Fractal analysis of functions with complex local structure
We consider class of fractal functions whose argument and value are written in the same (or different) number representation systems with zero redundancy (Q2-representation, Q2*-representation, A-continued fraction representation of numbers). For the given examples of function constructions, their t...
Saved in:
| Date: | 2025 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2025
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/548 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872553053403480064 |
|---|---|
| author | Ratushniak , Sofiia Ратушняк, Софія |
| author_facet | Ratushniak , Sofiia Ратушняк, Софія |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Софія Ратушняк",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Ratushniak , Sofiia |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2026-02-24T12:22:41Z |
| description | We consider class of fractal functions whose argument and value are written in the same (or different) number representation systems with zero redundancy (Q2-representation, Q2*-representation, A-continued fraction representation of numbers). For the given examples of function constructions, their topological, metric, fractal and differential properties are described. |
| doi_str_mv | 10.3842/trim.v21n1.548 |
| first_indexed | 2026-08-04T01:09:13Z |
| format | Article |
| fulltext |
Çáiðíèê ïðàöü Ií-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè (2024) ò. 21, �1, 180�190
Ôðàêòàëüíèé àíàëiç ôóíêöié çi
ñêëàäíîþ ëîêàëüíîþ ñòðóêòóðîþ
Ñ. Ï. Ðàòóøíÿê
Abstract. We consider class of fractal functions whose argument and
value are written in the same (or di�erent) number representation systems
with zero redundancy (Q2-representation, Q
˚
2 -representation, A-continued
fraction representation of numbers). For the given examples of function
constructions, their topological, metric, fractal and di�erential properties
are described.
Àíîòàöiÿ. Ó ñòàòòi ðîçãëÿäà¹òüñÿ êëàñ ôðàêòàëüíèõ ôóíêöié, àðãó-
ìåíò i çíà÷åííÿ ÿêèõ çàïèñàíi â îäíié i òié æå (àáî ðiçíèõ) ñèñòåìàõ
çîáðàæåííÿ ÷èñåë ç íóëüîâîþ íàäëèøêîâiñòþ (Q2-çîáðàæåííÿ, Q˚
2 -
çîáðàæåííÿ, ëàíöþãîâå A-çîáðàæåííÿ ÷èñåë). Äëÿ íàâåäåíèõ ïðèêëà-
äiâ êîíñòðóêöié ôóíêöié îïèñàíî ¨õ òîïîëîãî-ìåòðè÷íi, ôðàêòàëüíi òà
äèôåðåíöiàëüíi âëàñòèâîñòi.
1. Ïî÷àòêè
Ôðàêòàëüíèé àíàëiç áåðå ñâié ïî÷àòîê ç ðîáiò Ô. Ãàóñäîðôà [9] i
À. Ñ. Áåçèêîâè÷à [6] (âiäíîñíî ïîâíèé ïåðåëiê ÿêèõ ìîæíà çíàéòè â
ðîáîòi [30]). Ââåäåííi â ðîáîòàõ äàíèõ àâòîðiâ ïîíÿòòÿ ìið äðîáîâèõ
ïîðÿäêiâ (äàëi α-âèìiðíî¨ ìiðè Ãàóñäîðôà) i ìåòðè÷íî¨ (ôðàêòàëüíî¨
= äðîáîâî¨) ðîçìiðíîñòi Ãàóñäîðôà-Áåçèêîâè÷à â ìàéáóòíüîìó ëÿæå â
îñíîâó "êðèòåðiþ"ôðàêòàëüíîñòi ìíîæèí â øèðîêîìó (â ñåíñi Á. Ìàí-
äåëüáðîòà) ÷è âóçüêîìó ðîçóìiííi. Òàêèì ÷èíîì ôðàêòàëüíèé àíàëiç
çâîäèâñÿ äî àíàëiçó ðîçìiðíîñòi ìíîæèí.
Íàïåâíî (íà äóìêó àâòîðà), äiàëåêòèêà êðèñòàëiçàöi¨ h-ìiðè Ãàóñäîð-
ôà ïðîëÿãàëà ÷åðåç ïîíÿòòÿ α-ìiðè Êàðàòåîäîði (1914 ð.) i ñòàëà îñíî-
âîþ öåíòðàëüíîãî ïîíÿòòÿ òåîði¨ � ðîçìiðíîñòi Ãàóñäîðôà-Áåçèêîâè÷à,
ÿêå ôîðìóâàëîñü íà "áàãàòî÷èñåëüíèõ"íà òîé ìîìåíò ÿñêðàâèõ ïðèêëà-
äàõ ìíîæèí, ãðàôiêiâ ôóíêöié, ùî íå âïèñóâàëèñü â çàãàëüíó êàðòèíó
íàóêè òîãî ÷àñó. Àäæå íà ìîìåíò âèõîäó ñòàòòi Ãàóñäîðôà âæå ÿê ïîíàä
35 ðîêiâ áóëà âiäîìà ìíîæèíà Êàíòîðà, ùî ¹ íàéïðîñòiøèì ïðèêëàäîì
This work was supported by grants from the Simons Foundation (1290607, S.P.R.)
2020 Mathematics Subject Classi�cation: 26A21, 26A30
Êëþ÷îâi ñëîâà: system of encoding, fractal function, digit projectors, fractal sets,
inversor
DOI : https://doi.org/10.3842/trim.v21n1.548
180
Ôðàêòàëüíèé àíàëiç ôóíêöié çi ñêëàäíîþ ëîêàëüíîþ ñòðóêòóðîþ 181
ñàìîïîäiáíî¨ ìíîæèíè, âæå áiëüøå ÿê 15 ðîêiâ áóâ âiäîìèé ïðèêëàä ôi-
ãóðè, ÿêà ïiçíiøå íàçèâàòèìåòüñÿ ôðàêòàëîì, � Ñíiæèíêîþ Êîõà. Äî
öüîãî ïåðåëiêó ìîæíà äîäàòè òðèêóòíèé êèëèì Ñåðïiíñüêîãî (1915 ð.),
íåïåðåðâíó íiäå íåäèôåðåíöiéîâíó ôóíêöiþ Âåé¹ðøòðàññà (1872 ð.),
ñèíãóëÿðíó ôóíêöiþ Ìiíêîâñüêîãî (1904 ð.) òîùî.
Íàñòóïíèì ïîøòîâõîì äî ñòðiìêîãî çëåòó òåîði¨ ôðàêòàëiâ áóëà ðî-
áîòà Á. Ìàíäåëüáðîòà [11], ÿêà àêöåíòóâàëà óâàãó íà àâòîìîäåëüíèõ
(ñàìîïîäiáíèõ, ñàìîàôiííèõ) ôiãóðàõ äðîáîâî¨ ðîçìiðíîñòi, ùî âèíèêà-
ëè ÿê ãåîìåòðè÷íi îá'¹êòè, îá'¹êòè ìåòðè÷íî¨ òåîði¨ ÷èñåë, òåîði¨ éìî-
âiðíîñòåé òà òåîði¨ äèíàìi÷íèõ ñèñòåì.
