On orbital instability of triangular Lagrange motions in the three-body problem
For the three-body problem (mass points), the orbital stability of stationary triangular Lagrangian motions is investigated. A theorem on the orbital instability of stationary triangular solutions related to circular orbits of mass points is proved.
Saved in:
| Date: | 2017 |
|---|---|
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/57 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552583518748672 |
|---|---|
| author | Sosnitsky, S. P. Сосницкий, С. П. Сосницький, С. П. |
| author_facet | Sosnitsky, S. P. Сосницкий, С. П. Сосницький, С. П. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "С. П. Сосницький",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Sosnitsky, S. P. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-13T11:57:10Z |
| description | For the three-body problem (mass points), the orbital stability of stationary triangular Lagrangian motions is investigated. A theorem on the orbital instability of stationary triangular solutions related to circular orbits of mass points is proved. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:01:45Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2016, т. 13, № 3, 243–253
УДК 531.36;531.011
Про орбiтальну нестiйкiсть
трикутних лагранжевих рухiв у
задачi трьох тiл
C.П. Сосницький
Iнститут математики НАН України, Київ; sosn@imath.kiev.ua
For the three-body problem (mass points), the orbital stability of station-
ary triangular Lagrangian motions is investigated. A theorem on the or-
bital instability of stationary triangular solutions related to circular orbits
of mass points is proved.
Исследуется орбитальная устойчивость стационарных лагранжевых
движений в задаче трех тел (материальных точек). Устанавливается
теорема об орбитальной неустойчивости треугольных стационарных
решений, которым соответствуют круговые орбиты материальных то-
чек.
1 Вступ
Питання про стiйкiсть стацiонарних лагранжевих трикутникiв, при-
чому коли притягання обернено пропорцiйне 𝑛 - му степеню вiдстанi
мiж тiлами, бере свiй початок вiд Рауса [1]. Зокрема, при ньюто-
нiвському законi притягання в рамках лiнiйного наближення умова
стiйкостi, вказана Раусом, має вигляд
(𝑚1 +𝑚2 +𝑚3)
2 > 27(𝑚1𝑚2 +𝑚1𝑚3 +𝑚2𝑚3), (1)
де 𝑚𝑖(𝑖 = 1, 2, 3) – маси тiл (матерiальних точок).
У 1889 роцi А.М. Ляпунов [2] в лiнiйному наближеннi дослiдив
стiйкiсть лагранжевих трикутних розв’язкiв, коли сторони трикутни-
ка не є сталими, а перiодично змiнюються з плином часу. Дослiдже-
ння Ляпунова знайшли подальший розвиток в роботах, присвячених
стiйкостi точок лiбрацiї плоскої елiптичної обмеженої задачi трьох тiл
(в цьому зв’язку див. наприклад книгу [3] i посилання в нiй).
c○ Сосницький С.П., 2016
244 Сосницький С.П.
Далi ми обмежимося розглядом лише стацiонарних лагранжевих
трикутних розв’язкiв при ньютонiвському законi притягання. Наразi
вiдомо (див. наприклад [4, 5] ), що стацiонарнi лагранжевi трикутнi
розв’язки нестiйкi за Ляпуновим, незалежно вiд виконання умови (1).
Однак нестiйкiсть за Ляпуновим ще не виключає орбiтальної стiйко-
стi дослiджуваних розв’язкiв. Саме тому надалi ми зосередимо нашу
увагу якраз на питаннi орбiтальної стiйкостi.
Порiвняно недавно у загальному випадку просторової задачi трьох
тiл автором доведено орбiтальну нестiйкiсть лагранжевих розв’язкiв
незалежно вiд виконання умови (1) [6]. Однак це доведення здiйснено
на пiдставi наближених комбiнованих моделей руху, якi ми констру-
ювали, використовуючи , зокрема, i систему координат, що обертає-
ться, приходячи, таким чином, до рiвнянь, для яких лагранжевi ста-
цiонарнi трикутники є рiвноважними станами. При цьому ми iстотно
спирались на iнтеграл Якобi у збуреному русi, який вiдповiдав якраз
рiвнянням у рухомiй системi координат. Виявляється, що доведення
орбiтальної нестiйкостi можна одержати набагато простiше, нiж це
зроблено у роботi [6], причому на пiдставi точних рiвнянь руху, що
важливо як у планi пiдтвердження отриманого iншим шляхом ре-
зультату автора, так i у планi ефективностi застосування iнтеграла
моменту кiлькостей руху при аналiзi стiйкостi руху. Адже саме роль
iнтеграла моменту кiлькостей руху є ключовою в рамках дослiджен-
ня, що пропонується.
