Representation and cohomologies of groups and semigroups
This article surveys results related to the cohomology of lattices over group rings, particularly over the group ring of the Klein four--group. It is shown that in this setting, syzygies coincide with the Auslander-Reiten translation, enabling the full computation of Tate cohomology for all lattices...
Saved in:
| Date: | 2025 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2025
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/544 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872553049453494272 |
|---|---|
| author | Plakosh, Andriiana Плакош, Андріяна |
| author_facet | Plakosh, Andriiana Плакош, Андріяна |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Андріяна Плакош",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Plakosh, Andriiana |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2026-02-24T12:22:41Z |
| description | This article surveys results related to the cohomology of lattices over group rings, particularly over the group ring of the Klein four--group. It is shown that in this setting, syzygies coincide with the Auslander-Reiten translation, enabling the full computation of Tate cohomology for all lattices and the explicit description of the action of group automorphisms. Special attention is paid to regular lattices and their applications to the classification of multidimensional crystallographic and Chernikov groups. The article also explores the connection between the cohomology and representations of crossed group rings and those of coefficient rings, especially for semidirect product group rings. The approach is illustrated by a new classification of integral representations of the alternating group A4, leading to explicit cohomological invariants. The results are of interdisciplinary interest for group theory, homological algebra, crystallography, and coding theory. |
| doi_str_mv | 10.3842/trim.v21n1.544 |
| first_indexed | 2026-08-04T01:09:09Z |
| format | Article |
| fulltext |
Çáiðíèê ïðàöü Ií-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè (2024) ò. 21, �1, 121�148
Çîáðàæåííÿ i êîãîìîëîãi¨
ãðóï i íàïiâãðóï
À. I. Ïëàêîø
Abstract. This article surveys results related to the cohomology of lattices
over group rings, particularly over the group ring of the Klein four�group.
It is shown that in this setting, syzygies coincide with the Auslander�Reiten
translation, enabling the full computation of Tate cohomology for all lat-
tices and the explicit description of the action of group automorphisms.
Special attention is paid to regular lattices and their applications to the
classi�cation of multidimensional crystallographic and Chernikov groups.
The article also explores the connection between the cohomology and rep-
resentations of crossed group rings and those of coe�cient rings, especially
for semidirect product group rings. The approach is illustrated by a new
classi�cation of integral representations of the alternating group A4, lead-
ing to explicit cohomological invariants. The results are of interdisciplinary
interest for group theory, homological algebra, crystallography, and coding
theory.
Àíîòàöiÿ. Ó ñòàòòi óçàãàëüíåíî ðåçóëüòàòè, ïîâ'ÿçàíi ç êîãîìîëîãiÿ-
ìè ðåøiòîê íàä ãðóïîâèìè êiëüöÿìè, çîêðåìà íàä ãðóïîâèì êiëüöåì
÷åòâåðíî¨ ãðóïè Êëÿéíà. Ïîêàçàíî, ùî â öüîìó âèïàäêó ñèçè i¨ çáiãà-
þòüñÿ ç òðàíñëÿöi¹þ Àóñëåíäåðà�Ðàéòåí, ùî äîçâîëèëî ïîâíiñòþ îá-
÷èñëèòè êîãîìîëîãi¨ Òåéòà äëÿ âñiõ ðåøiòîê òà îïèñàòè äiþ àâòîìîð-
ôiçìiâ ãðóïè. Îêðåìó óâàãó ïðèäiëåíî ðåãóëÿðíèì ðåøiòêàì i ¨õíiì
çàñòîñóâàííÿì äî êëàñèôiêàöi¨ áàãàòîâèìiðíèõ êðèñòàëîãðàôi÷íèõ i
÷åðíiêiâñüêèõ ãðóï. Òàêîæ ðîçãëÿíóòî çâ'ÿçîê êîãîìîëîãié i çîáðàæåíü
ñõðåùåíèõ ãðóïîâèõ êiëåöü iç êîãîìîëîãiÿìè êiëåöü êîåôiöi¹íòiâ, çîê-
ðåìà äëÿ ãðóïîâèõ êiëåöü íàïiâïðÿìèõ äîáóòêiâ. Óçàãàëüíåíî ïiäõiä äî
îá÷èñëåííÿ êîãîìîëîãié íà ïðèêëàäi öiëèõ çîáðàæåíü àëüòåðíàòèâíî¨
ãðóïè A4, ùî äîçâîëèëî îòðèìàòè íîâó êëàñèôiêàöiþ òà ïîâíi êîãîìî-
ëîãi÷íi iíâàðiàíòè. Ðåçóëüòàòè ìàþòü ìiæäèñöèïëiíàðíå çíà÷åííÿ äëÿ
òåîði¨ ãðóï, ãîìîëîãi÷íî¨ àëãåáðè, êðèñòàëîãðàôi¨ òà òåîði¨ êîäóâàííÿ.
This work was supported by grants from the Simons Foundation (1290607, A.I.P.)
2020 Mathematics Subject Classi�cation: 55Q05,57K20,57M05
Êëþ÷îâi ñëîâà: çîáðàæåííÿ, êîãîìîëîãi¨, ãðóïà, íàïiâãðóïà, ðåøiòêà, ãðóïîâå
êiëüöå, êðèñòàëîãðàôi÷íà ãðóïà, ÷åðíiêiâñüêà ãðóïà
DOI : https://doi.org/10.3842/trim.v21n1.544
121
122
Âñòóï
Òåîðiÿ êîãîìîëîãié ãðóï áóëà íàòõíåííà ðîáîòàìè Â. Ãóðåâè÷à ïðî
êîãîìîëîãi¨ àöèêëi÷íèõ ïðîñòîðiâ i ðîçâèíåíà ó 1940-õ ðð. Ñ. Åéëåí-
áåðãîì, Ñ. Ìàêëåéíîì, Â. Åêìàíîì, Õ. Õîïôîì, Ä. Ê. Ôàää¹¹âèì òà
iíøèìè. Âîíè òàêîæ áóëè ïîâ'ÿçàíi ç òåîði¹þ ðîçøèðåíü ãðóï òà ïðî-
åêòèâíèìè çîáðàæåííÿìè, äå êîãîìîëîãi¨ âèíèêàþòü ÿê íàáîðè ôàêòî-
ðiâ. Ïîðÿä ç çàãàëüíîþ òåîði¹þ, áàãàòî ðîáiò áóëî ïðèñâÿ÷åíî îá÷èñëåí-
íÿì êîãîìîëîãié êîíêðåòíèõ ãðóï. Òóò ó áàãàòüîõ âèïàäêàõ âèíèê๠ïî-
òðåáà ó ðîçðîáöi ñïåöiàëüíèõ ìåòîäiâ. Íàïðèêëàä, Ø. Òàêàõàøi [20] çà-
ïðîïîíóâàâ íîâó, ñïðîùåíó ðåçîëüâåíòó äëÿ ñêií÷åííèõ àáåëåâèõ ãðóï.
Âàæëèâèé âèïàäîê, êîëè ãðóïà ðîçêëàäà¹òüñÿ ó íàïiâïðÿìèé äîáóòîê,
äîñëiäæóâàâñÿ Ìàêêi òà iíøèìè àâòîðàìè, àëå çàãàëüíèõ ðåçóëüòàòiâ
ïðî çîáðàæåííÿ òà êîãîìîëîãi¨ äîñi íå îòðèìàíî. Ó öüîìó âèïàäêó ïðè-
ðîäíî âèíèêàþòü ñõðåùåíi ãðóïîâi àëãåáðè, çîáðàæåííÿ ÿêèõ âèâ÷àëèñÿ
I. Ðàéòåí, Ê. Ðiäòìàí, Þ. Äðîçäîì òà iíøèìè. Öi ðîáîòè âêàçóþòü íà
ïåðñïåêòèâíi íàïðÿìêè ó îá÷èñëåííi êîãîìîëîãié, îñîáëèâî, êîëè ïîðÿ-
äîê ãðóïè ¹ îáîðîòíèì ó áàçîâîìó êiëëüöi. Äîñëiäæåííÿ â öèõ íàïðÿì-
êàõ i ñòàíîâëÿòü îñíîâó äîñëiäæåííÿ.
Îá÷èñëåííÿ êîãîìîëîãié çàäàíî¨ ãðóïè ¹ âàæëèâîþ òà öiêàâîþ, àëå
çàçâè÷àé ãðîìiçäêîþ çàäà÷åþ. Òîìó âiäîìi ëèøå äåÿêi âèïàäêè, êîëè
òàêi îá÷èñëåííÿ áóëè çäiéñíåíi äëÿ äîñèòü øèðîêîãî êëàñó ìîäóëiâ.
ßêùî ãðóïà ¹ ñêií÷åííîþ, îñîáëèâèé iíòåðåñ âèêëèêàþòü êîãîìîëîãi¨
ðåøiòîê, òîáòî G-ìîäóëiâ, ÿêi ¹ ñêií÷åííî ïîðîäæåíèìè òà âiëüíèìè
âiä êðó÷åííÿ ÿê ãðóïè. Âîíè ìàþòü çíà÷åííÿ, íàïðèêëàä, ó òåîði¨ êðè-
ñòàëîãðàôi÷íèõ ãðóï i ãðóï ×åðíiêîâà. Î÷åâèäíî, ùî ÿêùî ìè õî÷åìî
çíàòè âñi êîãîìîëîãi¨ ðåøiòîê, ñëiä ìàòè êëàñèôiêàöiþ G-ðåøiòîê. Ó âè-
ïàäêó ñêií÷åííèõ p-ãðóï òàêà êëàñèôiêàöiÿ âiäîìà ëèøå äëÿ öèêëi÷íèõ
ãðóï ïîðÿäêó p i p2 äëÿ ïðîñòîãî ÷èñëà p [4, �,34B,�,34C], äëÿ öèêëi÷íî¨
ãðóïè ïîðÿäêó 8 [21] i äëÿ Êëÿéíiâñüêî¨ 4-ãðóïè [15, 16].  iíøèõ âè-
ïàäêàõ òàêà êëàñèôiêàöiÿ ¹ äèêîþ, òîáòî âêëþ÷๠îïèñ çîáðàæåíü óñiõ
ñêií÷åííîâèìiðíèõ àëãåáð.
Ó ïåðøîìó çãàäàíîìó âèïàäêó iñíó¹ ëèøå ñêií÷åííà êiëüêiñòü íå-
çâiäíèõ çîáðàæåíü, êîãîìîëîãi¨ ĤnpG,mq ¹ ïåðiîäè÷íèìè ç ïåðiîäîì 2,
òîæ âiäïîâiäü ìîæíà îòðèìàòè áåç îñîáëèâèõ òðóäíîùiâ. Öå áóëî âè-
êîðèñòàíî â [22], äå áóëî ñêëàäåíî ïîâíèé ñïèñîê p-ãðóï ×åðíiêîâà ç
öèêëi÷íèì ôàêòîðãðóïîþ ïîðÿäêó p àáî p2. Äëÿ êëÿéíiâñüêî¨ ãðóïè
çàäà÷à ñò๠çíà÷íî ñêëàäíiøîþ, îñêiëüêè, ïî-ïåðøå, iñíó¹ íåñêií÷åííî
áàãàòî íåçâiäíèõ, ïîïàðíî íåiçîìîðôíèõ ðåøiòîê, à ïî-äðóãå, êîãîìî-
ëîãi¨ áiëüøå íå ¹ ïåðiîäè÷íèìè. Ó öié ðîáîòi ìè âèêîðèñòîâó¹ìî îïèñ
íåçâiäíèõ ðåøiòîê iç [16] òà äåÿêi çàãàëüíi ôàêòè ïðî êîãîìîëîãi¨ p-ãðóï
i äà¹ìî ïîâíèé îïèñ êîãîìîëîãié ðåøiòîê íàä êëÿéíiâñüêîþ ãðóïîþ.
Çîáðàæåííÿ i êîãîìîëîãi¨ ãðóï i íàïiâãðóï 123
Ó ñòàòòi [14] Íàçàðîâà îïèñó¹ 2-àäè÷íi çîáðàæåííÿ çíàêîçìiííî¨ ãðó-
ïè A4 ïîðÿäêó 4. Íà æàëü, âàæêî âèêîðèñòîâóâàòè öåé îïèñ äëÿ ií-
øèõ öiëåé, òàêèõ ÿê îá÷èñëåííÿ êîãîìîëîãié. Ó öié ðîáîòi ïðîïîíó-
¹òüñÿ iíøèé ïiäõiä, àíàëîãi÷íèé âèâ÷åííþ çîáðàæåíü òà êîãîìîëîãié
ãðóïè Êëÿéíà [13]. Çîêðåìà, âèêîðèñòîâó¹òüñÿ òåõíiêà ïîðÿäêiâ Áàê-
ñòðåìà ç [17,19], i òàêèì ÷èíîì ïîâ'ÿçó¹òüñÿ îïèñ 2-àäè÷íèõ çîáðàæåíü
A4 ç çîáðàæåííÿìè çâàæåíîãî ãðàôà [5]. Öå äîçâîëÿ¹ ïîâíiñòþ îïèñàòè
ñàãàéäàê Àóñëåíäåðà-Ðåéòåí 2-àäè÷íèõ çîáðàæåíü. Îñêiëüêè ïåðåòâî-
ðåííÿ Àóñëåíäåðà-Ðåéòåí â öüîìó âèïàäêó çáiãà¹òüñÿ ç ñèçèãi¹ì, öå ìàé-
æå îäðàçó ä๠çíà÷åííÿ âñiõ êîãîìîëîãiÿé Òåéòà 2-àäè÷íèõ A4-ðåøiòîê.
Îñêiëüêè 3-àäè÷íi çîáðàæåííÿ A4 ¹ äóæå ïðîñòèìè, òàêîæ îïèñóþòüñÿ
âñi öiëî÷èñåëüíi ïðåäñòàâëåííÿ òà ¨õ êîãîìîëîãi¨. Ñëiä çàçíà÷èòè, ùî
çíàííÿ êîãîìîëîãié ¹ âàæëèâèì äëÿ êëàñèôiêàöi¨ êðèñòàëîãðàôi÷íèõ
òà ×åðíiêîâñüêèõ ãðóï i ò. ä.
