On oscillatory symmetric motions in the three-body problem
We study a special case of the three-body problem where two of the bodies are the same mass and there is a manifold of symmetrical motions. We consider sufficient conditions of nonexistence of oscillating symmetric motions. To analyze stability, we substantially rely on the structure of the manifold...
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/58 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552583307984896 |
|---|---|
| author | Sosnitsky, S. P. Сосницкий, С. П. Сосницький, С. П. |
| author_facet | Sosnitsky, S. P. Сосницкий, С. П. Сосницький, С. П. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "С. П. Сосницький",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Sosnitsky, S. P. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-13T11:57:10Z |
| description | We study a special case of the three-body problem where two of the bodies are the same mass and there is a manifold of symmetrical motions. We consider sufficient conditions of nonexistence of oscillating symmetric motions. To analyze stability, we substantially rely on the structure of the manifold of symmetric motions. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:01:44Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2016, т. 13, № 3, 254–260
УДК 531.36;531.011
Про осцилюючi симетричнi рухи у
задачi трьох тiл
C.П. Сосницький
Iнститут математики НАН України, Київ;
sosn@imath.kiev.ua
We study a special case of the three-body problem where two of the bodies
are the same mass and there is a manifold of symmetrical motions. We
consider sufficient conditions of nonexistence of oscillating symmetric mo-
tions. To analyze stability, we substantially rely on the structure of the
manifold of symmetric motions.
Исследуется случай задачи трех тел, когда два из них имеют одина-
ковые массы, что обусловливает существование многообразия симмет-
ричных движений. Рассматриваются достаточные условия отсутствия
осциллирующих симметричных движений. Для анализа оганиченности
движения используется структура многообразия симметричных дви-
жений.
1 Вступ
Симетричнi рухи у задачi трьох тiл (матерiальних точок) зазвичай
пов’язують з питанням iснування осцилюючих фiнальних еволюцiй,
посилаючись при цьому на вiдому роботу Сiтнiкова [1], якому вдало-
ся в спецiальному випадку обмеженої задачi трьох тiл, коли два з них
мають рiвнi маси, довести iснування осцилюючих рухiв. Згодом твер-
дження Сiтнiкова, враховуючи, що саму можливiсть iснування таких
рухiв допускав Шазi [2], послужило поштовхом для подальших дослi-
джень в цьому напрямку у загальному випадку задачi трьох тiл [3–5].
Нижче, як i в роботах автора [6,7], будемо в деякому сенсi розгля-
дати обернену задачу, тобто дослiджувати умови, коли осцилюючi
симетричнi рухи не iснують. Правда, якщо в роботах [6, 7] ми зосе-
реджували нашу увагу на iснуваннi обмежених симетричних рухiв,
то тепер дещо послабимо вимоги, зводячи їх до пошуку умов, якi
c○ Сосницький С.П., 2016
Про осцилюючi симетричнi рухи у задачi трьох тiл 255
виключають iснування осцилюючих симетричних рухiв. При цьому
питання їх обмеженостi (необмеженостi) залишається вiдкритим.
В подальшому при дослiдженнi симетричних рухiв будемо вiд-
штовхуватись вiд базових рiвнянь задачi трьох тiл, якi ми запишемо
у формi [8]:
𝝆′′
1 = 𝜇2
𝝆2 − 𝝆1
|𝝆12|3
+ 𝜇3
𝝆3 − 𝝆1
|𝝆13|3
,
𝝆′′
2 = −𝜇1
𝝆2 − 𝝆1
|𝝆12|3
+ 𝜇3
𝝆3 − 𝝆2
|𝝆23|3
, (1)
𝝆′′
3 = −𝜇1
𝝆3 − 𝝆1
|𝝆13|3
− 𝜇2
𝝆3 − 𝝆2
|𝝆23|3
.