Отже розглянемо рух трьох матерiальних точок з масами 𝑚1,𝑚2 i
𝑚3 у тривимiрному евклiдовому просторi пiд дiєю сил ньютонiвсько-
го взаємного притягання. В iнерцiйнiй системi вiдлiку з початком у
центрi мас 𝑚𝑖 (𝑖 = 1, 2, 3) вiдповiдним рiвнянням руху можна надати
вигляду [6]:
𝝆′′
1 = 𝜇2
𝝆2 − 𝝆1
|𝝆12|3
+ 𝜇3
𝝆3 − 𝝆1
|𝝆13|3
,
𝝆′′
2 = −𝜇1
𝝆2 − 𝝆1
|𝝆12|3
+ 𝜇3
𝝆3 − 𝝆2
|𝝆23|3
, (2)
𝝆′′
3 = −𝜇1
𝝆3 − 𝝆1
|𝝆13|3
− 𝜇2
𝝆3 − 𝝆2
|𝝆23|3
.
Тут штрих означає диференцiювання за незалежною змiнною 𝜏 =
𝑡
√
𝐺𝑀/𝑟
3/2
0 , де 𝐺 > 0 – гравiтацiйна стала, 𝑀 = 𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3,
𝜇𝑖 = 𝑚𝑖/𝑀 , а 𝑟0 – параметр, що має розмiрнiсть одиницi довжини,
𝝆𝑖 = 𝐫𝐢/𝑟0 – вiдноснi радiуси-вектори матерiальних точок в iнерцiйнiй
Про орбiтальну нестiйкiсть трикутних лагранжевих рухiв у . . . 245
системi вiдлiку з початком у центрi мас 𝜇𝑖. Вiдповiдно до визначення
величин 𝜇𝑖 справедлива рiвнiсть 𝜇1+𝜇2+𝜇3 = 1. Ввiвши змiннi 𝝆𝑖, ми
одержуємо можливiсть оперувати надалi безрозмiрними величинами,
що досить зручно для подальшого дослiдження.
На пiдставi структури вихiдного лагранжiана системи, що розгля-
дається, маємо iнтеграл енергiї
𝑇 − 𝑈 =
1
2
3∑︁
𝑖
𝜇𝑖𝝆
′2
𝑖 −
∑︁
𝑖<𝑗
𝜇𝑖𝜇𝑗
|𝝆𝑖𝑗 |
= = const, (𝑖, 𝑗 = 1, 2, 3), (3)
а також векторний iнтеграл моменту кiлькостей руху
3∑︁
𝑖
𝜇𝑖(𝝆𝑖 × 𝝆′
𝑖) = 𝐂. (4)
Крiм того, оскiльки для даної системи iснують ще iнтеграли руху
центра мас, то у вiдповiдностi з вибором системи вiдлiку без обмеже-
ння загальностi розгляду далi вважатимемо, що
3∑︁
𝑖
𝜇𝑖𝝆
′
𝑖 = 𝟎,
3∑︁
𝑖
𝜇𝑖𝝆𝑖 = 𝟎, (5)
i як наслiдок [4, 7, 8]:
3∑︁
𝑖
𝜇𝑖𝝆
2
𝑖 =
∑︁
𝑖<𝑗
𝜇𝑖𝜇𝑗 |𝝆𝑖𝑗 |2. (6)
Як наслiдок з (5) випливають також рiвностi
𝝆2
1 = 𝜇2(𝜇2 + 𝜇3)𝝆
2
12 + 𝜇3(𝜇2 + 𝜇3)𝝆
2
13 − 𝜇2𝜇3𝝆
2
23,
𝝆2
2 = 𝜇1(𝜇1 + 𝜇3)𝝆
2
12 − 𝜇1𝜇3𝝆
2
13 + 𝜇3(𝜇1 + 𝜇3)𝝆
2
23, (7)
𝝆2
3 = −𝜇1𝜇2𝝆
2
12 + 𝜇1(𝜇1 + 𝜇2)𝝆
2
13 + 𝜇2(𝜇1 + 𝜇2)𝝆
2
23.
Аналогiчнi рiвностi зв’язують 𝝆′
𝑖
2 i 𝝆′
𝑖𝑗
2. Подробицi див. у [9].
Поряд з рiвняннями (2) будемо також розглядати рiвняння вiд-
станей [6]:
𝜌212
′′
= 2𝐸12 +
2
𝜌12
+
246 Сосницький С.П.
