On internal resonances for sloshing in mobile coaxial reservoirs of conical shape
Employing the secondary (internal) resonance condition for steady-state sloshing in a conical tank that appears due to resonant excitation of the lowest natural frequency, the paper establishes a set of input geometric parameters (semi-apex angle of outer and inner conus) for which the secondary res...
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Автори та афіліації: |
|
| Ключові слова: | keywords |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/55 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552580124508160 |
|---|---|
| author | Solodun, A. V. Солодун, А. В. Солодун, А. В. |
| author_facet | Solodun, A. V. Солодун, А. В. Солодун, А. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "А. В. Солодун",
"institution": "Институт математики НАН Украины"
}
] |
| author_sort | Solodun, A. V. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-13T11:57:10Z |
| description | Employing the secondary (internal) resonance condition for steady-state sloshing in a conical tank that appears due to resonant excitation of the lowest natural frequency, the paper establishes a set of input geometric parameters (semi-apex angle of outer and inner conus) for which the secondary resonance phenomenon can lead to amplification of higher modes. A series of recommendation regarding the forthcoming development of nonlinear modal methods for the indicated tank shape are formulated. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:01:41Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2016, т. 13, № 3, 218–229
УДК 532.595
О внутренних резонансах колебаний
жидкости в подвижных соосных
резервуарах конической формы*
А. В. Солодун
Институт математики НАН Украины, Киев;
solodun@imath.kiev.ua
Employing the secondary (internal) resonance condition for steady-state
sloshing in a conical tank that appears due to resonant excitation of the
lowest natural frequency, the paper establishes a set of input geometric
parameters (semi-apex angle of outer and inner conus) for which the sec-
ondary resonance phenomenon can lead to amplification of higher modes.
A series of recommendation regarding the forthcoming development of non-
linear modal methods for the indicated tank shape are formulated.
Використовуючи умову виникнення внутрiшнiх резонансiв для устале-
них рухiв рiдини у соосних конiчних баках, що виникають при резо-
нансному збуреннi першої власної частоти, у роботi визначається набiр
геометричних вхiдних параметрiв (кут розчину зовнiшнього та вну-
трiшнього конуса), для яких за рахунок внутрiшнiх резонансiв може
збурюватись ряд вищих власних форм. Сформульовано рекомендацiї
щодо подальшого розвитку нелiнiйних модальних методiв для бакiв
вказаної геометрiї.
Введение
В предыдущих работах автора [3, 9] развивались нелинейные асимп-
тотические модальные методы, которые сводят задачу описания гид-
родинамического отклика жидкости в конических баках к построе-
нию и анализу малоразмерных систем обыкновенных дифференци-
альных уравнений (модальных систем), относительно обобщённых
координат, характеризующих возмущённое движение жидкости. Прак-
тическая важность такого рода исследований связывается, прежде
*Работа выполнена при частичной поддержке НИР № 0112U001015.
c○ Солодун А. В., 2016
О внутренних резонансах колебаний жидкости в подвижных . . . 219
всего, с задачей описания силового взаимодействия между жидко-
стью и мегалитровыми водонапорными башнями с коническими бака-
ми, которое происходит вследствие ветровых нагрузок или сейсмиче-
ских воздействий. Прикладные инженерные аспекты этой проблемы,
а также типичные геометрические и физические параметры можно
найти в работах [7, 13].
Общая идеология нелинейных модальных методов, а также исто-
рия их возникновения детально изложена в монографии [1]. Доста-
точно полный обзор этих методов можно также найти в недавних ста-
тьях [3, 5, 8, 9], где основное внимание уделено асимптотике третьего
порядка Нариманова–Моисеева, которая получила наиболее широкое
распространение при практической реализации нелинейных модаль-
ных методов.
Как проиллюстрировано в [5] на случае кругового вертикально-
го срезанного конического бака, для осесимметричных сосудов такая
асимптотика неизбежно приводит к нелинейным модальным систе-
мам, связывающим бесконечное число обобщённых координат вто-
рого и третьего порядка малости. Это увеличивает вероятность воз-
никновения комбинаторных внутренних резонансов в системе, когда
порождаемые квадратичными и кубическими нелинейными членами,
возникают супергармоники, близкие к одной из собственных частот.