Як показано в [6], при умовi, що двi маси рiвнi, на пiдставi (1) при-
ходимо до многовиду симетричних рухiв у виглядi
𝝆′′
12 = −2𝜇
𝝆12
|𝝆12|3
− 𝜇3
𝝆12
|𝝆13|3
,
𝝆′′
3 = − 𝝆3
|𝝆13|3
,
(2)
в якому |𝝆13| = |𝝆23|, штрих означає диференцiювання за часом 𝜏 =
𝑡
√
𝐺𝑀/𝑟
3/2
0 , 𝜇𝑖 = 𝑚𝑖/𝑀(𝑖 = 1, 2, 3),𝑀 = 𝑚1 +𝑚2 +𝑚3, 𝝆𝑖 = 𝐫𝑖/𝑟0 –
вiдноснi радiуси-вектори, 𝜇1 = 𝜇2 = 𝜇, 2𝜇 + 𝜇3 = 1. Параметр 𝑟0, що
має розмiрнiсть одиницi довжини, у вираз для 𝜏 введений для того,
щоб в подальшому працювати з безрозмiрними величинами. Вiдстанi
|𝝆12|, |𝝆13| i |𝝆3| зв’язанi рiвнiстю
𝝆2
3 = 𝜇2
(︀
−𝝆2
12 + 4𝝆2
13
)︀
. (3)
Характерною особливiстю многовиду симетричних рухiв є спра-
ведливiсть рiвностей
𝝆12 × 𝝆′
12 = 𝐂𝟏, 𝝆3 × 𝝆′
3 = 𝐂𝟐,
де 𝐂𝟏,𝐂𝟐 – сталi вектори. Це дозволяє якiсне дослiдження системи
(2) звести до системи з двома ступенями вiльностi:
𝜌212
′′
= 2𝑣212 −
4𝜇
𝜌12
− 2𝜇3
𝜌212
𝜌313
,
𝜌23
′′
= 2𝑣23 − 2
𝜌23
𝜌313
,
(4)
256 Сосницький С.П.
де |𝝆12| = 𝜌12, |𝝆13| = 𝜌13, 𝑣
2
12 = 𝝆′2
12, 𝑣23 = 𝝆′2
3 . Беручи до уваги, що
𝝆′2
12 = 𝜌′212 +
|𝝆12 × 𝝆′
12|
2
𝜌212
, (5)
𝝆′2
3 = 𝜌′23 +
|𝝆3 × 𝝆′
3|
2
𝜌23
, (6)
рiвняння (4) можемо представити у виглядi
𝜌212
′′
= 2
(︃
(𝜌212
′
)2
4𝜌212
+
|𝐂1|2
𝜌212
)︃
− 4𝜇
𝜌12
− 2𝜇3
𝜌212
𝜌313
,
𝜌23
′′
= 2
(︃
(𝜌23
′
)2
4𝜌23
+
|𝐂2|2
𝜌23
)︃
− 2
𝜌23
𝜌313
.
(7)
Якщо 𝐂2 = 𝟎, то система (7) допускає рух, при якому тiло з масою
𝜇3 здiйснює коливання уздовж осi, що проходить через центр мас
системи i є перпендикулярною до площини, у якiй рухаються iншi
два тiла з рiвними масами.
Характерними ознаками многовиду симетричних рухiв (7) є стiй-
кiсть за Хiллом пари матерiальних точок (𝜇, 𝜇) при умовi, що < 0,
а також дистальнiсть руху при |𝐂1| ≠ 0, як наслiдок рiвностi |𝝆13| =
|𝝆23|. Крiм того, якщо рух на многовидi (7) є обмеженим, то ця обме-
женiсть стосується як координат 𝜌12, 𝜌13, так i швидкостей 𝑣12, 𝑣13,
тобто має мiсце стiйкiсть за Лагранжем.
