Extremal decomposition of the complex plane with free poles on the unit circle
This paper is an attempt to follow the path taken by the open problem of V.N. Dubinin on extremal decomposition of the complex plane with free poles on the unit circle. Currently, the problem is not completely solved. In this work, its partial solution for $n\geqslant40$ is obtained for the case of...
Saved in:
| Date: | 2025 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2025
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/541 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872553046562570240 |
|---|---|
| author | Denega, Iryna Zabolotnyi, Yaroslav Денега, Ірина Заболотний, Ярослав |
| author_facet | Denega, Iryna Zabolotnyi, Yaroslav Денега, Ірина Заболотний, Ярослав |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Ірина Денега",
"institution": "Інститут математики НАН України"
},
{
"author": "Ярослав Заболотний",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Denega, Iryna |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2026-02-24T12:22:41Z |
| description | This paper is an attempt to follow the path taken by the open problem of V.N. Dubinin on extremal decomposition of the complex plane with free poles on the unit circle. Currently, the problem is not completely solved. In this work, its partial solution for $n\geqslant40$ is obtained for the case of simply connected domains. |
| doi_str_mv | 10.3842/trim.v21n1.541 |
| first_indexed | 2026-08-04T01:09:06Z |
| format | Article |
| fulltext |
Çáiðíèê ïðàöü Ií-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè (2024) ò. 21, �1, 71�81
Åêñòðåìàëüíå ðîçáèòòÿ êîìïëåêñíî¨
ïëîùèíè ç âiëüíèìè ïîëþñàìè
íà îäèíè÷íîìó êîëi
I. Â. Äåíåãà, ß. Â. Çàáîëîòíèé
Abstract. This paper is an attempt to follow the path taken by the open
problem of V.N. Dubinin on extremal decomposition of the complex plane
with free poles on the unit circle. Currently, the problem is not completely
solved. In this work, its partial solution for n ě 40 is obtained for the case
of simply connected domains.
Àíîòàöiÿ. Öÿ ñòàòòÿ ¹ ñïðîáîþ ïðîñëiäêóâàòè øëÿõ, ÿêèé ïðîéøëà
âiäêðèòà ïðîáëåìà Â.Ì. Äóáiíiíà ïðî åêñòðåìàëüíå ðîçáèòòÿ êîìïëå-
êñíî¨ ïëîùèíè ç âiëüíèìè ïîëþñàìè íà îäèíè÷íîìó êîëi. Íà äàíèé
÷àñ öÿ ïðîáëåìà ïîâíiñòþ íå ðîçâ'ÿçàíà. Ó äàíié ðîáîòi îäåðæàíî ¨¨
÷àñòêîâèé ðîçâ'ÿçîê ïðè n ě 40 äëÿ âèïàäêó îäíîçâ'ÿçíèõ îáëàñòåé.
1. Ôîðìóëþâàííÿ ïðîáëåìè òà âiäîìi ðåçóëüòàòè
Íåõàé N i R � ìíîæèíè íàòóðàëüíèõ i äiéñíèõ ÷èñåë, âiäïîâiäíî, C �
êîìïëåêñíà ïëîùèíà, C “ C
Ťt8u � ðîçøèðåíà êîìïëåêñíà ïëîùèíà,
U “ tz : |z| ă 1u � âiäêðèòèé îäèíè÷íèé êðóã.
Íåõàé ôóíêöiÿ fpzq, ìåðîìîðôíà â êðóçi U , îäíîëèñòî âiäîáðàæà¹
äàíèé êðóã íà îáëàñòü B Ă C òàê, ùî fp0q “ a, äå a P B i a ‰ 8.
Îçíà÷åííÿ 1.1. Âåëè÷èíà |f 1p0q| íàçèâà¹òüñÿ êîíôîðìíèì ðàäióñîì
îáëàñòi B â òî÷öi a.
Êîíôîðìíèé ðàäióñ îáëàñòi B â òî÷öi a áóäåìî ïîçíà÷àòè RpB, aq.
Äëÿ áàãàòîçâ'ÿçíèõ îáëàñòåé àíàëîãîì ïîíÿòòÿ êîíôîðìíîãî ðàäióñà
¹ ïîíÿòòÿ âíóòðiøíüîãî ðàäióñà [11,13,16,17,22].
Îçíà÷åííÿ 1.2. Ôóíêöi¹þ Ãðiíà gBpz, aq îáëàñòi B ç ïîëþñîì â ñêií-
÷åííié òî÷öi a P B íàçèâà¹òüñÿ äiéñíà ôóíêöiÿ, ãàðìîíi÷íà ïî z â Bza,
This work was supported by grants from the Simons Foundation (1290607, I.V.D.,
Y.V.Z.)
2020 Mathematics Subject Classi�cation: 30C75
Êëþ÷îâi ñëîâà: êîíôîðìíèé i âíóòðiøíié ðàäióñ îáëàñòi, ôóíêöiîíàë, êâàäðàòè-
÷íèé äèôåðåíöiàë
DOI : https://doi.org/10.3842/trim.v21n1.541
71
72 I. Â. Äåíåãà, ß. Â. Çàáîëîòíèé
ÿêà ïðÿìó¹ äî íóëÿ, êîëè z ïðÿìó¹ äî ìåæi B, i äëÿ ÿêî¨ â äåÿêîìó îêî-
ëi òî÷êè a ïðàâèëüíèé àñèìïòîòè÷íèé ðîçêëàä:
gBpz, aq “ ´ ln |z ´ a| ` γ ` op1q, z Ñ a.
Îçíà÷åííÿ 1.3. Âíóòðiøíiì ðàäióñîì rpB, aq îáëàñòi B âiäíîñíî ñêií-
÷åííî¨ òî÷êè a íàçèâà¹òüñÿ âåëè÷èíà eγ.
