Generalised moment images and Pade-type approximants for functions of multiple variables
The approach is proposed to construction of multidimensional Pade ´ type approximants for analytic functions based on extension of V.K. Dzyadyk’s method of generalized moment representations.
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2016
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/59 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552585582346240 |
|---|---|
| author | Chernetska, L. O. Чернецкая, Л. О. Чернецька, Л. О. |
| author_facet | Chernetska, L. O. Чернецкая, Л. О. Чернецька, Л. О. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Л. О. Чернецька",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Chernetska, L. O. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-13T11:57:10Z |
| description | The approach is proposed to construction of multidimensional Pade ´ type approximants for analytic functions based on extension of V.K. Dzyadyk’s method of generalized moment representations. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:01:46Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2016, т. 13, № 3, 261–265
УДК 517.53
Узагальненi моментнi зображення та
апроксиманти типу Паде функцiй
багатьох змiнних
Л.О. Чернецька
Iнститут математики НАН України, Київ;
chernets. liliya@ yandex. ua
The approach is proposed to construction of multidimensional Padé type
approximants for analytic functions based on extension of V.K. Dzyadyk’s
method of generalized moment representations
Предложен подход к построению многомерных аппроксимаций типа
Паде аналитических функций, основанный на распространении метода
обобщенных моментных представлений В.К. Дзядыка
Теорiя апроксимацiй Паде — локально найкращих рацiональних
апроксимацiй степеневого ряду — становить самостiйний напрям в
комплексному аналiзi та теорiї наближень. Цi апроксиманти названi
на честь французького математика Анрi Паде, який першим почав
їх систематичне вивчення (1892 – 1907 рр.), хоча їх запровадження
i окремi результати були вiдомi задовго до нього. В XVIII – XIX ст.
цей напрям розвивався в основному в рамках класичної теорiї непе-
рервних дробiв. Iнтерес до апроксимацiй Паде та бiльш загальних
конструкцiй рацiональних апроксимацiй аналiтичних функцiй рiзко
зрiс у другiй половинi минулого столiття. Завдяки розвитку обчислю-
вальної технiки такi апроксимацiї знайшли численнi застосування в
рiзноманiтних задачах математичної фiзики, механiки та прикладної
математики.
Питанням побудови та дослiдження апроксимацiй типу Паде фун-
кцiй багатьох змiнних займаються вже понад чотирьох десяткiв ро-
кiв. Рiзноманiтнi модифiкацiї багатовимiрних апроксимацiй типу Па-
де розглядалися J. S. R. Chisholm, C. H. Lutterodt, R. Hughes Jones,
P. R. Graves–Morris, С. Chaffy, D. Levin, P. Guillaume, P. B. Borwein,
A. Cuyt, B. Verdonk, K. A. Driver, J. Tan, P. Zhou.
c○ Чернецька Л.О., 2016
chernets.liliya@yandex.ua
262 Чернецька Л.О.
З використанням неперервних дробiв значний внесок до теорiї
та застосувань апроксимацiй Паде i їх узагальнень було зроблено
В. Я. Скоробагатьком, П. I. Боднарчуком, Д. I. Боднаром, Х. Й. Ку-
чмiнською.
Одним з пiдходiв до побудови та дослiдження апроксимант Па-
де аналiтичних функцiй є запропонований В. К. Дзядиком у 1981
роцi метод узагальнених моментних зображень, який дозволив з єди-
них позицiй розглядати питання, пов’язанi з вивченням апроксимант
Паде як марковських функцiй, так i багатьох важливих спецiаль-
них функцiй, що не належать до класу марковських функцiй. Так,
А. П. Голубом за допомогою методу узагальнених моментних зобра-
жень було побудовано та дослiджено апроксимацiї Паде для ряду
елементарних та спецiальних функцiй однiєї змiнної.
Враховуючи ефективнiсть вказаного пiдходу до побудови одно-
вимiрних апроксимант Паде, актуальним є питання побудови рацiо-
нальних апроксимацiй функцiй багатьох змiнних за допомогою цього
методу. Таким чином, цiлком природно постає задача поширення ме-
тоду узагальнених моментних зображень на 𝑑-вимiрний випадок.