Як показано у роботi [6], на многовидi симетричних рухiв (2) кi-
нетичну енергiю зручно зобразити в однiй з форм
𝑇 =
1
2
(︀
𝜇2𝝆′2
12 + 2𝜇𝜇3𝝆
′2
13
)︀
, (8)
𝑇 =
1
2
(︂
𝜇2
2𝜇
𝝆′2
12 +
𝜇3
2𝜇
𝝆′2
3
)︂
, (9)
що дозволяє для iнтеграла енергiї отримати такi вирази(︀
𝜇2𝝆′2
12 + 2𝜇𝜇3𝝆
′2
13
)︀
− 2𝜇2
𝜌12
− 4𝜇𝜇3
𝜌13
= 2, (10)
(︂
𝜇2
2𝜇
𝝆′2
12 +
𝜇3
2𝜇
𝝆′2
3
)︂
− 2𝜇2
𝜌12
− 4𝜇𝜇3
𝜌13
= 2. (11)
Про осцилюючi симетричнi рухи у задачi трьох тiл 257
Торкаючись дослiджень автора, присвячених iснуванню обмеже-
них рухiв на многовидi симетричних рухiв, як пiдсумок приходимо
до такої теореми.
Теорема 1. Нехай 𝝆(𝜏) = (𝝆1,𝝆2,𝝆3)
𝑇 – симетричний рух систе-
ми (2), який належить множинi
Ω = {(𝝆,𝝆′) : 𝑇 − 𝑈 = < 0} .
Тодi, якщо
|𝝆12 × 𝝆′
12| = 𝑐 > 0 (12)
i виконується одна з умов:
𝜇3 + 𝑐2 < 0, (13)
4
𝑐2
[︀
2𝜇3(1 + 𝜇3) + 𝑐2
]︀
− 𝜇3𝑐
22
𝜇(𝜇+ 4𝜇3)2
< 0, (14)
2
𝑐2
[︀
4𝜇3 + 𝑐2
]︀
− 𝑐22
2𝜇(𝜇+ 4𝜇3)2
< 0, (15)
2
𝜇𝜇3𝑐2
[𝑐2 + 4(1− 𝜇)𝜇3]− ||
𝜇+ 4𝜇3
< 0, (16)
то дослiджуваний симетричний рух є обмеженим.
Доведення. Справедливiсть теореми у випадку (13) доведено у
роботi [7], у випадках (14) i (15) в [6], у випадку (16) в [9].
2 Про достатнi умови вiдсутностi осцилюючих си-
метричних рухiв
Як випливає з формулювання теореми 1, виконання достатнiх умов
обмеженостi симетричних рухiв iстотно пов’язане як з абсолютним
значенням моменту кiлькостей руху пари (𝜇, 𝜇), так i з сталою iнте-
грала енергiї , а також iз спiввiдношенням сталих |𝑐| i ||. Вагому
роль в цих умовах вiдiграє також спiввiдношення мас 𝜇 i 𝜇3. Та-
ким чином, при встановленнi умов обмеженостi симетричних рухiв у
вiдповiдностi з теоремою 1 ми оперуємо сталими величинами. У цьо-
му зв’язку було б цiкаво розглянути вплив розподiлу узагальнених
швидкостей, тобто динамiчних факторiв, на характер руху системи
(2). Частково вiдповiдь на це питання дає наступна
258 Сосницький С.П.
Теорема 2. Нехай 𝝆(𝜏) = (𝝆1,𝝆2,𝝆3)
𝑇 – симетричний рух систе-
ми (2), який належить множинi
Ω = {(𝝆,𝝆′) : 𝑇 − 𝑈 = < 0} .
Тодi, якщо
−𝑣212 + 2𝑣213 ≥ 𝑐 >
𝜇+ 4𝜇3
∀𝜏 ∈ 𝑅, 𝑐 = const, (17)
то даний симетричний рух не є осцилюючим.
