On stability of linear impulse systems with switchings
The new conditions for the stability of linear impulsive systems with variable structure were established. Applying the commutation calculation and direct Lyapunov method the conditions for switching that ensure the stability of linear impulsive system were obtained.
Saved in:
| Date: | 2017 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/54 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552580559667200 |
|---|---|
| author | Slinko, V. I. Kravchuk, S. V. Слынько, В. И. Кравчук, С. В. Слинько, В. I. Кравчук, С. В. |
| author_facet | Slinko, V. I. Kravchuk, S. V. Слынько, В. И. Кравчук, С. В. Слинько, В. I. Кравчук, С. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "В. I. Слинько",
"institution": "Інститут механіки ім. С. П. Тимошенка НАН України"
},
{
"author": "С. В. Кравчук",
"institution": "Інститут механіки ім. С. П. Тимошенка НАН України"
}
] |
| author_sort | Slinko, V. I. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-13T11:57:10Z |
| description | The new conditions for the stability of linear impulsive systems with variable structure were established. Applying the commutation calculation and direct Lyapunov method the conditions for switching that ensure the stability of linear impulsive system were obtained. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:01:42Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2016, т. 13, № 3, 205–217
УДК 517.925.51
Про стiйкiсть лiнiйних iмпульсних
систем з перемиканнями
В.I. Слинько1, С.В. Кравчук2
1 S.P.Timoshenko Institute of Mechanics of NAS of Ukraine, Kyiv,
Ukraine; vitstab@ukr.net
2 S.P.Timoshenko Institute of Mechanics of NAS of Ukraine, Kyiv,
Ukraine; qkp@ukr.net
The new conditions for the stability of linear impulsive systems with vari-
able structure were established. Applying the commutation calculation
and direct Lyapunov method the conditions for switching that ensure the
stability of linear impulsive system were obtained.
Установлены новые условия устойчивости линейных импульсных си-
стем переменной структуры. Применив коммутационное исчисления и
прямой метод Ляпунова получены условия на переключения, которые
обеспечивают устойчивость линейной импульсной системы.
Вcтуп
Системи диференцiальних рiвнянь змiнної структури з iмпульсною
дiєю використовуються при моделюваннi динамiки крокуючих апа-
ратiв [1], механiчних систем при дiї ударних навантажень [2], а також
систем, для яких вектор стану в деякi моменти часу може миттєво
змiнюватися [3]. Питання загальної теорiї диференцiальних рiвнянь
з iмпульсною дiєю (iснування та єдинiсть, оцiнки розв’язкiв тощо),
теореми про стiйкiсть розв’язкiв за лiнiйним наближенням i узагаль-
ненi теореми прямого методу Ляпунова наведено в монографiї А.М.
Самойленка та М.О. Перестюка [4]. В останнi роки в теорiї керуван-
ня i стабiлiзацiї руху набули значної актуальностi математичнi моделi
систем з перемиканнями [6]. Такi системи володiють цiкавими динамi-
чними властивостями. Наприклад, лiнiйна система з перемиканнями,
яка має двi нестiйкi структурнi матрицi, при певних умовах може бу-
ти стабiлiзована за рахунок вибору закону перемикання. Вiдзначимо,
c○ Слинько В.I., Кравчук С.В., 2016
206 Слинько В.I., Кравчук С.В.
що аналогiчне явище має мiсце i для лiнiйних систем з iмпульсною
дiєю. В оглядовiй статтi [5] розглянуто умови dwell-time стiйкостi i
стабiлiзацiї лiнiйних позитивних iмпульсних систем змiнної структу-
ри, наведено приклади застосування цих умов.
Значний iнтерес в теорiї стiйкостi систем з перемиканнями стано-
вить питання про стабiлiзацiю руху системи за рахунок вибору за-
кону перемикання, зокрема у випадку, коли всi структурнi елементи
системи одночасно є нестiйкими. Для iмпульсних систем диферен-
цiальних рiвнянь в роботах [9–13] систематично розробленi методи
аналiзу стiйкостi руху iмпульсних систем у випадку, коли положення
рiвноваги неперервної i дискретної компонент iмпульсної системи є
одночасно нестiйкими.
Слiд вiдзначити, що з перших результатiв, якi стосуються стiйко-
стi лiнiйних iмпульсних систем (теорема 15.2, с. 104 [4]) стала цiлком
зрозумiла роль комутацiйних спiввiдношень при дослiдженнi стiйко-
стi руху iмпульсних систем. Для систем з перемиканням важливiсть
структури алгебри Лi, породженої векторними полями, якi визнача-
ють структури системи, вказано в роботах [7,8]. Зазначимо також ро-
боти [14], [15], в яких комутацiйнi спiввiдношення вiдiграють важливу
роль при дослiдженнi впливу структури сил на стiйкiсть механiчних
систем. В роботi [16] при дослiдженнi стiйкостi лiнiйних систем змiн-
ної структури суттєво враховувались алгебраїчнi властивостi стру-
ктурної множини.
Метою цiєї роботи є застосування комутацiйного числення в по-
єднаннi з методами аналiзу стiйкостi руху iмпульсних систем, роз-
винених в монографiї [4] та статтi [13] для встановлення нових умов
стiйкостi лiнiйних iмпульсних систем змiнної структури. Одержанi
умови стiйкостi дозволяють визначити закони перемикання, якi ста-
бiлiзують лiнiйну iмпульсну систему.
1 Постановка задачi.
Розглянемо лiнiйну iмпульсну систему
𝑑𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
= 𝐴𝜎(𝑘)𝑥(𝑡), 𝑡 ∈ (𝜏𝑘, 𝜏𝑘+1],
𝑥(𝑡+) = 𝐵𝜎(𝑘)𝑥(𝑡), 𝑡 = 𝜏𝑘,
(1)
де 𝑥 ∈ ℝ𝑛, 𝑡 ∈ ℝ, 𝐴𝑖 ∈ ℝ𝑛×𝑛, 𝜎(𝑘) = 𝑘(mod 2), 𝑥(𝑡+) = lim
𝜏→𝑡+0
𝑥(𝜏),
𝐵𝑖 ∈ ℝ𝑛×𝑛 – невиродженi структурнi матрицi, 𝑖 = 1, 2, {𝜏𝑘}∞𝑘=0 –
Про стiйкiсть лiнiйних iмпульсних систем з перемиканнями 207
послiдовнiсть моментiв iмпульсної дiї, вiдносно якої припустимо, що
вона зростає i має єдину точку скупчення на нескiнченностi.
Припустимо, що 𝜏0 = 𝑡0 = 0 i позначимо через 𝑥(𝑡;𝑥0) розв’я-
зок задачi Кошi для системи (1), який задовольняє початкову умову
𝑥(0;𝑥0) = 𝑥0. Тодi 𝑥(𝑡;𝑥0) — неперервно диференцiйовна функцiя по
змiннiй 𝑡 на множинi 𝑡 ∈ ℝ+ ∖ {𝜏𝑘}∞𝑘=0. Покладемо для визначеностi
𝑥(𝜏𝑘 − 0;𝑥0) = 𝑥(𝜏𝑘;𝑥0).
