Dependence of effective properties on regular perturbations
In this review, we present some of our results on the behavior of the effective properties in the presence of perturbations of the geometric and physical parameters. We will first show that the average longitudinal flow of a Newtonian fluid flowing at low Reynolds numbers around a periodic array of...
Saved in:
| Date: | 2025 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2025
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/540 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872553046864560128 |
|---|---|
| author | Dalla Riva, Matteo Luzzini, Paolo Musolino, Paolo Pukhtaievych, Roman Далла Ріва, Маттео Луцціні, Паоло Мусоліно, Паоло Пухтаєвич, Роман |
| author_facet | Dalla Riva, Matteo Luzzini, Paolo Musolino, Paolo Pukhtaievych, Roman Далла Ріва, Маттео Луцціні, Паоло Мусоліно, Паоло Пухтаєвич, Роман |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Маттео Далла Ріва",
"institution": "Департамент інженерії, Університет Палермо, Віале делле Шіенце, 8, 90128 Палермо, Італія"
},
{
"author": "Паоло Луцціні",
"institution": "Департамент науки, технологій та інновацій, Університет Східного П'ємонту імені Амедео Авогадро, Віале Тереза Мікель, 11, 15121 Алессандрія, Італія"
},
{
"author": "Паоло Мусоліно",
"institution": "Кафедра математики імені Тулліо Леві-Чівіта, Падуанський університет, Віа Трієсте, 63, 35121 Падуя, Італія"
},
{
"author": "Роман Пухтаєвич",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Dalla Riva, Matteo |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2026-02-24T12:22:41Z |
| description | In this review, we present some of our results on the behavior of the effective properties in the presence of perturbations of the geometric and physical parameters. We will first show that the average longitudinal flow of a Newtonian fluid flowing at low Reynolds numbers around a periodic array of cylinders depends analytically on the perturbations of the periodicity structure and the cross section of the cylinders. Next, we will show the analytical dependence of the effective conductivity of a periodic two-phase composite with ideal and non-ideal contacts at the interface on the perturbations of the shape of the inclusions, the periodicity structure, and the conductivity of each material. |
| doi_str_mv | 10.3842/trim.v21n1.540 |
| first_indexed | 2026-08-04T01:09:06Z |
| format | Article |
| fulltext |
Çáiðíèê ïðàöü Ií-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè (2024) ò. 21, �1, 59�70
Çàëåæíiñòü åôåêòèâíèõ âëàñòèâîñòåé
âiä ðåãóëÿðíèõ çáóðåíü
Ì. Äàëëà Ðiâà, Ï. Ëóööiíi, Ï. Ìóñîëiíî, Ð. Ïóõòà¹âè÷
Abstract. In this review, we present some of our results on the behavior
of the e�ective properties in the presence of perturbations of the geometric
and physical parameters. We will �rst show that the average longitudinal
�ow of a Newtonian �uid �owing at low Reynolds numbers around a pe-
riodic array of cylinders depends analytically on the perturbations of the
periodicity structure and the cross section of the cylinders. Next, we will
show the analytical dependence of the e�ective conductivity of a periodic
two-phase composite with ideal and non-ideal contacts at the interface on
the perturbations of the shape of the inclusions, the periodicity structure,
and the conductivity of each material.
Àíîòàöiÿ. Ó öüîìó îãëÿäi ìè ïðåäñòàâëÿ¹ìî äåÿêi íàøi ðåçóëüòàòè
ùîäî ïîâåäiíêè åôåêòèâíèõ âëàñòèâîñòåé çà íàÿâíîñòi çáóðåíü ãåîìå-
òðè÷íèõ i ôiçè÷íèõ ïàðàìåòðiâ. Ìè ñïî÷àòêó ïîêàæåìî, ùî ñåðåäíié
ïîçäîâæíié ïîòiê íüþòîíiâñüêî¨ ðiäèíè, ùî òå÷å ç íèçüêèìè ÷èñëà-
ìè Ðåéíîëüäñà íàâêîëî ïåðiîäè÷íîãî ìàñèâó öèëiíäðiâ, àíàëiòè÷íî çà-
ëåæèòü âiä çáóðåíü ñòðóêòóðè ïåðiîäè÷íîñòi òà ïîïåðå÷íîãî ïåðåðiçó
öèëiíäðiâ. Äàëi ìè ïîêàæåìî àíàëiòè÷íó çàëåæíiñòü åôåêòèâíî¨ ïðî-
âiäíîñòi ïåðiîäè÷íîãî äâîôàçíîãî êîìïîçèòó ç iäåàëüíèì i íåiäåàëüíèì
êîíòàêòàìè íà ìåæi âiä çáóðåíü ôîðìè âêëþ÷åíü, ñòðóêòóðè ïåðiîäè-
÷íîñòi òà ïðîâiäíîñòi êîæíîãî ìàòåðiàëó.
1. Âñòóï
Ó ñòàòòi ïðåäñòàâëåíi íåùîäàâíi ðåçóëüòàòè ùîäî âïëèâó çáóðåíü
ãåîìåòði¨ òà ôiçè÷íèõ ïàðàìåòðiâ íà åôåêòèâíi âëàñòèâîñòi. Ñïî÷àòêó
ðîçãëÿäà¹òüñÿ âèïàäîê íüþòîíiâñüêî¨ ðiäèíè, ùî òå÷å ïðè íèçüêèõ ÷è-
ñëàõ Ðåéíîëüäñà íàâêîëî ïåðiîäè÷íîãî ìàñèâó öèëiíäðiâ i ïîêàçàíî, ùî
ñåðåäí¹ çíà÷åííÿ ïîçäîâæíüî¨ ñêëàäîâî¨ øâèäêîñòi ïîòîêó àíàëiòè÷íî
çàëåæèòü âiä çáóðåíü ñòðóêòóðè ïåðiîäè÷íîñòi òà ïîïåðå÷íîãî ïåðåðiçó
öèëiíäðiâ (äèâ. [7, 9]).
2020 Mathematics Subject Classi�cation: 35J25, 35J05, 31B10, 45A05, 74E30, 74G10,
74M15
Êëþ÷îâi ñëîâà: longitudinal �ow, periodic composite, e�ective conductivity, transmi-
ssion problem, perturbed domain, integral equations
DOI : https://doi.org/10.3842/trim.v21n1.540
59
60 Ì. Äàëëà Ðiâà, Ï. Ëóööiíi, Ï. Ìóñîëiíî, Ð. Ïóõòà¹âè÷
Äàëi ðîçãëÿäàþòüñÿ òåïëîâi âëàñòèâîñòi äâîôàçíèõ êîìïîçèòiâ iç ïå-
ðiîäè÷íèìè âêëþ÷åííÿìè â îäíîðiäíié ìàòðèöi. Ïîêàçàíî, ùî åôåêòèâ-
íà ïðîâiäíiñòü àíàëiòè÷íî çàëåæèòü âiä çáóðåíü ôîðìè âêëþ÷åíü, ñòðóê-
òóðè ïåðiîäè÷íîñòi òà ïðîâiäíîñòi ìàòåðiàëiâ. Ïðåäñòàâëåíî ðåçóëüòàòè
äëÿ iäåàëüíîãî [8] òà íåiäåàëüíîãî êîíòàêòiâ íà ìåæi [4].