+𝜇3
{︂
2
𝜌12
+
1
𝜌13
(︂
𝜌223 − 𝜌212
𝜌213
− 1
)︂
+
1
𝜌23
(︂
𝜌213 − 𝜌212
𝜌223
− 1
)︂}︂
,
𝜌213
′′
= 2𝐸13 +
2
𝜌13
+
+𝜇2
{︂
2
𝜌13
+
1
𝜌12
(︂
𝜌223 − 𝜌213
𝜌212
− 1
)︂
+
1
𝜌23
(︂
𝜌212 − 𝜌213
𝜌223
− 1
)︂}︂
,
𝜌223
′′
= 2𝐸23 +
2
𝜌23
+
+𝜇1
{︂
2
𝜌23
+
1
𝜌12
(︂
𝜌213 − 𝜌223
𝜌212
− 1
)︂
+
1
𝜌13
(︂
𝜌212 − 𝜌223
𝜌213
− 1
)︂}︂
,
𝐸′
12 = 𝜇3
[︂
𝜌212
′
(︂
1
𝜌312
− 1
𝜌313
)︂
+
+𝜌223
′
(︂
1
𝜌313
− 1
𝜌323
)︂
+ 2𝝆23𝝆
′
13
(︂
1
𝜌323
− 1
𝜌313
)︂]︂
, (8)
𝐸′
13 = −𝜇2
[︂
𝜌213
′
(︂
1
𝜌312
− 1
𝜌313
)︂
+ 2𝝆23𝝆
′
13
(︂
1
𝜌323
− 1
𝜌312
)︂]︂
,
𝐸′
23 = 𝜇1
[︂
𝜌223
′
(︂
1
𝜌323
− 1
𝜌312
)︂
+
+2(𝝆13𝝆23)
′
(︂
1
𝜌312
− 1
𝜌313
)︂
− 2𝝆23𝝆
′
13
(︂
1
𝜌312
− 1
𝜌313
)︂]︂
,
(𝝆23𝝆
′
13)
′ =
1
2
(−𝐸12 + 𝐸13 + 𝐸23) +
[︂
− 1
𝜌12
+
1
𝜌13
+
1
𝜌23
−
− (𝜇1 + 𝜇3)
2𝜌13
(︂
1 +
𝜌223 − 𝜌212
𝜌213
)︂
+
𝜇2
2𝜌12
(︂
1 +
𝜌223 − 𝜌213
𝜌212
)︂
− 𝜇2
𝜌23
]︂
,
де
𝐸12 = 𝑣212 −
2
𝜌12
, 𝐸13 = 𝑣213 −
2
𝜌13
, 𝐸23 = 𝑣223 −
2
𝜌23
. (9)
Рiвняння вiдстаней становлять iнтерес з точки зору дослiдження
орбiтальної стiйкостi. Вони є iнтегральним многовидом (iнтеграль-
ною пiдмножиною) системи (2) i мають бiльш низький порядок в
порiвняннi з (2). Iнтеграл енергiї в змiнних системи (8) набуває ви-
гляду
𝜇1𝜇2𝐸12 + 𝜇1𝜇3𝐸13 + 𝜇2𝜇3𝐸23 = 2. (10)
Про орбiтальну нестiйкiсть трикутних лагранжевих рухiв у . . . 247
Як бачимо, вiн мiстить лише частину змiнних, якi входять у систему
(8), а тому хотiлося б мати ще iншi спiввiдношення, якi б охоплюва-
ли бiльшу частину змiнних, що входять у рiвняння (8). I от отримати
таке спiввiдношення можна, використовуючи таку процедуру. Пiдне-
семо до квадрата обидвi частини рiвностi (4). В результатi одержуємо
3∑︁
𝑖=1
𝜇2
𝑖 (𝝆𝑖 × 𝝆′
𝑖)
2 + 2
∑︁
𝑖<𝑗
𝜇𝑖𝜇𝑗(𝝆𝑖 × 𝝆′
𝑖)(𝝆𝑗 × 𝝆′
𝑗) = ||𝐂||2 = 𝐶2, (11)
де, в свою чергу,
(𝝆𝑖 × 𝝆′
𝑖)
2 = 𝝆2
𝑖𝝆
′
𝑖
2 − 1
4
[(𝝆2
𝑖 )
′]2, (12)
(𝝆𝑖 × 𝝆′
𝑖)(𝝆𝑗 × 𝝆′
𝑗) = (𝝆𝑖 · 𝝆𝑗)(𝝆′
𝑖 · 𝝆′
𝑗)− (𝝆′
𝑖 · 𝝆𝑗)(𝝆𝑖 · 𝝆′
𝑗), 𝑖 < 𝑗. (13)
Якщо зауважити, що справедливе представлення
𝝆1 = −𝜇2𝝆12 − 𝜇3𝝆13, 𝝆2 = 𝜇1𝝆12 − 𝜇3𝝆23, 𝝆3 = 𝜇1𝝆13 + 𝜇2𝝆23, (14)
i, крiм того, мають мiсце рiвностi
𝝆1𝝆2 = −𝐼 + 1
2
𝜇3(−𝜌212 + 𝜌213 + 𝜌223),
𝝆′
1𝝆
′
2 = −𝐼* + 1
2
𝜇3(−𝝆′2
12 + 𝝆′2
13 + 𝝆′2
23),
𝝆1𝝆3 = −𝐼 + 1
2
𝜇2(𝜌
2
12 − 𝜌213 + 𝜌223),
𝝆′
1𝝆
′
3 = −𝐼* + 1
2
𝜇2(𝝆
′2
12 − 𝝆′2
13 + 𝝆′2
23),
𝝆2𝝆3 = −𝐼 + 1
2
𝜇1(𝜌
2
12 + 𝜌213 − 𝜌223),
𝝆′
2𝝆
′
3 = −𝐼* + 1
2
𝜇1(𝝆
′2
12 + 𝝆′2
13 − 𝝆′2
23), (15)
248 Сосницький С.П.