Систему (1) будемо дослiджувати за наступних припущень:
1) структурнi матрицi 𝐴1 i 𝐴2 комутують, тобто 𝐴1𝐴2 = 𝐴2𝐴1;
2) якщо 𝜎(𝑘) = 1, то 𝜏𝑘+1 − 𝜏𝑘 = 𝜃1 > 0.
Означення 1.1. Лiнiйна система (1) називається асимптотично
стiйкою, якщо для довiльного числа 𝜀 > 0 iснує число 𝛿(𝜀) > 0, таке,
що з умови ‖𝑥0‖ < 𝛿(𝜀) випливає нерiвнiсть ‖𝑥(𝑡;𝑥0)‖ < 𝜀 при всiх
𝑡 > 0 i
lim
𝑡→∞
‖𝑥(𝑡;𝑥0)‖ = 0.
Основною задачею, яка розв’язана далi, є встановлення обмежень
на параметри закону перемикання, який задовольняє додаткове при-
пущення 2) i забезпечує асимптотичну стiйкiсть системи (1).
2 Основний результат.
Питання стiйкостi лiнiйної iмпульсної системи (1) можна розв’язати
на основi аналiзу її матрицанта
Ω𝜏2𝑘0 =
𝑘−1∏︁
𝑙=0
𝑒𝐴2(𝜏2𝑙+2−𝜏2𝑙+1)𝐵2𝑒
𝐴1𝜃1𝐵1.
Нагадаємо вiдому формулу [17], яка вiдiграє провiдну роль в цiй ро-
ботi
𝑒−𝐴𝜃𝐵𝑒𝐴𝜃 =
∞∑︁
𝑘=0
(−1)𝑘
𝜃𝑘
𝑘!
[𝐴, [𝐴, ..., [𝐴⏟ ⏞
𝑘
, 𝐵]...]] = 𝑒−𝜃 ad𝐴(𝐵),
де [𝐴,𝐵] = 𝐴𝐵 −𝐵𝐴, ad𝐴(𝑋) = 𝐴𝑋 −𝑋𝐴.
Праву частину даної рiвностi позначимо через 𝑄𝜃𝐴,𝐵 i нехай 𝑄𝑁,𝜃𝐴,𝐵
позначає вiдрiзок ряду 𝑄𝜃𝐴,𝐵 , тобто
𝑄𝑁,𝜃𝐴,𝐵 =
𝑁∑︁
𝑘=0
(−1)𝑘
𝜃𝑘
𝑘!
ad 𝑘𝐴(𝐵).
208 Слинько В.I., Кравчук С.В.
Тодi матрицант можна подати у виглядi
Ω𝜏2𝑘0 =
𝑘−1∏︁
𝑙=0
𝑒𝐴2(𝜏2𝑙+2−𝜏2𝑙+1)𝐵2𝑒
𝐴1𝜃1𝐵1 =
=
𝑘−1∏︁
𝑙=0
𝑒𝐴2(𝜏2𝑙+2−𝜏2𝑙+1)𝑒𝐴1𝜃1𝑄𝜃1𝐴1,𝐵2
𝐵1 =
=
𝑘−1∏︁
𝑙=0
𝑒(𝐴1𝜃1+𝐴2(𝜏2𝑙+2−𝜏2𝑙+1))𝑄𝜃1𝐴1,𝐵2
𝐵1.
Таким чином, задача про стiйкiсть системи (1) еквiвалентна ана-
логiчнiй задачi для системи вигляду
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= ̃︀𝐴𝑘𝑦, 𝑡 ̸= 𝜏2𝑘,
𝑦(𝑡+) = 𝑄𝜃1𝐴1,𝐵2
𝐵1𝑦(𝑡), 𝑡 = 𝜏2𝑘,
(2)
де 𝑦 ∈ ℝ𝑛,
̃︀𝐴𝑘 =
1
𝜏2𝑘+2 − 𝜏2𝑘
(𝜃1𝐴1 + (𝜏2𝑘+2 − 𝜏2𝑘+1)𝐴2) =
=
1
𝜏2𝑘+2 − 𝜏2𝑘+1 + 𝜃1
(𝜃1𝐴1 + (𝜏2𝑘+2 − 𝜏2𝑘+1)𝐴2).
Дослiдження стiйкостi системи (2) проведемо, використовуючи
прямий метод Ляпунова.
3 Умови стiйкостi
Розглянемо задачу про вибiр правила перемикання, яке забезпечує
стiйкiсть лiнiйної iмпульсної системи (1). Для цього встановимо умо-
ви для послiдовностi моментiв iмпульсної дiї {𝜏𝑘}∞𝑘=0, якi забезпечу-
ють стiйкiсть допомiжної системи (2). Зауважимо, що якщо для по-
слiдовностi моментiв iмпульсної дiї виконується умова 𝜏2𝑘+2−𝜏2𝑘+1 =
𝜃2 > 0, то лiнiйна iмпульсна система (1) є перiодичною i питання про
її стiйкiсть можна розв’язати на основi теорiї Флоке—Ляпунова. За-
кон перемикання будемо шукати у виглядi обмежень на величини
𝛿𝑘 = 𝜏2𝑘+2 − 𝜏2𝑘+1 − 𝜃2, 𝑘 ∈ ℤ+.
Про стiйкiсть лiнiйних iмпульсних систем з перемиканнями 209
Припустимо, що величина 𝜃2 > 0 вибрана, наприклад, з умови
асимптотичної стiйкостi 𝑟(𝑒𝐴2𝜃2𝐵2𝑒
𝐴1𝜃1𝐵1) < 1 або з iнших мiрку-
вань. Визначимо матрицю
̃︀𝐴 = 𝜈1𝐴1 + 𝜈2𝐴2, 𝜈𝑖 =
𝜃𝑖
𝜃1 + 𝜃2
, 𝑖 = 1, 2.
Розглянемо рiзнi пiдходи до дослiдження допомiжної системи (2)
в залежностi вiд спектральних властивостей матрицi ̃︀𝐴.
3.1. Нехай ̃︀𝐴 – гурвiцева матриця, тобто для всiх 𝜆 ∈ 𝜎( ̃︀𝐴), Re𝜆 <
0. У цьому випадку, для довiльної симетричної, додатньо визначеної
матрицi 𝐺, iснує симетрична, додатньо визначена матриця 𝑃 , яка є
розв’язком матричного рiвняння Ляпунова
̃︀𝐴𝑇𝑃 + 𝑃 ̃︀𝐴 = −𝐺.