Ñåðåäíié ïîçäîâæíié ïîòiê òà åôåêòèâíà ïðîâiäíiñòü âèçíà÷àþòüñÿ
ÿê ôóíêöiîíàëè ðîçâ'ÿçêiâ ïåðiîäè÷íèõ êðàéîâèõ çàäà÷, ÿêi ìè ôîð-
ìóëþ¹ìî â îáëàñòÿõ, ôîðìà ÿêèõ çàëåæèòü âiä ïåâíèõ ïàðàìåòðiâ çáó-
ðåííÿ. Äëÿ ¨õ äîñëiäæåííÿ ìè ïåðåòâîðþ¹ìî êðàéîâi çàäà÷i â ñèñòåìè
iíòåãðàëüíèõ ðiâíÿíü íà ìåæi öèõ îáëàñòåé, à ïîòiì ÷åðåç çìiíó çìiííèõ
ïåðåâîäèìî ¨õ íà ìåæi ôiêñîâàíèõ ìíîæèí. Äàëi, çà äîïîìîãîþ òåîðåìè
ïðî íåÿâíó ôóíêöiþ äëÿ àíàëiòè÷íèõ âiäîáðàæåíü ó áàíàõîâèõ ïðîñòî-
ðàõ âèâîäÿòüñÿ ðåçóëüòàòè ïðî àíàëiòè÷íó çàëåæíiñòü ðîçâ'ÿçêiâ, ùî
ä๠íåîáõiäíi õàðàêòåðèñòèêè åôåêòèâíèõ âëàñòèâîñòåé. Ïiä ¾àíàëiòè-
÷íèì¿ çàâæäè ìà¹òüñÿ íà óâàçi "äiéñíî àíàëiòè÷íèé".
Òàêîæ âàðòî çàçíà÷èòè, ùî íà âiäìiíó âiä áàãàòüîõ iñíóþ÷èõ ìåòî-
äiâ ó ëiòåðàòóði, ÿêi çàñòîñîâóþòüñÿ äî ïåðiîäè÷íèõ ñòðóêòóð çi ñïåöè-
ôi÷íèìè ôîðìàìè (íàïðèêëàä, äâî- ÷è òðèâèìiðíi ïåðiîäè÷íi ìàñèâè
êðóãiâ/ñôåð àáî åëiïñiâ/åëiïñî¨äiâ), íàø ìåòîä ìîæíà çàñòîñîâóâàòè äî
äîâiëüíèõ ôîðì çà óìîâè äîòðèìàííÿ ïåâíèõ ïðèïóùåíü ùîäî ðåãó-
ëÿðíîñòi. Êðiì òîãî, ðåçóëüòàòè ùîäî àíàëiòè÷íîñòi, ÿêi ìè îòðèìó¹ìî,
ïåðåäáà÷àþòü äèôåðåíöiéîâàíiñòü âiäíîñíî ïàðàìåòðiâ, à òîìó ìîæíà
îá÷èñëèòè âiäïîâiäíi ïîõiäíi ç ìåòîþ õàðàêòåðèñòèêè êðèòè÷íèõ êîí-
ôiãóðàöié.
Ñòàòòÿ îðãàíiçîâàíà íàñòóïíèì ÷èíîì. Ó Ðîçäiëi 2 ìè ââîäèìî ãåîìå-
òðè÷íi ïîçíà÷åííÿ ðîçãëÿíóòèõ ïåðiîäè÷íèõ ñòðóêòóð. Ðîçäië 3 ìiñòèòü
ðåçóëüòàò ùîäî ñåðåäíüîãî ïîçäîâæíüîãî ïîòîêó âçäîâæ ïåðiîäè÷íîãî
ìàñèâó öèëiíäðiâ. Ó Ðîçäiëi 4 òà Ðîçäiëi 5 ìè ïðåäñòàâëÿ¹ìî ðåçóëü-
òàò ùîäî åôåêòèâíî¨ ïðîâiäíîñòi äâîôàçíîãî ïåðiîäè÷íîãî êîìïîçèòó ç
óìîâîþ iäåàëüíîãî òà íåiäåàëüíîãî êîíòàêòiâ âiäïîâiäíî.
2. Ãåîìåðòè÷íi ïîçíà÷åííÿ
Ïîçíà÷èìî ÷åðåç n P t2, 3u i te1, . . . , enu ðîçìiðíiñòü i êàíîíi÷íèé áà-
çèñ ïðîñòîðó Rn. ßêùî q11, . . . , qnn P s0,`8r, òî ìè áóäåìî âèêîðèñòî-
âóâàòè íàòóïíå ïîçíà÷åííÿ:
q “
$
’’’’’’&
’’’’’’%
˜
q11 0
0 q22
¸
, ÿêùî n “ 2,
¨
˚̋
q11 0 0
0 q22 0
0 0 q33
˛
‹‚, ÿêùî n “ 3
(2.1)
Çàëåæíiñòü åôåêòèâíèõ âëàñòèâîñòåé âiä ðåãóëÿðíèõ çáóðåíü 61
i
Q ”
nź
j“1
p0, qjjq Ď Rn. (2.2)
Ìíîæèíà Q ¹ ïåðiîäè÷íîþ êîìiðêîþ, òîäi ÿê q ¹ äiàãîíàëüíîþ ìàòðè-
öåþ, ùî âêëþ÷๠iíôîðìàöiþ ïðî ïåðiîäè÷íiñòü. Î÷åâèäíî, ùî
|Q|n ” śn
j“1 qjj ¹ ìiðîþ êîìiðêè Q, à qZn ” tqz : z P Znu � öå ìíîæèíà
âåðøèí ïåðiîäè÷íîãî ïîäiëó Rn, ùî âiäïîâiä๠êîìiðöi Q. Êðiì òîãî,
ïîêëàäåìî rQ ” s0, 1rn .
Íåõàé DnpRq � ïðîñòið n ˆ n äiàãîíàëüíèõ ìàòðèöü ç äiéñíèìè åëå-
ìåíòàìè, à Dǹ pRq � ìíîæèíà åëåìåíòiâ ç DnpRq ç äiàãîíàëüíèìè åëå-
ìåíòàìè â s0,`8r. ßêùî ΩQ ¹ ïiäìíîæèíîþ Rn, òàêîþ ùî ΩQ Ď Q, ìè
âèçíà÷à¹ìî íàñòóïíi äâi ïåðiîäè÷íi îáëàñòi: SqrΩQs ” Ť
zPZnpqz ` ΩQq,
SqrΩQs´ ” RnzSqrΩQs. Ñèìâîë `¨' ïîçíà÷๠çàìèêàííÿ ìíîæèíè.