Феномену внутренних резонансов в задачах об установившихся
резонансных колебаниях жидкости посвящена обширная литерату-
ра. Детальный её обзор можно найти в главах 8 и 9 книги [10]. На
возможность возникновения внутренних резонансов для сосудов кру-
гового сечения, когда собственные формы колебания жидкости (в ци-
линдрической системе координат (𝑟, 𝑧, 𝜃)) можно представить в виде
𝜙𝑚,𝑛(𝑟, 𝑧, 𝜃) = 𝑓𝑚,𝑛(𝑟, 𝑧)
sin
cos
(𝑚𝜃), (1)
было обращено внимание в работах [6, 14]. В этих работах, в част-
ности, было установлено, что для вертикального кругового цилин-
дрического бака критическими безразмерными глубинами (отноше-
ниями глубина–радиус бака), когда возникают внутренние резонан-
сы при резонансном возбуждении первой основной частоты, являют-
ся 0.831 (для двух собственных форм, отвечающих 𝜙2,2), 0.279 (для
𝜙3,2), 0.455 для (𝜙3,3) и 0.748 (для 𝜙3,4), а также остальные вплоть
до мод пятого порядка, но не рассматривался случай 𝑚 = 0, тоже
имеющий второй порядок малости. Как видно, это практически реа-
220 Солодун А. В.
лизуемые глубины. Это обозначает, что при построении нелинейных
модальных систем нельзя пренебрегать обобщёнными координатами,
отвечающими собственным формам 𝜙2,2, 𝜙3,2, 𝜙3,3 и 𝜙3,4 при перехо-
де от бесконечномерной модальной системы Нариманова–Моисеева к
еe конечномерному приближению.
Более того, для глубин, близких к указанным значениям, резуль-
таты, полученные с помощью нелинейной асимптотической модаль-
ной системы типа Нариманова–Моисеева, должны быть подкрепле-
ны результатами экспериментов, поскольку сама асимптотика Нари-
манова–Моисеева предполагает, что гидродинамическая система не
претерпевает внутренних резонансов.
Несмотря на то, что сам вопрос возникновения внутренних резо-
нансов для конических баков поднимался в работе [8], ответ на во-
прос, при каких значениях глубин заполнения и углов раствора такие
резонансы возможны, был получен только в работе [4]. В данной ра-
боте предполагается ответить на аналогичный вопрос для соосной ко-
нической полости путeм анализа соотношений между собственными
частотами колебаний жидкости. Высокоточное определение таких ча-
стот стало возможным благодаря развитию численно-аналитических
методов решения соответствующей спектральной краевой задачи [2].
В линейной теории колебаний можно пренебречь учётом вторич-
ных резонансов, но в нелинейной этого сделать нельзя. Особенно вто-
ричные резонансы могут “сыграть” при “круговых” движениях внут-
реннего объёма жидкости, так как внутренние резонансы лежат в
непосредственной близости от основных (могут даже сливаться), и
там идёт более интенсивный обмен энергиями по высшим гармони-
кам и возникают ситуации, когда вторичные гармоники вносят сопо-
ставимый с основными вклад.
Базируясь на результатах анализа, будут указаны критические
значения объемов соосного конического бака для трёх типичных уг-
лов раствора внешнего конуса и, используя эту информацию, будут
указаны, какие именно обобщeнные координаты, в дополнении к семи
из работы [3, 9], должны быть обязательно использованы для учёта
влияния вторичных резонансов, а также укажем минимальный раз-
мер модальных систем для соосной полости, аналогичный работе [5].
О внутренних резонансах колебаний жидкости в подвижных . . . 221
1 Постановка задачи
Oy
z
x
Q
g
r1
S1
S2
S0
S
r0
q1
q0
Рис. 1. Колебания
жидкости в вертикаль-
ных круговых соосных
конических баках.
Рассмотрим безвихревые волновые дви-
жения идеальной несжимаемой жидко-
сти, частично заполняющей покоящий-
ся абсолютно жёсткий бак, образованный
двумя соосными коническими полостями
с общей вершиной, как показано на рис. 1.
Здесь через угол 𝜃0 обозначен угол полу-
раствора внешнего конуса, а через 𝜃1 –
внутреннего. Вектор ускорения сил гра-
витации 𝑔⃗ направлен вниз вдоль оси кону-
са. Подвижная жидкость занимает объем
𝑄, изображенный на рисунке. Смачивае-
мые боковые стенки сосуда 𝑆 (𝑆 = 𝑆1∪𝑆2)
обозначены через 𝑆1 (внешняя) и через
𝑆2 (внутренняя), а невозмущённая (гидростатическая) свободная по-
верхность жидкости – через Σ0. Начало Декартовой системы коор-
динат 𝑂𝑥𝑦𝑧 размещено в условной вершине конуса 𝑂, причём ось 𝑂𝑥
направлена вертикально вверх.
В качестве характерного линейного размера выбран радиус 𝑟0
внешнего конуса. Соотношение между внутренним и внешним полу-
углами соосного конуса (𝜃1/𝜃0) становится геометрической характе-
ристикой объемного заполнения бака. В частности, предел 𝜃1/𝜃0 → 0
влечёт 𝑉𝑐𝑐 → 𝑉𝑐. С другой стороны, при фиксированном 𝑟0 объем
бака 𝑉 стремится к нулю, если 𝜃1/𝜃0 → 1.
