Algebraic structure of the fundamental group of orbits of smooth functions on the 2-torus
This review paper is devoted to the description of the algebraic structure of the fundamental group of orbits of functions with isolated singularities on 2-torus with respect to the action of the group of diffeomorphisms of the 2-torus
Saved in:
| Date: | 2025 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2025
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/550 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872553053946642432 |
|---|---|
| author | Feshchenko, Bohdan Фещенко, Богдан |
| author_facet | Feshchenko, Bohdan Фещенко, Богдан |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Богдан Фещенко",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Feshchenko, Bohdan |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2026-02-24T12:22:41Z |
| description | This review paper is devoted to the description of the algebraic structure of the fundamental group of orbits of functions with isolated singularities on 2-torus with respect to the action of the group of diffeomorphisms of the 2-torus |
| doi_str_mv | 10.3842/trim.v21n1.550 |
| first_indexed | 2026-08-04T01:09:13Z |
| format | Article |
| fulltext |
Çáiðíèê ïðàöü Ií-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè (2024) ò. 21, �1, 205�216
Àëãåáðà¨÷íà ñòðóêòóðà
ôóíäàìåíòàëüíî¨ ãðóïè îðáiò
ãëàäêèõ ôóíêöié íà 2-òîði
Á. Ã. Ôåùåíêî
Abstract. This review paper is devoted to the description of the alge-
braic structure of the fundamental group of orbits of functions with isolated
singularities on 2-torus with respect to the action of the group of di�eo-
morphisms of the 2-torus.
Àíîòàöiÿ. Äàíà îãëÿäîâà ñòàòòÿ ïðèñâÿ÷åíà îïèñó àëãåáðà¨÷íî¨ ñòðóê-
òóðè ôóíäàìåíòàëüíî¨ ãðóïè îðáiò ôóíêöié ç içîëüîâàíèìè îñîáëèâî-
ñòÿìè íà 2-òîði âiäíîñíî äi¨ ãðóïè äèôåîìîðôiçìiâ 2-òîðà.
Âñòóï
Ãðóïè àâòîìîðôiçìiâ ìàòåìàòè÷íèõ îá'¹êòiâ äîñëiäæóþòüñÿ äàâíî.
Íàïðèêëàä, À. Êåëi âñòàíîâèâ, ùî äîâiëüíà ñêií÷åííà ãðóïà ïîðÿäêó
n ¹ ïiäãðóïîþ ãðóïè ïåðåñòàíîâîê ç n åëåìåíòiâ [1] (öåé ðåçóëüòàò áóâ
óçàãàëüíåíèé íà òîïîëîãi÷íi ãðóïè [20]), à Ê. Æîðäàí îïèñàâ ñòðóêòóðó
ãðóïè àâòîìîðôiçìiâ ñêií÷åííèõ äåðåâ [8].
Äîñëiäæåííÿ ãðóï �àâòîìîðôiçìiâ� i, áiëüø çàãàëüíî, ïðîñòîðiâ âi-
äîáðàæåíü ìiæ ìíîãîâèäàìè ¹ îñíîâíîþ çàäà÷åþ ãåîìåòðè÷íî¨ òîïîëî-
ãi¨. Ëèøå ó äåÿêèõ ÷àñòèííèõ âèïàäêàõ âäà¹òüñÿ îïèñàòè ñòðóêòóðó òà-
êèõ ïðîñòîðiâ. Íàïðèêëàä, äëÿ âèïàäêó êîìïàêòíèõ ïîâåðõîíü âiäîìèé
ãîìîòîïi÷íèé òèï ãðóïè ãîìåîìîðôiçìi (äèôåîìîðôiçìiâ) içîòîïíèõ òî-
òîæíîìó âiäîáðàæåííþ, äèâ �3.1. Öi ðåçóëüòàòè äàëè ìîæëèâiñòü âè-
â÷àòè ãðóïè êëàñiâ âiäîáðàæåíü ïîâåðõîíü (MCG) � ïåâíèé àíàëîã ãðó-
ïè �àâòîìîðôiçìiâ� ïîâåðõíi, à òàêîæ çíàéøëè ÷èñëåííi çàñòîñóâàííÿ
ó òîïîëîãi¨ ìíîãîâèäiâ ìàëî¨ ðîçìiðíîñòi òà òåîði¨ äèíàìi÷íèõ ñèñòåì,
äèâ. äåòàëüíèé îãëÿä ó [24, Ðîçäië 4].
Ñèñòåìàòè÷íå âèâ÷åííÿ ãîìîòîïi÷íèõ âëàñòèâîñòåé ñòàáiëiçàòîðiâ òà
îðáiò ãëàäêèõ ôóíêöié ç içîëüîâàíèìè îñîáëèâîñòÿìè íà êîìïàêòíèõ
This work was supported by grants from the Simons Foundation (1290607, B.G.F.)
2020 Mathematics Subject Classi�cation: 55Q05,57K20,57M05
Êëþ÷îâi ñëîâà: Ôóíäàìåíòàëüíà ãðóïà, ãîìîòîïi÷íèé òèï, îðáiòà, ñòàáiëiçàòîð
DOI : https://doi.org/10.3842/trim.v21n1.550
205
206 Á. Ã. Ôåùåíêî
ïîâåðõíÿõ âiäíîñíî äi¨ ãðóï äèôåîìîðôiçìiâ áóëî çàïî÷àòêîâàíî ó ðî-
áîòi Ñ. I. Ìàêñèìåíêà [9]. Íèì áóëî âñòàíîâëåíî, ùî çâ'ÿçíà êîìïîíåíòà
òîòîæíîãî âiäîáðàæåííÿ ñòàáiëiçàòîðó ¹ àáî ñòÿãóâàíîþ àáî ãîìîòîïi-
÷íî åêâiâàëåíòíîþ êîëó. Òàêîæ âií îïèñàâ ãîìîòîïi÷íèé òèï i àëãåáðà¨-
÷íó ñòðóêòóðó ôóíäàìåíòàëüíî¨ ãðóïè îðáiò òàêèõ ôóíêöié äëÿ ìàéæå
âñiõ êîìïàêòíèõ ïîâåðõîíü, äèâ [9]. Ó íàøîìó ñïiëüíîìó öèêëi ðîáiò
ìè îïèñàëè àëãåáðà¨÷íó ñòðóêòóðó ôóíäàìåíòàëüíî¨ ãðóïè îðáiò òàêèõ
ôóíêöié íà 2-òîði [14�16], à ó ïîäàëüøèõ ñòàòòÿõ öi ðåçóëüòàòè áóëè
óçàãàëüíåíi íà âèïàäîê âiäîáðàæåíü òîðà ó êîëî [4�6, 25]. Îãëÿäó ðå-
çóëüòàòiâ öüîãî öèêëó �ïðî 2-òîð� ïðèñâÿ÷åíà äàíà ñòàòòÿ. Çàöiêàâëåíî-
ìó ÷èòà÷ó ìè ðàäèìî îçíàéîìèòèñü ç ðîáîòîþ [13], à òàêîæ ç çàãàëüíèì
îãëÿäîì îòðèìàíèõ ðåçóëüòàòiâ Ñ. Ìàêñèìåíêà òà éîãî ó÷íiâ [12].