Доведення. Скористаємося рiвнянням
(𝝆23𝝆
′
13)
′ =
1
2
(−𝑣212 + 𝑣213 + 𝑣223)−
𝜇1 + 𝜇3
2𝜌13
(︂
1 +
𝜌223 − 𝜌212
𝜌213
)︂
+
+
𝜇2
2𝜌12
(︂
1 +
𝜌223 − 𝜌213
𝜌212
)︂
− 𝜇2
𝜌23
, (18)
отриманим у роботi [8]. На многовидi симетричних рухiв воно набуває
вигляду
(𝝆23𝝆
′
13)
′ =
1
2
(−𝑣212+2𝑣213)+
𝜇
2𝜌12
−𝜇+ 𝜇3
2𝜌13
(︂
1 +
𝜌213 − 𝜌212
𝜌213
)︂
− 𝜇2
𝜌13
. (19)
Враховуючи оцiнку [9]:
1
𝜌12
>
−
𝜇(𝜇+ 4𝜇3)
,
на пiдставi (19) приходимо до нерiвностi
(𝝆23𝝆
′
13)
′ >
1
2
(−𝑣212+2𝑣213)+
−
2(𝜇+ 4𝜇3)
−𝜇+ 𝜇3
2𝜌13
(︂
1 +
𝜌213 − 𝜌212
𝜌213
)︂
− 𝜇2
𝜌13
,
(20)
яку, беручи до уваги умову (17) теореми 2, перепишемо у виглядi
(𝝆23𝝆
′
13)
′ >
1
2
[︂
𝑐+
−
(𝜇+ 4𝜇3)
]︂
− 𝜇+ 𝜇3
2𝜌13
(︂
1 +
𝜌213 − 𝜌212
𝜌213
)︂
− 𝜇2
𝜌13
. (21)
Як показано у роботi [9], має мiсце рiвнiсть
𝝆23𝝆
′
13 =
1
4
(︀
−𝜌212 + 2𝜌213
)︀′
,
Про осцилюючi симетричнi рухи у задачi трьох тiл 259
а тому на пiдставi (21) маємо
1
4
(︀
−𝜌212 + 2𝜌213
)︀′′
>
1
2
[︂
𝑐+
−
(𝜇+ 4𝜇3)
]︂
− 𝜇+ 𝜇3
2𝜌13
(︂
1 +
𝜌213 − 𝜌212
𝜌213
)︂
− 𝜇2
𝜌13
.
(22)
Припустимо тепер, що дослiджуваний рух є осцилюючим. Тодi
вiдстань 𝜌13 може досягати будь-яких великих значень, а отже, вра-
ховуючи умову (17) теореми, iснує куля 𝐵𝑟 з достатньо великим ра-
дiусом 𝑟, за межами якої виконується нерiвнiсть
1
4
(︀
−𝜌212 + 2𝜌213
)︀′′
> 𝛿 > 0, 𝛿 = const. (23)
Для осцилюючого руху справедлива рiвнiсть
lim
𝑘→∞
𝜌13 = ∞
i, таким чином, при достатньо великому радiусi 𝑟 функцiя (−𝜌212 +
2𝜌213) має максимуми, для яких її друга похiдна принаймнi не до-
датна. Отримуємо суперечнiсть, звiдки робимо висновок про справе-
дливiсть теореми 2. □
На завершення скажемо, що оскiльки на многовидi симетричних
рухiв можливий вибiр початкових умов, якi призводять до осцилюю-
чих фiнальних еволюцiй, то теорема 2 в цьому сенсi може становити
певний iнтерес якраз для з’ясування тих ключових моментiв, якi i
спричиняють реалiзацiю осцилюючих фiнальних еволюцiй.
[1] Ситников К.А. Существование осциллирующих движений в задаче
трех тел // ДАН СССР. — 1960. — vol. 133. — С. 303–306.
[2] Chazy J. Sur l’allure finale mouvement dans le problème des trois corps
quand le temps croit indéfiniment // Ann. l’Ecole Norm. Supér., 3ème
Sér. — 1922.— vol. 39.— P. 29–130.
[3] Алексеев В.M. Лекции по небесной механике.— Москва-Ижевск: НИЦ
РХД, 2001.— С. 156.—
[4] Moser J. Stable and Random Motion in Dynamical System.— Princeton:
Princeton University Press, 1973.— P. 190.—
[5] Маршал К. Задача трех тел.— Москва-Ижевск: Ин-т компьют. иссл.,
2004.— С. 639.—
[6] Sosnitskii S.P. On the bounded symmetrical motions in the three-body
problem // Intern. J. Non-Linear Mech.— 2014.— vol. 67.— P. 34–38.