Означення 1. Узагальненим моментним зображенням двовимiр-
ної числової послiдовностi {𝑠𝑘,𝑚}∞𝑘,𝑚=0 на добутку лiнiйних просто-
рiв X та Y за означеною на цьому добутку бiлiнiйною формою ⟨·, ·⟩
називається сукупнiсть рiвностей
𝑠𝑘+𝑗,𝑚+𝑛 = ⟨𝑥𝑘,𝑚, 𝑦𝑗,𝑛⟩, 𝑘, 𝑗,𝑚, 𝑛 ∈ ℤ+, (1)
де {𝑥𝑘,𝑚}∞𝑘,𝑚=0 ∈ X , {𝑦𝑗,𝑛}∞𝑗,𝑛=0 ∈ Y .
Двовимiрнiй числовiй послiдовностi {𝑠𝑘,𝑚}∞𝑘,𝑚=0 можна поставити
у вiдповiднiсть формальний степеневий ряд двох змiнних
𝑓(𝑧, 𝑤) =
∞∑︁
𝑘=0
∞∑︁
𝑚=0
𝑠𝑘,𝑚𝑧
𝑘𝑤𝑚. (2)
Щоб побудувати рацiональнi апроксиманти для рядiв вигляду (2),
потрiбно зафiксувати деякi обмеженi множини N i D з ℤ2
+ та побу-
дувати алгебраїчнi многочлени
𝑃N (𝑧, 𝑤) =
∑︁
(𝑘,𝑚)∈N
𝑝𝑘,𝑚𝑧
𝑘𝑤𝑚,
Узагальненi моментнi зображення та апроксиманти типу Па . . . 263
𝑄D(𝑧, 𝑤) =
∑︁
(𝑘,𝑚)∈D
𝑞𝑘,𝑚𝑧
𝑘𝑤𝑚,
для яких у розвиненнi
𝑓(𝑧, 𝑤)− 𝑃N (𝑧, 𝑤)
𝑄D(𝑧, 𝑤)
=
∑︁
(𝑘,𝑚)∈ℤ2
+
𝑒𝑘,𝑚𝑧
𝑘𝑤𝑚
𝑒𝑘,𝑚 = 0 при (𝑘,𝑚) ∈ E , де E — деяка обмежена пiдмножина ℤ2
+.
Розглянемо деяку неперервно диференцiйовну функцiю Φ(𝑥, 𝑦) :
ℝ2
+ → ℝ, яка має такi властивостi (див. рис. 1):
1) множина DΦ =
{︀
(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2
+|Φ(𝑥, 𝑦) ⩽ 0
}︀
— обмежена в ℝ2
+;
2) потужнiсть множини DΦ ∩
{︀
(𝑥, 𝑦) ∈ ℤ2
+|𝑥 ⩾ 𝑁1 +𝑀1, 𝑦 ⩾ 𝑁2 +
𝑀2
}︀
дорiвнює (𝑁1 + 1)(𝑁2 + 1)− 1;
3) iснують однозначно визначенi функцiї
𝑥 = 𝜙1(𝑦), 𝑦 ∈ 𝐷1 :=
{︀
𝑦 ∈ ℝ+| ∃𝑥 ∈ ℝ+ : Φ(𝑥, 𝑦) ⩽ 0
}︀
,
𝑦 = 𝜙2(𝑥), 𝑥 ∈ 𝐷2 :=
{︀
𝑥 ∈ ℝ2
+| ∃𝑦 ∈ ℝ+ : Φ(𝑥, 𝑦) ⩽ 0
}︀
;
4) 𝜙1(𝑦) ⩾ 𝑁1, ∀𝑦 ∈ 𝐷1 та 𝜙2(𝑥) ⩾ 𝑁2, ∀𝑥 ∈ 𝐷2.
𝑁1+𝑀1𝑁1+𝑀1−1
𝑦 = 𝜙2(𝑥)
Φ(𝑥, 𝑦) = 0
𝑥 = 𝜙1(𝑦)
𝑁2+𝑀2
𝑁2+𝑀2−1
𝑥
𝑦
-
6
Рис. 1
Теорема 1. Нехай формальний степеневий ряд двох змiнних має
вигляд (2), а двовимiрна послiдовнiсть {𝑠𝑘,𝑚}∞𝑘,𝑚=0 має узагальнене
моментне зображення (1) на добутку лiнiйних просторiв X та Y .
264 Чернецька Л.О.
