðàòîðiâ (2.8) [9]
A1`np´t, t1, . . . , su, s` 1, . . . , s` nqIs`np1, . . . , s` nq “ (3.1)
nÿ
k1“0
n!
pn´ k1q!k1! V1`n´k1pt, t1, . . . , su, s` 1, . . . , s` n´ k1q ˆ
k1ÿ
k2“0
k1!
k2!pk1 ´ k2q! . . .
kn´k1`s´1ÿ
kn´k1`s“0
kn´k1`s´1!
kn´k1`s!pkn´k1`s´1 ´ kn´k1`sq! ˆ
s`n´k1ź
i“1
A1`kn´k1`s`1´i´kn´k1`s`2´ip´t, i, s` n´ k1 ` 1 `
`ks`n´k1`2´i, . . . , s` n´ k1 ` ks`n´k1`1´iq ˆ
I1`kn´k1`s`1´i´kn´k1`s`2´ipi, s` n´ k1 ` 1 ` ks`n´k1`2´i, . . .
. . . , s` n´ k1 ` ks`n´k1`1´iq, n ě 0.
 ôîðìóëi (3.1) ââåäåíî ïîçíà÷åííÿ: ks`1 ” 0, à îïåðàòîð Is`n âèçíà-
÷à¹òüñÿ ÷åðåç ôîðìóëó
Is`np1, . . . , s` nqfs`n :“ XR3ps`nqzWs`nfs`n, (3.2)
äå XR3ps`nqzWs`n � ôóíêöiÿ Õåâiñàéäà äîçâîëåíèõ êîíôiãóðàöié s ` n
ïðóæíèõ êóëü. Ó âèïàäêó ïî÷àòêîâèõ ñòàíiâ (2.7), ùî âêëþ÷àþòü â
ñîái êîðåëÿöi¨ òàêîãî òèïó, êëàñòåðíi ðîçêëàäè (3.1) äîçâîëÿþòü âðàõó-
âàòè ïî÷àòêîâi êîðåëÿöi¨ â êiíåòè÷íîìó ðiâíÿííi. Ðîçêëàäè (3.1) áóäåìî
íàçèâàòè êiíåòè÷íèìè êëàñòåðíèìè ðîçêëàäàìè äëÿ êóìóëÿíòiâ (2.10)
ãðóï îïåðàòîðiâ (2.9).
Ùîá êðàùå çðîçóìiòè ñòðóêòóðó ðåêóðñèâíèõ ñïiââiäíîøåíü (3.1) íà-
âåäåìî êiëüêà ïðèêëàäiâ öèõ ñïiââiäíîøåíü. Àëå äëÿ öüîãî ñïî÷àòêó
âèçíà÷èìî íîâi åâîëþöiéíi îïåðàòîðè, à ñàìå êóìóëÿíòè ðîçñi¹ííÿ, ÿêi
âèçíà÷àþòüñÿ çãiäíî ôîðìóëè
pA1`npt, t1, . . . , su, s` 1, . . . , s` nq :“ (3.3)
A1`np´t, t1, . . . , su, s` 1, . . . , s` nqIs`npXq
s`nź
i“1
A1pt, iq.
Òåïåð íàâåäåìî ïðèêëàäè ðåêóðñèâíèõ ñïiââiäíîøåíü (3.1) íàéíèæ÷èõ
ïîðÿäêiâ â òåðìiíàõ êóìóëÿíòiâ ðîçñi¹ííÿ (3.3). Ïîäiÿâøè ëiâîþ i ïðà-
âîþ ÷àñòèíàìè ðiâíîñòi (3.1)íà åâîëþöiéíèé îïåðàòîð
śs`n
i“1 A1pt, iq, îòðè-
ìà¹ìî
pA1pt, t1, . . . , suq “ V1pt, t1, . . . , suq,
20 I. Â. Ãàï'ÿê
pA2pt, t1, . . . , su, s` 1q “ V2pt, t1, . . . , su, s` 1q `
V1pt, t1, . . . , suq
sÿ
i1“1
pA2pt, i1, s` 1q,
pA3pt, t1, . . . , su, s` 1, s` 2q “ V3pt, t1, . . . , su, s` 1, s` 2q `
`2!V2pt, t1, . . . , su, s` 1q
s`1ÿ
i1“1
pA2pt, i1, s` 2q ` V1pt, t1, . . . , suq ˆ
ˆ` sÿ
i1“1
pA3pt, i1, s` 1, s` 2q ` 2!
sÿ
1“i1ăi2
pA2pt, i1, s` 1qpA2pt, i2, s` 2q˘,
äå pA1`nptq � p1 ` nq-ãî ïîðÿäêó pn “ 0, 1, 2q êóìóëÿíò ðîçñiÿííÿ (3.3).
Ëåãêî ïåðåâiðèòè, ùî ðîçâ'ÿçêè öèõ ñïiââiäíîøåíü çàäàþòüñÿ íàñòóïíè-
ìè ðîçêëàäàìè:
V1pt, t1, . . . , suq “ pA1pt, t1, . . . , suq “ Ssp´t, 1, . . . , sqIspY q
sź
i“1
S1pt, iq,
V2pt, t1, . . . , su, s` 1q “ pA2pt, t1, . . . , su, s` 1q ´
pA1pt, t1, . . . , suq
sÿ
i1“1
pA2pt, i1, s` 1q,
V3pt, t1, . . . , su, s` 1, s` 2q “ pA3pt, t1, . . . , su, s` 1, s` 2q ´
´2!pA2pt, t1, . . . , su, s` 1q
s`1ÿ
i1“1
pA2pt, i1, s` 2q ´ pA1pt, t1, . . . , suq ˆ
` sÿ
i1“1
pA3pt, i1, s` 1, s` 2q ´ 2!
sÿ
i1“1
s`1ÿ
i2“1
pA2pt, i1, s` 1q ˆ
pA2pt, i2, s` 2q ` 2!
sÿ
1“i1ăi2
pA2pt, i1, s` 1qpA2pt, i2, s` 2q˘.
Ó çàãàëüíîìó âèïàäêó ðîçâ'ÿçêè ðåêóðñèâíèõ ñïiââiäíîøåíü (3.1),
òîáòî p1`nq-ãî ïîðÿäêó (n ě 0) îïåðàòîðè V1`nptq, âèçíà÷àþòüñÿ ÷åðåç
ðîçêëàäè (s ě 2, n ě 0)
V1`npt, t1, . . . , su, s` 1, . . . , s` nq “ n!
nÿ
k“0
p´1qk
nÿ
m1“1
. . . (3.4)
. . .
n´m1´...´mk´1ÿ
mk“1
1
pn´m1 ´ . . .´mkq!
pA1`n´m1´...´mkpt, t1, . . . , su,
Êiíåòè÷íi êëàñòåðíi ðîçêëàäè òâiðíèõ îïåðàòîðiâ ðîçâ'ÿçêiâ 21
s` 1, . . . , s` n´m1 ´ . . .´mkq
kź
j“1
mjÿ
kj2“0
. . .
kjn´m1´...´mj`s´1ÿ
kjn´m1´...´mj`s“0
s`n´m1´...´mjź
ij“1
1
pkjn´m1´...´mj`s`1´ij ´ kjn´m1´...´mj`s`2´ij q!
ˆ
ˆpA
1`kjn´m1´...´mj`s`1´ij´kjn´m1´...´mj`s`2´ij
pt, ij ,
`s` n´m1 ´ . . .´mj ` 1 ` kjs`n´m1´...´mj`2´ij , . . .
. . . , s` n´m1 ´ . . .´mj ` kjs`n´m1´...´mj`1´ij q.
äå ìà¹òüñÿ íà óâàçi, ùî
kj1 ” mj , kjn´m1´...´mj`s`1 ” 0.
Öåé ôàêò ïåðåâiðÿ¹òüñÿ ÿê ðåçóëüòàò ïiäñòàíîâêè âèðàçó (3.4) ó ðå-
êóðñèâíi ñïiââiäíîøåííÿ (3.1). Ñëiä âiäçíà÷èòè, ùî êîðåëÿöi¨, ÿêi ïî-
ðîäæóþòüñÿ ïiä ÷àñ äèíàìiêè ïðóæíèõ êóëü òà ïî÷àòêîâi êîðåëÿöi¨,
ÿêi ïîâ'ÿçàíi iç çàáîðîíåíèìè êîíôiãóðàöiÿìè ïîâíiñòþ âèçíà÷àþòüñÿ
÷åðåç åâîëþöiéíi îïåðàòîðè (3.4).