260 Сосницький С.П.
[7] Sosnitskii S.P. On the Hill stable motions in the three-body problem //
Adv. Space Res.— 2015.— vol. 56.— P. 859–864.
[8] Sosnitskii S.P. On the orbital stability of triangular Lagrangian motions
in the three-body problem // Astron. J.— 2008.— vol. 136.— P. 2533–
2540.
[9] Сосницький С.П. Про деякi особливостi симетричних рухiв у задачi
трьох тiл.// Зб. праць Iн-ту математики НАН України.— 2013. т.10,
№3.— С.178–190.
1. Луковський І.О., Гаврилюк І.О., Василик В.Б., Ситник Д.О.
2. Біленко В. І., Божонок К. В., Дзядик С. Ю., Стеля О. Б.
Інтегро–апроксимаційний алгоритм
Вступ
Постановка задачі
Алгоритм
Похибка алгоритму
Застосування a–методу для алгебраїчно–нелінійних рівнянь гіперболічного типу
Задача Дирихле для алгебраїчно–нелінійних рівнянь еліптичного типу на прямокутнику
Наближений розв'язок початкової задачі для алгебраїчно–нелінійних рівнянь параболічного типу на прямокутнику
Сплайн–алгоритм
Монотонна схема для рівняння конвекції–дифузії
Висновки
3. Василик В.Б., Макаров В.Л., Ситник Д.О.
Вступ
Регуляризація та явне зображення розв'язку
Вибір контуру інтегрування
Чисельний метод
4. Веселовська Г.М.
5. Грушковская В.В.
Введение
Построение модельной системы
Условия устойчивости
Оценка скорости убывания решений
Пример: оценка скорости затухания колебаний маятниковой системы с частичной диссипацией
Выводы
6. Дзюбенко Г.А.
Вступ
Допоміжні факти
Доведення Теореми ??
7. Діденко Ю.Ф., Денисенко В.І.
8. Елишевич М.А.
Постановка задачи
Полученный результат
Пример
9. Константинов А.В., Лимарченко О.С., Кинебас К.В., Паранькина О.Ю.
Введение
Объект исследования и математическая модель
Результаты вычислительных экспериментов
Выводы
10. Мазко О.Г., Кусій С.М.
Вступ
Допоміжні твердження
Лінійні системи з керованими і спостережуваними виходами
Статичний регулятор по вимірюваному виходу
Динамічний регулятор
Алгоритм побудови динамічного регулятора
Приклад. Гасіння коливань лінійного осцилятора.
Висновок
11. Працьовитий М. В., Маслова Ю. П.
Вступ
Функція Радемахера і ряди Уолша
Узагальнення функцій Радемахера
Узагальнення функцій Уолша
12. Працьовитий М.В., Чуйков А.С.
Вступ
Оператори лівостороннього та правостороннього зсуву елементів ланцюгового дробу
Інші функції, пов'язані з оператором T(x)
13. Новицький В.В., Зінчук М.О., Коломійчук О.П., Тетерятник О.В.
Вступ
Оптимальне керування лінійними неперервними майже консервативними системами
Оптимальне керування лінійними дискретними майже консервативними системами
14. Осауленко Р. Ю.
Вступ
Перетворення, які зберігають хвости Qs–зображення чисел
Група перетворень, які зберігають частоти цифр Qs–зображення числа
Приклад функції, яка зберігає частоти, але не зберігає хвости зображення Qs-ірраціональних чисел
15. Слинько В.І., Кравчук С.В.
Постановка задачі.
Основний результат.
Умови стійкості
16. Солодун А. В.
Постановка задачи
Численные результаты
17. Ситник Д.О.
Вступ
Sinc–апроксимація
Sinc-апроксимація функції за її значеннями поза інтерполяційною сіткою
18. Сосницький С.П.