ßêùî u ¹ äiéñíîçíà÷íîþ ôóíêöi¹þ, âèçíà÷åíîþ íà SqrΩQs àáî SqrΩQs´,
ìè ãîâîðèìî, ùî u ¹ q-ïåðiîäè÷íîþ, ÿêùî upx ` qzq “ upxq äëÿ âñiõ
z P Zn òà äëÿ âñiõ x ç îáëàñòi âèçíà÷åííÿ u. ßêùî k P N, ïîêëàäåìî
Ckb pSqrΩQs´q ”
!
u P CkpSqrΩQs´q : Dγu îáìåæåíà @γ P Nn òà |γ| ď k
)
.
Íà Ckb pSqrΩQs´q ìè ðîçãëÿäà¹ìî çâè÷íó íîðìó
}u}
Ckb pSqrΩQs´q ”
ÿ
|γ|ďk
sup
xPSqrΩQs´
|Dγupxq|, @u P Ckb pSqrΩQs´q ,
äå |γ| ” řn
i“1 γi ïîçíà÷๠äîâæèíó ìóëüòèiíäåêñó γ ” pγ1, . . . , γnq P Nn.
Êðiì òîãî, ÿêùî β P s0, 1s, ìè ïîêëàäåìî
Ck,βb pSqrΩQs´q ”
!
u P Ck,βpSqrΩQs´q : Dγu îáìåæåíà @γ P Nn òà |γ| ď k
)
,
à íà Ck,βb pSqrΩQs´q ìè ðîçãëÿäà¹ìî çâè÷íó íîðìó
}u}
Ck,βb pSqrΩQs´q ”
ÿ
|γ|ďk
sup
xPSqrΩQs´
|Dγupxq| `
ÿ
|γ|“k
|Dγu : SqrΩQs´|β
@u P Ck,βb pSqrΩQs´q ,
äå |Dγu : SqrΩQs´|β ïîçíà÷๠β-Ãåëüäåðiâñüêó êîíñòàíòó Dγu (äèâ. íà-
ïðèêëàä, Ãiëáàðã i Òðóäiíãåð [6] äëÿ âèçíà÷åííÿ ìíîæèí i ôóíêöié êëà-
ñó Øàóäåðà Ck,β). Òîäi Ckq pSqrΩQs´q � ¹ áàíàõîâèì ïiäïðîñòiðîì ïðîñ-
òîðó Ckb pSqrΩQs´q, âèçíà÷åíîãî ÿê
Ckq pSqrΩQs´q ”
!
u P Ckb pSqrΩQs´q : u ¹ q-ïåðiîäè÷íîþ
)
,
62 Ì. Äàëëà Ðiâà, Ï. Ëóööiíi, Ï. Ìóñîëiíî, Ð. Ïóõòà¹âè÷
à Ck,βq pSqrΩQs´q � ¹ áàíàõîâèì ïiäïðîñòiðîè ïðîñòîðó Ck,βb pSqrΩQs´q,
âèçíà÷åíîãî ÿê
Ck,βq pSqrΩQs´q ”
!
u P Ck,βb pSqrΩQs´q : u ¹ q-ïåðiîäè÷íîþ
)
.
Ïðîñòîðè Ckb pSqrΩQsq, Ck,βb pSqrΩQsq, Ckq pSqrΩQsq i Ck,βq pSqrΩQsq ìîæóòü
áóòè âèçíà÷åíi àíàëîãi÷íèì ÷èíîì.
Ìè ïîçíà÷à¹ìî ÷åðåç νΩQ îäèíè÷íó çîâíiøíþ íîðìàëü äî BΩQ, à ÷å-
ðåç dσ � åëåìåíò ïëîùi íà BΩQ. Ìè çáåðiãà¹ìî ñòàíäàðòíi ïîçíà÷åííÿ
äëÿ ïðîñòîðó Ëåáåãà L1pBΩQq ôóíêöié, iíòåãðîâíèõ çà Ëåáåãîì. Ïîçíà-
÷èìî ÷åðåç |BΩQ|n´1 pn´ 1q-âèìiðíó ìiðó BΩQ.
Òåïåð ìè ââîäèìî çáóðåííÿ ôîðìè. Ùîá ðîçãëÿäàòè îáëàñòi çìiííî¨
ôîðìè, ìè ôiêñó¹ìî ìíîæèíó òà ðîçãëÿäà¹ìî êëàñ äèôåîìîðôiçìiâ, ùî
äiþòü íà ¨¨ ìåæi. Òîäi çáóðåííÿ äèôåîìîðôiçìó ìîæíà ðîçãëÿäàòè ÿê
çáóðåííÿ îáëàñòi. Ç öi¹þ ìåòîþ ìè ôiêñó¹ìî íàñòóïíå
Íåõàé α P s0, 1r i íåõàé Ω ¹ îáìåæåíîþ âiäêðèòîþ çâ'ÿçíîþ
ïiäìíîæèíîþ Rn êëàñó C1,α òàêîþ ùî RnzΩ ¹ çâ'ÿçíîþ.
(2.3)
Ìè ïîçíà÷à¹ìî ÷åðåç ABΩ ìíîæèíó ôóíêöié êëàñó C1pBΩ,Rnq, ÿêi
¹ ií'¹êòèâíèìè òà ó ÿêèõ äèôåðåíöiàë ¹ ií'¹êòèâíèì â óñiõ òî÷êàõ BΩ.
Òîäi íàì çðó÷íî ïîçíà÷èòè ÷åðåçA rQ
BΩ ” tϕ P ABΩ : ϕpBΩq Ď rQu ìíîæèíó
äèôåîìîðôiçìiâ ç ABΩ, îáðàç ÿêèõ ìiñòèòüñÿ ó rQ (äèâ. Ðèñóíîê 2.1).
Ðèñ. 2.1. Äèôåîìîðôiçì ϕ P A rQ
BΩ â R2.
ßêùî ϕ P A rQ
BΩ, òî RnzϕpBΩq ì๠ðiâíî äâi âiäêðèòi çâ'ÿçíi êîìïîíåíòè,
i ìè ïîçíà÷à¹ìî îáìåæåíó ç íèõ ÿê Irϕs. Î÷åâèäíî, ùî ìíîæèíà
qIrϕs “ tqx : x P Irϕsu
ìiñòèòüñÿ ó ïåðiîäè÷íié êîìiðöi Q (äèâ. Ðèñóíîê 2.2).
Çàëåæíiñòü åôåêòèâíèõ âëàñòèâîñòåé âiä ðåãóëÿðíèõ çáóðåíü 63
Ðèñ. 2.2. Ïåðåòâîðåííÿ âèêëèêàíå q â R2.