Якщо для деяких 𝑁1, 𝑁2 ∈ ℕ та 𝑀1,𝑀2 ∈ ℤ+ iснує нетривiальний
узагальнений полiном
𝑌
(𝑀1,𝑀2)
𝑁1,𝑁2
=
𝑁1∑︁
𝑗=0
𝑁2∑︁
𝑛=0
𝑐
(𝑁1,𝑁2),(𝑀1,𝑀2)
𝑗,𝑛 𝑦𝑗,𝑛
такий, що для (𝑘,𝑚) ∈
{︀
(𝑘,𝑚) ∈ ℤ2
+|Φ(𝑘+𝑁1+𝑀1,𝑚+𝑁2+𝑀2) ⩽ 0
}︀
виконуються умови бiортогональностi ⟨𝑥𝑘,𝑚, 𝑌 (𝑀1,𝑀2)
𝑁1,𝑁2
⟩ = 0, та
𝑐
(𝑁1,𝑁2),(𝑀1,𝑀2)
𝑁1,𝑁2
̸= 0, то рацiональна функцiя
1
𝑄
(𝑀1,𝑀2)
𝑁1,𝑁2
(𝑧, 𝑤)
{︃
𝑁1−1∑︁
𝑘=0
𝑁2−1∑︁
𝑚=0
𝑧𝑘𝑤𝑚
𝑘∑︁
𝑗=0
𝑚∑︁
𝑛=0
𝑐
(𝑁1,𝑁2),(𝑀1,𝑀2)
𝑁1−𝑗,𝑁2−𝑛 𝑠𝑘−𝑗,𝑚−𝑛+
+𝑧𝑁1
𝑁2−1∑︁
𝑚=0
𝑀1+𝜙1(𝑚)−𝑁1∑︁
𝑘=0
𝑧𝑘𝑤𝑚
𝑁1∑︁
𝑗=0
𝑚∑︁
𝑛=0
𝑐
(𝑁1,𝑁2),(𝑀1,𝑀2)
𝑗,𝑁2−𝑛 𝑠𝑘+𝑗,𝑚−𝑛+
+𝑤𝑁2
𝑁1−1∑︁
𝑘=0
𝑀2+𝜙2(𝑘)−𝑁2∑︁
𝑚=0
𝑧𝑘𝑤𝑚
𝑘∑︁
𝑗=0
𝑁2∑︁
𝑛=0
𝑐
(𝑁1,𝑁2),(𝑀1,𝑀2)
𝑁1−𝑗,𝑛 𝑠𝑘−𝑗,𝑚+𝑛+
+𝑧𝑁1𝑤𝑁2
∑︁
(𝑘,𝑚)∈Γ𝜙1,𝜙2
𝑧𝑘𝑤𝑚
𝑁1∑︁
𝑗=0
𝑁2∑︁
𝑛=0
𝑐
(𝑁1,𝑁2),(𝑀1,𝑀2)
𝑗,𝑛 𝑠𝑘+𝑗,𝑚+𝑛
}︃
,
де
Γ𝜙1,𝜙2
=
{︀
(𝑘,𝑚) : 𝑘 ∈ [0,𝑀1 − 1],𝑚 ∈ [0,𝑀2 + 𝜙2(𝑘)−𝑁2]
}︀
∪
∪
{︀
(𝑘,𝑚) : 𝑘 ∈ [0,𝑀1 + 𝜙1(𝑚)−𝑁1],𝑚 ∈ [0,𝑀2 − 1]
}︀
,
𝑄
(𝑀1,𝑀2)
𝑁1,𝑁2
(𝑧, 𝑤) =
𝑁1∑︁
𝑗=0
𝑁2∑︁
𝑛=0
𝑐
(𝑁1,𝑁2),(𝑀1,𝑀2)
𝑁1−𝑗,𝑁2−𝑛 𝑧𝑗𝑤𝑛,
матиме розвинення у степеневий ряд, коефiцiєнти якого збiгати-
муться з коефiцiєнтами ряду (2) для всiх (𝑘,𝑚) ∈ E = DΦ ∩ ℤ2
+.
На основi теореми 1 побудовано рацiональнi апроксиманти типу
Паде для широких класiв спецiальних функцiй двох змiнних, зокре-
ма, для функцiй, якi з точнiстю до сталих множникiв збiгаються з
гiпергеометричними рядами Аппеля 𝐹1(𝜈 + 1, 1, 1, 𝜈 + 𝜎 + 2, 𝑧, 𝑤) [1],
Узагальненi моментнi зображення та апроксиманти типу Па . . . 265
𝐹3(𝜈 + 1, 𝜎 + 1, 1, 1, 𝜈 + 𝜎 + 2, 𝑧, 𝑤) [2], з виродженим гiпергеометри-
чним рядом Гумберта Φ2(1, 1, 𝜈 + 𝜎 + 2, 𝑧, 𝑤) [3], при 𝜌 = 0 з гiпергео-
метричним рядом Аппеля 𝐹3(𝜎 + 1, 𝜈 + 1, 1, 1, 𝜈 + 𝜎 + 3, 𝑧, 𝑤) [4].