Ñòðóêòóðà ðîáîòè. Òåêñò ñêëàäà¹òüñÿ ç 5 ðîçäiëiâ. Ó ðîçäiëi 1 ìè
ïðèâîäèìî çàãàëüíi âiäîìîñòi ïðî ôóíêöi¨ Ìîðñà òà ãðàôè ãëàäêèõ ôóí-
êöié. Ðîçäië 2 ìiñòèòü îçíà÷åííÿ êëàñó ôóíêöié ÿêèé áóäå äîñëiäæóâà-
òèñü. Ðîçäië 3 ïðèñâÿ÷åíèé îðáiòàì i ñòàáiëiçàòîðàì ãëàäêèõ ôóíêöié
íà ïîâåðõíÿõ, ¨õ ãîìîòîïi÷íèì âëàñòèâîñòÿì, à òàêîæ àâòîìîðôiçìàì
ãðàôiâ ãëàäêèõ ôóíêöié, ùî iíäóêîâàíi äèôåîìîðôiçìàìè ïîâåðõîíü,
ÿêi çáåðiãàþòü çàäàíó ôóíêöiþ. Ó ðîçäiëi 4 ìè íàâîäèìî îçíà÷åííÿ âií-
öåâèõ äîáóòêiâ ãðóï ç öèêëi÷íèìè ãðóïàìè, à ó îñòàííüîìó, ðîçäiëi 5,
ìè ôîðìóëþ¹ìî ðåçóëüòàòè ïðî àëãåáðà¨÷íó ñòðóêòóðó ôóíäàìåíòàëü-
íî¨ ãðóïè îðáiò ãëàäêèõ ôóíêöié íà 2-òîði.
1. Çàãàëüíi âiäîìîñòi
1.1. Ôóíêöi¨ Ìîðñà. Ó öüîìó ïàðàãðàôi ìè íàâåäåíî ñòàíäàðòíi âiäî-
ìîñòi ïðî ôóíêöi¨ Ìîðñà, äèâ. íàïðèêëàä [19]. ÍåõàéM � ãëàäêèé ìíî-
ãîâèä ðîçìiðíîñòi n i f : M Ñ R � ãëàäêà ôóíêöiÿ íà M . Òî÷êà p P M
íàçèâà¹òüñÿ êðèòè÷íîþ òî÷êîþ f , ÿêùî äèôåðåíöiàë dpf : TpM Ñ R
çàíóëÿ¹òüñÿ â p.  iíøîìó âèïàäêó p íàçèâàþòü ðåãóëÿðíîþ. Çíà÷åí-
íÿ fppq íàçèâà¹òüñÿ êðèòè÷íèì, ÿêùî p � êðèòè÷íà òî÷êà, iíàêøå �
ðåãóëÿðíèì.
Íåõàé pU, x1, . . . , xnq � êàðòà íàâêîëî p. ßêùî p � êðèòè÷íà òî÷êà,
òîäi Bf
Bxi |p “ 0 äëÿ âñiõ i “ 1, . . . , n. Ìàòðèöÿ Ãåññå Hppfq ôóíêöi¨ f â
êðèòè÷íié òî÷öi p � öå êâàäðàòíà ìàòðèöÿ ñêëàäåíà ç äðóãèõ ÷àñòèííèõ
ïîõiäíèõ ôóíêöi¨ f â p ó êàðòi U :
Hppfq “
´ B2f
BxiBxj
ˇ̌
ˇ
p
¯n
i,j“1
.
Êðèòè÷íà òî÷êà p P M ôóíêi¨ f íàçèâà¹òüñÿ íåâèðîäæåíîþ, ÿêùî ìà-
òðèöÿ Hppfq ¹ íåâèðîäæåíîþ.
Àëãåáðà¨÷íà ñòðóêòóðà ôóíäàìåíòàëüíî¨ ãðóïè îðáiò 207
Òåîðåìà 1.1 (Ëåìà Ìîðñà). Íåõàé p � íåâèðîäæåíà êðèòè÷íà òî÷êà
ôóíêöi¨ f :M Ñ R. Òîäi iñíó¹ êàðòà pU, x1, . . . , xnq íàâêîëî p, ùî
fpx1, . . . , xnq “ fppq ´ x21 ´ . . .´ x2λ ` x2λ`1 ` . . .` x2n. (1.1)
×èñëî λ âiä'¹ìíèõ ÷ëåíiâ ó (1.1) íàçèâà¹òüñÿ iíäåêñîì êðèòè÷íî¨ òî÷êè
p.
Ãëàäêà ôóíêöiÿ óñi êðèòè÷íi òî÷êè ÿêî¨ ¹ íåâèðîäæåíèìè íàçèâà¹-
òüñÿ ôóíêi¹þ Ìîðñà. Ïðîñòið óñiõ ôóíêöié Ìîðñà íàM ïîçíà÷èìî ÷åðåç
M pM,Rq. Âiäîìî, ùî M pM,Rq ¹ âiäêðèòèì i ùiëüíèì ïiäïðîñòîðîì ó
C8pM,Rq.
Òàêîæ âiäîìî, ùî ôóíêöiÿ Ìîðñà f íà ãëàäêîìó êîìïàêòíîìó ìíî-
ãîâèäiM çàä๠éîãî êëiòèííå ðîçáèòòÿ (ñòðóêòóðó CW êîìïëåêñó) � ïî
îäíié n-êëiòèíi, ùî âiäïîâiä๠êðèòè÷íié òî÷öi iíäåêñó n. Öå ä๠çìîãó
äîâåñòè íåðiâíîñòi Ìîðñà, ÿêi äàþòü îöiíêó íà ÷èñëà Áåòòi ìíîãîâè-
äó M . ßêùî M ¹ êîìïàêòíîþ ïîâåðõíåþ, òî öi íåðiâíîñòi ïðèéìàþòü
òàêèé âèãëÿä
Òåîðåìà 1.2 (Ðiâíîñòi Ìîðñà). Íåõàé M � êîìïàêòíà ïîâåðõíÿ i f �
ôóíêöiÿ Ìîðñà íà M . Òîäi ìàþòü ìiñöå ðiâíîñòi Ìîðñà:
χpMq “ c0pfq ´ c1pfq ` c2pfq,
äå c0pfq, c1pfq òà c2pfq � ÷èñëà ìiíiìóìiâ, ñiäåë òà ìàêñèìóìiâ ôóíê-
öi¨ f .
Çàóâàæèìî, ùî E. Witten [23] ó 1982 ðîçðîáèâ àíàëiòè÷íèé ïiäõiä äî
íåðiâíîñòåé Ìîðñà äîñëiäæóþ÷è êîìïëåêñ äå Ðàìà äåÿêîãî äèôåðåíöi-
àëüíîãî îïåðàòîðà.