Допомiжну систему (2) подамо у виглядi
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= ̃︀𝐴𝑦 + ( ̃︀𝐴𝑘 − ̃︀𝐴)𝑦, 𝑡 ̸= 𝜏2𝑘,
𝑦(𝑡+) = 𝑄𝜃1𝐴1,𝐵2
𝐵1𝑦(𝑡), 𝑡 = 𝜏2𝑘.
(3)
Розглянемо функцiю Ляпунова 𝑣(𝑡) = 𝑦𝑇𝑃𝑦 i оцiнимо її повну
похiдну вздовж розв’язкiв системи (3) при 𝑡 ̸= 𝜏𝑘.
𝑑𝑣
𝑑𝑡
⃒⃒⃒⃒
(3)
⩽ −𝑦𝑇𝐺𝑦 + 2‖𝑃‖‖ ̃︀𝐴𝑘 − ̃︀𝐴‖‖𝑦‖2, 𝑡 ̸= 𝜏2𝑘. (4)
Припустимо, що закон перемикання такий, що виконується умова
sup
𝑘∈ℤ+
|𝛿𝑘| < 𝛿* < 𝜃2. (5)
Oскiльки
‖ ̃︀𝐴𝑘 − ̃︀𝐴‖ =
⃦⃦⃦ 1
𝜏2𝑘+2 − 𝜏2𝑘+1 + 𝜃1
(𝜃1𝐴1 + (𝜏2𝑘+2 − 𝜏2𝑘+1)𝐴2)−
−(
𝜃1
𝜃1 + 𝜃2
𝐴1 +
𝜃2
𝜃1 + 𝜃2
𝐴2)
⃦⃦⃦
≤ 𝜃1|𝛿𝑘|(‖𝐴1‖+ ‖𝐴2‖)
(𝛿𝑘 + 𝜃1 + 𝜃2)(𝜃1 + 𝜃2)
.
Тодi
‖ ̃︀𝐴𝑘 − ̃︀𝐴‖ ≤ 𝜃1𝛿
*(‖𝐴1‖+ ‖𝐴2‖)
(𝜃1 + 𝜃2 − 𝛿*)(𝜃1 + 𝜃2)
.
210 Слинько В.I., Кравчук С.В.
Отже, для повної похiдної функцiї Ляпунова має мiсце оцiнка
𝑑𝑣
𝑑𝑡
⃒⃒⃒
(3)
≤
(︁
− 𝜆𝑚(𝐺) +
2‖𝑃‖𝜃1𝛿*(‖𝐴1‖+ ‖𝐴2‖)
(𝜃1 + 𝜃2 − 𝛿*)(𝜃1 + 𝜃2)
)︁
‖𝑦‖2.
Припустимо, що для 𝛿* виконується нерiвнiсть
𝛿* <
𝜆𝑚(𝐺)(𝜃1 + 𝜃2)
2
2‖𝑃‖𝜃1(‖𝐴1‖+ ‖𝐴2‖) + 𝜆𝑚(𝐺)(𝜃1 + 𝜃2)
. (6)
Ця нерiвнiсть дозволяє одержати оцiнку
𝑑𝑣
𝑑𝑡
⃒⃒⃒
(3)
≤ 1
𝜆𝑀 (𝑃 )
(︁
− 𝜆𝑚(𝐺) +
2‖𝑃‖𝜃1𝛿*(‖𝐴1‖+ ‖𝐴2‖)
(𝜃1 + 𝜃2 − 𝛿*)(𝜃1 + 𝜃2)
)︁
𝑣.
В моменти iмпульсної дiї 𝑡 = 𝜏𝑘 мають мiсце рiвностi
𝑣(𝑦(𝑡+)) = 𝑦𝑇 (𝑡)𝐵𝑇1 (𝑄
𝜃1
𝐴1,𝐵2
)𝑇𝑃𝑄𝜃1𝐴1,𝐵2
𝐵1𝑦(𝑡) =
= 𝑦𝑇 (𝑡)𝐵𝑇1 (𝑄
𝑁,𝜃1
𝐴1,𝐵2
+𝑄𝜃1𝐴1,𝐵2
−𝑄𝑁,𝜃1𝐴1,𝐵2
)𝑇𝑃 (𝑄𝑁,𝜃1𝐴1,𝐵2
+𝑄𝜃1𝐴1,𝐵2
−
−𝑄𝑁,𝜃1𝐴1,𝐵2
)𝐵1𝑦(𝑡) = 𝑦𝑇 (𝑡)𝐵𝑇1 (𝑄
𝑁,𝜃1
𝐴1,𝐵2
)𝑇𝑃𝑄𝑁,𝜃1𝐴1,𝐵2
𝐵1𝑦(𝑡)+
+𝑦𝑇 (𝑡)𝐵𝑇1 (𝑄
𝜃1
𝐴1,𝐵2
−𝑄𝑁,𝜃1𝐴1,𝐵2
)𝑇𝑃𝑄𝑁,𝜃1𝐴1,𝐵2
𝐵1𝑦(𝑡)+
+𝑦𝑇 (𝑡)𝐵𝑇1 (𝑄
𝑁,𝜃1
𝐴1,𝐵2
)𝑇𝑃 (𝑄𝜃1𝐴1,𝐵2
−𝑄𝑁,𝜃1𝐴1,𝐵2
)𝐵1𝑦(𝑡)+
+𝑦𝑇 (𝑡)𝐵𝑇1 (𝑄
𝜃1
𝐴1,𝐵2
−𝑄𝑁,𝜃1𝐴1,𝐵2
)𝑇𝑃 (𝑄𝜃1𝐴1,𝐵2
−𝑄𝑁,𝜃1𝐴1,𝐵2
)𝐵1𝑦(𝑡).
Позначимо 𝛼𝑁 = 𝜆𝑀 (𝐵𝑇1 (𝑄
𝑁,𝜃1
𝐴1,𝐵2
)𝑇𝑃𝑄𝑁,𝜃1𝐴1,𝐵2
𝐵1).