1. Êîãîìîëîãi¨ ÷åòâåðíî¨ ãðóïè Êëÿéíà
1.1. Ðåøiòêè íàä Êëÿéíiâñüêîþ 4-ãðóïîþ. ÍåõàéK ïîçíà÷๠Êëÿ-
éíiâñüêó 4-ãðóïó, K “ xa, b | a2 “ b2 “ 1, ab “ bay. Ìè âèâ÷à¹ìî êîãîìî-
ëîãi¨ öi¹¨ ãðóïè çi çíà÷åííÿìè â K-ðåøiòêàõ, òîáòî K-ìîäóëÿõ M , äëÿ
ÿêèõ àäèòèâíà ãðóïà M ¹ âiëüíîþ àáåëåâîþ ãðóïîþ ñêií÷åííîãî ðàíãó,
à òàêîæ ó ¨õíiõ äóàëüíèõ ìîäóëÿõ, òîáòî ìîäóëÿõ HomZpM,Q{Zq. Íåõàé
R “ ZK. Ìè âáóäîâó¹ìî éîãî â R7 “ Z4, îòîòîæíþþ÷è a ç ÷åòâiðêîþ
p1, 1,´1,´1q i b ç p1,´1, 1,´1q. Çàóâàæèìî, ùî R7 ¹ öiëî÷èñåëüíèì çà-
ìèêàííÿì R â Q ˚Z R.
Íåõàé Zp � êiëüöå p-àäè÷íèõ öiëèõ ÷èñåë, Mp “ M ˚ ZZp äëÿ êîæíî¨
àáåëåâî¨ ãðóïè M . Òîäi Rp “ Z4
p äëÿ p ‰ 2, i R2 » 4Z4
2. Ç [7, Th.,3.7] âè-
ïëèâà¹, ùî äâi K-ðåøiòêè M , N ¹ içîìîðôíèìè òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè
âîíè îäíîãî ðîäó, òîáòî Mp » Np äëÿ âñiõ p. Áiëüøå òîãî, ÿêùî p ‰ 2,
òî Rp-ðåøiòêà Mp îäíîçíà÷íî âèçíà÷à¹òüñÿ ðàöiîíàëüíîþ îáîëîíêîþ
Q ˚ZM . Òîìó K-ðåøiòêà M ¹ îäíîçíà÷íî âèçíà÷åíîþ ÷åðåç ¨¨ 2-àäè÷íå
äîïîâíåííÿ, ÿêå ïîçíà÷à¹òüñÿ ÿê M̂ .
Ïîçíà÷èìîR-lat êàòåãîðiþR-ðåøiòîê, à R̂-lat � êàòåãîðiþ R̂-ðåøiòîê,
òîáòî R̂-ìîäóëiâ, ÿêi ¹ ñêií÷åííî ïîðîäæåíèìè i ìîäóëÿìè áåç ñêðóòó
(îòæå, âiëüíèìè) ÿê Z2-ìîäóëi. Ôóíêòîð M ÞÑ M̂ ¹ çîáðàæóâàëüíîþ
åêâiâàëåíòíiñòþ ìiæ êàòåãîðiÿìè R-lat i R̂-lat, òîáòî âií âiäîáðàæà¹
íåiçîìîðôíi ìîäóëi â íåiçîìîðôíi, íåðîçêëàäíi â íåðîçêëàäíi, i êîæíà
R̂-ðåøiòêà ¹ içîìîðôíîþ äî M̂ äëÿ îäíîçíà÷íî âèçíà÷åíî¨ R-ðåøiòêè
M .
Îñêiëüêè 4ĤnpK,Mq “ 0 äëÿ áóäü-ÿêîãî K-ìîäóëÿ M [3, Prop.,
XII.2.5], ìà¹ìî içîìîðôiçì ĤnpK,Mq » ĤnpK, M̂q. Íåõàé D “ Q2{Z2, äå
Q2 � ïîëå 2-àäè÷íèõ ÷èñåë. Öÿ ãðóïà ¹ ãðóïîþ òèïó 28, òîáòî ïðÿìîþ
124
ãðàíèöåþ limÝÑn
Z{2nZ ñêií÷åííèõ öèêëi÷íèõ 2-ãðóï âiäíîñíî íàòóðàëü-
íèõ âêëàäåíü Z{2nZ Ñ Z{2n`1Z. Ìè íàçèâà¹ìî K-ìîäóëi âèãëÿäó
HomZpM,Dq » HomZ2pM̂,Dq,
äå M � K-ðåøiòêà, K-êîðåøiòêà.
Êiëüöå R ¹ Ãîðåíøòåéíîâèì, òîáòî inj.dimRR “ 1. Îñêiëüêè Rp ¹
ìàêñèìàëüíèì íàäêiëüöåì äëÿ p ‰ 2, à R2 ¹ ëîêàëüíèì, ç [11, Ëå-
ìà 2.9] âèïëèâà¹, ùî R ì๠¹äèíå ìiíiìàëüíå âëàñíå íàäêiëüöå A, i êî-
æíà íåðîçêëàäíà R-ðåøiòêà, îêðiì ñàìîãî R, ¹ A-ðåøiòêîþ. Íàñïðàâäi,
A çáiãà¹òüñÿ ç ïiäêiëüöåì ó R7 “ Z4, ÿêå ñêëàäà¹òüñÿ ç óñiõ ÷åòâiðîê
pz1, z2, z3, z4q òàêèõ, ùî z1 ” z2 ” z3 ” z4 pmod 2q.
Íåõàém � iäåàë êiëüöÿA, ùî ñêëàäà¹òüñÿ ç óñiõ ÷åòâiðîê pz1, z2, z3, z4q,
äëÿ ÿêèõ z1 ” z2 ” z3 ” z4 ” 0 pmod 2q. Òîäi m̂ “ rad  “ rad R̂7. Îòæå,
 ¹ ïîðÿäêîì Áàêñòðåìà ó ñåíñi [17]. Òîìó, çãiäíî ç [17], ðåøiòêè íàä
Â, à îòæå i íàä A, êëàñèôiêóþòüñÿ çîáðàæåííÿìè ñàãàéäàêà
Λ “
``
`´
‚
==
55
))
!!́
`
´´
Íàãàäà¹ìî âiäïîâiäíó êîíñòðóêöiþ (íà ðiâíiA-ðåøiòîê). Äëÿ áóäü-ÿêîãî
K-ìîäóëÿ M ïîçíà÷èìî ÷åðåç Mαβ , äå α, β P `,´, ïiäìîäóëü tu P M |
au “ αu, bu “ βuu.
ßêùî M ¹ A-ðåøiòêîþ, ïîêëàäåìî M 7 “ R7M (òîáòî äîáóòîê ðå-
øiòîê ó Q ˚ ZM , ÿêèé çáiãà¹òüñÿ ç îáðàçîì ïðèðîäíîãî ãîìîìîðôiçìó
R7 ˚ AM Ñ Q ˚ ZM). Öå íàéìåíøèé R7-ìîäóëü, ùî ìiñòèòü M . Òîäi
M 7 “ À
αβM 7
αβ . Ïîçíà÷èìî V‚ “ M{mM òà Vαβ “ M 7
αβ{2M 7
αβ . Âè-
áèðàþ÷è ÿê fαβ ïðèðîäíi ãîìîìîðôiçìè V‚ Ñ Vαβ , ìè îòðèìó¹ìî çî-
áðàæåííÿ ñàãàéäàêà Λ, ÿêå ïîçíà÷à¹ìî ÷åðåç ΦpV q. Òàêèì ÷èíîì, ìè
âèçíà÷à¹ìî ôóíêòîð Φ ç êàòåãîði¨ A-lat A-ðåøiòîê ó êàòåãîðiþ repΛ
çîáðàæåíü ñàãàéäàêà Λ íàä ïîëåì k “ Z{2Z. Ìà¹ìî òàêèé ðåçóëüòàò,
àíàëîãi÷íèé ðåçóëüòàòó ç [17].
Çîáðàæåííÿ i êîãîìîëîãi¨ ãðóï i íàïiâãðóï 125
Òåîðåìà 1.1. Íåõàé R � êàòåãîðiÿ çîáðàæåíü
V “
V``
V`´
V‚
,f``,
;;
,f`´,
55
,f´`, ))
,f´´,
##
V´`
V´´
(1.1)
ñàãàéäàêà Λ íàä ïîëåì k, òàêèõ ùî âñi âiäîáðàæåííÿ fαβ ¹ ñþð'¹êòèâíèìè,
à iíäóêîâàíå âiäîáðàæåííÿ f` : V‚ Ñ V` “ À
αβ Vαβ ¹ ií'¹êòèâíèì.
Òîäi ôóíêòîð Φ ¹ çîáðàæóâàëüíîþ åêâiâàëåíòíiñòþ Φ : A-lat Ñ R,
ïðè÷îìó âñi iíäóêîâàíi ãîìîìîðôiçìè
ΦM,N : HomApM,Nq Ñ HomΛpΦpMq,ΦpNqq
¹ ñþð'¹êòèâíèìè, à òàêîæ âèêîíó¹òüñÿ ðiâíiñòü:
KerΦM,N “ HomApM,mNq “ 2HomR7pM̃,N 7q. (1.2)
Ìè íàçèâà¹ìî ï'ÿòiðêó pd‚, dαβq pα, β P `,´q ðîçìiðíiñòþ çîáðàæåííÿ
V àáî âiäïîâiäíî¨ ðåøiòêè M “ MpV q, ïîçíà÷à¹ìî ¨¨ ÿê dimV àáî
dimM i çàçâè÷àé çàïèñó¹ìî ó âèãëÿäi
d‚
d``
d`´
d´`
d´´
Çà ïîòðåáè òàêîæ ââîäèìî ïîçíà÷åííÿ d‚ “ d‚pMq, dαβ “ dαβpMq i
d` “ d`pMq “ ř
αβ dαβpMq.
Çàóâàæèìî, ùî ðàíã M ÿê Z-ìîäóëÿ äîðiâíþ¹ d`pMq, òîäi ÿê d‚ “
dimkM{mM .
Íàì òàêîæ ïîòðiáíi àíàëîãè äåÿêèõ ðåçóëüòàòiâ iç [19]. Ç öi¹þ ìåòîþ
ñôîðìóëþ¹ìî ëåìó. Äëÿ áóäü-ÿêî¨ Z-ðåøiòêè àáî R7-ðåøiòêè M ïîêëà-
äåìî M̄ “ M{2M , à ÿêùî α :M Ñ N � ãîìîìîðôiçì ðåøiòîê, òî ÷åðåç
ᾱ ïîçíà÷àòèìåìî iíäóêîâàíå âiäîáðàæåííÿ M̄ Ñ N̄ .
Âiäîìî, ùî äëÿ ÷åòâåðíî¨ ãðóïè Êëÿéíà G êîæíà Z2G-ðåøiòêà, äå
Z2 � öå êiëüöå p-àäè÷íèõ öiëèõ ÷èñåë, çáiãà¹òüñÿ ç 2-àäè÷íèì çàâåðøå-
ííÿì M̂2 äåÿêî¨ ZG-ðåøiòêè M , i âèêîíó¹òüñÿ M̂2 » N̂2 òîäi i òiëüêè
òîäi, êîëè M » N (äèâ. [15]). Îñêiëüêè ĤnpG,Mq “ ĤnpG, M̂2q, íàì
äîñòàòíüî ðîçãëÿäàòè ëèøå Z2G-ðåøiòêè.
126
1.2. Êîãîìîëîãi¨. Ó öüîìó ðîçäiëi ìè òàêîæ âñòàíîâëþ¹ìî äåÿêi ðå-
çóëüòàòè ùîäî òðàíñëÿöi¨ Àóñëåíåðà-Ðàéòåí òà êîãîìîëîãié p-ãðóï.
Íåõàé R � ëîêàëüíå ïîâíå íåòåðîâå êiëüöå, ðiâíîâèìiðíå ç Êðóëëî-
âîþ ðîçìiðíiñòþ 1 i áåç íiëüïîòåíòíèõ åëåìåíòiâ, à R-lat � êàòåãîðiÿ
R-ðåøiòîê, òîáòî ìàêñèìàëüíèõ Êîåíà-Ìàêêîëåÿ R-ìîäóëiâ àáî, ùî
òå ñàìå, R-ìîäóëiâ, âiëüíèõ âiä êðó÷åííÿ. Âiäîìî, ùî R ì๠êàíîíi-
÷íèé ìîäóëü ωR P R-lat, òàêèé ùî ôóíêòîð D “ HomRp,, ωRq ¹ òî÷íîþ
äóàëüíiñòþ íà êàòåãîði¨ R-lat [2, Corollary 3.3.8].
Çîêðåìà, âií iíäóêó¹ ái¹êöiþ íà ìíîæèíi R-ind êëàñiâ içîìîðôiçìó
íåçâiäíèõ R-ðåøiòîê.
Íàãàäà¹ìî, ùî ïîñëiäîâíiñòü Àóñëåíäåðà-Ðàéòåí ó R-lat � öå íåðîç-
ùåïëþâàíà òî÷íà ïîñëiäîâíiñòü
0 Ñ M 1 βÝÑ N
αÝÑ M Ñ 0, (AR)
äå M i M 1 � íåçâiäíi R-ðåøiòêè, i
‚ äëÿ êîæíîãî ãîìîìîðôiçìó ξ : L Ñ M , äå L � íåçâiäíà R-
ðåøiòêà, i ξ íå ¹ içîìîðôiçìîì, iñíó¹ ξ1 : L Ñ N , òàêå ùî ξ “ αξ1;
‚ äëÿ êîæíîãî ãîìîìîðôiçìó η : M 1 Ñ L, äå L � íåçâiäíà R-
ðåøiòêà, i η íå ¹ içîìîðôiçìîì, iñíó¹ η1 : N Ñ L, òàêå ùî η “ η1β.!