Собственные формы колебаний жидкости являются собственными
функциями спектральной краевой задачи с параметром в краевом
условии (см., например, [1])
Δ𝜙 = 0, 𝑟⃗ ∈ 𝑄0,
𝜕𝜙
𝜕𝜈
= 0, 𝑟⃗ ∈ 𝑆0,
𝜕𝜙
𝜕𝜈
= 𝜘 𝜙, 𝑟⃗ ∈ Σ0,
∫︁
Σ0
𝜕𝜙
𝜕𝜈
𝑑𝑆 = 0.
(2)
Данная задача имеет решение вида (1), причём 𝜘, именуемый ча-
стотным параметром, связан с собственной частотой соотношением
𝜘𝑚,𝑛 = 𝜎2
𝑚,𝑛/𝑔. (3)
Целые индексы 𝑚 > 0 связываются с угловым волновым числом,
а возрастающий целый индекс 𝑛 > 1 упорядочивает стоячие вол-
222 Солодун А. В.
ны, соответствующие (1), в порядке уменьшения длины волны в ра-
диальном направлении. За исключением осесимметричных собствен-
ных форм (𝑚 = 0), каждой собственной частоте системы 𝜎𝑚,𝑛 со-
ответствуют две собственные формы, а полученные нелинейные мо-
дальные уравнения допускают ряд упрощений, связанных с триго-
нометрической угловой компонентой в представлении собственных
форм (1).
Асимптотика третьего порядка Нариманова–Моисеева предпола-
гает, что основной, доминантный вклад в динамику жидкости вносят
лишь две первые собственные формы колебания жидкости 𝜙1,1 sin 𝜃 и
𝜙1,1 cos 𝜃, обладающие одной и той же минимальной собственной ча-
стотой 𝜎1,1. Принимают, что эти моды имеют первый порядок мало-
сти. Обусловленные тригонометрической угловой компонентой в (1)
члены второго порядка малости по отношению к доминантным фор-
мам связываются с собственными формами 𝜙0,𝑛, 𝜙2,𝑛 sin 2𝜃, 𝜙2,𝑛 cos 2𝜃,
𝑛 ≥ 1. Аналогично, собственные формы 𝜙1,𝑛 sin 𝜃 и 𝜙1,𝑛 cos 𝜃, 𝑛 ≥ 2 и
𝜙3,𝑛 sin 3𝜃 и 𝜙3,𝑛 cos 3𝜃, 𝑛 ≥ 1 характеризуются третьим, высшим для
данной асимптотики порядком малости.
Асимптотика Нариманова–Моисеева пренебрегает вкладом соб-
ственных форм, которые имеют асимптотический порядок больший
трех. Последнее означает, что вклад собственных форм 𝜙𝑚,𝑛 sin𝑚𝜃 и
𝜙𝑚,𝑛 cos𝑚𝜃, 𝑚 ≥ 4 не учитывается.
Асимптотика Нариманова–Моисеева обязательно требует учёта бес-
конечного числа собственных форм колебаний. Однако полная нели-
нейная модальная система, описывающая колебания жидкости в осе-
симметричных баках, базирующаяся на асимптотике Нариманова–
Моисеева и вовлекающая бесконечное число обобщённых координат,
соответствующих собственным формам второго и третьего порядка
малости, построена лишь недавно и только для вертикального ци-
линдрического бака [12] сферического [11] и срезанного конического
бака [9]. Подобные полные модальные системы отсутствуют для дру-
гих баков осесимметричной формы.
Базовой задачей, которая исследуется с помощью нелинейных мо-
дальных систем, является задача описания установившихся (перио-
дических) режимов движения жидкости в том случае, когда коле-
бания бака совершаются по синусоидальному закону с частотой 𝜔,
близкой к 𝜎1,1. Для осесимметричных баков простой гармонический
анализ резонансных решений показывает, что первые две собствен-
ные формы характеризуются доминантным вкладом первой тригоно-
О внутренних резонансах колебаний жидкости в подвижных . . . 223
метрической компоненты разложения Фурье периодических (устано-
вившихся) решений. Доминантными компонентами для форм второ-
го и третьего порядка будут соответственно cos 2𝜔𝑡, sin 2𝜔𝑡 и cos 3𝜔𝑡,
sin 3𝜔𝑡. Если 2𝜔 окажется равной одной из собственных частот, со-
ответствующих формам второго порядка малости, т. е. частотам 𝜎2,𝑖
или 𝜎0,𝑖, 𝑖 ≥ 1, то может возникнуть так называемый внутренний
(вторичный) резонанс второго порядка. Аналогично, внутренний ре-
зонанс третьего порядка может возникнуть в случае, когда 3𝜔 совпа-
дает с одной из собственных частот 𝜎3,𝑖, 𝑖 ≥ 1 или 𝜎1,𝑖, 𝑖 ≥ 2.