Використовуючи нерiвнiсть Кошi-Буняковського, одержимо оцiн-
ки
𝑦𝑇 (𝑡)𝐵𝑇1 (𝑄
𝑁,𝜃1
𝐴1,𝐵2
)𝑇𝑃𝑄𝑁,𝜃1𝐴1,𝐵2
𝐵1𝑦(𝑡) ⩽ ‖𝐵1‖2 · ‖𝑄𝑁,𝜃1𝐴1,𝐵2
‖2 · ‖𝑃‖ · ‖𝑦‖2,
𝑦𝑇 (𝑡)𝐵𝑇1 (𝑄
𝜃1
𝐴1,𝐵2
−𝑄𝑁,𝜃1𝐴1,𝐵2
)𝑇𝑃𝑄𝑁,𝜃1𝐴1,𝐵2
𝐵1𝑦(𝑡) ⩽
⩽ ‖𝐵1‖2 · ‖𝑄𝑁,𝜃1𝐴1,𝐵2
‖ · ‖𝑄𝜃1𝐴1,𝐵2
−𝑄𝑁,𝜃1𝐴1,𝐵2
‖ · ‖𝑃‖ · ‖𝑦‖2,
𝑦𝑇 (𝑡)𝐵𝑇1 (𝑄
𝑁,𝜃1
𝐴1,𝐵2
)𝑇𝑃 (𝑄𝜃1𝐴1,𝐵2
−𝑄𝑁,𝜃1𝐴1,𝐵2
)𝐵1𝑦(𝑡) ⩽
⩽ ‖𝐵1‖2 · ‖𝑄𝑁,𝜃1𝐴1,𝐵2
‖ · ‖𝑄𝜃1𝐴1,𝐵2
−𝑄𝑁,𝜃1𝐴1,𝐵2
‖ · ‖𝑃‖ · ‖𝑦‖2,
𝑦𝑇 (𝑡)𝐵𝑇1 (𝑄
𝜃1
𝐴1,𝐵2
−𝑄𝑁,𝜃1𝐴1,𝐵2
)𝑇𝑃 (𝑄𝜃1𝐴1,𝐵2
−𝑄𝑁,𝜃1𝐴1,𝐵2
)𝐵1𝑦(𝑡) ⩽
⩽ ‖𝐵1‖2 · ‖𝑄𝜃1𝐴1,𝐵2
−𝑄𝑁,𝜃1𝐴1,𝐵2
‖2 · ‖𝑃‖ · ‖𝑦‖2.
Про стiйкiсть лiнiйних iмпульсних систем з перемиканнями 211
Легко бачити, що
‖[𝐴, [𝐴, ..., [𝐴⏟ ⏞
𝑚
, 𝐵]...]]‖ = ‖ ad𝑚𝐴 (𝐵)‖ ⩽ ‖ ad𝐴 ‖𝑚 · ‖𝐵‖.
Використовуючи останню нерiвнiсть, одержимо
‖𝑄𝜃1𝐴1,𝐵2
−𝑄𝑁,𝜃1𝐴1,𝐵2
‖ ⩽
(︂
𝜃𝑁+1
1
(𝑁 + 1)!
‖ ad𝐴1
‖𝑁+1+
+
𝜃𝑁+2
1
(𝑁 + 2)!
‖ ad𝐴1 ‖𝑁+2 + ...
)︂
‖𝐵2‖ =
‖𝐵2‖𝜃𝑁+1
1
(𝑁 + 1)!
· ‖ ad𝐴1 ‖𝑁+1
(︂
1+
+
𝜃1
(𝑁 + 2)
‖ ad𝐴1 ‖+
𝜃21
(𝑁 + 2)(𝑁 + 3)
‖ ad𝐴1 ‖2 + ...
)︂
⩽
⩽
(‖ ad𝐴1
‖𝜃1)𝑁+1‖𝐵2‖
(𝑁 + 1)!
(︂
1 +
‖ ad𝐴1
‖𝜃1
1!
+
(‖ ad𝐴1
‖𝜃1)2
2!
+ ...
)︂
=
=
(‖ ad𝐴1 ‖𝜃1)𝑁+1‖𝐵2‖𝑒‖ ad𝐴1
‖𝜃1
(𝑁 + 1)!
.
Позначимо
𝛽𝑁 =
‖𝐵1‖2‖𝑄𝑁,𝜃1𝐴1,𝐵2
‖(‖ ad𝐴1
‖𝜃1)𝑁+1‖𝐵2‖𝑒‖ ad𝐴1
‖𝜃1‖𝑃‖
(𝑁 + 1)!
,
𝛾𝑁 =
‖𝐵1‖2(‖ ad𝐴1 ‖𝜃1)2𝑁+2‖𝐵2‖2𝑒2‖ ad𝐴1
‖𝜃1‖𝑃‖
((𝑁 + 1)!)2
.
Тодi для 𝑣(𝑦(𝑡+)) справедлива оцiнка
𝑣(𝑦(𝑡+)) ⩽ 𝛼𝑁‖𝑦‖2 + 2𝛽𝑁‖𝑦‖2 + 𝛾𝑁‖𝑦‖2 = (𝛼𝑁 + 2𝛽𝑁 + 𝛾𝑁 )‖𝑦‖2 ⩽
⩽
𝛼𝑁 + 2𝛽𝑁 + 𝛾𝑁
𝜆𝑚(𝑃 )
𝑣(𝑦(𝑡)).
(7)
Якщо виконується нерiвнiсть (6), то для дослiдження стiйкостi
лiнiйної системи (2) застосовна теорема 18.2 з [4] про асимптотичну
стiйкiсть, в якiй покладемо
𝜙(𝑠) =
1
𝜆𝑀 (𝑃 )
(︁
𝜆𝑚(𝐺)− 2‖𝑃‖𝜃1𝛿*(‖𝐴1‖+ ‖𝐴2‖)
(𝜃1 + 𝜃2 − 𝛿*)(𝜃1 + 𝜃2)
)︁
𝑠,
𝜓(𝑠) =
𝛼𝑁 + 2𝛽𝑁 + 𝛾𝑁
𝜆𝑚(𝑃 )
𝑠.
212 Слинько В.I., Кравчук С.В.
Таким чином, одержимо нерiвнiсть
ln
𝛼𝑁 + 2𝛽𝑁 + 𝛾𝑁
𝜆𝑚(𝑃 )
<
(𝜃1 + 𝜃2 + 𝛿𝑘)
𝜆𝑀 (𝑃 )
(︁
𝜆𝑚(𝐺)−2‖𝑃‖𝜃1𝛿*(‖𝐴1‖+ ‖𝐴2‖)
(𝜃1 + 𝜃2 − 𝛿*)(𝜃1 + 𝜃2)
)︁
.
Отже, пiдсумком наведених вище мiркувань є наступне твердже-
ння.
Теорема 3.1. Нехай система (1) така, що ̃︀𝐴 – матриця Гурвiца,
виконується нерiвнiсть (6) i для деякого 𝑁 виконується нерiвнiсть
0 ≤ 𝛿* <
𝜆𝑚(𝐺)(𝜃1 + 𝜃2)− 𝜆𝑀 (𝑃 ) ln 𝛼𝑁+2𝛽𝑁+𝛾𝑁
𝜆𝑚(𝑃 )
𝜆𝑚(𝐺) + 2‖𝑃‖𝜃1(‖𝐴1‖+‖𝐴2‖)
𝜃1+𝜃2
.
Тодi закон перемикання, для якого виконуються умова (5), забезпе-
чує стiйкiсть лiнiйної системи (1).
Далi розглянемо випадки, коли матриця ̃︀𝐴 не є гурвiцевою або не
виконується нерiвнiсть (6).