1.2. Ãðàô Γf ôóíêöi¨. Íåõàé X � òîïîëîãi÷íèé ïðîñòið, P ¹ àáî R
àáî S1, i f : X Ñ P � íåïåðåðâíà ôóíêöiÿ. Âèçíà÷èìî íà X âiäíîøåííÿ
åêâiâàëåíòíîñòi „ çà òàêè ïðàâèëîì: òî÷êè x i y ç X ¹ åêâiâàëåíòíèìè
(x „ y) òîäi i ëèøå òîäi, êîëè âîíè íàëåæàòü äî îäíi¹¨ çâ'ÿçíî¨ êîìïî-
íåíòè ïðîîáðàçó f´1pcq äëÿ äåÿêîãî c P P. Íåõàé Γf “ X{„ � ôàêòîð-
ïðîñòið X ïî öüîìó âiäíîøåííþ åêâiâàëåíòíîñòi „ íàäiëåíèé ôàêòîð-
òîïîëîãi¹þ. Ïðîñòið Γf íàçèâàþòü ïðîñòîðîì Êðîíðîäà-Ðiáà ôóíêöi¨ f .
Çàóâàæèìî, ùî f ðîçêëàäà¹òüñÿ ó òàêó êîìïîçèöiþ:
f “ pf ˝ pf : X
pfÝÑ Γf
pfÝÑ P, (1.2)
äå pf : X Ñ Γf � êàíîíi÷íà ïðîåêöiÿ, à pf : Γf Ñ P � ôóíêöiÿ iíäóêîâà-
íà f .
ßêùî X � êîìïàêòíèé ãëàäêèé ìíîãîâèä i f : X Ñ P � ãëàäêà ôóíê-
öiÿ ç içîëüîâàíèìè îñîáëèâîñòÿìè, òî Γf ì๠ñòðóêòóðó 1-âèìiðíîãî
208 Á. Ã. Ôåùåíêî
êëiòèííîãî (CW) êîìïëåêñó (òîïîëîãi÷íîãî ãðàôó), äèâ. [21]. Äëÿ ïðî-
ñòîòè ìè áóäåìî íàçèâàòè Γf ãðàôîì ôóíêöi¨ f .
Çàçâè÷àé ãðàô ôóíêöi¨ íå ¹ ïîâíèì òîïîëîãi÷íèì iíâàðiàíòîì, àëå
âií ¹ êîðèñíèì iíñòðóìåíòîì äëÿ âèâ÷åííÿ âëàñòèâîñòåé ôóíêöié.
2. Êëàñ F
Ó öüîìó ðîçäiëi ìè íàâåäåìî îçíà÷åííÿ êëàñó ôóíêöié ç ÿêèì ìè
áóäåìî ìàòè ñïðàâó, äèâ �2.2. Ïåðåä öèì ìè íàãàäà¹ìî äåÿêi âëàñòèâîñòi
îäíîðiäíèõ ìíîãî÷ëåíiâ.
2.1. Îäíîðiäíi ìíîãî÷ëåíè íà ïëîùèíi. Íåõàé f : R2 Ñ R � äié-
ñíèé îäíîðiäíèé ìíîãî÷ëåí. Âiäîìî, ùî f ðîçêëàäà¹òüñÿ íàä R ó äîáó-
òîê ñêií÷åíîãî ÷èñëà ëiíiéíèõ Li “ aix` biy i íåçâiäíèõ íàä R êâàäðà-
òè÷íèõ ìíîæíèêiâ Qipx, yq “ cjx
2 ` 2djxy ` ejy
2, òîáòî
fpx, yq “
pź
i“1
Lipx, yq ¨
qź
j“1
Qjpx, yq. (2.1)
Òî÷êà 0 P R2 ¹ ¹äèíîþ êðèòè÷íîþ òî÷êîþ (2.1) òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè
deg f ě 2 i f íå ì๠êðàòíèõ ìíîæíèêiâ. Äëÿ òàêîãî ìíîãî÷ëåíó 0 P R2
áóäå íàçèâàòèñü
‚ åêñòðåìóìîì ÿêùî f “ Q1 (íåâèðîäæåíèé), àáî f “ Q1Q2 . . . Qq
(âèðîäæåíèé),
‚ ñiäëîì ÿêùî f “ L1Q1Q2 . . . Qq (êâàçi-ñiäëî), àáî f “ L1L2 (íåâè-
ðîäæåíå àáî 2-ñiäëî), àáî ÿêùî deg f “ p ` 2q ě 3 äëÿ p ě 2 òî
óçàãàëüíåíèé ñiäëîì (p-ñiäëîì).
2.2. Êëàñ F . Íåõàé M � ãëàäêà i êîìïàêòíà ïîâåðõíÿ. Ïîçíà÷èìî ÷å-
ðåç P äiéñíó ïðÿìó R àáî êîëî S1. Ôóíêöiÿ f : M Ñ P íàëåæèòü äî
êëàñó F pM,P q ÿêùî âèêîíàíi òàêi óìîâè:
(1) f ¹ ëîêàëüíî-ïîñòiéíîþ íà BM ,
(2) ìíîæèíà êðèòè÷íèõ òî÷îê Σf ôóíêöi¨ f íàëåæèòü äî IntpMq,
(3) äëÿ êðèòè÷íî¨ òî÷êè z P Σf ôóíêöi¨ f iñíóþòü òàêà êàðòà pU, ϕ :
U Ñ R2q íàâêîëî z ç ϕpzq “ 0 i êàðòà pV, ψ : V Ñ Rq íàâêîëî fpzq,
ùî fpUq Ă V i ëîêàëüíå çîáðàæåííÿ fz “ ψ ˝ f ˝ ϕ´1 : ϕpUq Ñ ψpV q
ôóíêöi¨ f ¹ îäíîðiäíèì ïîëiíîìîì áåç êðàòíèõ ìíîæíèêiâ.
Ëåãêî ïîáà÷èòè, ùî êëàñ ôóíêöié Ìîðñà MBpM,P q, ÿêi çàäîâîëüíÿþòü
(1) ìiñòèòüñÿ ó F pM,P q.
Àëãåáðà¨÷íà ñòðóêòóðà ôóíäàìåíòàëüíî¨ ãðóïè îðáiò 209
Âiäîìî, ÿêùî ôóíêöiÿ f ì๠ëèøå içîëüîâàíi îñîáëèâîñòi, òîäi ëî-
êàëüíà òîïîëîãi÷íà ñòðóêòóðà ìíîæèí ðiâíÿ íàâêîëî áóäü-ÿêî¨ ¨¨ êðè-
òè÷íî¨ òî÷êè ìîæå áóòè ðåàëiçîâàíà ìíîæèíàìè ðiâíÿ îäíîðiäíîãî ïî-
ëiíîìó áåç êðàòíèõ ìíîæíèêiâ, äèâ. [12, Ðîçäië 3.4]. Öå ïîêàçó¹, ùî
êëàñ F pM,P q ìiñòèòü ãëàäêi ôóíêöi¨ ç �òèïîâèìè� îñîáëèâîñòÿìè.