Когда частота возбуждения 𝜔 близка к первой собственной часто-
те колебаний жидкости 𝜎1,1, тогда имеем 𝜔 ∼ 𝜎1,1. Необходимыми
условиями внутреннего резонанса второго порядка являются следу-
ющие условия:
2𝜔 = 𝜎0,𝑛, 𝑛 ≥ 1, (4)
2𝜔 = 𝜎2,𝑛, 𝑛 ≥ 1. (5)
Аналогично, для собственных форм третьего порядка 𝜙3,𝑛, 𝑛 ≥ 1
и 𝜙1,𝑛, 𝑛 ≥ 2, возникновение внутренних резонансов связывается с
соотношениями
3𝜔 = 𝜎3,𝑛, 𝑛 ≥ 1, (6)
3𝜔 = 𝜎1,𝑛, 𝑛 ≥ 2. (7)
Предметом наших исследований будет поиск набора входных пара-
метров, углов полураствора внешней 𝜃0 и внутренней 𝜃1 конической
полости, для которых выполнено одно из соотношений частот (4)-(7)
при условии 𝜔 ≈ 𝜎1,1.
2 Численные результаты
Нас интересуют такие объемы жидкости и углы полураствора 𝜃0, 𝜃1
соосной конической полости, для которых реализуются такие соот-
ношения частот (4)-(7). Для этого построим функции 𝑖𝑚,𝑛(𝜃0, 𝜃1), за-
висящие от этих двух параметров, и исследуем их на удовлетворения
соответствующих условий (𝑖𝑚,𝑛 = 1). Ограничимся здесь четырьмя
такими функциями 𝑖0,𝑛, 𝑖2,𝑛, 𝑖3,𝑛 и 𝑖1,𝑛
𝑖0,𝑛(𝜃0, 𝜃1) =
𝜎0,𝑛
2𝜎1,1
=
1
2
√︂𝜘0,𝑛
𝜘1,1
, 𝑛 ≥ 1, (8)
224 Солодун А. В.
𝑖2,𝑛(𝜃0, 𝜃1) =
𝜎2,𝑛
2𝜎1,1
=
1
2
√︂𝜘2,𝑛
𝜘1,1
, 𝑛 ≥ 1, (9)
𝑖3,𝑛(𝜃0, 𝜃1) =
𝜎3,𝑛
3𝜎1,1
=
1
3
√︂𝜘3,𝑛
𝜘1,1
, 𝑛 ≥ 1, (10)
𝑖1,𝑛(𝜃0, 𝜃1) =
𝜎1,𝑛
3𝜎1,1
=
1
3
√︂𝜘1,𝑛
𝜘1,1
, 𝑛 ≥ 2. (11)
Эти функции не содержат частоты возбуждения 𝜔. Однако легко
видеть, что близость значения одной из этих функций к единице, т.
е. условие 𝑖𝑚,𝑛(𝜃0, 𝜃1) ≈ 1, эквивалентно выполнению условия внут-
реннего резонанса по собственным формам, соответствующим индек-
сам (𝑚,𝑛).
0 5 10 15 20 25
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
i
0, n
θ
1
1.48
i
0,1
i
0,2
i
0,3
i
0,4
i
0,5
i
0,6
0 5 10 15 20 25
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
i
1, n
θ
1
20.1412.64
i
1,2
i
1,3
i
1,4
i
1,5
i
1,6
0 5 10 15 20 25
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
i
2, n
θ
1
1.32
i
2,1
i
2,2
i
2,3
i
2,4
i
2,5
i
2,6
0 5 10 15 20 25
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
i
3, n
θ
1
18.717.71
i
3,1
i
3,2
i
3,3
i
3,4
i
3,5
i
3,6
Рис 2. Графики зависимостей 𝑖𝑚,𝑛 для обратного соосного конического
резервуара с внешним полууглом 𝜃0 = 30∘.
На рис. 2–4 приведены зависимости 𝑖0,𝑛, 𝑖1,𝑛, 𝑖2,𝑛 и 𝑖3,𝑛 от внутрен-
него полуугла 𝜃1 при фиксированном радиусе внешнего конуса 𝑟0 = 1
(случай 𝜃1 = 0 соответствует случаю обычного неусечeнного конуса,
а 𝜃1 → 𝜃0 отвечает нулевому объему) для трeх фиксированных углов
полураствора внешнего конуса 𝜃0 = 30∘, 𝜃0 = 45∘ и 𝜃0 = 60∘. Значе-
О внутренних резонансах колебаний жидкости в подвижных . . . 225
0 5 10 15 20 25 30 35
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
i
0, n
θ
1
16.55
i
0,1
i
0,2
i
0,3
i
0,4
i
0,5
i
0,6
0 5 10 15 20 25 30 35
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
i
1, n
θ
1
30.7115.15
i
1,2
i
1,3
i
1,4
i
1,5
i
1,6
0 5 10 15 20 25 30 35
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
i
2, n
θ
1
i
2,1
i
2,2
i
2,3
i
2,4
i
2,5
i
2,6
0 5 10 15 20 25 30 35
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
i
3, n
θ
1
24.86
i
3,1
i
3,2
i
3,3
i
3,4
i
3,5
i
3,6
Рис 3. Графики зависимостей 𝑖𝑚,𝑛 для обратного соосного конического
резервуара с внешним полууглом 𝜃0 = 45∘.