Âiäçíà÷èìî, ùî äëÿ îäíîçâ'ÿçíèõ îáëàñòåé âíóòðiøíié ðàäióñ îáëàñòi
äîðiâíþ¹ ¨¨ êîíôîðìíîìó ðàäióñó.
Îçíà÷åííÿ 1.4. Íåõàé B � îáëàñòü ðîçøèðåíî¨ êîìïëåêñíî¨ ïëîùèíè
Cz. Ïiä êâàäðàòè÷íèì äèôåðåíöiàëîì â B ðîçóìiòèìåìî ñèìâîë
Qpzqdz2, (1.1)
äå Qpzq � ôóíêöiÿ, ìåðîìîðôíà â B (äèâ. [11, 12,14,16,17]).
Îçíà÷åííÿ 1.5. Ñêií÷åííà òî÷êà z0 P B íàçèâà¹òüñÿ íóëåì àáî ïî-
ëþñîì ïîðÿäêó n äèôåðåíöiàëà (1.1), ÿêùî âîíà ¹ íóëåì àáî ïîëþñîì
ôóíêöi¨ Qpzq.
Îçíà÷åííÿ 1.6. Êðóãîâîþ îáëàñòþ êâàäðàòè÷íîãî äèôåðåíöiàëà
Qpzqdz2 íàçèâà¹òüñÿ îäíîçâ'ÿçíà îáëàñòü G Ă Cz, ÿêà ìiñòèòü ¹äè-
íèé ïîëþñ äðóãîãî ïîðÿäêó öüîãî êâàäðàòè÷íîãî äèôåðåíöiàëà â òî÷öi
w “ a P G, òàêà, ùî ïðè êîíôîðìíîìó îäíîëèñòîìó âiäîáðàæåííi
w “ fpzq (fpaq “ 0) îáëàñòi G íà îäèíè÷íèé êðóã ïëîùèíè Cw, äiéñíà
òîòîæíiñòü
Qpzqdz2 ” ´kdw
2
w2
, k P R` “ p0,8q.
 äàíié ðîáîòi äîñëiäæó¹òüñÿ íàñòóïíà ïðîáëåìà.
Ïðîáëåìà 1. [11] Ïðè âñiõ çíà÷åííÿõ ïàðàìåòðà γ P p0, ns ïîêàçàòè,
ùî ìàêñèìóì ôóíêöiîíàëà
Inpγq “ rγ pB0, 0q
nź
k“1
r pBk, akq ,
äå B0, B1, B2, . . . , Bn, n ě 2, � îáëàñòi, ùî âçà¹ìíî íå ïåðåòèíàþòüñÿ,
â C, a0 “ 0, |ak| “ 1, k “ 1, n, äîñÿãà¹òüñÿ äëÿ êîíôiãóðàöi¨ ç îáëàñòåé
Bk i òî÷îê ak, ÿêi âîëîäiþòü n-êðàòíîþ ñèìåòði¹þ.
Öÿ ïðîáëåìà áóëà ñôîðìóëüîâàíà â ÿêîñòi âiäêðèòî¨ â 1994 ðîöi ó
ðîáîòi [18] (äèâ. òàêîæ [11]). Íà äàíèé ÷àñ âîíà ïîâíiñòþ íå ðîçâ'ÿçàíà,
¨¨ ÷àñòêîâi âèïàäêè âèâ÷àëèñÿ â áàãàòüîõ ðîáîòàõ. Ó ñòàòòi [18] ñôîð-
ìóëüîâàíà âèùå çàäà÷à áóëà ðîçâ'ÿçàíà äëÿ çíà÷åííÿ ïàðàìåòðà γ “ 1
Åêñòðåìàëüíå ðîçáèòòÿ êîìïëåêñíî¨ ïëîùèíè ç âiëüíèìè ïîëþñàìè 73
i âñiõ çíà÷åíü íàòóðàëüíîãî ïàðàìåòðà n ě 2. À ñàìå, áóëî ïîêàçàíî,
ùî ïðè ¨¨ óìîâàõ ñïðàâåäëèâà íåðiâíiñòü
rpB0, 0q
nź
k“1
rpBk, akq ď r pD0, 0q
nź
k“1
r pDk, dkq ,
äå dk, Dk, k “ 0, n, � ïîëþñè òà êðóãîâi îáëàñòi êâàäðàòè÷íîãî äèôå-
ðåíöiàëà
Qpwqdw2 “ ´pn2 ´ 1qwn ` 1
w2pwn ´ 1q2 dw2.
Ë.Â. Êîâàëüîâ â 1996 ðîöi â ðîáîòi [20] îòðèìàâ ðîçâ'ÿçîê öi¹¨ çàäà÷i
ïðè äîñèòü æîðñòêèõ îáìåæåííÿõ íà ðîçòàøóâàííÿ ñèñòåì òî÷îê íà
îäèíè÷íîìó êîëi, à ñàìå, äëÿ òàêèõ ñèñòåì òî÷îê, äëÿ ÿêèõ âèêîíóþòüñÿ
íàñòóïíi óìîâè
0 ă αk ď 2{?
γ, k “ 1, n, n ě 5,
äå αk “ arg ak`1 ´ arg ak, arg an`1 :“ arg a1. Ïiçíiøå â [2] áóëî ïîêà-
çàíî, ùî ðåçóëüòàò Ë.Â. Êîâàëüîâà ñïðàâåäëèâèé i ïðè n “ 4. Â 2003
ðîöi â [21] îäåðæàíî ðîçâ'ÿçîê ïðîáëåìè 1 äëÿ γ P p0, 1s. Äàëi, â ìîíî-
ãðàôi¨ [16] 2008 ðîêó áóëî ïîêàçàíî, ùî àíàëîã ðåçóëüòàòà Â.Ì. Äóái-
íiíà [18] âèêîíó¹òüñÿ äëÿ äîâiëüíîãî γ P R`, àëå ïî÷èíàþ÷è ç äåÿêîãî
íåâiäîìîãî íîìåðà n0pγq. Òàêîæ â [16] áóâ çàïðîïîíîâàíèé ìåòîä "êå-
ðóþ÷èõ" ôóíêöiîíàëiâ, ÿêèé äîçâîëÿ¹ ïîñëàáèòè âèìîãè íà ãåîìåòðiþ
ðîçòàøóâàííÿ ñèñòåì òî÷îê.