Âiäìiòèìî äåÿêi õàðàêòåðíi âëàñòèâîñòi åâîëþöiéíèõ îïåðàòîðiâ (3.4).
Ó ñåíñi ñëàáêî¨ çáiæíîñòi â ïðîñòîði L1pR3sˆR3szWsq iíôiíiòåçèìàëüíèé
ãåíåðàòîð ïåðøîãî ïîðÿäêó åâîëþöiéíîãî îïåðàòîðà (3.4) âèçíà÷à¹òüñÿ
÷åðåç îïåðàòîð
lim
tÑ0
1
t
pV1pt, t1, . . . , suq ´ Iqfs “
sÿ
iăj“1
Lintpi, jqfs,
äå îïåðàòîð Li̊ntpi, jq âèçíà÷à¹òüñÿ ôîðìóëîþ (2.5).
Ó çàãàëüíîìó âèïàäêó, òîáòî ïðè n ě 1, ó òàêîìó æ ñåíñi, ÿê i äëÿ
åâîëþöiéíîãî îïåðàòîðà ïåðøîãî ïîðÿäêó (3.4) ì๠ìiñöå ðiâíiñòü:
lim
tÑ0
1
t
V1`npt, t1, . . . , su, s` 1, . . . , s` nqfs`n “ 0.
Ó âèïàäêó ñèñòåìè íåâçà¹ìîäiþ÷èõ ÷àñòèíîê äëÿ êóìóëÿíòiâ ðîçñiÿ-
ííÿ (3.3) ìàþòü ìiñöå òàêi ðiâíîñòi:
pA1`npt, t1, . . . , su, s`1, . . . , s`nq “
sź
i“1
S1p´t, iqIsp1, . . . , sq
sź
j“1
S1pt, jqδn,0,
äå n ě 0, δn,0 � ñèìâîë Êðîíåêåðà, òîäi ìè îòðèìà¹ìî
V1`npt, t1, . . . , su, s`1, . . . , s`nq “
sź
i“1
S1p´t, iqIsp1, . . . , sq
sź
j“1
S1pt, jqδn,0.
22 I. Â. Ãàï'ÿê
Ïîäiáíèì ÷èíîì ÿê ó ïî÷àòêîâèé ÷àñ t “ 0 ñïðàâåäëèâà òàêà ðiâíiñòü:
V1`np0, t1, . . . , su, s` 1, . . . , s` nq “ Isp1, . . . , sqδn,0, n ě 0.
4. Ðåäóêîâàíi ôóíêöiîíàëè ñòàíó ÷àñòèíîê
ßê áóëî çàçíà÷åíî âèùå åâîëþöiÿ ñèñòåìè íåôiêñîâàíîãî ÷èñëà ÷à-
ñòèíîê, ÿêi âçà¹ìîäiþòü ÿê ïðóæíi êóëi îïèñó¹òüñÿ ïîñëiäîâíiñòþ ðåäó-
êîâàíèõ ôóíêöié ðîçïîäiëó
F ptq “ p1, F1pt, x1q, . . . , Fspt, , x1, . . . , xsq, . . .q,
äå Fsptq âèçíà÷àþòüñÿ çàäà÷åþ Êîøi äëÿ i¹ðàðõi¨ ðiâíÿíü ÁÁ�ÊI (2.1),
(2.2). Äëÿ ïî÷àòêîâèõ äàíèõ (2.7) çàñòîñîâóþ÷è êëàñòåðíi ðîçêëàäè
(3.1) äî êóìóëÿíòiâ (2.10) ãðóï îïåðàòîðiâ (2.8) ó ðåäóêîâàíèõ ôóí-
êöiÿõ ðîçïîäiëó, ìè îòðèìà¹ìî, ùî åâîëþöiÿ ñòàíiâ ïîâíiñòþ âèçíà÷à¹-
òüñÿ ïîñëiäîâíiñòþ ðåäóêîâàíèõ ôóíêöiîíàëiâ ñòàíó âiä îäíî÷àñòèíêî-
âî¨ ôóíêöi¨ ðîçïîäiëó, à ñàìå:
F pt | F1ptqq “ `
1, F1pt, x1q, . . . , Fs
`
t, x1, . . . , xs | F1ptq˘, . . . ˘.
Äiéñíî, ïðåäñòàâèìî êóìóëÿíòè (2.10) ãðóï îïåðàòîðiâ (2.8) iç ðîç-
êëàäó äëÿ ðîçâ'ÿçêó (2.9) ó êiíåòè÷íi êëàñòåðíi ðîçêëàäè (3.1) ó âèïàä-
êó s ě 2. Òîäi, ïðåäñòàâèâøè ðÿä çà iíäåêñîì ñóìóâàííÿ n òà ñóìó çà
iíäåêñîì ñóìóâàííÿ k1 ó âèãëÿäi äîáóòêó äâîõ ðÿäiâ, îòðèìà¹ìî:
Fspt, x1, . . . , xsq “
8ÿ
n“0
1
n!
ż
pR3ˆR3qn
dxs`1 . . . dxs`nA1`np´t, t1, . . . , su,
s` 1, . . . , s` nqIs`np1, . . . , s` nq
s`nź
i“1
F 0
1 pxiq “
8ÿ
n“0
1
n!
ż
pR3ˆR3qn
dxs`1 . . . dxs`nV1`npt, t1, . . . , su, s` 1, . . . , s` nq ˆ
8ÿ
k1“0
k1ÿ
k2“0
. . .
kn`s´1ÿ
kn`s“0
1
kn`s!pkn`s´1 ´ kn`sq! . . . pk1 ´ k2q! ˆ
ż
pR3ˆR3qk1
dxn`s`1 . . . dxn`s`k1
n`sź
i“1
A1`kn`s`1´i´kn`s`2´ip´t, i,
n` s` 1 ` kn`s`2´i, . . . , n` s` kn`s`1´iq
n`s`k1ź
j“1
F 0
1 pxjq ˆ
X1`kn`s`1´i´kn`s`2´ipqi, qn`s`1`kn`s`2´i , . . . , qn`s`kn`s`1´iq,
Êiíåòè÷íi êëàñòåðíi ðîçêëàäè òâiðíèõ îïåðàòîðiâ ðîçâ'ÿçêiâ 23
äå âèêîðèñòàíi ïîçíà÷åííÿ ââåäåíi âèùå. Âíàñëiäîê ñïðàâåäëèâîñòi ôîð-
ìóëè äîáóòêó (4.5) ó âèïàäêó äîâiëüíîãî iíäåêñó s ě 2, â îòðèìàíîìó
ðîçêëàäi ðÿä ïî iíäåêñó ñóìóâàííÿ k1 ìîæå áóòè âèðàæåíèé â òåðìiíàõ
îäíî÷àñòèíêîâî¨ ôóíêöi¨ ðîçïîäiëó (4.2). Òîìó ìàþòü ìiñöå íàñòóïíi
ðiâíîñòi
8ÿ
n“0
1
n!
ż
pR3ˆR3qn
dxs`1 . . . dxs`nA1`np´t, t1, . . . , su, s` 1, . . . , s` nqˆ
Is`np1, . . . , s` nq
s`nź
i“1
F 0
1 pxiq “
8ÿ
n“0
1
n!
ż
pR3ˆR3qn
dxs`1 . . . dxs`nV1`npt,
t1, . . . , su, s` 1, . . . , s` nq
s`nź
i“1
F1pt, xiq,
äå pn` 1q-ãî ïîðÿäêó åâîëþöiéíèé îïåðàòîð V1`nptq âèçíà÷à¹òüñÿ ôîð-
ìóëîþ (3.4). Òîáòî, ìè âñòàíîâèëè, ùî ìàðãiíàëüíi ôóíêöiîíàëè ñòàíó
âèçíà÷àþòüñÿ òàêèì ðîçêëàäîì:
Fs
`
t, x1, . . . , xs | F1ptq˘ :“
8ÿ
n“0
1
n!
ż
pR3ˆR3qn
dxs`1 . . . (4.1)
. . . dxs`nV1`npt, t1, . . . , su, s` 1, . . . , s` nq
s`nź
i“1
F1pt, xiq,
äå p1`nq-ãî ïîðÿäêó åâîëþöiéíi îïåðàòîðèV1`nptq, n ě 0 âèçíà÷àþòüñÿ
ôîðìóëîþ (3.4). Iíøèìè ñëîâàìè, äëÿ âêàçàíèõ ïî÷àòêîâèõ ñòàíiâ âñi
ìîæëèâi ñòàíè ñèñòåìè ïðóæíèõ êóëü â äîâiëüíèé ìîìåíò ÷àñó ìîæóòü
áóòè îïèñàíi â ðàìêàõ îäíî÷àñòèíêîâî¨ ôóíêöi¨ ðîçïîäiëó áåç áóäü-ÿêî¨
àïðîêñèìàöi¨.