ния 𝑖𝑚,𝑛 отложены вдоль вертикальной оси, а значения внутреннего
полуугла 𝜃1 – вдоль горизонтальной оси.
Как видно из приведённых рисунков, нестрогое равенство в необ-
ходимых условиях внутреннего резонанса выполняется для всех рас-
сматриваемых углов полураствора. Так, для угла полураствора 𝜃0 =
30∘ (рис. 2), анализируя внутренние резонансы второго порядка, необ-
ходимо выделить обязательный учёт собственных форм (0, 1) и (2, 2)
для немалых объемов, а для малых объемов важными становятся
формы (1, 2) и (3, 2). При этом строгое равенство 𝑖0,1 = 1 при 𝜃1 =
1.48∘ означает, что первая осесимметричная форма претерпевает вто-
ричный резонанс вместе с основным резонансом, а равенство 𝑖2,2 = 1
при 𝜃1 = 1.32∘ означает, что вторая форма также претерпевает вто-
ричный резонанс вместе с основным резонансом. Что касается внут-
ренних резонансов третьего порядка, то здесь ситуация ещe более
сложная. Несомненно, немалый вклад в гидродинамический отклик
будут вносить формы (3, 2) и (3, 3), причeм для 𝜃1 = 18, 71∘ и 𝜃1 =
7, 71∘ собственные формы (3, 2) и (3, 3) соответственно должны ха-
рактеризоваться резонансным поведением совместно с основным ре-
226 Солодун А. В.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
i
0, n
θ
1
22.97
i
0,1
i
0,2
i
0,3
i
0,4
i
0,5
i
0,6
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
i
1, n
θ
1
43.78
i
1,2
i
1,3
i
1,4
i
1,5
i
1,6
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
i
2, n
θ
1
i
2,1
i
2,2
i
2,3
i
2,4
i
2,5
i
2,6
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
i
3, n
θ
1
10.64
i
3,1
i
3,2
i
3,3
i
3,4
i
3,5
i
3,6
Рис 4. Графики зависимостей 𝑖𝑚,𝑛 для обратного соосного конического
резервуара с внешним полууглом 𝜃0 = 60∘.
зонансом.
Аналогичный вывод можно сделать для собственной формы (1, 2)
при 𝜃1 = 20.14∘, а также для собственной формы (1, 3) при 𝜃1 =
12.64∘. В целом, для данного угла полураствора можно сделать вы-
вод о том, что асимптотика Нариманова–Моисеева применима для
2∘ ≲ 𝜃1 ≲ 18∘ (за резким исключением внутренних резонансов тре-
тьего порядка). Однако ряд высших форм второго и третьего поряд-
ка, в частности, (0, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2), (1, 2) и (1, 3), обязательно
должны быть включены в выводимые модальные системы для такой
геометрии соосных конических полостей.
Качественно ситуация не претерпевает существенных изменений
для угла полураствора 𝜃0 = 45∘ (рис. 3). Для этого угла полураствора
внутренний резонанс имеет место при 𝜃1 = 16.55∘ (мода (0, 1)), 𝜃1 =
30.71∘ (мода (1, 2)), 𝜃1 = 15.15∘ (мода (1, 3)) и 𝜃1 = 24.86∘ (мода (3, 2)).
Для соосных баков 𝜃1 ≲ 15∘ сохраняются выводы, сформулированные
для угла полураствора 𝜃0 = 30∘.
В то же время для угла полураствора 𝜃0 = 60∘ рис. 4 демонстриру-
ет три значения параметра 𝜃1, для которых можно ожидать внутрен-
О внутренних резонансах колебаний жидкости в подвижных . . . 227
ний резонанс одновременно с основным. Эти значения 𝜃1 = 22.97∘
(внутренний резонанс второго порядка, собственная форма (0, 1)),
𝜃1 = 43.78∘ (внутренний резонанс третьего порядка, собственная фор-
ма (1, 2)) и 𝜃1 = 10.64∘ (внутренний резонанс третьего порядка, мода
с индексом (3, 2)). В целом, для данного угла полураствора можно
сделать вывод о том, что асимптотика Нариманова–Моисеева приме-
нима для 0∘ ≲ 𝜃1 ≲ 43∘ (за резким исключением (двух) внутренних
резонансов второго и третьего порядка).