Ó öüîìó âèïàäêó M i M 1 âèçíà÷àþòü îäíå îäíîãî ç òî÷íiñòþ äî içî-
ìîðôiçìó. Âîíè ïîçíà÷àþòüñÿ: M 1 “ τRM i M “ τ´1
R M 1. τR íàçèâà¹-
òüñÿ òðàíñëÿöi¹þ Àóñëåíåðà-Ðàéòåí äëÿ R-ðåøiòîê. Âiäîìî [1], ùî äëÿ
êîæíî¨ íåçâiäíî¨ R-ðåøiòêè M fi R (äëÿ êîæíî¨ íåçâiäíî¨ R-ðåøiòêè
M 1 fi ωR) iñíó¹ ïîñëiäîâíiñòü Àóñëåíäåðà-Ðàéòåí (AR), òîæ τRM (âiä-
ïîâiäíî, τ´1
R M 1) âèçíà÷åíà. ßêùî R ¹ Ãîðåíøòåéíîâèì, òîáòî ωR » R,
τR iíäóêó¹ ái¹êöiþ íà ìíîæèíi R-ind“R.
Íåõàé ó ïîñëiäîâíîñòi Àóñëåíäåðà-Ðàéòåí (AR) N “ Àm
i“1Ni, äå Ni �
íåçâiäíi çîáðàæåííÿ, αi : Ni Ñ M òà βi :M 1 Ñ Ni ¹ êîìïîíåíòàìè α òà
β âiäíîñíî öüîãî ðîçêëàäó.
Ñàãàéäàê Àóñëåíäåðà-Ðàéòåí êàòåãîði¨ R-lat � öå ñàãàéäàê, âåðøèíà-
ìè ÿêîãî ¹ êëàñè içîìîðôiçìó íåçâiäíèõ R-ðåøiòîê, à ñòðiëêè âèçíà÷à-
þòüñÿ çà òàêèìè ïðàâèëàìè:
‚ ßêùî M fi R, ñòðiëêè, ùî çàâåðøóþòüñÿ â M , � öå ïðîñòî
αi : Ni Ñ M .
‚ ßêùî M 1 fi ωR, ñòðiëêè, ùî ïî÷èíàþòüñÿ â M , � öå ïðîñòî
βi : M
1 Ñ Ni.
‚ ßêùî radR “ Àk
i“1Qi, äå Qi � íåçâiäíi, ñòðiëêè, ùî çàâåðøó-
þòüñÿ â R, � öå ïðîñòî âêëàäåííÿ ιi : Qi Ñ R.
‚ Ñòðiëêè, ùî ïî÷èíàþòüñÿ â ωR, � öå ïðîñòî Dιi : DQi Ñ ωR.
Çîáðàæåííÿ i êîãîìîëîãi¨ ãðóï i íàïiâãðóï 127
Íåõàé ó ïîñëiäîâíîñòi Àóñëåíäåðà-Ðàéòåí (AR) N “ Àm
i“1Ni, äå Ni �
íåçâiäíi çîáðàæåííÿ, αi : Ni Ñ M òà βi :M 1 Ñ Ni ¹ êîìïîíåíòàìè α òà
β âiäíîñíî öüîãî ðîçêëàäó.
Ñàãàéäàê Àóñëåíäåðà-Ðàéòåí êàòåãîði¨ R-lat � öå ñàãàéäàê, âåðøèíà-
ìè ÿêîãî ¹ êëàñè içîìîðôiçìó íåçâiäíèõ R-ðåøiòîê, à ñòðiëêè âèçíà÷à-
þòüñÿ çà òàêèìè ïðàâèëàìè:
‚ ßêùî M fi R, ñòðiëêè, ùî çàâåðøóþòüñÿ â M , � öå ïðîñòî
αi : Ni Ñ M .
‚ ßêùî M 1 fi ωR, ñòðiëêè, ùî ïî÷èíàþòüñÿ â M , � öå ïðîñòî
βi : M
1 Ñ Ni.
‚ ßêùî radR “ Àk
i“1Qi, äå Qi � íåçâiäíi, ñòðiëêè, ùî çàâåðøóþ-
òüñÿ â R, � öå ïðîñòî âêëàäåííÿ ιi : Qi Ñ R.
‚ Ñòðiëêè, ùî ïî÷èíàþòüñÿ â ωR, � öå ïðîñòî Dιi : DQi Ñ ωR.
Ïîçíà÷èìî ÷åðåç ΩM ñèçèãié M , òîáòî ÿäðî åïiìîðôiçìó φ : P Ñ M ,
äå P � ïðî¹êòèâíèé, à Kerφ Ď radP . Çíîâó æ, ÿêùî R ¹ Ãîðåíøòåé-
íîâèì, òî Ω çàä๠ái¹êöiþ íà ìíîæèíi R-ind“R. Òîæ ó öüîìó âèïàäêó
Ω´1M êîðåêòíî âèçíà÷åíèé äëÿ áóäü-ÿêî¨ íåçâiäíî¨ ðåøiòêè M fi R.
Òâåðäæåííÿ 1.1. ßêùî R ¹ Ãîðåíøòåéíîâèì, òî τRM » ΩM äëÿ
êîæíî¨ íåçâiäíî¨ R-ðåøiòêè M fi R.
Íàãàäà¹ìî, ùî ÿêùî R ¹ Ãîðåíøòåéíîâèì, àëå íå ðåãóëÿðíèì, òî iñíó¹
¹äèíå êiëüöå A Ą R òàêå, ùî A{R » R{ radR, A P R-lat (òîìó A-lat
¹ ïîâíîþ ïiäêàòåãîði¹þ R-lat), i êîæíà íåçâiäíà R-ðåøiòêà M fi R ¹
A-ðåøiòêîþ. A íàçèâà¹òüñÿ ìiíiìàëüíèì íàäêiëüöåì R (äèâ. [8]). Çà
äóàëüíiñòþ, DA » radR.
Òâåðäæåííÿ 1.2. Íåõàé êiëüöå R ¹ ãîðåíøòåéíîâèì i íå ðåãóëÿðíèì,
à A � ìiíiìàëüíå íàäêiëüöå R.
(1) ßêùî 0 Ñ M 1 βÝÑ N
αÝÑ M Ñ 0 � ïîñëiäîâíiñòü Àóñëåíäåðà-
Ðàéòåí ó A-lat, òî âîíà òàêîæ ïîñëiäîâíiñòþ ó R-lat.
(2) ÍåõàéM � íåçâiäíà A-ðåøiòêà. ßêùîM fi A, òî τRM “ τAM ,
à ÿêùî M fi ωA, òî τ´1
R M “ τ´1
A M .
Íàäàëi ïîêëàäåìî R “ ZpG, äå G � ñêií÷åííà êîìóòàòèâíà p-ãðóïà.
Öå ëîêàëüíå, ãîðåíøòåéíîâå, íåðåãóëÿðíå êiëüöå, i R{ radR » Fp (ç
òðèâiàëüíîþ äi¹þ). Íåõàé A � ìiíiìàëüíå íàäêiëüöå R.
Òâåðäæåííÿ 1.3. τRA » ωA.
128
Òâåðäæåííÿ 1.4.
ĤnpG,Aq » ĤnpG,Fpq »
#
pn` 1qFp, ÿêùî n ě 0,
p´nqFp, ÿêùî n ă 0.
Òâåðäæåííÿ 1.5. Íåõàé M P CMpRq, M fi R. Òîäi
ĤnpG,Mq » Ĥn`1pG, τRMq » Ĥn´1pG, τ´1
R Mq
Òåïåð G � öå êëÿéíiâñüêà ÷åòâiðíà ãðóïà: G “ xa, b, |, a2 “ b2 “ 1, , ab “
bay. Òîäi Z2G ì๠4 íåçâiäíi ðåøiòêè Luv, äå u, v P `,´. À ñàìå, Luv “ Z2
ÿê Z2-ìîäóëü, a äi¹ ÿê u1, à b � ÿê v1.
Òâåðäæåííÿ 1.6.
ĤnpG,L``q “
$
’&
’%
p|n|{2 ` 1qF2, ÿêùî n ‰ 0 ïàðíå,
p|n|{2qF2, ÿêùî n íåïàðíå,
Z{4Z, ÿêùî n “ 0,
à ÿêùî pu, vq ‰ p`,`q, òî
ĤnpG,Luvq “ prp|n| ` 1q{2sqF2
Ïîêëàäåìî R “ Z2G, äå G � êëÿéíiâñüêà ÷åòâiðíà ãðóïà, à A �
ìiíiìàëüíå íàäêiëüöå R. Çãàäà¹ìî ñòðóêòóðó ñàãàéäàêà Àóñëåíäåðà-
Ðàéòåí äëÿ A-lat. Iç [18] òà [16] âèïëèâà¹, ùî öåé ñàãàéäàê ñêëàäà¹òüñÿ
ç ïðåïðîåêòèâíî-ïðåií'¹êòèâíî¨ êîìïîíåíòè òà òðóá.
Ïðåïðîåêòèâíî-ïðåií'¹êòèâíà êîìïîíåíòà ì๠âèãëÿä
L2``
��
L1``
��
L``
��
L´1
``
��
L´2
``
��
L´3
``
��
L2`´
��
L1`´
��
L`´
��
L´1
`´
��
L´2
`´
��
L´3
`´
��¨ ¨ ¨
GG
??
��
��
A2
HH
AA
��
��
A1
HH
AA
��
��
A
II
BB
��
��
A´1
HH
@@
��
��
A´2
HH
@@
��
��
¨ ¨ ¨
L2´`
AA
L1´`
AA
L´`
BB
L´1
´`
@@
L´2
´`
@@
L´3
´`
??
L2´´
HH
L1´´
HH
L´´
II
L´1
´´
HH
L´2
´´
HH
L´3
´´
GG
Òóò Mk ïîçíà÷๠τkRM . Çîêðåìà, A1 “ ωA. Òâåðäæåííÿ 1.5 òà 1.6
âèâîäÿòü íàñòóïíi çíà÷åííÿ êîãîìîëîãié äëÿ öèõ ðåøiòîê.
Çîáðàæåííÿ i êîãîìîëîãi¨ ãðóï i íàïiâãðóï 129
Òåîðåìà 1.2.
ĤnpG,Akq “
#
pn´ k ` 1qF2, ÿêùî n ě k,
pk ´ nqF2, ÿêùî n ă k;
ĤnpG,Lk``q “
$
’&
’%
p|n´ k|{2 ` 1qF2, ÿêùî n´ k ‰ 0 � ïàðíå,
p|n´ k|{2qF2, ÿêùî n´ k � íåïàðíå,
Z{4Z, ÿêùî n “ k;
i ÿêùî pu, vq ‰ p`,`q, òîäi
ĤnpG,Lkuvq “ rp|n´ k| ` 1q{2F2. □
Ùîá îá÷èñëèòè êîãîìîëîãi¨ ðåøiòîê, ùî íàëåæàòü òðóáàì, íåîáõiäíi
òàêi ìiðêóâàííÿ. Íåõàé Ã � öå öiëå çàìèêàííÿ A â A ˚ Qp. Äëÿ áóäü-
ÿêî¨ A-ðåøiòêè M ðåøiòêà M̃ “ ÃM ¹ ïðÿìîþ ñóìîþ
À
u,vP`,´ Muv, äå
Muv » pruvMqLuv äëÿ äåÿêèõ öiëèõ ÷èñåë ruvM . Çàçíà÷èìî, ùî êîæåí
Z2-ïiäìîäóëü Muv íàñïðàâäi ¹ Ã-ïiäìîäóëåì.
Ëåìà 1.1. ßêùî M fi L`` ¹ íåçâiäíîþ R-ðåøiòêîþ, òî Ĥ0pG,Mq “
pr``MqF2.
Òåïåð íàãàäà¹ìî ñòðóêòóðó òðóá [16]. Îäíîðiäíi òðóáè ïàðàìåòðèçó-
þòüñÿ íåçâiäíèìè îäíîðiäíèìè ïîëiíîìàìè f P F2rxs, äå f R x, x´ 1.
Òðóáà T f ì๠âèãëÿä
T f1
**
T f2
**
jj T f3
**
jj T f4
**
jj ¨ ¨ ¨jj
äå r``pT fk q “ kd äëÿ d “ deg f òà τRT
f
k “ T fk .
� òàêîæ 3 ñïåöiàëüíèõ òðóá T j pj P 2, 3, 4q. Âîíè ìàþòü âèãëÿä
T j11
// T j12
//
~~
T j13
//
~~
T j14
//
~~
//
~~
¨ ¨ ¨
��
T j21
// T j22
//
``
T j23
//
``
T j24
//
``
//
``
¨ ¨ ¨
__
äå r``T j12k “ r``T j22k “ k, r``T j12k´1 “ k, r``T j22k´1 “ k ´ 1 òà τRT
j1
k “
T j2k , τRT
j2
k “ T j1k .
Âèêîðèñòîâóþ÷è Ëåìó 1.1 òà Òâåðäæåííÿ 1.5, ìè îòðèìó¹ìî íàñòó-
ïíèé ðåçóëüòàò, ÿêèé çàâåðøó¹ îá÷èñëåííÿ êîãîìîëîãié ðåøiòîê íàä
êëÿéíiâñüêîþ ãðóïîþ.
130
Òåîðåìà 1.3.
ĤnpG,T fk q “ kdF2, äå d “ deg f,
òà äëÿ âñiõy j P t2, 3, 4u
ĤnpG,T ji2kq “ k F2 äëÿ îáîõ i “ 1, 2,
ĤnpG,T j12k´1q “
#
k F2, ÿêùî |n| � ïàðíå,
pk ´ 1qF2, ÿêùî |n| � íåïàðíå,
ĤnpG,T j22k´1q “
#
k F2, ÿêùî |n| � ïàðíå,
pk ´ 1qF2, ÿêùî |n| � íåïàðíå.