Íàäàëi äîñëiäæåííÿ ïðîáëåìè 1 ðîçâèâàëîñÿ â îñíîâíîìó â òðüîõ íà-
ïðÿìêàõ. Ïåðøèì ç äàíèõ íàïðÿìêiâ áóëî äîñëiäæåííÿ äàíî¨ ïðîáëåìè
äëÿ êîíêðåòíèõ çíà÷åíü íàòóðàëüíîãî ïàðàìåòðà n.
Íåõàé
I0npγq “
ˆ
4
n
˙n
´
4γ
n2
¯ γ
n
`
1 ´ γ
n2
˘n` γ
n
˜
1 ´
?
γ
n
1 `
?
γ
n
¸2
?
γ
. (1.2)
Ó ðîáîòi [3] îäåðæàíî ðîçâ'ÿçîê ïðîáëåìè 1 ïðè n “ 2.
Òåîðåìà 1.1 ([3]). Íåõàé γ P p1, 2s. Òîäi äëÿ äîâiëüíèõ ðiçíèõ òî÷îê
a1 i a2 îäèíè÷íîãî êîëà i äîâiëüíèõ îáëàñòåé, ùî âçà¹ìíî íå ïåðåòè-
íàþòüñÿ, B0, B1, B2, a0 “ 0 P B0 Ă C, a1 P B1 Ă C, a2 P B2 Ă C,
ñïðàâåäëèâà íåðiâíiñòü
rγ pB0, 0q r pB1, a1q r pB2, a2q ď I02 pγq
ˆ
1
2
|a1 ´ a2|
˙2´γ
.
Çíàê ðiâíîñòi â öié íåðiâíîñòi äîñÿãà¹òüñÿ, êîëè òî÷êè a0, a1, a2 é
îáëàñòi B0, B1, B2, ¹, âiäïîâiäíî, ïîëþñàìè i êðóãîâèìè îáëàñòÿìè
74 I. Â. Äåíåãà, ß. Â. Çàáîëîòíèé
êâàäðàòè÷íîãî äèôåðåíöiàëà
Qpwqdw2 “ ´p4 ´ γqw2 ` γ
w2pw2 ´ 1q2 dw2. (1.3)
Ïðè n “ 2 i γ P p0, 2s ðîçãëÿäàëàñÿ òàêîæ äåùî çàãàëüíiøà çàäà÷à ïðî
ìàêñèìóì ôóíêöiîíàëà I2pγq äëÿ äîâiëüíèõ ôiêñîâàíèõ òî÷îê a1, a2 P
Czt0u êîìïëåêñíî¨ ïëîùèíè. Òîäi ñïðàâåäëèâèé òàêèé ðåçóëüòàò.
Òåîðåìà 1.2 ([3]). Íåõàé γ P p0, 2s. Òîäi äëÿ äîâiëüíèõ ðiçíèõ òî÷îê
A2 “ ta1, a2u P Czt0u, òàêèõ, ùî
|a1a2| ď 1,
ˆ
1
2
|a1 ´ a2|
˙2´γ
ď 1,
i áóäü-ÿêèõ îáëàñòåé, ùî âçà¹ìíî íå ïåðåòèíàþòüñÿ, B0, B1, B2, a0 “
0 P B0 Ă C, a1 P B1 Ă C, a2 P B2 Ă C, ñïðàâåäëèâà íåðiâíiñòü
rγ pB0, 0q r pB1, a1q r pB2, a2q ď 4γ
γ
2
`
1 ´ γ
4
˘2` γ
2
˜
1 ´
?
γ
2
1 `
?
γ
2
¸2
?
γ
.
Çíàê ðiâíîñòi â öié íåðiâíîñòi äîñÿãà¹òüñÿ, êîëè òî÷êè a0, a1, a2 é
îáëàñòi B0, B1, B2, ¹, âiäïîâiäíî, ïîëþñàìè i êðóãîâèìè îáëàñòÿìè
êâàäðàòè÷íîãî äèôåðåíöiàëà (1.3).
Äëÿ çíà÷åíü n “ 3 i n “ 4 íàéêðàùi íà äàíèé ìîìåíò ðåçóëüòàòè
áóëè îòðèìàíi â ðîáîòi [1].
Äðóãèì íàïðÿìêîì â äîñëiäæåííi ïðîáëåìè 1 áóâ ïîøóê ¨¨ ðîçâ'ÿçàííÿ
ç äåÿêèìè äîäàòêîâèìè îáìåæåííÿìè íà ñèñòåìè îáëàñòåé i òî÷îê.
Âèêîðèñòîâóþ÷è ðåçóëüòàò òåîðåìè 1.1, áóëî îòðèìàíî òàêó îöiíêó
çâåðõó ôóíêöiîíàëà Inpγq.
Òåîðåìà 1.3 ([3]). Íåõàé n P N, n ě 3, γ P p1, ns. Òîäi äëÿ áóäü-ÿêî¨
ñèñòåìè ðiçíèõ òî÷îê An “ takunk“1 îäèíè÷íîãî êîëà i áóäü-ÿêîãî íàáî-
ðó îáëàñòåé, ùî âçà¹ìíî íå ïåðåòèíàþòüñÿ, B0, Bk, a0 “ 0 P B0 Ă C,
ak P Bk Ă C, k “ 1, n, ñïðàâåäëèâà íåðiâíiñòü
rγpB0, 0q
nź
k“1
rpBk, akq ď
´
sin
π
n
¯n´γ ˆ
I02
ˆ
2γ
n
˙˙n
2
.