1.1. Ùî òàêå ôðàêòàëüíèé àíàëiç? Ôðàêòàëüíèé àíàëiç, îñíîâíèì
îá'¹êòîì äîñëiäæåííÿ ÿêîãî íà ïî÷àòêîâîìó åòàïi áóëà ôiãóðà ìåòðè÷-
íîãî ïðîñòîðó ç ëîêàëüíî ñêëàäíîþ òîïîëîãî-ìåòðè÷íîþ ñòðóêòóðîþ,
ñüîãîäíi àêòèâíî âèâ÷๠ôóíêöi¨, ïåðåòâîðåííÿ ïðîñòîðó, äèíàìi÷íi ñè-
ñòåìè, ñèíãóëÿðíi éìîâiðíiñíi ìiðè òîùî. Íà äàíèé ìîìåíò äîöiëüíî
ðîçìåæîâóâàòè ñòðóêòóðíó i ìåòðè÷íó ôðàêòàëüíiñòü. Çàóâàæèìî, ùî
áiëüøiñòü ìîäåëåé, ÿêi ðîçãëÿäàþòüñÿ â ñóìiæíèõ íàóêàõ, ¹ ñàìå ñòðó-
êòóðíî ôðàêòàëüíèìè, à íå ìåòðè÷íî ôðàêòàëüíèìè (ìîâà éäå ïðî
ôiçèêó, õiìiþ, áiîëîãiþ, åêîíîìiêó òîùî). Äî ìåòðè÷íîãî ôðàêòàëü-
íîãî àíàëiçó âiäíîñÿòü çàäà÷i íà îá÷èñëåííÿ ôðàêòàëüíèõ ðîçìiðíî-
ñòåé, çîêðåìà ðîçìiðíîñòi Ãàóñäîðôà-Áåçèêîâè÷à, êëiòèíêîâî¨, åíòðî-
ïiéíî¨ ðîçìiðíîñòi òîùî. Äî ñòðóêòóðíîãî ôðàêòàëüíîãî àíàëiçó âiäíî-
ñÿòüñÿ çàäà÷i íà âñòàíîâëåííÿ ñàìîïîäiáíî¨, ñàìîàôiííî¨ àáî àâòîìî-
äåëüíî¨ ñòðóêòóðè ôðàêòàëüíî¨ ìíîæèíè.
1.2. Ôðàêòàëüíèé àíàëiç â iìåíàõ. Êëþ÷îâèìè ïîñòàòòÿìè ó ðîçâè-
íåíi ôðàêòàëüíîãî àíàëiçó áåçñóìíiâíî ìîæíà ââàæàòè Ô. Ãàóñäîðôà,
À. Ñ. Áåçèêîâè÷à òà Á. Ìàíäåëüáðîòà. Òîäi, êîëè Ãàóñäîðô i Áåçèêî-
âè÷à áóëè ôóíäàòîðàìè ïîíÿòòÿ òåîði¨ ôðàêòàëiâ � ìiðè Ãàóñäîðôà i
ðîçìiðíîñòi Ãàóñäîðôà-Áåçèêîâè÷à, Á. Ìàíäåëüáðîò áóâ ãåíiàëüíèì ïî-
ïóëÿðèçàòîðîì iäåé ôðàêòàëüíîãî àíàëiçó, çîêðåìà òèõ, ùî ðóíòóâà-
ëèñÿ íà ïðèíöèïàõ ñàìîïîäiáíîñòi. Çíà÷íèé âíåñîê ó òåîðiþ ôðàêòàëiâ
çðîáèëè Ï. Áiëëiíãñëåé, Äæ. Õàò÷èíñîí [10], Ì. Áàðíñëi [4, 5] òà ií.
Íå ïåðåñëiäóþ÷è ìåòó çäiéñíèòè ïîâíèé iñòîðè÷íèé çðiñò ðîçâèòêó
ôðàêòàëüíîãî àíàëiçó, õîòiëîñü áè çàçíà÷èòè, ùî íà ñüîãîäíiøíié äåíü
òåîðiÿ ôðàêòàëiâ óñïiøíî ðîçâèâà¹òüñÿ â Óêðà¨íi. Ïåðøîïðîõiäöåì ñå-
ðåä óêðà¨íñüêèõ ìàòåìàòèêiâ ó öié ãàëóçi ¹ ïðîôåñîð Ì. Â. Ïðàöüî-
âèòèé, ÿêèé ðàçîì ç ó÷íÿìè ðîçâèâ๠êiëüêà íàïðÿìiâ ôðàêòàëüíîãî
àíàëiçó:
1) ïåðåòâîðåííÿ, ùî çáåðiãàþòü ôðàêòàëüíó ðîçìiðíiñòü [1];
2) ôðàêòàëüíèé àíàëiç íiäå íå ìîíîòîííèõ ôóíêöié [19];
182 Ñ. Ï. Ðàòóøíÿê
3) ôðàêòàëüíèé àíàëiç ñèíãóëÿðíèõ éìîâiðíiñíèõ ìið [2, 24];
4) íîðìàëüíi âëàñòèâîñòi ÷èñåë i ôðàêòàëüíi âëàñòèâîñòi ìíîæèí
íåíîðìàëüíèõ ÷èñåë [3];
5) ñèñòåìè êîäóâàííÿ äiéñíèõ ÷èñåë i ôðàêòàëè [21,25];
6) ôðàêòàëüíi ôóíêöi¨ [20];
7) ôðàêòàëüíèé àíàëiç ìíîæèí íåïîâíèõ ñóì àáñîëþòíî çáiæíèõ
ðÿäiâ òà ¨õ óçàãàëüíåíü [12,22];
8) ôðàêòàëüíèé àíàëiç íåñêií÷åííèõ çãîðòîê Áåðíóëëi [8];
9) óçàãàëüíåííÿ êëàñè÷íèõ ëiíiéíèõ ôðàêòàëiâ [30];
10) óçàãàëüíåííÿ òà ïîãëèáëåííÿ ðÿäó ôóíäàìåíòàëüíèõ êëàñè÷íèõ
ðåçóëüòàòiâ ìåòðè÷íî¨ òà éìîâiðíiñíî¨ òåîði¨ ÷èñåë ó ðiçíèõ ñè-
ñòåìàõ çîáðàæåííÿ ÷èñåë [24];
11) àëãåáðà¨÷íi ñòðóêòóðè ó òåîði¨ ôðàêòàëiâ [17] òà ií.