𝝆′
1𝝆2 = −1
2
𝐼 ′ + 𝜇3𝝆
′
13𝝆23,
𝝆1𝝆
′
2 = −1
2
𝐼 ′ +
1
2
𝜇3(−𝜌212 + 𝜌213 + 𝜌223)
′ − 𝜇3𝝆
′
13𝝆23,
𝝆′
1𝝆3 = −1
2
𝐼 ′ +
1
2
𝜇2(𝜌
2
23)
′ − 𝜇2𝝆
′
13𝝆23,
𝝆1𝝆
′
3 = −1
2
𝐼 ′ − 1
2
𝜇2(−𝜌212 + 𝜌213)
′ + 𝜇2𝝆
′
13𝝆23,
𝝆′
2𝝆3 = −1
2
𝐼 ′ +
1
2
𝜇1(𝜌
2
12 − 𝜌223)
′ + 𝜇1𝝆
′
13𝝆23,
𝝆2𝝆
′
3 = −1
2
𝐼 ′ +
1
2
𝜇1(𝜌
2
13)
′ − 𝜇1𝝆
′
13𝝆23,
де
𝐼 = 𝜇1𝜇2𝜌
2
12 + 𝜇1𝜇3𝜌
2
13,+𝜇2𝜇3𝜌
2
23, 𝐼
* = 𝜇1𝜇2𝝆
′2
12 + 𝜇1𝜇3𝝆
′2
13 + 𝜇2𝜇3𝝆
′2
23,
то з врахуванням спiввiдношень
𝝆12𝝆13 =
1
2
(𝝆2
12 + 𝝆2
13 − 𝝆2
23),
𝝆12𝝆23 =
1
2
(−𝝆2
12 + 𝝆2
13 − 𝝆2
23),
𝝆13𝝆23 =
1
2
(−𝝆2
12 + 𝝆2
13 + 𝝆2
23),
а також рiвностей (7) i (10), видно, що лiву частину рiвностi (11)
можна выразити через змiннi, якi входять у систему (8).
2 Про рiвняння збуреного руху в околi стацiонар-
них лагранжевих трикутникiв
Зупинимося на системi рiвнянь (8). Згiдно з вибором у нiй зале-
жних змiнних стацiонарним трикутникам Лагранжа вiдповiдає такий
її розв’язок [6]:
𝜌2𝑖𝑗 = (𝜌2𝑖𝑗)
0 = 1, 𝐸𝑖𝑗 = (𝐸𝑖𝑗)
0 = −1,𝝆23𝝆
′
13 = (𝝆23𝝆
′
13)
0 = 𝑦0. (16)
Про орбiтальну нестiйкiсть трикутних лагранжевих рухiв у . . . 249
Тут 𝑖 < 𝑗. Зображаючи далi цi розв’язки у виглядi
𝜌2𝑖𝑗 = 1 + 𝑥𝑖𝑗 , 𝐸𝑖𝑗 = −1 + 𝑦𝑖𝑗 , 𝝆23𝝆
′
13 = 𝑦0 + 𝑦, (17)
де 𝑥𝑖𝑗 , 𝑦𝑖𝑗 i 𝑦 – малi вiдхилення залежних змiнних вiд стацiонарного
розв’язку (16), рiвняння збуреного руху у малому його околi отрима-
ємо у виглядi [6]
𝑥′′12 = 2𝑦12 − (1 + 3𝜇3)𝑥12 +
3
2
𝜇3(𝑥13 + 𝑥23) +𝑂(𝐱̃2),
𝑥′′13 = 2𝑦13 − (1 + 3𝜇2)𝑥13 +
3
2
𝜇2(𝑥12 + 𝑥23) +𝑂(𝐱̃2),
𝑥′′23 = 2𝑦23 − (1 + 3𝜇1)𝑥23 +
3
2
𝜇1(𝑥12 + 𝑥13) +𝑂(𝐱̃2),
𝑦′12 = 3𝜇3𝑦
0(𝑥13 − 𝑥23) +𝑂(𝐱̃2 + 𝐱̃′2 + 𝑦2),
𝑦′13 = 3𝜇2𝑦
0(−𝑥12 + 𝑥23) +𝑂(𝐱̃2 + 𝐱̃′2 + 𝑦2),
𝑦′23 = 3𝜇1𝑦
0(𝑥12 − 𝑥13) +𝑂(𝐱̃2 + 𝐱̃′2 + 𝑦2),
𝑦′ =
1
2
(−𝑦12 + 𝑦13 + 𝑦23) +
1
4
(4− 3𝜇2)𝑥12 −
1
4
(1 + 3𝜇2)𝑥13+
+
1
2
(−2 + 3𝜇2)𝑥23 +𝑂(𝐱̃2).