Íàñòóïíà òåîðåìà ä๠÷àñòêîâèé ðîçâ'ÿçîê ïðîáëåìè 1 äëÿ n ě 4,
γ P p1, ns, îäíàê ïðè äåÿêîìó îáìåæåííi íà âíóòðiøíié ðàäióñ îáëàñòi,
ÿêà ìiñòèòü òî÷êó íóëü.
Åêñòðåìàëüíå ðîçáèòòÿ êîìïëåêñíî¨ ïëîùèíè ç âiëüíèìè ïîëþñàìè 75
Òåîðåìà 1.4 ([3]). Íåõàé n P N, n ě 4, γ P p1, ns i
Kpn, γq “ “
I0npγq ¨ µnpγq‰ 1
γ ,
äå I0npγq âèçíà÷à¹òüñÿ ñïiââiäíîøåííÿì (1.2), à
µnpγq “
«
4n
pn´ 1qn´1
¨ 1?
γ
ˆ
1 ´ 1?
γ
˙n´1
ff´1
.
Òîäi äëÿ áóäü-ÿêî¨ ñèñòåìè ðiçíèõ òî÷îê An “ takunk“1 îäèíè÷íîãî êîëà
i áóäü-ÿêîãî íàáîðó îáëàñòåé, ùî âçà¹ìíî íå ïåðåòèíàþòüñÿ, B0, Bk,
a0 “ 0 P B0 Ă C, ak P Bk Ă C, k “ 1, n, òàêèõ, ùî
rpB0, 0q ď Kpn, γq,
ñïðàâåäëèâà íåðiâíiñòü
rγpB0, 0q
nź
k“1
rpBk, akq ď
ˆ
4
n
˙n
´
4γ
n2
¯ γ
n
`
1 ´ γ
n2
˘n` γ
n
˜
1 ´
?
γ
n
1 `
?
γ
n
¸2
?
γ
.
Çíàê ðiâíîñòi â öié íåðiâíîñòi äîñÿãà¹òüñÿ òîäi, êîëè ak i Bk, k “ 0, n,
¹, âiäïîâiäíî, ïîëþñàìè i êðóãîâèìè îáëàñòÿìè êâàäðàòè÷íîãî äèôå-
ðåíöiàëà
Qpwqdw2 “ ´pn2 ´ γqwn ` γ
w2pwn ´ 1q2 dw2. (1.4)
Iíøèì íàïðÿìêîì â äîñëiäæåííi ïðîáëåìè 1 áóâ ïîøóê çðîñòàþ÷î¨
ìàæîðàíòè äëÿ âñiõ çíà÷åíü n, ïî÷èíàþ÷è ç äåÿêîãî íîìåðà.
Òåîðåìà 1.5 ([3]). Íåõàé n P N, n ě 3, γ P p1,?n s. Òîäi äëÿ áóäü-ÿêî¨
ñèñòåìè ðiçíèõ òî÷îê An “ takunk“1 îäèíè÷íîãî êîëà i áóäü-ÿêîãî íàáî-
ðó îáëàñòåé, ùî âçà¹ìíî íå ïåðåòèíàþòüñÿ, B0, Bk, a0 “ 0 P B0 Ă C,
ak P Bk Ă C, k “ 1, n, ñïðàâåäëèâà íåðiâíiñòü
rγ pB0, 0q
nź
k“1
r pBk, akq ď rγ pD0, 0q
nź
k“1
r pDk, dkq ,
äå dk, Dk, k “ 0, n, d0 “ 0, ¹, âiäïîâiäíî, ïîëþñàìè i êðóãîâèìè îáëàñ-
òÿìè êâàäðàòè÷íîãî äèôåðåíöiàëà (1.4).
 ïîïåðåäíié òåîðåìi â ðîëi ìàæîðàíòè âèñòóïà¹ γ “ ?
n. Îäíàê
âèÿâëÿ¹òüñÿ, ùî â ðîëi äàíî¨ ìàæîðàíòè ìîæíà òàêîæ âçÿòè γ “ nα
äëÿ äîâiëüíîãî α P `
1
2 ;
2
3
˘
. Çîêðåìà, ïðàâèëüíà íàñòóïíà òåîðåìà.
Òåîðåìà 1.6 ([19]). Äëÿ äîâiëüíîãî íàòóðàëüíîãî n ě e9 i
0 ă γ ď n
2
3
´ 1?
lnn âèêîíó¹òüñÿ íåðiâíiñòü:
76 I. Â. Äåíåãà, ß. Â. Çàáîëîòíèé
rγpB0, a0q
nś
k“1
rpBk, akq ď rγpD0, a
0
0q
nś
k“1
rpDk, a
0
kq,
äå B0, B1, B2,..., Bn, � ïîïàíî íåïåðåòèííi îáëàñòi â C, a0 “ 0, |ak| “ 1,
a1 “ 1, k “ 1, n, ïðè÷îìó çíàê ðiâíîñòi äîñÿãà¹òüñÿ, íàïðèêëàä, äëÿ
ak “ a0k, Bk “ Dk, k “ 0, n, äå a0k, Dk, � âiäïîâiäíî ïîëþñè i êðóãîâi
îáëàñòi êâàäðàòè÷íîãî äèôåðåíöiàëà (1.4).
Ñóòò¹âèì íåäîëiêîì ïîïåðåäíüî¨ òåîðåìè ¹ òå, ùî íîìåð, ïî÷èíàþ÷è
ç ÿêîãî ìîæíà áðàòè γ “ nα äëÿ α P `
1
2 ;
2
3
˘
, ¹ äóæå âåëèêèì.