Приведем здесь рисунки с собирательной информацией по всем
внутренним для исследуемых соосных полостей. Как видно из рис. 5,
0 5 10 15 20 25 30
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
V
cc
θ
1
(12)
(13)
(22)
(01)
(32)
(33)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
V
cc
θ
1
(01)
(12)
(13)
(32)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
0
0.2
0.4
0.6
0.8
V
cc
θ
1
(01)
(12)
(32)
Рис 5. Объемный спектр высших резонансов для обратного соосного ко-
нического резервуара относительно внешнего полуугла 𝜃0 при фиксирован-
ном радиусе внешнего конуса, равном единице.
при уменьшении величины внешнего полуугла 𝜃0 внутренних резо-
нансов высших порядков становится больше и они сгущаются. Это
обозначает, что при выводе модальных систем Нариманова–Моисеева
необходимо учитывать все больше высших форм.
𝜃0 = 𝜋/3 +{(12), (32)}
𝜃0 = 𝜋/4 +{(12), (13), (32)}
𝜃0 = 𝜋/6 +{(12), (13), (22), (32), (33)}
Таблиця 1. Необходимые добавки к базисному модальному спектру
{(01), (11), (21), (31)} относительно внешнего полуугла 𝜃0 при фиксирован-
ном радиусе внешнего конуса, равном единице.
В таблице 1 представлены добавки к базисному модальному спек-
тру {(01), (11), (21), (31)} относительно внешнего полуугла 𝜃0 при фик-
сировании радиуса внешнего конуса, равном единице. Анализируя
данную таблицу, можно видеть, что разные углы внешнего конуса
требуют разного количества гармоник. Причем к базисному модаль-
228 Солодун А. В.
ному спектру, использованному автором для исследования колебаний
жидкости в срезанном коническом баке [9], необходимо добавлять ряд
высших гармоник, и с уменьшением угла внешнего конуса количество
высших гармоник растет.
Выводы
Численно проанализированы соотношения между собственными ча-
стотами колебания жидкости в соосном коническом баке, которые
выражают условие возникновения внутренних резонансов второго и
третьего порядка в рамках асимптотики Нариманова–Моисеева. На
основе такого численного анализа для углов полураствора внешнего
конуса 𝜃0 = 30∘, 45∘ и 60∘ были определены соотношения между угла-
ми полураствора внешнего и внутреннего конического бака, для ко-
торых, в связи с внутренними резонансами, ряд высших обобщённых
координат второго и третьего порядков может давать значительный
вклад в гидродинамический отклик. Число таких критических зна-
чений растет с уменьшением внешнего угла полураствора. Для всех
исследуемых углов полураствора отмечается важность собственных
форм с индексами (0, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2), (1, 2), (1, 3), которые обя-
зательно должны быть учтены при построении приближённых нели-
нейных модальных систем типа Нариманова–Моисеева.
С другой стороны, рассмотрев задачу о внутренних резонансах в
соосных конических баках, можно сделать (готовы) выводы о задачи
минимального набора нелинейной модальной системы для резонанс-
ных движений жидкости, которые нужно удерживать в бесконечных
нелинейных модальных системах типа [5].
Это свидетельствует о том, что модальная теория ещё не исчерпа-
ла своих возможностей, но требует некоторой доработки и уточнения
с тем, чтобы в полной мере и во всех диапазонах описывать нелиней-
ные волновые движения жидкости в соосных конических полостях.
[1] Луковский И. А. Математические модели нелинейной динамики твер-
дых тел с жидкостью. – Киев: Наук. думка, – 2010, – 408 c.
[2] Луковский И. А., Солодун А. В. Вариационный метод исследования
спектральной задачи о собственных колебаниях жидкости в соосных
конических резервуарах// Прикладна гiдромеханiка. – 2013. 10, 3. –
C. 88–112.
О внутренних резонансах колебаний жидкости в подвижных . . . 229
[3] Луковский И. А., Солодун А. В., Тимоха А. Н. Нелинейная асимпто-
тическая модальная теория резонансных колебаний жидкости в сре-
занных конических баках // Акустический вестник. – 2011. – 14, 4.
– С. 128–134.
[4] Луковский И. А., Солодун А. В., Тимоха А. Н. О внутренних резо-
нансах колебания жидкости в конических баках// Прикладна гiдро-
механiка. – 2013. 15, 2. – C. 46–52.
[5] Солодун А. В. Нелинейные модальные модели третьего порядка ма-
лости, описывающие колебание жидкости в усеченных конических ре-
зервуарах // Зб. праць Iн-ту математики НАН України. — 2014. — 11,
4. — C. 280–307.
[6] Brayant P. J. Nonlinear progressive free waves in a circular basin// J .
Fluid Mech.. – 1989. – 205. – P. 453-467.
[7] El Damatty A. A., Saafan M. S., Sweedan A. M. I. Experimental study
conducted on a liquid-filled combined conical tank model // Thin-Walled
Structures. – 2005. – 43. – P. 1398–1417.