Òîäi SqrqIrϕss òà SqrqIrϕss´ ¹ äâîìà íåîáìåæåíèìè òà ïåðiîäè÷íè-
ìè ìíîæèíàìè, ÿêi çàëåæàòü âiä pq, ϕq i ìîäåëþþòü ïåðiîäè÷íó ñòðóê-
òóðó îá'¹êòiâ, ðîçãëÿíóòèõ ó öié ñòàòòi (äèâ. Ðèñóíîê 2.3). ßêùî ìè
çìiíþ¹ìî åëåìåíòè q, öå ïðèçâåäå äî çìiíè ïåðiîäè÷íîñòi íàáîðiâ. Íà-
òîìiñòü, çìiíà ϕ âèêëèê๠çìiíè ó ôîðìi ïåðiîäè÷íèõ âêëþ÷åíü.
Ðèñ. 2.3. Ìíîæèíè SqrqIrϕss´, SqrqIrϕss, i qϕpBΩq â R2.
64 Ì. Äàëëà Ðiâà, Ï. Ëóööiíi, Ï. Ìóñîëiíî, Ð. Ïóõòà¹âè÷
3. Ñåðåäíié ïîçäîâæíié ïîòiê âçäîâæ ïåðiîäè÷íîãî ìàñèâó
öèëiíäðiâ
Öåé ðîçäië ïðèñâÿ÷åíî ïîçäîâæíüîìó ïîòîêó íüþòîíiâñüêî¨ ðiäèíè,
ùî òå÷å ïðè íèçüêèõ ÷èñëàõ Ðåéíîëüäñà âçäîâæ ïåðiîäè÷íîãî ìàñè-
âó öèëiíäðiâ. Ìè äîñëiäæó¹ìî âïëèâ çáóðåíü ñòðóêòóðè ïåðiîäè÷íîñòi
(ïåðiîäè÷íà êîìiðêà ¹ ïðÿìîêóòíèêîì ÿêèé àñîöiþ¹òüñÿ ç ìàòðèöåþ q)
òà ôîðìè ïîïåðå÷íîãî ïåðåðiçó öèëiíäðiâ (âèçíà÷à¹òüñÿ îáðàçîì ôi-
êñîâàíî¨ îáëàñòi ÷åðåç äèôåîìîðôiçì ϕ). Îñêiëüêè ïîïåðå÷íèé ïåðåðiç
öèëiíäðà ¹ äâîâèìiðíèì, ó öüîìó ðîçäiëi ìè ïîêëàäà¹ìî n “ 2 .
Äîäàòêîâî ïðèïóñòèâøè, ùî ãðàäi¹íò òèñêó ïàðàëåëüíèé öèëiíäðàì,
ïîëå øâèäêîñòi ì๠ëèøå îäíó íåíóëüîâó êîìïîíåíòó. Òîäi, iíòåãðóþ÷è
ïîçäîâæíþ êîìïîíåíòó ïîëÿ øâèäêîñòi ïî ôóíäàìåíòàëüíié êîìiðöi,
äëÿ êîæíî¨ ïàðè pq, ϕq ìè âèçíà÷à¹ìî ñåðåäí¹ çíà÷åííÿ ïîçäîâæíüî¨
êîìïîíåíòè øâèäêîñòi ïîòîêó Σrq, ϕs (äèâ. (3.2)). Çàçíà÷èìî, ùî Σrq, ϕs
¹ ìiðîþ êiëüêîñòi ðiäèíè, ùî òå÷å ÷åðåç îäíó ïåðiîäè÷íó êîìiðêó, ÿêó
iíîäi íàçèâàþòü ïîçäîâæíüîþ ïðîíèêíiñòþ ìàñèâó öèëiíäðiâ (àáî ¨¨
ïðîòèëåæíiñòþ, äèâ., íàïðèêëàä, Ìiòþøåâ òà Àäëåð [10,11]).
Òóò íàñ öiêàâèòü çàëåæíiñòü (ñåðåäíüî¨) ïîçäîâæíüî¨ øâèäêîñòi âiä
äîâæèíè ñòîðií ïðÿìîêóòíî¨ êîìiðêè òà ôîðìè ïîïåðå÷íîãî ïåðåðiçó
öèëiíäðiâ.
ßêùî q P D`
2 pRq òà ϕ P A rQ
BΩ, òî ìíîæèíà SqrqIrϕss ˆ R � íåñêií÷åí-
íèé ìàñèâ ïàðàëåëüíèõ öèëiíäðiâ. Íàòîìiñòü, ìíîæèíà SqrqIrϕss´ ˆ R
¹ îáëàñòþ, â ÿêié íüþòîíiâñüêà ðiäèíà òå÷å ïðè íèçüêèõ ÷èñëàõ Ðåé-
íîëüäñà. Ìè ïðèïóñêà¹ìî, ùî ãðàäi¹íò òèñêó, ÿêèé ïðèçâîäèòü äî ðóõó,
¹ ïîñòiéíèì i ïàðàëåëüíèì äî öèëiíäðiâ. ßê íàñëiäîê, âèêîðèñòîâóþ÷è
ñòàíäàðòíèé ïiäõiä, çàñíîâàíèé íà ñïåöèôi÷íié ãåîìåòði¨ çàäà÷i, ìè ìî-
æåìî ïåðåòâîðèòè ñèñòåìó Ñòîêñà â ðiâíÿííÿ Ïóàññîíà äëÿ íåíóëüîâî¨
êîìïîíåíòè ïîëÿ øâèäêîñòi. Áåç âòðàòè çàãàëüíîñòi ìè ìîæåìî ââàæà-
òè, ùî â'ÿçêiñòü ðiäèíè òà íåíóëüîâà êîìïîíåíòà ãðàäi¹íòà òèñêó ðiâíi
îäèíèöi. Âiäïîâiäíî, ÿêùî q P D`
2 pRq òà ϕ P A rQ
BΩ, òî çàäà÷à çâîäèòüñÿ
äî çàäà÷i Äiðiõëå äëÿ ðiâíÿííÿ Ïóàññîíà
$
’&
’%
∆u “ 1, â SqrqIrϕss´,
upx` qeiq “ upxq, @x P SqrqIrϕss´, @i P t1, 2u,
upxq “ 0, @x P BSqrqIrϕss´.
(3.1)
Çàäà÷à (3.1) ì๠¹äèíèé ðîçâ'ÿçîê â ïðîñòîði C1,α
q pSqrqIrϕss´q i ìè ïî-
çíà÷èìî éîãî ÿê urq, ϕs. Ç ôiçè÷íî¨ òî÷êè çîðó, ôóíêöiÿ urq, ϕs ïðåäñòàâ-
ëÿ¹ íåíóëüîâèé êîìïîíåíò âåêòîðíîãî ïîëÿ øâèäêîñòi (äèâ. Ìiòþøåâ
òà Àäëåð [10, �2]). Òîäi ìè ìîæåìî âèçíà÷èòè Σrq, ϕs ÿê iíòåãðàë øâèä-
êîñòi ïîòîêó urq, ϕs ïî ïåðiîäè÷íié êîìiðöi (äèâ. Ìiòþøåâ òà Àäëåð
Çàëåæíiñòü åôåêòèâíèõ âëàñòèâîñòåé âiä ðåãóëÿðíèõ çáóðåíü 65
[10, �3]), à ñàìå
Σrq, ϕs ” 1
|Q|2
ż
QzqIrϕs
urq, ϕspxq dx,
@pq, ϕq P D`
2 pRq ˆ
´
C1,αpBΩ,R2q X A rQ
BΩ
¯
.