Çàóâàæèìî, ùî äëÿ ôóíêöié ç êëàñó F pM,P q ìàþòü ìiñöå ðiâíîñòi
Ìîðñà, äèâ. òåîðåìó 1.2.
3. Îðáiòè i ñòàáiëiçàòîðè ãëàäêèõ ôóíêié
Íåõàé M � ãëàäêà i êîìïàêòíà ïîâåðõíÿ (ìîæëèâî ç ìåæåþ BM) i X
� ïiäìíîæèíà M (ìîæëèâî ïîðîæíÿ). Ãðóïà äèôåîìîðôiçìiâ DpM,Xq
íåðóõîìèõ íà X äi¹ ñïðàâà íà íà ïðîñòîði ãëàäêèõ P -çíà÷íèõ ôóíêöié
C8pM,P q çà òàêèì ïðàâèëîì:
γ : C8pM,P q ˆ DpM,Xq Ñ C8pM,P q, γpf, hq “ f ˝ h. (3.1)
Äëÿ ãëàäêî¨ ôóíêöi¨ f P C8pM,P q âèçíà÷èìî
Spf,Xq “ th P DpM,Xq | f ˝ h “ fu,
Opf,Xq “ tf ˝ h P C8pM,P q |h P DpM,Xqu
ñòàáiëiçàòîð i îðáiòó f . Íàäiëèìî ïðîñòîðè DpM,Xq òà C8pM,P q ñèëü-
íèìè C8-òîïîëîãiÿìè Ó¨òíi. Öi òîïîëîãi¨ iíäóêóþòü äåÿêi òîïîëîãi¨ íà
Spf,Xq and Opf,Xq.
Íåõàé Sidpf,Xq i DidpM,Xq � çâ'ÿçíi êîìïîíåíòè òîòîæíîãî âiäîáðà-
æåííÿ ó Spf,Xq òà DpM,Xq âiäïîâiäíî, àOf pf,Xq � çâ'ÿçíà êîìïîíåíòà
îðáiòè Opf,Xq, ùî ìiñòèòü f . Òàêîæ ïîêëàäåìî
S 1pf,Xq “ Spf,Xq X Didpf,Xq.
ßêùî X “ ∅, ìè íå áóäåìî âæèâàòè ñèìâîë �∅� ó íàøèõ ïîçíà÷åííÿõ,
íàïðèêëàä, ìè áóäåìî ïèñàòè DpMq çàìiñòü DpM,∅q i Spfq çàìiñòü
Spf,∅q, i òàê äàëi.
3.1. Ãîìîòîïi÷íèé òèï DidpM,Xq. Íåõàé M � êîìïàêòíà ïîâåðõíÿ i
X “ tx1, x2, . . . , xnu Ă IntpMq � ïiäìíîæèíàM , ùî ñêëàäà¹òüñÿ ç ðiçíèõ
òî÷îê. Ìè ïîçíà÷èìî ÷åðåç DidpM,nq ãðóïó DidpM,Xq. ßêùî X “ ∅
ìè áóäåìî ïèñàòè DidpMq çàìiñòü DidpM, 0q.
Ãîìîòîïi÷íèé òèï ãðóïè DidpM,nq âèâ÷àëè C. J. Earle and J. Eells [2],
C. J. Earle, A. Schatz [3], à òàêîæ A. Gramain [7]. Íàñòóïíà òåîðåìà
îïèñó¹ îòðèìàíi íèìè ðåçóëüòàòè.
Òåîðåìà 3.1. Íåõàé M � çâ'ÿçíà i êîìïàêòíà ïîâåðõíÿ.
210 Á. Ã. Ôåùåíêî
(1) Íåõàé Mb � ïîâåðõíÿ, îòðèìàíà ç M ñòÿãóâàííÿì b çâ'ÿçíèõ êîì-
ïîíåíò ìåæi BM .Òîäi DidpMb, n` bq ãîìîòîïi÷íî åêâiâàëåíòíà äî
DidpM,nq. Òîáòî êîæåí �ïðîêîë� ìîæíà çàìiíèòè íà �äiðêó�.
(2) Ãðóïà DidpMq ¹ ãîìîòîïi÷íî åêâiâàëåíòíîþ äî
‚ SOp3q, ÿêùî M “ S2 àáî RP 2,
‚ S1, ÿêùî M “ D2, S1 ˆ r0, 1s, àáî ñòði÷êà Ìåáióñà, àáî ïëÿøêà
Êëåéíà,
‚ T 2, ÿêùî M “ T 2,
‚ òî÷öi, â iíøèõ âèïàäêàõ.
Ðåçóëüòàò (1) ä๠ìîæëèâiñòü ïðîâîäèòè îá÷èñëåííÿ ãîìîòîïi÷íîãî
òèïó DidpM,nq, çâîäÿ÷è çàäà÷ó äî âèïàäêiâ îïèñàíèõ ó (2). Íàïðèêëàä,
DidpT 2, 1q „ DidpT 2zD2, 0q „ pt,
DidpS2, 2q „ DidpD2, 1q „ DidpS1 ˆ r0, 1s, 0q “ DidpS1 ˆ r0, 1sq „ S1.
Óçàãàëüíþþ÷è, ìà¹ìî òàêå òâåðäæåííÿ: ÿêùî χpMq ď |X|, äå |X| �
ïîòóæíiñòü X, òî DidpM,Xq ¹ ñòÿãóâàíîþ.
3.2. Ãîìîòîïi÷íèé òèï Sidpfq. Íàñòóïíà òåîðåìà îïèñó¹ ãîìîòîïi÷íèé
òèï Sidpfq äëÿ ôóíêöié ç êëàñó F pM,P q.
Òåîðåìà 3.2 ([9, Theorem 1.3], [10, Theorem 3.5]). Íåõàé f � ôóíêöiÿ
ç êëàñó F pM,P q. Òîäi Sidpfq ¹ ñòÿãóâàíèì ÿêùî àáî M ¹ íåîði¹íòî-
âàíîþ, àáî f ì๠âèðîäæåíèé åêñòðåìóì, àáî f ì๠ùîíàéìåíøå îäíå
ñiäëî.  iíøèõ âèïàäêàõ Sidpfq ¹ ãîìîòîïi÷íî åêâiâàëåíòíîþ äî S1.
3.3. Ðîçøàðóâàííÿ Ñåððà i ãîìîòîïi÷íi âëàñòèâîñòi îðáiò. Äëÿ
òîãî, ùîá âñòàíîâèòè ãîìîòîïi÷íi �çâ'ÿçêè� ìiæ âëàñòèâîñòÿìè îðáiò òà
ñòàáiëiçàòîðiâ ãëàäêèõ ôóíêöié ìè íàãàäà¹ìî îçíà÷åííÿ ðîçøàðóâàííÿ
Ñåððà, äèâ. [17, Chapter 7].