В роботi [5] результат, сформульований в теоремi 1 поширено на
випадок довiльної розмiрностi.
[1] Голуб А. П., Чернецька Л. О. Двовимiрнi узагальненi моментнi зобра-
ження та апроксимацiї функцiй двох змiнних // Укр. мат. журнал. —
2013. — Т. 65, № 8. — С. 1035–1058.
[2] Голуб А. П., Чернецька Л. О. Побудова апроксимант Паде для деяких
гiпергеометричних рядiв Аппеля за допомогою методу узагальнених мо-
ментних зображень // Теорiя наближення функцiй та сумiжнi питання:
Зб. праць Iн-ту математики НАН України. — 2013. — Т. 10, № 1. — С. 69–
94.
[3] Голуб А., Чернецька Л. О. Двовимiрнi узагальненi моментнi зображен-
ня та апроксимацiї Паде деяких рядiв Гумберта // Укр. мат. журнал. —
2013. — Т. 65, № 10. — С. 1315–1331.
[4] Чернецька Л. Побудова двовимiрних апроксимант Паде деяких аналi-
тичних функцiй двох змiнних за допомогою методу узагальнених момен-
тних зображень // Математичнi студiї. — 2014. — Т. 41, № 2. — С. 201–213.
[5] Голуб А., Чернецька Л. Багатовимiрнi узагальненi моментнi зображе-
ння та апроксимацiї типу Паде для функцiй багатьох змiнних // Укр.
мат. журнал. — 2014. — Т. 66, № 9. — С. 1166–1174.
1. Луковський І.О., Гаврилюк І.О., Василик В.Б., Ситник Д.О.
2. Біленко В. І., Божонок К. В., Дзядик С. Ю., Стеля О. Б.
Інтегро–апроксимаційний алгоритм
Вступ
Постановка задачі
Алгоритм
Похибка алгоритму
Застосування a–методу для алгебраїчно–нелінійних рівнянь гіперболічного типу
Задача Дирихле для алгебраїчно–нелінійних рівнянь еліптичного типу на прямокутнику
Наближений розв'язок початкової задачі для алгебраїчно–нелінійних рівнянь параболічного типу на прямокутнику
Сплайн–алгоритм
Монотонна схема для рівняння конвекції–дифузії
Висновки
3. Василик В.Б., Макаров В.Л., Ситник Д.О.
Вступ
Регуляризація та явне зображення розв'язку
Вибір контуру інтегрування
Чисельний метод
4. Веселовська Г.М.
5. Грушковская В.В.
Введение
Построение модельной системы
Условия устойчивости
Оценка скорости убывания решений
Пример: оценка скорости затухания колебаний маятниковой системы с частичной диссипацией
Выводы
6. Дзюбенко Г.А.
Вступ
Допоміжні факти
Доведення Теореми ??
7. Діденко Ю.Ф., Денисенко В.І.
8. Елишевич М.А.
Постановка задачи
Полученный результат
Пример
9. Константинов А.В., Лимарченко О.С., Кинебас К.В., Паранькина О.Ю.
Введение
Объект исследования и математическая модель
Результаты вычислительных экспериментов
Выводы
10. Мазко О.Г., Кусій С.М.
Вступ
Допоміжні твердження
Лінійні системи з керованими і спостережуваними виходами
Статичний регулятор по вимірюваному виходу
Динамічний регулятор
Алгоритм побудови динамічного регулятора
Приклад. Гасіння коливань лінійного осцилятора.
Висновок
11. Працьовитий М. В., Маслова Ю. П.
Вступ
Функція Радемахера і ряди Уолша
Узагальнення функцій Радемахера
Узагальнення функцій Уолша
12. Працьовитий М.В., Чуйков А.С.
Вступ
Оператори лівостороннього та правостороннього зсуву елементів ланцюгового дробу
Інші функції, пов'язані з оператором T(x)
13. Новицький В.В., Зінчук М.О., Коломійчук О.П., Тетерятник О.В.
Вступ
Оптимальне керування лінійними неперервними майже консервативними системами
Оптимальне керування лінійними дискретними майже консервативними системами
14. Осауленко Р. Ю.
Вступ
Перетворення, які зберігають хвости Qs–зображення чисел
Група перетворень, які зберігають частоти цифр Qs–зображення числа
Приклад функції, яка зберігає частоти, але не зберігає хвости зображення Qs-ірраціональних чисел
15. Слинько В.І., Кравчук С.В.