Òèïîâèìè âëàñòèâîñòÿìè äëÿ êiíåòè÷íîãî îïèñó åâîëþöi¨ ïîáóäîâà-
íèõ ðåäóêîâàíèõ ôóíêöiîíàëiâ ñòàíó (4.1) ¹ iíäóêîâàíi âëàñòèâîñòÿìè
åâîëþöiéíèõ îïåðàòîðiâ (3.4).
Âèâåäåìî åâîëþöiéíå ðiâíÿííÿ, ðîçâ'ÿçêîì ÿêîãî ¹ îäíî÷àñòèíêîâà
ôóíêöiÿ ðîçïîäiëó ÷åðåç ÿêó âèçíà÷àþòüñÿ ðåäóêîâàíi ôóíêöiîíàëè
ñòàíó (4.1)
F1pt, x1q “
8ÿ
n“0
1
n!
ż
pR3ˆR3qn
dx2 . . . dxn`1A1`np´t, 1, . . . , n` 1q ˆ (4.2)
n`1ź
i“1
F 0
1 pxiqXR3p1`nqzW1`n ,
24 I. Â. Ãàï'ÿê
äå åâîëþöiéíèé îïåðàòîð A1`np´tq âèçíà÷à¹òüñÿ ôîðìóëîþ (2.10).
Âðàõîâóþ÷è ñïðàâåäëèâiñòü íàñòóïíèõ ðiâíîñòåé äëÿ êóìóëÿíòiâ
(2.10) ãðóï îïåðàòîðiâ (2.8) äëÿ f P L1
0 â ñåíñi çáiæíîñòi ïî íîðìi [5]
lim
tÑ0
1
t
A1p´t, 1qf1px1q “ L1p1qf1px1q,
lim
tÑ0
1
t
ż
R3ˆR3
dx2A2p´t, 1, 2qf2px1, x2q “
ż
R3ˆR3
dx2Lintp1, 2qf2px1, x2q,
lim
tÑ0
1
t
ż
R3nˆpR3nzWnq
dx2 . . . dxn`1A1`np´t, 1, . . . , n` 1qfn`1 “ 0, n ě 2,
äå îïåðàòîðè L1p1q i Lintp1, 2q âèçíà÷àþòüñÿ ôîðìóëàìè (2.3) òà (2.5)
âiäïîâiäíî. Ó ðåçóëüòàòi äèôåðåíöiþâàííÿ ïî ÷àñîâié çìiííié âèðàçó
(4.2) â ñåíñi ïîòî÷êîâî¨ çáiæíîñòi íà ïðîñòîði L1pR3 ˆ R3q îòðèìà¹ìî
òàêå ðiâíÿííÿ: [5, 17]
B
BtF1pt, x1q “ ´xp1, B
Bq1 yF1pt, x1q `
`
ż
R3ˆR3
dx2Li̊ntp1, 2q
8ÿ
n“0
1
n!
ż
pR3ˆR3qn
dx3 . . . (4.3)
. . . dxn`2A1`np´t, t1, 2u, 3, . . . , n` 2q
n`2ź
i“1
F 0
1 pxiqXR3pn`2qzWn`2
.
Äëÿ òîãî, ùîá âèðàçèòè äðóãèé ÷ëåí â ïðàâié ÷àñòèíi öi¹¨ ðiâíîñòi â
òåðìiíàõ îäíî÷àñòèíêî¨ ôóíêöi¨ ðîçïîäiëó (4.2), ðîçêëàäåìî êóìóëÿíòè
(2.10) ãðóï îïåðàòîðiâ (2.8) â êiíåòè÷íèé êëàñòåðíèé ðîçêëàä (3.1) ó
âèïàäêó, êîëè s “ 2. Ïðåäñòàâèìî ðÿä ïî iíäåêñó ñóìóâàííÿ n i ñóìó
ïî iíäåêñó ñóìóâàííÿ k1 ó âèãëÿäi äîáóòêó äâîõ ðÿäiâ. ßê ðåçóëüòàò
îòðèìà¹ìî:
8ÿ
n“0
1
n!
ż
pR3ˆR3qn
dx3 . . . dxn`2A1`np´t, t1, 2u, 3, . . . , n` 2q ˆ (4.4)
In`2
n`2ź
i“1
F 0
1 pxiq “
8ÿ
n“0
1
n!
8ÿ
k1“0
ż
pR3ˆR3qn`k1
dx3 . . . dxn`2`k1V1`npt, t1, 2u, 3, . . .
. . . , n` 2q
k1ÿ
k2“0
. . .
kn`1ÿ
kn`2“0
1
kn`2!pkn`1 ´ kn`2q! . . . pk1 ´ k2q! ˆ
Êiíåòè÷íi êëàñòåðíi ðîçêëàäè òâiðíèõ îïåðàòîðiâ ðîçâ'ÿçêiâ 25
n`2ź
i“1
A1`kn`3´i´kn`4´ip´t, i, n` 3 ` kn`4´i, . . . , n` 2 ` kn`3´iq
X1`kn`3´i´kn`4´ipqi, qn`3`kn`4´i , . . . , qn`2`kn`3´iq
n`2`k1ź
j“1
F 0
1 pxjq.
Îñòàííié ðÿä ìîæå áóòè âèðàæåíèé â òåðìiíàõ îäíî÷àñòèíêîâî¨ ôóíêöi¨
ðîçïîäiëó (4.2) çãiäíî äî íàñòóïíî¨ ôîðìóëè äîáóòêó äëÿ ðÿäiâ (4.2)
n`2ź
i“1
F1pt, xiq “
8ÿ
k1“0
k1ÿ
k2“0
. . .
kn`1ÿ
kn`2“0
1
kn`2!pkn`1 ´ kn`2q! . . . pk1 ´ k2q! (4.5)
ż
pR3ˆR3qk1
dxn`3 . . . dxn`2`k1
n`2ź
i“1
A1`kn`3´i´kn`4´ip´t, i,
n` 3 ` kn`4´i, . . . , n` 2 ` kn`3´iqX1`kn`3´i´kn`4´ipqi,
qn`3`kn`4´i , . . . , qn`2`kn`3´iq
n`2`k1ź
j“1
F 0
1 pxjq.
Çãiäíî ðiâíîñòåé (4.4) òà (4.5), i áåðó÷è äî óâàãè îçíà÷åííÿ (2.5) îïå-
ðàòîðà Lintp1, 2q äëÿ t ą 0, ç ðiâíîñòi (4.3) îòðèìà¹ìî:
B
BtF1pt, x1q “ ´xp1, B
Bq1 yF1pt, x1q ` (4.6)
σ2
8ÿ
n“0
1
n!
ż
R3ˆS2`
dp2dη
ż
pR3ˆR3qn
dx3 . . . dxn`2xη, pp1 ´ p2qy ˆ
`
V1`npt, t1˚, 2˚́ u, 3, . . . , n` 2qF1pt, q1, p1̊q ˆ
F1pt, q1 ´ ση, p2̊q
n`2ź
i“3
F1pt, xiq ´
V1`npt, t1, 2`u, 3, . . . , n` 2qF1pt, x1q ˆ
F1pt, q1 ` ση, p2q
n`2ź
i“3
F1pt, xiq
˘
,
äå âèêîðèñòàíî òàêi ïîçíà÷åííÿ ÿê i â ðiâíÿííi (2.1). Òðàêòóâàòèìåìî
ïîáóäîâàíó òîòîæíiñòü äëÿ îäíî÷àñòèíêîâî¨ ôóíêöi¨ ðîçïîäiëó ÿê êiíå-
òè÷íå ðiâíÿííÿ ñèñòåìè ïðóæíèõ êóëü i íàçèâàòèìåìî òàêå åâîëþöiéíå
ðiâíÿííÿ ÿê óçàãàëüíåíå êiíåòè÷íå ðiâíÿííÿ Åíñêî à. Ðÿä, ÿêèì ïðåä-
ñòàâëÿ¹òüñÿ iíòåãðàë çiòêíåíü, çáiãà¹òüñÿ çà óìîâè [9]:
}F1ptq}L1pR3ˆR3q ă e´8.