2. Êîãîìîëîãi¨ ðåãóëÿðíèõ ðåøiòîê íàä Êëÿéíiâñüêîþ
4-ãðóïîþ
ßêùî M,N,L � ðåøiòêè, òî ìîæíà ñôîðìóëþâàòè íàñòóïíó ëåìó.
Ëåìà 2.1. Íåõàé äàíà òî÷íà ïîñëiäîâíiñòü 0 Ñ M̄
ᾱÝÑ N̄
β̄ÝÑ L̄ Ñ 0
Z-ðåøiòîê àáî R7-ðåøiòîê. Òîäi ¨¨ ìîæíà ïiäíÿòè äî òî÷íî¨ ïîñëiäîâ-
íîñòi 0 Ñ M
αÝÑ N
βÝÑ L Ñ 0.
Íàñëiäîê 2.1. Íåõàé 0 Ñ V 1 ᾱÝÑ V
β̄ÝÑ V 2 Ñ 0 � òî÷íà ïîñëiäîâíiñòü
çîáðàæåíü ç êàòåãîði¨ R. Òîäi ¨¨ ìîæíà ïiäíÿòè äî òî÷íî¨ ïîñëiäîâ-
íîñòi A-ðåøiòîê 0 Ñ MpV 1q αÝÑ MpV q βÝÑ MpV 2q Ñ 0 1
Ìè êàæåìî, ùî ìîíîìîðôiçì ðåøiòîê ϕ : M Ñ N ¹ ÷èñòèì, ÿêùî
Cokerϕ ¹ âiëüíèì âiä êðó÷åííÿ (à îòæå, òàêîæ ¹ ðåøiòêîþ).
Íàñëiäîê 2.2. Êîæåí åïiìîðôiçì (ìîíîìîðôiçì, içîìîðôiçì) V Ñ V 1
çîáðàæåíü ç êàòåãîði¨ R ìîæíà ïiäíÿòè äî åïiìîðôiçìó (âiäïîâiäíî,
÷èñòîãî ìîíîìîðôiçìó, içîìîðôiçìó) A-ðåøiòîê ΦpV q Ñ ΦpV 1q.
Íàñëiäîê 2.3. Íåõàé çàäàíî ëàíöþã ïiäçîáðàæåíü
V “ V0 Ą V1 Ą V2 Ą . . . Ą Vm´1 Ą Vm “ 0,
òîäi iñíó¹ ëàíöþã ïiäðåøiòîê ó M “ MpV q
M “ M0 Ą M1 Ą M2 Ą . . . Ą Mm´1 Ą Mm “ 0
1Öåé ðåçóëüòàò íå âèïëèâ๠áåçïîñåðåäíüî ç [19, Ëåìà 4], äå ðîçãëÿäà¹òüñÿ âèïà-
äîê àëãåáð íàä ïîâíèìè êiëüöÿìè äèñêðåòíîãî íîðìóâàííÿ. Êðiì òîãî, âií ñóòò¹âî
çàëåæèòü âiä Ëåìè 2.1, à îòæå � âiä ¾ìàëîìiðíîñòi¿ çàëèøêîâîãî ïîëÿ k.
Çîáðàæåííÿ i êîãîìîëîãi¨ ãðóï i íàïiâãðóï 131
òàêèé, ùî Mk » MpVkq i Mk{Mk`l » MpVk{Vk`lq äëÿ âñiõ äîïóñòèìèõ
çíà÷åíü k, l.
2.1. Ðåãóëÿðíi ðåøiòêè. Íàãàäà¹ìî ñòðóêòóðó ñàãàéäàêà Àóñëåíäå-
ðà�Ðàéòåí Q êàòåãîði¨ Â-lat [16]. Çãiäíî ç [19], âií îòðèìó¹òüñÿ ç ñàãàé-
äàêà Àóñëåíäåðà-Ðàéòåí êàòåãîði¨ repΛ øëÿõîì ñêëåþâàííÿ ïðåïðîå-
êòèâíî¨ òà ïðåií'¹êòèâíî¨ êîìïîíåíò â îäíó. Îòðèìàíà ïðåïðîåêòèâíî-
ïðåií'¹êòèâíà êîìïîíåíòà çîáðàæåíà íà Ðèñóíêó 1. Óñi ðåøiòêè òóò
îäíîçíà÷íî âèçíà÷àþòüñÿ ñâî¨ìè ðîçìiðíîñòÿìè. Òðàíñëÿöiÿ Àóñëåíäå-
ðà�Ðàéòåí τ ó êàòåãîði¨ R̂-lat äi¹ íà öié êîìïîíåíòi ÿê çñóâ ëiâîðó÷.
Çàóâàæèìî, ùî äëÿ êîæíî¨ A-ðåøiòêè M ìà¹ìî τM̂ » ΩM̂ , äå ΩM̂ �
ñèçèãié M̂ ÿê R̂-ìîäóëÿ [13, Prop. 1.1]. Âiäòàê ΩM » N , ÿêùî τM̂ “ N̂ .
Ðèñ. 2.1. Ïðåïðîåêòèâíî-ïðåií'¹êòèâíà êîìïîíåíòà
Iíøi êîìïîíåíòè, ÿêi íàçèâàþòüñÿ ðåãóëÿðíèìè, � öå òðóáè. Âîíè
ïàðàìåòðèçóþòüñÿ çàìêíåíèìè òî÷êàìè ïðî¹êòèâíî¨ ïðÿìî¨ P1
k
(ðîç-
ãëÿíóòî¨ ÿê ñõåìà), òîáòî îäíè÷íèìè íåçâiäíèìè ìíîãî÷ëåíàìè ç krts
òà ñèìâîëîì 8. Òðóáó, ùî âiäïîâiä๠ìíîãî÷ëåíó fptq, ïîçíà÷à¹ìî ÷åðåç
T f , à òðóáó, ùî âiäïîâiä๠8, � ÷åðåç T 8. Òàêîæ ïèøåìî T 0 çàìiñòü T t
i T 1 çàìiñòü T t´1. Îïèñóþ÷è òðóáè, ìè ïiäñòàâëÿ¹ìî A-ðåøiòêè çàìiñòü
¨õíiõ çàâåðøåíü i êàæåìî, ùî T íàëåæèòü òðóái T f , ÿêùî T̂ íàëåæèòü
öié òðóái. Òîäi ìè íàçèâà¹ìî T ðåãóëÿðíîþ K-ðåøiòêîþ. Ìè íàçèâà¹ìî
K-ðåøiòêó M ðåãóëÿðíîþ, ÿêùî âñi ¨¨ íåçâiäíi ïðÿìi äîäàíêè ¹ ðåãó-
ëÿðíèìè. Óñi òðóáè, îêðiì T λ (äå λ P 0, 1,8), ¹ îäíîðiäíèìè, òîáòî äëÿ
êîæíîãî M ç öi¹¨ òðóáè âèêîíó¹òüñÿ τM » M . Âîíè ìàþòü âèãëÿä
T f1
**
T f2
**
jj T f3
**
jj ¨ ¨ ¨jj (2.1)
132
dimT fm “ 2dm
dm
dm
dm
dm
, äå d “ deg fptq. Íàñïðàâäi, T fm “ MpT̄ fmq, äå T̄ fm �
öå òàêå çîáðàæåííÿ ñàãàéäàêà Λ:
k
dm
k
dm
k
2dm
p I 0 q
99
p 0 I q
44
p I I q
**p I F q
%%
k
dm
k
dm
(2.2)
Òóò I � îäèíè÷íà ìàòðèöÿ ðîçìiðó dmˆdm, à F � ìàòðèöÿ Ôðîáåíióñà
ç õàðàêòåðèñòè÷íèì ìíîãî÷ëåíîì fptqm.
Òðóáà T λ äëÿ λ P 0, 1,8 ì๠âèãëÿä
T λ11
// T λ12
//
}}
T λ13
//
}}
T λ14
//
}}
//
}}
¨ ¨ ¨
~~
T λ21
// T λ22
//
aa
T λ23
//
aa
T λ24
//
aa
//
aa
¨ ¨ ¨
``
(2.3)
Òóò τT λ1n » T λ2n òà τT λ2n » T λ1n. Äëÿ λ “ 1 ìà¹ìî:
dimT 1j2m “ 2m
m
m
m
m
äëÿ îáîõ j “ 1 i j “ 2,
dimT 112m´ 1 “ 2m´1
m
m
m´1
m´1
,
dimT 122m´ 1 “ 2m´1
m´1
m´1
m
m
.
Íàñïðàâäi, T 112m “ MpT̄ 112mq, äå T̄ 112m ì๠âèãëÿä (2.2) ç d “ 1 òà
F “ J1 � æîðäàíîâà ìàòðèöÿ ðîçìiðó m ˆ m ç âëàñíèì çíà÷åííÿì 1.
Çîáðàæåííÿ i êîãîìîëîãi¨ ãðóï i íàïiâãðóï 133
T 112m´ 1 “ MpT̄ 112m´ 1q, äå T̄ 112m´ 1 ì๠âèãëÿä
k
m
k
m
k
2m´1
f1
88
f2
44
f3 **
f4
%%
k
m´1
k
m´1
Òóò
f1 “
ˆ
I 0 0
0 0 1
˙
,
f2 “
ˆ
0 I 0
0 0 1
˙
,
f3 “ `
I I 0
˘
,
f4 “ `
I J1 e
˘
, äå e “
˜ 0
...
0
1
¸
,
äå ìàòðèöi I òà J1 ìàþòü ðîçìið pm ´ 1q ˆ pm ´ 1q. Ðåøiòêè T 12
n îòðè-
ìóþòüñÿ ç T 11
n øëÿõîì ïåðåñòàíîâêè f1 ç f3 òà f2 ç f4 âiäïîâiäíî.
Òðóáà T 0 (âiäïîâiäíî, T 8) îòðèìó¹òüñÿ ç òðóáè T 1 ïåðåñòàíîâêîþ f2
ç f4 (âiäïîâiäíî, f2 ç f3).
Çàóâàæèìî, ùî íåçâiäíà ðåøiòêàM íàëåæèòü òðóái òîäi i òiëüêè òîäi,
êîëè
2d‚pMq “ ř
αβ dαβpMq. (2.4)
 öüîìó âèïàäêó
d‚pΩMq “ d‚pMq òà dαβpΩMq “ d‚pMq ´ dαβpMq. (2.5)
Ñòðóêòóðà çîáðàæåíü ñàãàéäàêiâ, ùî íàëåæàòü òðóáàì, îïèñàíà ó
[5,6] (äèâ. òàêîæ [9, Thm. 31 and 36]). Ó ïî¹äíàííi ç Òâåðäæåííÿì 2.3 öå
ä๠íàñòóïíèé ðåçóëüòàò äëÿ ðåøiòîê. Âiäòåïåð, ïèøó÷è T fm, ìè çàâæäè
ïðèïóñêà¹ìî, ùî f R t, t´ 1, à ïðè ïîçíà÷åííi T λjm çàâæäè ìà¹ìî íà
óâàçi, ùî λ P 0, 1,8 i j P 1, 2.
Òåîðåìà 2.1. Êîæåí ìîäóëü T fm àáî T λjm ì๠ëàíöþã ïiäìîäóëiâ
M “ M0 Ą M1 Ą M2 Ą . . . Ą Mm´ 1 Ą Mm “ 0 (2.6)
òàêèé, ùî
134
(1) Mk{Mk`l »
$
’&
’%
T fl ÿêùî M “ T fm,
T λjl ÿêùî M “ T λjm i k ïàðíå,
T λil , äå i ‰ j, ÿêùî M “ T λjm i k íåïàðíå.
(2) Âiäîáðàæåííÿ T fm Ñ T fm`1 òà T
λj
m Ñ T λjm`1 ó äiàãðàìàõ (2.1) òà
(2.3) âiäïîâiäíî ìîæíà âèáðàòè ií'¹êòèâíèìè, ç âiäïîâiäíèìè
ôàêòîðàìè T f1 òà T λj1 .
(3) Âiäîáðàæåííÿ T fm`1 Ñ T fm òà T λim`1 Ñ T λjm pi ‰ jq ó äiàãðà-
ìàõ (2.1) òà (2.3) âiäïîâiäíî ìîæíà âèáðàòè ñþð'¹êòèâíèìè,
ç âiäïîâiäíèìè ÿäðàìè T f1 òà T λi1 .
(4) ßêùî M i M 1 íàëåæàòü äî ðiçíèõ òðóá, òî äëÿ êîæíîãî ãî-
ìîìîðôiçìó φ :M Ñ N âèêîíó¹òüñÿ Imφ Ď 2N .
Ìîæíà òàêîæ îòðèìàòè îïèñ åíäîìîðôiçìiâ íåçâiäíèõ ðåøiòîê, ùî
íàëåæàòü òðóáàì.
Äëÿ áóäü-ÿêîãî êîìóòàòèâíîãî êiëüöÿ K òà áóäü-ÿêîãî îäíè÷íîãî
ìíîãî÷ëåíà fptq ñòåïåíÿ d iñíó¹ ïðèðîäíå âêëàäåííÿ εfm : Krts{pfptqmq Ñ
Matpdm,Kq, ÿêå âèíèê๠ç ðåãóëÿðíîãî çîáðàæåííÿ öüîãî ôàêòîð-êiëüöÿ
íàä K. Ïîçíà÷èìî ÷åðåç Kf
m îáðàç öüîãî âêëàäåííÿ Krts{pfptqmq Ñ
Matpdm,Kq4, äå âñi éîãî êîìïîíåíòè � öå εfm. Òàêîæ ïîçíà÷èìî ÷åðåç
Kt
m˚ îáðàç âêëàäåííÿ Krts{ptmq Ñ Matpm,Kq2ˆMatpm´1,Kq2, äå ïåð-
øi äâi êîìïîíåíòè � öå εtm, à äâi iíøi � êîìïîçèöi¨ εtm´1πm, äå πm �
ñþð'¹êöiÿ Krts{ptmq Ñ Krts{ptm´1q. Çâiñíî, ÿêùî m “ 1, òî öå ïðîñòî
äiàãîíàëüíå âêëàäåííÿ K Ñ K ˆK.