Íåõàé p : E Ñ B � âiäîáðàæåííÿ ìiæ òîïîëîãi÷íèìè ïðîñòîðàìè E òà
B. Êàæóòü, ùî âiäîáðàæåííÿ p çàäîâîëüíÿ¹ óìîâó ïiäíÿòòÿ ãîìîòîïi¨
(homotopy lifting property àáî HLP) äëÿ ïðîñòîðó X ÿêùî âèêîíàíi òàêi
óìîâè: äëÿ äîâiëüíî¨ ãîìîòîïi¨ h : X ˆ I Ñ B ç h|Xˆt0u “ h0 i òàêîãî
äîâiëüíîãî âiäîáðàæåííÿ h̃0 : X Ñ E, ùî �ïiäíiìà¹� h0, òîáòî h0 “ p˝h̃0
iñíó¹ ãîìîòîïiÿ h̃ : X ˆ I Ñ E, ÿêà ¹ ïiäíÿòòÿì ãîìîòîïi¨ h, òîáòî,
ht “ p ˝ h̃t ç h̃0 “ h̃|Xˆt0u:
X ˆ t0u
ι
��
h̃0 // E
p
��
X ˆ I
h //
h̃
55
B
Àëãåáðà¨÷íà ñòðóêòóðà ôóíäàìåíòàëüíî¨ ãðóïè îðáiò 211
äå ι : X ˆ t0u Ñ X ˆ I � âêëàäåííÿ ιpx, 0q “ px, 0q.
Âiäîáðàæåííÿ p : E Ñ B íàçèâà¹òüñÿ ðîçøàðóâàííÿì Ñåððà, ÿêùî
âîíî çàäîâîëüíÿ¹ HLP äëÿ óñiõ êëiòèííèõ (CW) êîìïëåêñiâ. Äëÿ ðîç-
øàðóâàííÿ Ñåððà p iñíó¹ äîâãà òî÷íà ïîñëiäîâíiñòü ãîìîòîïi÷íèõ ãðóï,
äèâ. [17, Chapter 9], òîáòî, äëÿ b P B i x P F “ p´1pbq íàñòóïíà ïîñëi-
äîâíiñòü ãðóï ¹ òî÷íîþ:
. . . // πnpF, xq in̊ // πnpE, xq pn̊ // πnpB, bq Bn // πn´1pF, xq // . . .
. . .
p˚
1 // π0pB, bq // 0.
(3.2)
Âiäìiòèìî, ùî äëÿ äîâiëüíèõ ïðîñòîðiâ E, B òà F ìíîæèíè π0pE, xq,
π0pB, bq òà π0pF, xq íå ¹ ãðóïàìè, àëå òî÷íiñòü òàêî¨ ïîñëiäîâíîñòi ó
êîæíîìó òàêîìó ÷ëåíi ¨¨ �õâîñòà� ðîçóìi¹òüñÿ ó ñòàíäàðòíîìó ñåíñi �
ðiâíiñòü ÿäðà i îáðàçó ïîñëiäîâíèõ âiäîáðàæåíü. Âiäîìî, ÿêùî E, B òà
F ¹ òîïîëîãi÷íèìè ãðóïàìè, òî π0E, π0B i π0F ¹ ãðóïàìè.
Ïîâåðòàþ÷èñü äî ïèòàííÿ ïðî ñòàáiëiçàòîðè i îðáiòè ìè ïðèâåäåìî
îñíîâíèé ôàêò, ÿêèé ïîâ'ÿçó¹ ¨õ ãîìîòîïi÷íi âëàñòèâîñòi.
Òåîðåìà 3.3 ([9�11,22]). Íåõàé f � ôóíêöiÿ ç êëàñó F pM,P q íà ãëàä-
êié êîìïàêòíié ïîâåðõíi M i X � çàìêíåíà (ìîæëèâî ïóñòà) ïiäìíî-
æèíà M , ùî ñêëàäà¹òüñÿ ç ñêií÷åííîãî ÷èñëà çâ'ÿçíèõ êîìïîíåíò äå-
ÿêèõ ìíîæèí ðiâíÿ i äåÿêîãî ÷èñëà êðèòè÷íèõ òî÷îê f . Òîäi âiäîáðà-
æåííÿ
p : DpM,Xq Ñ Opf,Xq
âèçíà÷åíå ôîðìóëîþ pphq “ f ˝ h ¹ ðîçøàðóâàííÿì Ñåððà ç øàðîì
Spf,Xq.
Òîäi ppDidpMqq “ Of pfq, i îáìåæåííÿ p|DidpMq : DidpMq Ñ Of pf,Xq ¹
òàêîæ ðîçøàðóâàííÿì Ñåððà ç øàðîì S 1pf,Xq “ Spfq X DidpM,Xq.
Òåîðåìà 3.4 ([9�11]). Íåõàé f : M Ñ P � ôóíêöiÿ ç êëàñó F pM,P q i
X � ïiäìíîæèíà òàêà ÿê â òåîðåìi 3.3. Òîäi
(1) Of pf,Xq “ Of pf,X Y BMq i, ÿê íàñëiäîê,
πkpOf pf,Xqq “ πkpOf pf,X Y BMqq
äëÿ óñiõ k ě 1.
(2) Ïðèïóñòèìî, ùî f ì๠àáî ñiäëîâó òî÷êó, àáî âèðîäæåíå ñiäëî, àáî
M ¹ íåîði¹íòîâàíîþ ïîâåðõíåþ. Òîäi îñêiëüêè Sidpfq ¹ ñòÿãóâàíèì,
òî πkOf pfq “ πkM , k ě 3, π2Of pfq “ 0, à äëÿ π1Of pfq ìà¹ìî
212 Á. Ã. Ôåùåíêî
êîðîòêó òî÷íó ïîñëiäîâíiñòü:
π1DidpMq � � p1 // π1Of pfq B1 // // π0S 1pfq. (3.3)
Çîêðåìà ãðóïà p1pπ1DidpMqq ìiñòèòüñÿ ó öåíòði π1Of pfq.
(3) ßêùî χpMq ă |X|, òîäi DidpM,Xq ¹ ñòÿãóâàíîþ, πkOf pf,Xq “ 0
äëÿ k ě 2, à ãðàíè÷íèé ãîìîìîðôiçì
B1 : π1Of pf,Xq ÝÑ π0S 1pf,Xq
¹ içîìîðôiçìîì.
Çàóâàæèìî, ùî êîðîòêà òî÷íà ïîñëiäîâíiñòü (3.3) ¹ íåíóëüîâîþ ÷à-
ñòèíîþ äîâãî¨ òî÷íî¨ ïîñëiäîâíîñòi ãîìîòîïi÷íèõ ãðóï ðîçøàðóâàííÿ
Ñåððà p, äèâ. òåîðåìó 3.3. ßñíî, ùî ãîìîìîðôiçì p1 iíäóêîâàíèé p ¹
ìîíîìîðôiçìîì.