2. Ôðàêòàëüíi ôóíêöi¨
Ìè êàæåìî, ùî ôóíêöiÿ ì๠ôðàêòàëüíi âëàñòèâîñòi, ÿêùî âèêîíó¹-
òüñÿ ïðèíàéìíi îäíà ç óìîâ: ôóíêöiÿ ìà¹
(1) õî÷à áè îäíó ôðàêòàëüíó ìíîæèíó ðiâíÿ,
(2) ñàìîïîäiáíèé, ñàìîàôiííèé, àâòîìîäåëüíèé àáî ôðàêòàëüíèé ãðà-
ôiê (ÿê ìíîæèíó â R2),
(3) ôðàêòàëüíó ìíîæèíó òî÷îê íåñòàëîñòi (ðîñòó, ñïàäàííÿ),
(4) ôðàêòàëüíó ìíîæèíó îñîáëèâîñòåé (äèôåðåíöiàëüíîãî àáî ií-
øîãî õàðàêòåðó),
(5) ðîçïîäië çíà÷åíü ïðè ðiâíîìiðíîìó ðîçïîäiëi àðãóìåíòà, çîñåðå-
äæåíèé íà ôðàêòàëi;
(6) òðàíñôîðìó¹ ôðàêòàëüíó ðîçìiðíiñòü ïðèíàéìíi îäíi¹¨ áîðåëiâ-
ñüêî¨ ïiäìíîæèíè r0; 1s.
Ìè öiêàâèìîñü êëàñîì ôóíêöié, âèçíà÷åíèõ ðiâíiñòþ
fpx “ ∆g
α1α2...αn...q “ ∆q
β1β2...βn...
, (2.1)
äå ∆g
α1α2...αn... i ∆
q
β1β2...βn...
� çîáðàæåííÿ äiéñíèõ ÷èñåë (óçãîäæåíi çà
àëôàâiòîì àáî çà ãåîìåòði¹þ çîáðàæåííÿ).
Ïðèêëàä 2.1. Íåõàé ∆2
α1...αn... “
8ř
i“1
αi
2i
� êëàñè÷íå äâiéêîâå çîáðàæåí-
íÿ ÷èñåë, αi P t0, 1u. Òîäi ôóíêöiÿ
fpx “ ∆2
α1α2...αn...q “ ∆2
r1´α1sr1´α2s...r1´αns... “ 1 ´ x.
2.1. Ñèñòåìà çîáðàæåííÿ äiéñíèõ ÷èñåë. Íåõàé çàäàíî A � àëôà-
âiò (íàáið åëåìåíòiâ), L ” AˆAˆ¨ ¨ ¨ � ïðîñòið ïîñëiäîâíîñòåé åëåìåíòiâ
àëôàâiòó, D “ă a; b ą � äåÿêèé ïðîìiæîê.
Ôðàêòàëüíèé àíàëiç ôóíêöié çi ñêëàäíîþ ëîêàëüíîþ ñòðóêòóðîþ 183
Îçíà÷åííÿ 2.1. Êîäóâàííÿì ÷èñåë ìíîæèíè D çàñîáàìè àëôàâiòó A
íàçèâà¹òüñÿ ñþð'¹êòèâíå âiäîáðàæåííÿ gpLq “ D.
Ïðè öüîìó ìíîæèíà
∆L
c1c2...cm “ tpa1, a2, . . . , an, . . .q : ai “ ci, i “ mu
íàçèâà¹òüñÿ öèëiíäðîì ðàíãó m ç îñíîâîþ c1c2 . . . cm ó ïðîñòîði L ïî-
ñëiäîâíîñòåé àëôàâiòó.
Îáðàç öèëiíäðà ∆L
c1c2...cm ïðè âiäîáðàæåííi g
∆g
c1c2...cm “ φ
`
∆L
c1c2...cm
˘
íàçèâà¹òüñÿ öèëiíäðîì ðàíãó m ç îñíîâîþ c1c2 . . . cm â D.
Ñàìà ïîñëiäîâíiñòü pαnq “ pα1, α2, . . . , αn, . . .q P L, ÿêà âiäïîâiäà¹
÷èñëó x, íàçèâà¹òüñÿ éîãî g-çîáðàæåííÿì (àáî g-êîäîì), à αn � n-îþ
öèôðîþ (àáî ñèìâîëîì) öüîãî çîáðàæåííÿ.
ßêùî êîæåí öèëiíäð ¹ ïðîìiæêîì, òî êîäóâàííÿ íàçèâà¹òüñÿ íåïå-
ðåðâíèì.
Êàæóòü, ùî çîáðàæåííÿ ì๠íóëüîâó íàäëèøêîâiñòü, ÿêùî êîæíå
÷èñëî ì๠íå áiëüøå, íiæ äâà çîáðàæåííÿ, ïðè÷îìó ìíîæèíà ÷èñåë,
ùî ìàþòü äâà çîáðàæåííÿ ¹ íå áiëüø íiæ çëi÷åííà, òà åêñòðàíóëüîâó
íàäëèøêîâiñòü, ÿêùî êîæíå ÷èñëî ì๠¹äèíå çîáðàæåííÿ.
Ó âèïàäêó íóëüîâî¨ íàäëèøêîâîñòi ñèñòåìè çîáðàæåííÿ, ÷èñëà, ùî
ìàþòü äâà ôîðìàëüíî ðiçíi çîáðàæåííÿ íàçèâàþòüñÿ g-áiíàðíèìè. Ðå-
øòà ÷èñåë � g-óíàðíèìè.
Íàâåäåìî äåÿêi ñèñòåìè çîáðàæåííÿ ÷èñåë, ùî âèêîðèñòîâóþòüñÿ â
äîñëiäæåííÿõ.
Òåîðåìà 2.1 ([29]). Íåõàé A “ t0, 1, . . . , s ´ 1u, ||qin|| � ñòîõàñòè÷íà
ìàòðèöÿ, òàêà ùî 0 ă qin ă 1,
s´1ř
i“0
qin “ 1, n P N i
8ś
n“1
max
iPA tqinu “ 0.
Òîäi äëÿ äîâiëüíîãî ÷èñëà x P r0; 1s iñíó¹ ïîñëiäîâíiñòü pαnq P L, òàêà
ùî
x “ βα11 `
8ÿ
n“2
pβαnn
n´1ź
j“1
qαjjq ” ∆Qs̊
α1α2...αn..., βαnn ”
αn´1ÿ
i“0
qin. (2.2)
Ðîçêëàä ÷èñëà x â ðÿä (2.2) íàçèâà¹òüñÿ Qs̊ -ïðåäñòàâëåííÿì, à ñêî-
ðî÷åíèé çàïèñ ∆
Qs̊
α1α2...αn... � éîãî Qs̊ -çîáðàæåííÿì.