Вступ
Про рівняння збуреного руху в околі стаціонарних лагранжевих трикутників
Теорема про орбітальну нестійкість лагранжевих стаціонарних рухів у задачі трьох тіл
Висновок
19. Сосницький С.П.
Вступ
Про достатні умови відсутності осцилюючих симетричних рухів
20. Чернецька Л.О.
21. Timokha A.N.
Statement
Asymptotic steady-state solutions of (??)–(??)
The reciprocating excitation type
The axisymmetric elliptic excitation type
The oblique elliptic excitation type
Conclusions
22. Shlepakov L.N.
Main relationships for a non-inflated system
Construction of enlarged systems
Defining the task mathematical programming
Case of multiple channels with same probability characteristics in the same system of channels.
23. Shidlich A.L.
Approximative characteristics
Main results
Order estimates for some functionals and their applications
Proof of Theorems ?? and ??.
24. Луковський І.О., Стороженко В.О.
25. Луковський І.О., Пустовойтов М.О.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-58 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:01:44Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/eb/06f3048f720faf1f44dd8d8064096deb.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-582018-02-13T11:57:10Z On oscillatory symmetric motions in the three-body problem Про осциллирующие симметричные движения в задаче трх тел Про осцилюючi симетричнi рухи у задачi трьох тiл Sosnitsky, S. P. Сосницкий, С. П. Сосницький, С. П. We study a special case of the three-body problem where two of the bodies are the same mass and there is a manifold of symmetrical motions. We consider sufficient conditions of nonexistence of oscillating symmetric motions. To analyze stability, we substantially rely on the structure of the manifold of symmetric motions. Исследуется случай задачи трех тел, когда два из них имеют одинаковые массы, что обусловливает существование многообразия симметричных движений. Рассматриваются достаточные условия отсутствия осциллирующих симметричных движений. Для анализа ограниченности движения используется структура многообразия симметричных движений. Досліджується випадок задачі трьох тіл, коли два з них мають однакові маси, що обумовлює існування різноманіття симетричних рухів. Розглядаються достатні умови відсутності осцилюючих симетричних рухів. Для аналізу обмеженості руху використовується структура різноманіття симетричних рухів. Інститут математики НАН України 2017-12-22 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/58 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 13 No. 3 (2016): Mathematical problems of mechanics and computational mathematics; 254-260 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 13 № 3 (2016): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 254-260 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 13 № 3 (2016): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 254-260 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/58/53 Авторське право (c) 2016 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Sosnitsky, S. P. Сосницкий, С. П. Сосницький, С. П. On oscillatory symmetric motions in the three-body problem |
| title | On oscillatory symmetric motions in the three-body problem |
| title_alt | Про осциллирующие симметричные движения в задаче трх тел Про осцилюючi симетричнi рухи у задачi трьох тiл |
| title_full | On oscillatory symmetric motions in the three-body problem |
| title_fullStr | On oscillatory symmetric motions in the three-body problem |
| title_full_unstemmed | On oscillatory symmetric motions in the three-body problem |
| title_short | On oscillatory symmetric motions in the three-body problem |
| title_sort | on oscillatory symmetric motions in the three-body problem |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/58 |
| work_keys_str_mv | AT sosnitskysp onoscillatorysymmetricmotionsinthethreebodyproblem AT sosnickijsp onoscillatorysymmetricmotionsinthethreebodyproblem AT sosnicʹkijsp onoscillatorysymmetricmotionsinthethreebodyproblem AT sosnitskysp prooscilliruûŝiesimmetričnyedviženiâvzadačetrhtel AT sosnickijsp prooscilliruûŝiesimmetričnyedviženiâvzadačetrhtel AT sosnicʹkijsp prooscilliruûŝiesimmetričnyedviženiâvzadačetrhtel AT sosnitskysp prooscilûûčisimetričniruhiuzadačitrʹohtil AT sosnickijsp prooscilûûčisimetričniruhiuzadačitrʹohtil AT sosnicʹkijsp prooscilûûčisimetričniruhiuzadačitrʹohtil |