(18)
Тут 𝐱̃ = (𝑥12, 𝑥13, 𝑥23)
𝑇 .
Вiдповiдно до того, як визначенi збурення у системi (18), особливо
якщо взяти до уваги збурення 𝑥𝑖𝑗 , якi торкаються сторiн лагранже-
вого трикутника, її стiйкiсть (нестiйкiсть) є орбiтальною.
У збуреному русi для iнтеграла енергiї (10) отримуємо вираз
𝜇1𝜇2𝑦12 + 𝜇1𝜇3𝑦13 + 𝜇2𝜇3𝑦23 = 2*. (19)
Що ж стосується iнтеграла моменту кiлькостей руху, то вiдповiдно
до рiвностi (11) з врахуванням (7), (12) -(16) маємо
𝐶2 = 𝑘2 + 2*𝑘 + 𝜇1𝜇2𝜇3
[︂
−1
2
(𝑦12 + 𝑦13 + 𝑦23)+
250 Сосницький С.П.
+
√
3
2
(𝑥′12 − 𝑥′13 − 𝑥′23 + 4𝑦)
]︃
+𝑂(𝐱̃2 + 𝐱̃′2 + 𝐲̃2 + 𝑦2), (20)
де
𝜇1𝜇2 + 𝜇1𝜇3 + 𝜇2𝜇3 = 𝑘, 𝐲̃ = (𝑦12, 𝑦13, 𝑦23)
𝑇
i отже у збуреному русi приходимо до рiвностi
−(𝑦12 + 𝑦13 + 𝑦23) +
√
3(𝑥′12 − 𝑥′13 − 𝑥′23+
+4𝑦) +𝑂(𝐱̃2 + 𝐱̃′2 + 𝐲̃2 + 𝑦2) = 𝛿 = const. (21)
3 Теорема про орбiтальну нестiйкiсть лагранже-
вих стацiонарних рухiв у задачi трьох тiл
Згiдно з [6]
𝑦0 =
√
3
2
,
а тому характеристичне рiвняння, що вiдповiдає лiнiйному набли-
женню системи (18), можемо записати у виглядi
𝜆2(𝜆2 + 1)(𝜆2 + 4)(𝜆4 + 𝜆2 +
27
4
𝑘) = 0. (22)
На пiдставi (22) виконання нерiвностi 27𝑘 > 1 є достатньою умовою
орбiтальної нестiйкостi. До речi, ця умова завжди виконується, якщо
всi маси рiвнi. Однак орбiтальна нестiйкiсть не виключається, якщо
ця умова не виконується, а, наприклад, у рамках лiнiйного наближе-
ння має мiсце умова стiйкостi: 27𝑘 < 1.
Здавалося б отримати нову iнформацiю щодо стiйкостi, обмежую-
чись лиш лiнiйним наближенням рiвнянь збуреного руху, неможли-
во, i неминучим є перехiд до аналiзу нелiнiйної частини цих рiвнянь.
Проте не забуваймо, що у нас є iнтеграл руху (21). Тому надалi спи-
раючись на нього, нам вдасться значно спростити пiдхiд до дослi-
дження орбiтальної стiйкостi стацiонарних трикутних лагранжевих
розв’язкiв i уникнути розгляду нелiнiйної частини рiвнянь збуреного
руху.
Теорема. Круговi орбiти системи (2), якi вiдповiдають стацiо-
нарним трикутним лагранжевим рухам, орбiтально нестiйкi.