Äàíå çîáðàæåííÿ ¹ óçàãàëüíåííÿì ñåði¨ ïîëiîñíîâíèõ òàê çâàíèõ Q-
çîáðàæåíü, ÿêi áåðóòü ñâié ïî÷àòîê ç ðîáiò [23, 29] Ïðàöüîâèòîãî Ì.Â.,
çîêðåìà, ÿêùî qin “ qi “ 1
s @i P A, n P N , òî Qs̊ -çîáðàæåííÿ çáiãà¹òüñÿ
ç êëàñè÷íèì s-êîâèì çîáðàæåííÿì.
Ãåîìåòðiþ öüîãî çîáðàæåííÿ ðîçêðèâàþòü âëàñòèâîñòi öèëiíäðiâ:
184 Ñ. Ï. Ðàòóøíÿê
1) ∆
Qs̊
c1c2...cm “ ra; bs, äå a “
mř
k“1
pβckk
k´1ś
j“1
qcjjq, a`
mś
j“1
qcjj ;
2) |∆Qs̊
c1c2...cm | “
mś
i“1
qcii “ qcmm|∆Qs̊
c1c2...cm´1 |;
3) max∆
Qs̊
c1c2...cmi
“ min∆
Qs̊
c1c2...cmri`1s.
Çàóâàæåííÿ 2.1. Çëi÷åííà ìíîæèíà Qs̊ -áiíàðíèõ ÷èñåë âè÷åðïó¹òüñÿ
÷èñëàìè âèäó ∆
Qs̊
α1...αn´1αnp0q “ ∆
Qs̊
α1...αn´1rαn´1sps´1q.
Òåîðåìà 2.2. Íåõàé As “ te0, e1, . . . , es´1u, p0 ă e0 ă e1 ă . . . ă es´1q.
ßêùî ei “ ei´1`d, i “ 1, s´ 1, äå d “ d1´d0, òî @x P rd0; d1s D panq P L,
òàêà ùî
x “ 1{a1 ` 1{a2 ` . . .` 1{an ` . . . ” ∆As
a1a2...an..., (2.3)
äå d0 “ min
anPAt∆As
a1a2...an...u, d1 “ max
anPAs
t∆As
a1a2...an...u.
Çàïèñ ∆As
a1a2...an... íàçèâà¹òüñÿ ëàíöþãîâèì As-çîáðàæåííÿì ÷èñëà x.
Çàóâàæåííÿ 2.2. Çëi÷åííà ìíîæèíà As-áiíàðíèõ ÷èñåë âè÷åðïó¹òüñÿ
÷èñëàìè âèäó ∆As
a1...an´1e0pe0es´1q “ ∆As
a1...an´1es´1pes´1e0q.
Öèëiíäð ∆As
c1...cn ¹ âiäðiçêîì ç êiíöÿìè ∆As
c1...cnpe0es´1q i ∆
As
c1c2...cnpes´1e0q
(äå ëiâèé, à äå ïðàâèé êiíåöü, çàëåæèòü âiä ïàðíîñòi i íåïàðíîñòi n).
Çàçíà÷èìî, ùî ÿêùî s “ 2, à d “ 1
2 , òî As-çîáðàæåííÿ ñïiâïàäà¹
ç ëàíöþãîâèì A2-çîáðàæåííÿì, äëÿ ÿêîãî e0 ¨ e1 “ 1
2 . Îñòàíí¹ çîáðà-
æåííÿ ðîçãëÿäàëîñÿ â áàãàòüîõ ðîáîòàõ [7, 13, 16, 18, 25, 26], à îòðèìàíi
ðåçóëüòàòè òîïîëîãî-ìåòðè÷íîãî àíàëiçó çíàéøëè ñâî¨ çàñòîñóâàííÿ â
ðiçíèõ ãàëóçÿõ ìàòåìàòèêè, çîêðåìà ó òåîði¨ ñèíãóëÿðíî íåïåðåðâíèõ
âèïàäêîâèõ âåëè÷èí òèïó Äæåññåíà-Âiíòíåðà.
As-çîáðàæåííÿ ëåãêî ïåðåêîäîâó¹òüñÿ çàñîáàìè àëôàâiòó A, à ñàìå:
x “ r0; a1, a2, . . . , ak, . . .s ” ∆A
α1α2...αk...
,
äå ak ” aαk , k P N. Îñòàíí¹ íàçèâà¹òüñÿ A-çîáðàæåííÿì ÷èñëà x.
3. Îòðèìàíi ðåçóëüòàòè
Ïðèêëàä 3.1. Íåõàé A “ t0, 1u. Ðîçãëÿäà¹òüñÿ ôóíêöiÿ, îçíà÷åíà ðiâ-
íiñòþ
fφpx “ ∆
Q˚
2
α1α2...αn...q “ ∆
G˚
2
φ1pα1,α2qφ2pα2,α3q...φnpαn,αn`1q..., (3.1)
Ôðàêòàëüíèé àíàëiç ôóíêöié çi ñêëàäíîþ ëîêàëüíîþ ñòðóêòóðîþ 185
äå ∆
Q˚
2
α1α2...αn... i ∆
G˚
2
φ1pα1,α2qφ2pα2,α3q...φnpαn,αn`1q... � Q2̊- i G2̊-çîáðàæåííÿ
âiäïîâiäíî, ïîðîäæåííi ñòîõàñòè÷íèìè ìàòðèöÿìè ||qin|| i ||gin||, ùî çà-
äîâîëüíÿþòü óìîâè òåîðåìè 2.1; φ “ pφnq � ïîñëiäîâíiñòü ôiíiòíèõ âi-
äîáðàæåíü φnpA2q “ A @n P N .
Ëåìà 3.1. ßêùî â ïîñëiäîâíîñòi pφnq ôóíêöiÿ φm ¹ êîíñòàíòîþ i,
òî ìíîæèíà çíà÷åíü ôóíêöi¨ fφ ¹ ïiäìíîæèíîþ îá'¹äíàííÿ öèëiíäðiâ
m-ãî ðàíãó, à ñàìå:
Efφ Ă
ď
c1PA
ď
c2PA
. . .