26 I. Â. Ãàï'ÿê
Ïiäêðåñëèìî, ùî êîåôiöi¹íòè âèâåäåíîãî êiíåòè÷íîãî ðiâíÿííÿ (4.6)
âèçíà÷àþòüñÿ ÷åðåç ïî÷àòêîâi êîðåëÿöi¨, ÿêi ïîâ'ÿçàíi iç çàáîðîíåíèìè
êîíôiãóðàöiÿìè ÷àñòèíîê.
Çàóâàæèìî, ùî â ðîáîòi [9] áóëî äîâåäåíî òåîðåìó ïðî iñíóâàííÿ
ðîçâ'ÿçêó çàäà÷i Êîøi äëÿ óçàãàëüíåíîãî ðiâíÿííÿ Åíñêî à.
Òàêèì ÷èíîì, ÿêùî ïî÷àòêîâi äàíi âèçíà÷àþòüñÿ ÷åðåç îäíî÷àñòèí-
êîâó ôóíêöiþ ðîçïîäiëó íà äîçâîëåíèõ êîíôiãóðàöiÿõ, òîäi åâîëþöiÿ
ñòàíiâ âèçíà÷åíà ÷åðåç i¹ðàðõiþ ðiâíÿíü ÁÁ�ÊI (2.1) ìîæå áóòè ïîâ-
íiñòþ îïèñàíà óçàãàëüíåíèì êiíåòè÷íèì ðiâíÿííÿì Åíñêî à (4.6) i ïî-
ñëiäîâíiñòþ ìàðãiíàëüíèõ ôóíêöiîíàëiâ ñòàíó Fs
`
t, x1, . . . , xs | F1ptq˘,
s ě 2, ÿêi âèçíà÷àþòüñÿ ðîçêëàäàìè (4.1).
Âiäìiòèìî, ùî ðîçêëàäè (4.1) ìàðãiíàëüíèõ ôóíêöiîíàëiâ ñòàíó ¹ íå-
ðiâíîâàæíèì àíàëîãîì ðîçêëàäiâ Óðñåëëà�Ìàé¹ðà ïî ñòåïåíÿõ ãóñòèíè
ðiâíîâàæíî¨ ôóíêöi¨ ðîçïîäiëó. Çîêðåìà, ÿêùî îäíî÷àñòèíêîâà ôóíê-
öiÿ ðîçïîäiëó ¹ Ìàêñâåëiâñüêîþ ôóíêöi¹þ ðîçïîäiëó, òî ìàðãiíàëüíi
ôóíêöiîíàëè ñòàíó (4.1) ïåðåòâîðþþòüñÿ ó ðîçêëàäè Óðñåëëà�Ìàé¹ðà
[3, 19].
5. Ðåäóêîâàíi êîðåëÿöiéíi ôóíêöiîíàëè
Àëüòåðíàòèâíèì îïèñîì åâîëþöi¨ íåôiêñîâàíîãî ÷èñëà ÷àñòèíîê, ÿêi
âçà¹ìîäiþòü ÿê ïðóæíi êóëi, ¹ îïèñ ÷åðåç ðåäóêîâàíi êîðåëÿöiéíi ôóíê-
öi¨, ÿêi âèçíà÷àþòüñÿ ÷åðåç ðåäóêîâàíi êîðåëÿöiéíi ôóíêöi¨ òàêèì ÷è-
íîì [14,15]:
Fspt, x1, . . . , xsq “
ÿ
P : px1, . . . , xsq “ Ť
iXi
ź
XiĂP
G|Xi|pt,Xiq, s ě 1, (5.1)
äå ñèìâîë
ř
P:px1,...,xsq“Ť
iXi
¹ ñóìîþ ïî âñiõ ìîæëèâèõ ðîçáèòòÿõ P ìíî-
æèíè px1, . . . , xsq íà |P| âçà¹ìíî íåïåðåòèííèõ ïiäìíîæèí
Xi Ă px1, . . . , xsq. ßê íàñëiäîê, ðîçâ'ÿçîê ðåêóðåíòíèõ ñïiââiäíîøåíü
(5.1) ïðåäñòàâëÿ¹òüñÿ ÷åðåç ðåäóêîâàíi ôóíêöi¨ ðîçïîäiëó:
Gspt, x1, . . . , xsq “ (5.2)ÿ
P : px1, . . . , xsq “ Ť
iXi
p´1q|P|´1p|P| ´ 1q!
ź
XiĂP
F|Xi|pt,Xiq, s ě 1.
Ôóíêöi¨ (5.2) îïèñóþòü êîðåëÿöi¨ ñòàíiâ ñèñòåìè ïðóæíèõ êóëü. Ñòðóê-
òóðà ðîçêëàäiâ (5.2) ¹ òàêîþ, ùî ðåäóêîâàíi êîðåëÿöiéíi ôóíêöi¨ ¹ êó-
ìóëÿíòàìè ðåäóêîâàíèõ ôóíêöié ðîçïîäiëó (2.9). Âiäìiòèìî, ùî ðåäó-
êîâàíi êîðåëÿöiéíi ôóíêöi¨ (5.2) çàäîâîëüíÿþòü íåëiíiéíó i¹ðàðõiþ åâî-
ëþöiéíèõ ðiâíÿíü [14,15].
Ðîçãëÿíåìî ïî÷àòêîâi äàíi äëÿ ÿêèõ â ïî÷àòêîâèé ìîìåíò ÷àñó âiä-
ñóòíi êîðåëÿöi¨ ìiæ ïðóæíèìè êóëÿìè íà äîçâîëåíèõ êîíôiãóðàöiÿõ,
Êiíåòè÷íi êëàñòåðíi ðîçêëàäè òâiðíèõ îïåðàòîðiâ ðîçâ'ÿçêiâ 27
à ñàìå, Gc “ p0, G0
1, 0, . . . , 0, . . .q. Ó öüîìó âèïàäêó ðîçâ'ÿçîê íåëiíiéíî¨
i¹ðàðõi¨ åâîëþöiéíèõ ðiâíÿíü äëÿ ðåäóêîâàíèõ êîðåëÿöiéíèõ ôóíêöié
âèçíà÷à¹òüñÿ òàêèì ðîçâèíåííÿì [14,15]:
G1pt, x1q “
8ÿ
n“0
1
n!
ż
pR3ˆR3qn
dx2 . . . dx1`nA1`npt, 1, . . . , n` 1q ˆ (5.3)
n`1ź
i“1
G0
1pxiqXR3pn`1qzWn`1
,
äå A1`npt, 1, . . . , n ` 1q � êóìóëÿíò (2.10) p1 ` nq-ãî ïîðÿäêó ãðóï åâî-
ëþöiéíèõ îïåðàòîðiâ (2.8).
Àíàëîãi÷íî ÿê i äëÿ ðåäóêîâàíèõ ôóíêöié ðîçïîäiëó äëÿ ïî÷àòêî-
âèõ äàíèõ, ÿêi çàäîâîëüíÿþòü óìîâó õàîñó, âèêîðèñòîâóþ÷è êiíåòè÷íi
êëàñòåðíi ðîçêëàäè ñôîðìóëþ¹ìî íîâó çàäà÷ó Êîøi äëÿ îäíî÷àñòèí-
êîâî¨ ðåäóêîâàíî¨ êîðåëÿöiéíî¨ ôóíêöi¨ ðîçïîäiëó òà ïîñëiäîâíiñòü êî-
ðåëÿöiéíèõ ôóíêöiîíàëiâ Gspt|G1ptqq âiä îäíî÷àñòèíêîâî¨ ðåäóêîâàíî¨
êîðåëÿöiéíî¨ ôóíêöi¨ (5.3) [14, 15]:
Gs
`
t, x1, . . . , xs | G1ptq˘ “ (5.4)
8ÿ
n“0
1
n!
ż
pR3ˆR3qn
dxs`1 . . . dxs`nVs`n
`
t, 1, . . . , s` n
˘ s`nź
i“1
G1pt, xiq,
s ě 2.
Îïåðàòîð Vs`nptq, n ě 0, ps ` nq-ãî ïîðÿäêó âèçíà÷à¹òüñÿ òàêèì ïðåä-
ñòàâëåííÿì:
Vs`n
`
t, 1, . . . , s, s` 1, . . . , s` n
˘ “ n!
nÿ
k“0
p´1qk
nÿ
n1“1
. . . (5.5)
n´n1´...´nk´1ÿ
nk“1
1
pn´ n1 ´ . . .´ nkq! Âs`n´n1´...´nkpt,
1, . . . , s` n´ n1 ´ . . .´ nkq
kź
j“1
ÿ
Dj : Zj “ Ť
lj
Xlj ,
|Dj | ď s ` n ´ n1 ´ ¨ ¨ ¨ ´ nj
1
|Dj |! ˆ
s`n´n1´...´njÿ
i1‰...‰i|Dj |“1
ź
XljĂDj
1
|Xlj |!