Çàãàëîì, íàéêðàùi âiäîìi íà äàíèé ìîìåíò ðåçóëüòàòè â äàíié ïðî-
áëåìi ÿê äëÿ äåÿêèõ êîíêðåòíèõ çíà÷åíü n, òàê i äëÿ çàãàëüíîãî âèïàäêó
âiäîáðàæåíî â íàñòóïíié òàáëèöi.
n 2 3 4 n ě 3 n ě e9
γ p0, 2s p0, 2.1s p0, 2.5s p0,?ns
´
0, n
2
3
´ 1?
lnn
ı
2. Îñíîâíèé ðåçóëüòàò
 íàñòóïíié òåîðåìi íàâîäèòüñÿ äåÿêèé àíàëîã òåîðåìè 1.6, îäíàê äëÿ
n ě 40, ïðè÷îìó ñóòò¹âî ðîçøèðåíî äiàïàçîí γ, äëÿ ÿêèõ òâåðäæåííÿ
ïðîáëåìè 1 ïðàâèëüíå.
Òåîðåìà 2.1. Íåõàé n P N, n ě 40 i 1 ă γ ď n
2
3
´ 2
3
lnp 5
6 lnpnqq
lnpnq . Òîäi
äëÿ äîâiëüíîãî íàáîðó ôóíêöié fk, k “ 0, n, ðåãóëÿðíèõ i îäíîëèñòèõ â
êðóçi |z| ă 1, òàêèõ, ùî f0p0q “ 0, |fkp0q| “ 1 äëÿ k “ 1, n, ïðè÷îìó
fipz1q ‰ fjpz2q äëÿ äîâiëüíèõ íàòóðàëüíèõ 1 ď i, j ď n, i ‰ j, òà
äîâiëüíèõ ðiçíèõ z1, z2 P U , ïðàâèëüíà íåðiâíiñòü:
ˇ̌
f 1
0p0qˇ̌γ
nź
k“1
ˇ̌
f 1
kp0qˇ̌ ď
ˆ
4
n
˙n
´
4γ
n2
¯ γ
n
`
1 ´ γ
n2
˘n` γ
n
˜
1 ´
?
γ
n
1 `
?
γ
n
¸2
?
γ
. (2.1)
Çàóâàæèìî, ùî ðåçóëüòàò òåîðåìè íå çìiíèòüñÿ äëÿ âèïàäêó, ÿêùî
îäíà ç ôóíêöié fk áóäå ìåðîìîðôíîþ.
Äîâåäåííÿ. Çàóâàæèìî, ùî íàáið ôóíêöié fk, k “ 0, n, âiäîáðàæ๠âiä-
êðèòèé îäèíè÷íèé êðóã íà äåÿêó ñèñòåìó íåïåðåòèííèõ îäíîçâ'ÿçíèõ
îáëàñòåé, ïðè÷îìó |f 1
kp0q| “ R pBk, akq “ r pBk, akq, äå ak “ fkp0q. Íåõàé
äëÿ êîíêðåòíîñòi
0 “ arg a1 ă arg a2 ă . . . ă arg an ă 2π.
Ïîçíà÷èìî
Åêñòðåìàëüíå ðîçáèòòÿ êîìïëåêñíî¨ ïëîùèíè ç âiëüíèìè ïîëþñàìè 77
α1 :“ 1
π parg a2 ´ arg a1q, α2 :“ 1
π parg a3 ´ arg a2q, ..., αn :“ 1
π p2π´ arg anq.
Ïîçíà÷èìî òàêîæ α0 “ max
k
αk, k “ 1, n. Òîäi ïðàâèëüíå íàñòóïíå òâåð-
äæåííÿ:
Ëåìà 2.1 ([1]). Íåõàé n P N, n ě 2, γ ą 0. Íåõàé ñèñòåìà âçà¹ì-
íî íåïåðåòèííèõ îäíîçâ'ÿçíèõ îáëàñòåé tB0, B1, B2, . . . , Bnu òàêà, ùî
0 P B0, ak P Bk Ă C, k “ 1, n, i rγ pB0, 0q
nś
k“1
r pBk, akq ą I0npγq. Òîäi
ïðàâèëüíà íåðiâíiñòü
r pB0, 0q ď n
´ n
2pn´γq I0npγq´ 1
n´γ ,
äå I0npγq � äèâ. (1.2).
Âðàõóâàâøè ðåçóëüòàò ðîáîòè [20], à òàêîæ ëåìó 2.1, íàì äîñèòü ðîç-
ãëÿíóòè âèïàäîê
ˇ̌
f 1
0p0qˇ̌ ď n
´ n
2pn´γq I0npγq´ 1
n´γ i α0 ą 2?
γ
.
Äîâåäåìî, ùî äëÿ äàíèõ óìîâ ïðàâèëüíà íåðiâíiñòü:
|f 1
0p0q|γ
nś
k“1
|f 1
kp0q|
`
4
n
˘n
´
4γ
n2
¯ γ
n
´
1´ γ
n2
¯n` γ
n
ˆ
1´
?
γ
n
1`
?
γ
n
˙2
?
γ
ă 1. (2.2)
Âðàõóâàâøè ëåìó 1, îòðèìà¹ìî, ùî
ˇ̌
f 1
0p0qˇ̌γ ď n
´ nγ
2pn´γq I0npγq´ γ
n´γ .