(3.2)
 ðîáîòàõ [7,9] ìè äîñëiäæóâàëè âëàñòèâîñòi ðåãóëÿðíîñòi Σrq, ϕs ÿê
ôóíêöi¨ âiä pq, ϕq. Ñåðåä iíøèõ ðåçóëüòàòiâ, ìè äîâåëè, ùî âiäîáðàæåííÿ
pq, ϕq ÞÑ Σrq, ϕs ¹ àíàëiòè÷íèì, ïðî ùî ãîâîðèòü íàñòóïíà òåîðåìà.
Òåîðåìà 3.1. Íåõàé α, Ω âèçíà÷åíi â (2.3). Òîäi âiäîáðàæåííÿ ç
D`
2 pRq ˆ
´
C1,αpBΩ,R2q X A rQ
BΩ
¯
â R, ùî âiäîáðàæ๠ïàðó pq, ϕq â Σrq, ϕs, ¹ àíàëiòè÷íèì.
4. Åôåêòèâíà ïðîâiäíiñòü ïåðiîäè÷íîãî äâîõôàçíîãî
êîìïîçèòó ç iäåàëüíèìè óìîâàìè êîíòàêòó
Ó öüîìó ðîçäiëi ìè ðîçãëÿäà¹ìî åôåêòèâíó ïðîâiäíiñòü n-âèìiðíîãî
ïåðiîäè÷íîãî äâîõôàçíîãî êîìïîçèòó (n P t2, 3u) ç iäåàëüíèì êîíòàêòîì
íà ìåæi. Êîìïîçèò îòðèìó¹òüñÿ øëÿõîì ââåäåííÿ â îäíîðiäíó ìàòðè-
öþ ïåðiîäè÷íîãî íàáîðó âêëþ÷åíü äîñòàòíüî ãëàäêèõ ôîðì. ßê ìàòðè-
öÿ, òàê i ìíîæèíà âêëþ÷åíü, çàïîâíåíi äâîìà ðiçíèìè îäíîðiäíèìè òà
içîòðîïíèìè òåïëîïðîâiäíèìè ìàòåðiàëàìè ç ïðîâiäíîñòÿìè λ´ òà λ`
âiäïîâiäíî, äå pλ`, λ´q P r0,`8r2˚ ” r0,`8r2ztp0, 0qu. Ãðàíè÷íèé âèïà-
äîê ìàòåðiàëó ç íóëüîâîþ ïðîâiäíiñòþ âiäïîâiä๠òåïëîâîìó içîëÿòîðó.
Îòæå, ìè ïðèïóñêà¹ìî, ùî äâà ìàòåðiàëè íå ¹ îäíî÷àñíî içîëÿòîðàìè.
Ç iíøîãî áîêó, ÿêùî ïðîâiäíiñòü íàáëèæà¹òüñÿ äî `8, ìàòåðiàë ¹ iäå-
àëüíèì ïðîâiäíèêîì.
ßê âiäîìî, ìîæíà âèçíà÷èòè åôåêòèâíó òåïëîïðîâiäíiñòü êîìïîçè-
öiéíîãî ìàòåðiàëó, λeff,id, çà äîïîìîãîþ ðîçâ'ÿçêó çàäà÷i ïåðåäà÷i äëÿ
ðiâíÿííÿ Ëàïëàñà (äèâ. Îçíà÷åííÿ 4.1, Ìiòþøåâ, Îáíîñîâ, Ïåñåöüêàÿ,
Ðîãîçií [12, �5]). Åôåêòèâíó òåïëîïðîâiäíiñòü ìîæíà ðîçãëÿäàòè ÿê
òåïëîïðîâiäíiñòü îäíîðiäíîãî ìàòåðiàëó, ÷è¨ ãëîáàëüíi õàðàêòåðèñòèêè
òåïëîïðîâiäíèêà ¹ "åêâiâàëåíòíèìè"õàðàêòåðèñòèêàì êîìïîçèòà.
Ç ìåòîþ ââåäåííÿ âèçíà÷åííÿ åôåêòèâíî¨ ïðîâiäíîñòi ñïî÷àòêó íå-
îáõiäíî ââåñòè ñiì'þ êðàéîâèõ çàäà÷ äëÿ ðiâíÿííÿ Ëàïëàñà. ßêùî
q P Dǹ pRq, ϕ P C1,αpBΩ,Rnq X A rQ
BΩ i pλ`, λ´q P r0,`8r2˚, äëÿ êîæíîãî
j P t1, . . . , nu ìè ðîçãëÿíåìî íàñòóïíó çàäà÷ó ïåðåäà÷i äëÿ ïàðè ôóí-
êöié pu`
j , u
´
j q P C1,α
loc pSqrqIrϕssq ˆ C1,α
loc pSqrqIrϕss´q :
66 Ì. Äàëëà Ðiâà, Ï. Ëóööiíi, Ï. Ìóñîëiíî, Ð. Ïóõòà¹âè÷
$
’’’’’’’’’’’’’&
’’’’’’’’’’’’’%
∆u`
j “ 0 â SqrqIrϕss,
∆u´
j “ 0 â SqrqIrϕss´,
u`
j px` qehq “ u`
j pxq ` δhjqjj @x P SqrqIrϕss, @h P t1, . . . , nu,
u´
j px` qehq “ u´
j pxq ` δhjqjj @x P SqrqIrϕss´, @h P t1, . . . , nu,
λ` B
BνqIrϕsu
`
j ´ λ´ B
BνqIrϕsu
´
j “ 0 íà BqIrϕs,
u`
j ´ u´
j “ 0 íà BqIrϕs,
ş
BqIrϕs u
`
j dσ “ 0,
(4.1)
äå νqIrϕs � çîâíiøíÿ îäèíè÷íà íîðìàëü äî BqIrϕs. Íàãàäó¹ìî, ùî äëÿ
ph, jq P t1, . . . , nu2 ñèìâîë δhj ïîçíà÷๠ñèìâîë äåëüòà Êðîíåêåðà, òîìó
δhj “ 1 äëÿ h “ j i δhj “ 0 â iíøîìó âèïàäêó. Çàäà÷à (4.1) ì๠¹äèíèé
ðîçâ'ÿçîê pu`
j , u
´
j q â C1,α
loc pSqrqIrϕssqˆC1,α
loc pSqrqIrϕss´q, ÿêèé ìè ïîçíà÷è-
ìî ÿê pu`
j rq, ϕ, pλ`, λ´qs, u´
j rq, ϕ, pλ`, λ´qsq. Öåé ðîçâ'ÿçîê âèêîðèñòîâó-
¹òüñÿ äëÿ âèçíà÷åííÿ åôåêòèâíî¨ ïðîâiäíîñòi (äèâ., íàïðèêëàä, Ìiòþ-
øåâ, Îáíîñîâ, Ïåñåöüêàÿ òà Ðîãîçií [12, �5]).