ßêùî M � A-ðåøiòêà ç dimM “ d‚
d``
d`´
d´`
d´´
, òî êiëüöå åíäîìîðôiçìiâ
EndAM ïðèðîäíî âêëàäåíå ó EndR7 M̃ “ ś
αβMatpdαβ,Zq, i ìè îòîòî-
æíþ¹ìî éîãî ç îáðàçîì öüîãî âêëàäåííÿ.
Òåîðåìà 2.2. Íåõàé fptq P krts � íåçâiäíèé îäíè÷íèé ìíîãî÷ëåí. Âè-
áåðåìî îäíè÷íèé ìíîãî÷ëåí f̃ptq P Zrts òàêèé, ùî fptq “ f̃ptq pmod 2q.
(1) EndA T
f
m “ Zf̃m ` 2Matpdm,Zq4, äå d “ deg fptq.
(2) EndA T
λj
2m “ Ztm ` 2Matpm,Zq4 òà
EndA T
λj
2m´1 “ Ztm˚ ` 2
`
Matpm,Zq2 ˆ Matpm´ 1,Zq2˘.
Î÷åâèäíî, ùî öå íå çàëåæèòü âiä âèáîðó ìíîãî÷ëåíà f̃ptq.
2.2. Êîãîìîëîãi¨. Ìè íàäàìî ÿâíèé îïèñ êîãîìîëîãié HnpK,Mq òà
HnpK,DMq äëÿ n ą 0 i ðåãóëÿðíèõ K-ðåøiòîê M . Î÷åâèäíî, ùî äî-
ñòàòíüî îá÷èñëèòè ¨õ ëèøå äëÿ íåçâiäíèõ ðåøiòîê.
Çîáðàæåííÿ i êîãîìîëîãi¨ ãðóï i íàïiâãðóï 135
Iç [12] âèïëèâà¹, ùî âiëüíó ðåçîëüâåíòóP äëÿ òðèâiàëüíîãîK-ìîäóëÿ
Z ìîæíà âèáðàòè òàê: Pn � öå ïðîñòið îäíîðiäíèõ ìíîãî÷ëåíiâ ñòåïåíÿ
n ç Rrx, ys, i
dpxkylq “ pa` p´1qkqxk´1yl ` p´1qkpb` p´1qlqxkyl´1.
Îòæå, n-êîöèêë γ çàäà¹òüñÿ çíà÷åííÿìè γpxmyn´mq äëÿ 0 ď m ď n.
Íåõàé M � íåçâiäíà ðåãóëÿðíà ðåøiòêà. Ïîêëàäåìî
Mpnq “
$
’&
’%
M``, ÿêùî n � ïàðíå,
M´`, ÿêùî n � íåïàðíå M R T 8,
M`´, ÿêùî n � íåïàðíå M P T 8,
Ìè âèçíà÷à¹ìî ãîìîìîðôiçì ξ : Mpnq Ñ HnpK,Mq pn ą 0q. Âií âiä-
îáðàæ๠åëåìåíò v P Mpnq ó êëàñ êîöèêëà ξv, ÿêèé çàäà¹òüñÿ íàñòóïíèì
÷èíîì.
‚ ßêùî n � ïàðíå, òî M R T 8 òà v P M``,
ξvpxmyn´mq “
#
v, ÿêùî m “ n,
0, iíàêøå.
‚ ßêùî n � ïàðíå, òî M P T 8 òà v P M``,
ξvpxmyn´mq “
#
v, ÿêùî m “ 0,
0, iíàêøå.
‚ ßêùî n � ïàðíå, òî M R T 8 òà v P M´`,
ξvpxmyn´mq “
#
v, ÿêùî m “ n,
0, iíàêøå.
‚ ßêùî n � ïàðíå, òî M P T 8 òà v P M`´,
ξvpxmyn´mq “
#
v, ÿêùî m “ 0,
0, iíàêøå.
Ëåãêî ïåðåâiðèòè, ùî ξv ñïðàâäi ¹ êîöèêëîì.
Òåîðåìà 2.3. Äëÿ êîæíî¨ íåçâiäíî¨ ðåãóëÿðíî¨ K-ðåøiòêè M i êî-
æíîãî n ą 0 âiäîáðàæåííÿ ξ iíäóêó¹ içîìîðôiçì ξ̄ : Mpnq{2Mpnq „Ñ
HnpK,Mq.
Äëÿ äîâåäåííÿ ìè âèêîðèñòîâó¹ìî òàêi ðåçóëüòàòè.
Ëåìà 2.2. ßêùî 0 Ñ M 1 Ñ M Ñ M2 Ñ 0 � òî÷íà ïîñëiäîâíiñòü
ðåãóëÿðíèõ K-ðåøiòîê, òî iíäóêîâàíi ïîñëiäîâíîñòi
0 Ñ ΩM 1 Ñ ΩM Ñ ΩM2 Ñ 0, (2.7)
136
0 Ñ Ω´1M 1 Ñ Ω´1M Ñ Ω´1M2 Ñ 0 (2.8)
òàêîæ ¹ òî÷íèìè.
Íàñëiäîê 2.4. ßêùî 0 Ñ M 1 Ñ M Ñ M2 Ñ 0 � òî÷íà ïîñëiäîâíiñòü
ðåãóëÿðíèõ K-ðåøiòîê, òî iíäóêîâàíà ïîñëiäîâíiñòü êîãîìîëîãié
0 Ñ ĤnpK,M 1q Ñ ĤnpK,Mq Ñ ĤnpK,M2q Ñ 0
òàêîæ ¹ òî÷íîþ äëÿ êîæíîãî n P Z.
Àíàëîãi÷íi ìiðêóâàííÿ äàþòü ÿâíèé îïèñ êîãîìîëîãié äëÿ ðåãóëÿð-
íèõ ìîäóëiâ êîðåøiòîê, òîáòî äóàëüíèõ ìîäóëiâ äî ðåãóëÿðíèõ ðåøiòîê.
Äëÿ íåçâiäíîãî ðåãóëÿðíîãî ìîäóëÿ êîðåøiòêè N “ DM ïîêëàäåìî
N̄ “ tu P N | 2u “ 0 u.
Npnq “
$
’&
’%
N̄``, ÿêùî n � ïàðíå
N̄´`, ÿêùî n � íåïàðíå M R T8,
N̄`´, ÿêùî n � íåïàðíå òà M P T8.
Ìè âèçíà÷à¹ìî ãîìîìîðôiçì η : Npnq Ñ HnpK,Nq pn ą 0q. Âií âiäîáðà-
æ๠åëåìåíò u P Npnq ó êëàñ êîöèêëà ηu, ÿêèé çàäà¹òüñÿ íàñòóïíèì
÷èíîì.
‚ ßêùî n � íåïàðíå, òî M R T 8 òà u P N̄´`,
ηupxmyn´mq “
#
u, ÿêùî m “ n,
0, iíàêøå.
‚ ßêùî n � íåïàðíå, òîM P T 8 òà u P N̄`´,
ηupxmyn´mq “
#
u, ÿêùî m “ 0,
0, iíàêøå.
‚ ßêùî n � ïàðíå, òî u P N̄``,
ηupxmyn´mq “
#
u, ÿêùî m “ n,
0, iíàêøå.
Ëåãêî ïåðåâiðèòè, ùî ηu ñïðàâäi ¹ êîöèêëîì.
Òåîðåìà 2.4. Äëÿ êîæíîãî íåçâiäíîãî ðåãóëÿðíîãî ìîäóëÿ êîðåøiòêè
N i êîæíîãî n ą 0 âiäîáðàæåííÿ η iíäóêó¹ içîìîðôiçì Npnq „Ñ HnpK,Nq.
2.3. Äiÿ àâòîìîðôiçìiâ.
Çîáðàæåííÿ i êîãîìîëîãi¨ ãðóï i íàïiâãðóï 137
2.3.1. Ðåøiòêè. Íàì òàêîæ ïîòðiáíî çíàòè, ÿê àâòîìîðôiçìè ðåøiòîê i
ãðóïè äiþòü íà êîãîìîëîãi¨. Íåõàé M “ T fm àáî M “ T λjm. Ðîçãëÿíåìî
ëàíöþã ïiäìîäóëiâ Mk Ă M ç Òåîðåìè 2.1. Ïîçíà÷èìî ÷åðåç Efk,m, n
àáî, âiäïîâiäíî, ÷åðåç Eλjk,m, n (äå 0 ď k ă m) ìíîæèíó
Mkpnqz`2Mkpnq `Mk ` 1pnq˘.
Çàóâàæèìî, ùî Eλjk,m,n ‰ H òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè k ă m i
k ”
#
j, ÿêùî n ïàðíå
j ` 1, ÿêùî n íåïàðíå
pmod 2q (2.9)
Iç Òåîðåì 2.1 òà 2.2 ëåãêî âèïëèâ๠íàñòóïíèé ðåçóëüòàò.
Òåîðåìà 2.5. Íåõàé e P Efk,m,n àáî e P Eλjk,m,n, à e1 P Efk1,m1,n àáî, âiäïî-
âiäíî, e1 P Eλj1
k1,m1,n. Òîäi iñíó¹ ãîìîìîðôiçì θ : T fm Ñ T fm1 àáî, âiäïîâiä-
íî, θ : T λjm Ñ T λj
1
m1 òàêèé, ùî θpeq “ e1 òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè àáî
m ě m1 i k ď k1, àáî m ď m1 i k ď k1 ´ m1 ` m. ßêùî m “ m1 i k “ k1,
òî θ ìîæíà âèáðàòè içîìîðôiçìîì.
Îçíà÷åííÿ 2.1. 1) Äëÿ êîæíî¨ ÷åòâiðêè pf,m, k, nq, äå k ă m, ôiêñó-
¹ìî åëåìåíò efm,k,n P Efm,k,n, à äëÿ êîæíî¨ ï'ÿòiðêè pλ, j,m, k, nq, äå
k ă m i k, j çàäîâîëüíÿþòü óìîâó (2.9), � åëåìåíò eλjm,k,n P Eλjm,k,n.
2) Äëÿ îäíîðiäíî¨ òðóáè T f íàçâåìî ñòàíäàðòíîþ ïîñëiäîâíiñòþ ïî-
ñëiäîâíiñòü σ “ pmi, kiq p1 ď i ď sq, äå m1 ą m2 ą ¨ ¨ ¨ ą ms, 1 ď ki ă mi
i ki1 ă ki ă ki1 ` mi ´ mi1 äëÿ i ă i1. Ïîçíà÷èìî Mf
σ “ Às
i“1 T
f
mi i
efσ,n “ řs
i“1 e
f
mi,ki,n
.
3) Äëÿ ñïåöiàëüíî¨ òðóáè T λ íàçâåìî ñòàíäàðòíîþ ïîñëiäîâíiñòþ
ïîñëiäîâíiñòü σ “ pji,mi, kiq p1 ď i ď sq, äå ji P t1, 2u, m1 ą m2 ą
¨ ¨ ¨ ą ms, 1 ď ki ă mi i ki1 ă ki ă ki1 ` mi ´ mi1 äëÿ i ă i1. Ïîçíà÷èìî
Mλ
σ “ Às
i“1 T
λji
mi . Òàêó ïîñëiäîâíiñòü íàçèâà¹ìî
‚ ïàðíîþ, ÿêùî ki ” ji pmod 2q äëÿ âñiõ i,
‚ íåïàðíîþ, ÿêùî ki ” ji ` 1 pmod 2q äëÿ âñiõ i.
Äëÿ ïàðíî¨ (íåïàðíî¨) ñòàíäàðòíî¨ ïîñëiäîâíîñòi é ïàðíîãî (âiäïîâiä-
íî, íåïàðíîãî) n ïîêëàäà¹ìî eλσ,n “ řs
i“1 e
λji
mi,ki,n
.
4) Ìè íàçèâà¹ìî ñòàíäàðòíèìè äàíèìè ïàðó ∆ “ pΣ, Sq, äå Σ “ T fq ,
1 ď q ď r, � öå íàáið ðiçíèõ òðóá, à S “ σq, 1 ď q ď r, � íàáið
138
ñòàíäàðòíèõ ïîñëiäîâíîñòåé σq äëÿ êîæíî¨ òðóáè T fq . Òàêi äàíi íà-
çèâàþòüñÿ ñïåöiàëüíèìè, ÿêùî ïðèíàéìíi îäíà ç òðóá T fq ¹ ñïåöiàëü-
íîþ. Ñïåöiàëüíi ñòàíäàðòíi äàíi íàçèâàþòüñÿ ïàðíèìè àáî íåïàðíè-
ìè, ÿêùî âñi ñòàíäàðòíi ïîñëiäîâíîñòi σq äëÿ ñïåöiàëüíèõ òðóá T fq ¹
âiäïîâiäíî ïàðíèìè àáî íåïàðíèìè. Ïîçíà÷èìî M∆ “ Àr
q“1M
fqσq òà
e∆, n “ řs
q“1 e
fqσq, n. Ó öüîìó îçíà÷åííi ïðèïóñêà¹ìî, ùî ÿêùî ∆ ¹
ñïåöiàëüíèìè äàíèìè, òî âîíè ¹ ïàðíèìè, ÿêùî n ïàðíå, i íåïàðíèìè,
ÿêùî n íåïàðíå (iíàêøå åëåìåíò e∆, n íå âèçíà÷åíèé).
ßêùî â Σ òðàïëÿ¹òüñÿ òðóáà T 8, íàïðèêëàä, fk “ 8, òî ïîçíà÷è-
ìî e8
∆,n “ e8
σk,n
, à e0∆,n � ÿê ðåøòó ñóìè, ùî âèçíà÷๠e∆,n. Çâiñíî,
ìîæëèâî, ùî e8
∆,n “ 0 àáî e0∆,n “ 0.
Ç Òåîðåìè 2.5 âèïëèâ๠íàñòóïíèé ðåçóëüòàò.