Ïiäñòàâèâøè äàíèé âèðàç â íåðiâíiñòü (2.2), îäåðæèìî, ùî äëÿ äîâåäå-
ííÿ òåîðåìè íàì äîñòàòíüî äîâåñòè òàêå ñïiââiäíîøåííÿ
n
´ nγ
2pn´γq I0npγq´ n
n´γ
nź
k“1
ˇ̌
f 1
kp0qˇ̌ ă 1. (2.3)
Òàêîæ, çãiäíî ç òåîðåìîþ 5.2.3 ðîáîòè [16] ïðàâèëüíà íàñòóïíà íåðiâ-
íiñòü:
nź
k“1
ˇ̌
f 1
kp0qˇ̌ ď 2n
nź
k“1
αk ď 2nα0
ˆ
2 ´ α0
n´ 1
˙n´1
ă
ă 4n
pn´ 1qn´1?
γ
ˆ
1 ´ 1?
γ
˙n´1
.
(2.4)
78 I. Â. Äåíåãà, ß. Â. Çàáîëîòíèé
Ïiäñòàâèâøè íåðiâíiñòü (2.4) â (2.3), îòðèìà¹ìî, ùî íàì ïîòðiáíî äîâå-
ñòè íåðiâíiñòü
Pnpγq :“ n
´ nγ
2pn´γq 4n
pn´ 1qn´1?
γ
ˆ
1 ´ 1?
γ
˙n´1
I0npγq´ n
n´γ ă 1. (2.5)
Âèêîðèñòàâøè ðiâíiñòü (1.2), îòðèìà¹ìî, ùî
Pnpγq “ n
nγ`2n`2γ
2pn´γq
ˆ
n
n´ 1
˙n´1ˆ
1 ´ 1?
γ
˙n´1
´
1 ´ γ
n2
¯n2`γ
n´γ
ˆ
1
4
?
γ
˙n`γ
n´γ
˜
1 `
?
γ
n
1 ´
?
γ
n
¸ 2n
?
γ
n´γ
.
(2.6)
Îöiíèìî âèðàç Pnpγq ïðè óìîâàõ òåîðåìè. Çîêðåìà,
´
n
n´1
¯n´1 ă e. Âiä-
çíà÷èìî òàêîæ, ùî
`
1 ´ γ
n2
˘n2`γ
n´γ ă 1. Òàêîæ ïðàâèëüíà íàñòóïíà îöiíêà:
˜
1 `
?
γ
n
1 ´
?
γ
n
¸ 2n
?
γ
n´γ ˆ
1
4
?
γ
˙n`γ
n´γ ă 0.06 ă 1
e
.
Òàêèì ÷èíîì,
Pnpγq ă n
nγ`2n`2γ
2pn´γq
ˆ
1 ´ 1?
γ
˙n´1
. (2.7)
Îöiíèìî òåïåð âèðàç n
nγ`2n`2γ
2pn´γq
´
1 ´ 1?
γ
¯n´1
ïðè óìîâàõ äàíî¨ òåîðåìè.
Ïðàâèëüíi íàñòóïíi ïåðåòâîðåííÿ:
n
nγ`2n`2γ
2pn´γq
ˆ
1 ´ 1?
γ
˙n´1
“ n
nγ`2n`2γ
2pn´γq
˜ˆ
1 ´ 1?
γ
˙?
γ
¸n´1?
γ
ă
ă
¨
˝n
ˆ
1
e
˙ 2n2´2n´2nγ`2γ
nγ
?
γ`2n
?
γ`2γ
?
γ
˛
‚
nγ`2n`2γ
2pn´γq
“
“
¨
˚̋
n
ˆ
1
e
˙ n
γ
3
2
2´ 2
n´ 2γ
n ` 2γ
n2
1` 2
γ` 2
n
˛
‹‚
nγ`2n`2γ
2pn´γq
. (2.8)
Åêñòðåìàëüíå ðîçáèòòÿ êîìïëåêñíî¨ ïëîùèíè ç âiëüíèìè ïîëþñàìè 79
Îñêiëüêè â ðîáîòi [3] çàäà÷ó áóëî ðîçâ'ÿçàíî äëÿ n ě 3 i 1 ă γ ď ?
n,
òî íàì äîñòàòíüî ðîçãëÿíóòè òiëüêè γ ą ?
n. Äëÿ n ě 40 i
?
n ă γ ă
n
2
3
´ 2
3
lnp 5
6 lnpnqq
lnpnq ïðàâèëüíà íåðiâíiñòü
2 ´ 2
n ´ 2γ
n ` 2γ
n2
1 ` 2
γ ` 2
n
ą 6
5
,
òîìó îòðèìà¹ìî:
n
ˆ
1
e
˙ n
γ
3
2
2´ 2
n´ 2γ
n ` 2γ
n2
1` 2
γ` 2
n ă n
ˆ
1
e
˙ 6
5
n
γ
3
2 . (2.9)
Âðàõóâàâøè, ùî γ ă n
2
3
´ 2
3
lnp 5
6 lnpnqq
lnpnq , îòðèìà¹ìî, ùî
6
5
n
γ
3
2
ą 6
5
n
n
3
2
˜
2
3
´ 2
3
lnp 5
6 lnpnqq
lnpnq
¸ “ 6
5
n
lnp 5
6 lnpnqq
lnpnq .
Òàêèì ÷èíîì,
n
ˆ
1
e
˙ 6
5
n
γ
3
2 ď n
ˆ
1
e
˙ 6
5
n
lnp 5
6 lnpnqq
lnpnq
“ n
ˆ
1
e
˙ 6
5
n
lognp 5
6 lnpnqq
“ 1.
Ïiäñòàâèâøè äàíèé ðåçóëüòàò â íåðiâíîñòi (2.9) i (2.8), ìà¹ìî
n
nγ`2n`2γ
2pn´γq
ˆ
1 ´ 1?
γ
˙n´1
ă 1.