ď
cm´1PA
∆
G˚
2
c1c2...cm´1i
. (3.2)
Íàñëiäîê 3.1. ßêùî ñåðåä ôóíêöié ïîñëiäîâíîñòi pφnq iñíó¹ íåñêií-
÷åííà ïiäïîñëiäîâíiñòü êîíñòàíò, òî ìíîæèíà çíà÷åíü ôóíêöié fφ ¹
ïiäìíîæèíîþ ìíîæèíè êàíòîðiâñüêîãî òèïó CrG2̊ , Vks, äå
Vk “
#
A, ÿêùî φk ´ íå êîíñòàíòà;
tjku, ÿêùî φpa, bq “ jk.
Òåîðåìà 3.1. Êîæíà ôóíêöiÿ fφ êëàñó S ¹ íåïåðåðâíîþ íà ìíîæèíi
Q2̊-óíàðíèõ ÷èñåë. Äëÿ òîãî ùîá ôóíêöiÿ y “ fφpxq áóëà íåïåðåðâíîþ,
íåîáõiäíî i äîñòàòíüî, ùîá ¨¨ çíà÷åííÿ âiä äâîõ ðiçíèõ çîáðàæåíü Q2̊-
áiíàðíèõ ÷èñåë çáiãàëèñÿ, òîáòî fφ
´
∆
Q˚
2
c1...cm0p1q
¯
“ fφ
´
∆
Q˚
2
c1...cm1p0q
¯
äëÿ
áóäü-ÿêîãî íàáîðó pc1, . . . , cmq íóëiâ òà îäèíèöü.
Òåîðåìà 3.2. ßêùî ôóíêöiÿ fφ íåïåðåðâíà â êîæíié òî÷öi âiäðiçêà
r0; 1s, òî âîíà ¹ àáî ñèíãóëÿðíîþ ôóíêöi¹þ ñàëåìiâñüêîãî òèïó, ÿêùî
qi ‰ gi, àáî ñèíãóëÿðíîþ ñòðîãî ñïàäíîþ ôóíêöi¹þ (iíâåðñîðîì öèôð),
ÿêùî qin ‰ 1
2 ^ gin ‰ 1
2 , àáî òîòîæíèì ïåðåòâîðåííÿì àáî y “ 1 ´ x,
ÿêùî qin “ gin “ 1
2 , àáî êîíñòàíòîþ, ïðè÷îìó êîíñòàíò êîíòèíóàëü-
íà êiëüêiñòü.
Òåîðåìà 3.3. Ìíîæèíà ðiâíÿ ôóíêöié fφ, äå φn “ φ äëÿ n P N ¹ àáî
ñêií÷åííîþ, àáî êîíòèíóàëüíîþ, ïðè÷îìó:
1) ÿêùî Efφ “ tiu, i P A, òî f´1
φ py0q ¹ êîíòèíóàëüíîþ ìíîæèíîþ;
2) ÿêùî Efφ “ r0; 1s, òî f´1
φ py0q ¹ àáî îäíîåëåìåíòíîþ ìíîæèíîþ, àáî
ñêëàäà¹òüñÿ ç äâîõ òî÷îê x0 i Ipx0q, äå I
´
∆
Q˚
2
α1...αn...
¯
“ ∆
G˚
2
r1´α1s...r1´αns...;
3) ÿêùî Efφ “ rG2̊ , V s, òî f´1
φ py0q ¹ àáî ñêií÷åííîþ, àáî êîíòèíóàëü-
íîþ ìíîæèíîþ.
186 Ñ. Ï. Ðàòóøíÿê
Òåîðåìà 3.4. ßêùî φpαn, αn`1q “ 1 ´ αn @n P N i qin “ gin, à ïîñëi-
äîâíiñòü
q1´αnpxqn
qαnpxqn ¹ àáî ðîçáiæíîþ, àáî ì๠ãðàíèöþ, âiäìiííó âiä 1,
òî fφ ¹ íåïåðåðâíîþ ñòðîãî ñïàäíîþ ñèíãóëÿðíîþ ôóíêöi¹þ.
ßêùî æ ìàòðèöÿ ||qik|| ì๠àñèìïòîòè÷íó âëàñòèâiñòü, ïðè÷îìó
q0 “ lim
nÑ8 q0n ‰ 1
2 , òî ôóíêöiÿ fφ â êîæíié Q2-áiíàðíié òî÷öi íå ìà¹
ïîõiäíî¨ (íi ñêií÷åííî¨, íi íå ñêií÷åííî¨).
Ïðèêëàä 3.2. Íåõàé A “ t0, 1u. Ðîçãëÿäà¹òüñÿ ôóíêöiÿ, îçíà÷åíà ðiâ-
íiñòþ
rpx “ ∆Q2
α1α2...αn...q “ ∆Q2
r1r2...rk...
, (3.3)
äå
r1 “
#
0, ÿêùî pα1, α2q “ p0, 0q,
1, ÿêùî pα1, α2q ‰ p0, 0q,
rk`1 “
#
rk, ÿêùî pα2k`1,α2k`2
“ pα2k´1, α2kq,
1 ´ rk, ÿêùî pα2k`1,α2k`2
‰ pα2k´1, α2kq.
Òåîðåìà 3.5. Ôóíêöiÿ r ¹ íåïåðåðâíîþ i íiäå íå ìîíîòîííîþ ôóíêöi¹þ
íåîáìåæåíî¨ âàðiàöi¨. �¨ ìíîæèíîþ çíà÷åíü ¹ âiäðiçîê r0; 1s.
Òåîðåìà 3.6. Ìíîæèíà Q2-áiíàðíîãî ðiâíÿ ¹ ñêií÷åííîþ, à êîæíà
ìíîæèíà Q2-óíàðíîãî ðiâíÿ ôóíêöi¨ r ¹ êîíòèíóàëüíîþ, íiäå íå ùiëü-
íîþ ìíîæèíîþ íóëüîâî¨ ìiðè Ëåáåãà.
Òåîðåìà 3.7. Ôóíêöiÿ r íå ì๠ñêií÷åííî¨ ïîõiäíî¨ â æîäíié Q2-áiíàðíié
òî÷öi, ïðè÷îìó ÿêùî Q2-áiíàðíà òî÷êà ¹ òî÷êîþ åêñòðåìóìó ôóíêöi¨,
òî â íié ôóíêöiÿ íåì๠íi ñêií÷åííî¨, íi íåñêií÷åííî¨ ïîõiäíî¨.
Òåîðåìà 3.8. ßêùî q0 ě q21 i q1 ě q20, òî ôóíêöiÿ r ¹ íiäå íå äèôåðåí-
öiéîâíîþ (íå ì๠ñêií÷åííî¨ ïîõiäíî¨ ó æîäíié òî÷öi).
Ïðèêëàä 3.3. Ðîçãëÿäà¹òüñÿ ôóíêöiÿ, îçíà÷åíà ðiâíiñòþ
f
`
x “ ∆g
α1α2...αn...