Òåîðåìà 2.6. Íåõàé M � ðåãóëÿðíà R-ðåøiòêà, à ε P HnpK,Mq pn ą
0q. Òîäi iñíóþòü ñòàíäàðòíi äàíi ∆ òà ðîçêëàä θ : M
„Ñ M0 ` M∆
òàêèé, ùî ïðî¹êöiÿ θpεq íà HnpK,M0q äîðiâíþ¹ íóëþ, à ïðî¹êöiÿ θpεq
íà HnpK,M∆q äîðiâíþ¹ ξ̄pe∆,nq (äèâ. ñòîðiíêó 135 äëÿ îçíà÷åííÿ ξ̄).
ßêùî ε “ 0, òî M∆ “ 0.
Çîêðåìà, ìè îòðèìó¹ìî îïèñ îðáiò àâòîìîðôiçìiâ íåçâiäíèõ ðåãóëÿð-
íèõ ðåøiòîê íà êîãîìîëîãiÿõ.
Íàñëiäîê 2.5. Íåõàé M � íåçâiäíà ðåãóëÿðíà ðåøiòêà. Ðîçãëÿíåìî
ëàíöþã (2.6) ¨¨ ïiäðåøiòîê i ïîçíà÷èìî ÷åðåç Hn
k pK,Mq îáðàç ó HnpK,Mq
ìíîæèíè HnpK,Mkq. Òîäi îðáiòè AutKM íà HnpK,Mq pn ą 0q ìà-
þòü âèãëÿä Hn
k pK,MqzHn
k`1pK,Mq äëÿ 0 ď k ă m òà 0.
Ãðóïà àâòîìîðôiçìiâ ãðóïèK � öå ñèìåòðè÷íà ãðóïà S3: âîíà ïðîñòî
ïåðåñòàâëÿ¹ åëåìåíòè a, b òà c “ ab. �¨ ïîðîäæóþòü òðàíñïîçèöi¨ τ2 : a Ø
b òà τ3 : a Ø c. Âîíè ïåðåñòàâëÿþòü `´-êîìïîíåíòó äiàãðàìè (1.1),
âiäïîâiäíî, ç ´`-êîìïîíåíòîþ òà ç ´´-êîìïîíåíòîþ. Òàêèì ÷èíîì, τ2
ïåðåñòàâëÿ¹ òðóáè T 1 òà T 0, à τ3 � òðóáè T 1 òà T 8. Äîñèòü ïðîñòi
ìàòðè÷íi îá÷èñëåííÿ ïîêàçóþòü, ùî τ2 ïåðåñòàâëÿ¹ T f ç T f p2q
, à τ3 � ç
T f p3q
, äå
f p2qptq “ fp1q´1pt´ 1qdf
ˆ
t
t´ 1
˙
, f p3qptq “ p´1qdfp1 ´ tq,
äå d “ deg f . Öå âèçíà÷๠äiþ S3 íà ìíîæèíi ñòàíäàðòíèõ äàíèõ. Çàóâà-
æèìî, ùî ÿêùî ψ P AutK, òî iñíó¹ àâòîìîðôiçì φ P AutMτ∆ òàêèé,
ùî ψξpe∆,nq “ φξpeψ∆,nq.
Çîáðàæåííÿ i êîãîìîëîãi¨ ãðóï i íàïiâãðóï 139
2.3.2. Êîðåøiòêè. Íåõàé òåïåð N “ DM , äåM � K-ðåøiòêà. ßêùîM
¹ ðåãóëÿðíîþ, òî N òàêîæ íàçèâà¹òüñÿ ðåãóëÿðíîþ. ßêùî N “ DM ,
äå M “ T fm àáî M “ T λjm, òîäi iñíó¹ ëàíöþã ïiäìîäóëiâ, äóàëüíèé äî
ëàíöþãà (2.6) ç Òåîðåìè 2.1:
0 “ N0 Ă N1 Ă N2 Ă . . . Ă Nm´ 1 Ă Nm “ N, (2.10)
äå Nk “ MK
k i
Nk`l{Nk »
$
’&
’%
DT fl ÿêùî N “ DT fm,
DT λjl ÿêùî N “ DT λjm i k � íåïàðíå,
DT λil , äå i ‰ j, ÿêùî N “ DT λjm i k � ïàðíå.
Ïîçíà÷èìî ÷åðåç Zfk,m,n àáî, âiäïîâiäíî, Z
λjk,m, n ìíîæèíóNk ` 1pnqzNk.
Çíîâó æ òàêè, Zλjk,m,n ‰ H òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè k ă m òà âèêîíó¹òüñÿ
óìîâà (2.9).
Äóàëüíiñòü ä๠àíàëîãè Òåîðåì 2.5 i 2.6.
Òåîðåìà 2.7. Íåõàé z P Zfk,m,n àáî z P Zλjk,m, n, à z1 P Zfk1,m1, n àáî,
âiäïîâiäíî, z1 P Zλj1
k1,m1, n. Òîäi iñíó¹ ãîìîìîðôiçì θ : DT fm Ñ DT fm1
àáî, âiäïîâiäíî, θ : DT λjm Ñ DT λj
1
m1, òàêèé, ùî θpzq “ z1 òîäi i
òiëüêè òîäi, êîëè m ď m1 i k ě k1, àáî m ě m1 i k ě k1 ´m1 `m. ßêùî
m “ m1 i k “ k1, θ ìîæíà âèáðàòè içîìîðôiçìîì.
Îçíà÷åííÿ 2.2. 1) Äëÿ êîæíî¨ ÷åòâiðêè pf,m, k, nq, äå k ă m, ôiêñó¹-
ìî åëåìåíò zfm,k,n P Zfm,k,n, à äëÿ êîæíî¨ ï'ÿòiðêè pλ, j,m, k, nq, äå k ă
m i k, j çàäîâîëüíÿþòü óìîâó (2.9), � åëåìåíò zλjm, k, n P Zλjm, k, n.
2) Äëÿ îäíîðiäíî¨ òðóáè T f íàçâåìî êîñòàíäàðòíîþ ïîñëiäîâíiñòþ
ïîñëiäîâíiñòü σ “ pmi, kiq p1 ď i ď sq, äå m1 ă m2 ă ¨ ¨ ¨ ă ms, 1 ď ki ă
mi, i ki1 ą ki ą ki1 `mi ´mi1 äëÿ i ă i1. Ïîçíà÷èìî Nf
σ “ Às
i“1 P
f
mi òà
zfσ,n “ řs
i“1 z
f
mi,ki,n
.
3) Äëÿ ñïåöiàëüíî¨ òðóáè T λ íàçâåìî êîñòàíäàðòíîþ ïîñëiäîâíiñòþ
ïîñëiäîâíiñòü σ “ pji,mi, kiq p1 ď i ď sq, äå ji P t1, 2u, m1 ă m2 ă ¨ ¨ ¨ ă
ms, 1 ď ki ă mi, 1 ď ki ď mi i ki ă ki1 ă ki ` mi1 ´ mi äëÿ i1 ă i.
Ïîçíà÷èìî Nλ
σ “ Às
i“1 T
λji
mi . Òàêó ïîñëiäîâíiñòü íàçèâà¹ìî
‚ ïàðíîþ, ÿêùî ki ” ji pmod 2q äëÿ âñiõ i,
‚ íåïàðíîþ, ÿêùî ki ” ji ` 1 pmod 2q äëÿ âñiõ i.
Äëÿ ïàðíî¨ (íåïàðíî¨) êîñòàíäàðòíî¨ ïîñëiäîâíîñòi é ïàðíîãî (âiäïî-
âiäíî, íåïàðíîãî) n ïîêëàäà¹ìî zλσ,n “ řs
i“1 z
λji
mi,ki,n
.
140
4) Ìè íàçèâà¹ìî êîñòàíäàðòíèìè äàíèìè ïàðó ∆ “ pΣ, Sq, äå Σ “
tT fqu, 1 ď q ď r, � íàáið ðiçíèõ òðóá, à S “ tσqu, 1 ď q ď r, � íàáið
êîñòàíäàðòíèõ ïîñëiäîâíîñòåé σq äëÿ êîæíî¨ òðóáè T fq . Òàêi äàíi íà-
çèâàþòüñÿ ñïåöiàëüíèìè, ÿêùî ïðèíàéìíi îäíà ç òðóá T fq ¹ ñïåöiàëü-
íîþ. Ñïåöiàëüíi êîñòàíäàðòíi äàíi íàçèâàþòüñÿ ïàðíèìè àáî íåïàð-
íèìè, ÿêùî âñi êîñòàíäàðòíi ïîñëiäîâíîñòi σq äëÿ ñïåöiàëüíèõ òðóá
T fq ¹ âiäïîâiäíî ïàðíèìè àáî íåïàðíèìè. Ïîçíà÷èìî N∆ “ Àr
q“1M
fq
σq
i z∆,n “ řs
q“1 z
fq
σq ,n. Ó öüîìó îçíà÷åííi ïðèïóñêà¹ìî, ùî ÿêùî ∆ ¹ ñïå-
öiàëüíèìè äàíèìè, òî âîíè ¹ ïàðíèìè, ÿêùî n ïàðíå, i íåïàðíèìè,
ÿêùî n íåïàðíå (iíàêøå åëåìåíòè zfqσq ,n, à îòæå, é z∆,n íå âèçíà÷åíi).
ßêùî â Σ òðàïëÿ¹òüñÿ òðóáà T 8, íàïðèêëàä, fk “ 8, òî ïîçíà÷è-
ìî z8
∆,n “ z8
σk,n
, à z0∆,n � ÿê ðåøòó ñóìè, ùî âèçíà÷๠z∆,n. Çâiñíî,
ìîæëèâî, ùî z8
∆,n “ 0 àáî z0∆,n “ 0.
Òåîðåìà 2.8. Íåõàé N “ DM , äå M � ðåãóëÿðíà R-ðåøiòêà, ε P
HnpK,Nq, n ą 0. Òîäi iñíóþòü êîñòàíäàðòíi äàíi ∆ òà ðîçêëàä θ :
N
„Ñ N0 ` N∆ òàêèé, ùî ïðî¹êöiÿ θpεq íà HnpK,N0q äîðiâíþ¹ íóëþ,
à ïðî¹êöiÿ θpεq íà HnpK,N∆q äîðiâíþ¹ ηpz∆,nq (äèâ. ñòîðiíêó 136 äëÿ
îçíà÷åííÿ η).
ßêùî ε “ 0, òî M∆ “ 0.
Íàñëiäîê 2.6. Íåõàé N � íåçâiäíà ðåãóëÿðíà êîðåøiòêà. Ðîçãëÿíå-
ìî ëàíöþã (2.10) ¨¨ ïiäìîäóëiâ i ïîçíà÷èìî ÷åðåç Hn
k pK,Nq îáðàç ó
HnpK,Nq ìíîæèíè HnpK,Nkq. Òîäi îðáiòè AutK N íà HnpK,Nq ïðè
n ą 0 ìàþòü âèãëÿä Hn
k pK,NqzHn
k´1pK,Nq ïðè 0 ă k ď m òà 0.
3. Çîáðàæåííÿ i êîãîìîëîãi¨ çíàêîçìiííî¨ ãðóïè ñòåïåíÿ 4
3.1. Çîáðàæåííÿ. Íåõàé G “ A4 çíàêîçìiííà ãðóïà ñòåïåíÿ 4, N � ¨¨
êëÿéíiâñüêà ïiäãðóïà, N » ␣
1, a, b, c|a2 “ b1, ab “ ba “ c
(
, H “ G{K »@
σ|σ3 “ 1
D
. Ïîçíà÷à¹ìî ÷åðåç A “ ZG ãðóïîâå êiëüöå G i ïîêëàäåìî
Ap “ AbZp, p-aäè÷íå äîïîâíåííÿ A, iQA “ AbQ ðàöiîíàëüíó îáîëîíêó
A. ×åðåç A-lat (âiäïîâiäíî Ap-lat) ïîçíà÷èìî êàòåãîðiþ A-ðåøiòîê, òîá-
òî A-ìîäóëiâM , òàêèõ, ùî ÿê ãðóïàM âiëüíà àáåëåâà ñêií÷åííîãî ðàí-
ãó(âiäïîâiäíî, âiëüíèé Zp)-ìîäóëü ñêií÷åííîãî ðàíãó). Äëÿ A-ðåøiòêè
M òàêîæ ïîçíà÷èìî QM “ M b Q òà Mp “ M b Zp. Âiäìiòèìî, ùî
QMp » M b Qp.
Êiëüöå A ìîæíà ðîçãëÿäàòè ÿê ñõðåùåíèé äîáóòîê K˚H, äå K “ ZN
i H ïðèðîäíüî äi¹ íà K ÷åðåç ñïðÿæåííÿ. Òóò QK » O4 ç áàçèñîì
te1, ea, eb, ecu, äå
Çîáðàæåííÿ i êîãîìîëîãi¨ ãðóï i íàïiâãðóï 141
e1 “ 1 ` a` b` c
4
,
ea “ 1 ` a´ b´ c
4
,
eb “ 1 ´ a` b´ c
4
,
ec “ 1 ´ a´ b` c
4
.
Ïðè òàêèõ âèçíà÷åííÿõ, Kp “ Z4
p, ÿêùî p ‰ 2 òà K2 âêëàäà¹òüñÿ â
Z4
2, òàê, ùî a, b, c âèçíà÷àþòüñÿ, âiäïîâiäíî, åëåìåíòàìè p1, 1,´1,´1q,
p1,´1, 1,´1q òà p1,´1,´1, 1q. Äiÿ H òðèâiàëüíà íà ïåðøié êîìïîíåíòi
QK òà öèêëi÷íî ïåðåñòàâëÿ¹ òðè iíøi. Òàêèì ÷èíîì,
QA » QK ˚H » QH ˆMatp3,Qq » Q ˆ Q rθs ˆMatp3,Qq,
äå θ � ïåðâiñíèé êóái÷íèé êîðiíü ç 1. ßêùî p R t2, 3u, òî
Ap » Zp ˆ Zp rθs ˆMatp3,Z3qpìàêñèìàëüíèé ïîðÿäîê âQApq,
òà
A3 » Z3H ˆMatp3,Z3q.