Òàêèì ÷èíîì, â íåðiâíîñòi (2.7) îòðèìà¹ìî, ùî äëÿ çàäàíèõ n i γ âèêî-
íó¹òüñÿ íåðiâíiñòü
Pnpγq ă 1,
à çâiäñè, âðàõóâàâøè íåðiâíîñòi (2.2) � (2.5), i âèïëèâ๠íåðiâíiñòü (2.1).
Òåîðåìó 2.1 äîâåäåíî. □
Çàóâàæåííÿ 2.1. Âðàõîâóþ÷è ïîâåäiíêó âèðàçó
Hpn, γq :“ 2 ´ 2
n ´ 2γ
n ` 2γ
n2
1 ` 2
γ ` 2
n
ïðè çáiëüøåííi n ìè ìîæåìî äåùî óòî÷íèòè çíà÷åííÿ γ, äëÿ ÿêèõ âè-
êîíó¹òüñÿ íåðiâíiñòü (2.1). Òàê, íàïðèêëàä, äëÿ n ě 47 i γ ą ?
n ïðà-
âèëüíà íåðiâíiñòü Hpn, γq ą 5
4 , à òîìó, ïðîâiâøè àíàëîãi÷íi ìiðêóâàí-
íÿ, ìîæíà äîâåñòè, ùî äëÿ äàíèõ n íåðiâíiñòü (2.1) âèêîíó¹òüñÿ äëÿ
80 I. Â. Äåíåãà, ß. Â. Çàáîëîòíèé
1 ă γ ď n
2
3
´ 2
3
lnp 4
5 lnpnqq
lnpnq ; äëÿ n ě 119 ïðàâèëüíà íåðiâíiñòü Hpn, γq ą 3
2 ,
à òîìó íåðiâíiñòü (2.1) âèêîíó¹òüñÿ äëÿ 1 ă γ ď n
2
3
´ 2
3
lnp 2
3 lnpnqq
lnpnq , òîáòî
ìîæíà äåùî ðîçøèðèòè äiàïàçîí γ â óìîâi òåîðåìè 2.1.
Çàóâàæåííÿ 2.2. Äîâåäåíà âèùå òåîðåìà 2.1 ðîçâ'ÿçó¹ ïðîáëåìó 1 äëÿ
n ě 40 i 1 ă γ ď n
2
3
´ 2
3
lnp 5
6 lnpnqq
lnpnq äëÿ âèïàäêó îäíîçâ'ÿçíèõ îáëàñòåé.
Ç ïîäiáíèìè ðåçóëüòàòàìè ïðî îöiíêè äîáóòêiâ âíóòðiøíiõ ðàäióñiâ
îáëàñòåé ìîæíà îçíàéîìèòèñÿ â ðîáîòàõ [4�10,15].
Ëiòåðàòóðà
[1] A. K. Bakhtin. Separating transformation and extremal problems on nonoverlapping
simply connected domains. J. Math. Sci., 234(1):1 � 13, 2018.
[2] A. K. Bakhtin, I. V. Denega. Addendum to a theorem on extremal decomposition
of the complex plane. Bull. Soc. Sci. Lett. Lodz, Ser. Rech. Deform., 62(2):83 � 92,
2012.
[3] A. K. Bakhtin, I. V. Denega. Extremal decomposition of the complex plane with
free poles. J. Math. Sci., 246(1):1�17, 2020.
[4] A. K. Bakhtin, I. V. Denega. Extremal decomposition of the complex plane with
free poles ii. J. Math. Sci., 246(5):602�616, 2020.
[5] A. K. Bakhtin, I. V. Denega. Generalized m. a. lavrentiev's inequality. J. Math. Sci.,
262(2):138�153, 2022.
[6] A. K. Bakhtin, A. L. Targonskii. Generalized (n, d)-ray systems of points and
inequalities for nonoverlapping domains and open sets. Ukr. Math. J., 63(7):999�
1012, 2011.
[7] A. K. Bakhtin, Ya. V. Zabolotnii. Estimates of the products on inner radii for multi-
connected domains. Ukr. Math. J., 73(1):6�12, 2021.
[8] I. V. Denega, Ya. V. Zabolotnii. Estimates of products of inner radii of non-
overlapping domains in the complex plane. Complex Variables and Elliptic Equati-
ons, 62(11):1611�1618, 2017.
[9] I. V. Denega, Ya. V. Zabolotnii. An extremal problem on non-overlapping domains
containing ellipse points. Eurasian Math. J., 12(4):82�91, 2021.
[10] I. V. Denega, Y. V. Zabolotnyi. Application of upper estimates for products of inner
radii to distortion theorems for univalent functions.Matematychni Studii, 60(2):138�
144, 2023.
[11] V. N. Dubinin. Condenser capacities and symmetrization in geometric function
theory. Birkh�auser/Springer, Basel, 2014.
[12] P. Duren. Univalent functions. Heidelberg and New York: Springer-Verlag, 1983.
[13] G. M. Goluzin. Geometric theory of functions of a complex variable. Amer. Math.
Soc. Providence, R.I., 1969.
[14] K. Strebel. Quadratic di�erentials. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1984.
[15] A. L. Targonskii. Extreme problem for a mosaic system of points on the open sets
and non-overlapping domains. Proceedings of the International Geometry Center,
16(1):91�104, 2023.
Åêñòðåìàëüíå ðîçáèòòÿ êîìïëåêñíî¨ ïëîùèíè ç âiëüíèìè ïîëþñàìè 81
[16] À. Ê. Áàõòèí, Ã. Ï. ÁàõòèíའÞ. Á. Çåëèíñêèé. Òîïîëîãî-àëãåáðàè÷åñêèå ñòðó-
êòóðû è ãåîìåòðè÷åñêèå ìåòîäû â êîìïëåêñíîì àíàëèçå. Ïðàöi ií-òó ìàò-êè
ÍÀÍ Óêð., 2008.