˘ “ a
8ř
i“1
αiui “
8ź
n“1
λαnpxq
n , αn P A (3.4)
äå u1 ` u2 ` . . . � àáñîëþòíî çáiæíèé ðÿä i ñóìîþ r0, 1 ‰ a � äîäàòíèé
ïàðàìåòð, 1 ă s � ôiêñîâàíå íàòóðàëüíå ÷èñëî, pλnq � ïîñëiäîâíiñòü
äîäàòíèõ ÷èñåë, òàêà ùî íåñêií÷åííèé äîáóòîê P ”
8ś
n“1
λn àáñîëþòíî
çáiæíèé.
Ôðàêòàëüíèé àíàëiç ôóíêöié çi ñêëàäíîþ ëîêàëüíîþ ñòðóêòóðîþ 187
ßêùî g-çîáðàæåííÿ ¹ Qs̊ -çîáðàæåííÿì, òî ôóíêöiÿ, îçíà÷åíà ðiâíi-
ñòþ (3.4), ìîæå áóòè çàïèñàíà ó âèãëÿäi
f
´
x “ ∆Qs̊
α1α2αn...
¯
“ a
8ř
i“1
αiui
, (3.5)
Òåîðåìà 3.9 ([15]). Ôóíêöiÿ f ¹ íåïåðåðâíîþ â êîæíié Qs̊ -óíàðíié
òî÷öi, à â Qs̊ -áiíàðíié òî÷öi âîíà íåïåðåðâíà ÿêùî un “ ps ´ 1qs´nr0.
ßêùî gik “ qi @k P N , òî ãðàôiê ôóíêöi¨ ¹ àâòîìîäåëüíîþ ìíîæèíîþ.
 êëàñi íåïåðåðâíèõ ôóíêöié f , ÿêùî gik “ qi ïðè k ą m i um`n “ λ
sn ,
òî
1ż
0
fpxq “
8ź
i“1
s´1ÿ
j“0
ajuiqji.
Òåîðåìà 3.10 ([15]). Íåõàé ìàòðèöÿ ||qik|| ì๠àñèìïòîòè÷íó âëàñ-
òèâiñòü i ïðè öüîìó âèêîíó¹òüñÿ óìîâà
8ř
k“1
s´1ř
i“0
´
1 ´ qik
qi
¯2 ă 8. ßêùî
iñíó¹ qi ‰ 1
s , i P A, òî ôóíêöiÿ f ¹ ñèíãóëÿðíîþ. ßêùî qi “ 1
s äëÿ âñiõ
i, òî f ¹ àáñîëþòíî íåïåðåðâíîþ ôóíêöi¹þ.
Çàóâàæåííÿ 3.1. Êëàñ ôóíêöié, ÿêi çàäîâîëüíÿþòü óìîâè (êðàéíi),
ìiñòèòü êëàñè÷íó ñèíãóëÿðíó ôóíêöiþ Ñàëåìà.
Íåõàé A2 “ ␣
1
2 , 1
(
, a g-çîáðàæåííÿ ¹ A-çîáðàæåííÿì ÷èñåë. Ðîçãëÿ-
äà¹òüñÿ êëàñ ôóíêöié (3.4), òîáòî ôóíêöi¨ îçíà÷åíi ðiâíiñòþ
fpx “ ∆A
α1α2...αk...
q “ a
8ř
i“1
αiui “ aφpxq, (3.6)
φpxq “
8ř
i“1
αiui.
Çà äëÿ êîðåêòíîñòi îçíà÷åííÿ ôóíêöi¨ f äîìîâèìîñÿ âèêîðèñòîâóâàòè
ëèøå îäíå çîáðàæåíü òå, ùî ì๠ïåðiîä p10q.
Òåîðåìà 3.11 ([14]). Ôóíêöiÿ fpxq íåïåðåðâíà â êîæíié A-óíàðíié òî-
÷öi, à â A-áiíàðíié òî÷öi x˚ “ ∆A
c1...cm0p01q “ ∆A
c1...cm1p10q íåïåðåðâíà
òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè âèêîíó¹òüñÿ ðiâíiñòü
um `
8ÿ
k“1
um`2k´1 “
8ÿ
k“1
um`2k.
Òåîðåìà 3.12 ([14]). Êîæíà íåïåðåðâíà ôóíêöiÿ f , îçíà÷åíà ðiâíi-
ñòþ (3.6), ¹ ñòðîãî ñïàäíîþ ïðè u1 ą 0, ñòðîãî çðîñòàþ÷îþ ïðè u1 ă 0
i êîíñòàíòîþ ïðè u1 “ 0.
188 Ñ. Ï. Ðàòóøíÿê
Ëåìà 3.2 ([14]). ßêùî iñíó¹ ñêií÷åííà ïîõiäíà ôóíêöi¨ φ ó òî÷öi x0 “
∆A
α1...αn..., òî âîíà ìîæå áóòè îá÷èñëåíà çà êîæíîþ ç ôîðìóë
φ1px0q “ ´ lim
kÑ8
1
22k|∆A
α1...α2k
| “ ´2 lim
kÑ8
2kź
n“1
|∆A
α1...αn´1
|
2|∆A
α1...αn´1αn | . (3.7)
Òåîðåìà 3.13 ([14]). ßêùî f íåïåðåðâíà ôóíêöiÿ, îçíà÷åíà ðiâíiñòþ
p3.6q, òî äëÿ ìàéæå âñiõ (ó ðîçóìiííi ìiðè Ëåáåãà) ÷èñåë x P “
1
2 ; 1
‰
ìà¹
ìiñöå f 1pxq “ 0.
Ïðèêëàä 3.4. Ðîçãëÿäà¹òüñÿ ôóíêöiÿ, îçíà÷åíà ðiâíiñòþ
fpx “ ∆A2
a1a2...an...q “ ∆A2
1
2a1
1
2a2
... 1
2an
...
. (3.8)
Îñêiëüêè íåîáõiäíà i äîñòàòíÿ óìîâà íóëüîâî¨ íàäëèøêîâîñòi A2-
çîáðàæåííÿ e0e1 “ 1
2 ì๠ìiñöå, òî 1
2ei
“ e1´i P
´
0; 1?
2
¯
, i P t0, 1u. À
òîìó ðiâíiñòü (3.8) çàä๠êîíòèíóàëüíó ñiì'þ ôóíêöié f .
Ôóíêöiÿ f , îçíà÷åíà ðiâíiñòþ (3.8) ¹ êîðåêòíî îçíà÷åíîþ íà ìíîæèíi
A2-áiíàðíèõ ÷èñåë, îñêiëüêè
f
´
∆A2
a1...ane0pe0e1q
¯
“ ∆A2
1
2a1
... 1
2an
e1pe1e0q “
“ ∆A2
1
2a1
... 1
2an
e0pe0e1q “ f
´
∆A2
a1...ane1pe1e0q
¯
.