3.2. Припустимо, що для спектрального радiуса матрицi 𝑄𝑁,𝜃1𝐴1,𝐵2
𝐵1
при деякому 𝑁 виконується нерiвнiсть 𝑟(𝑄𝑁,𝜃1𝐴1,𝐵2
𝐵1) < 1. В цьому
випадку система (2) може бути дослiджена на основi теореми 18.3
[4]. Розглянемо функцiю Ляпунова 𝑣(𝑦) = 𝑦𝑇𝑃𝑦, де 𝑃 – розв’язок
матричного рiвняння
(𝑄𝑁,𝜃1𝐴1,𝐵2
)𝑇𝑃𝑄𝑁,𝜃1𝐴1,𝐵2
𝐵1 − 𝑃 = −𝑅, (8)
де 𝑅 — симетрична додатньо визначена матриця.
Умова 𝑟(𝑄𝑁,𝜃1𝐴1,𝐵2
𝐵1) < 1 гарантує, що для довiльної симетричної,
додатньо визначеної матрицi 𝑅 iснує єдина симетрична, додатньо ви-
значена матриця 𝑃 , яка є розв’язком матричного рiвняння (8).
В цьому випадку, внаслiдок (4) виконується нерiвнiсть
𝑑𝑣
𝑑𝑡
⃒⃒⃒
(2)
≤ 𝑦𝑇 (𝑡)( ̃︀𝐴𝑇𝑃 + 𝑃 ̃︀𝐴)𝑦(𝑡) + 2‖𝑃‖𝜃1𝛿*(‖𝐴1‖+ ‖𝐴2‖)
𝜆𝑚(𝑃 )(𝜃1 + 𝜃2 − 𝛿*)(𝜃1 + 𝜃2)
‖𝑦‖2
Оскiльки за припущенням або матриця ̃︀𝐴 не є гурвiцевою, або не
виконується нерiвнiсть (6), то
𝛾0 +
2‖𝑃‖𝜃1𝛿*(‖𝐴1‖+ ‖𝐴2‖)
(𝜃1 + 𝜃2 − 𝛿*)(𝜃1 + 𝜃2)
> 0,
Про стiйкiсть лiнiйних iмпульсних систем з перемиканнями 213
де 𝛾0 = 𝜆𝑀 ( ̃︀𝐴𝑇𝑃 + 𝑃 ̃︀𝐴). Як наслiдок,
𝑑𝑣
𝑑𝑡
⃒⃒⃒
(3)
≤ 1
𝜆𝑚(𝑃 )
(︁
𝛾0 +
2‖𝑃‖𝜃1𝛿*(‖𝐴1‖+ ‖𝐴2‖)
(𝜃1 + 𝜃2 − 𝛿*)(𝜃1 + 𝜃2)
)︁
𝑣.
Аналогiчно до того як одержано оцiнку (7), можна показати, що
𝑣(𝑦(𝑡+)) ⩽ 𝑦𝑇 (𝑡)(𝑃 −𝑅)𝑦(𝑡) + 2𝛽𝑁‖𝑦‖2 + 𝛾𝑁‖𝑦‖2 ⩽
⩽
𝜆𝑀 (𝑃 −𝑅) + 2𝛽𝑁 + 𝛾𝑁
𝜆𝑚(𝑃 )
𝑣(𝑦(𝑡)).
Покладемо
𝜙(𝑠) =
1
𝜆𝑚(𝑃 )
(𝛾0 +
2‖𝑃‖𝜃1𝛿*(‖𝐴1‖+ ‖𝐴2‖)
(𝜃1 + 𝜃2 − 𝛿*)(𝜃1 + 𝜃2)
)𝑠,
𝜓(𝑠) =
𝜆𝑀 (𝑃 −𝑅) + 2𝛽𝑁 + 𝛾𝑁
𝜆𝑚(𝑃 )
.
Застосовуючи теорему 18.3 з [4], одержимо нерiвнiсть
𝜆𝑚(𝑃 ) ln
𝜆𝑚(𝑃 )
𝜆𝑀 (𝑃 −𝑅) + 2𝛽𝑁 + 𝛾𝑁
>
> (𝛾0 +
2‖𝑃‖𝜃1𝛿*(‖𝐴1‖+ ‖𝐴2‖)
(𝜃1 + 𝜃2 − 𝛿*)(𝜃1 + 𝜃2)
)(𝜃1 + 𝜃2 + 𝛿𝑘),
яка гарантує асимптотичну стiйкiсть лiнiйної системи (2). Пiдсумком
наведених вище мiркувань є наступна теорема.
Теорема 3.2. Нехай система (1) така, що або ̃︀𝐴 не є гурвiцевою
матрицею, або не виконується нерiвнiсть (6), i для деякого 𝑁 ви-
конуються нерiвностi
𝑟(𝑄𝑁,𝜃1𝐴1,𝐵2
𝐵1) < 1,
𝜆𝑚(𝑃 ) ln
𝜆𝑚(𝑃 )
𝜆𝑀 (𝑃 −𝑅) + 2𝛽𝑁 + 𝛾𝑁
>
> (𝛾0 +
2‖𝑃‖𝜃1𝛿*(‖𝐴1‖+ ‖𝐴2‖)
(𝜃1 + 𝜃2 − 𝛿*)(𝜃1 + 𝜃2)
)(𝜃1 + 𝜃2 + 𝛿*).
Тодi закон перемикання, для якого виконуються умова (5), забезпе-
чує стiйкiсть лiнiйної системи (1).
214 Слинько В.I., Кравчук С.В.
3.3. У випадку 3.2, за умови, що не виконується нерiвнiсть
𝑟(𝑄𝑁,𝜃1𝐴1,𝐵2
𝐵1) < 1, для дослiдження стiйкостi лiнiйної iмпульсної си-
стеми (2) неможливо застосувати теореми 18.2 i 18.3 з монографiї [4].
В цьому випадку для дослiдження стiйкостi лiнiйної iмпульсної си-
стеми (2) застосуємо результати роботи [13].
Лема 3.1. Нехай iснує симетрична додатньо визначена матриця
𝑃 така, що рiвномiрно по 𝑘 ∈ ℤ+ виконуються лiнiйнi матричнi
нерiвностi
(𝜏2𝑘+2 − 𝜏2𝑘)(( ̃︀𝐴𝑘)𝑇𝑃 + 𝑃 ̃︀𝐴𝑘)+
+(𝑄𝜃1𝐴1,𝐵2
)𝑇𝐵𝑇1 𝑃𝑄
𝜃1
𝐴1,𝐵2
𝐵1 − 𝑃 < 0,
( ̃︀𝐴𝑇𝑘 )2𝑃 + 2 ̃︀𝐴𝑇𝑘 𝑃 ̃︀𝐴𝑘 + 𝑃 ̃︀𝐴2
𝑘 ≥ 0.
(9)
Тодi лiнiйна iмпульсна система (2) є асимптотично стiйкою.
Доведення. Застосуємо до системи (2) твердження теореми 2.3 з ро-
боти [13], вибравши функцiю Ляпунова 𝑣(𝑥) = 𝑥𝑇𝑃𝑥 i 𝑝 = 2. Тодi
отримаємо нерiвностi (9). Лему доведено.