Îçíà÷åííÿ 4.1. Íåõàé q P Dǹ pRq, ϕ P C1,αpBΩ,Rnq X A rQ
BΩ, i pλ`, λ´q P
r0,`8r2˚. Òîäi åôåêòèâíà ïðîâiäíiñòü
λeff,idrq, ϕ, pλ`, λ´qs ” pλeff,idij rq, ϕ, pλ`, λ´qsqi,j“1,...,n
¹ ìàòðèöåþ ðîçìiðîì nˆn ç åëåìåíòîì pi, jq, âèçíà÷åíèì íàñòóïíèì
÷èíîì
λeff,idij rq, ϕ, pλ`, λ´qs ” 1
|Q|n
#
λ`
ż
qIrϕs
B
Bxiu
`
j rq, ϕ, pλ`, λ´qspxq dx
` λ´
ż
QzqIrϕs
B
Bxiu
´
j rq, ϕ, pλ`, λ´qspxq dx
+
@i, j P t1, . . . , nu.
Àíàëîãi÷íî äî âèâ÷åííÿ ñåðåäíüîãî ïîçäîâæíüîãî ïîòîêó â ðîçäiëi
3, íàñ öiêàâèòü ôóíêöiÿ pq, ϕ, pλ`, λ´qq ÞÑ λeff,idij rq, ϕ, pλ`, λ´qs . Íàñòóï-
íèé ðåçóëüòàò [8, Òåîðåìà 5.1] îïèñó¹ ðåãóëÿðíiñòü ìàòðèöi åôåêòèâ-
íî¨ ïðîâiäíîñòi λeff,idrq, ϕ, pλ`, λ´qs êîìïîçèòó ç iäåàëüíèìè óìîâàìè çà
òðiéêîþ "ïåðiîäè÷íiñòü-ôîðìà-ïðîâiäíiñòü". Áiëüø äåòàëüíî, âií ïîêà-
çó¹, ùî åëåìåíò pi, jq ìàòðèöi λeff,idij rq, ϕ, pλ`, λ´qs ìîæå áóòè âèðàæåíèé
÷åðåç ïðîâiäíiñòü λ´ ìàòðèöi, ïðîâiäíiñòü λ` âêëþ÷åíü òà àíàëiòè÷íó
Çàëåæíiñòü åôåêòèâíèõ âëàñòèâîñòåé âiä ðåãóëÿðíèõ çáóðåíü 67
çàëåæíiñòü âiä ïåðiîäè÷íîñòi q, ôîðìè âêëþ÷åíü ϕ i ñïiââiäíîøåííÿ
λ`´λ´
λ``λ´ , ÿêå iíîäi íàçèâàþòü ïàðàìåòðîì êîíòðàñòó.
Òåîðåìà 4.1. Íåõàé α, Ω âèçíà÷åíi â (2.3). Íåõàé i, j P t1, . . . , nu.
Òîäi iñíó¹ âiäêðèòèé îêië U â Dǹ pRq ˆ
´
C1,αpBΩ,Rnq X A rQ
BΩ
¯
ˆ r´1, 1s
ïðîñòîðó Dǹ pRqˆ
´
C1,αpBΩ,Rnq X A rQ
BΩ
¯
ˆR òà àíàëiòè÷íà ôóíêöiÿ Λij
ç U â R, òàêà ùî λeff,idij rq, ϕ, pλ`, λ´qs ” δijλ
´`pλ``λ´qΛij
”
q, ϕ, λ
`´λ´
λ``λ´
ı
äëÿ âñiõ pq, ϕ, pλ`, λ´qq P Dǹ pRq ˆ
´
C1,αpBΩ,Rnq X A rQ
BΩ
¯
ˆ r0,`8r2˚.
Âàðòî çãàäàòè, ùî â ðîáîòi [14] ÷åòâåðòèé àâòîð ÿâíî îá÷èñëèâ åôå-
êòèâíó òåïëîïðîâiäíiñòü ïåðiîäè÷íîãî ðîçðiäæåíîãî êîìïîçèòó ç iäå-
àëüíèì êîíòàêòîì ó âèãëÿäi ðÿäó ïî ðîçìiðó âêëþ÷åíü (äèâ. òàêîæ
[13]).
5. Åôåêòèâíà ïðîâiäíiñòü ïåðiîäè÷íîãî äâîõôàçíîãî
êîìïîçèòó ç íåiäåàëüíèìè óìîâàìè êîíòàêòó
Òåïåð ìè çâåðòà¹ìîñÿ äî âèâ÷åííÿ åôåêòèâíî¨ òåïëîïðîâiäíîñòi n-
âèìiðíîãî ïåðiîäè÷íîãî äâîôàçíîãî êîìïîçèòó (n P t2, 3u) ç íåäîñêîíà-
ëèì (àáî íåiäåàëüíèì) êîíòàêòîì íà ìåæi.
ßê ìàòðèöÿ, òàê i ìíîæèíà ïåðiîäè÷íèõ âêëþ÷åíü çàïîâíåíi äâî-
ìà îäíîðiäíèìè òà içîòðîïíèìè òåïëîïðîâiäíèìè ìàòåðiàëàìè ç òåïëî-
ïðîâiäíiñòþ λ´ òà λ`, âiäïîâiäíî, äå pλ`, λ´q P s0,`8r2. Íîðìàëüíà
êîìïîíåíòà òåïëîâîãî ïîòîêó ââàæà¹òüñÿ íåïåðåðâíîþ íà äâîôàçíîìó
iíòåðôåéñi, òîäi ÿê ìè íàêëàäà¹ìî óìîâó, ùî òåìïåðàòóðíå ïîëå ìà¹
ñòðèáîê, ïðîïîðöiéíèé íîðìàëüíîìó òåïëîâîìó ïîòîêó, çà äîïîìîãîþ
ïàðàìåòðà r P r0,`8r . Äëÿ çðó÷íîñòi, ìè ââåäåìî íàñòóïíå ïîçíà÷åí-
íÿ P ” s0,`8r2 ˆ r0,`8r. Íåõàé q P Dǹ pRq, ϕ P C1,αpBΩ,Rnq X A rQ
BΩ,pλ`, λ´, rq P P. Äëÿ âèçíà÷åííÿ åôåêòèâíî¨ ïðîâiäíîñòi â íåiäåàëüíîìó
âèïàäêó ðîçãëÿíåìî íàñòóïíó êðàéîâó çàäà÷ó:
$
’’’’’’’’’’’’’&
’’’’’’’’’’’’’%
∆u`
j “ 0 â SqrqIrϕss,
∆u´
j “ 0 â SqrqIrϕss´,
u`
j px` qehq “ u`
j pxq ` δhjqjj @x P SqrqIrϕss, @h P t1, . . . , nu,
u´
j px` qehq “ u´
j pxq ` δhjqjj @x P SqrqIrϕss´, @h P t1, . . . , nu,
λ` B
BνqIrϕsu
`
j ´ λ´ B
BνqIrϕsu
´
j “ 0 íà BqIrϕs,
λ` B
BνqIrϕsu
`
j ` r
`
u`
j ´ u´
j
˘ “ 0 íà BqIrϕs,
ş
BqIrϕs u
`
j dσ “ 0,
(5.1)
68 Ì. Äàëëà Ðiâà, Ï. Ëóööiíi, Ï. Ìóñîëiíî, Ð. Ïóõòà¹âè÷
äå j P t1, . . . , nu. Çàäà÷à (5.1) ì๠¹äèíèé ðîçâ'ÿçîê pu`
j , u
´
j q ó ïðîñòîði
C1,α
loc pSqrqIrϕssq ˆ C1,α
loc pSqrqIrϕss´q, ÿêèé ìè ïîçíà÷à¹ìî ÿê
pu`
j rq, ϕ, λ`, λ´, rs, u´
j rq, ϕ, λ`, λ´, rsq .