Òåîðåìà 3.14 ([27]). Ôóíêöiÿ f ¹ ñèíãóëÿðíîþ ñòðîãî ñïàäíîþ íà âñié
îáëàñòi âèçíà÷åííÿ ôóíêöi¹þ. Ãðàôiê Γf ôóíêöi¨ f ¹ àâòîìîäåëüíîþ
ìíîæèíîþ R2 çi ñòðóêòóðîþ Γf “ Γ0 YΓ1, äå Γi îáðàç Γ ïðè ïåðåòâî-
ðåííi
γi :
$
&
%
x1 “ δeipxq “ 1
ei`x ,
y1 “ δ 1
2ei
pyq “ 2
1
ei
`2y
,
i P t0, 1u,
äå δei
`
x “ ∆A2
a1a2...an...
˘ “ ∆A2
eia1a2...an... � îïåðàòîð ïðàâîñòîðîííüîãî çñó-
âó öèôð çîáðàæåííÿ ç ïàðàìåòðîì ei, ei P A2.
Ïðèêëàä 3.5. ÍåõàéA2 “ tτ0, τ1u `τ0τ1 “ 1
2
˘
,A3 “ te0, e1, e2u `e0e2 “ 4
3
˘
;
A1
2 “ t0, 1u, A1
3 “ t0, 1, 2u, Li “ A1
i ˆA1
i ˆ . . ., i “ 2, 3.
Ðîçãëÿäà¹òüñÿ ôóíêöiÿ f , îçíà÷åíà ðiâíîñòÿìè
f
´
x “ ∆
A1
3
α1α2...αn...
¯
“ ∆
A1
2
β1β2...βn...
, äå (3.9)
β1 “
#
1 ïðè α1 “ 2,
0 ïðè α1 ‰ 2,
βn`1 “
#
βn ïðè αn ` αn`1 ‰ 2,
1 ´ βn ïðè αn ` αn`1 “ 2,
n P N.
Ôðàêòàëüíèé àíàëiç ôóíêöié çi ñêëàäíîþ ëîêàëüíîþ ñòðóêòóðîþ 189
Òåîðåìà 3.15 ([28]). Ôóíêöiÿ f ¹ íåïåðåðâíîþ íiäå íå ìîíîòîííîþ
ôóíêöi¹þ íåîáìåæåíî¨ âàðiàöi¨.
Ëåìà 3.3 ([28]). Îáðàçîì A1
3-öèëiíäðà ðàíãó k ïðè âiäîáðàæåííi f ¹ A1
2-
öèëiíäð òîãî æ ðàíãó, ïðè÷îìó êiëüêiñòü ïðîîáðàçiâ öèëiíäðà ∆
A1
2
β1...βk
äîðiâíþ¹
Nk ” N
´
∆
A1
2
β1...βk
¯
“ 2
k´β1´
k´1ř
i“1
|βi`1´βi|
.
Ëiòåðàòóðà
[1] S. Albeverio, M. Pratsiovytyi½ G. Torbin. Fractal probability distributions and
transformations preserving the hausdor�-besicovitch dimension. Compositio Math.,
24:1�16, 2004.
[2] S. Albeverio, N. Pratsiovytyi½ G. Torbin. Singular probability distributions and
fractal properties of sets of real numbers de�ned by the asymptotic frequencies of
their s-adic digits. Ukrainian Mathematical Journal, 57(9):1163�1170, 2005.
[3] S. Albeverio, N. Pratsiovytyi½ G. Torbin. Topological and fractal properties of real
numbers which are not normal. Bull. Sci. Math., 129:615�630, 2005.
[4] M. Barnsley. Fractal sunctions and interpolation. Constr. Approx., 2(4):303�329,
1986.
[5] M. Barnsley. Superfractals. Cambridge University Press 2006, page 453, 2008.
[6] A. Besicovith. On fundamental geometric properties of lineary measurable plane sets
of points. 1. Math. Ann, 98 (4):422�464, 1927.
[7] S. Dmytrenko, D. Kyurchev½ M. Pratsiovytyi. A2-continued fraction representation
of real numbers and its geometry. Ukrainian Mathematical Journal, 4:541�555, 2009.
doi:10.1007/s11253-009-0236-7.
[8] Ya. Goncharenko, M. Pratsiovytyi½ G. Torbin. Fractal properties of some bernoulli
convolutions. Theor. Probability and Math Statist., 79:39�55, 2009.
[9] F. Hausdor�. Dimension und auβeres maβ. Math. Ann, 36 (5):137�264, 1919.
[10] J. Hutchinson. Fractals and self-similarity. Indiana Univ. Math. J., 30(5):713�747,
1981.
[11] B. Mandelbrot. Fractals: Form, Chance, and Dimension. Translated from the French.
Revised edition. San Francisco, W.H. Freman and Co.,, page 365, 1977.
[12] V. Markitan, M. Pratsiovytyi½ I. Savchenko. Superfractality of the set of incomplete
sums of one positive series. Ukr. Mat. Zh., 70(10):1403�1416, 2018.
[13] M. Pratsiovytyi, A. Chuikov. Continuous distributions whose functions preserve tails
of an A2-continued fraction representation of numbers. Random Oper. Stochastic
Equations, 27 (3):199�206, 2019.
[14] M. Pratsiovytyi, Y. Goncharenko, I. Lysenko½ S. Ratushnyak. Continued A2-
fractions and singular functions. Matematychni Studii, 58(1):3�12, 2022.
[15] M. Pratsiovytyi, Ya. Goncharenko, I. Lysenko½ S. Ratushnyak. Fractal functi-
ons of exponential type that is generated by the Q˚
2 -representation of argument.
Matematychni Studii, 57(2):133�143, 2021.
[16] M. Pratsiovytyi, D. Kyurchev. Properties of the distribution of the random vari-
able de�ned by A2-continued fraction with independent elements. Random Oper.
Stochastic Equations, 17 (1):91�101, 2009.
190 Ñ. Ï. Ðàòóøíÿê
[17] M. Pratsiovytyi, I. Lysenko½ Yu. Maslova. Group of continuous transformations of
real interval preserving tails of G2-representation of numbers. Algebra and Discrete
Mathematics, 29(1):99�108, 2020.
[18] M. Pratsiovytyi, O. Makarchuk½ A. Chuikov. Approximation and estimates in the
periodic representation of real numbers of the closed interval r0; 1s by A2-continued
fractions. Journal of Numerical & Applied Mathematics, 130 (1):71�83, 2019.