Îòæå, âñi íåðîçêëäàíi Ap-ðåøiòêè äëÿ p R t2, 3u ¹ íåðîçêëàäíèìè
ðåøiòêàìè Zp, Zprθs òà Ip “ Z3
p, i äëÿ A3 ¹ ùå îäíà íåðîçêëàäíà ðåøiòêà
Z3H.
Âèïàäîê, êîëè p “ 2 äóæå âiäðiçíÿ¹òüñÿ, òàê ÿê Z2K áiëüøå íå ìàêñè-
ìàëüíèé ïîðÿäîê. Íàãàäà¹ìî, ùî êîæíå ãðóïîâå êiëüöå ¹ Ãîðåíøòåéíî-
âèì, òîáòî inj.dimRR “ 1. Îòæå, âñi íåïðîåêòèâíi Rp-ðåøiòêè ôàêòè÷íî
¹ ðåøiòêàìè íàä íàäêiëüöåì R` “ EndRpradRpq. Îñêiëüêè #pHq îáî-
ðîòíèé â Z2, òî äëÿ ñõðåùåíîãî äîáóòêó A2 “ K2 ˚ H ìè ìà¹ìî, ùî
radA2 “ pradKq ˚ H òà A` “ K` ˚ H. Çàóâàæèìî, ùî K` ¹ ïîðÿäêîì
Áàêñòðåìà ó ðîçóìiííi [17]. Öå îçíà÷à¹, ùî iñíó¹ ñïàäêîâèé ïîðÿäîê K̃
òàêèé, ùî K̃ Ą K` Ą rad K̃ “ radK`. Ó íàøîìó âèïàäêó K̃ “ Z4
2 òà
K` “ tpx1, x2, x4, x4q | x1 ” x2 ” x3 ” x4 pmod 2qu. Îñêiëüêè Ã “ K̃ ˚H
òàêîæ ñïàäêîâèé, òî A` òàêîæ ïîðÿäîê Áàêñòðåìà. À ñàìå,
à » Z2‘Z2rθs ˆ Matp3,Z2q.
Ìîæíà ëåãêî ïîáà÷èòè, ùî A` âêëàäà¹òüñÿ â à ÿê ïiäêiëüöå òðiéîê
px1, x2, x3q, äå x1 P Z, x2 P Zrθs òà x3 “ pξijq P Matp3,Z2q, òàêi, ùî
x1 ” ξ11 pmod 2q, ξ12 ” ξ13 ” ξ21 ” ξ31 ” 0 pmod 2q òà ρpx2q ”
´
ξ22 ξ23
ξ32 ξ33
¯
pmod 2q, äå ρ ïîçíà÷๠ðåãóëÿðíå çîáðàæåííÿ Z2rθs: ρpu`vθq “ `
u ´v
v u´v
˘
.
142
Ìè ïîçíà÷à¹ìî ÷åðåç L1, L2, L3 íåçâiäíi Ã-ðåøiòêè, ùî ïåðåâàæíî íàëå-
æàòü, êîìïîíåíòàì Z2, Z2rθs òà Matp3,Z2q, òàêîæ ÷åðåç P1 òà P2 ìè ïî-
çíà÷à¹ìî íåðîçêëàäíi ïðîåêòèâíi A`-ðåøiòêè Pi “ A`ei, äå e1 “ 1`σ`σ2
3
òà e2 “ 1´e1. Çàóâàæèìî, ùî ¹äèíi íåðîçêëàäíi A2-ðåøiòêè, ÿêi íå ¹ A`-
ðåøiòêàìè ¹ Bi “ A2ei. Âîíè ái¹êòèâíi, òîáòî i ïðîåêòèâíi, i ií'¹êòèâíi
â òî÷íié êàòåãîði¨ A2-lat.
Íàãàäà¹ìî [17], ùî çîáðàæåííÿ ïîðÿäêiâ Áàêñòðåìà êëàñèôiêóþòüñÿ
çà äîïîìîãîþ çîáðàæåíü çâàæåíîãî ãðàôà Γ ó ðîçóìiííi [5]. Çîêðåìà,
âåðøèíè Γ çíàõîäÿòüñÿ ó âçà¹ìíîîäíîçíà÷íié âiäïîâiäíîñòi ç ïðîñòèìè
êîìïîíåíòàìè íàïiâïðîñòèõ àëãåáð Ā “ A`{ radA` and Ā1 “ Ã{ rad Ã.
Ó íàøîìó âèïàäêó
Ā “ pK`{ radK`q ˚H » F2H » F2 ˆ F4
òà
Ā1 » pK̃{ rad K̃q ˚H » F2 ˚H ˆ Matp3,F2q » F2 ˆ F4 ˆ Matp3,F2q.
Îòæå, âiäïîâiäíèé ãðàô Γ (îði¹íòîâàíèé) ¹ ãðàôîì òèïó F̃41:
Γ :
1
11
α 66
γ1
(( 3
21
γ2
1,2
66
β (( 2
Òóò 1, 2, 3 âiäïîâiäàþòü, âiäïîâiäíî, êîìïîíåíòàì F2,F4 òà Matp3,F2q
ç Ā1, òîäi ÿê 11 òà 21 âiäïîâiäàþòü, âiäïîâiäíî, êîìïîíåíòàì F2 òà F4 ç
Ā. Âàãè óñiõ ñòðiëîê, îêðiì γ2 � öå p1, 1q, òîìó ìè ¨õ íå çàïèñó¹ìî. Ó
çîáðàæåííÿõ Γ ñòðiëêè α, γ1 âiäïîâiäàþòü ìàòðèöÿì ç åëåìåíòàìè iç F2,
ñòðiëêè γ2, β âiäïîâiäàþòü ìàòðèöÿì ç åëåìåíòâìè iç F4. Âåêòîð ðîçìið-
íîñòåé çîáðàæåííÿ M ãðàôà Γ ìè ïîçíà÷èìî íàñòóïíèì ÷èíîì d11
d21
d1
d3
d2
.
Íàãàäà¹ìî, ùî A`-ðåøiòêà M âiäïîâiä๠çîáðàæåííþ V öüîãî ãðàôà i
¹ ïðîîáðàçîì â M̃ “ Ld11 ‘Ld33 ‘Ld22 of ImφpV q, äå φpV q : V p11q‘V p21q Ñ
V p1q‘V p3q‘V p2q çàäàíî ìàòðèöåþ
¨
˝
V pαq 0
V pγ1q V pγ2q
0 V pβq
˛
‚. òàêîæ ìè âèçíà-
÷à¹ìî V p1q‘V p2q‘V p3q ÷åðåç M̃{2M̃ .
Ñàãéäàê Àóñëåíäåðà�Ðàéòåí êàòåãîði¨ çîáðàæåíü ãðàôà Γ ñêëàäà¹òü-
ñÿ ç ïðåïðîåêòèâíî¨, ïðåií'¹êòèâíî¨ òà ðåãóëÿðíî¨ êîìïîíåíòè. Êîëè
ìè ïåðåõîäèìî äî çîáðàæåíü ïîðÿäêó Áàêñòðåìà, íàì ïîòðiáíî ñêëå¨-
òè ïðåïðîåêòèâíó òà ïðåií'¹êòèâíó êîìïîíåíòè â îäíó êîìïîíåíòó(ìè
Çîáðàæåííÿ i êîãîìîëîãi¨ ãðóï i íàïiâãðóï 143
íàçèâàòèìåìî ¨¨ îñíîâíîþ) [19]. À ñàìå, ìè îïóñòèìî ïðîñòi ií'¹êòèâíi
òà ïðîñòi ïðîåêòèâíi ìîäóëi, à òîäi äîäàìî ñòðiëêè ç òèõ ií'¹êòèâíèõ
ìîäóëiâ, ùî çàëèøèëèñÿ â òi ïðîåêòèâíi ìîäóëi, ùî çàëèøèëèñÿ. Ó ðå-
çóëüòàòi, îñíîâíà êîìïîíåíòà äëÿ ïîðÿäêó A` ìàòèìå âèãëÿä:
L2
1
��
L1
1
��
L1
��
L´1
1
""
L´2
1
"". . .
>>
P 2
1
��
??
P 1
1
��
??
P1
>>
P´1
1
""
<<
. . .
L2
3
��
??
L1
3
��
??
L3
��
@@
L´1
3
""
<<
L´2
3
""
<<
. . .
>>
P 2
2
��
??
P 1
2
��
??
P2
>>
P´1
2
""
<<
. . .
L2
2
??
L1
2
??
L2
@@
L´1
2
<<
L´2
2
<<
×åðåçMk ìè ïîçíà÷à¹ìî k-òå ïåðåòâîðåííÿ Àóñëåíäåðà-Ðàéòåí τkM
ðåøiòêè M íàä êiëüöåì A2. ßê ïîêàçàíî â [10], Mk » ΩkM , k-èé ñè-
çèãiéé M ÿê A2-ìîäóëü, à P 1
i � öå ïðîñòî ií'¹êòèâíà A`-ðåøiòêà, òîáòî
äóàëüíà äî ïðîåêòèâíèõ, àáî, ùî òå ñàìå, ií'¹êòèâíà â òî÷íié êàòåãîði¨
A`-lat. Íàñïðàâäi, Pi � ¹äèíèé ìiíiìàëüíèé íàäìîäóëü, à P 1
i � ¹äèíèé
ìàêñèìàëüíèé ïiäìîäóëü Bi “ A2ei. Íàãàäà¹ìî, ùî Bi � ¹äèíi íåðîç-
êëàäíi A2-ðåøiòêè, ÿêi íå ¹ A`-ðåøiòêàìè. Âîíè ái¹êòèâíi, òîáíî îäíî-
÷àñíî i ïðîåêòèâíi, i ií'¹êòèâíi â A2-lat. Çàçíà÷èìî òàêîæ, ùî iíøi íå-
çâiäíi A`-ðåøiòêè � öå L˘1
1 (òàê ñàìî, ÿê i L3 âîíè íàëåæàòü êîìïîíåíòi
Matp3,Zq).
Ðîçìiðíîñòi âiäïîâiäíèõ çîáðàæåíü Γ çàäàíi íà íàñòóïíié äiàãðàìi.
1
1
0
1
1
��
0
1
0
1
0
��
1
0
1
0
0
��
1
0
0
1
0
��
0
1
0
1
1
��. . .
AA
��
1
2
0
2
1
��
AA
1
1
1
1
0
��
AA
1
0
1
1
0
��
AA
1
1
0
2
1
��
AA
. . .
3
3
1
4
1
��
AA
2
2
1
2
1
��
AA
1
1
0
1
0
��
AA
1
1
1
2
1
��
AA
2
2
1
4
1
��
AA
. . .
AA
��
4
3
2
4
1
��
AA
2
2
0
2
1
��
AA
0
1
0
2
1
��
AA
2
2
2
4
1
��
AA
. . .
2
2
2
2
1
AA
2
1
0
2
0
AA
0
1
0
0
1
AA
0
1
0
2
0
AA
2
1
2
2
1
AA
144
Çàóâàæèìî, ùî ñèìåòðiÿ âiäíîñíî öåíòðàëüíîãî (ïóíêòèðíîãî) ñòîâ-
ï÷èêà âiäïîâiä๠äóàëüíîñòi M ÞÑ M˚ “ HomZ2pM,Z2q â êàòåãîði¨ A2-
ðåøiòîê.
Ðåãóëÿðíà êîìïîíåíòà äëÿ A`-ðåøiòêè òàêà æ, ÿê i ðåãóëÿðíà êîì-
ïîíåíòà äëÿ ãðàôà Γ. Âîíè ñêëàäàþòüñÿ ç îäíîðiäíèõ òðóá T f , ùî âiä-
ïîâiäàþòü îäíîðiäíèì íåçâiäíèì ìíîãî÷ëåíàì ç F2rts, îêðiì t ´ 1 òà
t2 ` t ` 1, à òàêîæ äâîõ ñïåöiàëüíèõ òðóá T 1 òà T θ. Îäíîðiäíi òðóáè
ìàþòü íàñòóïíèé âèãëÿä:
T f1
**
44T
f
2
**
44T
f
3
))55 . . . .
 öié êîìïîíåíòi ïåðåòâîðåííÿ Àóñëåíäåðà-Ðàéòåí (àáî, ùî òå ñàìå,
ñèçèãié) äi¹ òðèâiàëüíî. Ðîçìiðíiñòü çîáðàæåííÿ Γ, ùî âiäïîâiä๠T fk ,
äîðiâíþ¹ 2kd
2kd
kd
3kd
kd
, äå d “ deg f .
Ñïåöiàëüíi òðóáè ìàþòü íàñòóïíèé âèãëÿä:
T 1
11
// T 1
12
//
yy
T 1
13
//
yy
. . .
yy
T 1
21
// T 1
22
//
ee
T 1
23
//
ee
. . .
ee
òà
T θ11
// T θ12
//
yy
T θ13
//
yy
. . .
yy
T θ21
// T θ22
//
yy
T θ13
//
yy
. . .
yy
T θ21
// T θ22
//
]]
T θ13
//
]]
. . .
]]
Ðîçìiðíîñòi âiäïîâiäíèõ çîáðàæåíü Γ âèçíà÷àþòüñÿ íàñòóïíèì ÷è-
íîì:
2k
2k
k
3k
k
for T 1
i,2k
1
1
1
1
1
` 2k
2k
k
3k
k
for T 1
1,2k`1
1
1
0
2
1
` 2k
2k
k
3k
k
for T 1
2,2k`1
4k
4k
2k
6k
2k
for T θi,3k
0
2
0
2
1
` 4k
4k
2k
6k
2k
for T θ1,3k`1
Çîáðàæåííÿ i êîãîìîëîãi¨ ãðóï i íàïiâãðóï 145
2
1
2
2
0
` 4k
4k
2k
6k
2k
for T θ2,3k`1
2
1
0
2
1
` 4k
4k
2k
6k
2k
for T θ3,3k`1
2
3
2
4
1
` 4k
4k
2k
6k
2k
for T θ1,3k`2
4
2
2
4
1
` 4k
4k
2k
6k
2k
for T θ2,3k`2
2
3
0
4
2
` 4k
4k
2k
6k
2k
for T θ3,3k`2.