Â1`|Xlj |pt, ilj , Xlj q,
28 I. Â. Ãàï'ÿê
äå
ř
Dj :Zj“Ť
lj
Xlj
¹ ñóìà ïî âñiõ ìîæëèâèõ ðîçáèòòÿõ ìíîæèíè
Zj ” ps` n´ n1 ´ . . .´ nj ` 1, . . . , s` n´ n1 ´ . . .´ nj´1q
íà íå áiëüøå íiæ s`n´n1 ´ . . .´nj ëiíiéíî âïîðÿäêîâàíèõ ïiäìíîæèí,
ps` nq-ãî ïîðÿäêó êóìóëÿíò ðîçñi¹ííÿ âèçíà÷à¹òüñÿ ôîðìóëîþ
Âs`npt, 1, . . . , s` nq :“ As`npt, 1, . . . , s` nqXR3ps`nqzWs`n
s`nź
i“1
pA1q´1pt, iq,
i âèêîðèñòàíî ïîçíà÷åííÿ âèùå.
Íàâåäåìî êiëüêà ïðîñòèõ ïðèêëàäiâ îïåðàòîðiâ (5.5):
Vspt, 1, . . . , sq “ Aspt, 1, . . . , sqXR3szWs
sź
i“1
pA1q´1pt, iq,
Vs`1pt, 1, . . . , s, s` 1q “
As`1pt, 1, . . . , s` 1qXR3ps`1qzWs`1
s`1ź
i“1
pA1q´1pt, iq ´
Aspt, 1, . . . , sqXR3szWs
sź
i“1
pA1q´1pt, iq
sÿ
j“1
A2pt, j, s` 1q ˆ
XR6zW2
pA1q´1pt, jqpA1q´1pt, s` 1q.
ßêùî }G1ptq}L1pR3ˆR3q ă e´p3s`2q, äëÿ äîâiëüíèõ t P R ðÿä (5.4) çáiãà-
¹òüñÿ ïî íîðìi ïðîñòîðó L1
s [9].
Ó öüîìó âèïàäêó ìåòîä ïîáóäîâè ðåäóêîâàíèõ êîðåëÿöiéíèõ ôóíê-
öiîíàëiâ (5.4) áàçó¹òüñÿ íà çàñòîñóâàííi âàðiàöié êëàñòåðíèõ ðîçêëàäiâ,
à ñàìå, êiíåòè÷íèõ êëàñòåðíèõ ðîçêëàäiâ [9], äî ïîðîäæóþ÷èõ îïåðàòî-
ðiâ (2.10) ðÿäiâ, ùî ïðåäñòàâëÿþòü ðåäóêîâàíi êîðåëÿöiéíi ôóíêöi¨.
Äiéñíî, âðàõîâóþ÷è ñïiââiäíîøåííÿ êiíåòè÷íèõ êëàñòåðíèõ ðîçêëà-
äiâ äëÿ êóìóëÿíòiâ ðîçñi¹ííÿ:
pAs`npt, 1, . . . , s` nq “
nÿ
n1“0
n!
pn´ n1q!Vs`n´n1
`
t, 1, . . . , s` n´ n1
˘ ˆ
ÿ
D : Z “ Ť
lXl,|D| ď s ` n ´ n1
1
|D|!
s`n´n1ÿ
i1‰...‰i|D|“1
ź
XlĂD
1
|Xl|!
pA1`|Xl|pt, il, Xlq,
äå
ř
D:Z“Ť
lXl, |D|ďs`n´n1
¹ ñóìîþ çà âñiìà ìîæëèâèìè ðîçáèòòÿìè D
ëiíiéíî âïîðÿäêîâàíî¨ ìíîæèíè Z ” ps ` n ´ n1 ` 1, . . . , s ` nq íà íå
áiëüøå íiæ s`n´n1 ëiíiéíî âïîðÿäêîâàíèõ ïiäìíîæèí, ìè îòðèìó¹ìî
Êiíåòè÷íi êëàñòåðíi ðîçêëàäè òâiðíèõ îïåðàòîðiâ ðîçâ'ÿçêiâ 29
ðîçêëàäè äëÿ ðåäóêîâàíèõ êîðåëÿöiéíèõ ôóíêöiîíàëiâ (5.4), [14]:
Gspt, x1, . . . , xs | G1ptqq, s ě 2.
Çàçíà÷èìî, ùî ñòðóêòóðà êiíåòè÷íèõ êëàñòåðíèõ ðîçêëàäiâ äëÿ êó-
ìóëÿíòiâ ðîçñi¹ííÿ ãðóï îïåðàòîðiâ (2.8) ïîäiáíà äî ñòðóêòóðè âiðiàëü-
íèõ ðîçêëàäiâ ðiâíîâàæíèõ ôóíêöié ðîçïîäiëó, òîáòî ì๠âèãëÿä ñòåïå-
íåâîãî ðÿäó ïî ãóñòèíi.
ßêùî ïî÷àòêîâi äàíi G0
1 P L1
1, òîäi äëÿ äîâiëüíîãî t P R îäíî÷àñòèí-
êîâà êîðåëÿöiéíà ôóíêöiÿ (5.3) ¹ ñëàáêèì ðîçâ'ÿçêîì çàäà÷i Êîøi äëÿ
íåìàðêiâñüêîãî êiíåòè÷íîãî ðiâíÿííÿ Åíñêî à [14]:
B
BtG1pt, x1q “ (5.6)
Lp1qG1pt, x1q `
ż
R3ˆR3
dx2 Lintp1, 2qG1pt, x1qG1pt, x2q `
ż
R3ˆR3
dx2 Lintp1, 2qG2
`
t, x1, x2 | G1ptq˘,
G1pt, x1qˇ̌
t“0
“ G0
1px1q, (5.7)
äå ïåðøà ÷àñòèíà iíòåãðàëó çiòêíåíü ó ðiâíÿííi (5.6) ì๠ñòðóêòóðó
Áîëüöìàíà�Åíñêî à, à äðóãà ÷àñòèíà iíòåãðàëó çiòêíåíü âèçíà÷à¹òüñÿ
÷åðåç äâî÷àñòèíêîâèé êîðåëÿöiéíèé ôóíêöiîíàë, ïðåäñòàâëåíèé ó âèã-
ëÿäi ðÿäó (5.4). Öåé ðÿä îïèñó¹ âñi ìîæëèâi êîðåëÿöi¨, ùî âèíèêàþòü
âíàñëiäîê äèíàìiêè òâåðäèõ êóëü, à òàêîæ ïîøèðåííÿ ïî÷àòêîâèõ êî-
ðåëÿöié, ÿêi ïîâ'ÿçàíi iç çàáîðîíåíèìè êîíôiãóðàöiÿìè.
6. Êîðåëÿöiéíi ôóíêöiîíàëè ñòàíó
Àëüòåðíàòèâíèé ïiäõiä äî îïèñó ñòàíó ñêií÷åííî¨ êiëüêîñòi òâåðäèõ
êóëü ïîëÿã๠ó âèêîðèñòàííi ôóíêöié, âèçíà÷åíèõ çà äîïîìîãîþ êëà-
ñòåðíèõ ðîçêëàäiâ ôóíêöié ðîçïîäiëó éìîâiðíîñòåé [13, 14]. Iñòîðè÷íî
áóëî çàïðîïîíîâàíî êiëüêà ïiäõîäiâ äî îïèñó êîðåëÿöié ó áàãàòî÷àñòèí-
êîâèõ ñèñòåìàõ. Ñåðåä íèõ âàðòî çãàäàòè âiäîìèé ïiäõiä äî äèíàìiêè
êîðåëÿöié, çàïðîïîíîâàíèé I. Ïðiãîæèíèì [21] i Ð. Áàëåñêó [1], òà éîãî
çàñòîñóâàííÿ â òåîði¨ ïëàçìè.