[8] Gavrilyuk I., Lukovsky I., Timokha A. Linear and nonlinear sloshing in
a circular conical tank// Jour. Fluid Dynamic Research. – 2005, 35. –
P. 399–429.
[9] Gavrilyuk I., Hermann M., Lukovsky I., Solodun O., Timokha A. Weakly
nonlinear sloshing in a truncated circular conical tank// Fluid Dyn. Res.
– 2013. 45. 055512. – P. 1–30.
[10] Faltinsen O. M., Timokha A. N. Sloshing Cambridge. Cambridge
University Press. — 2009. — 608 p.
[11] Faltinsen O. M., Timokha A. N. Multimodal analysis of weakly nonlinear
sloshing in a spherical tank // — 2013. — 719. — P. 129–164.
[12] Lukovsky I. A., Ovchinnikov D. V., Timokha A. N. Asymptotic nonlinear
multimodal method for liquid sloshing in an upright circular cylindrical
tank. Part 1: Modal equations // Nonlinear Oscillations. — 2012. — 14,
4. — P. 512–525.
[13] Moslemi M., Kianoush M. R., Pogorzelski W. Seismic response of liquid-
filled elevated tanks // Engineering Structures. – 2011. – 33. – P. 2074–
2084.
[14] Takahara H., Kimura K. Frequency response of sloshing in an annular
cylindrical tank subjected to pitching excitation // Jounal of Sound and
Vibration. – 2012. – 331. – P. 3199–3212.
1. Луковський І.О., Гаврилюк І.О., Василик В.Б., Ситник Д.О.
2. Біленко В. І., Божонок К. В., Дзядик С. Ю., Стеля О. Б.
Інтегро–апроксимаційний алгоритм
Вступ
Постановка задачі
Алгоритм
Похибка алгоритму
Застосування a–методу для алгебраїчно–нелінійних рівнянь гіперболічного типу
Задача Дирихле для алгебраїчно–нелінійних рівнянь еліптичного типу на прямокутнику
Наближений розв'язок початкової задачі для алгебраїчно–нелінійних рівнянь параболічного типу на прямокутнику
Сплайн–алгоритм
Монотонна схема для рівняння конвекції–дифузії
Висновки
3. Василик В.Б., Макаров В.Л., Ситник Д.О.
Вступ
Регуляризація та явне зображення розв'язку
Вибір контуру інтегрування
Чисельний метод
4. Веселовська Г.М.
5. Грушковская В.В.
Введение
Построение модельной системы
Условия устойчивости
Оценка скорости убывания решений
Пример: оценка скорости затухания колебаний маятниковой системы с частичной диссипацией
Выводы
6. Дзюбенко Г.А.
Вступ
Допоміжні факти
Доведення Теореми ??
7. Діденко Ю.Ф., Денисенко В.І.
8. Елишевич М.А.
Постановка задачи
Полученный результат
Пример
9. Константинов А.В., Лимарченко О.С., Кинебас К.В., Паранькина О.Ю.
Введение
Объект исследования и математическая модель
Результаты вычислительных экспериментов
Выводы
10. Мазко О.Г., Кусій С.М.
Вступ
Допоміжні твердження
Лінійні системи з керованими і спостережуваними виходами
Статичний регулятор по вимірюваному виходу
Динамічний регулятор
Алгоритм побудови динамічного регулятора
Приклад. Гасіння коливань лінійного осцилятора.
Висновок
11. Працьовитий М. В., Маслова Ю. П.
Вступ
Функція Радемахера і ряди Уолша
Узагальнення функцій Радемахера
Узагальнення функцій Уолша
12. Працьовитий М.В., Чуйков А.С.
Вступ
Оператори лівостороннього та правостороннього зсуву елементів ланцюгового дробу
Інші функції, пов'язані з оператором T(x)
13. Новицький В.В., Зінчук М.О., Коломійчук О.П., Тетерятник О.В.
Вступ
Оптимальне керування лінійними неперервними майже консервативними системами
Оптимальне керування лінійними дискретними майже консервативними системами
14. Осауленко Р. Ю.
Вступ
Перетворення, які зберігають хвости Qs–зображення чисел
Група перетворень, які зберігають частоти цифр Qs–зображення числа
Приклад функції, яка зберігає частоти, але не зберігає хвости зображення Qs-ірраціональних чисел
15. Слинько В.І., Кравчук С.В.
Постановка задачі.
Основний результат.
Умови стійкості
16. Солодун А. В.
Постановка задачи
Численные результаты
17. Ситник Д.О.
Вступ
Sinc–апроксимація
Sinc-апроксимація функції за її значеннями поза інтерполяційною сіткою
18. Сосницький С.П.
Вступ
Про рівняння збуреного руху в околі стаціонарних лагранжевих трикутників
Теорема про орбітальну нестійкість лагранжевих стаціонарних рухів у задачі трьох тіл
Висновок
19. Сосницький С.П.