Ïåðåòâîðåííÿ Àóñëåíåðà-Ðàéòåí (àáî, ùî òå ñàìå, ñèçèãié) äi¹ íàñòóï-
íèì ÷èíîì:
T 1
1k
,,T 1
2kll
T θ1k
//T θ2k
//T θ3kkk
3.2. Êîãîìîëîãi¨. Ìè õî÷åìî îá÷èñëèòè êîãîìîëîãi¨ Òåéòà äëÿ G-ðå-
øiòîê. Îñêiëüêè #pGq “ 12, äëÿ êîæíîãî G-ìîäóëÿ M ãðóïè ĤnpG,Mq
ðîçêëàäàþòüñÿ 2-êîìïîíåíòíi ĤnpG,Mq2 òà 3-êîìïîíåíòíi ĤnpG,Mq3.
Êðiì òîãî, ÿêùî M � ðåøiòêà, òî ĤnpG,Mqp » ĤnpG,Mpq. Îòæå, ìè
ìîæåìî îêðåìî ðîçãëÿäàòè 2-àäè÷íèé òà 3-àäè÷íèé âèïàäêè.
Äëÿ ãðóïè G “ A4 ñïåêòðàëüíà ïîñëiäîâíiñòü
Epq2 “ HppH,HqpN,Mqq ñ HnpG,Mq
âèðîäæó¹òüñÿ â îáîõ âèïàäêàõ, i â 2-àäè÷íîìó, i â 3-àäè÷íîìó. Çîêðåìà,
äëÿ 2-àäè÷íèõ ðåøiòîê Epq2 “ 0, ÿêùî p ‰ 0. Òàêèì ÷èíîì, ìè îòðèìó-
¹ìî içîìîðôiçì:
HnpG,Mq » HnpN,MqH .
Äëÿ 3-àäè÷íèõ ðåøiòîê Epq2 “ 0, ÿêùî q ‰ 0, à îòæå
HnpG,Mq » HnpC,MKq.
Ó 3-àäè÷íîìó âèïàäêó ó íàñ ¹ íåðîçêëàäíi ðåøiòêè Z,Zrεs,ZH òà I3.
Çàçíà÷èìî, ùî K òðèâiàëüíî äi¹ íà Z3,Z3rεs òà Z3H i íå ì๠íåðóõîìèõ
òî÷îê íà I3. Ìíîæíèê H � öèêëi÷íèé, òîìó éîãî êîãîìîëîãi¨ ïåðiîäè÷íi
ç ïåðiîäîì 2. Ïðîñòi ðîçðàõóíêè äàþòü:
ĤnpG,Zq “
#
F3, ÿêùî n � ïàðíå,
0, ÿêùî n � íåïàðíå;
146
ĤnpG,Zrεsq “
#
0, ÿêùî n � ïàðíå,
F3, ÿêùî n � íåïàðíå.
Iíøi íåðîçêëàäíi ðåøiòêè ¹ ïðîåêòèâíèìè, îòæå ìàþòü òðèâiàëüíi êî-
ãîìîëîãi¨ Òåéòà.
Äëÿ 2-àäè÷íèõ ðåøiòîê ìè âèêîðèñòîâó¹ìî íàñòóïíèé ðåçóëüòàò, àíà-
ëîãi÷íèé äî ðåçóëüòàòó â [13, Lem. 2.2] òà àíàëîãi÷íå äîâåäåííÿ.
Ëåìà 3.1. Íåõàé M � íåðîçêëàäíà A`-ðåøiòêà, ùî âiäïîâiä๠çîáðà-
æåííþ V ñàãàéäàêà Γ ðîçìiðíîñòi d11
d21
d1
d3
d2
. ßêùî M fi L1, òîäi
Ĥ0pG,Mq » Fd12 .
Çàçíà÷èìî, ùî ìàþ÷è ñàãàéäàê Àóñëåíäåðà-Ðàéòåí, ëèøå ïîòðiáíî
äiçíàòèñÿ Ĥ0pG,Mq äëÿ âñiõ íåðîçêëàäíèõ M , îñêiëüêè
ĤnpG,Mq » Ĥ0pG, τnMq, òà τM “ ΩM.
Íàñïðàäi, äëÿ êîæíîãî çîáðàæåííÿ V ç ïðåií'¹êòèâíî¨ êîìïîíåíòè ñà-
ãàéäàêà Àóñëåíäåðà-Ðàéòåí iñíó¹ ÷èñëîm|6 òàêå, ùî dim τkM “ dimM`
qω, äå ω “ 2
2
1
3
1
òà q P t1, 2u. Òàêèì ÷èíîì, çíà÷åííÿ d1 ïðîñòî çìiíþ-
¹òüñÿ íà q. Öå ä๠ïðîñòèé øëÿõ äëÿ îá÷èñëåííÿ êîãîìîëîãié ðåøiòîê
ãîëîâíî¨ êîìïîíåíòè. Íèæ÷å íàâåäåíèé ðåçóëüòàò îá÷èñëåíü.
Òåîðåìà 3.1. Íåõàé M � íåðîçêëàäíà A`-ðåøiòêà ç îñíîâíî¨ êîìïî-
íåíòè, à ñàìå, M “ Mn`mk`i
0 , äå M0 P tL1, L2, L3, P1, P2u. Òîäi
Ĥqk`i´npG,Mq » Fqk`ri .
Âåëè÷èíè m, k òà ri çàëåæàòü âiä M0. À ñàìå:
ßêùî M0 “ L1, òîäi m “ 6, q “ 1 òà
i 0 1 2 3 4 5
ri 1 0 0 1 1 0
ßêùî M0 “ L2, òîäi m “ 6, q “ 2 òà
i 0 1 2 3 4 5
ri 0 0 2 0 2 2
ßêùî M0 “ L3, òîäi m “ 2, q “ 1 òà r “ i.
Çîáðàæåííÿ i êîãîìîëîãi¨ ãðóï i íàïiâãðóï 147
ßêùî M0 “ P1, òîäi m “ 3, q “ 1 òà
i 1 2 3
r 1 0 1
ßêùî M0 “ P2, òîäi m “ 3, q “ 2 òà
i 1 2 3
r 0 2 2
Äëÿ çîáðàæåíü iç òðóá ñèòóàöiÿ íàâiòü ïðîñòiøà, òàê ÿê çíà÷åííÿ d1, à
îòæå i çíà÷åííÿ Ĥ0, çàäàíi íà ñòîðiíöi 144 ïiñëÿ îïèñó òðóá, i ìè çíà¹ìî
äiþ τ . Òàêèì ÷èíîì, ìè ìîæåìî ñôîðìóëþâàòè íàñòóïíi ðåçóëüòàòè.
Òåîðåìà 3.2.
ĤnpG,T fijq » Ĥ0pG,T fijq.
Ĥ2k`rpG,T 1
ijq » Ĥ0pG,T 1
i1,jq, äå i1 çàëèøîê çà ìîäóëåì 2 âiä i` r;
Ĥ3k`rpG,T θijq » Ĥ0pG,T θi1,jq, äå i1 çàëèøîê çà ìîäóëåì 3 âiä i` r.
Ëiòåðàòóðà
[1] M. Auslander, I. Reiten. Almost split sequences for cohen�macaulay modules. Math.
Ann., 277:345�349, 1987.
[2] W. Bruns, J. Herzog. Cohen�Macaulay Rings. Cambridge University Press, 1993.
[3] H. Cartan, S. Eilenberg. Homological Algebra. Princeton University Press, 1956.
[4] Ch. W. Curtis, I. Reiner. Methods of representation theory with applications to
�nite groups and orders, vol. 1. Wiley Interscience Publications, 1981.
[5] V. Dlab, C. M. Ringel. Indecomposable representations of graphs and algebras.Mem.
Am. Math. Soc., 173:1�57, 1976.
[6] P. Donovan, M. R. Freislich. The representation theory of �nite graphs and associ-
ated algebras. Carleton Mathematical Lecture Notes, 5, 1973.
[7] Y. A. Drozd. Ad�eles and integral representations. Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat.,
33:1080�1088, 1969.
[8] Y. A. Drozd. Ideals of commutative rings. Mat. Sbornik, 101:334�348, 1976.
[9] Y. A. Drozd. Representations of quivers, 2020. URL: https://www.imath.kiev.ua/
~drozd/Qui-Ăbeam.pdf.
[10] Y. A. Drozd. Rejection lemma and almost split sequences. Ukr. Math. J., 73:908�929,
2021.
[11] Y. A. Drozd, V. V. Kirichenko. On quasi-bass orders. Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser.
Mat., 36:328�370, 1972.
[12] Y. A. Drozd, A. I. Plakosh. Cohomologies of �nite abelian groups. Algebra Discrete
Math., 24(1):144�157, 2017.
[13] Y. A. Drozd, A. I. Plakosh. Cohomologies of the kleinian 4-group. Arch. Math.,
115(2):139�145, 2020.
148
[14] L. A. Nazarova. Unimodular representations of the alternating group of degree four.
Ukrain. Mat. Z., 15:437�444, 1963.
[15] L. A. Nazarova. Representations of a tetrad. Izv. Akad. Nauk SSSR. Ser. Mat.,
31:1361�1378, 1967.
[16] A. I. Plakosh. On weak equivalence of representations of kleinian 4-group. Algebra
Discrete Math., 25(1):130�136, 2018.
[17] C. M. Ringel, K. W. Roggenkamp. Diagrammatic methods in the representation
theory of orders. J. Algebra, 60:11�42, 1979.
[18] K. W. Roggenkamp. Auslander�reiten species of b�ackstr�om orders. J. Algebra,
85:440�476, 1983.
[19] K. W. Roggenkamp. Auslander-reiten species of b�ackstr�om orders. J. Algebra,
85:449�476, 1983.
[20] Sh. Takahashi. Cohomology groups of �nite abelian groups. Tohoku Math. J.,
4(3):294�302, 1952.
[21] A. V. Yakovlev. Classi�cation of 2-adic representations of an eighth-order cyclic
group. Zap. Nauchn. Semin. LOMI, 28:93�129, 1972. J. Sov. Math. 3 (1975), 654�
680.
[22] Ï. Ì. Ãóäèâîê, È. Â. Øàïî÷êà. Î p-ãðóïïàõ ×åðíèêîâà. Óêð. ìàò. æóðí.,
51(3):291�304, 1999.
À. I. Ïëàêîø
Iíñòèòóò ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè, ì. Êè¨â
Email: andrianaplakoshmail@gmail.com
ORCID: 0000-0002-4269-5416
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-544 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:09:09Z |
| publishDate | 2025 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/3e/14fdb8c48f1df430e124edb2c324a13e.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-5442026-02-24T12:22:41Z Representation and cohomologies of groups and semigroups Зображення і когомології груп і напівгруп Plakosh, Andriiana Плакош, Андріяна This article surveys results related to the cohomology of lattices over group rings, particularly over the group ring of the Klein four--group. It is shown that in this setting, syzygies coincide with the Auslander-Reiten translation, enabling the full computation of Tate cohomology for all lattices and the explicit description of the action of group automorphisms. Special attention is paid to regular lattices and their applications to the classification of multidimensional crystallographic and Chernikov groups. The article also explores the connection between the cohomology and representations of crossed group rings and those of coefficient rings, especially for semidirect product group rings. The approach is illustrated by a new classification of integral representations of the alternating group A4, leading to explicit cohomological invariants. The results are of interdisciplinary interest for group theory, homological algebra, crystallography, and coding theory. У статті узагальнено результати, пов’язані з когомологіями решіток над груповими кільцями, зокрема над груповим кільцем четверної групи Кляйна. Показано, що в цьому випадку сизиґії збігаються з трансляцією Ауслендера-Райтен, що дозволило повністю обчислити когомології Тейта для всіх решіток та описати дію автоморфізмів групи. Окрему увагу приділено регулярним решіткам і їхнім застосуванням до класифікації багатовимірних кристалографічних і черніківських груп. Також розглянуто зв’язок когомологій і зображень схрещених групових кілець із когомологіями кілець коефіцієнтів, зокрема для групових кілець напівпрямих добутків. Узагальнено підхід до обчислення когомологій на прикладі цілих зображень альтернативної групи A4, що дозволило отримати нову класифікацію та повні когомологічні інваріанти. Результати мають міждисциплінарне значення для теорії груп, гомологічної алгебри, кристалографії та теорії кодування. Інститут математики НАН України 2025-08-18 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/544 10.3842/trim.v21n1.544 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 21 No. 1 (2024): Special Issue "Actual problems of modern mathematics: methods, models and applications"; 121-148 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 21 № 1 (2024): Спеціальний номер "Актуальні проблеми сучасної математики: методи, моделі та застосування" ; 121-148 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 21 № 1 (2024): Спеціальний номер "Актуальні проблеми сучасної математики: методи, моделі та застосування" ; 121-148 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/544/527 Авторське право (c) 2024 Андріяна Плакош http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Plakosh, Andriiana Плакош, Андріяна Representation and cohomologies of groups and semigroups |
| title | Representation and cohomologies of groups and semigroups |
| title_alt | Зображення і когомології груп і напівгруп |
| title_full | Representation and cohomologies of groups and semigroups |
| title_fullStr | Representation and cohomologies of groups and semigroups |
| title_full_unstemmed | Representation and cohomologies of groups and semigroups |
| title_short | Representation and cohomologies of groups and semigroups |
| title_sort | representation and cohomologies of groups and semigroups |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/544 |
| work_keys_str_mv | AT plakoshandriiana representationandcohomologiesofgroupsandsemigroups AT plakošandríâna representationandcohomologiesofgroupsandsemigroups AT plakoshandriiana zobražennâíkogomologíígrupínapívgrup AT plakošandríâna zobražennâíkogomologíígrupínapívgrup |