[17] Äæ. À. Äæåíêèíñ. Îäíîëèñòíûå ôóíêöèè è êîíôîðìíûå îòîáðàæåíèÿ. Ì.:
Èçä-âî èíîñòð. ëèò., 1962.
[18] Â. Í. Äóáèíèí. Ìåòîä ñèììåòðèçàöèè â ãåîìåòðè÷åñêîé òåîðèè ôóíêöèé êîì-
ïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî. Óñïåõè ìàò. íàóê., 49 (295)(1):3 � 76, 1994.
[19] ß. Â. Çàáîëîòíèé. Çàäà÷à ïðî îá÷èñëåííÿ ìàêñèìóìó äîáóòêó âíóòðiøíiõ ðàäi-
óñiâ íåïåðåòèííèõ îáëàñòåé íà êîìïëåêñíié ïëîùèíi. Çáiðíèê ïðàöü Ií-òó ìà-
òåì. ÍÀÍ Óêðà¨íè., 10(4-5):557�564, 2013.
[20] Ë. Â. Êîâàëåâ. Ê çàäà÷å îá ýêñòðåìàëüíîì ðàçáèåíèè ñî ñâîáîäíûìè ïîëþñàìè
íà îêðóæíîñòè. Äàëüíåâîñòî÷íûé ìàòåì. ñáîðíèê, (2):96 � 98, 1996.
[21] Ã. Â. Êóçüìèíà. Ìåòîä ýêñòðåìàëüíîé ìåòðèêè â çàäà÷àõ î ìàêñèìóìå ïðîè-
çâåäåíèÿ ñòåïåíåé êîíôîðìíûõ ðàäèóñîâ íåíàëåãàþùèõ îáëàñòåé ïðèíàëè÷èè
ñâîáîäíûõ ïàðàìåòðîâ. Çàï. íàó÷í. ñåì. ÏÎÌÈ, 302:52 � 67, 2003.
[22] Í. À. Ëåáåäåâ. Ïðèíöèï ïëîùàäåé â òåîðèè îäíîëèñòíûõ ôóíêöèé. Ì.: Íàóêà,
1975.
I. Â. Äåíåãà
Iíñòèòóò ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè, ì. Êè¨â
Email: iradenega@gmail.com
ORCID: 0000-0001-8122-4257
ß. Â. Çàáîëîòíèé
Iíñòèòóò ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè, ì. Êè¨â
Email: yaroslavzabolotnii@gmail.com
ORCID: 0000-0002-1878-2077
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-541 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:09:06Z |
| publishDate | 2025 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/55/b9050c6502557d2e5015a776cbc85755.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-5412026-02-24T12:22:41Z Extremal decomposition of the complex plane with free poles on the unit circle Екстремальне розбиття комплексної площини з вільними полюсами на одиничному колі Denega, Iryna Zabolotnyi, Yaroslav Денега, Ірина Заболотний, Ярослав This paper is an attempt to follow the path taken by the open problem of V.N. Dubinin on extremal decomposition of the complex plane with free poles on the unit circle. Currently, the problem is not completely solved. In this work, its partial solution for $n\geqslant40$ is obtained for the case of simply connected domains. Ця стаття є спробою прослідкувати шлях, який пройшла відкрита проблема В.М. Дубініна про екстремальне розбиття комплексної площини з вільними полюсами на одиничному колі. На даний час ця проблема повністю не розв'язана. У даній роботі одержано її частковий розв'язок при $n\geqslant40$ для випадку однозв'язних областей. Інститут математики НАН України 2025-08-18 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/541 10.3842/trim.v21n1.541 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 21 No. 1 (2024): Special Issue "Actual problems of modern mathematics: methods, models and applications"; 71-81 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 21 № 1 (2024): Спеціальний номер "Актуальні проблеми сучасної математики: методи, моделі та застосування" ; 71-81 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 21 № 1 (2024): Спеціальний номер "Актуальні проблеми сучасної математики: методи, моделі та застосування" ; 71-81 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/541/524 Авторське право (c) 2024 Ірина Денега, Ярослав Заболотний http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Denega, Iryna Zabolotnyi, Yaroslav Денега, Ірина Заболотний, Ярослав Extremal decomposition of the complex plane with free poles on the unit circle |
| title | Extremal decomposition of the complex plane with free poles on the unit circle |
| title_alt | Екстремальне розбиття комплексної площини з вільними полюсами на одиничному колі |
| title_full | Extremal decomposition of the complex plane with free poles on the unit circle |
| title_fullStr | Extremal decomposition of the complex plane with free poles on the unit circle |
| title_full_unstemmed | Extremal decomposition of the complex plane with free poles on the unit circle |
| title_short | Extremal decomposition of the complex plane with free poles on the unit circle |
| title_sort | extremal decomposition of the complex plane with free poles on the unit circle |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/541 |
| work_keys_str_mv | AT denegairyna extremaldecompositionofthecomplexplanewithfreepolesontheunitcircle AT zabolotnyiyaroslav extremaldecompositionofthecomplexplanewithfreepolesontheunitcircle AT denegaírina extremaldecompositionofthecomplexplanewithfreepolesontheunitcircle AT zabolotnijâroslav extremaldecompositionofthecomplexplanewithfreepolesontheunitcircle AT denegairyna ekstremalʹnerozbittâkompleksnoíploŝinizvílʹnimipolûsaminaodiničnomukolí AT zabolotnyiyaroslav ekstremalʹnerozbittâkompleksnoíploŝinizvílʹnimipolûsaminaodiničnomukolí AT denegaírina ekstremalʹnerozbittâkompleksnoíploŝinizvílʹnimipolûsaminaodiničnomukolí AT zabolotnijâroslav ekstremalʹnerozbittâkompleksnoíploŝinizvílʹnimipolûsaminaodiničnomukolí |