Ââåäåìî ïîñëiäîâíiñòü êîðåëÿöiéíèõ ôóíêöié
gptq “ p1, g1pt, x1q, . . . , gspt, x1, . . . , xsq, . . .q,
30 I. Â. Ãàï'ÿê
ÿêi îïèñóþòü åâîëþöiþ êîðåëÿöié ñèñòåìè ñêií÷åííîãî ÷èñëà ïðóæíèõ
êóëü. Â ðîáîòi [14] âñòàíîâëåíî, ùî ðåäóêîâàíi êîðåëÿöiíi ôóíêöi¨ ðîç-
ïîäiëó (5.2) âèçíà÷àþòüñÿ ÷åðåç êîðåëÿöiíi ôóíêöi¨ òàêèì ïðåäñòàâëå-
ííÿì:
Gspt, x1, . . . , xsq :“ (6.1)
8ÿ
n“0
1
n!
ż
pR3ˆR3qn
dxs`1 . . . dxs`n gs`npt, x1, . . . , xs`nq, s ě 1.
Åâîëþöiÿ ïîñëiäîâíîñòi êîðåëÿöiéíèõ ôóíêöié gptq áàãàòüîõ òâåðäèõ
êóëü âèçíà÷à¹òüñÿ çàäà÷åþ Êîøi äëÿ i¹ðàðõi¨ åâîëþöiéíèõ ðiâíÿíü Ëió-
âiëëÿ, ÿêà âèçíà÷à¹òüñÿ â ñëàáêîìó ôîðìóëþâàííi òàêèì ÷èíîì [14,15]:
B
Btgspt, x1, . . . , xsq “ Lsp1, . . . , sqgspt, x1, . . . , xsq ` (6.2)
ÿ
P: px1,...,xsq“X1
Ť
X2
ÿ
i1P pX1
ÿ
i2P pX2
Lintpi1, i2qg|X1|pt,X1qg|X2|pt,X2q,
gspt, x1, . . . , xsq
ˇ̌
t“0
“ g0spx1, . . . , xsq, s ě 1, (6.3)
äå
ř
P: px1,...,xsq“X1
Ť
X2
¹ ñóìîþ çà âñiìà ìîæëèâèìè ðîçáèòòÿìè P ìíî-
æèíè px1, . . . , xsq íà äâi íåïîðîæíi ïîïàðíî íåïåðåòèííi ïiäìíîæèíèX1
i X2, ñèìâîë pXi ïîçíà÷๠ìíîæèíó iíäåêñiâ ïiäìíîæèíè Xi êîîðäèíàò
ôàçîâîãî ïðîñòîðó, à îïåðàòîð Ls âèçíà÷åíèé íà ïiäïðîñòîði L1
0 Ă L1
ôîðìóëîþ (2.3). Ñëiä çàçíà÷èòè, ùî i¹ðàðõiÿ Ëióâiëëÿ (6.2) ¹ ñóêóïíi-
ñòþ ðåêóðåíòíèõ åâîëþöiéíèõ ðiâíÿíü.
Äëÿ t ě 0 íàâåäåìî êiëüêà ïåðøèõ ïðèêëàäiâ ðåêóðåíòíèõ ðiâíÿíü
(6.2) äëÿ ñèñòåìè òâåðäèõ êóëü:
B
Btg1pt, x1q “ ´xp1, B
Bq1 yg1pt, x1q,
B
Btg2pt, x1, x2q “ ´
2ÿ
j“1
xpj , B
Bqj yg2pt, x1, x2q `
σ2
ż
S2`
dηxη, pp1 ´ p2qy`g2pt, q1, p1̊ , q2, p2̊qδpq1 ´ q2 ` σηq ´
g2pt, x1, x2qδpq1 ´ q2 ´ σηq˘ `
σ2
ż
S2`
dηxη, pp1 ´ p2qy`g1pt, q1, p1̊qg1pt, q2, p2̊qδpq1 ´ q2 ` σηq ´
g1pt, x1qg1pt, x2qδpq1 ´ q2 ´ σηq˘,
Êiíåòè÷íi êëàñòåðíi ðîçêëàäè òâiðíèõ îïåðàòîðiâ ðîçâ'ÿçêiâ 31
äå âèêîðèñòîâóâàëèñÿ ïîçíà÷åííÿ, ïðèéíÿòi âèùå.
Äëÿ ïî÷àòêîâèõ äàíèõ, ÿêi íàëåæàòü ïðîñòîðó iíòåãðîâàíèõ ôóíêöié,
ðîçâ'ÿçîê çàäà÷i Êîøi (6.2), (6.3) âèçíà÷à¹òüñÿ òàêèì ïðåäñòàâëåííÿì
[14]:
gspt, x1, . . . , xsq “ (6.4)ÿ
P: px1,...,xsq“Ť
j Xj
A|P|pt, t pX1u, . . . , t pX|P|uq
ź
XjĂP
g0|Xj |pXjq, s ě 1,
äå ñèìâîë
ř
P: px1,...,xsq“Ť
j Xj
îçíà÷๠ñóìó çà âñiìà ìîæëèâèìè ðîçáèòòÿ-
ìè P ìíîæèíè px1, . . . , xsq íà |P| íà íåïîðîæíi ïîïàðíî íåïåðåòèííi ïiä-
ìíîæèíè Xj , ñèìâîë pX îçíà÷๠ìíîæèíó iíäåêñiâ ìíîæèíè X êîîðäè-
íàò ôàçîâîãî ïðîñòîðó, à ìíîæèíà pt pX1u, . . . , t pX|P|uq ñêëàäà¹òüñÿ ç åëå-
ìåíòiâ, ÿêi ¹ ïiäìíîæèíàìè pXj Ă p1, . . . , sq, òîáòî, |pt pX1u, . . . , t pX|P|uq|
“ |P|. Ïîðîäæóþ÷èé îïåðàòîð A|P|ptq ïðåäñòàâëåííÿ (6.4) ¹ |P|-ãî ïî-
ðÿäêó êóìóëÿíò ãðóï îïåðàòîðiâ (2.8), ÿêèé âèçíà÷à¹òüñÿ òàêîþ ñóìîþ:
A|P|pt, t pX1u, . . . , t pX|P|uq :“ (6.5)
ÿ
P1 : pt pX1u,...,t pX|P|uq“Ť
k Zk
p´1q|P1 |´1p|P1 | ´ 1q!
ź
ZkĂP1
S|θpZkq|pt, θpZkqq,
äå ñèìâîë θ ¹ âiäîáðàæåííÿì äåêëàñòåðèçàöi¨: θpt pXiuq .“ p pXiq. Íàéïðî-
ñòiøi ïðèêëàäè êîðåëÿöiéíèõ ôóíêöié (6.4) âèçíà÷àþòüñÿ òàêèìè ðiâ-
íîñòÿìè: g1pt, x1q “ A1pt, 1qg01px1q, g2pt, x1, x2q “ A1pt, t1, 2uqg02px1, x2q `
A2pt, 1, 2qg01px1qg01px2q.
Ðîçãëÿíåìî äàëüøå âèïàäîê, êîëè êîðåëÿöi¨ ìiæ òâåðäèìè êóëÿìè
ó ïî÷àòêîâèé ìîìåíò ÷àñó âiäñóòíi (ïî÷àòêîâèé ñòàí, ùî çàäîâîëüíÿ¹
óìîâi õàîñó [5, 22]), ïîñëiäîâíiñòü ïî÷àòêîâèõ êîðåëÿöiéíèõ ôóíêöié
íà äîïóñòèìèõ êîíôiãóðàöiÿõ ì๠òàêèé âèãëÿä gpcqp0q “ p0, g01px1q, 0,
. . . , 0, . . .q. Ó öüîìó âèïàäêó äëÿ px1, . . . , xsq P R3s ˆ pR3szWsq ðîçêëàäè
(6.4) ïðåäñòàâëÿþòüñÿ íàñòóïíèì ÷èíîì
gspt, x1, . . . , xsq “ Aspt, 1, . . . , sq
sź
i“1
g01pxiqXR3szWs
, s ě 1, (6.6)
äå ïîðîäæóþ÷èé îïåðàòîð Asptq öüîãî ðîçêëàäó ¹ s-ãî ïîðÿäêó êóìó-
ëÿíò ãðóï îïåðàòîðiâ (2.8), âèçíà÷åíèé ÷åðåç ðîçêëàä
Aspt, 1, . . . , sq “
ÿ
P: p1,...,sq“Ť
iXi
p´1q|P|´1p|P| ´ 1q!
ź
XiĂP
S|Xi|pt,Xiq, (6.7)
32 I. Â. Ãàï'ÿê
ç ïîçíà÷åííÿìè, ïðèéíÿòèìè â ôîðìóëi (6.4). Iç ïðåäñòàâëåííÿ (6.6)
âèäíî, ùî ó ðàçi âiäñóòíîñòi êîðåëÿöié íà ïî÷àòêîâèé ìîìåíò ÷àñó, êî-
ðåëÿöi¨, çãåíåðîâàíi äèíàìiêîþ ñèñòåìè òâåðäèõ êóëü, ïîâíiñòþ âèçíà-
÷àþòüñÿ êóìóëÿíòàìè (6.7) ãðóï îïåðàòîðiâ (2.8).