Для визначення оцiнок для величини 𝛿*, якi гарантують стiйкiсть
лiнiйної iмпульсної системи (2) розглянемо матричне рiвняння
(𝜃1 + 𝜃2)( ̃︀𝐴𝑇𝑃 + 𝑃 ̃︀𝐴) +𝐵𝑇1 (𝑄
𝑁,𝜃1
𝐴1,𝐵2
)𝑇𝑃𝑄𝑁,𝜃1𝐴1,𝐵2
𝐵1 − 𝑃 = −𝐺. (10)
Теорема 3.3. Припустимо, що для заданої додатньо визначеної си-
метричної матрицi 𝐺 iснує симетрична додатньо визначена ма-
триця 𝑃 , яка визначається з рiвняння (10) i така, що матриця
𝑅 = ( ̃︀𝐴2)𝑇𝑃 + 2 ̃︀𝐴𝑇𝑃 ̃︀𝐴+ 𝑃 ̃︀𝐴2 > 0.
Якщо для деякого натурального числа 𝑁 виконуються нерiвностi
2‖ ̃︀𝐴‖‖𝑃‖𝛿* + 2𝜃1𝛿
*(𝜃1 + 𝜃2 + 𝛿*)‖𝑃‖
(𝜃1 + 𝜃2)(𝜃1 + 𝜃2 − 𝛿*)
+ 2𝛽𝑁 + 𝛾𝑁 < 𝜆𝑚(𝐺),
2‖ ̃︀𝐴‖𝜃1𝛿*(‖𝐴1‖+ ‖𝐴2‖)
(𝜃1 + 𝜃2)(𝜃1 + 𝜃2 − 𝛿*)
+
𝜃21(𝛿
*)2(‖𝐴1‖+ ‖𝐴2‖)2
(𝜃1 + 𝜃2)2(𝜃1 + 𝜃2 − 𝛿*)2
<
𝜆𝑚(𝑅)
4‖𝑃‖
,
то закон перемикання для якого виконуються умова (5) забезпечує
стiйкiсть лiнiйної системи (1).
Про стiйкiсть лiнiйних iмпульсних систем з перемиканнями 215
Доведення. ‘ Доведемо, що за умов теореми 3.3 виконуються нерiв-
ностi (9). Справдi, нехай 𝜁 ∈ ℝ𝑛, 𝜁 ̸= 0, тодi
𝜁𝑇 [(𝜏2𝑘+2 − 𝜏2𝑘)(( ̃︀𝐴𝑘)𝑇𝑃 + 𝑃 ̃︀𝐴𝑘) + (𝑄𝜃1𝐴1,𝐵2
)𝑇𝐵𝑇1 𝑃𝑄
𝜃1
𝐴1,𝐵2
𝐵1 − 𝑃 ]𝜁 =
= 𝜁𝑇 [(𝜃1 + 𝜃2 + 𝛿𝑘)( ̃︀𝐴𝑇𝑃 + 𝑃 ̃︀𝐴) + (𝜃1 + 𝜃2 + 𝛿𝑘)(( ̃︀𝐴𝑘 − ̃︀𝐴)𝑇𝑃+
+𝑃 ( ̃︀𝐴𝑘 − ̃︀𝐴)) +𝐵𝑇1 (𝑄
𝑁,𝜃1
𝐴1,𝐵2
)𝑇𝑃𝑄𝑁,𝜃1𝐴1,𝐵2
𝐵1 − 𝑃 +𝐵𝑇1 (𝑄
𝜃1
𝐴1,𝐵2
−
−𝑄𝑁,𝜃1𝐴1,𝐵2
)𝑇𝑃𝑄𝑁,𝜃1𝐴1,𝐵2
𝐵1 +𝐵𝑇1 (𝑄
𝑁,𝜃1
𝐴1,𝐵2
)𝑇𝑃 (𝑄𝜃1𝐴1,𝐵2
−𝑄𝑁,𝜃1𝐴1,𝐵2
)𝐵1+
+𝐵𝑇1 (𝑄
𝜃1
𝐴1,𝐵2
−𝑄𝑁,𝜃1𝐴1,𝐵2
)𝑇𝑃 (𝑄𝜃1𝐴1,𝐵2
−𝑄𝑁,𝜃1𝐴1,𝐵2
)𝐵1]𝜁 ≤
≤ −𝜁𝑇𝐺𝜁 + [2‖ ̃︀𝐴‖‖𝑃‖𝛿* + 2(𝜃1 + 𝜃2 + 𝛿*)‖𝑃‖‖ ̃︀𝐴𝑘 − ̃︀𝐴‖+
+2𝛽𝑁 + 𝛾𝑁 ]‖𝜁‖2 ≤
(︁
− 𝜆𝑚(𝐺) + 2‖ ̃︀𝐴‖‖𝑃‖𝛿*+
+
2(𝜃1 + 𝜃2 + 𝛿*)‖𝑃‖𝜃1𝛿*(‖𝐴1‖+ ‖𝐴2‖)
(𝜃1 + 𝜃2)(𝜃1 + 𝜃2 − 𝛿*)
+ 2𝛽𝑁 + 𝛾𝑁
)︁
‖𝜁‖2 < 0.
Аналогiчно,
𝜁𝑇 [( ̃︀𝐴𝑇𝑘 )2𝑃 + 2 ̃︀𝐴𝑇𝑘 𝑃 ̃︀𝐴𝑘 + 𝑃 ̃︀𝐴2
𝑘]𝜁 = 𝜁𝑇 [( ̃︀𝐴2)𝑇𝑃 + 2 ̃︀𝐴𝑃 ̃︀𝐴+ 𝑃 ̃︀𝐴2]𝜁+
+𝜁𝑇 [( ̃︀𝐴𝑇 ( ̃︀𝐴𝑘 − ̃︀𝐴)𝑇 + ( ̃︀𝐴𝑘 − ̃︀𝐴)𝑇 ̃︀𝐴𝑇 + ( ̃︀𝐴𝑇𝑘 − ̃︀𝐴𝑇 )2)𝑃+
+2 ̃︀𝐴𝑇𝑃 ( ̃︀𝐴𝑘 − ̃︀𝐴) + 2( ̃︀𝐴𝑘 − ̃︀𝐴)𝑇𝑃 ̃︀𝐴+ 2( ̃︀𝐴𝑘 − ̃︀𝐴)𝑇𝑃 ( ̃︀𝐴𝑘 − ̃︀𝐴)+
+𝑃 ̃︀𝐴( ̃︀𝐴𝑘 − ̃︀𝐴) + 𝑃 ( ̃︀𝐴𝑘 − ̃︀𝐴) ̃︀𝐴+ 𝑃 ( ̃︀𝐴𝑘 − ̃︀𝐴)2)]𝜁 ≥
≥ 𝜁𝑇𝑅𝜁 − [8‖ ̃︀𝐴‖‖ ̃︀𝐴𝑘 − ̃︀𝐴‖‖𝑃‖+ 4‖𝑃‖‖ ̃︀𝐴𝑘 − ̃︀𝐴‖2]‖𝜁‖2 ≥
≥
[︁
𝜆𝑚(𝑅)− 4‖𝑃‖
(︁
2‖ ̃︀𝐴‖ 𝜃1𝛿
*(‖𝐴1‖+ ‖𝐴2‖)
(𝜃1 + 𝜃2 − 𝛿*)(𝜃1 + 𝜃2)
−
− 𝜃21(𝛿
*)2(‖𝐴1‖+ ‖𝐴2‖)2
(𝜃1 + 𝜃2 − 𝛿*)2(𝜃1 + 𝜃2)2
)︁]︁
‖𝜁‖2 ≥ 0.