Вступ
Про достатні умови відсутності осцилюючих симетричних рухів
20. Чернецька Л.О.
21. Timokha A.N.
Statement
Asymptotic steady-state solutions of (??)–(??)
The reciprocating excitation type
The axisymmetric elliptic excitation type
The oblique elliptic excitation type
Conclusions
22. Shlepakov L.N.
Main relationships for a non-inflated system
Construction of enlarged systems
Defining the task mathematical programming
Case of multiple channels with same probability characteristics in the same system of channels.
23. Shidlich A.L.
Approximative characteristics
Main results
Order estimates for some functionals and their applications
Proof of Theorems ?? and ??.
24. Луковський І.О., Стороженко В.О.
25. Луковський І.О., Пустовойтов М.О.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-55 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:01:41Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/54/909153389c9782b8db4ad88321e8e454.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-552018-02-13T11:57:10Z On internal resonances for sloshing in mobile coaxial reservoirs of conical shape О внутренних резонансах колебаний жидкости в подвижных соосных резервуарах конической формы Про внутрішні резонанси коливань рідини у рухомих співосних резервуарів конічної форми Solodun, A. V. Солодун, А. В. Солодун, А. В. Employing the secondary (internal) resonance condition for steady-state sloshing in a conical tank that appears due to resonant excitation of the lowest natural frequency, the paper establishes a set of input geometric parameters (semi-apex angle of outer and inner conus) for which the secondary resonance phenomenon can lead to amplification of higher modes. A series of recommendation regarding the forthcoming development of nonlinear modal methods for the indicated tank shape are formulated. Используя условие возникновения внутренних резонансов для устоявшихся движений жидкости в соосных конических баках, возникающих при резонансном возбуждениии первой собственной частоты, в работе определяется набор геометрических входных параметров (угол раствора внешнего и внутреннего конуса), для которых за счет внутренних резонансов может возбуждаться ряд высших собственных форм. Сформулированы рекомендации по дальнейшему развитию нелинейных модальных методов для баков указанной геометрии. Використовуючи умову виникнення внутрiшнiх резонансiв для усталених рухiв рiдини у соосних конiчних баках, що виникають при резонансному збуреннi першої власної частоти, у роботi визначається набiр геометричних вхiдних параметрiв (кут розчину зовнiшнього та внутрiшнього конуса), для яких за рахунок внутрiшнiх резонансiв може збурюватись ряд вищих власних форм. Сформульовано рекомендацiї щодо подальшого розвитку нелiнiйних модальних методiв для бакiв вказаної геометрiї. Інститут математики НАН України 2017-12-22 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/55 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 13 No. 3 (2016): Mathematical problems of mechanics and computational mathematics; 218-229 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 13 № 3 (2016): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 218-229 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 13 № 3 (2016): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 218-229 3083-7529 1815-2910 ru https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/55/50 Авторське право (c) 2016 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Solodun, A. V. Солодун, А. В. Солодун, А. В. On internal resonances for sloshing in mobile coaxial reservoirs of conical shape |
| title | On internal resonances for sloshing in mobile coaxial reservoirs of conical shape |
| title_alt | О внутренних резонансах колебаний жидкости в подвижных соосных резервуарах конической формы Про внутрішні резонанси коливань рідини у рухомих співосних резервуарів конічної форми |
| title_full | On internal resonances for sloshing in mobile coaxial reservoirs of conical shape |
| title_fullStr | On internal resonances for sloshing in mobile coaxial reservoirs of conical shape |
| title_full_unstemmed | On internal resonances for sloshing in mobile coaxial reservoirs of conical shape |
| title_short | On internal resonances for sloshing in mobile coaxial reservoirs of conical shape |
| title_sort | on internal resonances for sloshing in mobile coaxial reservoirs of conical shape |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/55 |
| work_keys_str_mv | AT solodunav oninternalresonancesforsloshinginmobilecoaxialreservoirsofconicalshape AT solodunav oninternalresonancesforsloshinginmobilecoaxialreservoirsofconicalshape AT solodunav oninternalresonancesforsloshinginmobilecoaxialreservoirsofconicalshape AT solodunav ovnutrennihrezonansahkolebanijžidkostivpodvižnyhsoosnyhrezervuarahkoničeskojformy AT solodunav ovnutrennihrezonansahkolebanijžidkostivpodvižnyhsoosnyhrezervuarahkoničeskojformy AT solodunav ovnutrennihrezonansahkolebanijžidkostivpodvižnyhsoosnyhrezervuarahkoničeskojformy AT solodunav provnutríšnírezonansikolivanʹrídiniuruhomihspívosnihrezervuarívkoníčnoíformi AT solodunav provnutríšnírezonansikolivanʹrídiniuruhomihspívosnihrezervuarívkoníčnoíformi AT solodunav provnutríšnírezonansikolivanʹrídiniuruhomihspívosnihrezervuarívkoníčnoíformi |