Ó âèïàäêó êîëè DidpMq ¹ ñòÿãóâàíîþ ãðóïîþ, òî ç ïîñëiäîâíîñòi
(3.3) ìà¹ìî içîìîðôiçì π1Of pfq – π0S 1pfq. ßêùî M “ T 2, òîäi ãðóïà
π1DidpMq ¹ içîìîðôíîþ äî Z2, à çíà÷èòü îïèñàííÿ àëãåáðà¨÷íî¨ ñòðóê-
òóðè π1Of pfq âèìàã๠äîäàòêîâèõ äîñëiäæåíü.
Äëÿ ïîâíîòè âèêëàäó íàâåäåìî îçíà÷åííÿ ãðàíè÷íîãî ãîìîìîðôiçìó
B1. Íåõàé ω : r0, 1s Ñ Of pfq, ω0 “ ω1 � ïåòëÿ â Of pfq ó òî÷öi f . Îñêiëüêè
p � ðîçøàðóâàííÿ Ñåððà, òî iñíó¹ òàêà içîòîïiÿ h : M ˆ r0, 1s Ñ M , ùî
ωt “ f ˝ ht, h0 “ id i h1 P S 1pfq, òîáòî, h1 çàäîâîëüíÿ¹ f ˝ h1 “ f . Òîäi
B1 âèçíà÷à¹òüñÿ òàê: Bprωsq “ rh1s P π0S 1pfq.
3.4. Àâòîìîðôiçìè ãðàôiâ ôóíêöié ç F . Íåõàé f :M Ñ P � ôóíê-
öiÿ ç F . Ïîçíà÷èìî ÷åðåç Γf ¨ ¨ ãðàô, ÷åðåç pf : M Ñ Γf � êàíîíi÷íó
ïðîåêöiþ, à òàêîæ ÷åðåç AutpΓf q ãðóïó ãîìåîìîðôiçìiâ Γf . Êîæåí äè-
ôåîìîðôiçì h ç Spf,Xq çáåðiã๠ôóíêöiþ f , òîáòî çáåðiã๠ìíîæèíè
ðiâíÿ f :
hpf´1pcqq Ă f´1pcq
äëÿ âñiõ c P Impfq. Àëå h ìîæå ïåðåñòàâëÿòè ¨õíi çâ'ÿçíi êîìïîíåíòè.
Òîäi h iíäóêó¹ ãîìåîìîðôiçì ρphq ãðàôó Γf , ùî òàêà äiàãðàìà êîìóòó¹
M
h
��
pf // Γf
ρphq
��
M pf
// Γf
à âiäïîâiäíiñòü ρ : Spf,Xq Ñ AutpΓf q çàäàíà h ÞÑ ρphq ¹ ãîìîìîðôi-
çìîì. Âiäîìî, ùî îáðàç G1pf,Xq “ ρpS 1pf,Xqq ¹ ñêií÷åííîþ ïiäãðóïîþ
AutpΓf q.
Àëãåáðà¨÷íà ñòðóêòóðà ôóíäàìåíòàëüíî¨ ãðóïè îðáiò 213
4. Âiíöåâi äîáóòêè
Äëÿ ôîðìóëþâàííÿ ðåçóëüòàòiâ íàì íåîáõiäíî îçíà÷èòè ïîíÿòòÿ âií-
öåâèõ äîáóòêiâ ç öèêëi÷íèìè ãðóïàìè. Íåõàé G � ãðóïà i n,m ě 1 � öiëi
÷èñëà. Ìè ðîçãëÿäà¹ìî òàêi âiíöåâi äîáóòêè ãðóï:
‚ G ≀n Z :“ Gn ¸α Z,
‚ G ≀n,m Z2 :“ Gnm ¸γ Z2,
äå α : Gn ˆ Z Ñ Gn âiäïîâiä๠íååôåêòèâíié Z-äi¨ íà Gn öèêëi÷íèìè
çñóâàìè êîîðäèíàò çà ôîðìóëîþ
`pgiqn´1
i“0 , a
˘ αÞÝÑ pgi`aqn´1
i“0 ,
äå âñi iíäåêñè áåðóòüñÿ çà ìîäóëåì n, gi P G, a P Z, i àíàëîãi÷íî γ :
Gnm ˆ Z2 Ñ Gnm âiäïîâiä๠íååôåêòèâíié Z2-äi¨ íà Gnm öèêëi÷íèìè
çñóâàìè, ùî çàäàþòüñÿ ôîðìóëîþ:
`pgijqn´1,m´1
i,j“0 , pa, bq˘ γÞÝÑ pgi`a,j`bqn´1,m´1
i,j“0 ,
äå iíäåêñè i òà j áåðóòüñÿ çà ìîäóëåì n òà m âiäïîâiäíî, pa, bq P Z2.
Òîäi G≀nZ � ïðÿìèé äîáóòîê ìíîæèí GnˆZ ç ìíîæåííÿì, ÿêå çàäàíå
ôîðìóëîþ
pg, aq ¨ pg1, a1q “ pαpg, a1qg1, a` a1q,
äå g, g1 P Gn, a, a1 P Z. Àíàëîãi÷íî G ≀n,m Z2 ¹ ïðÿìèì äîáóòêîì ìíîæèí
Gnm ˆ Z2 ç òàêîþ îïåðàöi¹þ
pg, pa, bqq ¨ pg1, pa1, b1qq “ `
γpg, a1, b1qg1, pa` a1, b` b1q˘,
äå g, g1 P Gnm, a, a1b, b1 P Z.
Çàãàëüíå îçíà÷åííÿ âiíöåâîãî äîáóòêó ãðóï à òàêîæ ¨õíi âëàñòèâîñòi
÷èòà÷ ìîæå çíàéòè ó [18].
5. Àëãåáðà¨÷íà ñòðóêòóðà π1Of pfq äëÿ ôóíêöié íà 2-òîði
5.1. Ôóíêöi¨ íà 2-òîði. Âiäîìî, ùî ôóíêöi¨ ç F pT 2, P q ìîæóòü ÿê
áóòè òàê i íå áóòè íóëü-ãîìîòîïíèìè. Íåõàé f : T 2 Ñ P � ôóíêöiÿ ç
êëàñó F íà 2-òîði i Γf � ¨¨ ãðàô. Âñi ôóíêöi¨ ç êëàñó F íà T 2 ìîæíà
�ãðóáî� êëàñèôiêóâàòè ¨õíiìè ãðàôàìè. À ñàìå, ì๠ìiñöå òàêà ëåìà.
Ëåìà 5.1 ([5, Lemma 3.1]). Íåõàé f : T 2 Ñ P � ôóíêöiÿ ç F pT 2, P q.
(1) Âiäîáðàæåííÿ ppf q˚ : π1T
2 Ñ π1Γf iíäóêîâàíå ïðîåêöi¹þ pf : T 2 Ñ
Γf , äèâ (1.2), ¹ åïiìîðôiçìîì ç íåíóëüîâèì ÿäðîì. Òîäi b1pΓf q ď 1.