Про орбiтальну нестiйкiсть трикутних лагранжевих рухiв у . . . 251
Доведення. Для розгляду околу дослiджуваних лагранжевих ор-
бiт скористаємося системою рiвнянь (18). Спочатку здiйснимо таку
замiну змiнних
4
√
3𝑦 − 𝛿 = 𝑧3, (23)
в результатi чого рiвнiсть (21) набуває вигляду
−(𝑦12 + 𝑦13 + 𝑦23) +
√
3(𝑥′12 − 𝑥′13 − 𝑥′23)+
+𝑧3 +𝑂(𝐱̃2 + 𝐱̃′2 + 𝐲̃2 + 𝑧23 + 𝛿2) = 0. (24)
Далi зробивши замiну змiнних
𝑥12 =
𝑧1 − 𝑧2
𝜇1𝜇2
,
𝑥13 =
1
𝜇1𝜇3
(𝑧2 − 𝜇2𝜇3𝑥23),
(25)
з допомогою (19), (24) i (25) приходимо до системи рiвнянь збуреного
руху у формi
𝑧′′1 = 4* − 𝑧1 +𝑂(𝐰2),
𝑧′′2 = 4* − 2𝜇1𝜇2𝑦12 − (1 +
3
2
𝜇2 + 3𝜇3)𝑧2 + 3𝜇3𝑧1−
−3
2
𝜇2𝜇3(𝜇1 − 𝜇2)𝑥23 +𝑂(𝐰2),
𝑥′′23 = 2𝑦23 − (1 + 3𝜇1 +
3
2
𝜇2)𝑥23 +
3
2𝜇2
𝑧1+
+
3
2
(𝜇2 − 𝜇3)
𝜇2𝜇3
𝑧2 +𝑂(𝐰2),
𝑦′12 = 3
𝑦0
𝜇1
[−𝜇3(𝜇1 + 𝜇2)𝑥23 + 𝑧2] +𝑂(𝐰2 +𝐰′2 + 𝐲2 + 𝑧23 + 𝛿2), (26)
𝑦′23 = 3𝑦0
[︂
𝑧1
𝜇2
− (𝜇2 + 𝜇3)
𝜇2𝜇3
𝑧2 + 𝜇2𝑥23
]︂
+𝑂(𝐰2 +𝐰′2 + 𝐲2 + 𝑧23 + 𝛿2)),
𝑧′3 = 2
√
3𝑧3 + 6
{︂
1
𝜇1𝜇2𝜇3
[𝜇3𝑧
′
1 − (𝜇2 + 𝜇3)𝑧
′
2]−
(𝜇1 − 𝜇2)
𝜇1
𝑥′23)
}︂
−
252 Сосницький С.П.
−4
√
3𝑦12 +
√
3
𝜇1𝜇2𝜇3
{𝜇3(4− 3𝜇2)𝑧1 − [𝜇3(4− 3𝜇2) + 𝜇2(1 + 3𝜇2)]𝑧2}+
+
√
3
𝜇1
[𝜇2(1 + 3𝜇2) + 2𝜇1(−2 + 3𝜇2)]𝑥23 +𝑂(𝐰2 +𝐰′2 + 𝐲2 + 𝑧23 + 𝛿2).
Тут 𝐰 = (𝑧1, 𝑧2, 𝑥23)
𝑇 ,𝐲 = (𝑦12, , 𝑦23)
𝑇 .
Не можна не звернути увагу на той факт, що змiнна 𝑧3 входить
лише в останнє рiвняння лiнiйного наближення системи (26), що дає
змогу зразу ж визначити один з коренiв вiдповiдного характеристи-
чного рiвняння. А саме на пiдставi останнього рiвняння системи (26)
маємо
𝜆1 = 2
√
3.
Згiдно з теоремою Ляпунова [10] (див. також [11]) звiдси випливає,
що iснує фазова траєкторiя системи (26), яка входить в точку 𝐰 =
𝐰′ = 𝐲 = 𝟎, 𝑧3 = 0 при 𝜏 → −∞. Отже, положення рiвноваги 𝐰 =
𝐰′ = 𝐲 = 𝟎, 𝑧3 = 0 системи (26) нестiйке за Ляпуновим.
Таким чином, за допомогою iнтеграла руху (21) нам вдалося спро-
стити пiдхiд до дослiдження стiйкостi, використовуючи рiвняння збу-
реного руху у формi (26). Беручи до уваги визначення змiнних 𝐰 i
𝐲, робимо висновок про орбiтальну нестiйкiсть кругових орбiт, якi
вiдповiдають стацiонарним трикутним лагранжевим рухам. □
Наслiдок. Оскiльки вихiдна система (2) зворотна, то iснування
фазової траєкторiї, що притягується до лагранжевої кругової орбi-
ти при 𝜏 → −∞, зумовлює iснування траєкторiї, яка притягується
до цiєї орбiти i при 𝜏 → ∞.
4 Висновок
Пiдводячи пiдсумок викладеному вище, можемо зазначити, що дослi-
дження орбiтальної стiйкостi стацiонарних трикутних лагранжевых
розв’язкiв ми звели за допомогою iнтеграла моменту кiлькостей ру-
ху до розгляду квазiлiнiйної системи, лiнiйне наближення якої дало
нам змогу зробити висновок про орбiтальну нестiйкiсть лагранжевых
розв’язкiв. Зауважимо, що сама iдея застосування iнтегралiв руху
системи для дослiдження стiйкостi не нова. Згадаймо метод зв’язки
перших iнтегралiв, запропонований Н.Г. Четаєвим при дослiдженнi
обертального руху артилерiйського снаряда [12]. В подальшому цей
метод був розвинений В.В. Румянцевим при дослiдженнi стiйкостi
рухiв твердого тiла [13]. Користь вiд застосування iнтегралiв руху в
Про орбiтальну нестiйкiсть трикутних лагранжевих рухiв у . . . 253
першу чергу полягає в тому, що вони дають можливiсть розкривати
якiснi властивостi розв’язкiв системи, не оперуючи самими розв’язка-
ми. В цьому сенсi можливiсть за допомогою iнтегралiв руху понизити
розмiрнiсть системи є далеко не першорядною.