Çàçíà÷èìî, ùî ó âèïàäêó ïî÷àòêîâèõ äàíèõ gpcqp0q ðîçêëàäè (6.6)
ìîæíà ïåðåïèñàòè â iíøîìó ïîäàííi, ÿêå ïîÿñíþ¹ ¨õ ôiçè÷íèé çìiñò.
Äiéñíî, äëÿ n “ 1 ìè ìà¹ìî g1pt, x1q “ A1pt, 1qg01px1q “ g01pp1, q1 ´ p1tq.
Çãiäíî ç ôîðìóëîþ (6.6) òà âèçíà÷åííÿì êóìóëÿíòà ïåðøîãî ïîðÿäêó
A1ptq “ S1p´tq, i éîãî îáåðíåíîþ ãðóïîþ S´1
1 p´tq “ S1ptq, ìè âèðàçè-
ìî êîðåëÿöiéíi ôóíêöi¨ gsptq, s ě 2, ÷åðåç îäíî÷àñòèíêîâó êîðåëÿöiéíó
ôóíêöiþ g1ptq. Ðîçêëàäàþ÷è êóìóëÿíò ãðóï îïåðàòîðiâ (6.7) ó ôîðìóëi
(6.6) ó êiíåòè÷íèé êëàñòåðíèé ðîçêëàä (3.1) ìè îòðèìà¹ìî äëÿ s ě 2
òàêi êîðåëÿöiéíi ôóíêöiîíàëè ñòàíó:
gspt, x1, . . . , xs | g1ptqq “ pAspt, 1, . . . , sq
sź
i“1
g1pt, xiq, s ě 2,
äå pAspt, 1, . . . , sq ¹ s-ãî ïîðÿäêó êóìóëÿíò (6.7) îïåðàòîðiâ ðîçñi¹ííÿ
pSnpt, 1, . . . , nq .“ Snp´t, 1, . . . , nqXR3nzWn
nź
i“1
S1pt, iq, n ě 1.
Íà ïiäïðîñòîð L1
n,0 ãåíåðàòîð îïåðàòîðà ðîçñiþâàííÿ pSnpt, 1, . . . , nq âè-
çíà÷àþòüñÿ ÷åðåç îïåðàòîð: d
dt
pSnpt, 1, . . . , nq |t“0“ řn
j1ăj2“1 Lintpj1, j2q,
äå äëÿ t ě 0 îïåðàòîð Lintpj1, j2q âèçíà÷à¹òüñÿ ôîðìóëîþ (2.5).
7. Âèñíîâîê
Ìåòîþ öüîãî îãëÿäó áóëî ïðåäñòàâèòè çàñòîñóâàííÿ ðîçðîáëåíîãî ìå-
òîäó êiíåòè÷íèõ êëàñòåðíèõ ðîçêëàäiâ äëÿ âèâåäåííÿ êiíåòè÷íîãî ðiâ-
íÿííÿ ñèñòåìè áàãàòüîõ ÷àñòèíîê iç çiòêíåííÿìè òà ïîáóäîâè ôóíêöiî-
íàëiâ âiä ðîçâ'ÿçêó òàêîãî ðiâíÿííÿ.
Ó ðîáîòi ðîçâ'ÿçîê i¹ðàðõié åâîëþöiéíèõ ðiâíÿíü ÁÁ�ÊI äëÿ ÷àñòè-
íîê iç çiòêíåííÿìè âèçíà÷åíî íåïåðòóðáàòèâíèì ïðåäñòàâëåííÿì, à ñà-
ìå, êóìóëÿíòàìè âiäïîâiäíîãî ïîðÿäêó äëÿ ãðóï îïåðàòîðiâ ðiâíÿíü
Ëióâiëëÿ. Íà îñíîâi òàêîãî íåïåðòóðáàòèâíîãî ïðåäñòàâëåííÿ ðîçâ'ÿçêó,
äëÿ ïî÷àòêîâèõ äàíèõ, ÿêi âèçíà÷àþòüñÿ îäíî÷àñòèíêîâèìè ðåäóêîâà-
íèìè ôóíêöiÿìè ðîçïîäiëó áóëî ïðåäñòàâëåíî ìåòîä êiíåòè÷íèõ êëà-
ñòåðíèõ ðîçêëàäiâ äëÿ êóìóëÿíòiâ ãðóï îïåðàòîðiâ ðiâíÿííÿ Ëióâiëëÿ.
Çàâäÿêè öüîìó ìåòîäó áóëî îòðèìàíî áåç áóäü-ÿêèõ àïðîêñèìàöié íå
ìàðêiâñüêå êiíåòè÷íå ðiâíÿííÿ Åíñêî à òà ðåäóêîâàíi ôóíêöiîíàëè ñòà-
íó âiä ðîçâ'ÿçêó öüîãî êiíåòè÷íîãî ðiâíÿííÿ. Çàóâàæèìî, ùî â ðîáîòàõ
[11,12] ïðåäñòàâëåíî ïiäõiä âèâåäåííÿ êiíåòè÷íîãî ðiâíÿííÿ Åíñêî à iç
Êiíåòè÷íi êëàñòåðíi ðîçêëàäè òâiðíèõ îïåðàòîðiâ ðîçâ'ÿçêiâ 33
äèíàìiêè ñïîñòåðåæóâàíèõ äëÿ ñèñòåìè áàãàòüîõ ÷àñòèíîê iç çiòêíåí-
íÿìè.
Òàêîæ äëÿ ïî÷àòêîâèõ äàíèõ ðåäóêîâàíèõ êîðåëÿöiéíèõ ôóíêöié òà
êîðåëÿöiéíèõ ôóíêöié, ÿêi çàäîâîëüíÿþòü óìîâó õàîñó, çà äîïîìîãîþ
ìåòîäó êiíåòè÷íèõ êëàñòåðíèõ ðîçêëàäiâ áóëî ïîáóäîâàíî ðåäóêîâàíi
êîðåëÿöiéíi ôóíêöiîíàëè âiä îäíî÷àñòèíêîâî¨ ðåäóêîâàíî¨ êîðåëÿöiéíî¨
ôóíêöi¨ òà êîðåëÿöiéíi ôóíêöiîíàëè âiä îäíî÷àñòèíêîâî¨ êîðåëÿöiéíî¨
ôóíêöi¨ âiäïîâiäíî. Áóëî ïîêàçàíî, ùî îäíî÷àñòèíêîâà ðåäóêîâàíà êî-
ðåëÿöiéíà ôóíêöiÿ çàäîâîëüíÿ¹ êiíåòè÷íå ðiâíÿííÿ Åíñêî à.
Òàêèì ÷èíîì, ïðåäñòàâëåíèé ìåòîä êiíåòè÷íèõ êëàñòåðíèõ ðîçêëàäiâ
ä๠ìàòåìàòè÷íèé ìåõàíiçì ïîáóäîâè êiíåòè÷íèõ ðiâíÿíü äëÿ ðåäóêî-
âàíî¨ îäíî÷àñòèíêîâî¨ ôóíêöi¨ ðîçïîäiëó àáî ðåäóêîâàíî¨ êîðåëÿöiéíî¨
ôóíêöi¨, à òàêîæ, ä๠ìîæëèâiñòü âèçíà÷èòè åâîëþöiþ ãðóïè ÷àñòèíîê
iç çiòêíåííÿìè ÿê ôóíêöiîíàë âiä ðîçâ'ÿçêó öèõ êiíåòè÷íèõ ðiâíÿíü.
Çàóâàæèìî, ùî äëÿ âiäêðèòèõ ñèñòåì ÷àñòèíîê iç çiòêíåííÿìè ìåòîä
êiíåòè÷íèõ êëàñòåðíèõ ðîçêëàäiâ ðîçðîáëåíî â ðîáîòàõ [10, 23], à äëÿ
êâàíòîâèõ áàãàòî÷àñòèíêîâèõ ñèñòåì ðîçãëÿíóòî â [8].
Ëiòåðàòóðà
[1] R. Balescu. Dynamical correlation patterns: a new representation of the Liouville
equation. Physica, 56(1):l�24, 1971. doi:10.1016/0031-8914(71)90002-4.