Òîäi, åôåêòèâíó ïðîâiäíiñòü ìîæíà âèçíà÷èòè íàñòóïíèì ÷èíîì.
Îçíà÷åííÿ 5.1. Íåõàé q P Dǹ pRq, ϕ P C1,αpBΩ,Rnq X A rQ
BΩ, ipλ`, λ´, rq P P. Òîäi åôåêòèâíà ïðîâiäíiñòü
λeff,nonidrq, ϕ, λ`, λ´, rs ” pλeffij rq, ϕ, λ`, λ´, rsqi,j“1,...,n
¹ nˆ n ìàòðèöåþ, äå åëåìåíò pi, jq âèçíà÷à¹òüñÿ íàñòóïíèì ÷èíîì:
λeff,nonidij rq, ϕ, λ`, λ´, rs ” 1
|Q|n
#
λ`
ż
qIrϕs
B
Bxiu
`
j rq, ϕ, λ`, λ´, rspxq dx
` λ´
ż
QzqIrϕs
B
Bxiu
´
j rq, ϕ, λ`, λ´, rspxq dx
+
,
@i, j P t1, . . . , nu.
Íàñòóïíèé ðåçóëüòàò (äèâ. [4]) îïèñó¹ ðåãóëÿðíiñòü âiäîáðàæåííÿ
pq, ϕ, λ`, λ´, rq ÞÑ λeff,nonidrq, ϕ, λ`, λ´, rs .
Òåîðåìà 5.1. Íåõàé α, Ω âèçíà÷åíi â (2.3). Íåõàé i, j P t1, . . . , nu. Òîäi
iñíó¹ âiäêðèòèé îêië V ìíîæèíè Dǹ pRq ˆ
´
C1,αpBΩ,Rnq X A rQ
BΩ
¯
ˆ P ó
ïðîñòîði Dǹ pRq ˆ
´
C1,αpBΩ,Rnq X A rQ
BΩ
¯
ˆ R3, òà àíàëiòè÷íå âiäîáðà-
æåííÿ Λij ç V â R, òàêå ùî
λeff,nonidij rq, ϕ, λ`, λ´, rs ” δijλ
´ ` Λij
“
q, ϕ, λ`, λ´, r
‰
äëÿ âñiõ pq, ϕ, λ`, λ´, rq P Dǹ pRq ˆ
´
C1,αpBΩ,Rnq X A rQ
BΩ
¯
ˆ P.
Çàçíà÷èìî, ùî êîìïîçèòè ç óìîâàìè êîíòàêòó, âiäìiííèìè âiä iäåàëü-
íèõ, âèâ÷àþòüñÿ, çîêðåìà, ó ïðàöÿõ Äðè àñà òà Ìiòþøåâà [5], Êàñòðî,
Êàïàíàäçå òà Ïåñåòñüêî¨ [1]. Òàêîæ âàðòî çàçíà÷èòè, ùî àñèìïòîòè-
÷íó ïîâåäiíêó åôåêòèâíî¨ òåïëîïðîâiäíîñòi ïåðiîäè÷íîãî ðîçðiäæåíîãî
êîìïîçèòó ç íåäîñêîíàëèì êîíòàêòîì áóëî äîñëiäæåíî â [2, 3].
Çàëåæíiñòü åôåêòèâíèõ âëàñòèâîñòåé âiä ðåãóëÿðíèõ çáóðåíü 69
Ëiòåðàòóðà
[1] L. P. Castro, D. Kapanadze½ E. Pesetskaya. E�ective conductivity of a composite
material with sti� imperfect contact conditions. Mathematical Methods in the Appli-
ed Sciences, 38(18):4638�4649, 2015. doi:10.1002/mma.3423.
[2] M. Dalla Riva, P. Musolino. A singularly perturbed nonideal transmission problem
and application to the e�ective conductivity of a periodic composite. SIAM J. Appl.
Math., 73(1):24�46, 2013. doi:10.1137/120886637.
[3] M. Dalla Riva, P. Musolino½ R. Pukhtaievych. Series expansion for the e�ective
conductivity of a periodic dilute composite with thermal resistance at the two-phase
interface. Asymptotic Analysis, 111(3-4):217�250, February 2019. doi:10.3233/asy-
181495.
[4] M. Dalla Riva, P Paolo Luzzini, P. Musolino½ R. Pukhtaievych. Chapter 14 -
dependence of e�ective properties upon regular perturbations. In Igor Andri-
anov, Simon Gluzman½ Vladimir Mityushev, editors, Mechanics and Physics of
Structured Media, pages 271�301. Academic Press, 2022. doi:10.1016/B978-0-32-
390543-5.00019-0.
[5] P. Dryga�s, V. Mityushev. E�ective conductivity of unidirectional cylinders
with interfacial resistance. Q. J. Mech. Appl. Math., 62(3):235�262, 2009.
doi:10.1093/qjmam/hbp010.
[6] D. Gilbarg, N. S. Trudinger. Elliptic partial di�erential equations of second order,
volume 224 of Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Pri-
nciples of Mathematical Sciences]. Springer-Verlag, Berlin, second edition, 1983.
doi:10.1007/978-3-642-61798-0.
[7] P. Luzzini, P. Musolino. Perturbation analysis of the e�ective conductivity of
a periodic composite. Networks and Heterogeneous Media, 15(4):581�603, 2020.
doi:10.3934/nhm.2020015.
[8] P. Luzzini, P. Musolino. Perturbation analysis of the e�ective conductivity of
a periodic composite. Networks and Heterogeneous Media, 15(4):581�603, 2020.
doi:10.3934/nhm.2020015.
[9] P. Luzzini, P. Musolino½ R. Pukhtaievych. Shape analysis of the longitudinal �ow
along a periodic array of cylinders. Journal of Mathematical Analysis and Applicati-
ons, 477(2):1369�1395, 2019. doi:10.1016/j.jmaa.2019.05.017.