[1] Routh E.J. On Laplace’s three particles, with a supplement on the stability
of steady motion // Proc. Lond. Math. Soc.— 1874.— vol. 6.— P. 86–
97.
[2] Ляпунов А.М. Об устойчивости движения в одном частном случае
задачи о трех телах // Собр. соч.,М.–Л: Изд-во АН СССР.— 1954. —
Т. 1. — С. 7–263.
[3] Маркеев А.П. Точки либрации в небесной механике и космодинами-
ке.— М.: Наука, 1978.— 312 с. —
[4] Дубошин Г.Н. Небесная механика. Аналитические и качественные ме-
тоды.— М.: Наука, 1964.— 560 с. —
[5] Парс Л.А. Аналитическая динамика.— М.: Наука, 1971. — 635 с. —
[6] Sosnitskii S.P. On the orbital stability of triangular Lagrangian motions in
the three-body problem // Astron. J.— 2008.— 136, No 6.— P. 2533–
2540.
[7] Рой А.Е. Движение по орбитам.— М.: Наука, 1981.— 544 с. —
[8] Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты
классической и небесной механики.— М.: УРСС, 2002. — 414 с. —
[9] Сосницький С.П. Про стiйкiсть руху за Лагранжем у задачi трьох
тiл // Укр. мат. журн. — 2005. — 57, № 8. — C. 1137–1143.
[10] Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения.— М.; Л,
1935. — 386 с. —
[11] Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциаль-
ных уравнений.— М.; Л.: Гостехтеоретиздат, 1949.— 550 с. —
[12] Четаев Н.Г. Устойчивость движения.— М.: Наука, 1965.— 207 с. —
[13] Румянцев В.В. Устойчивость перманентных движений тяжелого твер-
дого тела // Прикл. математика и механика.— 1956. — 20, вып. 1.—
С. 51–66.
1. Луковський І.О., Гаврилюк І.О., Василик В.Б., Ситник Д.О.
2. Біленко В. І., Божонок К. В., Дзядик С. Ю., Стеля О. Б.
Інтегро–апроксимаційний алгоритм
Вступ
Постановка задачі
Алгоритм
Похибка алгоритму
Застосування a–методу для алгебраїчно–нелінійних рівнянь гіперболічного типу
Задача Дирихле для алгебраїчно–нелінійних рівнянь еліптичного типу на прямокутнику
Наближений розв'язок початкової задачі для алгебраїчно–нелінійних рівнянь параболічного типу на прямокутнику
Сплайн–алгоритм
Монотонна схема для рівняння конвекції–дифузії
Висновки
3. Василик В.Б., Макаров В.Л., Ситник Д.О.
Вступ
Регуляризація та явне зображення розв'язку
Вибір контуру інтегрування
Чисельний метод
4. Веселовська Г.М.
5. Грушковская В.В.
Введение
Построение модельной системы
Условия устойчивости
Оценка скорости убывания решений
Пример: оценка скорости затухания колебаний маятниковой системы с частичной диссипацией
Выводы
6. Дзюбенко Г.А.
Вступ
Допоміжні факти
Доведення Теореми ??
7. Діденко Ю.Ф., Денисенко В.І.
8. Елишевич М.А.
Постановка задачи
Полученный результат
Пример
9. Константинов А.В., Лимарченко О.С., Кинебас К.В., Паранькина О.Ю.
Введение
Объект исследования и математическая модель
Результаты вычислительных экспериментов
Выводы
10. Мазко О.Г., Кусій С.М.
Вступ
Допоміжні твердження
Лінійні системи з керованими і спостережуваними виходами
Статичний регулятор по вимірюваному виходу
Динамічний регулятор
Алгоритм побудови динамічного регулятора
Приклад. Гасіння коливань лінійного осцилятора.
Висновок
11. Працьовитий М. В., Маслова Ю. П.
Вступ
Функція Радемахера і ряди Уолша
Узагальнення функцій Радемахера
Узагальнення функцій Уолша
12. Працьовитий М.В., Чуйков А.С.
Вступ
Оператори лівостороннього та правостороннього зсуву елементів ланцюгового дробу
Інші функції, пов'язані з оператором T(x)
13. Новицький В.В., Зінчук М.О., Коломійчук О.П., Тетерятник О.В.
Вступ
Оптимальне керування лінійними неперервними майже консервативними системами
Оптимальне керування лінійними дискретними майже консервативними системами
14. Осауленко Р. Ю.