[2] J. Banasiak, L. Arlotti. Perturbations of Positive Semigroups with Applications. New
York: Springer, 2006.
[3] N. N. Bogolyubov. Problems of the dynamical theory in statistical physics. Gostechi-
zdat, M., 1946. URL: https://books.google.com.ua/books?id=GUE6AQAAIAAJ.
[4] L. E. Boltzmann. Weitere Studien �uber das W�armegleichgewicht unter
Gasmolek�ulen. Sitzungsber. Akad. Wiss., 66:275�-370, 1872.
[5] C. Cercignani, V. I. Gerasimenko½ D. Ya. Petrina. Many-particle Dynamics and
Kinetic Equations. Springer, (Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1st ed. 1997), 2012.
doi:10.1007/978-94-011-5558-8.
[6] Mayer J. E., Montroll E. Molecular distribution. Journal of chemical physics, 9:2�16,
1941. URL: http://dx.doi.org/10.1063/1.1750822, doi:10.1063/1.1750822.
[7] D. Enskog. Kinetische theorie der w�armeleitung, reibung und selbstdi�usion in gewi-
ssen verdichteten gasen und ��ussigkeiten. Kungl. Sv. Vetenskapsakademiens Handl.,
63(4):3�44, 1922.
[8] V. I. Gerasimenko. Nonlinear kinetic equations of quantum systems. Proc. Inst.
Math. NASU, 17(2):82�112, 2020. doi:10.48550/arXiv.2107.10872.
[9] V. I. Gerasimenko, I. V. Gapyak. Hard sphere dynamics and the Enskog equation.
Kinetic and Related Models, 5(3):459�484, 2012. doi:10.3934/krm.2012.5.459.
[10] V. I. Gerasimenko, I. V. Gapyak. The non-markovian fokker�planck kinetic equati-
on for a system of hard spheres. Rep. of the NAS of Ukraine, (12):29�35, 2014.
doi:10.15407/dopovidi2014.12.029.
[11] V. I. Gerasimenko, I. V. Gapyak. Low-density asymptotic behavior of
observables of hard sphere �uids. Advances in Math. Phys., 2018:1�11, 2018.
doi:10.1155/2018/6252919.
34 I. Â. Ãàï'ÿê
[12] V. I. Gerasimenko, I. V. Gapyak. Boltzmann�Grad asymptotic behavi-
or of collisional dynamics. Reviews in Math. Phys., 33(2):2130001, 2021.
doi:10.1142/s0129055x21300016.
[13] V. I. Gerasimenko, I. V. Gapyak. Hierarchy of evolution equations for
correlations of hard-sphere �uids. Reports of NAS of Ukraine, (3):3�12, 2022.
doi:10.15407/dopovidi2022.02.003.
[14] V. I. Gerasimenko, I. V. Gapyak. Propagation of correlations in a hard-sphere
system. J Stat. Phys., 189(2), 2022. doi:10.1007/s10955-022-02958-8.
[15] V. I. Gerasimenko, I. V. Gapyak. Advances in theory of evolutionequations of many
colliding particles. Çáiðíèê ïðàöü Ií-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè, 20(1), 2023.
doi:10.3842/trim.v20n1.528.
[16] V. I. Gerasimenko, I. V. Gapyak. Non-perturbative solutions of hierarchies of evoluti-
on equations for colliding particles. AIP Advances, 14, 2024. doi:10.1063/5.0223487.
[17] V. I. Gerasimenko, D. Ya. Petrina. Thermodynamic limit of nonequilibrium states
of a three-dimensional system of elastic spheres. Theor. Math. Phys., 64:734�747,
1985. doi:10.1007/BF01017041.
[18] V. I. Gerasimenko, T. V. Ryabukha. Cumulant representation of solutions of
the BBGKY hierarchy of equations. Ukrainian Math. J., 54:1583�1601, 2002.
doi:10.1023/A:1023771917748.
[19] M. S. Green, R. A. Piccirelli. Basis of the functional assumption in
the theory of the Boltzmann equation. Phys. Rev., 132:1388�1410, 1963.
doi:10.1103/PhysRev.132.1388.
[20] D. Ya. Petrina, V. I. Gerasimenko. Mathematical problems of statistical mechani-
cs of a system of elastic balls. Rus. Math. Surveys, 45(3):153�211, 1990.
doi:10.1070/rm1990v045n03abeh002360.
[21] I. Prigogine. Non-Equilibrium Statistical Mechanics. N.Y.: John Wiley & Sons, 1962.
[22] H. Spohn. Large Scale Dynamics of Interacting Particles. Springer-Verlag, Berlin,
1991. doi:10.1007/978-3-642-84371-6.
[23] I. Â. Ãàï'ÿê, Â. I. Ãåðàñèìåíêî. Ðiâíÿííÿ Ôîêêåðà-Ïëàíêà ç ïî÷àòêîâèìè êî-
ðåëÿöiÿìè â êiíåòè÷íié òåîði¨ çiòêíåíü. Áóêîâèíñüêèé ìàòåìàòè÷íèé æóðíàë,
3(3-4):29�35, 2015.
[24] Ä. ß. Ïåòðèíà, Â. È. Ãåðàñèìåíêî. Ìàòåìàòè÷åñêèå ïðîáëåìû ñòàòèñòè÷åñêîé
ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû óïðóãèõ øàðîâ. Óñïåõè ìàò. íàóê, 45(3):135�182, 1990.
I. Â. Ãàï'ÿê
Iíñòèòóò ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè, Êè¨âñüêèé íàöiîíàëüíèé óíiâåðñèòåò
iìåíi Òàðàñà Øåâ÷åíêà
Email: ihapiak@knu.ua
ORCID: 0000-0003-2102-1583
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-538 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:09:02Z |
| publishDate | 2025 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/2c/8da59e8f6e37119c9fb739ee2f86842c.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-5382026-02-24T12:22:41Z Kinetic cluster expansions of generating operators of solutions of hierarchies of evolution equations Кінетичні кластерні розклади твірних операторів розв'язків ієрархій еволюційних рівнянь Gapyak, Ihor Гап'як, Ігор The article provides an overview of the method of kinetic cluster expansions for generating operators of solutions to the hierarchies of evolutionary equations. The developed method allows for a rigorous justification of the derivation of nonlinear kinetic equations from the microscopic dynamics of a system of many particles. В статті подано огляд методу кінетичних кластери розкладів для твірних операторів розв'язків ієрархій еволюційних рівнянь. Розроблений метод дозволяє строго обґрунтовувати вивiд нелінійних кiнетичних рiвнянь з мікроскопічної динаміки систем багатьох частинок. Інститут математики НАН України 2025-08-18 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/538 10.3842/trim.v21n1.538 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 21 No. 1 (2024): Special Issue "Actual problems of modern mathematics: methods, models and applications"; 13-34 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 21 № 1 (2024): Спеціальний номер "Актуальні проблеми сучасної математики: методи, моделі та застосування" ; 13-34 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 21 № 1 (2024): Спеціальний номер "Актуальні проблеми сучасної математики: методи, моделі та застосування" ; 13-34 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/538/521 Авторське право (c) 2024 Ігор Гап'як http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Gapyak, Ihor Гап'як, Ігор Kinetic cluster expansions of generating operators of solutions of hierarchies of evolution equations |
| title | Kinetic cluster expansions of generating operators of solutions of hierarchies of evolution equations |
| title_alt | Кінетичні кластерні розклади твірних операторів розв'язків ієрархій еволюційних рівнянь |
| title_full | Kinetic cluster expansions of generating operators of solutions of hierarchies of evolution equations |
| title_fullStr | Kinetic cluster expansions of generating operators of solutions of hierarchies of evolution equations |
| title_full_unstemmed | Kinetic cluster expansions of generating operators of solutions of hierarchies of evolution equations |
| title_short | Kinetic cluster expansions of generating operators of solutions of hierarchies of evolution equations |
| title_sort | kinetic cluster expansions of generating operators of solutions of hierarchies of evolution equations |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/538 |
| work_keys_str_mv | AT gapyakihor kineticclusterexpansionsofgeneratingoperatorsofsolutionsofhierarchiesofevolutionequations AT gap039âkígor kineticclusterexpansionsofgeneratingoperatorsofsolutionsofhierarchiesofevolutionequations AT gapyakihor kínetičníklasternírozkladitvírnihoperatorívrozv039âzkívíêrarhíjevolûcíjnihrívnânʹ AT gap039âkígor kínetičníklasternírozkladitvírnihoperatorívrozv039âzkívíêrarhíjevolûcíjnihrívnânʹ |