Постановка задачі.
Основний результат.
Умови стійкості
16. Солодун А. В.
Постановка задачи
Численные результаты
17. Ситник Д.О.
Вступ
Sinc–апроксимація
Sinc-апроксимація функції за її значеннями поза інтерполяційною сіткою
18. Сосницький С.П.
Вступ
Про рівняння збуреного руху в околі стаціонарних лагранжевих трикутників
Теорема про орбітальну нестійкість лагранжевих стаціонарних рухів у задачі трьох тіл
Висновок
19. Сосницький С.П.
Вступ
Про достатні умови відсутності осцилюючих симетричних рухів
20. Чернецька Л.О.
21. Timokha A.N.
Statement
Asymptotic steady-state solutions of (??)–(??)
The reciprocating excitation type
The axisymmetric elliptic excitation type
The oblique elliptic excitation type
Conclusions
22. Shlepakov L.N.
Main relationships for a non-inflated system
Construction of enlarged systems
Defining the task mathematical programming
Case of multiple channels with same probability characteristics in the same system of channels.
23. Shidlich A.L.
Approximative characteristics
Main results
Order estimates for some functionals and their applications
Proof of Theorems ?? and ??.
24. Луковський І.О., Стороженко В.О.
25. Луковський І.О., Пустовойтов М.О.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-59 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:01:46Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/9a/86045609eb3c12ac24cc5a73f99b949a.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-592018-02-13T11:57:10Z Generalised moment images and Pade-type approximants for functions of multiple variables Обощенные моментные отображения и аппроксиманты Паде функций многих переменных Узагальненi моментнi зображення та апроксиманти типу Паде функцiй багатьох змiнних Chernetska, L. O. Чернецкая, Л. О. Чернецька, Л. О. The approach is proposed to construction of multidimensional Pade ´ type approximants for analytic functions based on extension of V.K. Dzyadyk’s method of generalized moment representations. Предложен подход к построению многомерных аппроксимаций типа Паде аналитических функций, основанный на распространении метода обобщенных моментных представлений В.К. Дзядыка. Запропоновано підхід до побудови багатовимірних апроксимацій типу Паде аналітичних функцій, заснований на поширенні методу узагальнених моментних зображень В.К. Дзядика. Інститут математики НАН України 2016-11-29 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/59 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 13 No. 3 (2016): Mathematical problems of mechanics and computational mathematics; 261-265 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 13 № 3 (2016): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 261-265 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 13 № 3 (2016): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 261-265 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/59/54 Авторське право (c) 2016 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Chernetska, L. O. Чернецкая, Л. О. Чернецька, Л. О. Generalised moment images and Pade-type approximants for functions of multiple variables |
| title | Generalised moment images and Pade-type approximants for functions of multiple variables |
| title_alt | Обощенные моментные отображения и аппроксиманты Паде функций многих переменных Узагальненi моментнi зображення та апроксиманти типу Паде функцiй багатьох змiнних |
| title_full | Generalised moment images and Pade-type approximants for functions of multiple variables |
| title_fullStr | Generalised moment images and Pade-type approximants for functions of multiple variables |
| title_full_unstemmed | Generalised moment images and Pade-type approximants for functions of multiple variables |
| title_short | Generalised moment images and Pade-type approximants for functions of multiple variables |
| title_sort | generalised moment images and pade-type approximants for functions of multiple variables |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/59 |
| work_keys_str_mv | AT chernetskalo generalisedmomentimagesandpadetypeapproximantsforfunctionsofmultiplevariables AT černeckaâlo generalisedmomentimagesandpadetypeapproximantsforfunctionsofmultiplevariables AT černecʹkalo generalisedmomentimagesandpadetypeapproximantsforfunctionsofmultiplevariables AT chernetskalo oboŝennyemomentnyeotobraženiâiapproksimantypadefunkcijmnogihperemennyh AT černeckaâlo oboŝennyemomentnyeotobraženiâiapproksimantypadefunkcijmnogihperemennyh AT černecʹkalo oboŝennyemomentnyeotobraženiâiapproksimantypadefunkcijmnogihperemennyh AT chernetskalo uzagalʹnenimomentnizobražennâtaaproksimantitipupadefunkcijbagatʹohzminnih AT černeckaâlo uzagalʹnenimomentnizobražennâtaaproksimantitipupadefunkcijbagatʹohzminnih AT černecʹkalo uzagalʹnenimomentnizobražennâtaaproksimantitipupadefunkcijbagatʹohzminnih |