Таким чином, виконуються умови леми 3.1, i отже, лiнiйна iмпульсна
система (1) є асимптотично стiйкою. Теорему доведено.
Обговорення результатiв. Важливiсть одержаних результатiв
полягає в тому, що на практицi неможливо точно забезпечити вико-
нання умов перiодичностi, тому важливо не тiльки вiдшукати пра-
вила перемикання, якi забезпечують стабiлiзацiю лiнiйної iмпульсної
системи, але i встановити умови робастностi цих правил. Фактично
умови стiкостi одержанi в теоремах 3.1—3.3 є умовами робастної стiй-
костi для послiдовностi моментiв iмпульсної дiї. В подальшому до-
216 Слинько В.I., Кравчук С.В.
цiльно провести дослiдження робастної стiйкостi при малих варiацi-
ях параметрiв системи, а також при бiльш широких припущеннях
щодо структурних матриць, зокрема послабити умови комутування
структурних матриць неперервної компоненти системи, використову-
ючи формулу Кемпбела—Бейкера—Хаусдорфа [17]. Також одержанi
результати мають перспективу узагальнення для нелiнiйних систем
змiнної структури з iмпульсною дiєю.
Автори висловлюють щиру вдячнiсть Д.О. Ситнику за корисне
обговорення результатiв роботи.
Публiкацiя мiстить результати дослiджень, проведених при гран-
товiй пiдтримцi Державного фонду фундаментальних дослiджень за
конкурсним проектом № Ф62/110-2015 № 0112U000241, та гранту Мi-
нiстерства освiти та науки України за проектом №0116U004691.
[1] Ларин В. Б. Управление шагающими аппаратами. — Л.: Наукова дум-
ка, 1980. — 168 c.
[2] Иванов А. П. О периодических движениях тяжелого твердого те-
ла с ударами о горизонтальную плоскость // Известия РАН. МТТ. —
1985. — №. 2. — с. 30–35.
[3] Smith R. Impulsive Differential Equations with Applications to Self-
Cycling Fermentation.— MacMaster University, 2001.— 152 p.
[4] Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения с
импульсным воздействием. — К. : Вища школа, 1980. — 288 c.
[5] Corentin Briat. Dwell-time stability and stabilization conditions for
linear positive impulsive and switched systems // arXiv:1608.02741v1
[math.OC], 9 Aug 2016.
[6] Daniel Liberzon and A. Stephen Morse. Basic Problems in Stability and
Design of Switched Systems // IEEE Control Systems.— 1999.— no. 3.—
P. 59–70.
[7] Narendra K. S., Balakrishnan J. A common Lyapunov function for
stable LTI systems with commuting A-matrices // IEEE Trans. Automat.
Control. — 1994.— Vol. 39,— P. 2469–2471.
[8] Shim H., Noh D. J., Seo J. H. Common Lyapunov function for exponen-
tially stable nonlinear systems // 4th SIAM Conf. on Control and its
Applications .— Jacksonville, FL, 1998.
[9] Двирный А. И., Слынько В. И. Об устойчивости по нелинейному при-
ближению систем дифференциальных уравнений с импульсным воз-
действием // Автоматика и телемеханика. — 2014. — т. 75, № 11. —
с. 3–18.
Про стiйкiсть лiнiйних iмпульсних систем з перемиканнями 217
[10] Двирный А. И., Слынько В. И. Об устойчивости по нелинейному
квазиоднородному приближению дифференциальных уравнений с им-
пульсным воздействием // Матем. сборник. — 2014. — т. 205, № 6. —
с. 109–138.
[11] Двирный А. И., Слынько В. И. Об устойчивости критических поло-
жений равновесия некоторых классов сложных импульсных систем //
Изв. РАН. Серия ТиСУ. — 2014. — № 1. — с. 22–34.
[12] Двирный А. И., Слынько В. И. Об устойчивости решений крупномас-
штабных систем дифференциальных уравнений с импульсным воздей-
ствием в критических случаев // Дифференциальные уравнения. —
2014. — т. 50, № 4. — с. 428–438.
[13] Двирный А. И., Слынько В. И. Применение прямого метода Ляпуно-
ва к исследованию устойчивости решений систем дифференциальных
уравнений с импульсным воздействием // Матем. заметки. — 2014. —
т. 96, № 1. — с. 22–35.
[14] Makarov V. L., Dragunov D. V. Stability preserving structural transfor-
mations of Systems of linear second-order ordinary differential equations
// arXiv: 1204.1814v1 [math.DS] 9 Apr 2012.
[15] Koshlyakov V. N., . Makarov V. L. Mechanical systems equivalent, in the
sense of Lyapunov, to systems without nonconservative positional forces //
Prikl. Mat. Mekh.— 2007.— vol. 71, no. 1.— p. 12–22.
[16] Рычка С. А., Слынько В. И. Об устойчивости квазилинейных систем
переменной структуры // Динамические системы. — 2012. — т. 2(30),
№ 1. — с. 143–154.
[17] Magnus W. On the exponential solution of differential equations for a
linear operator // Communications on Pure and Applied Mathematics.—
1954.— vol. 7— c. 649–673.
1. Луковський І.О., Гаврилюк І.О., Василик В.Б., Ситник Д.О.
2. Біленко В. І., Божонок К. В., Дзядик С. Ю., Стеля О. Б.
Інтегро–апроксимаційний алгоритм
Вступ
Постановка задачі
Алгоритм
Похибка алгоритму
Застосування a–методу для алгебраїчно–нелінійних рівнянь гіперболічного типу
Задача Дирихле для алгебраїчно–нелінійних рівнянь еліптичного типу на прямокутнику
Наближений розв'язок початкової задачі для алгебраїчно–нелінійних рівнянь параболічного типу на прямокутнику
Сплайн–алгоритм
Монотонна схема для рівняння конвекції–дифузії
Висновки
3. Василик В.Б., Макаров В.Л., Ситник Д.О.
Вступ
Регуляризація та явне зображення розв'язку
Вибір контуру інтегрування
Чисельний метод
4. Веселовська Г.М.
5. Грушковская В.В.