Вступ
Перетворення, які зберігають хвости Qs–зображення чисел
Група перетворень, які зберігають частоти цифр Qs–зображення числа
Приклад функції, яка зберігає частоти, але не зберігає хвости зображення Qs-ірраціональних чисел
15. Слинько В.І., Кравчук С.В.
Постановка задачі.
Основний результат.
Умови стійкості
16. Солодун А. В.
Постановка задачи
Численные результаты
17. Ситник Д.О.
Вступ
Sinc–апроксимація
Sinc-апроксимація функції за її значеннями поза інтерполяційною сіткою
18. Сосницький С.П.
Вступ
Про рівняння збуреного руху в околі стаціонарних лагранжевих трикутників
Теорема про орбітальну нестійкість лагранжевих стаціонарних рухів у задачі трьох тіл
Висновок
19. Сосницький С.П.
Вступ
Про достатні умови відсутності осцилюючих симетричних рухів
20. Чернецька Л.О.
21. Timokha A.N.
Statement
Asymptotic steady-state solutions of (??)–(??)
The reciprocating excitation type
The axisymmetric elliptic excitation type
The oblique elliptic excitation type
Conclusions
22. Shlepakov L.N.
Main relationships for a non-inflated system
Construction of enlarged systems
Defining the task mathematical programming
Case of multiple channels with same probability characteristics in the same system of channels.
23. Shidlich A.L.
Approximative characteristics
Main results
Order estimates for some functionals and their applications
Proof of Theorems ?? and ??.
24. Луковський І.О., Стороженко В.О.
25. Луковський І.О., Пустовойтов М.О.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-57 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:01:45Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/b3/34819635a0347f15555ec8ff804797b3.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-572018-02-13T11:57:10Z On orbital instability of triangular Lagrange motions in the three-body problem Об орбитальной неустойчивости треугольных лагранжевых движений трех твердых тел Про орбiтальну нестiйкiсть трикутних лагранжевих рухiв у задачi трьох тiл Sosnitsky, S. P. Сосницкий, С. П. Сосницький, С. П. For the three-body problem (mass points), the orbital stability of stationary triangular Lagrangian motions is investigated. A theorem on the orbital instability of stationary triangular solutions related to circular orbits of mass points is proved. Исследуется орбитальная устойчивость стационарных лагранжевых движений в задаче трех тел (материальных точек). Устанавливается теорема об орбитальной неустойчивости треугольных стационарных решений, которым соответствуют круговые орбиты материальных точек. Досліджується орбітальна стійкість стаціонарних лагранжевих рухів в задачі трьох тіл (матеріальних точок). Встановлюється теорема про орбітальну нестійкість трикутних стаціонарних розв'язків, яким відповідають кругові орбіти матеріальних точок. Інститут математики НАН України 2017-12-22 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/57 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 13 No. 3 (2016): Mathematical problems of mechanics and computational mathematics; 243-253 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 13 № 3 (2016): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 243-253 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 13 № 3 (2016): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 243-253 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/57/52 Авторське право (c) 2016 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Sosnitsky, S. P. Сосницкий, С. П. Сосницький, С. П. On orbital instability of triangular Lagrange motions in the three-body problem |
| title | On orbital instability of triangular Lagrange motions in the three-body problem |
| title_alt | Об орбитальной неустойчивости треугольных лагранжевых движений трех твердых тел Про орбiтальну нестiйкiсть трикутних лагранжевих рухiв у задачi трьох тiл |
| title_full | On orbital instability of triangular Lagrange motions in the three-body problem |
| title_fullStr | On orbital instability of triangular Lagrange motions in the three-body problem |
| title_full_unstemmed | On orbital instability of triangular Lagrange motions in the three-body problem |
| title_short | On orbital instability of triangular Lagrange motions in the three-body problem |
| title_sort | on orbital instability of triangular lagrange motions in the three-body problem |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/57 |
| work_keys_str_mv | AT sosnitskysp onorbitalinstabilityoftriangularlagrangemotionsinthethreebodyproblem AT sosnickijsp onorbitalinstabilityoftriangularlagrangemotionsinthethreebodyproblem AT sosnicʹkijsp onorbitalinstabilityoftriangularlagrangemotionsinthethreebodyproblem AT sosnitskysp oborbitalʹnojneustojčivostitreugolʹnyhlagranževyhdviženijtrehtverdyhtel AT sosnickijsp oborbitalʹnojneustojčivostitreugolʹnyhlagranževyhdviženijtrehtverdyhtel AT sosnicʹkijsp oborbitalʹnojneustojčivostitreugolʹnyhlagranževyhdviženijtrehtverdyhtel AT sosnitskysp proorbitalʹnunestijkistʹtrikutnihlagranževihruhivuzadačitrʹohtil AT sosnickijsp proorbitalʹnunestijkistʹtrikutnihlagranževihruhivuzadačitrʹohtil AT sosnicʹkijsp proorbitalʹnunestijkistʹtrikutnihlagranževihruhivuzadačitrʹohtil |