Iíøèìè ñëîâàìè Γf ¹ àáî äåðåâîì, àáî ì๠¹äèíèé öèêë.
(2) ßêùî f � íå íóëü-ãîìîòîïíà, òîäi Γf íå ¹ äåðåâîì.
Ïðèðîäíî, ìè ðîçãëÿíåìî öi äâà âèïàäêè îêðåìî.
214 Á. Ã. Ôåùåíêî
5.2. Âèïàäîê 1. Γf � äåðåâî. Ì๠ìiñöå íàñòóïíèé ðåçóëüòàò
Ëåìà 5.2 ([14, Proposition 1]). Íåõàé f � òàêà ôóíêöiÿ ç F pT 2, P q, ùî
¨¨ ãðàô Γf ¹ äåðåâîì. Òîäi iñíó¹ ¹äèíà âåðøèíà v ãðàôó Γf , ùî êîæíà
çâ'ÿçíà êîìïîíåíòà äîïîâíåííÿ äî T 2zp´1
f pvq ¹ âiäêðèòèì äèñêîì.
Òàêó âåðøèíó v ìè íàçèâà¹ìî ñïåöiàëüíîþ. Ïîçíà÷èìî ÷åðåç stpvq
çiðêó âåðøèíè v, à ÷åðåç Gv � ñòàáiëiçàòîð v, òîáòî Gv “ tg P G | gpvq “
vu. Ãðóïó
Gloc
v “ tg|stpvq |g P Gvu
íàçèâàþòü ëîêàëüíèì ñòàáiëiçàòîðîì âåðøèíè v.
Íàñòóïíà òåîðåìà îïèñó¹ àëãåáðà¨÷íó ñòðóêòóðó ãðóïè π1Of pfq äëÿ
ôóíêöié ç F pT 2,Rq, ãðàôè ÿêèõ ¹ äåðåâàìè.
Òåîðåìà 5.1 (Òåîðåìà 1 [14], Theorem 2.5 [25]). Íåõàé f P F pT 2, P q
� òàêà ôóíêöiÿ, ùî ¨¨ ãðàô Γf � äåðåâî, i v � ñïåöiàëüíà âåðøèíà Γf .
Òîäi
(1) Gloc
v – Zn ˆ Znm äëÿ äåÿêèõ n,m P N,
(2) iñíóþòü òàêi çàìêíåíi äèñêè D1, D2, . . . Dr Ă T 2, ùî f |Di P F pDiq,
i “ 1, 2, . . . , r i ì๠ìiñöå içîìîðôiçì
π1Of pfq –
rź
i“1
π0S 1pf |Di , BDiq ≀n,nm Z2.
Çîêðåìà, ÿêùî Gloc
v “ 1, òîäi π1Of pfq – π0S 1pfq ˆ Z2.
5.3. Âèïàäîê 2: Γf ì๠öèêë. Íåõàé f � òàêà ôóíêöiÿ ç F pT 2, P q,
ùî ¨¨ ãðàô Γf ì๠¹äèíèé öèêë Λ. Íåõàé òàêîæ C � çâ'ÿçíà êîìïîíåíòà
f´1pcq i z “ pf pCq � âiäïîâiäíà òî÷êà íà ãðàôi Γf . Ëåãêî ïîáà÷èòè, ùî
z íàëåæèòü äî öèêëó Λ òîäi i ëèøå òîäi, êîëè C íå ðîçáèâ๠T 2. Çàóâà-
æèìî, ùî ïðîîáðàç f´1pcq ñêëàäà¹òüñÿ çi ñêií÷åííîãî ÷èñëà çâ'ÿçíèõ
êîìïîíåíò i âií ¹ iíâàðiàíòíèé âiäíîñíî äi¨ h P S 1pfq.
Íåõàé C “ thpCq |h P S 1pfqu � ìíîæèíà îáðàçiâ C ïiä äi¹þ ãðóïè
S 1pfq. Òîäi C ñêëàäà¹òüñÿ çi ñêií÷åííî¨ êiëüêîñòi çâ'ÿçíèõ êîìïîíåíò
C “ tC0 “ C,C1, . . . , Cn´1u, n ě 1 ïðîîáðàçó f´1pcq. ×èñëî n “ |C| òàêèõ
êðèâèõ íàçèâà¹òüñÿ öèêëi÷íèì iíäåêñîì f . Ì๠ìiñöå òàêèé ðåçóëüòàò:
Òåîðåìà 5.2 ([16, Theorem 2.6], [15, Theorem 1.6], [6, Theorem 4.1]).
Íåõàé f P F pT 2, P q � òàêà ôóíêöiÿ, ùî ¨¨ ãðàô Γf ìiñòèòü öèêë, C �
çâ'ÿçíà êîìïîíåíòà äåÿêîãî ïðîîáðàçó f´1pcq, ùî íå ðîçáèâ๠òîð T 2,
C “ thpCq |h P S 1pfqu “ tC0, C1, . . . , Cn´1u i n “ |C| � öèêëi÷íèé iíäåêñ
f . Ïîçíà÷èìî ÷åðåç Q0 öèëiíäð, îáìåæåíèé êðèâèìè C0 i C1. Òîäi iñíó¹
Àëãåáðà¨÷íà ñòðóêòóðà ôóíäàìåíòàëüíî¨ ãðóïè îðáiò 215
içîìîðôiçì
π1Of pfq – π1Of |Q0
pf |Q0 , BQ0q ≀n Z – π0S 1pf |Q0 , BQ0q ≀n Z.
ßêùî n “ 1, òîäi
π1Of pfq – π1Of pf, Cq ˆ Z – π0S 1pf, Cq ˆ Z.
Íàîñòàíîê âiäîìî, ùî àëãåáðà¨÷íà ñòðóêòóðà π0S 1pf |Q0 , BQ0q îïèñó-
¹òüñÿ ÷åðåç ñòàáiëiçàòîðè îáìåæåíü f íà 2-äèñêè, ùî ëåæàòü ó Q ó
ïåâíèé �iòåðàòèâíèé ñïîñiá�, äèâ. Section 5 [13].
Ëiòåðàòóðà
[1] W. Dyck. Gruppentheoretische Studien. Math. Ann., 20(1):1�44, 1882.
doi:10.1007/BF01443322.
[2] C. J. Earle, J. Eells. The di�eomorphism group of a compact Riemann surface. Bull.
Amer. Math. Soc., 73:557�559, 1967.
[3] C. J. Earle, A. Schatz. Teichm�uller theory for surfaces with boundary. J. Di�erential
Geometry, 4:169�185, 1970.
[4] B. Feshchenko. Actions of �nite groups and smooth functions on surfaces. Methods
of Functional Analysis and Topology, 22(3):210�219, 2016.
[5] B. Feshchenko. Deformations of functions on 2-torus. Proceedings of the International
Geometry Center, 12(3):30�50, 2020.
[6] B. Feshchenko. Deformations of circle-valued functions on 2-torus. Proc. Int. Geom.