Введение
Построение модельной системы
Условия устойчивости
Оценка скорости убывания решений
Пример: оценка скорости затухания колебаний маятниковой системы с частичной диссипацией
Выводы
6. Дзюбенко Г.А.
Вступ
Допоміжні факти
Доведення Теореми ??
7. Діденко Ю.Ф., Денисенко В.І.
8. Елишевич М.А.
Постановка задачи
Полученный результат
Пример
9. Константинов А.В., Лимарченко О.С., Кинебас К.В., Паранькина О.Ю.
Введение
Объект исследования и математическая модель
Результаты вычислительных экспериментов
Выводы
10. Мазко О.Г., Кусій С.М.
Вступ
Допоміжні твердження
Лінійні системи з керованими і спостережуваними виходами
Статичний регулятор по вимірюваному виходу
Динамічний регулятор
Алгоритм побудови динамічного регулятора
Приклад. Гасіння коливань лінійного осцилятора.
Висновок
11. Працьовитий М. В., Маслова Ю. П.
Вступ
Функція Радемахера і ряди Уолша
Узагальнення функцій Радемахера
Узагальнення функцій Уолша
12. Працьовитий М.В., Чуйков А.С.
Вступ
Оператори лівостороннього та правостороннього зсуву елементів ланцюгового дробу
Інші функції, пов'язані з оператором T(x)
13. Новицький В.В., Зінчук М.О., Коломійчук О.П., Тетерятник О.В.
Вступ
Оптимальне керування лінійними неперервними майже консервативними системами
Оптимальне керування лінійними дискретними майже консервативними системами
14. Осауленко Р. Ю.
Вступ
Перетворення, які зберігають хвости Qs–зображення чисел
Група перетворень, які зберігають частоти цифр Qs–зображення числа
Приклад функції, яка зберігає частоти, але не зберігає хвости зображення Qs-ірраціональних чисел
15. Слинько В.І., Кравчук С.В.
Постановка задачі.
Основний результат.
Умови стійкості
16. Солодун А. В.
Постановка задачи
Численные результаты
17. Ситник Д.О.
Вступ
Sinc–апроксимація
Sinc-апроксимація функції за її значеннями поза інтерполяційною сіткою
18. Сосницький С.П.
Вступ
Про рівняння збуреного руху в околі стаціонарних лагранжевих трикутників
Теорема про орбітальну нестійкість лагранжевих стаціонарних рухів у задачі трьох тіл
Висновок
19. Сосницький С.П.
Вступ
Про достатні умови відсутності осцилюючих симетричних рухів
20. Чернецька Л.О.
21. Timokha A.N.
Statement
Asymptotic steady-state solutions of (??)–(??)
The reciprocating excitation type
The axisymmetric elliptic excitation type
The oblique elliptic excitation type
Conclusions
22. Shlepakov L.N.
Main relationships for a non-inflated system
Construction of enlarged systems
Defining the task mathematical programming
Case of multiple channels with same probability characteristics in the same system of channels.
23. Shidlich A.L.
Approximative characteristics
Main results
Order estimates for some functionals and their applications
Proof of Theorems ?? and ??.
24. Луковський І.О., Стороженко В.О.
25. Луковський І.О., Пустовойтов М.О.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-54 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:01:42Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/62/a33771606a4a5856633d4f4b70bb6362.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-542018-02-13T11:57:10Z On stability of linear impulse systems with switchings Об устойчивости линейных импульсных систем с переключениями Про стiйкiсть лiнiйних iмпульсних систем з перемиканнями Slinko, V. I. Kravchuk, S. V. Слынько, В. И. Кравчук, С. В. Слинько, В. I. Кравчук, С. В. The new conditions for the stability of linear impulsive systems with variable structure were established. Applying the commutation calculation and direct Lyapunov method the conditions for switching that ensure the stability of linear impulsive system were obtained. Установлены новые условия устойчивости линейных импульсных систем переменной структуры. Применив коммутационное исчисления и прямой метод Ляпунова получены условия на переключения, которые обеспечивают устойчивость линейной импульсной системы. Встановлено нові умови стійкості лінійних імпульсних систем змінної структури. Застосувавши комутаційне обчислення і прямий метод Ляпунова отримані умови на перемикання, які забезпечують стійкість лінійної імпульсної системи. Інститут математики НАН України 2017-12-22 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/54 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 13 No. 3 (2016): Mathematical problems of mechanics and computational mathematics; 205-217 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 13 № 3 (2016): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 205-217 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 13 № 3 (2016): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 205-217 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/54/49 Авторське право (c) 2016 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Slinko, V. I. Kravchuk, S. V. Слынько, В. И. Кравчук, С. В. Слинько, В. I. Кравчук, С. В. On stability of linear impulse systems with switchings |
| title | On stability of linear impulse systems with switchings |
| title_alt | Об устойчивости линейных импульсных систем с переключениями Про стiйкiсть лiнiйних iмпульсних систем з перемиканнями |
| title_full | On stability of linear impulse systems with switchings |
| title_fullStr | On stability of linear impulse systems with switchings |
| title_full_unstemmed | On stability of linear impulse systems with switchings |
| title_short | On stability of linear impulse systems with switchings |
| title_sort | on stability of linear impulse systems with switchings |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/54 |
| work_keys_str_mv | AT slinkovi onstabilityoflinearimpulsesystemswithswitchings AT kravchuksv onstabilityoflinearimpulsesystemswithswitchings AT slynʹkovi onstabilityoflinearimpulsesystemswithswitchings AT kravčuksv onstabilityoflinearimpulsesystemswithswitchings AT slinʹkovi onstabilityoflinearimpulsesystemswithswitchings AT kravčuksv onstabilityoflinearimpulsesystemswithswitchings AT slinkovi obustojčivostilinejnyhimpulʹsnyhsistemspereklûčeniâmi AT kravchuksv obustojčivostilinejnyhimpulʹsnyhsistemspereklûčeniâmi AT slynʹkovi obustojčivostilinejnyhimpulʹsnyhsistemspereklûčeniâmi AT kravčuksv obustojčivostilinejnyhimpulʹsnyhsistemspereklûčeniâmi AT slinʹkovi obustojčivostilinejnyhimpulʹsnyhsistemspereklûčeniâmi AT kravčuksv obustojčivostilinejnyhimpulʹsnyhsistemspereklûčeniâmi AT slinkovi prostijkistʹlinijnihimpulʹsnihsistemzperemikannâmi AT kravchuksv prostijkistʹlinijnihimpulʹsnihsistemzperemikannâmi AT slynʹkovi prostijkistʹlinijnihimpulʹsnihsistemzperemikannâmi AT kravčuksv prostijkistʹlinijnihimpulʹsnihsistemzperemikannâmi AT slinʹkovi prostijkistʹlinijnihimpulʹsnihsistemzperemikannâmi AT kravčuksv prostijkistʹlinijnihimpulʹsnihsistemzperemikannâmi |