[10] V. Mityushev, P. M. Adler. Longitudinal permeability of spatially periodic
rectangular arrays of circular cylinders. I. A single cylinder in the unit
cell. ZAMM Z. Angew. Math. Mech., 82(5):335�345, 2002. doi:10.1002/1521-
4001(200205)82:5<335::AID-ZAMM335>3.0.CO;2-D.
[11] V. Mityushev, P. M. Adler. Longitudinal permeability of spatially periodic
rectangular arrays of circular cylinders. II. An arbitrary distribution of cylinders
inside the unit cell. Z. Angew. Math. Phys., 53(3):486�517, 2002. doi:10.1007/s00033-
002-8164-5.
[12] V. Mityushev, Yu. Obnosov, E. Pesetskaya½ S. Rogosin. Analytical methods for heat
conduction in composites. Math. Model. Anal., 13(1):67�78, 2008. doi:10.3846/1392-
6292.2008.13.67-78.
[13] R. Pukhtaievych. Asymptotic behavior of the solution of singularly perturbed
transmission problems in a periodic domain. Math. Methods Appl. Sci., 41(9):3392�
3413, 2018. doi:10.1002/mma.4832.
70 Ì. Äàëëà Ðiâà, Ï. Ëóööiíi, Ï. Ìóñîëiíî, Ð. Ïóõòà¹âè÷
[14] R. Pukhtaievych. E�ective conductivity of a periodic dilute composite with perfect
contact and its series expansion. Zeitschrift f�ur angewandte Mathematik und Physik,
69(3):83, May 2018. doi:10.1007/s00033-018-0976-z.
Matteo Dalla Riva
Department of Engineering, University of Palermo, 8, Viale delle Scienze,
90128 Palermo, Italy
Email: matteo.dallariva@unipa.it
ORCID: 0000-0002-5519-3327
Paolo Luzzini
Department of Science, Technology, and Innovation, University of Eastern
Piedmont �Amedeo Avogadro�, 11, Viale Teresa Michel, 15121 Alessandria,
Italy
Email: paolo.luzzini@uniupo.it
ORCID: 0000-0002-0765-001X
Paolo Musolino
Department of Mathematics �Tullio Levi-Civita�, University of Padova, 63,
Via Trieste, 35121 Padova, Italy
Email: paolo.musolino@unipd.it
ORCID: 0000-0001-7366-5124
Roman Pukhtaievych
Department of Complex Analysis and Potential Theory, Institute of Mathemati-
cs of the National Academy of Sciences of Ukraine, 3, Tereshchenkivska
St., 01004 Kyiv, Ukraine
Email: rpukhtaievych@gmail.com
ORCID: 0000-0002-7279-8213
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-540 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:09:06Z |
| publishDate | 2025 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/ba/018d3397b780dd14f9d5b0289ac9d8ba.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-5402026-02-24T12:22:41Z Dependence of effective properties on regular perturbations Залежність ефективних властивостей від регулярних збурень Dalla Riva, Matteo Luzzini, Paolo Musolino, Paolo Pukhtaievych, Roman Далла Ріва, Маттео Луцціні, Паоло Мусоліно, Паоло Пухтаєвич, Роман In this review, we present some of our results on the behavior of the effective properties in the presence of perturbations of the geometric and physical parameters. We will first show that the average longitudinal flow of a Newtonian fluid flowing at low Reynolds numbers around a periodic array of cylinders depends analytically on the perturbations of the periodicity structure and the cross section of the cylinders. Next, we will show the analytical dependence of the effective conductivity of a periodic two-phase composite with ideal and non-ideal contacts at the interface on the perturbations of the shape of the inclusions, the periodicity structure, and the conductivity of each material. У цьому огляді ми представляємо деякі наші результати щодо поведінки ефективних властивостей за наявності збурень геометричних і фізичних параметрів. Ми спочатку покажемо, що середній поздовжній потік ньютонівської рідини, що тече з низькими числами Рейнольдса навколо періодичного масиву циліндрів, аналітично залежить від збурень структури періодичності та поперечного перерізу циліндрів. Далі ми покажемо аналітичну залежність ефективної провідності періодичного двофазного композиту з ідеальним і неідеальним контактами на межі від збурень форми включень, структури періодичності та провідності кожного матеріалу. Інститут математики НАН України 2025-08-18 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/540 10.3842/trim.v21n1.540 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 21 No. 1 (2024): Special Issue "Actual problems of modern mathematics: methods, models and applications"; 59-70 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 21 № 1 (2024): Спеціальний номер "Актуальні проблеми сучасної математики: методи, моделі та застосування" ; 59-70 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 21 № 1 (2024): Спеціальний номер "Актуальні проблеми сучасної математики: методи, моделі та застосування" ; 59-70 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/540/523 Авторське право (c) 2024 Маттео Далла Ріва, Паоло Луцціні, Паоло Мусоліно, Роман Пухтаєвич http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Dalla Riva, Matteo Luzzini, Paolo Musolino, Paolo Pukhtaievych, Roman Далла Ріва, Маттео Луцціні, Паоло Мусоліно, Паоло Пухтаєвич, Роман Dependence of effective properties on regular perturbations |
| title | Dependence of effective properties on regular perturbations |
| title_alt | Залежність ефективних властивостей від регулярних збурень |
| title_full | Dependence of effective properties on regular perturbations |
| title_fullStr | Dependence of effective properties on regular perturbations |
| title_full_unstemmed | Dependence of effective properties on regular perturbations |
| title_short | Dependence of effective properties on regular perturbations |
| title_sort | dependence of effective properties on regular perturbations |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/540 |
| work_keys_str_mv | AT dallarivamatteo dependenceofeffectivepropertiesonregularperturbations AT luzzinipaolo dependenceofeffectivepropertiesonregularperturbations AT musolinopaolo dependenceofeffectivepropertiesonregularperturbations AT pukhtaievychroman dependenceofeffectivepropertiesonregularperturbations AT dallarívamatteo dependenceofeffectivepropertiesonregularperturbations AT luccínípaolo dependenceofeffectivepropertiesonregularperturbations AT musolínopaolo dependenceofeffectivepropertiesonregularperturbations AT puhtaêvičroman dependenceofeffectivepropertiesonregularperturbations AT dallarivamatteo zaležnístʹefektivnihvlastivostejvídregulârnihzburenʹ AT luzzinipaolo zaležnístʹefektivnihvlastivostejvídregulârnihzburenʹ AT musolinopaolo zaležnístʹefektivnihvlastivostejvídregulârnihzburenʹ AT pukhtaievychroman zaležnístʹefektivnihvlastivostejvídregulârnihzburenʹ AT dallarívamatteo zaležnístʹefektivnihvlastivostejvídregulârnihzburenʹ AT luccínípaolo zaležnístʹefektivnihvlastivostejvídregulârnihzburenʹ AT musolínopaolo zaležnístʹefektivnihvlastivostejvídregulârnihzburenʹ AT puhtaêvičroman zaležnístʹefektivnihvlastivostejvídregulârnihzburenʹ |