Cent., 14(2):117�136, 2021. doi:10.15673/tmgc.v14i2.2008.
[7] A. Gramain. Le type d'homotopie du groupe des di��eomorphismes d'une surface
compacte.
[8] C. Jordan. Sur les assemblages de lignes. J. Reine Angew. Math., 70:185�190, 1869.
doi:10.1515/crll.1869.70.185.
[9] S. Maksymenko. Homotopy types of stabilizers and orbits of Morse functions on
surfaces. Ann. Global Anal. Geom., 29(3):241�285, 2006. doi:10.1007/s10455-005-
9012-6.
[10] S. Maksymenko. Local inverses of shift maps along orbits of �ows. Osaka Journal
of Mathematics, 48(2):415�455, 2011. URL: https://projecteuclid.org/euclid.ojm/
1315318347.
[11] S. Maksymenko. Homotopy types of right stabilizers and orbits of smooth
functions functions on surfaces. Ukrainian Math. Journal, 64(9):1186�1203, 2012.
doi:10.1007/s11253-013-0721-x.
[12] S. Maksymenko. Deformations of functions on surfaces. Proceedings of Institute of
Mathematics of NAS of Ukraine, 17(2):150�199, 2020.
[13] S. Maksymenko. Deformations of functions on surfaces by isotopic to the
identity di�eomorphisms. Topology and its Applications, 282(2):107312, 2020.
doi:10.1016/j.topol.2020.107312.
[14] S. Maksymenko, B. Feshchenko. Homotopy properties of spaces of smooth functions
on 2-torus. Ukrainian Mathematical Journal, 66(9):1205�1212, 2014.
[15] S. Maksymenko, B. Feshchenko. Functions on 2-torus whose Kronrod-Reeb graph
contains a cycle. Methods of Functional Analysis and Topology, 21(1):22�40, 2015.
[16] S. Maksymenko, B. Feshchenko. Orbits of smooth functions on 2�torus and their
homotopy types. Matematychni Studii, 44(1):67�83, 2015.
216 Á. Ã. Ôåùåíêî
[17] J. P. May. A concise course in algebraic topology. Chicago Lectures in Mathematics.
University of Chicago Press, Chicago, IL, 1999.
[18] J. D. P. Meldrum. Wreath products of groups and semigroups, volume 74 of Pitman
Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics. Longman, Harlow, 1995.
[19] J. Milnor. Morse Theory. (AM-51), Volume 51. Princeton University Press, 1969.
URL: http://www.jstor.org/stable/j.ctv3f8rb6.
[20] E. C. Nummela. Cayley's theorem for topological groups. Amer. Math. Monthly,
87(3):202�203, 1980. doi:10.2307/2321608.
[21] G. Reeb. Sur certaines propri�et�es topologiques des vari�et�es feuillet�ees. Actualit�es Sci.
Ind., no. 1183. Hermann & Cie., Paris, 1952. Publ. Inst. Math. Univ. Strasbourg 11,
pp. 5�89, 155�156.
[22] F. Sergeraert. Un th�eor�eme de fonctions implicites sur certains espaces de Fr�echet
et quelques applications. Ann. Sci. �Ecole Norm. Sup. (4), 5:599�660, 1972.
[23] E. Witten. Supersymmetry and Morse theory. J. Di�erential Geometry, 17(4):661�
692, 1982. URL: http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214437492.
[24] È. Þ. Âëàñåíêî, Ñ. È. Ìàêñèìåíêî½ Å. À. Ïîëóëÿõ. Òîïîëîãè÷åñêèå ìåòîäû
â èçó÷åíèè ãðóïï ïðåîáðàçîâàíèé ìíîãîîáðàçèé. Ïðàöi Iíñòèòóòó ìàòåìàòèêè
ÍÀÍ Óêðà¨íè. Ií-ò ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè, Êè¨â, 2006.
[25] Á. Ôåùåíêî. Äåôîðìàöi¨ ãëàäêèõ ôóíêöié íà 2-òîði, ãðàô Êðîíðîäà-Ðiáà ÿêèõ
¹ äåðåâîì. Ïðàöi Iíñòèòóòó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè, 12(6):22�40, 2015.
Á. Ã. Ôåùåíêî
Iíñòèòóò ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè, ì. Êè¨â
Email: fb@imath.kiev.ua
ORCID: 0000-0002-4113-5046
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-550 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:09:13Z |
| publishDate | 2025 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/c6/b12cedbd482ff0fa1dff4e6b1415aec6.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-5502026-02-24T12:22:41Z Algebraic structure of the fundamental group of orbits of smooth functions on the 2-torus Алгебраїчна структура фундаментальної групи орбіт гладких функцій на 2-торі Feshchenko, Bohdan Фещенко, Богдан This review paper is devoted to the description of the algebraic structure of the fundamental group of orbits of functions with isolated singularities on 2-torus with respect to the action of the group of diffeomorphisms of the 2-torus Дана оглядова стаття присвячена опису алгебраїчної структури фундаментальної групи орбіт функцій з ізольованими особливостями на 2-торі відносно дії групи дифеоморфізмів 2-тора Інститут математики НАН України 2025-08-18 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/550 10.3842/trim.v21n1.550 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 21 No. 1 (2024): Special Issue "Actual problems of modern mathematics: methods, models and applications"; 205-216 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 21 № 1 (2024): Спеціальний номер "Актуальні проблеми сучасної математики: методи, моделі та застосування" ; 205-216 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 21 № 1 (2024): Спеціальний номер "Актуальні проблеми сучасної математики: методи, моделі та застосування" ; 205-216 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/550/532 Авторське право (c) 2024 Богдан Фещенко http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Feshchenko, Bohdan Фещенко, Богдан Algebraic structure of the fundamental group of orbits of smooth functions on the 2-torus |
| title | Algebraic structure of the fundamental group of orbits of smooth functions on the 2-torus |
| title_alt | Алгебраїчна структура фундаментальної групи орбіт гладких функцій на 2-торі |
| title_full | Algebraic structure of the fundamental group of orbits of smooth functions on the 2-torus |
| title_fullStr | Algebraic structure of the fundamental group of orbits of smooth functions on the 2-torus |
| title_full_unstemmed | Algebraic structure of the fundamental group of orbits of smooth functions on the 2-torus |
| title_short | Algebraic structure of the fundamental group of orbits of smooth functions on the 2-torus |
| title_sort | algebraic structure of the fundamental group of orbits of smooth functions on the 2-torus |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/550 |
| work_keys_str_mv | AT feshchenkobohdan algebraicstructureofthefundamentalgroupoforbitsofsmoothfunctionsonthe2torus AT feŝenkobogdan algebraicstructureofthefundamentalgroupoforbitsofsmoothfunctionsonthe2torus AT feshchenkobohdan algebraíčnastrukturafundamentalʹnoígrupiorbítgladkihfunkcíjna2torí AT feŝenkobogdan algebraíčnastrukturafundamentalʹnoígrupiorbítgladkihfunkcíjna2torí |