[19] M. Pratsiovytyi, O. Svynchuk. Spread of values of a cantor-type fractal continuous
nonmonotone function. Journal of Mathematical Sciences, 240(3):342�357, 2019.
[20] M. Pratsiovytyi, Y. Vovk, I. Lysenko½ S. Ratushnyak. Superpositions of functions wi-
th fractal properties. Journal of Mathematical Sciences (United States), 273(2):248�
270, 2023.
[21] Î. Áàðàíîâñüêèé, Ì. Ïðàöüîâèòèé½ Ã. Òîðáií. Ðÿäè Îñòðîãðàäñüêîãî-
Ñåðïiíñüêîãî-Ïiðñà òà ¨õ çàñòîñóâàííÿ. Êè¨â: Íàóêîâà äóìêà, page 288, 2013.
[22] ß. Âèííèøèí, Â. Ìàðêiòàí, Ì. Ïðàöüîâèòèé½ I. Ñàâ÷åíêî. Äîäàòíi ðÿäè, ìíîæè-
íè ïiäñóì ÿêèõ ¹ êàíòîðâàëàìè. Proceedings of the International Geometry Center,
12(2):26�42, 2019.
[23] Í. Â. Ïðàöåâèòûé. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñ íåçàâèñèìûìè Q2-ñèìâîëàìè. Àñèì-
ïòîòè÷åñêèå ìåòîäû â èññëåäîâàíèè ñòîõàñòè÷åñêèõ ìîäåëåé, pages 92�102,
1987.
[24] Ì. Ïðàöüîâèòèé. Ôðàêòàëüíèé ïiäõiä ó äîñëiäæåííÿõ ñèíãóëÿðíèõ ðîçïîäiëiâ.
Êè¨â: ÍÏÓ iìåíi Ì.Ï.Äðàãîìàíîâà, page 296, 1998.
[25] Ì. Ïðàöüîâèòèé. Äâîñèìâîëüíi ñèñòåìè êîäóâàííÿ äiéñíèõ ÷èñåë òà ¨õ çàñòî-
ñóâàííÿ. Íàóêîâà äóìêà, Êè¨â, 2019.
[26] Ì. Ïðàöüîâèòèé, Ä. Êþð÷åâ. Ñèíãóëÿðíiñòü ðîçïîäiëó âèïàäêîâî¨ âåëè÷èíè,
çîáðàæåíî¨ ëàíöþãîâèì A2-äðîáîì ç íåçàëåæíèìè åëåìåíòàìè. Òåîðiÿ éìîâið-
íîñòåé òà ìàòåìàòè÷íà ñòàòèñòèêà, 81:139�154, 2009.
[27] Ñ. Ðàòóøíÿê. Íåïåðåðâíà íiäå íå ìîíîòîííà ôóíêöiÿ, îçíà÷åíà â òåðìiíàõ
ëàíöþãîâîãî A2-çîáðàæåííÿ ÷èñåë. Áóêîâèíñüêèé ìàòåìàòè÷íèé æóðíàë,
11(1):126�133, 2023.
[28] Ñ. Ðàòóøíÿê. Íåïåðåðâíà íiäå íå ìîíîòîííà ôóíêöiÿ, îçíà÷åíà â òåðìi-
íàõ ëàíöþãîâîãî A-çîáðàæåííÿ ÷èñåë. Áóêîâèíñüêèé ìàòåìàòè÷íèé æóðíàë,
11(2):236�245, 2023.
[29] Ã. Òîðáèí, Í. Ïðàöåâèòûé. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñ íåçàâèñèìûìè Q˚-çíàêàìè.
Ñëó÷àéíûå ýâîëþöèè: òåîðåòè÷åñêèå è ïðèêëàäíûå çàäà÷è, pages 95�104, 1992.
[30] À. Òóðáèí, Í. Ïðàöåâèòûé. Ôðàêòàëüíûå ìíîæåñòâà, ôóíêöèè, ðàñïðåäåëåíèÿ.
Êèåâ: Íàóê.äóìêà, page 208, 1992.
Ñ. Ï. Ðàòóøíÿê
Iíñòèòóò ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè, ì. Êè¨â
Email: ratush404@gmail.com
ORCID: 0009-0005-2849-6233
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-548 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:09:13Z |
| publishDate | 2025 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/22/b1627d9e7e7e38bfd0e02e72d6952522.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-5482026-02-24T12:22:41Z Fractal analysis of functions with complex local structure Фрактальний аналіз функцій зі складною локальною структурою Ratushniak , Sofiia Ратушняк, Софія We consider class of fractal functions whose argument and value are written in the same (or different) number representation systems with zero redundancy (Q2-representation, Q2*-representation, A-continued fraction representation of numbers). For the given examples of function constructions, their topological, metric, fractal and differential properties are described. У статті розглядається клас фрактальних функцій, аргумент і значення яких записані в одній і тій же (або різних) системах зображення чисел з нульовою надлишковістю (Q2-зображення, Q2*-зображення, ланцюгове A-зображення чисел). Для наведених прикладів конструкцій функцій описано їх тополого-метричні, фрактальні та диференціальні властивості. Інститут математики НАН України 2025-08-18 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/548 10.3842/trim.v21n1.548 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 21 No. 1 (2024): Special Issue "Actual problems of modern mathematics: methods, models and applications"; 180-190 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 21 № 1 (2024): Спеціальний номер "Актуальні проблеми сучасної математики: методи, моделі та застосування" ; 180-190 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 21 № 1 (2024): Спеціальний номер "Актуальні проблеми сучасної математики: методи, моделі та застосування" ; 180-190 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/548/530 Авторське право (c) 2024 Софія Ратушняк http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Ratushniak , Sofiia Ратушняк, Софія Fractal analysis of functions with complex local structure |
| title | Fractal analysis of functions with complex local structure |
| title_alt | Фрактальний аналіз функцій зі складною локальною структурою |
| title_full | Fractal analysis of functions with complex local structure |
| title_fullStr | Fractal analysis of functions with complex local structure |
| title_full_unstemmed | Fractal analysis of functions with complex local structure |
| title_short | Fractal analysis of functions with complex local structure |
| title_sort | fractal analysis of functions with complex local structure |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/548 |
| work_keys_str_mv | AT ratushniaksofiia fractalanalysisoffunctionswithcomplexlocalstructure AT ratušnâksofíâ fractalanalysisoffunctionswithcomplexlocalstructure AT ratushniaksofiia fraktalʹnijanalízfunkcíjzískladnoûlokalʹnoûstrukturoû AT ratušnâksofíâ fraktalʹnijanalízfunkcíjzískladnoûlokalʹnoûstrukturoû |